Metody Przetwarzania Danych Meteorologicznych Wykład 10

Metody Przetwarzania Danych Meteorologicznych

Wykład 10

Krzysztof Markowicz Instytut Geofizyki UW

kmark@igf.fuw.edu.pl

2

Elementy teorii procesów stochastycznych, definicje

• Proces stochastyczny nazywany też procesem losowym lub funkcją stochastyczną (losową) od jednej zmiennej może być definiowany na wiele

sposobów.

• Rozpatrzymy tu dwie równoważne definicje (choć dowód ich równoważności nie jest oczywisty i

zostanie tu pominięty):

3

Definicja I (naturalna interpretacja)

• Proces stochastyczny to rodzina funkcji zależnych od zmiennej (często czasu t) i parametru losowego C:

(t,C)

• Parametr losowy C należy rozumieć jako zmienną losową o pewnej dystrybuancie.

• Interesują nasz następujące trzy przypadki:

(1) Funkcja określona na przedziale: atb (2) Funkcja określona na całej osi czasu.

(3) Funkcja określona na dyskretnym, nieskończonym ciągu punktów czasowych.

Każda realizacja (funkcja z rodziny (t,C)) odpowiada konkretnej wartości C.

Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są

zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).

4

Przykład

Przebieg zmian temperatury w styczniu w okresie 30 letnim dla określonej stacji meteorologicznej.

Mamy więc 30 realizacji – każdy z nich może być uważany jako jedną z realizacji o prawdopodobieństwie 1/30 a za parametr C przyjąć numer kalendarzowy roku.

Nie musimy znać wyrażenia analitycznego określającego (t,C) . Znajomość wszystkich przebiegów jest wystarczająca. W

zależności od potrzeb możemy je traktować jako komplet danych określających proces lub jego próbkę.

C należy rozumieć jako zmienną losową o pewnej określonej dystrybuancie; niekiedy może być dogodnie przyjąć, że jest to zmienna losowa wielowymiarowa).

Dwa pierwsze przypadki określamy jako procesy ciągłe, trzeci - jako proces dyskretny; w tym ostatnim przypadku używa się też niekiedy terminu szereg czasowy.

5

Definicja II

uogólnienie pojęcia wektora losowego

• Mówimy, że proces stochastyczny (t,C) to taki, że dla dowolnie licznego ciągu punktów t [t₁,…t_n] oraz dla dowolnego wektora [(t1),…,(tn)] znamy rozkład prawdopodobieństwa.

• W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem

czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym)

6

Uwaga

• Proces losowy nie jest po prostu zmienną losową zależną od t (choć taką funkcję określa) a tworem matematycznym pojęciowo innym! Ilustruje to następujący przykład:

• Weźmy dwa przebiegi przedstawione na rysunkach 1,2 i rozpatrzmy dwa różne procesy losowe przez nie ilustrowane

• Każdy z nich składa się z dwóch realizacji reprezentowanych odpowiednio przez linie ciągłą i przerywaną, występujące z prawdopodobieństwem np. 0,5. Oba generują tę samą dyskretną zmienną losową zależną od czasu, posiadającą w każdej chwili dwie wartości występujące z prawdopodobieństwem 0,5 za

wyjątkiem punktu czasowego 0,5 w którym ma jedną wartość występującą z prawdopodobieństwem 1.

•

7

Proces losowy tworzy zmienną losową zależną od czasu – nie odwrotnie!

• Proces losowy ciągły to uogólnienie pojęcia wektora losowego n-wymiarowego na wymiar nieskończony (continuum).

• Proces losowy dyskretny to uogólnienie na wymiar

nieskończony (przeliczalny). W praktyce zawsze mamy skończony ciąg danych a więc – wektor n-wymiarowy (skończony) co najwyżej aproksymujący pewien idealny proces losowy dyskretny lub ciągły.

• Idealizowane pojęcie procesu losowego wprowadzane jest ze względu na jego zalety teoretyczne.

• Na procesach losowych, których realizacje są

różniczkowalne lub całkowalne możemy wykonywać

operacje różniczkowania i całkowania otrzymując w wyniku inne procesy losowe.

8

• W przypadku całek oznaczonych postaci

otrzymujemy funkcjonały będące zmiennymi losowymi - funkcjami od losowego parametru C .

• Uogólnieniem procesów stochastycznych na przypadek

funkcji wielu zmiennych są pola stochastyczne (losowe), w których jednowymiarowy parametr t zastępowany jest

n-wymiarowym punktem.

• Innym uogólnieniem procesu losowego są wielowymiarowe procesy i pola losowe, tzn. funkcje i pola wektorowe zależne dodatkowo od parametru losowego.

• Większość interesujących nas własności procesów stochastycznych rzeczywistych, zależnych od jednej

zmiennej rzeczywistej, przenosi się w sposób trywialny na te uogólnienia, więc dla uproszczenia rozważań zajmiemy się głównie tymi pierwszymi.

• Niektóre własności pól w sposób istotny należące od wielowymiarowości argumentu lub wartości procesu omówimy w dalszej części.

 



dt C

 t,

9

Charakterystyki rozkładów

prawdopodobieństwa dla procesów losowych - uśrednianie

• Ponieważ proces zależy od parametru C, którego gęstość rozkładu ρ(C)

uważamy za znaną, możemy wprowadzić uśrednianie procesu według wzoru

jest to tzw. średnią po realizacjach (np. średni przebieg temperatury w styczniu), która jest oczywiście już

funkcja „zwykłą” deterministyczna a nie losową. Nie należy mylić ze średnią „po czasie” daną wzorem:









 t C C dC

t) , ( )

(  



  

  ^b

a

dt C a t

C b1 ,

)

( 



przy ustalonej wartości C, tzn. dla określonej realizacji.

10

• W podobny sposób możemy wprowadzić momenty

wyższych rzędów (zwykłe i centralne) a w szczególności drugi moment centralny – wariancję.

• Zauważmy, że operacja uśredniania po realizacjach jest liniowa i przemienna z różniczkowaniem i całkowaniem po czasie.

• Podobnie jak w przypadku zmiennych losowych, w praktyce, operując zbiorami danych empirycznych, możemy mieć

problem z ustaleniem rozkładu prawdopodobieństwa (np. w przypadku 30 miesięcznych przebiegów trudno jest każdemu przypisać sensownie jakieś prawdopodobieństwo).

• Można natomiast łatwo wziąć średnią arytmetyczną. Zamiast więc posługiwać się pełnym rozkładem, zwracamy się ku

parametrom, które łatwiej uzyskać (np. momentom) a które w licznych wypadkach zawierają wystarczającą informację o badanym procesie.

• Generalnie, przy badaniu właściwości procesów losowych lub ich stosowaniu na ogół nie korzystamy z pełnej informacji o strukturze procesu (często niedostępnej) a operujemy

jedynie pewnymi wybranymi charakterystykami.

11

• Mając dany proces losowy φ(t) możemy od niego

odjąć jego średnią, uzyskując równoważny mu proces centrowany

taki, że

• W dalszym ciągu często zakładać będziemy, celem uproszczenia rozważań i rachunków, że rozpatrywane procesy są centrowane.

0 )

(t 



) t ( )

t ( )

t

(   



12

Funkcja korelacyjna

Do najczęściej stosowanych charakterystyk procesów

losowych należą momenty wielopunktowe a w szczególności tzw. funkcje korelacyjne.

Analogicznie jak dla współrzędnych wielowymiarowej zmiennej losowej, dla procesu losowego rozpatrujemy momenty wiążące wartości procesu w różnych punktach czasowych, tzn. wyrażenia postaci: Mt₁,...,t_n  ^1 t₁ ...^n  t_n

) ( ) ( )

,

(t₁ t₂ t₁ t₂

K  

W przypadku, gdy wszystkie wykładniki są równe 1, mówimy o n-punktowej funkcji korelacyjnej. W szczególności

interesująca jest funkcja korelacyjna dwupunktowa, zwana też funkcją autokorelacyjną (w odróżnieniu od funkcji cross- korelacyjnej, wiążącej dwa różne procesy losowe – dwie

składowe procesu wielowymiarowego)

która reprezentuje kowariancję między (t₁) i (t₂). Jest ona symetryczna ze względu na t₁ i t₂ i równa wariancji gdy t₁ = t₂.

13

• Czasem używa się funkcji korelacyjnej w postaci znormalizowanej (współczynnika korelacji):

     

   

 

 _{1 1}^{1 2}  _{2 2}

2 2 2

1

2 1

2

1 , ,

, ,

t t K t

t K

t t K t

t

t t t

t

R  









• Funkcja korelacyjna obrazuje związek pomiędzy dwoma kolejnymi punktami czasowymi procesu. Jeśli współczynnik

korelacji wynosi 1, to związek jest deterministyczny i liniowy (z prawdopodobieństwem 1).

• Funkcja korelacyjna, zwłaszcza w postaci znormalizowanej, stanowi w pewnym sensie miarę „pamięci” procesu, tzn.

względnej wielkości składowej deterministycznej związku

pomiędzy wartościami procesu w sąsiednich chwilach czasowych.

• Gdy wartość jej osiąga zero, oznacza to, że wartości procesu w tych punktach są nie skorelowane ( w praktyce – niezależne), tak jakby proces w punkcie t₂ „zapomniał” jaką miał wartość w punkcie t₁.

• Gdy ma wartość, procesu w punkcie t₂ jest ( z

prawdopodobieństwem 1) liniową funkcją jego wartości w punkcie t₁.

14

• W licznych procesach występujących w praktyce

przetwarzania danych obserwuje się stopniowe dążenie

funkcji autokorelacyjnej do zera, w miarę oddalania się t₂ od t₁.

• Jeżeli proces losowy będziemy aproksymować n-

wymiarowym wektorem losowym to funkcja autokorelacyjna procesu przejdzie na macierz korelacyjną tego wektora.

• Jeśli, stosując odpowiednie przekształcenie liniowe,

sprowadzimy macierz korelacyjną do postaci diagonalnej, jej wyrazy reprezentować będą wariancje składowych

przekształconego wektora losowego, a więc wielkości nieujemne.

• Oznacza to, że macierz korelacyjna musi być dodatnio określona, tzn. dodatnio określona będzie opisywana przez nią forma kwadratowa. Można udowodnić, że

własność ta przenosi się na funkcję korelacyjną procesu, tzn. dla dowolnego procesu ψ(t) zachodzi:

 ₁, ₂    _{1 2 1 2}  0

 

a b

a

dt dt t t

t t

K  

15

• Tak więc funkcja korelacyjna jest dodatnio określona jako jądro operatora całkowego

• Funkcje korelacyjne są charakterystykami często używanymi praktyce i są wtedy wyznaczane na podstawie dyskretnych danych pomiarowych.

• Pojawia się więc często problem ich aproksymacji przy pomocy jakichś prostych funkcji analitycznych.

Trzeba wówczas pamiętać, by funkcja aproksymująca była dodatnio określona.

   



dt t t

t

K ₁, ₂  _{1 1}

16

Własności

• Macierz korelacyjna jest symetryczna ze względu na t₁ i t₂ : K(t₁,t₂)=K(t₂,t₁)

• Dodatnio kreślona jako jądro operatora całkowego.

0 '

dt dt ) 't ( e ) t ( e ) t , t ( K

b

a b

a

2

1 



) t , t ( K ) 't ,' t ( K

) 't , t ( ) K

't , t (

R  Wielkość mówi nam jak

szybko funkcja losowa z biegiem czasu zapomina o swoim początku.

) t ( )...

t ( ) t ( )

t ,..., t

, t (

K _{1 N}    ₁  _N

Funkcja korelacyjna N- tego rzędu

17

Funkcje strukturalne

• Ogólna postać funkcji strukturalnych:

• Najprostszym przykładem jest wariancja różnicy funkcji w różnych chwilach czasu

• Funkcja strukturalna II rzędu daje się wyrazić przez funkcje korelacyjne.

18

• Jeżeli założymy, że przestrzeń funkcyjna, z której pochodzą realizacje procesu jest ośrodkową

przestrzenia L² (funkcji całkowalnych z kwadratem), tzn.

posiada przeliczalną bazę funkcji na których szereg możemy rozwinąć każda z tych realizacji (a założenie takie w stosunku do funkcji potrzebnych w

zastosowaniach fizycznych jest z reguły dopuszczalne), możemy szukać przedstawienia procesu w postaci

szeregu funkcji bazowych z współczynnikami będącymi zmiennymi losowymi

Rozwinięcie procesu losowego w szereg

  

 





1 i

i ie t

t 



gdzie _i jest współczynnikiem losowym, e_i(t) nielosową funkcją bazową zależną od czasu. Możliwe jest rozwinięcie odwrotne tzn. że _i są liczbami zaś e_i(t) funkcjami losowymi.

Przyjmujemy jednak pierwsze podejście.

19

• W dalszym ciągu zakładać będziemy że są one unormowane, tzn. że,

• oraz, że proces φ(t) jest wycentrowany, tzn.

• Założenia te nie ograniczają ogólności rozważań.

• Zbieżność powyższego rozwinięcia definiować można stosując rozmaite kryteria (metryki). Można na przykład dokonać następującego podziału:

1 )

2( 

^{b e t dt}

a i

0 ) t ( 



 t e  t R t

n i

i

i 





1





  

 n

i

i ie t

1

 skończony szereg R

 

i szukać takiego rozkładu, aby średnia po czasie wariancji R była minimalna, a w granicy dążyła do zera:

 





a

n b

a

dt t R dt

t

R² min ² 0

20

Przypadek w którym współczynniki _i są parami nieskorelowane

jest szczególny. Można wtedy zapisać:

i w ten sposób wyznaczyć wartości _k.

W dalszym ciągu tak będziemy rozumieli zbieżność ciągów procesów losowych określonych na domkniętych

przedziałach

21

Rozwinięcie kanoniczne

• W przypadku gdy mamy ortogonalne funkcję bazowe oraz przy braku korelacji wszystkich par i j mówimy o

rozwinięciu kanonicznym.

ortogonalność funkcji bazowych

ij 2

i j

i   

 brak korelacji współczynników losowych

Powstaje pytanie, czy dla każdego procesu można znaleźć bazę dającą rozwinięcie kanoniczne. Okazuje się, że tak.

Aby to pokazać, załóżmy hipotetycznie, że rozwinięcie takie istnieje. Funkcja autokorelacyjna procesu daje się wówczas przedstawić w postaci:

22

• Nietrudno sprawdzić, że funkcje bazowe spełniają następujące równanie całkowe:

(*) funkcja

autokorelacyjna

     

2e t K t t e_k t dt

b

a k

k ^





czyli są funkcjami własnymi operatora całkowego z jądrem K(t,t’) a - jego wartościami własnymi.

•Rozumowanie to można odwrócić na mocy teorii Hilberta-

Schmidta równań całkowych z jądrem symetrycznym, jakim w szczególności jest każda dostatecznie regularna funkcja

autokorelacyjna. Wynika z niej, że zbudowane na niej

równanie całkowe (**) posiada rzeczywiste, dodatnie wartości własne a jej funkcje własne tworzą ciąg ortogonalny (po

normalizacji – ortonormalny), pozwalający na rozwinięcie postaci (*) .

2

k

(**)

23

• W przypadku nieskończonej liczby wartości własnych tworzą one ciąg dążący do zera, .

• Losowe współczynniki rozwinięcia kanonicznego znajdujemy ze znanego wzoru dla współczynników rozwinięć na szeregi ortogonalne:

• Wariancja procesu jako funkcja t przyjmuje postać:



 k² k 0



dt t e t

b

a

k k ^





) ( )

, ( )

( ^{2 2}

2 t K t t e t

k

k





 



2

k

co pozwala interpretować poszczególne jako „wkłady”

poszczególnych funkcji bazowych rozwinięcia w wariancję

procesu. Jeszcze wyraźniej przedstawia się ta interpretacja w odniesieniu do wariancji procesu scałkowanej po czasie:

 







a i

i b

a

dt t dt

t t

K , ²  ²

24

• Zwykle numerujemy i tak, aby tworzyły ciąg monotonicznie malejący.

• Funkcje własne funkcji autokorelacyjnej stosowane w rozwinięciu kanonicznym noszą w literaturze różne nazwy: naturalne funkcje ortogonalne, empiryczne funkcje ortogonalne (empirical ortogonal

functions – EOF), principal components, i inne.

Zwłaszcza skrót EOF jest bardzo popularny i w dalszym ciągu będziemy z niego korzystać.

25 k

i

i

ie (t) / )

t

(   















i

i i

2 i

i k

k i

k

i e (t)e ( 't) e (t)e ( 't) )

't ( ) t (

mnożąc przez _k a następnie uśredniając mamy

) t ( e )

t

(

k

  



losowych

 





i

2 i b

a i

2 i 2

i b

a i k

k i

k i b

a

2dt e (t)e ( 't)dt e (t)dt

) t (

Uśrednijmy iloczyn funkcji  dla różnych chwil czasu

26





 ^b

a

i

i (t)e (t)dt

ik k

i b

a b

a

k i

b

a k

i  (t)( 't)e (t)e ( 't)dtdt' e (t)e ( 't)dt  



 







b

a

' dt ) 't ( e ) 't , t ( K )

t (

e Zagadnienie własne , równanie całkowe z jądrem symetrycznym Hilberta-

Schmitta





i

i i

ie (t)e ( 't) )

't , t (

K gdzie e_i(t) oznacza unormowane

funkcje własne

Obliczmy czy współczynniki  będą nieskorelowane

Czyli jest to rozwinięcie kanoniczne!

27

Rozwinięcie całkowe

• e(t,) opisuje rodzinę funkcji

• jeśli istnieje (), że nasz proces losowy da się przedstawić w postaci





 ^d

c

d ) , t ( e ) ( )

t (



























a b

a d

c b

a

2dt ( ) ( ')e( ,t)e( ,'t)d d 'dt

) t (

To mówimy, iż jest to kanoniczne rozwinięcie całkowe

Rozwinięcie jest naturalne gdy: _{e(t, )e(t, )dt ( )}

2 1

b

a

2

1     















c b

a

2 ()(')  I()(  ')

28

Posługiwanie się rozwinięciem kanonicznym

• Rozwinięcie w szereg funkcji bazowych pozwala zastąpić ciągły proces stochastyczny, dyskretnym ciągiem współczynników, w przypadku rozwinięcia kanonicznego szczególnie wygodnym rachunkowo.

• Podając ich wartości możemy, przy znanych funkcjach

bazowych, wybrać konkretną realizację procesu o określonym prawdopodobieństwie wystąpienia.

• Na ogół funkcje bazowe mają, jako ortogonalne, charakter

oscylacyjny, więc mogą charakteryzować składowe o różnych skalach; często (choć nie zawsze), mają one czytelną

interpretację fizyczną.

• W zastosowaniach z reguły występują rozwinięcia obcięte na pewnej liczbie pierwszych wyrazów, dające pewne przybliżenie procesu a charakteryzowane przez skończony ciąg

współczynników.

• Scałkowana po czasie wariancja reszty (sumy obciętych wyrazów) jest dogodną, czytelną miarą błędu takiego skończonego rozwinięcia.

29

• Często scałkowana wariancja kilku pierwszych wyrazów, wyznaczona przez sumę odpowiadających im wartości własnych funkcji autokorelacyjnej, stanowi tak znaczący ułamek wariancji całkowitej, że w praktyce można się do nich ograniczyć.

• W zastosowaniach do materiału empirycznego, zawsze mamy do czynienia ze skończoną liczbą danych i zamiast procesu ciągłego mamy aproksymujący go wektor losowy, ale często o bardzo wysokim wymiarze.

• Funkcja autokorelacyjna przechodzi wówczas w macierz korelacyjną tego wektora, a problem szukania EOF do

sprowadzania tej macierzy na osie główne, tzn. szukania jej wartości i wektorów własnych stanowiących przybliżenie

EOF.

• Zastosowanie tych ostatnich jako bazy i obcięcie

rozwinięcia na względnie małej liczbie pierwszych wyrazów, pozwala często, przy niewielkiej stracie dokładności, (w

dodatku łatwej do oszacowania) bardzo ograniczyć wymiar wektora, którym się operuje.

30

Przykład I : Przebieg zmian temperatury w styczniu nad określonym punktem w ciągu 30 kolejnych lat.

Oznaczmy przez:

• T_ik - temperatura i-tego dnia w k-tym roku, mierzona jako odchylenie od średniej 30-letniej; i – mierzy czas, k – numeruje realizacje.

• Uśrednianie po realizacjach to sumowanie po k i dzielenie przez 30;

• Całkowanie po czasie to sumowanie po i (i ewentualnie dzielenie przez 31 by uzyskać średnią po czasie).

• Funkcja autokorelacyjna jest tu macierzą symetryczną postaci

i,j = 1,...,31,

• Zagadnienie własne:

s = 1,...,31 (kolejne dni stycznia)

30 0 1 ³⁰

1

 

 k

Tik

jk k

ik

ij T T

K 



 ³⁰ 30 1

1

) ( 2 )

31 ( 1

s i s s

j j

ije e

K  



31

• Zagadnienie własne daje po rozwiązaniu 31 równań

• Mamy 31-wymiarowych parami ortogonalnych wektorów własnych e_i(s) ,których kombinacje liniowe postaci:

• (***)

ip s

i s

s

p e  T



) 31 (

1

)

 (



 ³¹

1

) ( )

(

i

s i ip s

p T e



30 2 1

) (

30 1

s p

s

p 

 



pozwalających przy ustalonych współczynnikach β wyznaczyć temperaturę i-tego dnia w p-tym roku. Współczynniki

spełniają równość:

Ograniczając we wzorze (***) sumowanie po s do np. 5

pierwszych wyrazów uzyskujemy przybliżoną reprezentacje procesu obejmującą 5*30=150 liczb zamiast pierwotnych 30*31=930

32

Jeżeli się przy tym okaże, że:

 

  

31 

6

31 1

30 1

2 2

30 1

i i k

ik

i T



to uzyskujemy znaczną kompresję informacji kosztem relatywnie niewielkiego błędu mierzonego zsumowaną wariancją reszty odrzuconych wyrazów rozwinięcia.

Powyższy przykład nie jest może najlepszy ze względu na stosunkowo niewielkie liczby rozważanych danych lecz przy zdarzających się w praktyce sytuacjach gdy wchodzą w grę dziesiątki tysięcy pomiarów, taka kompresja jest

często bardzo użyteczna.

33

EOF-y w pól meteorologicznych

• Pole meteorologiczne Z(x,y,t) zapisujemy w postać szeregu N map (komponentów) zwanych EOF-ami.

EOF(x,y) – kolejny komponent szeregu

PC(t) – opisuje jak amplituda kolejnego EOF-u zmienia się w czasie (Principal component)

34

35

Przykład II

36

Wartości własne kolejnych ortogonalnych komponentów

2-wymiarowa

interpretacja wariancji danych

37

38

39

40

Przykład III

• Rozważmy 40-letnią analizę temperatury powierzchni oceanu (SST) w rejonie południowego Atlantyku. Dane pochodzą z miesięcznych anomalii SST bazy COADS.

• Trzy pierwsze mody EOF-u opisują 47% całkowitej

wariancji SST. Wkłady każdego z modów są następujące:

30% 11% oraz 6%.

41

42

43

Przykład IV

• Rozważmy sześć pól meteorologicznych (ciśnienie):

• Antycyklonalne, cyklonalne

• Przepływy strefowe: wschód-zachód oraz zachód wschód

• Przepływy południkowe: północ- południe, południe- północ

• Na podstawie czasowej sekwencji powyższych pół

wyznaczamy funkcje ortogonalne EOF-y. Trzy funkcje opisują całkowitą wariancję zmiennych.

• Oznacza to, że pola wyjściowe mogą być otworzone na postawie tylko trzech funkcji ortogonalnych i trzech

ciągów czasowych im odpowiadających.

• Pola cyklonalne i antycyklonalne są idealne odtwarzane, jednak zamiast przepływach strefowych i południkowych otrzymujemy ich kombinacje liniowe

44

45

• Nawet zastosowanie EOFów do pól ortogonalnych nie gwarantuje, że EOF-y otworzą nam pola

wyjściowe.

• W celu uniknięcia tego problemu stosuje się obrócone EOF-y (rotated EOF - REOF)

• W metodzie tej osłabia się warunek ortogonalności przestrzennej oraz braku korelacji czasowej kolejnych komponentów EOF-u

46

Metoda VARTMAX

• To jedna z metod obróconych EOF-ów

• Zakłada się w niej, iż funkcje bazowe są maksymalnie proste.

• Metoda ta jest bardziej subiektywna niż standardowe EOF-y gdyż zawiera więcej swobodnych parametrów, które muszą być zdefiniowane.

47

Kiedy używać EOF-u a kiedy REOF-u?

• Zależy to od rodzaju danych oraz celu analizy danych.

• Ponieważ EOF-u są idealnym narzędziem do redukcji zmienności danych do kilku podstawowych modów więc jeśli nie potrzebujemy fizycznej interpretacji danych a jedynie używamy ich do redukcji szumów, predykcji, czy rozpoznawania kolejnych modów to stosujemy EOF-u

• Jeśli zaś chcemy dokonać fizycznej interpretacji musimy używać REOF.

• Musimy pamiętać, iż nie ma powodów aby zmienność rzeczywistych danych meteorologicznych miała być zdeterminowana poprzez ortogonalne komponenty

48

EOF-y w matlabie - przykład

• Załóżmy, że macierz M zawiera dane meteorologicznej w każdej kolumnie znajduje się szereg czasowy parametru meteorologicznego dla równych stacji

• Centrujemy każdą z kolumn (stacja lub punkt węzłowy siatki) F=detrand(M,0)

• Obliczamy macierz kowariancji R=F’*F

• Obliczamy wartości własne oraz wektory własne macierzy kowariancji [C,L]=eig(R) lub [C,L]=eig(cov(M))

Wartości własne znajdują się na diagonali macierzy L,

odpowiadające im wektory własne są kolumnami macierzy C

• Obliczamy współczynniki rozwinięcia odpowiadające wartości własnej i: PCi=F*C(:,i)

• Wartość wariancji dla poszczególnych wartości własnych

• Diag(L)/trace(L)