Ścinanie techniczne

(1)

1

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

Wykład Nr 6

Ścinanie techniczne

Ścinanie techniczne, warunek bezpieczeństwa na ścinanie, obliczenia wytrzymałościowe połączeń śrubowych/nitowych/sworzniowych, obliczenia wytrzymałościowe wytrzymałości spoin pachwinowych

(2)

6.1. Przykłady łączników poddawanych ścinaniu

Wpusty Kołki

Śruby

Nity

Spoiny pachwinowe Spoiny klejone

Sworznie

© T. Machniewicz

(3)

6.1. Przykłady łączników poddawanych ścinaniu

http://www.innomed.net 3

Narzędzia chirurgiczne z elementami poddawanymi ścinaniu

© T. Machniewicz

(4)

𝑴_𝒈𝒚

𝑴_𝐒

6.2. Ścinanie: siły wewnętrzne i naprężenia

𝑷

_𝟏

𝑷

_𝒏

𝑴

_𝒊

𝒒

_𝒊

z≡ n x

y

O≡C

dA

y

A

𝝉_𝒛𝒚

𝑻_𝒙 𝑵

𝑻_𝒚

𝝈

_𝒛

𝑴_𝒈𝒙

𝑵 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒅𝑨

𝑻_𝒙 = 𝝉_𝒛𝒙

𝑨 𝒅𝑨

𝑻_𝒚 = 𝝉_𝒛𝒚

𝑨 𝒅𝑨

𝑴_𝒙 = 𝝈_𝒛

𝑨

𝒚 𝒅𝑨

𝑴_𝒚 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒙 𝒅𝑨

𝑴_𝑺 = 𝝉_𝒛𝒚 𝒙 − 𝝉_𝒛𝒙 𝒚

𝑨 𝒅𝑨

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie

- skręcanie

© T. Machniewicz

(5)

6.3. Ścinanie techniczne: warunek bezpieczeństwa

5 𝑻

𝑻

𝝉 𝒅𝑨

𝑨_𝒕

= 𝑻

A

_t 𝑻

𝝉

Założenie #2 : 𝝉 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕.

𝝉 = 𝑻 𝑨

_𝒕

 zależność na naprężenia tnące (styczne) w przypadku ścinania technicznego

Warunek bezpieczeństwa na ścinanie techniczne:

Założenie #1:

wartość naprężeń normalnych (związanych ze zginaniem) jest znacznie mniejsza niż wartość naprężeń tnących.

𝝉 = 𝑻

𝑨

_𝒕

≤ 𝒌

_𝒕

 – naprężenia styczne, T – siła tnąca,

A_t – pole przekroju ścinanego,

k_t – dopuszczalne naprężenia ścinające.

© T. Machniewicz

(6)

Pole docisku przy współpracy powierzchni cylindrycznych 6.4. Warunek bezpieczeństwa na docisk powierzchniowy

𝒑

_𝒅

= 𝑭

𝑨

_𝒅

≤ 𝒌

_𝒅

p_d – wielkość docisku powierzchniwego, F – siła docisku,

A_d – całkowite pole powierzchni docisku, k_t – dopuszczalny docisk powierzchniowy.

𝑭

A

_d

𝒑_𝒅

gaa

𝑭 𝑭 𝟐

𝑭 𝟐

d g

d

A

_d

= d g

© T. Machniewicz

(7)

6.5. Obliczenia wytrzymałościowe dla nitów, sworzni, kołków, …

7

Warunek bezpieczeństwa na ścinanie:

𝝉 = 𝑭

𝑨_𝒕 ≤ 𝒌_𝒕 𝑨_𝒕 = 𝝅𝒅^𝟐

𝟒 ∙ 𝒏 ∙ 𝒊

𝝉 = 𝟒 ∙ 𝑭

𝝅 ∙ 𝒅^𝟐 ∙ 𝒏 ∙ 𝒊 ≤ 𝒌_𝒕

gdzie:

F – siła ścinająca,

d – średnica elementu złącznego (nitu, sworznia, itp.), k_t – dopuszczalne naprężenia ścinające,

n – liczba elementów złącznych przenoszących obciążenie, i – liczba płaszczyzn ścinania elementów złącznych:

𝑭 𝑭

d

𝑭 𝑭 /𝟐 ^g¹

g1 g2

𝑭 /𝟐

1 2

3 4

5 m=6

𝑭 𝑭

1 3 5

𝑭 ₄²

m=6

𝑭

1

i=5

𝒊 = 𝒎 − 𝟏

m – liczba blach objętych łącznikiem

𝑭 𝑭

𝑭 𝑭 /𝟐

𝑭 /𝟐

n = 12 i = 2

𝑭

n = 1 i = 2

𝑭 𝑭

𝑭 n = 6 𝑭

i = 1

© T. Machniewicz

(8)

6.5. Obliczenia wytrzymałościowe dla nitów, sworzni, kołków, …

Warunek bezpieczeństwa na docisk powierzchniowy:

gdzie:

F – siła działająca na połączenie,

d – średnica elementu złącznego (nitu, sworznia, itp.), n – liczba elementów złącznych przenoszących obciążenie, k_d – dopuszczalne dociski powierzchniowe,

g_min – mniejsza z sumarycznych wysokości na jakiej działa docisk po jednej stronie elementu złącznego, np. : g min

d

A

_d1

= d g

_min

𝒑_𝒅 = 𝑭

𝑨_𝒅 ≤ 𝒌_𝒅 𝑨_𝒅 = 𝒅 ∙ 𝒈_𝒎𝒊𝒏 ∙ 𝒏

𝒑_𝒅 = 𝑭

𝒅 ∙ 𝒈_𝒎𝒊𝒏 ∙ 𝒏 ≤ 𝒌_𝒅

F F

d

F/2 ^g¹ F

g1 g2

F/2

𝒈_𝒎𝒊𝒏 = 𝐦𝐢𝐧 𝟐𝒈_𝟏,𝒈_𝟐

g 2

d

g 1g1

F₁ F₁

© T. Machniewicz

(9)

6.6. Obliczenia wytrzymałościowe spoin pachwinowych

9

Warunek bezpieczeństwa:

𝝉 = 𝑭

𝑨_𝒕 ≤ 𝒌_𝒕𝒔 𝑨_𝒕 = 𝒂 ∙ 𝒍_𝒄 = 𝟐

𝟐 𝒈 ∙ 𝒍_𝒄 ≅ 𝟎. 𝟕 ∙ 𝒈 ∙ 𝒍_𝒄

gdzie:

F – siła ścinająca,

A_t – pole powierzchni ścinanej w płaszczyźnie w której jest ono najmniejsze,

k_ts – dopuszczalne naprężenie ścinające spoinę, g – wysokość spoiny,

a – grubość spoiny (a 0.7g),

l_c – całkowita obliczeniowa długość spoiny,

𝝉 = 𝑭

𝟎. 𝟕 ∙ 𝒈 ∙ 𝒍_𝒄 ≤ 𝒌_𝒕𝒔

𝑭 𝑭

g

𝑨_𝒕

© T. Machniewicz

(10)

Połączenie symetryczne:

6.6. Obliczenia wytrzymałościowe spoin pachwinowych

Zasady doboru długości wzdłużnych spoin pachwinowych: 𝝉 = 𝑭

𝟎. 𝟕 ∙ 𝒈 ∙ 𝒍_𝒄 ≤ 𝒌_𝒕𝒔

𝑭

A

A A-A

l₂=l g

l₁=l

𝒍_𝒄 = 𝒍_𝟏 + 𝒍_𝟐

𝒍_𝟏 = 𝒍_𝟐 = 𝒍 𝒍_𝒄 = 𝟐𝒍

Połączenie niesymetryczne:

𝑴_𝒊𝑪′

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝑻_𝟏𝒆 = 𝑻_𝟐 𝒃 − 𝒆 𝑻~𝒍

gdy g₁=g₂=g: 𝒍_𝟏𝒆 = 𝒍_𝟐 𝒃 − 𝒆 𝒍_𝒄 = 𝒍_𝟏 + 𝒍_𝟐

l₁

𝑭

A A

l₂

b e

A-A

g C 𝑻_𝟏

𝑻_𝟐

C’

© T. Machniewicz

(11)

6.7. Ścinanie techniczne – przykłady obliczeń

11 Przykład 6.1:

Obliczyć średnicę łączników (nitów) dla połączenia jak na rysunku:

Dane: Szukane:

P=12 kN, g₁=12 mm, g₂=5 mm, d=?, b=?

k_t=70 MPa , k_d=140 MPa, k_r=120 MPa

𝜏 = 𝑃

𝐴_𝑡 ≤ 𝑘_𝑡

𝑷 𝑷

b

𝑷 𝑷 g₁

g₂

1) Warunek bezpieczeństwa na ścinanie:

d 𝐴_𝑡 = 𝜋𝑑²

4 ∙ 𝑛 ∙ 𝑖

𝜏 = 4𝑃

𝜋𝑑² ∙ 𝑛 ∙ 𝑖 ≤ 𝑘_𝑡 𝑛 = 4

𝒅 ≥ 4𝑃

𝜋 ∙ 𝑘_𝑡 ∙ 𝑛 ∙ 𝑖 = 4 ∙ 12000

𝜋 ∙ 70 ∙ 4 ∙ 2 = 𝟓. 𝟐𝟐 𝐦𝐦

𝑖 = 2

(12)

Przykład 6.1:

Dane: Szukane:

P=12 kN, g₁=12 mm, g₂=5 mm, d=?, b=?

𝑷 𝑷

b

𝑷 𝑷 g₁

g₂

d

2) Warunek bezpieczeństwa na docisk powierzchniowy:

𝑝_𝑑 = 𝑃

𝐴_𝑑 ≤ 𝑘_𝑑

𝐴_𝑑2 = 𝑑 ∙ 𝑔₂ ∙ 𝑛

𝐴_𝑑1 = 𝑑 ∙ 𝑔₁ − 𝑔₂ ∙ 𝑛

𝑔₂ < 𝑔₁ − 𝑔₂

𝐴_{𝑑𝑚𝑖𝑛} = 𝐴_𝑑2= 𝑑 ∙ 𝑔₂ ∙ 𝑛

𝑝_𝑑 = 𝑃

𝑑 ∙ 𝑔₂ ∙ 𝑛 ≤ 𝑘_𝑑

𝒅 ≥ 𝑃

𝑘_𝑑 ∙ 𝑔₂ ∙ 𝑛 = 12000

140 ∙ 5 ∙ 4 = 𝟒. 𝟐𝟖 𝐦𝐦

1) Warunek bezpieczeństwa na ścinanie: 𝒅 ≥ 𝟓. 𝟐𝟐 𝐦𝐦

Uwzględniając 1) i 2) dobieramy: d=5.5 mm

(13)

13 Przykład 6.1:

Dane: Szukane:

P=12 kN, g₁=12 mm, g₂=5 mm, d=?, b=?

𝑷 𝑷

b

𝑷 𝑷 g₁

g₂

d 𝜎 = 𝑃

𝐴_𝑟 ≤ 𝑘_𝑟

𝐴_𝑟1 = 𝑏 − 2𝑑 𝑔₂

𝑔₂ < 𝑔₁ − 𝑔₂  𝐴_𝑟1 < 𝐴_𝑟2 d=5.5 mm

3) Warunek bezpieczeństwa na rozciąganie:

𝐴_𝑟2 = 𝑏 − 2𝑑 𝑔₁ − 𝑔₂

𝐴_𝑟min = 𝐴_𝑟1 = 𝑏 − 2𝑑 𝑔₂ 𝜎 = 𝑃

𝑏 − 2𝑑 𝑔₂ ≤ 𝑘_𝑟

𝒃 ≥ 𝑃

𝑘_𝑟 ∙ 𝑔₂ + 2𝑑 = 12000

120 ∙ 5 + 2 ∙ 5.5 = 𝟑𝟏 𝐦𝐦 dobieramy: b=32 mm

g₂

𝑨_𝒓𝟏

(14)

Przykład 6.2:

Obliczyć długości spoin połączenia jak na rysunku:

Dane: Szukane:

P=12 kN, k_t=70 MPa, L20x20x3: b=20 mm, g=3 mm, e=6 mm l₁=?, l₂=?

𝜏 = 𝑃

𝐴_𝑡 ≤ 𝑘_𝑡

Warunek bezpieczeństwa na ścinanie:

𝐴_𝑡 = 0.7 ∙ 𝑔 ∙ 𝑙_𝑐

𝜏 = 𝑃

0.7 ∙ 𝑔 ∙ 𝑙_𝑐 ≤ 𝑘_𝑡

A-A

g A

𝑷 e

l 1 A

l 2

𝑙₁𝑒 = 𝑙₂ 𝑏 − 𝑒

𝑙_𝑐 = 𝑙₁ + 𝑙₂ 𝑙₁ = 𝑏 − 𝑒

𝑒 𝑙₂

𝒍_𝒄 = 𝑏

𝑒 − 1 𝑙₂ + 𝑙₂ = 𝒃 𝒆𝒍_𝟐

(1)

(2)

(1) (2)

𝑃 ∙ 𝑒

0.7 ∙ 𝑔 ∙ 𝑏 ∙ 𝑙₂ ≤ 𝑘_𝑡 𝒍_𝟐 ≥ 𝑃 ∙ 𝑒

0.7 ∙ 𝑔 ∙ 𝑏 ∙ 𝑘_𝑡 = 12000 ∙ 6

0.7 ∙ 3 ∙ 20 ∙ 70 = 𝟐𝟒. 𝟒𝟖 𝐦𝐦 𝒍_𝟏 ≥ 20 − 6

6 ∙ 24.48 = 𝟓𝟕. 𝟏𝟒 𝐦𝐦 𝒍_𝟏𝑲 = 𝑙₁ + 2𝑎 = 57.14 + 2 ∙ 0.7 ∙ 3 ≅ 𝟔𝟐 𝐦𝐦

Długości rzeczywiste:

𝒍_𝟐𝑲 = 𝑙₂ + 2𝑎 = 24.48 + 2 ∙ 0.7 ∙ 3 ≅ 𝟐𝟗 𝐦𝐦