NEURONOWA IDENTYFIKACJA MANIPULATORA SCORBOT Z

36, s. 135-142, Gliwice 2008

NEURONOWA IDENTYFIKACJA MANIPULATORA SCORBOT Z

ENON

H

ENDZEL

, M

ARCIN

N

AWROCKI

Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska e-mail: zenhen@prz.edu.pl, marcin.nawrocki@prz.edu.pl

Streszczenie: W pracy przeprowadzono identyfikację modelu matematycznego manipulatora przy uŜyciu sztucznych sieci neuronowych. Syntezę neuronowego identyfikatora przeprowadzono na podstawie teorii stabilności Lapunowa.

Sygnały potrzebne w procesie identyfikacji uzyskano na podstawie sterowań i odpowiedzi modelu opisującego manipulator.

1.WPROWADZENIE

Problem identyfikacji parametrycznej składa się z wyboru najlepszego modelu z danej klasy i dostosowanie jego parametrów tak, by odpowiedź modelu na sygnał wejściowy była zbliŜona do odpowiedzi obiektu dynamicznego [2,4,7,10,18,11]. Synteza identyfikatora manipulatorów robotów stanowi złoŜony problem, poniewaŜ obiekty te są obiektami wielowymiarowymi, nieliniowymi. Modele matematyczne tych obiektów zawierają liczne uproszczenia i niedokładnie opisane nieliniowości. Postać matematyczną opisu zjawisk fizycznych w przypadku manipulatorów uzyskuje się, stosując najczęściej równania Lagrange'a II rodzaju.

Istotnym zagadnieniem w procesie identyfikacji jest uzyskanie moŜliwie duŜo informacji o właściwościach układu rzeczywistego. Informacje te moŜna uzyskać, korzystając z wyników eksperymentu pomiarowego. Dlatego w celu oszacowania parametrów naleŜy sformułować model estymacji, który wiązałby dostępne dane pomiarowe z nieznanymi współczynnikami. Model ten zazwyczaj róŜni się od modelu matematycznego uzyskanego na podstawie opisu zjawisk fizycznych zachodzących w danym obiekcie rzeczywistym.

W zagadnieniach identyfikacji duŜe znaczenie ma liniowość modelu matematycznego względem estymowanych parametrów. Taka liniowość umoŜliwia znaczne uproszczenie rozwiązania zagadnienia estymacji parametrów, na przykład uzyskanie analitycznych rozwiązań estymacji parametrów metodą najmniejszych kwadratów. W nieliniowych zagadnieniach mechaniki uzyskanie formy liniowej względem estymowanych parametrów jest moŜliwe poprzez odpowiednią filtrację sygnałów i odpowiednią transformację parametrów fizycznych [1,17].

Ta problematyka była między innymi analizowana w pracach [8,21,22].

Ze względu na brak do tej pory systematycznego podejścia do analizy i syntezy dynamicznych układów nieliniowych, sztuczne sieci neuronowe ze względu na ich moŜliwości aproksymacji dowolnych odwzorowań nieliniowych oraz moŜliwość uczenia się i adaptacji stały się atrakcyjnym narzędziem stosowanym w teorii układów nieliniowych. Ze względu na posiadaną własność uczenia się nieliniowych charakterystyk stosuje się je między innymi do modelowania złoŜonych nieliniowych układów [5,13,14,15,16]. Identyfikacja nieliniowych układów dynamicznych z zastosowaniem sieci neuronowych zwykle sprowadza się do dwóch kroków: w pierwszym kroku wybiera się strukturę identyfikatora, a następnie wyznacza się prawo estymacji parametrów identyfikatora tak, aby jego odpowiedź na sygnał

wejściowy aproksymowała odpowiedź obiektu dynamicznego na ten sam sygnał pobudzenia.

W niniejszej pracy do identyfikacji manipulatora Scorbot stosuje się sieć neuronową jednowarstwową, której celem będzie aproksymacja nieliniowości manipulatora w czasie rzeczywistym. ZałoŜono, Ŝe nieliniowości manipulatora są nieznane. Stabilność przyjętego układu identyfikacji wynika z prawa uczenia wag sieci wygenerowanego na podstawie teorii stabilności Lapunowa. Uzyskane rozwiązanie zweryfikowano numerycznie.

2. OPIS SIECI NEURONOWEJ

Na rys.1. przedstawiono dwuwarstwową sieć neuronową [9,12], zawierającą dwie warstwy neuronów. Sygnały wyjściowe pierwszej warstwy zawierającej m neuronów przekazywane są do drugiej warstwy, składającej się z r neuronów liniowych. Odwzorowanie wejście-wyjście sieci z rys. 1 ma postać

r 1,2..., i

w

v x v S w y

N

1 j

wi n

1 k

vj k jk ij

i

=

 



 

  +



 



 +

= ∑ ∑

= =

(1)

Rys. 1. Struktura dwuwarstwowej sieci neuronowej

gdzie S(.) jest nieliniową funkcją aktywacji i-tych neuronów,

v

_jk jest wagą połączeń warstwy wejściowej z warstwą ukrytą,

w

_ij jest wagą połączeń warstwy ukrytej z warstwą wyjściową,

v

_vj

, w

_wi to wartości progowe, a n, N, r to odpowiednio wymiar sygnału wejściowego, liczba neuronów warstwy ukrytej, wymiar sygnału wyjściowego. Równanie (1) moŜna wyrazić w zwartej formie, definiując wektory x =

[

x0,x1,...xn

]

^T,

[

y1,y2,...yr

]

^T

y = oraz macierze wag W =^T w_ij ,

V =

^T

v

_jk. Przyjmując element wektora wejściowego x₀ ≡ , wektor wartości progowych 1

[ v

v1

, v

v2

,... v

vN

]

^T jako pierwszą kolumnę macierzy V , otrzyma się ^T

) x V ( S W

y= ^{T T} (2)

Przy załoŜeniu, Ŝe pierwsza warstwa wag V sieci jest z góry ustalona, tylko druga warstwa wag W jest brana pod uwagę w odpowiedzi sieci. Przyjmując φ(x)=S(V^Tx) wówczas analizowana sieć jest siecią jednowarstwową, której wyjście moŜna opisać równaniem

) x ( W

y= ^Tφ (3)

Jak wykazano w [12], dobierając wagi pierwszej warstwy sieci losowo, funkcja wektorowa )

x

φ( jest funkcją podstawową, a w konsekwencji analizowana sieć jest uniwersalnym aproksymatorem. Dla tak przyjętych załoŜeń funkcja opisująca neuron S(.) moŜe być funkcją sigmoidalną.

3. DYNAMICZNE RÓWNANIA MANIPULATORA SCORBOT

RozwaŜania dotyczące opisu ruchu przeprowadzono na przykładzie manipulatora Scorbot, którego schemat strukturalny zamieszczono na rys. 2. Opisywany robot ma konfigurację stawową, ponadto wyposaŜony jest w chwytak o dwóch stopniach swobody. Reasumując, jest to przestrzenny łańcuch kinematyczny o pięciu parach kinematycznych klasy 5 (obrotowych).

Trzy pierwsze odpowiadają za pozycjonowanie, kolejne dwa – związane z kiścią – to orientacja.

a) b)

Rys.2. a) schemat manipulatora, b) schemat przyjętego modelu

Do opisu ruchu manipulatora wykorzystano równania Lagrange’a II rodzaju [3, 7, 10, 19, 20]. ZałoŜono, Ŝe człony są bryłami sztywnymi oraz pominięto opory ruchu w parach kinematycznych, co wynika z celu budowy modelu matematycznego. Pierwszy człon modelowano jako bryłę o momencie bezwładności I⁽_z¹⁾, natomiast człon drugi i trzeci zdyskretyzowano masami zgodnie z rys.3, czyli kaŜdy z nich modeluje się trzema masami dyskretnymi. W celu wyznaczenia wartości mas dyskretnych przyjęto następujące zaleŜności:

m_i = m_i1 + m_i2 + m_i3 ; m_i1 = m_i3 , i = 2,3 oraz załoŜono, Ŝe moment bezwładności względem środka i-tego członu będzie odpowiadał momentowi bezwładności pręta, wówczas

( ) 3 ²

2 1 2

2 2

112 



 

 + 



 



= _i ⁱ _i ⁱ

i i

m l m l

l m

Rys. 3. Sposób dyskretyzacji masy i-tego członu manipulatora

Pominięto opory tarcia w parach kinematycznych oraz opory technologiczne. ZałoŜono, Ŝe SCORBOT jest manipulatorem o sztywnych ramionach i sztywnych przegubach (manipulator sztywny). Jako współrzędne uogólnione przyjęto kąty obrotu poszczególnych członów w taki sposób, Ŝe są to zarazem zmienne przegubowe, tj: ϕ=

[

ϕ₁,ϕ₂,ϕ₃

]

^T ∈R³. Stosując formalizm Lagrange’a, otrzymano opis matematyczny manipulatora , który zapisano w ogólnej formie

( )

C

(

,

)

G

( )

τ

M ϕϕ&&+ ϕ ϕ& ϕ&+ ϕ = ⁽⁴⁾ gdzie

R3

∈

τ – wektor momentów napędowych

mi1 mi2 mi3

½ li

li

3 x

R3

) (

M ϕ ∈ - macierz bezwładności, gdzie:

( )

















= ϕ

33 32

23 22 11

M M 0

M M 0

0 0 M

M (5)

oraz

( ) ( )

( )

₂ ^{2 2} ₂ ^{2 2}

( )

₃

( )

₃ ²

( ) ( )

_{3 2 3 1}

2

2 2 2

2 2 2 11

cos cos

cos 3 cos

) 1 ( cos cos

2

cos 3 cos

M 1

I m l

l e l

l l

e e

m l

e l

e

 +



 



 + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ϕ

+

 +



 



 + ϕ + ϕ

=

(

_{2 3}

)

2

22 3

3

M =1l m + m

( ) ( ) ( ) ( )

(

_{3 2 2 3}

)

2 3 23

23 sin sin cos cos

2 M 1

M = = m l ϕ ϕ + ϕ ϕ

3 2

33 3

M =1l m

3

) 3

,

C(ϕ &ϕ ∈R ^x - macierz sił odśrodkowych i Coriolisa , gdzie:

( )

















= ϕ ϕ

0 C C

C 0 C

C C C ,

C

32 32

23 21

13 12 11

& (6)

oraz

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

_{2 2 3}

( ) ( )

_{3 2 3}

( ) ( )

_{3 3 3}

2

2 2 3

3 3 2

2

2 2 2

2 2

2 11

) cos sin

2 cos

sin 3 cos

sin 6

sin 6 sin

3 cos

sin 3 6 ( 1

cos sin

2 sin

6 3 C 1

m l

l l

e e

l l

m l

e l

ϕ ϕ

ω + ϕ ϕ

ω + ϕ ϕ

ω +

+ ϕ ω + ϕ ω + ϕ ϕ

ω

−

+ ϕ

ϕ ω

+ ϕ ω

−

=

( )

₂

( ( )

₂

)

_{1 2}

( )

₂

( ( )

₃

( )

₂

)

_{1 3}

21

12 sin 3 cos 6 6 cos

6 3 1

cos 2 6 sin

C 1

C =− =− l ϕ l ϕ + e ω m − l ϕ l ϕ + e+ l ϕ ω m

( )

₃

( ( )

₂

( )

₃

)

_{1 3}

31

13 sin 3 3 cos 2 cos

6 C 1

C =− =− l ϕ e+ l ϕ + l ϕ ω m

( ) ( ) ( ) ( )

(

_{3 2 3 2}

)

_{3 3}

2 32

23 cos sin sin cos

2 C 1

C =− = l ϕ ϕ − ϕ ϕ ω m

R3

G ∈ – wektor sił cięŜkości dany jako:

( )

^{m l}

( )

^{m l}

( )

^{g m l}

( )

^g_^T



 



  ϕ



 



 ϕ + ϕ

=

ϕ _{2 2 3 2 3} cos ₃

2 cos 1

2 cos 0 1

G (7)

4. SYNTEZA IDENTYFIKATORA I WŁASNOŚCI UKŁADU IDENTYFIKACJI MoŜna zapisać dynamiczne równania ruchu (4) w postaci

) , (x u f

x& = , x(0)=x₀ (8)

gdzie x=[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆]^T ∈R⁶jest wektorem stanu, a jego elementy przyjmują znaczenie:x₁ =ϕ₁,x₂ =ϕ₂,x₃ =ϕ₃, x₄ =ϕ&₁,x₅ =ϕ&₂,x₆ =ϕ&₃. Sygnał wejściowy zdefiniowano jako u =τ∈R³ a f(.), jest nieznaną nieliniową funkcją wektorową wynikającą z przekształcenia równania (4) do postaci (8), która będzie aproksymowana siecią neuronową.

Dodając i odejmując wektor Ax , równanie (8) przekształca się do postaci [9,13]

) u , x ( G Ax

x& = + , x(0)=x₀ (9)

gdzie G(x,u)=f(x,u)−Ax i A∈R⁶jest macierzą Hurwitza. Do aproksymacji nieliniowej funkcją G(x,u) zastosuje się sieć neuronową opisaną zaleŜnością (3). Wówczas otrzyma się

ε + φ

=W (x) )

u , x (

G ^T (10)

gdzie W to idealnie wagi sieci, φ(x) jest funkcją podstawową, a ε jest błędem aproksymacji spełniającym ograniczenie ε ≤z_ε. Wówczas ocenę nieliniowej funkcji G(x,u)zapisze się jako

( )

x Wˆ )) u , x ( V ( S W ) u , x (

G) = ) ^{T T} = φ

(11) Wstawiając zaleŜność (11) do równania (9), otrzyma się

) x ( W x A

x&) = ) + ) ^Tφ (12)

gdzie x) jest oceną wektora stanu, a Wˆ oceną idealnych wag sieci W. Przy przyjęciu błędu wektora stanu oraz błędu macierzy wag w postaci

x x x = −)

~ ,W~ W Wˆ

−

= (13)

opis zamkniętego układu identyfikacji ,który pokazano na rys.4, będzie następujący ε

+ φ +

= W~ (x) x~

A

x~& (14)

W zaproponowanym rozwiązaniu wagi sieci W są uczone na bieŜąco bez wstępnego procesu uczenia. W celu wykazania stabilności zaproponowanego układu identyfikacji stanu manipulatora zakłada się, Ŝe sygnał wejściowy u oraz wagi W są ograniczone, tzn. spełniona jest nierówność W ≤W_m.

Rys. 4. Schemat układu identyfikacji Po wprowadzeniu funkcji Lapunowa w postaci

(

^T

)

1

T W~

W~ tr 5 . 0

~x x~ 5 . 0

V= + γ⁻ (15)

gdzie tr(.) oznacza ślad macierzy (.). RóŜniczkując zaleŜność (15) względem czasu, otrzyma się

ε + γ

+ φ +

= ^{T T −1} W~^T) x~^T

W~ ( tr ) x ( W~ x~

~x A

~x

V& & (16)

PoniewaŜ zachodzi równość

( ) (

^T

( ) ) ( ( )

^T

)

T W~ x ~x

tr x W~ x~ tr x W~

x~ φ = φ = φ (17)

wówczas równanie (16) przyjmie postać

(

^φ

)

^{+γ + ε}

+

= ^{T T −1} W~ ^T) ~x^T

W~ ( tr x~

) x ( W~ tr x~ A x~

V& & (18)

JeŜeli przyjmie się prawo uczenia wag w postaci )T

x ( x~

W&) =γ φ (19)

to otrzyma się

+ ε

λ

−

≤ ε + λ

−

≤ +

=~x A~x ~x ~x (A)x~ ~x ~x (A) ~x ~x z

V& ^{T T} _max ^{T T} _max ² (20)

Pochodna funkcji Lapunowa jest ujemnie pół określona, gdy prawdziwa jest następująca nierówność

x max(A) b /

z

x~ > _ε λ = (21)

gdzie λ_max(A) jest maksymalną wartością własną macierzy A. To gwarantuje, iŜ błąd identyfikacji x~ jest jednostajnie ograniczony do zbioru generowanego przez zaleŜność (21).

5. REZULTATY SYMULACJI

Rys. 5. Wyniki eksperymentu numerycznego: a) przebieg zmienności kąta φ₁ oraz oceny ϕˆ₁ , b) przebieg zmienności kąta φ2 oraz oceny ϕˆ₂, c) przebieg zmienności kąta φ3 oraz oceny ϕ , ˆ₃

d) błąd identyfikacji ϕ~_i

0 10 20 30 40

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

0 10 20 30 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 10 20 30 40

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 10 20 30 40

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

a) b)

c) d)

φ1 [rad]

φ3 [rad]

φ2 [rad]

ϕi

~ [rad]

t[s]

t[s] t[s]

t[s]

ˆ1

ϕ

ˆ2

ϕ

ˆ3

ϕ

Weryfikację numeryczną algorytmu neuronowego identyfikatora przeprowadzono dla przypadku, kiedy punkt charakterystyczny K manipulatora przemieszcza się po zadanej trajektorii w kształcie okręgu leŜącego w płaszczyźnie xy. RozwaŜa się trzy okresy ruchu manipulatora, takie jak: start, ruch o stałej prędkości liniowej punktu K oraz hamowanie.

Wygenerowane w trakcie eksperymentu wartości zmiennych przegubowych ϕ oraz _i wyznaczone z algorytmy identyfikacji oceny ϕˆ zostały przedstawione na rys. 5. NaleŜy _i zaznaczyć, Ŝe błąd estymacji poszczególnych ocen jest ograniczony(rys. 5d) oraz dąŜy do zera w trakcie ruchu manipulatora.

Rys. 6. Przebieg zmienności wag poszczególnych sieci podczas uczenia

Na rys. 6 przedstawiono przebiegi zmienności wag poszczególnych sieci neuronowych. Na ich podstawie moŜna uznać za słuszne załoŜenie, Ŝe ich wartości są ograniczone. Warto podkreślić fakt, Ŝe wagi sieci W1, W2, W3 zmierzają do stałych wartości w trakcie eksperymentu. Pozostałe wagi mogą być w dalszym ciągu uczone, np. przez kolejne przejazdy manipulatora po zadanej trajektorii.

6. WNIOSKI

W pracy przeprowadzono identyfikację modelu manipulatora z zastosowaniem szeregowo- równoległego układu identyfikacji neuronowej. Estymacji podlegały zmienne stanu opisujące manipulator. Wyniki rozwiązania numerycznego potwierdzają, Ŝe wagi sieci są ograniczone, z czego wynika stabilność przyjętego algorytmu. NaleŜy zaznaczyć, Ŝe przyjęta struktura identyfikatora działa w sposób rekurencyjny i ocena parametrów dokonywana jest na bieŜąco w trakcie ruchu manipulatora. W trakcie eksperymentu przyjęto, Ŝe poszczególne sieci uczą się od zerowych wartości wag, co moŜna uznać za najbardziej niesprzyjające warunki początkowe. Zatem moŜna stwierdzić, Ŝe analiza numeryczna, sprawdzenie identyfikującego algorytmu oraz symulacja eksperymentu odpowiada rozwaŜaniom teoretycznym.

Zaproponowana procedura identyfikacji modelu matematycznego manipulatora z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych moŜe być stosowana w identyfikacji

0 10 20 30 40

-15 -10 -5 0 5 10 15

0 10 20 30 40

-6 -4 -2 0 2 4

0 10 20 30 40

-4 -2 0 2 4 6

0 10 20 30 40

-6 -4 -2 0 2 4

0 10 20 30 40

-4 0 4 8 12

W1 [-]

t[s]

W3 [-]

t[s]

W5 [-]

t[s]

W2 [-]

t[s]

W4 [-]

t[s]

W6 [-]

t[s]

0 10 20 30 40

-8 -4 0 4 8 12

układów nieliniowych. Zastosowanie sieci neuronowej umoŜliwiło opis matematyczny analizowanego obiektu w formie liniowej ze względu na estymowane parametry. W pracy wykazano, Ŝe błędy zastosowanego identyfikatora są ograniczone.

LITERATURA

1 Åström K. J., Wittenmark B.: Adaptive Control. New York: Addison-Wesley, 1989.

2 Bubnicki Z.: Identyfikacja obiektów sterowania. Warszawa: PWN, 1974.

3 Craig J. J.: Introduction to Robotics Machines and Control. New York: Addison-Wesley, 1989.

4 Eykhoff P.: Identyfikacja układów dynamicznych. Warszawa: PWN, 1980.

5 Giergiel J., Hendzel Z., śylski W.: Modelling and Control of Wheeled Mobile Robots.

Warszawa: WNT, 2002.

6 Giergiel M., Hendzel Z., śylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych.

Warszawa: PWN, 2002.

7 Giergiel J., Uhl T.: Identyfikacja układów mechanicznych. Warszawa: PWN, 1990.

8 Hendzel Z., Nawrocki M.: Identyfikacja parametryczna manipulatora SCORBOT.W: „Postępy robotyki”. Warszawa: WKŁ, 2006. T. 1, s. 77-86.

9 Hunt K.J., Sbarbaro D., Zbikowski R., Gawthrop P.J.: Neural networks for control systems-A survey. “Automatica” 1992, Vol. 28, No. 6, p.1083-1112.

10 Kozłowski K., Dutkiewicz P.: Modelowanie i identyfikacja w robotyce. Poznań: Wyd. Pol.

Poznańskiej, 1996.

11 Kozłowski K.: Modelling and identification in robotics. Berlin: Springer-Verlag 1998.

12 Lewis F.L., Jagannathan S, Yesildirek A.: Neural network control of robot manipulators and nonlinear systems. London: Taylor & Francis, 1999.

13 Liu G.P.: Nonlinear identification and control. London: Springer-Verlag 2001.

14 Narendra K.S., Parthasrathy K.: Identification and control of dynamical systems using neural networks. IEEE Transaction on Neural Networks 1990, Vol.1, No. 1, p. 4-27.

15 Page G.F., Gomm J.B., Williams D.: Application of neural networks to modelling and control.

London: Chapman & Hall 1993.

16 Sadegh N.: A perceptron network for functional identification and control of nonlinear system. IEEE Transaction on Neural Networks 1993, Vol. 4, No. 6, p. 982-988.

17 Slotine J.J., Li W.: Applied nonlinear control. Prentice Hall, New Jersey, 1991.

18 Söderström T., Stoica P.: Identyfikacja systemów. Warszawa: PWN, 1997.

19 Spong M. W., Vidyasagar M.: Dynamika i sterowanie robotów. Warszawa: WNT, 1997.

20 Tchoń K., Mazur A., Dulęba I., Hossa R., Muszyński R.: Manipulatory i roboty mobilne:

modele, planowanie ruchu, sterowanie. Warszawa: Akad.Ofic.Wyd.PLJ, 2000.

21 śylski W.: Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Ofic. Wyd. Pol.

Rzeszowskiej, 1996.

22 śylski W.: Identyfikacja dynamicznych równań ruchu mobilnego robota kołowego. „Przegląd Mechaniczny” 1997, nr 11-12, s.15-21.

23 śylski W., Nawrocki M.: Model dyskretny manipulatora Scorbot. W: „Teoria Maszyn i Mechanizmów” Zielona Góra: Ofic.Wyd. Uniwersytetu Zielonogórskiego, 2006. T. 1, s. 317-322.

NEURAL IDENTIFICATION FOR SCORBOT MANIPULATOR

Summary. In this paper manipulator’s model identification using artificial neural networks is proposed. The artificial neural networks has used to chose the best of mathematical model. It was done by using neural networks weights estimation based on Lapunov theory of stability. Signals from control and output of manipulator’s model to identification process was applied.