WYKŁAD nr 3

(1)

WYKŁAD nr 3

Numeryczne rozwiązanie ZPL (metoda SIMPLEX )

Jedną z przyczyn zastosowania i dużego znaczenia metody Simplex jest jej prostota i łatwość otrzymywania rozwiązania. Koncepcja tej metody polega na zbliżaniu się do rozwiązania optymalnego w kolejnych krokach . Po skończonej ilości kroków rozwiązanie zostaje znalezione lub okazuje się że ograniczenia są sprzeczne albo rozwiązanie jest nieograniczone. Schematycznie rzecz ujmując przebieg postępowania w metodzie Simplex można zestawić w kilku kolejnych punktach :

1. Metoda Simplex polega na generowaniu ciągu bazowych rozwiązań dopuszczalnych od początkowego rozwiązania bazowego w taki sposób aby ciąg ten był zbieżny w skończonej liczbie kroków do optymalnego rozwiązania .

K

xB x⁰_B

xˆB

1. Jeżeli tylko ograniczenia nie są sprzeczne oraz zbór rozwiązań dopuszczalnych jest ograniczony to w metodzie Simplex warunek skończonej zbieżności jest zawsze spełniony .

3. Generowanie ciągu bazowych rozwiązań dopuszczalnych postępuje w ten sposób ,że przez odpowiedni dobór kolejnych punktów ciągu funkcja kosztów

K

xB

( ) ( )

K B^K

B z

z x ⁺¹ < x co oznacza ze każde następne rozwiązanie bazowe powoduje zmniejszenie wartości funkcji kosztów zadania ZPL .

4. W celu pełnego zdefiniowania metody Simplex należy rozpatrzyć następujące zagadnienia

A./ sposób przechodzenia z jednej bazy do drugiej , B./ kryterium zbieżności ,

C./ metody wyznaczania początkowego bazowego rozwiązania dopuszczalnego x⁰_B ,

D./ sposoby postępowania w przypadku pojawienia się zdegenerowanych rozwiązań bazowych .

ad. A Algorytm przejścia z bazy do bazy :

Kolejno generowane rozwiązania bazowe muszą charakteryzować się dwoma własnościami :

BK

x

a./ muszą być bazowymi rozwiązaniami dopuszczalnymi x_B^K ≥0 , b./ muszą zapewnić spełnienie warunku

( ) ( )

K B^K

B z

z x ⁺¹ < x .

(2)

Wynika stąd , że przy stosowaniu algorytmu przejścia z bazy do bazy nie można w sposób dowolny wybierać ani wektora usuwanego z bazy , ani wektora wprowadzanego do bazy na miejsce wektora .

Bk B_k₊₁

r

bk B_k

k j∉B

a b_k^r

1./ Wybór wektora decyduje o tym czy następne rozwiązanie będzie rozwiązaniem dopuszczalnym ,

r

bk x^k_B⁺¹

2./ Wybór decyduje o tym czy będzie to rozwiązanie lepsze tzn. czy zapewni spełnienie warunku

k j∉B

a

( ) ( )

k ^kB

B z

z x ⁺¹ < x . Zakładamy znajomość następujących wielkości :

1./ rozszerzona macierz A składa się z kolumn ^A⁼

[

â₁ â₂ â₃ â₄ â₅

]

wektor współczynników kosztów ^c⁼

[

^c₁ ^c₂ ^c₃ ^c₄ ^c₅

]

2./ bazowe rozwiązanie na kroku k np.: macierz b

x_B^k =B⁻¹_K ⋅ B_K =

[

a1 a2 a5

]

(1)

( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ ⁻

3 2 1 1

35 32 31

25 22 21

15 12 11

5 2 1

b b b

a a a

x x x

3./ funkcja kosztów na kroku : k z^K =<c ,_B^K x_B^K > (2)

[ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

=

5 2 1 5 2 1

x x x c c c z^K

4./ określamy wektory K

( )

B^K

j dla j R x

y , ∉ tzn. .wektory na

kroku o indeksach nie należących do zbioru indeksów aktualnej bazy . k

K K j

( )

B^K

j a j R x

y =B⁻¹⋅ , ∉ (3)

Zbiór indeksów bazy B_K =

[

¹^,²^,⁵

]

zatem j^∉R

( )

xB^K ⁼^[³^,⁴^]

czyli

(4)

1 4 4

1 3 3

a y

⋅

=

⋅

=

−

− K K K K

B B

5./ Definiujemy zbiór

( ) {

K j^: j ⁰ ^, ⁽ B^K⁾

}

B c c j R

W x = < ∉ x (5)

w którym c określany jest jako wektor względnych współczynników _j kosztów:

c_j =c_j−<c_B^K⋅y^K_j > (6)

(3)

= −< ⋅ >

>

⋅

<

−

=

K BK

K KB

c c

4 4

4

3 3

3

y c

np.:

[ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

−

=

33 23 13 5 2 1 3 3

y y y c c c c

c

[ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

−

=

34 24 14 5 2 1 4 4

y y y c c c c c

6./ Badamy czy zbiór

( ) {

K j^: j ⁰ ^, ⁽ B^K⁾

}

B c c j R

W x = < ∉ x = 0

(7)

Zbiór

( ) {

K j^: j ⁰ ^, ⁽ B^K⁾

}

B c c j R

W x = < ∉ x jest równy 0 wówczas gdy wszystkie jego elementy są większe lub równe zero ,

a./ jeżeli

( ) {

K j^: j ⁰ ^, ⁽ B^K⁾

}

B c c j R

W x = < ∉ x =0 oznacza to ,że

rozwiązanie jest rozwiązaniem optymalnym dającym minimum funkcji kosztów

K

xB xˆ_B^K

z i wówczas następuje zakończenie obliczeń ,

( ) {

K ⁼ j^: j ^<⁰ ^, ^∉ ⁽ B^K⁾

}

^≠⁰

B c c j R

W x x

b./ jeżeli tzn. że przynajmniej

jeden element c_j=c_j−<c ,_B^K y^K_j > jest >0 , i wówczas przechodzimy do następnego punktu obliczeń w którym ,

7./ Dokonujemy wyboru wektora wchodzącego do nowej bazy wg kryterium wyboru A , które brzmi :

P∉BK

a

Jeżeli w zbiorze J =

{

j^:cj∈W⁽xB^K⁾

}

istnieje takie J

j dla c c

że P

j _j

P = j ∈

= , min oraz dla c_P∈W(x_B^K) istnieje przynajmniej jeden element y_iP >0 , i=1,..,m to wektor a^P∉B_K należy wprowadzić do bazy B_k na miejsce kolumny r macierzy bazowej

Bk.

b_K^r ⇐a^P (8)

Jeżeli dla c_j∈W(x_B^K) nie istnieje przynajmniej jeden element y_ij >0 , i=1,..,m to wartość funkcji celu jest nieograniczona czyli ˆz=< xc, ˆ >→−∞ .

i również wówczas następuje zakończenie obliczeń . Jeżeli zaistnieje pierwszy przypadek z punktu 7 przechodzimy do punktu 8.

(4)

8./ Dokonujemy wyboru wektora wychodzącego z aktualnej bazy wg kryterium wyboru B , które następująco zdefiniujemy :

K r K∈B b

Niech będą:

1./ aktualna baza BK =

[

b¹K bK² . . bK^m

]

w przestrzeni R ^m utworzona z kolumn macierzy rozszerzonej , A

2./ odpowiadające jej bazowe rozwiązanie dopuszczalne x_B^K , 3./ zbiór wektorów K K j

( )

B^K

j a j R x

y =B⁻¹⋅ , ∉ ,

jeżeli wśród istnieje takie wskazane przez kryterium wyboru B w postaci :

m

K i

Ki ∈B , =1,..,

b b_K^r ∈B_K

Θ

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ >

=min ; _, 0

, , ,

, K

P K i

P i K

i B K i

P r K

r

B y

y x y

x (9)

to po usunięciu z i utworzeniu nowej bazy przez podstawienie

K r K∈B

b B_K B_K₊₁

K P∉R

a w miejsce b_K^r znalezione według kryterium A nowe rozwiązanie bazowe x_B^K⁺¹ będzie rozwiązaniem dopuszczalnym . jeżeli minimum nie jest jedyne , to nowe bazowe rozwiązanie

dopuszczalne x_B^K⁺¹ będzie zdegenerowane, gdyż

_,¹ 0

, , ,

, = _K → _B^K⁺_i =

P r K

r B K

P i K

i

B x

y x y

x (10)

jeżeli to oznacza , że czyli startujemy ze zdegenerowanego rozwiązania bazowego . Ponadto nowe rozwiązanie dopuszczalne będzie również zdegenerowane .

=0

Θ x_B^K_,_r =0

+1 K

xB

9./ Dla nowej bazy wyliczamy B_K₊₁ : a./ x_B^K⁺¹ ,

b./ z_B^K⁺¹=<c_B^K⁺¹,x_B^K⁺¹>>, c./ , y^K_j⁺¹ dla j∉R(x_B^K⁺¹) d./ zbiór W(x_B^K⁺¹)

10./ Podstawiamy :

( ) ( )

¹

1 1

1

1, ⁺ , ⁺ ⁺ , ⁺

+ ⇐ ⇐ ⇐

⇐ _B^K _B^K _B^K ^K_j ^K_j _B^K _B^K

K

B x z z y y W x W x

x

(5)

11./ Powracamy do warunku 6 ,

jeżeli 6a.Æ STOP

jeżeli 6b Æ przeprowadzamy obliczenia cyklicznie aż do zaistnienia warunku 6a lub 7b .

Wektor x_B^K⁺¹ można wyliczyć w wyniku

a./ odwrócenia macierzy B_K₊₁ , ^x + ⁼

( )

+ ⁻1^⋅^b 1 1

K K

B B

b./ lub zastosowania wzoru w

którym wektor

⋅Φ +

+ = K

r B K B K

B 1 x x ,

x

T

K j r Kj m K

j r K j r K

j r K

j r K j r K

j r

Kj i

y y y

y y

y y y

y

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

= ⁻ ⁺

, , ,

, 1 ,

, , 1 ,

, 1 1 , ,...,

, ,...,

Φ (11)

c./ z zastosowaniem wektora można również wyliczyć Φ y_j^K⁺¹= y^K_j + y_r^K_,_j ⋅Φ (12)

Przykład nr 1

x1

x2

2

2 0

1≤ 2 x

2 1

1 + ≤

− x x

2 3

1+ x ≥ x

A

B

C

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych

=14 F

=10 F

Rys.1 Obszar rozwiązań dopuszczalnych wyznaczonych przez układ nierówności liniowych

Przyjmiemy układ ograniczeń liniowych w postaci układu nierówności :

(6)

−x₁+x₂ ≤1 , x₁+x₂ ≥3 , x₁≤2 (13) który wyznacza obszar rozwiązań dopuszczalnych jak na rys.1

Określimy wskaźnik jakości z=< xc, > w którym wektor współczynników kosztów wynosi . Zadanie sprowadza się do poszukiwania w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych takiego wektora rozwiązań , dla którego iloczyn skalarny ( wskaźnik jakości ) osiągnie wartość minimalna.

[

2 , 6

=

c

]

x

>

< xc,

Wprowadzamy do układu nierówności przedstawiających ograniczenia zmienne dodatkowe sprowadzające układ nierówności w układ równań ;

2 3 1

5 1

4 2

1

3 2 1

= +

=

− +

= +

+

−

x x

x

x x x

x_i≥ i0, =1,..,5 (14) równanie (14) zapiszemy w postaci macierzowej :

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

2 3 1

1 0 0 0 1

0 1 0 1 1

0 0 1 1 1

5 4 3 2 1

x x x x x

[ ]

^⋅³^*⁵⁼ ^m⁼³^,ⁿ⁼⁵ ^;^dim^x⁼⁵ ^dim^b⁼³

A A x b

(15) ilość rozwiązań bazowych

)!

(

!

! m n m

n

−

⋅ = 10

)!

3 5 (

! 3

!

5 =

−

⋅

tworzymy macierz bazową B_K dla k =1 uformowaną z kolumn macierzy

[

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅

]

= A

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1 0 0 0 1

0 1 0 1 1

0 0 1 1 1 A

[ ] [ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

=

= ⁻

2 1 1

0 1 1

0 1 1 2 , 1

1 0 1

0 1 1

1 3

2 5 1

2

1 K K K K

K a a a b b b B

B

dopuszczalne rozwiązanie bazowe:

(7)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⇒

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

5 2 1

1 2 1 2 3 1 2 1 1

0 1 1

0 1 1 2 1

x x x

BK

x

wskaźnik jakości dla rozwiązania bazowego

[ ]

¹⁴

1 2 1 0 6 2

, =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

=

>

=< _B^K _B^K

z c x

obliczamy wektory K K j

( )

B^K

j a j R x

y =B⁻¹⋅ , ∉ j=3, 4

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⁻

2 1

2 1 1 1 1 2 1 0

0 1 2 1 1

0 1 1

0 1 1 2 1

1 3 33 23 13

3 a

y _K

K K K K

y y y

B

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⁻

2 1

1 1 1 2 1 0

1 0

2 1 1

0 1 1

0 1 1 2 1

4 1 34 24 14

4 a

y _K

K K K K

y y y

B

obliczamy względne współczynniki kosztów :

[ ]

2

2 1

2 1 0 6 2 0 , ₃

3

3 =−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

⋅

−

>=

<

−

=c _B^K ^K

c c y

[ ]

⁴

2 1

2 1 0 6 2 0 , ₄

4

4 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅

−

>=

<

−

=c _B^K ^K

c c y

obliczamy

( ) {

K j^: j ⁰ ^, ⁽ B^K⁾

}

B c c j R

W x = < ∉ x :

( )

⁼

{

^c₃ ^, ^c₄

} {

⁼ ⁻²^,⁴

}

^≠⁰

W x_B^K

Kryterium A : określamy indeks p kolumny macierzy , którą wprowadzimy do nowej bazy ;

A a^P

{

² ⁴

}

² ³

min

min = − =− ⇒ = =

= c j p

c _j

P j

(8)

oraz przynajmniej jeden element wektora ,

wówczas do nowej bazy wprowadzimy

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

>

5 . 0

5 . 0 ,

0

33 23 13 3 3

y y y y y

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

= 0 0 1 a3

a^P

Kryterium B określimy indeks r kolumny w bazie , która ma być podmieniona na kolumnę .

r

bK B

aP

Θ

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ >

=min ; _, 0

, , ,

, K

P K i

P i K

i B K i

P r K

r

B y

y x y

x

( )

{

^, ⁴^, ²

}

² ³

0 2 1 2 , 1 , 1 0 2 1 2 , 1 , 2 0 2 1 2 , 1 1

0 , , 0 ,

, 0

, ₃_,₃

3 , 3

, 2 3 , 2

2 , 3

, 1 3 , 1

1 , ,

,

=

⇒

=

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ >

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ >

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − <

−

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ >

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ >

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ >

=

r odpada

n i m

y y y x

y y x

y n x i y m x

i i

K BK K

BK K

BK K i

p r Kr B

Nowa baza utworzona w wyniku podmiany kolumn ;

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

1 0 1

0 1 1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 0 1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− 0

1 0

4

3 a

a BK

5 2

1 a a

a

3 2

1 K K

K b b

b

a3

a5

+1

BK

3 2

1 a a

a

3 2 1

K K

K b b

b

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

0 0 1

0 1 1

1 1

Kryterium A 1

Kryterium B nowa baza

Znajdujemy rozwiązania dla nowej bazy . Obliczamy wartości wektora Φ 3

,

3 = =

= j p

r , B

[ ]

3*3

(9)

T

Kj r K

j m Kj

r K

j r Kj

K r j r K

j r Kj

r K

j i

y y y

y y

y y y

y

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

= ⁻ ⁺

, , ,

, 1 ,

, , 1 ,

, 1 1 , ,...,

, ,...,

Φ

z uwagi na wymiar macierzy ^B

[ ]

³^*³ oraz wartości 3r =3 , j= p= wektor Φ otrzymuje szczególną postać ;

T

Kj K r

j r K

j r Kj

r K

j r

y y

y

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

= ⁻ ⁻ 1 1

, ,

, 1 ,

,

Φ 2

( )

( ) ( )

[ ]

^T

T T K

K K K

K

y y y y

y

1 1 1

2 1 1 , 1 2 1

2 , 1 2 1

2 1 1

, 1 ,

3 , 3 3 , 3

3 , 2 3

, 3

3 , 1

−

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− −

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

= Φ

dopuszczalne rozwiązanie bazowe:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⋅ +

=

+ +

2 1 2

1 1 1 1 1 2 1

1 1 ,

BK

Kr K B K B B

x

x x

x Φ

wskaźnik jakości dla nowego rozwiązania bazowego

[ ]

10

2 1 2 0 6 2

, ¹

1 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

=

>

=< _B^K⁺ ^K_B⁺

z c x

obliczamy wektory y^K_j⁺¹ = y^K_j + y_r^K_,_j ⋅Φ j∉R

( )

xB^K j= 4,5

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⋅ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+ =

1 1 0

1 1 1 ) 2 1 ( 2 1

2 1

4 , 3 34 24 14 1

4 ^K Φ

K K K

K y

y y y y

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⁻

1 0 0 2 0 0 2 1 1

0 0 2 1 1

0 1 1

0 1 1 2 1

1 5 35 25 15

5 a

y _K

K K K K

y y y

B

(10)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⋅ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+ =

2 1 1 1

1 1 ) 1 ( 1 0 0

5 , 3 35 25 15

5 1 ^K Φ

K K K

K y

y y y y

obliczamy względne współczynniki kosztów :

[ ]

⁶

1 1 0 0 6 2 0 , ₄ ¹

1 4

4 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅

−

>=

<

−

=c ^K_B⁺ ^K⁺

c c y

[ ]

⁴

2 1 1 0 6 2 0 , ₅ ¹

1 5

5 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⋅

−

>=

<

−

=c ^K_B⁺ ^K⁺

c c y

zbiór W

( )

x_B^K⁺1 =

^{

c4 ^, c5

^{} {}

= ⁶ ^, ⁴

^}

=⁰ jest zbiorem pustym co oznacza , iż ostatnie rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem optymalnym dającym minimum wskaźnika jakości z

[ ]

¹⁰

2 1 2 0 6 2

, ¹

1 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

=

>

=< _B^K⁺ _B^K⁺

z c x

Rozwiązanie przykładu nr 3 w oparciu o m. SIMPLEX

1./ Krok 1 pierwsza baza utworzona z kolumn B1=

[

a1 a2 a3 a5

]

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

= ⁻

1 1 0 0

0 0 1 1

66 , 0 0 33 , 0 0

66 , 0 0 66 , 0 0 ,

0 0 1 5 ,

1 0 1 5 ,

0 0 1 1

0 1 1 1

1 1

1 B

B

rozwiązanie bazowe uzyskane w oparciu o , oraz wskaźnik wynoszą :

B1 z

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

⋅

= ⁻

1 1 66 , 1

33 , 1

11

1 b

x B

[ ]

4,666

1 1 66 , 1

33 , 1 0 0 2 1 , ₁

1 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

>=

=<c x z

obliczamy wektory K K j

( )

B^K

j a j R x

y =B⁻¹⋅ , ∉ j=4 ,6

(11)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⁻

0 1 333 , 0

667 , 0

4 1 1 44 34 24 14

4 a

y B

K K K K K

y y y y

,

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

=

⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⁻

1 0

667 , 0

6 1 1 46 36 26 16

6 a

y B

K K K K K

y y y y

obliczamy względne współczynniki kosztów ;

[ ]

¹^,³³³

0 1 333 , 0

667 , 0 0 0 2 1 0 , ₄

1 4

4 =−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

−

>=

<

−

=c c y c

[ ]

0,667

1 0 667 , 0

667 , 0 0 0 2 1 0 , ₆

1 6

6 =−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

⋅

−

>=

<

−

=c c y c

obliczamy

( ) {

K j^: j ⁰ ^, ⁽ B^K⁾

}

B c c j R

W x = < ∉ x :

( )

=

^{

c4 ^, c6

^{} {}

= −¹^,³³³^,−⁰^,⁶⁶⁷

^}

≠⁰ W x_B^K

Kryterium A

{

1,333 0,667

}

1,333 4 min

min = − − =− → = =

= c j p

c _j

P j

Kryterium B =Θ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ >

=min ; _, 0

, , ,

, K

j K i

j i Ki B K i

j r Kr

B y

y x y

x

( )

3

, 0 , 0 1 1, , 1 0 333 , 0 33, , 0

66 , , 1 0 667 , 0 667, , 0

33 , 1

0 , , 0 , , 0 , , 0 ,

4 , 4

4 , 4 4 , 4 4 , 4

, 3 4 , 3 3 , 4

, 2 4 , 2 2 , 4

, 1 4 , 1 1 , ,

,

=

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ >

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ >

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ >

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ >

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ >

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ >

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ >

=

r

odpada y

n i m

y y y x

y y x

y n x i y m x

i

K K B K

K B K

K B K i

p r K r B

Wniosek : W aktualnej bazie na miejsce kolumny trzeciej wprowadzamy kolumnę uzyskując nową bazę .

3

3 a

b = a4

2./ Krok 2 druga baza utworzona z kolumn ^B₂ ⁼

[

â₁ â₂ â₄ â₅

]

(12)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

= − ⁻

1 1 0 0

0 0 1 1

66 , 0 0 0 333 , 0

66 , 0 0 0 667 , 0 ,

0 0 1 5 ,

1 0 1 5 ,

0 1 1 1

0 0 1 1

21

2 B

B

rozwiązanie bazowe uzyskane w oparciu o B₂ , oraz wskaźnik z wynoszą :

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

⋅

= ⁻

1 1 333 , 1

667 , 0

1 2

2 b

x B

[ ]

³^,³³³

0 1 333 , 1

667 , 0 0 0 2 1 , ₁

1 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

>=

=<c x z

obliczamy wektory K K j

( )

B^K

j a j R x

y =B⁻¹⋅ , ∉ j=3,6

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⁻

0 1,333 0

667 , 0

1 3 2 43 33 23 13

3 a

y B

K K K K K

y y y y

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

=

⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⁻

1 0

667 , 0

1 6 2 46 36 26 16

6 a

y B

K K K K K

y y y y

obliczamy względne współczynniki kosztów ;

[ ]

¹^,³³³

1 0 667 , 0

667 , 0 0 0 2 1 0 , ₃

2 3

3 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

⋅

−

>=

<

−

=c c_B y c

[ ]

0,667

1 0 667 , 0

667 , 0 0 0 2 1 0 , ₆

2 6

6 =−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

⋅

−

>=

<

−

=c c_B y c

obliczamy

( ) {

K j^: j ⁰ ^, ⁽ B^K⁾

}

B c c j R

W x = < ∉ x :

( )

=

^{

c3 ^, c6

^{} {}

= ¹^,³³³^,−⁰^,⁶⁶⁷

^}

≠⁰ W x_B^K

Kryterium A c =minc_j =min

{

1,333 −0,667

}

=−0,667→ j= p=6

P j

Kryterium B =Θ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ >

=min ; _, 0

, , ,

, K

j K i

j i Ki B K i

j r Kr

B y

y x y

x