Ścinanie techniczne

1

Wprowadzenie nr 6* do ćwiczeń z przedmiotu

„Wytrzymałość materiałów” przeznaczone dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku

„Energetyka” na wydz. Energetyki i Paliw, w semestrze zimowym 2012/2013

Zakres wprowadzenia nr 6

To wprowadzenie dotyczy ćwiczenia, na którym kaŜdy student samodzielnie opracowuje „Arkusz ćwiczeniowy nr 6”.

Opracowując ten arkusz studenci nabywają umiejętność analizy oraz oceny napręŜeń spowodowanych w materiale przez takie przypadki sił zewnętrznych, jak: ścinanie techniczne, skręcanie oraz zginanie ze skręcaniem.

*Autorem wprowadzenia jest Marek Płachno, prof. ndzw. AGH. Wprowadzenie (9 stron) stanowi przedmiot prawa autor- skiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zm.). Autor nie wyraŜa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŜ podane w jego przeznaczeniu

2

Ścinanie techniczne

jest przypadkiem takich sił zewnętrznych Pi , Ri działających na element mechaniczny, dla których, w przekroju tego elementu najbardziej naraŜonym na zniszczenie, uzyskuje się układ obcią- Ŝeń wewnętrznych spełniający następujące załoŜenia:

• moŜna uznać jedną z sił wewnętrznych tnących Tx lub Ty za wystarczającą do wyznaczenia maksymalnych napręŜeń ana- lizowanego przekroju.

• moŜna pominąć wewnętrzne momenty zginające Mx , My oraz i moment skrę- cający Ms,

• moŜna pominąć siłę wewnętrzną nor- malną N, rozciągającą lub ściskającą ,

3

Najczęstszy przypadek ścinania technicznego w elementach konstrukcji

Spoiny pachwinowe w połączeniach blach (1)

, 0 M M , 0

M_x ≈≈≈≈ _y ==== _z====

0 , 0 ,

0 _{y z} x ==== σ ≈≈≈≈ σ ≈≈≈≈

σ

ττττ

ττττ

0 T , 0 N_y ≈≈≈≈ _x ====

P T_y ≈≈≈≈

zo zo

y

yz A

P A

T =

ττττ

A_zo–powierzchnia obliczeniowa ścinania spoiny

•ZałoŜenia dla sił wewnętrznych spoiny:

• załoŜenia dla stanu napręŜeń spoiny:

a 2a a

A_zo====l_s⋅⋅⋅⋅ ====(l−−−− )

a–grubość spoiny.

l_s–długość obliczeniowa spoiny,

l –długość konstrukcyjna spoiny,

4

Spoiny pachwinowe w połączeniach blach (2) Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa

spoiny pachwinowej:

k_ts -napręŜenie dopuszczalne na ścinanie dla materiału spoiny,

kts Azo

P Azo

Ty

yz = = ≤

ττττ

A_zo–powierzchnia obliczeniowa ścinania spoiny pachwinowej :

a 2a a

A_zo ====l_s⋅⋅⋅⋅ ====(l−−−− )

l_s–długość obliczeniowa spoiny,

l –długość konstrukcyjna spoiny, a–grubość spoiny, przy czym:

blachy grubość - gdzie g , g 7 , 0 a_max ====

5

Przykład obliczeniowy nr 1

Sprawdzić warunek wytrzymałościowy bezpie- czeństwa spoin w połączeniu blach wg rysun- ku. Zaznaczyć przekroje obliczeniowe spoin, a obliczenia wykonać dla danych:

P= 35 kN,a= 10 mm ,l = 50 mm, k_ts= 60 MPa

Rozwiązanie

a. KaŜda spoina przenosi silę wewnętrzną T_y=0,5P.

b. Powierzchnia obliczeniowa ścinania spoiny

2 4 3

3

-3 2 10 10 ) 10 10 3 10 m

10 (50 2a)a ( zo a

A =l_s⋅ = l- = ⋅ − ⋅ ⋅ ⁻ ⋅ ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻ c. Sprawdzenie warunku wytrzymałościowego bezpieczeństwa :

MPa t 60

k MPa 58,3 Pa 10 58,3 10

3 10 35 0,5 Azo

P 0,5 Azo

Ty

yz ₄ ⁶

3 = ⋅ = =

⋅

⋅

= ⋅

= ⋅

= ₋ <

ττττ

Warunek jest spełniony

6

Skręcanie pręta o przekroju kołowym

jest przypadkiem takich sił zewnętrznych P_i , R_i działa- jących na pręt , dla których uzyskuje się obciąŜenia wew- nętrzne przekrojów pręta zawierające róŜny od zera tylko moment skręcający M_s.

7 Przekazywanie zewnętrznego momentu obrotowego

wywołuje wewnątrz wału wewnętrzny moment skręcający, który zmienia się wzdłuŜ długości wału

Wał napędowy przekazuje zewnętrzny moment obrotowyM₁ od silnika do urządzeń napędzanych momentamiM₂, M₃, M₄ Najczęstszy przypadek techniczny skręcania prętów

Wały napędowe

8

Obliczanie napręŜeń wywołanych przez moment skręcający w przekroju kołowym pręta

Zwykle oblicza się napręŜenieτ_ρρρρ jako napręŜe- nie wypadkowe dwu napręŜeń stycznych τ

zx,

τzy, działających w punkcie przekroju leŜącym na okręgu o promieniu

ρρρρ

,

ρρρρ (ρ)

(ρ)(ρ) (ρ) (ρ)

(ρ)(ρ) (ρ) (ρ)

(ρ) (ρ)

ρρρρ(ρ)

ττττ ττττ

ττττ

JO

Ms 2

zy 2

zx

32 2

4

4 d

r

J

==== ππππ ⋅⋅⋅⋅ ==== ππππ ⋅⋅⋅⋅

M_s– moment skręcający dla analizowanego przekroju kołowego,

J_o-biegunowy moment bezwładności analizo- wanego przekroju kołowego obliczany jako:

r,d– odpowiednio promień oraz średnica analizowanego przekroju kołowego.

9

Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa pręta skręcanego o przekroju kołowym

32 2

4

4 d

r

Jo====

ππππ

ππππ

S O S

O S

max

k

W r M J

M ==== ≤≤≤≤

ττττ ====

o

o W

r

J ==== ^-wskaźnik wytrzymałości przekroju kołowego na skręcanie, k_{s –} napręŜenie dopuszczalne materiału pręta na skręcanie.

Ms – moment skręcający dla analizowanego przekroju kołowego,

J_o-biegunowy moment bezwładności analizo- wanego przekroju kołowego obliczany jako:

r,d– odpowiednio promień oraz średnica analizowanego przekroju kołowego,

ττττ

10

Przykład obliczeniowy nr 2

m4

10 8 32 61,3

)4 10 3 (50 3,14 32

d4

Jo = ππππ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ −

Sprawdzić warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa na skręcanie prę- ta z przekrojem kołowym o średnicy d = 50 mm, jeŜeli moment skręca- jący ma wartość M_S= 2 kNm, a napręŜenie dopuszczalne materiału pręta na skręcanie wynosi k_S= 90 MPa.

Rozwiązanie

a. Obliczenie biegunowego momentu bezwładności przekroju pręta:

b. Obliczenie wskaźnika wytrzymałości przekroju pręta ma skręcanie:

c. Sprawdzenie warunku wytrzymałościowego bezpieczeństwa :

Warunek jest spełniony

3 6 3

8 o

o

o 24,5 10 m

10 50

10 61,3 2 d 2J r

W J ⁻

−

− = ⋅

⋅

⋅

= ⋅

=

=

MPa s 90

k MPa 81,6 Pa 10 81,6 10

24,5 10 2 Wo Ms max

6 6

3 = ⋅ = < =

⋅

= ⋅

= ₋

ττττ

11

Zginanie z równoczesnym skręcaniem

jest przypadkiem takich sił zewnętrznych P_i , Ri działających na element mechaniczny, którym, w najbardziej naraŜonym na zniszczenie przekroju tego elementu, odpowiadają obciąŜenia wewnętrzne zawierające róŜne od zera tylko dwa momenty:

• moment zginający Mx lub My ,

• moment skręcający M_s.

12

Zginanie z równoczesnym skręcaniem (c.d.)

Zginanie z równoczesnym skręcaniem wywołuje w materiale równoczesne występowanie napręŜeń normalnych i stycznych.

W takich przypadkach, ocenę bezpieczeństwa materiału przeprowadza się analizując zastępczy stan napręŜeń

nazywany wytęŜeniem.

WytęŜenie, to

W praktyce inŜynierskiej parametrem wytęŜenia materiału jest tzw. napręŜenie zredukowane

σσσσ

za pomocą hipotez wytęŜeniowych.

jednoosiowy stan napręŜeń głównych, którym zastępuje się rzeczywisty stan napręŜeń

w celu oceny tego stanu ze względu na wytrzymałość materiału.

13

Hipotezy wytęŜeniowe - obecnie stosowane

zaleŜność algebraiczna, która dla zadanego stanu napręŜeń rzeczywistych słuŜy do obliczeńnapręŜenia zredukowanego

σσσσ

Pierwszą hipotezę wytęŜeniową opracowano w XVII w.

(Galileusz, Leibnitz)

• hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego (Huber, von Mises, Hencky – początek XX w.)

stosowana dla materiałów spręŜysto-plastycznych, Obecnie stosowane hipotezy:

Hipoteza wytęŜeniowa to:

jako parametru oceny tego stanu ze względu na wytrzymałość materiału

• hipoteza największego wydłuŜenia względnego (de Saint – Venant, Poncelet – pierwsza połowa XIX w.)

stosowana dla materiałów spręŜysto - kruchych.

14

Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego (Hubera-Misesa)

Dla płaskiego (dwuosiowego) stanu napręŜeń głównych

g 2

max s 2

max g

red ==== σσσσ ++++3ττττ ≤≤≤≤k

σσσσ

σσσσgmax –maksymalne napręŜenie od zginania w materiale spręŜysto- plastycznym,

ττττ_smax–maksymalne napręŜenie od skręcania w materiale spręzysto- plastycznym ,

k_g– napręŜenie dopuszczalne dla zginania materiału spręŜysto- plastycznego.

r red ==== σσσσ₁²++++σσσσ₂²−−−−σσσσ₁⋅⋅⋅⋅σσσσ₂ ≤≤≤≤k

σσσσ

σ1, σ2 – parametry stanu rzeczywistych napręŜeń głównych w materiale spręŜysto-plastycznym,

Dla zginania z równoczesnym skręcaniem k_r– napręŜenie dopuszczalne dla rozciągania materiału spręŜysto-

plastycznego.

15

Hipoteza największego wydłuŜenia względnego

r 2 1

red ====

σ

σ

σ

) ( _{gmax g}²_max ²_smax

1 0,5 σ

σ

σ _{==== ++++ ++++}

) ( _{gmax g}²_{max s}²_max

2 0,5 σ

σ

σ _{==== −−−− ++++}

σσσσgmax– maksymalne napręŜenie od zginania w materiale spreŜysto- kruchym,

ττττ_smax–maksymalne napręŜenie od skręcania w materiale spreŜysto- kruchym.

ν ν ν

ν –liczba Poissona ,

σ1, σ2 – parametry stanu rzeczywistych napręŜeń głównych w materiale spręŜysto-kruchym,

Dla zginania z równoczesnym skręcaniem

k_r– napręŜenie dopuszczalne na rozciąganie materiału spręŜysto-kruchego.

Dla płaskiego (dwuosiowego) stanu napręŜeń głównych (de Saint – Venanta)

16

Przykład obliczeniowy nr 3

Sprawdzić warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa pręta stalowego równocześnie zginanego i skręcanego, dla napręŜeń: σσσσgmax= 150 MPa,

ττττsmax= 50 MPa, k_g= 180 MPa.

a. Pręt jest wykonany z materiału spręŜysto-plastycznego, stąd do spraw- dzenia warunku wytrzymałościowego bezpieczeństwa tego pręta naleŜy zastosować hipotezę wytęŜeniową Hubera –Missesa.

b. Sprawdzenie warunku wytrzymałościowego bezpieczeństwa:

Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa jest spełniony Rozwiązanie

MPa g 180

k MPa 173,2 50

3 2 150

3 smax 2

σgmax

red ==== ++++ ττττ ==== ²++++ ⋅⋅⋅⋅ ² ==== <<<< ====

σσσσ

17

Przykład obliczeniowy nr 4

Wspornik wykonany z Ŝeliwa jest równocześnie zginany i skręcany. Spraw- dzić warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa wspornika dla napręŜeń : σσσσgmax= 50 MPa,ττττsmax= 30 MPa, k_r= 60 MPa.

a. Wspornik jest wykonany z materiału spręŜysto-kruchego, stąd do sprawdzenia warunku wytrzymałościowego bezpieczeństwa wspornika naleŜy zastosować hipotezę wytęŜeniową de Saint-Venanta.

b. Obliczenie napręŜeniaσσσσ1:

Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa nie jest spełniony Rozwiązanie

MPa 14,1 2) 30 2 4 50 (50 0,5

0,5 2 4 _smax²

gmax gmax

1= (σσσσ − σσσσ + ττττ )= ⋅ − + ⋅ =− σσσσ

MPa 64,1 2) 30 2 4 50 (50 0,5

0,5 2 4 _smax²

gmax gmax

1= (σσσσ + σσσσ + ττττ )= ⋅ + + ⋅ = σσσσ

c. Obliczenie napręŜenia σσσσ2:

d.Sprawdzenie warunku bezpieczeństwa dla liczby Poissona Ŝeliwaν_{= 0,27} MPa r 60 k MPa 67,9 14,1) ( 0,27 2 64,1

1

red=σσσσ −νννν⋅σσσσ = − ⋅ − = > =

σσσσ

Koniec wprowadzenia nr 6