Metody Przetwarzania Danych Meteorologicznych Wykład 5

Metody Przetwarzania Danych Meteorologicznych

Wykład 5

Krzysztof Markowicz Instytut Geofizyki UW kmark@igf.fuw.edu.pl

Asymilacja Danych Meteorologicznych

• To proces znajdywania reprezentacji modelu „najbardziej zgodnej” z obserwacjami meteorologicznymi.

• Asymilacja danych jest procesem polegającym na uzupełnieniu niekompletnych danych w pewnym modelu opisującym system dynamiczny

• Głównym problemem asymilacji danych są zróżnicowane źródła danych meteorologicznych: pomiary in-situ, pomiary satelitarnych, radarowe, lidarowych wykonywane w różnym czasie i w różnych miejscach na kuli ziemskiej. Np. Jak asymilować dane o

odbiciowości radarowej do modeli numerycznych prognoz pogody?

• Asymilacja danych jest bardzo złożonym procesem i można ją rozdzielić na dwa procesy;

• (a) pierwszy etap polega na sprawdzeniu jakości danych - to jest etap skomplikowany, ale prosty do zrozumienia. Chodzi o

wyeliminowanie oczywistych błędów pomiarowych;

• (b) drugim i ważniejszym etapem jest uzgodnienie danych i wykorzystanie informacji dostępnej z poprzednich godzin czy z poprzednich dni. Jest to skomplikowany proces polegający na

całościowej analizie danych dość często z wykorzystaniem modelu prognoz numerycznych.

Zarys historii

• Pierwsze metody asymilacji danych nosiły nazwą analizy obiektywnej (np. algorytm Cressmana, 1959). Było to

podejście przeciwne do metod subiektywnych opierających się na analizie pól meteorologicznych przez synoptyka

• Metody obiektywne wykorzystywały przybliżenia oparte na prostych technikach interpolacyjnych. Są to metody 2 lub 3D.

• Podobne metody w 4D (z czasem) noszą nazwę "nudging"

(np. w modelu MM5)

Bazują one na idei relaksacji Newtona, która ma za zadanie dodanie we właściwych członach równań dynamicznych modelu różnicy pomiędzy obliczonymi zmiennymi meteorologicznymi a wartościami

obserwacyjnymi. Człony te maja ujemny znak co pozwala utrzymywać obliczone wartości zmiennych (wektora stanu) w sąsiedztwie wartości obserwowanych (wektora

Przełomowe stało się wprowadzenie do asymilacji danych

statystycznej (optymalnej) interpolacji przez L. Gandin (1963).

Metoda jego bazowała na idei Kolmogorov. Jest ona pewnym rodzajem analizy regresyjnej, która wykorzystuje informacje o przestrzennym rozkładzie funkcji kowariancyjnych błędów

pierwszego przybliżenia (wcześniejszej prognozy) oraz rzeczywistego pola meteorologicznego. Chociaż funkcje te

nigdy jednak nie są znane to stosuje się szereg ich przybliżeń.

Optymalna interpolacja odpowiada zredukowanej wersji filtru Kalmana, gdy macierze kowariancji nie są liczone z równań dynamiki a wyznaczane na podstawie kolejnych przybliżeń pół.

• Wprowadzenie filtru Kalmana do asymilacji 4D jest bardzo trudnym zadaniem i wymaga rozwiązania dodatkowo

ogromnej ilości równań:

~N*N~10¹² , gdzie N=Nx*Ny*Nz jest rozmiarem wektora stanu, typowy rozmiar domeny obliczeniowej : Nx~100, Ny~100, Nz~100

• W celu uniknięcia tego problemu stosuje się specjalne wersje filtru Kalmana np

Reduced-Rank Kalman filters (RRSQRT)

Kolejnym rozszerzeniem metod 4D-Var jest wykorzystanie przybliżenia wariacyjnego (Le Dimet and Talagrand, 1986 wcześniej opracowane przez G. Marchuk)

• Uwzględnia ono fakt, iż pola meteorologiczne spełniają

równania dynamiki zawarte w model prognoz pogody. Tym samym minimalizują funkcjonał opisujący ich różnice w

stosunku do obserwacji.

• Jak pokazał Lorenz, 1986 wszystkie wspomniane powyżej metody 4D są równoważne (przy pewnych założeniach ) minimalizacji pewnej funkcji kosztu.

• W praktyce założenia te nigdy nie są jednak spełnione.

• Gwałtowny rozwój metody asymilacji danych

meteorologicznych do numerycznych prognoz pogody związany jest z dwoma zagadnieniami:

• wykorzystaniem obecnych obserwacji do poprawienia

jakości prognozy dla różnych skal przestrzennych (od skali planetarnej do skali ulic miasta) oraz czasowych

• wykorzystanie równych typów dostępnych obserwacji (sodary, radary,lidary), które gwałtownie rozwijają się

• Ciągle aktualnym pytaniem pozostaje: czy asymilacja danych pozwoli na przezwyciężenie trudności z

prognozowaniem stanów atmosfery?

Do czego używamy asymilacji danych

• Globalne i lokalne mapy synoptyczne ^(Primary

-Constrained Product)

• Niezmierzone wielkości (Primary - Derived Product) – Wiatr ageostroficzny, pionowe profile,

• Wyznaczane wielkości:

– Ruch pionowy / dywergencja, cyrkulacja residualna,

diabatyczne oraz radiacyjne własności, ozon troposferyzny

• Inicjalizacja prognozy

• Poprawki radiacyjne w metodach teledetekcyjnych

“Background,” (a priori profile dla metod teledetekcyjnych)

• Monitoring

• Kalibracja przyrządów

18

Główne strategie asymilacji danych

• Wykorzystuje się dwa główne podejścia:

• asymilacja sekwencyjna, w której wykorzystuje się

obserwacje wykonane przed rozpoczęciem analizy, która jest częścią „real-time assymilation systems”.

• asymilacja niesekwencyjna w której również obserwacje z

„przyszłości są wykorzystywane. Ma to miejcie w tzw.

re-analize.

• Podział ze względu na metody

• nieciągła (intermittent), w której obserwacje asymilowane są małymi porcjami co jest technicznie wygodną techniką

• ciągła (continuous), w której asymilowane są dane obserwacyjne z znacznie dłuższego okresu czasu.

Pozawala to na korekcje wektora stanu i jego wygładzanie co jest fizycznie bardziej realistyczne.

Definicje podstawowych wielkości

• Wektor stanu (x) opisujący stan układu. Jego związek z rzeczywistym stanem układu zależy od

dyskretyzacji co z matematycznego punktu widzenia związane jest z wyborem bazy.

• Wyróżniamy więc:

• x_t – prawdziwy wektor stanu (true state vector)

• x_b- wektor informacji a priori lub „background”

będącym oszacowaniem rzeczywistości przez wykonaniem analizy

• x_a – poszukiwany wektor (analiza)

• Problem analizy sprowadza się do znalezienia poprawek do stanu podstawowego x_b

Terminologia:

informacje a priori / a posteriori

• Informacje a priori – zawierają dane o systemie przed wykonaniem obserwacji. Są to najczęściej dane

klimatologiczne (background) lub wynik wcześniejszej prognozy.

• Informacje a posteriori (po fakcie)– określają naszą znajomość systemu (wektora stanu) po wykonaniu obserwacji.

Obserwacje

• Wektor obserwacji: y

• Operator obserwacji H, pozwala dokonać transformacji od wektora stanu (zdefiniowanego w modelu) do

wektora obserwacji. W praktyce jest to operator

związany interpolacją od dyskretnych punktów siatki modelu do nieregularnej sieci obserwacyjnej.

• H(x) – są wartościami obserwacyjnymi jakie

uzyskalibyśmy gdyby wektor stanu był idealny i model pozbawiony był błędów.

• Głównym zadaniem asymilacji danych jest

minimalizacja różnicy pomiędzy obserwacjami a wektorem stanu:

y-H(x)

24

Błędy i niepewności

• Ze względu na błędy zawarte w obserwacjach i w polu pierwszego przybliżenia (np. dane klimatologiczne)

musimy założyć pewien model błędów.

• Do tego celu wykorzystamy funkcji gęstości prawdopodobieństwa (pdf).

• Dla danego pierwszego przybliżenia x_b tuż przed

wykonaniem asymilacji mamy jeden wektor błędu, który oddziela to pole od pola rzeczywistego

Jeśli moglibyśmy wykonać to bardzo wiele razy w tych samych warunkach ale z różna realizacją błędów moglibyśmy obliczyć statystyki (średnia, wariancje, histogram ε_b). Dla bardzo dużej liczby realizacji moglibyśmy wyznaczyć gęstość

prawdopodobieństwa pdf i z niej wyznaczać wszystkie statystyki błędów.

• Błędy zerowego przybliżenia (background errors):

• Związana z nim kowariancja:

Nie zawierają one błędów dyskretyzacji

• Błędy obserwacyjne:

Zawiera błędy powstałe w czasie wykonywania obserwacji, ale również związanie z konstrukcja operatora H a więc zawiera błędy dyskretyzacji. H(x_t) nie jest perfekcyjnym obrazem prawdziwego stanu.

• Błędy analizy:

• Błąd wektora stanu dany jest przez ślad macierzy kowariancji.

• Naszym zadaniem jest minimalizacja tego błędu

• Średni błąd (obciążenie) określa błąd systematyczny.

Niezerowa wartość wskazuje na problemy w systemie

Macierz kowariancji

• Jeśli wektora stanu ma wymiar n wówczas macierz kowariancji ma wymiar n x n, elementy diagonalne są wariancjami dla poszczególnych zmiennych.

Elementy pozadiagonalne są kowariancją poszczególnych elementów wektora.

• Marzcież jest dodatnio określona: x^TAx>0 dla x>0, oraz ma dodatnie własności własne.

• W przypadku gdy dokonujemy liniowej transformacji P wektora stanu macierz kowariancji B po

transformacji ma postać: PBP^T.

Praktyczne wyznaczanie błędów

• Statystyki błędów są funkcjami procesów fizycznych rządzących sytuacjami meteorologicznymi oraz

własnościami sieci obserwacyjnej.

• Zależą one również od naszej znajomości a priori błędów.

• Generalnie mamy tylko jedna możliwości oszacowania statystyki błędów. Musimy założyć stacjonarności w czasie i jednorodność w przestrzeni statystyki błędów.

Dzięki czemu dostajemy wiele realizacji błędów i możemy wyznaczamy empiryczne statystyki. Podejście takie ma sens klimatologiczny.

Analiza Cressman’a

• To jedno z najprostszych podejść asymilacja danych, w którym zmienne modelu są ustawiane na podstawie

obserwacji meteorologicznych w najbliższym ich otoczeniu.

Po za tym obszarem wektor stanu modelu ustawiany jest na podstawie danych klimatologicznych lub wcześniejszej

prognozy modelu.

• Zakładamy, że składowe wektor stanu modelu opisywane są przez zmienne skalarne określone w punktach

węzłowych modelu.

x_b – wektor stanu określony na podstawie klimatologii

(background) lub wcześniejszej prognozy, x_b(i) – jest tym samym wektorem prze- interpolowanym do punktu i, y(i) – wektor obserwacji (i=1,2,…,n), x_a - wektor modelu określony w punktach siatki j, d – jest odległością pomiędzy punktami i oraz j, funkcja wagowa w(i,j) wynosząca 1 dla punktu siatki modelu (i=j) oraz malejąca z odległością osiągającą wartość zero poza tzw. promieniem wpływu (d_i,j >R).

• W metodzie „successive correction” funkcja wagowa

może mieć wartość mniejszą od jedności w punkcie siatki modelu (i=j) co oznacza, że zarówno wartość klimatyczna jak i obserwacyjna ma wkład do wartości osiąganej w tym punkcie siatki.

Słabe strony metod Cressman’a

• Jeśli posiadamy wcześniejszy wektor stanu modelu o wysokiej jakości i nie chcemy modyfikować przez słabej jakości dane obserwacyjne

• Nie jest oczywiste jak oddalając się od punktu obserwacyjnego dokonać relaksacji do danych klimatycznych

• Analiza powinna uwzględniać znane własności rzeczywistości (zależności pomiędzy zmiennymi,

równowagę hydrostatyczna) a metoda ta nie uwzględnia tego

• Błędy obserwacyjne mogą generować niefizyczne stany modelu.

Nasze oczekiwania

• Asymilacje powinniśmy zacząć od stanu o wysokiej jakości (opartym np. na wcześniejszej prognozie) zwanym

pierwszym (startowym) przybliżeniem (first guess)

• Jeśli sieć obserwacji jest gęsta wówczas zakładamy, że

prawdziwy stan znajduje się „blisko” średniej wartości z tych obserwacji. Musimy dokonać kompromisu pomiędzy

pierwszy przybliżeniem a wartościami pochodzącymi z obserwacji.

• Analiza powinna wygładzać nasze pole, gdyż wiemy, że

taka jest cecha pól meteorologicznych. Gdy odchodzimy od punktu obserwacyjnego analiza powinna gładko przejść do pierwszego przybliżenia.

• Analiza powinna uwzględniać znane własności fizyczne opisujące stan atmosfery.

32

Interpolacja statystyczna – metoda najmniejszych kwadratów

Zakładamy:

• zmienność operatora obserwacji H w otoczeniu

pierwszego przybliżenia jest liniowa: H(x)-H(x_b)=H(x-x_b), H jest operatorem linowym

• Nietrywialne postacie macierzy kowariancji B i R

• Średnie błędy są zerowe:

• Błędy nie są skorelowane:

• Analiza liniowa: poszukujemy poprawek do

pierwszego przybliżenia, które zależą liniowo od różnicy pierwszego przybliżenia i obserwacji.

• Analiza optymalna: poszukujemy wektora stanu, który w sensie odchylenia średnio-kwadratowego jest

najbliżej stanu rzeczywistego.

• Z metody najmniejszych kwadratów otrzymujemy:

K jest macierzą wagową

Macierz kowariancji błędu w ogólnym przypadku dana jest wzorem:

• Jest ona równoważna metodzie optymizacyjno - wariacyjnej

gdzie J jest funkcją kosztu analizy, J_b jest czynnikiem związanym z pierwszym przybliżeniem zaś J_o z

obserwacjami.

Jeśli funkcje gęstości prawdopodobieństwa błędów pierwszego przybliżenie oraz obserwacji są

gaussowskie wówczas x_a jest estymatorem

rzeczywistego stanu x_t w sensie maksymalnego prawdopodobieństwa.

Dowód poprawności wzorów metody najmniejszych kwadratów

• Minimalizacja funkcji kosztu odpowiada zerowej pochodnej funkcji kosztów dla optymalnego wektora stanu x_a.

Łatwo można pokazać iż postać ta jest identyczna ze wzorem pokazanym w metodzie najmniejszych

kwadratów, gdyż

Realizacja metody najmniejszych kwadratów

• W obecnych modelach wektor stanu x jest rzędu n=10⁷

• Liczba obserwacji p=10⁵ dla każdej analizy.

• Dlatego problem z punktu matematycznego jest

niedookreślony.

Uwagi do założeń

• Założenie dodatnio określoności macierzy kowariancji B i R jest

spełnione w „dobrze” postawionych problemach asymilacji. Jeśli B nie jest dodatnio określona transformujemy ją do bazy ortogonalnej. Co oznacza, że pierwsze przybliżenie jest idealne. Jeśli R nie jest

dodatnio określona to macierz K jest dobrze określona a analiza

będzie równa obserwacji w punkcie siatki. Jednak metoda wariacyjna w tym przypadku nie może być używana.

• Średnie błędy przeważnie nie są zerowe. Jednak jeśli są znane mogą być odjęte od pierwszego przybliżenia oraz pola obserwacji. Jeśli nie są znane analiza nie będzie optymalna. Dlatego istotne staje się

monitorowanie średniego odchylenia przybliżenia zerowego w czasie asymilacji.

• Założenie, iż błędy nie są skorelowane jest najczęściej spełnione, ponieważ błędy pierwszego przybliżenia oraz błędy obserwacji są zupełnie niezależne. Jednak w przypadku metod odwrotnych

38

Uwagi do liniowości operatora H

• Założenie liniowości jest potrzebne do wyprowadzenia wyrażenia na macierz K. W praktyce H może nie być liniowa ale możemy dokonać linearyzacji w sąsiedztwie wektora przybliżenia zerowego.

• Bardziej ogólnie, możemy dokonać rozwiniecie w szereg Taylora

• Operator H zwany jest stycznym

• W przypadku metody najmniejszy kwadratów wymagamy aby:

Problem nieliniowości operatora H nie jest związany z błędami

obserwacyjnymi ale z błędami pierwszego przybliżenia, które w asymilacji sekwencyjnej są błędami wcześniejszej prognozy i zależą od zasięgu

prognozy i jakości modelu.

Teoria Bayesa

• W podejściu Bayesa używamy pojęcia

prawdopodobieństwa do opisu naszej wiedzy na temat wektora stanu oraz obserwacji.

• Twierdze Bayesa :

opisuje prawdopodobieństwo warunkowe

• Jeśli A jest zdarzeniem x=x_t, B jest zdarzeniem y=y_o wówczas rozkład prawdopodobieństwa a posteriori (po fakcie) wektora stanu dla nowej obserwacji yo

wynosi:

) B ( p

) A ( p ) A

| B ( ) p

B

| A (

p 







40

• Bayesowskie oszacowanie wektora stanu odpowiada maksymalnemu prawdopodobieństwu a posteriori

zgodnie z poprzednim wzorem. Celem naszej analizy jest wyznaczenie stanu o maksymalnym

prawdopodobieństwie a posteriori znając rozkład prawdopodobieństwa dla pierwszego przybliżenia (tła) oraz dla obserwacji.

• Zakładamy, że rzeczywisty wektor stanu jest

realizacją procesu losowego zdefiniowanego przez wielowymiarowy rozkład Gaussa.



  

  (x x) B^ (x x)

2 exp 1

| B

| )

2 ( ) 1 x (

p_{B n/2 1/2 b} ^{T 1} _b



  

  (y H(x)) R^ (y H(x)) 2

exp 1

| R

| )

2 ( ) 1 x

| y (

p _{o p/2 1/2 o} ^{T 1} _o



     



  (y H(x)) R^ (y H(x)) (x x) B^ (x x) 2

exp 1

| B

| ) 2 (

| R

| ) 2 ( ) 1 y

| x (

p _{o p/2 1/2 n/2 1/2 o} ^{T 1} _{o b} ^{T 1} _b

Korzystając z tw. Bayesa otrzymujemy:

Szukamy więc wektora stanu, dla którego

prawdopodobieństwo warunkowe osiąga maksimum co odpowiada minimalnej wartości funkcji kosztu J.

Podsumowanie

Mamy dwie możliwości zdefiniowania analizy statystycznej:

(1) Gdy znamy macierze kowariancji błędów pierwszego przybliżenia oraz obserwacji i wyprowadzamy równania

analizy wymagając aby całkowita wariancja błędów analizy była minimalna.

(2) Gdy zakładamy gaussowskie rozkłady gęstości prawdopodobieństwa dla zerowego przybliżenia i

wyprowadzamy równania analizy opisujący wektor stanu o maksymalnym prawdopodobieństwie.

Oba przybliżenia prowadzą do matematycznie równoważnych algorytmów

Z punktu widzenia numerycznego mają one różne własności.

Przykład – ilustracja metody najmniejszych kwadratów – przypadek skalarny

• Chcemy oszacować temperaturę powietrza w pokoju na podstawie wskazań termometru o znanej dokładności σ_o (odchylenie standardowe). W wyniku pomiaru otrzymaliśmy wartość To.

• Jeśli nie mamy żadnych innych dodatkowych informacji najlepsze

oszacowanie temperatur powietrza wynosi oczywiście T_o z dokładnością σ_{o .}

• Załóżmy, że posiadamy dokładne pomiary z dnia ubiegłego, które możemy traktować jako informację a priori (pierwsze przybliżenie) Tb , σb.

• Nie trudno domyśleć się, że kombinacja liniowa wartości T_o oraz T_b pozwoli nam na lepsze oszacowanie nieznanej temperatury rzeczywistej T_t.

• Rozpatrzmy temperaturę będąca średnią ważona:

b o

a kT (1 k)T

T   

44

Zakładamy wartość k minimalizując wartość błędu zgodnie ze wzorem

2 o 2

b 2

k b







 

Jest to równoważne minimalizacji funkcji kosztu

2 o

2 o 2

b 2 o b

b

) T T ( )

T T ) (

T ( J ) T ( J ) T (

J 

 



 





•W przypadku malej dokładności pomiaru (σ_o>>σ_b), k=0

•W przypadku dużej dokładności pomiaru

(σ_o <<σ_b), k=1

• Gdy (σ_o =σ_b), k=0.5

•W pozostałych przypadkach wartość analizy będzie średnią ważoną pomiędzy obserwacja a informacją a priori.

2 b 2

o 2

a

1 1

1

 

 



2 2 b

o b

2 b 2

b o

2 2 o

a (1 k)

) / ( 1 )

/ (

1   







 







 



Wariancja analizy wyraża się wzorem

błąd analizy jest zawsze mniejszy niż błędy

obserwacji i informacji a priori razem wzięte.

Wyznaczanie macierzy kowariancji błędów

• Poprawne wyznaczenie macierzy kowariancji błędów

obserwacyjnych oraz zerowego przybliżenia jest kluczowe dla procesu asymilacji danych.

• Poza wariancjami (wyrazy diagonalne macierzy korelacji) również współczynniki korelacji są istotne gdyż decydują o tym jak dane obserwacyjne będą wygładzane w

przestrzeni modelu gdy istnieje niedopasowanie

rozdzielczości modelu oraz gęstości sieci obserwacyjnej.

Wariancja błędów danych obserwacyjnych

• Często zakłada się, że błędy wielkości pomiarowych nie są ze sobą skorelowane. Założenie to jest często racjonalne jednak w przypadku takich pomiarów jak:

radiosondażowe czy satelitarne może nie być spełnione.

• Powinno unikać się sytuacji gdy wartości obserwacyjne zawierają błędy statystyczne.

• Generalnie jednak wyznaczanie macierzy kowariancji błędów obserwacyjnych R jest trudnym zadaniem.

Dlatego w większości modeli macierz R jest diagonalna.

Wariancja błędów informacji a priori

• Błędne oszacowanie wariacji błędów pierwszego

przybliżenia prowadzi do zbyt małych lub zbyt dużych poprawek (innowacji) w procesie asymilacji danych w kolejnych (analysis increment).

• W przypadku metody najmniejszych kwadratów jedynie względna wartość wariancji błędów

obserwacyjnych i pierwszego przybliżenia jest istotna.

• Jednak bezwzględne wartości wariancji mogą być istotne gdy dokonujemy kontroli jakości danych obserwacyjnych.

Korelacje błędów informacji a priori

są istotne ze względu na:

(1) Rozkład stacji obserwacyjnych

W obszarach o rzadkiej gęstości sieci stacji

pomiarowych kolejne poprawki analizy są określone przez strukturę macierzy kowariancji (dla pojedynczej obserwacji są one dane przez wielkość BH^T). Tak wiec współczynniki korelacji macierzy B mówią jak

informacje pochodzące ze stacji pomiarowej są propagowane na ich otoczenie.

(2) Wygładzanie informacji

W przypadku gęstych sieci obserwacyjnych istotne staje się wygładzanie informacji, które jednak zależy od samego pola meteorologicznego. Inaczej

wygładzać powinno się obszary frontowe a inaczej gdzie mamy antycykloniczny charakter cyrkulacji.

(3) Różne typy równowag występujących w atmosferze W modelu zwykle mamy znacznie więcej stopni swobody niż w rzeczywistości. Np. w dużej skali

przeważnie mamy równowagę hydrostatyczną, zaś w obszarach poza tropikalnych odchylenie wiatru od

równowagi geostroficznej jest niewielkie. Tak, więc jedna zmienna obserwacyjna w modelu zwiera

informacje o pozostałych, które są z nią powiązane.

Np. pole przypowierzchniowego wiatru pozwala

skorygować pole ciśnienia przy założeniu, że wiatr w pewnym obszarze jest geostroficzny.

(4) źle uwarunkowanie problemu asymilacji

Często do zmienny kontrolnych modelu umieszcza się

dodatkowe parametry, które nie są bezpośrednio mierzone i mają za zadanie strojenie modelu.

(5) zależność funkcji strukturalnych od rodzaju przepływu Macierz kowariancji błędów pierwszego przybliżenia B zależy od błędów wcześniejszej prognozy (lub analizy) zarówno ze względu na wariancje błędów ale i korelacje.

Przepływy meteorologiczne mają charakter

deterministyczny i możemy w nich dopatrywać się różnego rodzaju fal, które propagują się w określony sposób co

powinno być odzwierciedlone w błędach pierwszego przybliżenia. Jeśli związane z nimi informacje są

wbudowane w współczynniki korelacji macierzy B wówczas obserwowane wielkości mogą być dokładniej

dystrybuowane w przestrzenni zmiennych modelu.

Wyznaczenie wariancji błędów

• Jest to trudne zadanie ze względu na fakt, iż błędy te nie są obserwowane w sposób bezpośredni. Mogą być

obliczone jedynie w sensie statystycznym i to pod pewnymi warunkiem.

• Najlepszym źródłem błędów w systemie opisującym

asymilacje danych jest różnica obserwacji i pierwszego przybliżenia:

y-H(x_b)

Analiza ta wykonywana może być wieloma metodami.

Metoda obserwacyjna Hollingwortha- Lonnberga.

• Metoda ta wykorzystuje różnice pomiędzy polem

background (a priori) oraz polem obserwacyjnym dla których sieć obserwacyjna jest na tyle gęsta aby

dostarczać informacji dla wielu skal przestrzennych.

• Obliczamy histogram kowariancji pierwszego przybliżenia i obserwacji jako funkcje odległości (separacja).

• Przy zerowej separacji histogram dostarcza nam informacji o błędach pierwszego przybliżenia i obserwacji.

• Dla niezerowej separacji dostarcza nam informacji o średnim współczynniki korelacji błędu pierwszego przybliżenia.

• Jeśli i oraz j są dwoma punktami obserwacyjnymi to

wówczas kowariancja różnicy pierwszego przybliżenia i obserwacji dana jest wzorem:

• Jeśli założymy ze nie ma korelacji pomiędzy błędami obserwacyjnymi oraz błędami pierwszego przybliżenia ostatnie 2 czynniki są równe zero.

• Pierwszy czynnik jest kowariancją błędu obserwacji dla stacji i oraz j.

• Drugi czynnik zaś kowariancją błędów pierwszego przybliżenia interpolowanego do tych punktów (przy założeniu, że oba błędy są jednorodne)

• Jeśli i=j, c(i,j)=σ_o2(i)+σ_b2(i)

• Jeśli ij oraz błędy obserwacyjne nie są skorelowane:

c(i,j)=cov_b(i,j). Jeśli błędy obserwacyjne są skorelowane nie jest możliwe rozwikłanie informacji o macierzach R i B bez dodatkowych założeń.

• Przy tych samych założeniach i jeśli punkty i oraz j są blisko siebie wówczas

• Możemy obliczyć kowariancję pola obserwacyjnego”

Obliczanie macierzy korelacji błędów pierwszego przybliżenia

• Pozadiagonalne elementy macierzy B są najtrudniejsze do wyznaczenia. Muszą one definiować dodatnio

określoną macierz kowariancji. Ponadto macierz B wymaga aby zawierała kilka własności fizycznych:

(1) Wpół. korelacji muszą być gładkie w przestrzeni

(2) Współ. korelacji muszą zbiegać do zera dla dużych odległości

(3) Współ korelacji nie powinny wykazywać

nieuzasadnionych zmienności ze względu na kierunek czy lokalizacje.

(4) Najbardziej fundamentalne stany równowagi muszą być odzwierciedlone w macierzy B

(5) Współ. korelacji nie powinny prowadzić do

nierzeczywistych wariancji błędów pierwszego przybliżenia dla wszystkich parametrów jakie są obserwowane.

Analiza optymalna -Optimal interpolation Analysis (OI)

• Fundamentalną hipoteza metody OI jest stwierdzenie, iż dla każdej zmiennej modelu tylko kilka obserwacji jest istotnych dla oszacowania innowacji (kolejnej poprawki) analizy. Jest to realizowane w następujący sposób:

(1) Dla każdej zmiennej stanu x(i) wybieramy małą liczbę p_i obserwacji używając kryteriów empirycznych.

(2) Dla każdego ciągu punktów p_i obliczamy:

• różnice [y-H(x_b)]_i

• p kowariancji błędów przybliżenia zerowego (i-ty wiersz

• Podmacierz kowariancji (p_i x p_i) pierwszego przybliżenia oraz obserwacji ( HBH^T+R)

(3) Odwracamy powyższą podmacierz

(4) Mnożymy ją przez i-ty wiersz macierzy BH^T w celu

obliczenia odpowiedniego wiersza macierzy K (patrz wzór na macierz K)

• Główna zaleta metody OI jest prostota implementacji oraz relatywnie niski koszt obliczeń jeśli dokonana się

prawidłowych założeń.

• W metodzie OI poszukujemy macierzy wagowej K, która minimalizuje kowariancje błędów analizy!!

Przykłady I

• Rozważmy problem skalarny, w którym mamy jeden punkt pomiarowy y zlokalizowany w punkcie analizy oraz znamy pierwsze przybliżenie xb. Dodatkowo zakładamy iż znamy statystyki błędów wielkości y oraz x_b.

w terminologii metody OI mamy:

Analiza dana jest wzorem:

64

• Wariancja analizy

• Zakładając następujące wartości

Wartość analizy jest pomiędzy wartościami pierwszego

przybliżenia oraz wartości pomiarowej, przy czym bliżej tej ostatniej (ze względu na mniejszy błąd)

Wartość analizy ma większe prawdopodobieństwo i mniejszą wariancje niż wartości pierwszego przybliżenia oraz obserwacji.

Przykład II

• Rozważmy jeden punkt obserwacyjny oraz dwa punkty analizy zlokalizowane pomiędzy punktem obserwacyjnym Znamy

wartości przybliżenia zerowego w tych punktach: x_b1, x_b2.

Dokonujemy liniowej interpolacji do punktu obserwacyjnego:

Błąd obserwacji:

66

• Wektora analizy dany jest wzorem:

Rozważamy trzy przypadki:

(1) Punkt obserwacyjny jest zlokalizowany w pierwszym

punkcie siatki (=1) ponadto błędy pierwszego przybliżenie w punkcie siatki 1 oraz 2 nie są skorelowane (=0)

Rozwiązanie w punkcie (1) jest tożsame z uzyskanym w poprzednim przykładzie zaś w punkcie (2) jest równe pierwszemu przybliżeniu gdyż nie mamy tam żadnej informacji

obserwacyjnej.

(2) Punkt obserwacyjny jest zlokalizowany w pierwszym punkcie siatki (=1) jednak błędy pierwszego

przybliżenie w punkcie siatki 1 oraz 2 są skorelowane (0)

W punkcie (1) rozwiązanie jest analogiczne jak poprzednio.

W punkcie (2) jest równe pierwszemu przybliżeniu plus

współczynnik korelacji  mnożony przez innowacje analizy.

W tym przypadku widzimy jaka rolę ogrywa współczynnik

korelacji w dystrybucji przestrzennej wartości obserwacyjnej.

(3) Punkt obserwacyjny jest zlokalizowany pomiędzy pierwszym i drugim punktem siatki (1) zaś błędy

pierwszego przybliżenie w punkcie siatki 1 oraz 2 nie są skorelowane (=0)

• W ostatnim przypadku innowacja analizy jest proporcjonalna odpowiednio do  oraz -1.

• Z ogólnego rozwiązania w tym przykładzie wynika, że operator interpolacji oraz współczynnik korelacji błędów mają wkład do wartości analizy

• W przypadku gdy mamy n punktów siatki operator liniowej interpolacji wpływa na wartości analizy tylko w sąsiedztwie obserwacji podczas gdy współczynnik korelacji błędów

odpowiada za dystrybucję informacji obserwacyjnych tak daleko jak tylko ma on wartości niezerowe.

Przykład III – pole ciśnienia

Załóżmy, że mamy stacje obserwacyjne tylko na lądzie (czerwone punkty) i chcemy wyznaczyć wartość cieśnina w punkcie A.

Wykorzystując analizę obiektywną która w tym przypadku jest zwykłą ekstrapolacją danych obserwacyjnych.

Jest ona odzwierciedleniem spadku ciśnienia w kierunku linii brzegowej. Dlatego też

otrzymujemy wartość ciśnienia w punkcie A równą 974 hPa. Podczas gdy poprawna wartość wynosi 986 hPa!

Przykład IV - OI

Rozważmy prosty przykład

optymalnej interpolacji wartości obserwacyjnych.

Początkowo wszystkie trzy punkty obserwacyjne są w jednakowej odległość od siebie oraz

pozbawione są błędów.

W tym przypadku wszystkie schematy analizy obiektywnej prowadzą do jednakowych wag W.

Jeśli zaczniemy przesuwać punkty 2 i 3 w stronę siebie.

Zmianie ulegać będą również wagi W.

W metodzie OI obserwacje w punktach 1 i 2 stają się

bardziej skorelowane. Przez co zawierają mniej

niezależnych informacji co prowadzi do redukcji wag.

Podsumowanie – analiza obiektywna

Schematic of Data Assimilation System

Data Stream 1 (Assimilation)

Data Stream 2

(Monitoring) Quality Control

Model Forecast Statistical

Analysis

Forecast / Simulation

Analysis

&

(Observation Minus Analysis) Observation minus Forecast

Error Covariance

Statistical Analysis

Q.C.

Goddard Ozone Data Assimilation System

Forecast &

Observation Error Models

“Analysis”

Statistical Analysis

Tracer Model

Short-term Forecast (15 minutes)

Winds Temperature

Analysis

Ozone Data Sciamachy

MLS Ozone Data

TOMS/SBUV POAM/MIPAS

Obs - Forecast

Analysis Increments

HALOE Sondes

BALANCE, BALANCE, BALANCE!

Long-term forecast