Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera

Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera

zadania na ćwiczenia

Zad. 1. Udowodnij, że funkcja kawałkami ciągła na odcinku [a, b] jest ograniczona (przy a i b skończonych). Podać kontrprzykład dla a = −∞ lub b = ∞.

Zad. 2. Udowodnij, że funkcja z klasy C¹[a, b] ma na [a, b] wariację ograniczoną.

Zad. 3. Rozwiń w szereg Fouriera funkcję f o okresie a = 2 zdefiniowaną na [−1, 1] wzorem

f (t) = cos πzt, z ∈ C \ Z.

Wyprowadź równości:

π ctg πz = 1 z + 2z

∞

X

n=1

1

z²− n², π

sin πz = 1 z + 2z

∞

X

n=1

(−1)ⁿ z²− n².

Zad. 4. Udowodnij, że

∀_x∈(0,2π)

∞

X

n=1

sin nx

n = π

2 − x 2. Na podstawie powyższej równości oblicz sumę szeregu

f (x) = ^X

n∈Z\{0}

1

n e^2iπnxa, 0 < x < a.

Zad. 5. Niech f będzie funkcją 2π-okresową zdefiniowaną na (0, 2π) wzorem

f (x) = ln



2 sinx 2



.

1. Sprawdź, czy f jest parzysta.

2. Udowodnij, że f ∈ L¹_P(0, 2π).

3. Czy f ma wariację ograniczoną na (0, 2π)? Czy należy do L²_p(0, 2π)?

4. Aby rozwinąć funkcję f w szereg Fouriera, oblicz a_n (n ­ 1). Zauważ najpierw, że całka

I_n=

Z π 0

ctg x

2sin nx dx nie zależy od n (oblicz I_n− I_n−1).

5. Oblicz wartość a₀ i wykaż, że

∀_x∈(0,2π)

∞

X

n=1

1

ncos nx = − ln



2 sinx 2



.

1

Zad. 6. Niech f ∈ L¹_P(0, a) i niech {f_k} będzie ciągiem z L¹_P(0, a) takim, że

k→∞lim

Z a 0

|f (t) − fk(t)| dt = 0.

Udowodnij, że dla ustalonego n

k→∞lim c_n(f_k) = c_n(f ).

Zad. 7. (Szereg Fouriera iloczynu funkcji) Niech f i g będą funkcjami z przestrzeni L²_P(0, a).

1. Sprawdź, że f g ∈ L¹_P(0, a).

2. Niech

f_N(t) =

N

X

n=−N

c_n(f )e^2iπnat,

g_N(t) =

N

X

n=−N

c_n(g)e^2iπnat.

Udowodnij, że

c_n(f_Ng_N) =

N

X

k=−N

c_n−k(f )c_k(g).

3. Udowodnij, że f_Ng_N jest zbieżne do f g w L¹_P(0, a) i na mocy poprzedniego zadania wywnioskuj, że

∀_n∈Z cn(f g) =

∞

X

k=−∞

cn−k(f )ck(g) i szereg ten jest zbieżny bezwzględnie.

2