Egzamin z matematyki dyskretnej (przykładowe pytania)

Egzamin z matematyki dyskretnej (przykładowe pytania)

test wielokrotnego wyboru

1. Prawdziwe s ˛ a nast˛epuj ˛ ace zale˙zno´sci (a) [_____] (log ₅ n) ⁵ = θ (3 lg n − 5).

(b) [_____] 2 ⁿ = o(3 ⁿ ).

(c) [_____] n!lg n = ω(n! + n ¹⁰ ).

2. Niech f , g : N → R b˛ed ˛ a funkcjami asymptotycznie dodatnimi. Wówczas (a) [_____] je´sli f (n) = Ω(g(n)), to dla dowolnej stałej c > 0, f (n) = O(cg(n)).

(b) [_____] je´sli lim

n→∞

f (n)

g(n) = ∞, to f (n) = O(g(n)).

(c) [_____] je´sli f (n) = o(g(n)), to f (n) = O(g(n)).

3. Twierdzenie o rekurencji uniwersalnej ma zastosowanie w szacowaniu asympto- tycznego czasu działania

(a) [_____] algorytmów typu „dziel i zwyci˛e˙zaj”.

(b) [_____] mi˛edzy innymi: sortowania przez scalanie oraz wyszukiwania bi- narnego.

(c) [_____] jedynie algorytmów działaj ˛ acych w czasie wykładniczym.

4. Funkcja _1−3z ¹ − 1 jest funkcj ˛ a tworz ˛ ac ˛ a ci ˛ agu (a) [_____] a _n = 3 ⁿ , dla n > 0 i a 0 = 0.

(b) [_____] a _n = 3 ⁿ , dla n ≥ 0.

(c) [_____] a ₀ = −1, a n = (−3) ⁿ dla n ró˙znych od 0 i podzielnych przez 3 oraz a _n = 0 dla pozostałych warto´sci n.

5. Rozwa˙zmy rekurencj˛e a _n = 4a n−2 − a _n−3 − 5. Wówczas (a) [_____] jest to rekurencja liniowa, jednorodna.

(b) [_____] jest to rekurencja rz˛edu trzeciego.

1

(c) [_____] rozwi ˛ aniem szczególnym tej rekurencji jest ci ˛ ag y _n = ⁵ ₂ . 6. Prawdziwe s ˛ a nast˛epuj ˛ ace zdania

(a) [_____] W zbiorze S:={1,...,1000} istnieje 142+333=475 liczb, które s ˛ a podzielne przez 7 lub przez 3.

(b) [_____] Graj ˛ ac w pokera tali ˛ a zło˙zon ˛ a z 24 kart, mo˙zna wylosowa´c figur˛e

"kareta" (4 karty tej samej wysoko´sci + 1 karta innej wysoko´sci) na 6 · ²⁰ ₁
sposobów.

(c) [_____] Z talii 52 kart mo˙zna wyci ˛ agn ˛ a´c 20 kart tak, aby w´sród nich były co najmniej 2 króle na ⁴ ₂
· ⁵⁰ ₁₈
sposobów.

7. Niech dane b˛ed ˛ a zbiory A := {a, b, c, d, e, f , g}, B := {0, 1, 2, 3, 4}. Wtedy (a) [_____] z elementów zbioru B mo˙zna utworzy´c 200 czterocyfrowych liczb

nieparzystych.

(b) [_____] istnieje co najmniej jedna funkcja ró˙znowarto´sciowa f : A → B.

(c) [_____] istnieje 5 ⁷ funkcji f : A → B.

Prawd ˛ a jest, ˙ze

8. (a) [_____] dla ka˙zdej liczby całkowitej z zachodzi równo´s´c: z =  _z

2  +  ₂ ^z .

(b) [_____] bxc + b−xc = 0, dla x = − ³ ₂ .

(c) [_____] dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x zachodzi równo´s´c: x − 1 < dxe ≤ x.

9. Cykl w grafie nieskierowanym jest

(a) [_____] ´scie˙zk ˛ a o długo´sci co najmniej 3.

(b) [_____] ´scie˙zk ˛ a zamkni˛et ˛ a.

(c) [_____] ´scie˙zk ˛ a przechodz ˛ ac ˛ a przez ka˙zdy wierzchołek grafu dokładnie raz.

10. Funkcja e ^z − z − 1 jest funkcj ˛ a tworz ˛ ac ˛ a ci ˛ agu (a) [_____] a _n = _n! ¹ .

(b) [_____] a _n = _n! ¹ dla n ≥ 2 i a ₀ = a ₁ = 0.

(c) [_____] a _n = ¹ _n dla n ≥ 1 i a ₀ = 0.

11. Funkcja ln 

1 1−z



+ 1 jest funkcj ˛ a tworz ˛ ac ˛ a ci ˛ agu (a) [_____] a _n = _n! ¹ .

(b) [_____] a _n = ¹ _n dla n ≥ 1 i a ₀ = 1.

2

(c) [_____] a _n = ¹ _n dla n ≥ 1 i a ₀ = 0.

Twierdzenie o rekurencji uniwersalnej

Załó˙zmy, ˙ze a ≥ 1 i b > 1 s ˛ a stałymi, f jest funkcj ˛ a okre´slon ˛ a na zbiorze liczb natural- nych, a T jest zdefiniowane dla liczb całkowitych n ≥ n ₀ wzorem T (n) = aT ⁿ _b
+ f (n), gdzie ⁿ _b oznacza  _n

b  lub  ⁿ _b  oraz T (n) = θ (1) dla pocz ˛ atkowych n. Wówczas:

(1) je˙zeli istnieje ε > 0 takie, ˙ze f (n) = O(n ^log

^a−ε ), to T (n) = Θ(n ^log

^a ), (2) je˙zeli f (n) = Θ(n ^log

^a ), to T (n) = Θ(n ^log

^a lg n),

(3) je˙zeli

• istnieje ε > 0 takie, ˙ze f (n) = Ω(n ^log

^a+ε ),

• istnieje stała 0 < c < 1 taka, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n ∈ N zachodzi:

a f (n/b) ≤ c f (n), to T (n) = Θ( f (n)).

12. Przypu´s´cmy, ˙ze czas działania algorytmu A ₁ (jako funkcja ilo´sci danych wej´sciowych n) zadany jest rekurencj ˛ a T ₁ (n) = 3T ₁ (n/3) + 1, a czas dzia- łania algorytmu A ₂ - rekurencj ˛ a T ₂ (n) = T ₂ (n/3) + n. Wówczas, na mocy twierdzenia o rekurencji uniwersalnej

(a) [_____] T ₁ (n) = o(T ₂ (n)) (algorytm A 1 jest istotnie szybszy od algorytmu A ₂ ).

(b) [_____] T ₁ (n) = ω(T 2 (n)) (algorytm A 1 jest istotnie wolniejszy od algoryt- mu A ₂ ).

(c) [_____] rz˛edy wielko´sci czasów działania tych algorytmów s ˛ a jednakowe.

3