WYKŁAD NR 13

(1)

WYKŁAD NR 13

PROBLEM BOLZA, FUNKCJĄ PODCAŁKOWĄ POSTAĆ II

Prezentowany rozdział zawiera sformułowanie i rozwiązanie problemu optymalizacyjnego sterowania odpływem z pojedynczego zbiornika zasilającego jednego odbiorcę.

Różnica między zadaniami optymalizacji z wykładu 12 a przedstawionymi w niniejszym wykładzie, dotyczy postaci wskaźnika jakości, który w obecnej formie zawiera w funkcji podcałkowej składnik wymuszający konieczność takiego sterowania odpływem ze zbiornika aby wynikająca z tego sterowania trajektoria stanu zbiornika odpowiadała ustalonej wg odrębnych kryteriów wymaganej trajektorii stanu zbiornika.

Metodycznie rzecz ujmując opisana zmiana we wskaźniku jakości powoduje, iż jedno z równań konieczne do rozwiązania problemu otrzymane w wyniku różniczkowania funkcji Hamiltona a mianowicie: −

(

∂H ∂x(t)

)

_u_ˆ_,_x_ˆ_,...=η&ˆ(t) nie sprowadza się do zapisu , który dotychczas znacznie ułatwiał dalsze rozwiązanie.W sytuacji pojawienia się we wskaźniku jakości składnika w następstwie którego dalsze rozwiązanie uzależnione jest od dwóch stałych

. Analityczne wyliczenie stałych w funkcji wartości trajektorii stanu w chwili końcowej horyzontu optymalizacji

0 ) ˆ(t = η&

0 ) ˆ(t ≠ η&

2 1, C

C C₁, C₂

) ˆ T(

x T jest zagadnieniem nieco

bardziej złożonym.

Zbiornik retencyjny )) (

(t t

Q^P −τ^P

Prognozowany dopływ do zbiornika

Sterowany odpływ ze zbiornika ( )+

) ( ˆ t u Zapotrzebowanie na

wodę poniżej zbiornika Y(t)

0 _t₌_T

) 0

W( x

) (T x^W ) ( ˆ , ) (t x t x^W

) 0 ˆx(

) ˆ T( x Wymagana trajektoria

stanu zbiornika w horyzoncie optymalizacji

Wymagane wypełnienie końcowe zbiornika

Rys. 1. Wyodrębniony system wodno-gospodarczy

(2)

Sformułowanie problemu optymalizacyjnego

Dla prognozowanego dopływu do zbiornika wskaźnik jakości w postaci (1) przedstawia następujące wymagania stawiane przed systemem zbiornik- aglomeracja:

• uzyskanie w chwili końcowej horyzontu optymalizacji T , maksymalnie zbliżonego wypełnienia zbiornika xˆ T( ) do żądanego wypełnienia , x^W(T)

• zapewnienie odpływu ze zbiornika ^u^ˆ⁽^t⁾_{( )}+^,^∀^t^∈

[ ]

⁰^,^T , który w minimalny sposób odbiegać będzie od określonego funkcją zapotrzebowania pożądanego odpływu ze zbiornika w całym horyzoncie optymalizacji ,

) (t

[ ]

TY t∈0,

• określenie trajektorii stanu zbiornika w całym horyzoncie optymalizacji , zapewniającej minimalne odchylenia od żądanej (określonej wcześniej w oparciu o inne kryteria ) trajektorii

) ˆ t(

[

T x t∈ 0,

∀

]

[ ]

^T

t t

x^W( ), ∀ ∈0, .

Wzajemne relacje między składnikami wskaźnika kształtują współczynniki wag , natomiast symbol

3 2 1,a ,a

a

( )

• _{( )}₊ ² zastosowany w odniesieniu do pierwszego i trzeciego składnika wskaźnika (1) oznacza, że bierze się tylko pod uwagę odchyłki dodatnie, natomiast odchyłki ujemne przyjmują wartość zero.

Pomijając wyjątkowe korzystne sytuacje hydrologiczne w obrębie analizowanego systemu zbiornik-aglomeracja, jednoczesne 100% zrealizowanie określonych przeciwstawnych wymagań nie jest możliwe. W drodze rozwiązania zadania optymalizacji poszukiwać będziemy takiego kompromisowego sterowania optymalnego , które częściowo godząc wytyczone cele zapewni minimalną wartość wskaźnika (1). Wartość wskaźnika jakości traktowaną jest jako suma kar „płaconych” za niecałkowite zrealizowanie wymienionych celów w okresie optymalizacji

( ) t

[

T

t

uˆ( )₊,∀ ∈ 0,

]

T .

a. Postać wskaźnika jakości uwzględniająca powyższe wymagania jest następująca

(1)

[ ]

( )

[ ]

_{( )}

[ ]

{ }

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

⋅ +

−

⋅ +

+

−

⋅

=

∫

⁺

+ T

W W

dt t x t x a t u t Y a

T x T x a F

0

2 2

2 3

2 1

) ( ) ( )

( ) (

) ( ) ( 5

, 0

Nowymi elementami wskaźnika (1) są:

) (t

x^W wymagana trajektoria stanu zbiornika w okresie optymalizacji ^∀^t^∈

[ ]

⁰^,^T , a 2 współczynnik wagi powiązany ze składnikiem zawierającym . x^W(t) b. Równanie stanu zbiornika sprowadza się jak w poprzednich rozdziałach do zależności między stanem zbiornika, prognozowanym dopływem do zbiornika a sterowanym odpływem (z uwzględnieniem zmiennego w czasie opóźnienia

(3)

) (2) (

)) ( ( ) (

:x t Q t t u t f & = ^P −τ^P −

) 0

0 ( ,

0 x x

t= =

dla

c. Ograniczenia sterowania i stanu zbiornika uwzględniane są analogicznie jak poprzednio

Rozwiązanie zadania optymalizacji

Dla układu (1), (2) utworzona zostaje funkcja Hamiltona w postaci f

f H =− ₀+η⋅

[ ]

_{( )}

[ ]

{ }

[

⁽ ⁽ ⁾⁾ ⁽ ⁾

]

) (

) ( ) ( )

( ) ( 5

.

0 ₃ ² ₂ ²

t u t t Q t

t x t x a t

u t Y a H

P

W

− τ

−

⋅ +

+

−

⋅ +

−

⋅

−

= ₊

η

(3)

w którym η(t) to zmienna sprzężona.

Układ równań dla funkcji Hamiltona przedstawia się następująco

A 0

) ( ⎟⎟⎠_ˆ_,_ˆ_,_ˆ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

η x

t u

u

H a3⋅

[

Y⁽t⁾−u^ˆ⁽t⁾

]

_{( )}₊ −η^ˆ⁽t⁾=⁰

( ) ( ) ˆ( ) 3

)

ˆ(t Y t t a

u ₊ = −η (4)

B ˆ( )

)

( _ˆ_,_ˆ_,_ˆ t t

x H

x u

η&

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

η

η&^ˆ⁽t⁾=a2⋅

[

x^ˆ⁽t⁾−x^W⁽t⁾

]

(5)

C ˆ( )

ˆ , ˆ

t H x

x u

&

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

η(t) xˆ&(t)=Q^P(t−τ^P(t))−uˆ(t)_{( )}₊ (6)

D

( )

_ˆ₍ ₎

) (

),

( T

T x

T T x

K ⎟⎟=η

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂ η^ˆ⁽T⁾=a1⋅

[

x^W⁽T⁾−x^ˆ⁽T⁾

]

(7) Rozwiązanie układu równań (4) do (7) rozpoczyna się od zróżniczkowania

równania (5)

[

^ˆ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

]

)

ˆ&&(t =a₂⋅ x& t −x&^W t η

do którego następnie podstawia się (6) z uwzględnieniem (6), a po przegrupowaniu otrzymuje się

[

⁽ ⁽ ⁾⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

) ˆ( )

ˆ( ₂

3

2 t a Q t t Y t x t

a

t a ^P ^P &^W

&& − ⋅η = ⋅ −τ − −

η

]

⁽⁸⁾

(4)

Równanie (8) jest niejednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu o ogólnej postaci y&&+p(x)⋅y&+g(x)⋅y=F(x) którego rozwiązanie sprowadza się do zastosowania następującego złożenia całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego

( )

∫

^ξ ^ξ ⁻ ^ξ ^ξ

+ +

= ^x ∫ ^ζ ^ζ

x

d

p y x y y x y d

e F y

C y C y

0

) ( ) ( ) ( ) ( )

( ⁽ ⁾ ₂ ₁ ₁ ₂

2 2 1 1

W przypadku równania (8)

a) całka ogólna równania jednorodnego przedstawia się następująco

t a t

a C e

e C t

a a a a

k a

k

5 5

2 1

5 3 2 4

2 , 1 4

2

) ˆ(

0

⋅ +

⋅

=

±

=

±

=

±

=

⇒

=

− η −

b) całka ogólna równania niejednorodnego przyjmuje zatem postać

(9) ξ

ξ

−

⋅ ξ +

⋅ +

⋅

=^C ^e⁻ ^C ^e

∫

^F ^a ^t ^d

t

t t a t

a

0

5 1

2

1 ( ) sinh[ ( )]

)

ˆ( ⁵ ⁵

η w której

[

⁽ ⁽ ⁾⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

]

2 )

( ₂

1 ξ = a ⋅ Q^P ξ−τ^P ξ −Y ξ −x^W ξ

F & (10)

Korzystając z warunków początkowych i końcowych zadania należy wyliczyć stale

2.

1, C C

Różniczkując (9) i porównując z (9) otrzymuje się równanie, które dla chwili przyjmuje postać

=0 t

[

^ˆ⁽⁰⁾ ⁽⁰⁾

]

2 2 5 1 5

xW

x a C a C

a ⋅ + ⋅ = ⋅ −

− (11)

Z porównania równanie (9) dla chwili t= z równaniem (7) otrzymuje się T równanie

(12)

[

⁽ ⁾ ^ˆ⁽ ⁾

)]

( sinh[

)

( ₁

0

5 1

2

1 e ⁵ C e ⁵ F a T d a x T xT

C ^W

T T a T

a + ⋅ + ξ ⋅ −ξ ξ= ⋅ −

⋅ ⁻

∫ ]

Równania (11) i (12) posłużą do określenia stałych w funkcji końcowego stanu trajektorii .

2 1, C C )

ˆ T( x

Mnożąc równanie (11) przez współczynnik oraz równanie (12) przez współczynnik , następnie dodając stronami otrzymane w ten sposób równania możliwe jest określenie stałej (symbolem

T

ea⁵

− a5

C1

( )

∗ zastąpiono wyrażenie podcałkowe we wzorze (12))

(5)

[ ]

( ) [ ]

[

−

]

+ ⋅ ⋅

[

−

]

− ⋅

( )

∗ ξ

⋅

−

= +

⋅

−

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

⋅

= ξ

∗

⋅ +

⋅

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

∫

−

d a T x T x a a x

x e a e

e C a

T x T x a a d

a e C a e C a

x x e a e

C a e C a

T W

W T

a T

a T a

T T W a T

a

W T

a T

a

0 5 5

1 2

1 5

0

5 1 5

2 5 1

5

2 2

5 1

5

) ˆ( ) ( )

0 ( ) 0 ( )

(

) ˆ( ) (

) 0 ( ) 0 (

5 5

5

5 5

5

i ostatecznie

] cosh[

2

)) ˆ( )) (

ˆ( (

5 1

1 a T

T x T P

x

C = ⋅ (13)

w wyrażeniu (13) przyjęto oznaczenie

(

⁻

)

^⋅ ^⋅

[

⁻

]

⁺ ^⋅

[

⁻

]

⁻

( )

^∗ ^ξ

= â â ê ^x ^x â ^x ^T ^x ^T

∫

^d

T x P

T W

T W a

0 1

5 2

1(ˆ( )) ⁵ (0) (0) ( ) ˆ( )

W celu uzyskania stałej należy pomnożyć równanie (11) przez współczynnik a równanie (12) przez współczynnik . Następnie otrzymane równania dodać stronami

)) ( ˆ

2(x T C

T

e⁻a⁵ a₅

[ ]

( ) [ ]

[

−

]

+ ⋅ ⋅

[

−

]

− ⋅

( )

∗ ξ

⋅

= +

⋅

−

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

⋅

= ξ

∗

⋅ +

⋅

−

⋅

=

⋅ +

⋅

−

∫

−

d a T x T x a a x

x e a e e C a

T x T x a a d

a e C a e C a

x x e a e

C a e

C a

T W

T W a T

a T a

T

W T

a T

a

W T

a T

a

0 5 5

1 2

2 5

0

5 1 5

2 5 1

5

2 2

5 1

5

) ˆ( ) ( )

0 ( ) 0 ( )

(

) ˆ( ) (

) 0 ( ) 0 (

5 5

5

5 5

5

i ostatecznie

] cosh[

2

)) ˆ( )) (

ˆ( (

5 2

2 a T

T x T P

x

C = ⋅ (14)

w wyrażeniu (14) przyjęto oznaczenie

( )

^⋅ ^⋅

[

⁻

]

⁺ ^⋅

[

⁻

]

⁻

( )

^∗ ^ξ

= â â ê⁻ ^x ^x â ^x ^T ^x^T

∫

^d

T x P

T W

W T

a

0 1

5 2

2(ˆ( )) ⁵ (0) (0) ( ) ˆ( )

(6)

Stałe podstawia się do równania (9) otrzymując wzór opisujący zmienna sprzężoną między innymi w funkcji stanu zbiornika z chwili końcowej

)) ˆ( ( )), ˆ(

( ₂

1 x T C x T

C T

(15) ξ

ξ

−

⋅ ξ +

⋅ +

⋅

=^C ^x ^T ^e⁻ ^C ^x ^T ^e

∫

^F ^a ^t ^d

t

t t a t

a

0

5 1

2

1(ˆ( )) (ˆ) )) ( ) sinh[ ( )]

)

ˆ( ⁵ ⁵

η

Kolejne przekształcenia równania (15) doprowadzają do postaci (16)

ξ ξ

−

⋅

⋅ ξ +

⋅ ⋅ +

⋅ ⋅

= ^P ^x_a^T _T ^e⁻ ^P ^x_a^T _T ^e

∫

^F ^a ^t ^d

t

t t a t

a

0

5 1

5 2 5

1 ( ) sinh[ ( )]

) cosh(

2

)) ˆ( ( )

cosh(

2

)) ˆ( ) (

ˆ( ⁵ ⁵

η

[

( )

]

cosh

( )

cosh

( )

ˆ( ) () sinh

)

ˆ(t =k₁⋅ a₅ T−t +k₂⋅ a₅t −k₃⋅ a₅t ⋅x T +k₄ t

η (16)

W równaniu (16) współczynniki k₁,k₂,k₃,k₄ wyrażone są związkami

( ) [ ]

{ }

) cosh(

) 0 ( ) 0 ( /

5 5 2

1 a T

x x a k a

W

⋅

−

⋅

= − ;

( )

) cosh(

) (

5 0 1

2 a T

dt T

x a k

T W

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⋅ − ∗

=

∫

) cosh( ₅

1

3 a a T

k = ⋅ ; ^k ^t =

∫

^t ^F ξ ⋅ ^a ^t−ξ ^dξ

0

5 1

4() ( ) sinh[ ( )]

Następną czynnością jest podstawienie wyrażenia (16) do wzoru (4), w wyniku którego otrzymuje się związek między sterowaniem optymalnym a zmienną sprzężoną ) . Zmienna jest zależna od stanu końcowego trajektorii stanu zbiornika .

) ˆ t( u ˆ t(

η ηˆ t()

) ˆ T( x

( )

{ [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) }

3

4 5

3 5 2

5

1 sinh cosh cosh ˆ

) ( ) ˆ(

a

t k T x t a k

t a k

t T a t k

Y t

u ₊ = + ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ + (17)

W dalszej kolejności całkując równanie (6) otrzymuje się ogólną postać wzoru określającą optymalną trajektorię stanu zbiornika (ekstremala stanu)

(18)

( )

_{( )}

[

3

0

) ˆ( ) ( )

ˆ(t Q u d C

x

t

P ξ−τ ξ − ξ ξ +

=

∫

⁺

]

dla chwili t=0, x(0)=x₀ ⇒ C₃ = x₀

dla chwili t=T równanie (18) z uwzględnieniem (17) przyjmuje postać

(7)

( )

[ ] ( )

( )

∫

⁺

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

⋅

−

+

⋅ +

−

⋅

− +

− τ

−

=

T P

x dt

a t T k x t a a

k

t a a

t k T a a

k t Y

t t Q

T x

0

3 4 5

3 3

5 3

2 5

3 1

) ) ( ˆ( cosh

cosh sinh

) (

)

ˆ( (19)

Z równania (19) po przeprowadzeniu stosownych przekształceń otrzymuje się stan końcowy trajektorii stanu zbiornika wyłącznie w funkcji znanych parametrów przyjętych do optymalizacji.

) ˆ T( x Równanie (19) zapisać można w postaci

( )

( ) ( ) (

3

)

0

2 1 3

4 1

) ( )

( ) (

ˆ dt l l l

a t t k Y t t Q t

y T x

T

P +

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎥ + +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −τ − +

−

=

∫

⁽²⁰⁾

We wzorze (20) przyjęto

ξ ξ

−

⋅ ξ

=

∫

^F ^a ^t ^d

t k

t

0

5 1

4() ( ) sinh[ ( )]

( ) ∫

∫

^∗ ⁼ ^⋅ ⁻

=

T T

dt t T a t

F dt T

k

0

5 1

0

4( ) ( ) sinh[ ( )]

[

⁽ ⁽ ⁾⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

]

2 )

( ₂

1 ξ = a ⋅ Q^P ξ−τ^P ξ −Y ξ −x^W ξ

F &

[

⁽⁰⁾ ⁽⁰⁾

] [

^sec^h⁽ 5 ⁾ ¹

]

1 = − x −x ⋅ aT −

l ^W

( )

tgh( ) )

1 (

5 0

1 5 3

2 a x T dt aT

a l a

T

W ⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⋅ − ∗

= ⋅

∫

^, ^tgh⁽ ⁵ ⁾

5 3

1

3 a T

a a

l a ⋅ ⋅

= ⋅

Otrzymanie wzoru (20) określającego wartość optymalnej trajektorii stanu zbiornika w chwili końcowej t= jest zwrotnym punktem zadania optymalizacji. T Następnymi krokami będą:

a) podstawienie (20) do (3) i (14) celem wyznaczenia stałych

[

^ˆ⁽ ⁾

]

^, 2

[

^ˆ⁽ ⁾

]

1 x T C x T

C

b) podstawienie (13) i (14) z uwzględnieniem (20) do (9) celem wyznaczenia zmiennej sprzężonej,

c) podstawienie (9) do (4) które pozwoli określić trajektorię sterowanie optymalnego dla ^∀^t^∈

[ ]

⁰^,^T

(8)

( ) ( ) ˆ

{

, 1

[

ˆ( )

]

, 2

[

ˆ( )

] }

3

)

ˆ(t Y t t C xT C x T a

u ₊ = −η (21)

d) podstawienie (21) do (18) z uwzględnieniem warunku początkowego wypełnienia zbiornika pozwalające określić przebieg optymalnej trajektorii stanu zbiornika w przedziale czasu ∀t∈

[ ]

0,T

(22)

[ ( ) ]

_{( )}

{

0

) ˆ( )

ˆ(t Q u d x

x

t

P ξ−τξ − ξ ξ +

=

∫

⁺

^}

Minimalną wartość wskaźnika jakości otrzymamy wstawiając (20), (21), (22) do wyrażenia (1).