MODELOWANIE ROZKŁADU TEMPERATURY I PRZEPŁYWU CZYNNIKA GRZEJNEGO W GRZEJNIKU ALUMINIOWYM A

(1)

MODELOWANIE ROZKŁADU TEMPERATURY I PRZEPŁYWU CZYNNIKA GRZEJNEGO W GRZEJNIKU ALUMINIOWYM

ANDRZEJ GOŁAŚ, RYSZARD OLSZEWSKI, JERZY WOŁOSZYN Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, Akademia Górniczo – Hutnicza

e-mail: ghgolas@cyf-kr.edu.pl, olszewsk@agh.edu.pl, jwoloszy@agh.edu.pl

Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki numerycznego modelowania rozkładu temperatury oraz przepływu czynnika grzejnego w grzejniku aluminiowym. Grzejnik ten stanowi obecnie jeden z najczęściej wybieranych modeli na polskim rynku. Zbudowano model obliczeniowy oraz wyznaczono rozkład pola temperatury dla potrzeb analizy wytrzymałościowo termicznej. Do obliczeń zastosowano pakiet ANSYS z modułem FLOTRAN, natomiast do budowy modelu wykorzystano pakiet SolidWorks.

1. WSTĘP

Grzejnik współpracujący z wodną instalacją centralnego ogrzewania jest elementem, który bezpośrednio uczestniczy w przekazywaniu ciepła do otoczenia. Podstawą zjawiska wymiany ciepła między grzejnikiem a otoczeniem jest różnica temperatury, która jest jednocześnie źródłem powstawania odkształceń i naprężeń cieplnych elementów instalacji wodnej centralnego ogrzewania, a w szczególności samego grzejnika. W wielu wypadkach odkształcenia te prowadzą do uszkodzeń elementów instalacji cieplnych, których wynikiem jest ich nieszczelność. Coraz częściej w konstrukcjach maszyn, jak również w urządzeniach energetycznych, należy określać obciążenia cieplne i ich wpływ na wytężenie konstrukcji.

Podstawowym narzędziem analizy ilościowej obciążeń cieplnych są między innymi metody numeryczne. Należy mieć świadomość, że rozkład pola temperatury grzejnika nie jest jednorodny i zależy od wielu czynników, do których między innymi zaliczyć możemy warunki w pomieszczeniu, w którym pracuje grzejnik jak również prędkość przepływu czynnika grzejnego. W celu dokładnego wyznaczenia odkształceń i naprężeń trzeba szukać rozwiązań pozwalających poprawnie zdefiniować rozkład temperatury na ściankach grzejnika. Poszukujemy zatem warunku brzegowego I rodzaju dla analizy wytrzymałościowo termicznej. Pomiar przy użyciu np. termowizji pozwala określić rozkład temperatury na ściankach grzejnika, lecz napotkamy wiele problemów, aby wykorzystać te pomiary do badań symulacyjnych. W poniższej pracy zaproponowane zostało rozwiązanie pozwalające określić temperaturę cieczy w grzejniku z uwzględnieniem prędkości przepływu oraz wymiany ciepła z otaczającym powietrzem. Określony zatem zostanie warunek brzegowy I rodzaju (warunek Dirichleta) dla analizy wytrzymałościowo termicznej. Metoda elementów skończonych jest szczególnie przydatna do tego celu. Za pomocą MES bada się przepływ ciepła, przepływ cieczy podczas analizy pola temperatury oraz rozpatruje się inne zagadnienia opisane równaniami różniczkowymi pierwszego lub drugiego rzędu.

(2)

2. OBIEKT BADAŃ

Obiektem badań jest model bryły wodnej (rys. 1a) wypełniającej grzejnik aluminiowy (rys. 1b). Jeśli chodzi o grzejniki aluminiowe, to właśnie one są obecnie najczęściej kupowane. Powodów jest kilka. Przede wszystkim są lekkie, odporne na korozję i doskonale przewodzą ciepło oraz łatwo poddają się formowaniu. Ponadto, tak jak żeliwne, mają budowę modułową. [1]

Model został wykonany przy pomocy programu SolidWorks, a następnie zaimportowany do środowiska ANSYS. Dla ułatwienia obliczeń rozpatrywany obszar należało uprościć i w tym celu pominięto zaokrąglenia o małych promieniach na wszystkich krawędziach grzejnika. Rysując model, pominięto również takie elementy jak zawory regulujące prędkość przepływu wody.

a) b)

Rys. 1. Obiekt badań: a - model bryły wodnej wypełniającej grzejnik; b - grzejnik członowy aluminiowy [7]

3. OPIS FIZYKI ZJAWISKA

Zjawiska przepływu są mniej lub bardziej skomplikowane w zależności od geometrii obiektu. Aby wyznaczyć pola prędkości, temperatury oraz ciśnienia, przepływ trzeba opisać matematycznie równaniami, np. w układzie prostokątnym x, y, z. W tych równaniach jest pięć niewiadomych, a mianowicie:

· składowe prędkości – vx(x,y,z), vy(x,y,z), vz(x,y,z),

· temperatura T(x,y,z),

· ciśnienie p(x,y,z).

Zatem do opisu ruchu płynu potrzebny jest układ pięciu równań różniczkowych. Na ten układ równań składają się:

· równania ruchu płynu rzeczywistego, zwane równaniami Naviera – Stokesa,

· równanie ciągłości przepływu,

· równanie wymiany ciepła dla przepływu płynu.

Po rozwiązaniu tych równań otrzymuje się pola prędkości, temperatury oraz ciśnienia. Na drodze do osiągnięcia rozwiązań napotyka się wiele przeszkód i trudności. Są to trudności z zakresu matematyki lub fizyki, wobec tego do rozwiązań dochodzi się na drodze uproszczeń [5].

Dla badanego przypadku przepływu wody w grzejniku przyjmujemy następujące założenia i uproszczenia:

· płyn jest nieściśliwy a zatem, =0

¶

z + v y + v x

vx y _z

(3)

· płyn jest newtonowski, jego właściwości termofizyczne, takie jak przewodność, ciepło właściwie, gęstość oraz lepkość są stałe, ponadto nie występują reakcje chemiczne oraz przemiany fazowe,

· pominięto wpływ sił grawitacji,

· przepływ płynu traktowany jest jako ustalonyczyli =0

¶

¶ t v

Dla tak zdefiniowanego płynu otrzymujemy następujące równania [4,5]:

- równania Naviera – Stokesa:

÷÷ø çç ö

è æ

¶

¶ -¶

÷÷ø çç ö

è æ

¶

× ¶

÷÷ ø ö çç

è æ

¶

¶ -¶

÷÷ø çç ö

è æ

¶

× ¶

÷÷ø çç ö

è æ

¶

¶ -¶

÷÷ø çç ö

è æ

¶

× ¶

2 2 2 2 2 2

z + v y + v x μ v z+

= p z v v y + v v x + v v ρ

z + v y + v x μ v y+

z + v y + v x μ v x+

z z

z z y z x

y y

z y y y x

x x

x z x

y x x x

(1)

· równanie ciągłości przepływu:

( )

_¶^¶

( )

_¶^¶

^{( )}

⁼⁰

¶

z y

x v

+ z y v

+

x rv r r (2)

· równanie wymiany ciepła dla przepływu płynu:

÷÷ø çç ö

è æ

¶

×

¶

z + T y + T x T c ρ

= λ z v T y + v T x +

v_x T _y _z ₂

2 2 2 2 2

(3) gdzie:

vx, vy, vz – składowe wektora prędkości przepływu [m/s], T – temperatura [K],

ρ – gęstość [kg/m³],

m – lepkość dynamiczna [Pa·s], c – ciepło właściwe [J/(kgK)],

λ – współczynnika przewodzenia ciepła [W/(m²K)].

Do rozwiązania powyższych równań wymagane jest przyjęcie warunków brzegowych (rys. 2):

· prędkość przepływu wody na powierzchni (A) badanego modelu bryły wodnej jest równa zero a zatem, v_x _A =0, =0,

y A

v v_z _A =0,

· na powierzchni (A) badanego modelu bryły wodnej przyjmujemy konwekcyjny warunek brzegowy wymiany ciepła z otaczającym grzejnik powietrzem, a zatem,

( A P)

A

T n T

T÷ = -

ø ç ö è æ

¶

- l¶ a

gdzie:

a – współczynnik oddawania ciepła [W/(m²K)], TP – temperatura otaczającego powietrza [K], TA – temperatura powierzchni A [K],

· prędkość przepływu wody na wejściu do układu ( powierzchnia (B) badanego modelu bryły wodnej ) jest równa 1.5 ,

s v_x _B =- m [1]

· temperatura cieczy na powierzchni (B) jest równa T _B =343K,

(4)

· zdefiniowano ciśnienie równe ciśnieniu atmosferycznemu na wyjściu z układu (powierzchnia C )

Rys. 2. Model bryły wodnej dla warunków brzegowych

Wartości poszczególnych stałych termo-fizycznych wody przyjęto odpowiednio:

przewodność wody λ=0,6069 W/(m²K), ciepło właściwe c=4181,7 J/(kgK), gęstość w temperaturze 340K ρ=980 kg/m³ oraz lepkość dynamiczną w temperaturze 340K m=422·10^-6Pa·s. Zgodnie z literaturą [6] przyjęto stały dla całego modelu współczynnik oddawania ciepła dla konwekcji swobodnej równy a=15 W/(m²K) oraz przyjęto temperaturę otaczającego ośrodka równą Tp=293 K. [2,3,6]

4. PRZYGOTOWANIE MODELU OBLICZENIOWEGO

W celu przeprowadzenia obliczeń z wykorzystaniem MES model dzieli się na elementy skończone. Model bryły wodnej został poddany dyskretyzacji elementem typu FLUID 142 (rys. 3). Jest to element z węzłami o interesujących nas pięciu stopniach swobody vx, vy, vz, pres, temp, trzech dotyczących prędkości przepływu (vx, vy, vz), po jednym dotyczącym ciśnienia (pres) i temperatury (temp). Element ten pozwala również na wprowadzenie czterech podstawowych własności fizycznych, tj. gęstości, lepkości, przewodności cieplnej oraz ciepła właściwego [8]. W wyniku dyskretyzacji model geometryczny został podzielony na około 1,6 mln elementów skończonych o liczbie węzłów około 320 tysięcy.

(5)

Rys. 3. Model bryły wodnej z podziałem na elementy skończone

Na tak przygotowany model obliczeniowy nałożone zostały wszystkie zdefiniowane wcześniej warunki brzegowe, wymuszenia oraz przyjęto odpowiednie stałe termo-fizyczne wody.

5. OBLICZENIA NUMERYCZNE I ANALIZA UZYSKANYCH WYNIKÓW

Modelowanie rozkładu temperatury oraz przepływu czynnika grzejnego w badanym obiekcie jest stosunkowo wymagającym problemem obliczeniowym. Wynika to między innymi z dużej zmienności pola przekroju jak również dużej liczby elementów skończonych.

Do obliczeń numerycznych został wykorzystany pakiet ANSYS z modułem do numerycznego modelowania zagadnień mechaniki płynów FLOTRAN.

W wyniku obliczeń uzyskano przestrzenne rozkłady pola parametrów fizycznych badanego modelu w postaci wartości wektorów.

Rys. 4. Wypadkowy rozkład pola prędkości przepływu cieczy - płaszczyzna przekroju

„xy” [m/s]

(6)

Rys. 5. Rozkład pola prędkości przepływu cieczy na kierunku Vx - płaszczyzna przekroju

„xy” [m/s]

Rys. 6. Rozkład pola prędkości przepływu cieczy na kierunku Vy - płaszczyzna przekroju

„xy” [m/s]

Już pobieżna ocena wyników obliczeń wskazuje na istotną rolę efektów związanych z trójwymiarowością przepływu. Dotyczy to zarówno obrazu jakościowego, jak i ilościowego.

Otrzymane wyniki to wektory na kierunkach „x”, „y” oraz „z”, dlatego przy analizie rozkładu przepływu wzięto pod uwagę poszczególne kierunki przepływu cieczy. Oś „x” oraz oś „y”

układu współrzędnych tworzą płaszczyzną przekroju „xy”. Przedstawiając obliczone wartości przepływu czynnika grzejnego w płaszczyźnie przekroju „xy”, należy zauważyć, że zróżnicowanie pola przepływu na kierunku „x” jest globalnie mniejsze od zróżnicowania na

(7)

kierunku „y” (rys. 5 i rys. 6) co wynika z geometrii grzejnika. Na rys. 7 widać, że obszary wysokiej temperatury są zlokalizowane w czterech pierwszych członach grzejnika, tam gdzie prędkość przepływu czynnika jest największa. Natomiast tam, gdzie prędkość przepływu jest mniejsza, następuje spadek temperatury cieczy.

Rys. 7. Rozkład pola temperatury cieczy na powierzchni bryły wodnej [K]

Otrzymano więc niejednorodny rozkład temperatury zależny między innymi od prędkości przepływu. W obszarach, gdzie prędkość przepływu jest mniejsza, ciecz dłużej oddaje ciepło, a zatem jej temperatura spada. Warto zwrócić uwagę na różnicę temperatury w najzimniejszym i najcieplejszym obszarze, która wynosi około 15 K, oraz na lokalizację tych obszarów. Przy takim niejednorodnym rozkładzie temperatury, gdy w grę wchodzi zabudowa podzielników kosztu ogrzewania, istotne staje się miejsce ich zamontowania do poprawnego określenia wykorzystanej energii cieplnej.

Uzyskane wyniki rozkładu temperatury przedstawione na rys. 7 w dość dokładny sposób umożliwiają odczyt pola rozkładu temperatury. Otrzymany w wyniku obliczeń numerycznych rozkład pola temperatury na płaszczyznach zewnętrznych badanego modelu bryły wodnej może być równocześnie warunkiem brzegowym (Dirichleta) dla analizy wytrzymałościowo termicznej i jest niezbędny do przeprowadzenia dalszych badań symulacyjnych.

Należy mieć na uwadze fakt, że otrzymane rozwiązania są obarczone błędami wynikającymi z przybliżonego charakteru metody. Uproszczenia, poczynione przy opracowywaniu modelu, ułatwiają jego opis, jednakże mają także wpływ na dokładność poszukiwanego rozwiązania. Daleko idące uproszczenia mogą spowodować pominięcie istotnych cech układu rzeczywistego, natomiast zbyt złożony model matematyczny może spowodować błędy w rozwiązaniu ze względu na skomplikowany proces obliczeniowy.

(8)

6. PODSUMOWANIE

Celem przedstawionej analizy było nie tylko określenie parametrów rozpoznanych zjawisk fizycznych dla konkretnego obiektu technicznego, ale również sprawdzenie metodyki badań.

Obiekt badań to bryła wody odwzorowująca wnętrze grzejnika aluminiowego. Sposób postępowania oraz przyjęte warunki obliczeniowe pozwoliły na przeprowadzenie obliczeń, których wynikiem był rozkład pola temperatury oraz pola prędkości przepływu. Przypomnieć należy, że, tworząc model i wykonując obliczenia, położono nacisk na możliwie wierne odtworzenie badanego modelu. Nie obyło się jednak od uproszczeń, założono stałą wartość współczynnika α po stronie powietrza, co znacznie zredukowało wielkość badanego modelu i skróciło czas obliczeń. Wykonując trójwymiarowy model, dołożono wszelkich starań, aby jak najdokładniej odwzorować obiekt badań. Uzyskane wyniki pozwalają na zdefiniowanie warunku brzegowego Dirichleta wymaganego do analizy wytrzymałościowo termicznej.

LITERATURA

1. Albers J., Dommel R., Wagner J.: Systemy centralnego ogrzewania i wentylacji: poradnik dla projektantów i instalatorów. Warszawa: WNT 2007.

2. Arslanturk C., Ozguc A.F.: Optimization of a central - heating radiator. “Applied Energy”

2006, Vol. 83 p. 1190-1197.

3. Kazimierski Z.: Podstawy mechaniki płynów i metod komputerowej symulacji przepływów. Łódź: Wyd. Pol. Łódzkiej, 2004.

4. Spurk H.J. Aksel N.: Fluid mechanics. Berlin Heidelberg: Springer 2008.

5. Walczak J.: Inżynierska mechanika płynów. Poznań: Wyd. Pol. Pozn., 2006.

6. Wiśniewski S. Wiśniewski T.: Wymiana ciepła. Warszaw : WNT, 1994.

7. Katalog KFA. Kraków: Krakowska Fabryka Armatury, 2007.

8. ANSYS 10 documentation. ANSYS Inc. 2005.

MODELING OF THERMAL DISTRIBUTION AND FLUID FLOW OF HEATING MEDIUM IN ALUMINUM ALLOY RADIATOR

Summary. This article presented the results of numerical calculations of thermal distribution and fluid flow of heating medium in aluminum alloy radiator. This heaters are one of the mostly choose in polish market. The aim of this research was to build 3-D model and determine the thermal distribution to find first boundary condition for the thermal – structural analysis. To solve this problem was used the ANSYS with FLOTRAN application engine and to build the 3-D model was used the SolidWorks.