´Scisłe rezultaty

´Scisłe rezultaty

w teoriach kwantowych

Tomasz Sowi ´nski

23 lutego 2005

Funkcje falowe

układów liniowych

Hamiltonian układu liniowego

Hamiltonian układu liniowego

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r Równania Hamiltona

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p − mg(t) Mody własne

r(t) = R ₀ e ^iωt

p(t) = P ₀ e ^iωt

Hamiltonian układu liniowego

Hamiltonian układu liniowego

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r Równania Hamiltona

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p − mg(t) Mody własne

r (t) = R ₀ e ^iωt

p (t) = P ₀ e ^iωt

Hamiltonian układu liniowego

Hamiltonian układu liniowego

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r Równania Hamiltona

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p − mg(t) Mody własne

r (t) = R ₀ e ^iωt

p (t) = P ₀ e ^iωt

Dynamika kwantowa

Hamiltonian kwantowy

H ˇ = −~ ²

2m ∇ ² + ~

i r· ˆ Ω·∇ + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r na pocz ˛ atek badamy ewolucj˛e paczki gaussowskiej Ψ(r, t) = N (t) e

^{φ (t)} exp

½

− m

2~ [r − R(t)]· ˆ K (t)·[r − R(t)] + ir·P (t)

~

¾

´Srednie poło˙zenie i p˛ed

hˇ ri = Z

Ψ

(r, t) r Ψ(r, t)

r = R(t)

hˇ pi = ~ i

Z

Ψ

(r, t) ∇ Ψ(r, t)

r = P(t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa´n na ewolucj˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R(t)

d t = P(t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R(t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( Im K ˆ (t))

d φ (t)

d t = − ~

2 Tr( Re K ˆ (t)) − P(t) ²

2m + m

2 R(t)· ˆ V ·R(t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa´n na ewolucj˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R(t)

d t = P(t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R(t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( Im K ˆ (t))

d φ (t)

d t = − ~

2 Tr( Re K ˆ (t)) − P(t) ²

2m + m

2 R(t)· ˆ V ·R(t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa´n na ewolucj˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R(t)

d t = P(t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R(t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( Im K ˆ (t))

d φ (t)

d t = − ~

2 Tr( Re K ˆ (t)) − P(t) ²

2m + m

2 R(t)· ˆ V ·R(t)

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz ^{K ˆ}

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz ^{K ˆ}

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz ^{K ˆ}

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

− i m

µ d d t N ˆ

¶

· ˆ D ⁻¹ + i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ ·

µ d d t D ˆ

¶

· ˆ D ⁻¹ =

= i

m ² N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ N · ˆ D ⁻¹ + i ˆ V + i

m Ω· ˆ ˆ N · ˆ D ⁻¹ − i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ Ω

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz ^{K ˆ}

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

− i m

µ d d t N ˆ

¶

· ˆ D ⁻¹ + i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ ·

µ d d t D ˆ

¶

· ˆ D ⁻¹ =

= i

m ² N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ N · ˆ D ⁻¹ + i ˆ V + i

m Ω· ˆ ˆ N · ˆ D ⁻¹ − i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ Ω

Ewolucja kształtu paczki

Po uporz ˛ adkowaniu równania maj ˛ a posta´c:

d D ˆ

d t = 1

m N − ˆ ˆ Ω· ˆ D

d N ˆ

d t = − m ˆ V · ˆ D − ˆ Ω· ˆ N Przypomnijmy klasyczne równania ruchu:

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p − mg(t)

Kolumny ˆ N i ˆ D spełniaj ˛ a klasyczne równania ruchu!

Równanie Diraca

z polem kierunkowym

´Scisłe rozwi ˛azania równania Diraca

Znane ´scisłe rozwi ˛ azania równania Diraca swobodne

w stałym polu elektrycznym i magnetycznym atom wodoru

w fali płaskiej Volkov 1935

w wirze elektromagnetycznym ^{IBB 2004} w wirze z fal ˛ a płask ˛ a TS & IBB 2005/06

Szczególne przypadki pól kierunkowych

E ~ = ~n(~n · E ~ ) + ~n × B ~ B ~ = ~n(~n · B ~ ) − ~n × E ~

F ~ = E ~ + i B ~ F ~ = ~n(~n · F ~ ) + i ~n × F ~

PSfrag replacements ^{E ~}

E ~

B ~

B ~

~ n

´Scisłe rozwi ˛azania równania Diraca

Znane ´scisłe rozwi ˛ azania równania Diraca swobodne

w stałym polu elektrycznym i magnetycznym atom wodoru

w fali płaskiej Volkov 1935

w wirze elektromagnetycznym IBB 2004

w wirze z fal ˛ a płask ˛ a TS & IBB 2005/06

Szczególne przypadki pól kierunkowych

E ~ = ~n(~n · E ~ ) + ~n × B ~ B ~ = ~n(~n · B ~ ) − ~n × E ~

PSfrag replacements ^{E ~}

E ~

B ~

B ~

~ n

Równanie Diraca dla pól kierunkowych

F ~ = ~n(~n · ~ F ) + i~n × ~ F Równanie Diraca

à P ₀ − m − ~ σ · ~ _P

− ~ σ · ~ P P ₀ + m

!

Ψ = 0 P ^µ = p ^µ − eA ^µ Rozwi ˛ azania s ˛ a postaci:

Ψ =

à P ₀ + m + ~σ · ~ P P ₀ − m + ~σ · ~ P

!

φ (~ r , t ) _P ˆ

−

v +

à P ₀ + m − ~σ · ~ P

− _{P 0} − m + ~σ · ~ P

!

χ (~ r , t ) _P ˆ

_v h P ² ₀ − ~ _P ² − m ² + ie~n · ~ F i

φ = 0 h P ² ₀ − ~ _P ² − m ² + ie~n · ~ F ^∗ i

χ = 0

P ˆ

= 1 ± ~n · ~σ

2

Równanie Diraca dla pól kierunkowych

F ~ = ~n(~n · ~ F ) + i~n × ~ F Równanie Diraca

à P ₀ − m − ~ σ · ~ _P

− ~ σ · ~ P P ₀ + m

!

Ψ = 0 P ^µ = p ^µ − eA ^µ Rozwi ˛ azania s ˛ a postaci:

Ψ =

à P ₀ + m + ~σ · ~ P P ₀ − m + ~σ · ~ P

!

φ (~ r , t ) _P ˆ

−

v +

à P ₀ + m − ~σ · ~ P

− _{P 0} − m + ~σ · ~ P

!

χ (~ r , t ) _P ˆ

_v h P ² ₀ − ~ _P ² − m ² + ie~n · ~ F i

φ = 0 h P ² ₀ − ~ _P ² − m ² + ie~n · ~ F ^∗ i

χ = 0

P ˆ

= 1 ± ~n · ~σ

2

Równanie Diraca dla pól kierunkowych

F ~ = ~n(~n · ~ F ) + i~n × ~ F Równanie Diraca

à P ₀ − m − ~ σ · ~ _P

− ~ σ · ~ P P ₀ + m

!

Ψ = 0 P ^µ = p ^µ − eA ^µ Rozwi ˛ azania s ˛ a postaci:

Ψ =

à P ₀ + m + ~σ · ~ P P ₀ − m + ~σ · ~ P

!

φ (~ r , t ) _P ˆ

−

v +

à P ₀ + m − ~σ · ~ P

− _{P 0} − m + ~σ · ~ P

!

χ (~ r , t ) _P ˆ

_v h P ² ₀ − ~ _P ² − m ² + ie~n · ~ F i

φ = 0 h P ² ₀ − ~ _P ² − m ² + ie~n · ~ F ^∗ i

χ = 0

P ˆ

= 1 ± ~n · ~σ

2

Kierunkowe pole elektromagnetyczne

F ~ = ~n(~n · ~ F ) + i ~n × ~ F

Swobodne równania Maxwella

i∂ _t F ~ = ∇ × ~ F ∇ · ~ F = 0

Naturalne zmienne dla takiego pola (~n = ˆe ^z ) :



 



 



x

= x + iy

x

= x − iy

t

= t + z

t

= t − z

⇒



 



 



∂

F _z = 2∂

F _x

∂

F _z = 0

∂

F _z = 0

∂

F _z = 2∂

F _x

Zadajemy dwie dowolne funkcje: F _z ( x

, t

) i ^{H ( x}

^{, t}

⁾ F _x ( x

, x

, t

, t

) = 1

2 [ t

∂

F _z + x

∂

F _z + H( x

, t

)]

F _y ( x

, x

, t

, t

) = iF _x ( x

, x

, t

, t

)

Kierunkowe pole elektromagnetyczne

F ~ = ~n(~n · ~ F ) + i ~n × ~ F

Swobodne równania Maxwella

i∂ _t F ~ = ∇ × ~ F ∇ · ~ F = 0

Naturalne zmienne dla takiego pola (~n = ˆe ^z ) :



 



 



x

= x + iy

x

= x − iy

t

= t + z

t

= t − z

⇒



 



 



∂

F _z = 2∂

F _x

∂

F _z = 0

∂

F _z = 0

∂

F _z = 2∂

F _x

Zadajemy dwie dowolne funkcje: F _z ( x

, t

) i ^{H ( x}

^{, t}

⁾ F _x ( x

, x

, t

, t

) = 1

2 [ t

∂

F _z + x

∂

F _z + H( x

, t

)]

F _y ( x

, x

, t

, t

) = iF _x ( x

, x

, t

, t

)

Kierunkowe pole elektromagnetyczne

F ~ = ~n(~n · ~ F ) + i ~n × ~ F

Swobodne równania Maxwella

i∂ _t F ~ = ∇ × ~ F ∇ · ~ F = 0

Naturalne zmienne dla takiego pola (~n = ˆe ^z ) :



 



 



x

= x + iy

x

= x − iy

t

= t + z

t

= t − z

⇒



 



 



∂

F _z = 2∂

F _x

∂

F _z = 0

∂

F _z = 0

∂

F _z = 2∂

F _x

Zadajemy dwie dowolne funkcje: F _z ( x

, t

) i ^{H ( x}

^{, t}

⁾ F _x ( x

, x

, t

, t

) = 1

2 [ t

∂

F _z + x

∂

F _z + H( x

, t

)]

F ( x , x , t , t ) = iF ( x , x , t , t )

Kierunkowe pole elektromagnetyczne

F ~ = ~n(~n · ~ F ) + i ~n × ~ F

Swobodne równania Maxwella

i∂ _t F ~ = ∇ × ~ F ∇ · ~ F = 0

Naturalne zmienne dla takiego pola (~n = ˆe ^z ) :



 



 



x

= x + iy

x

= x − iy

t

= t + z

t

= t − z

⇒



 



 



∂

F _z = 2∂

F _x

∂

F _z = 0

∂

F _z = 0

∂

F _z = 2∂

F _x

Zadajemy dwie dowolne funkcje: F _z ( x

, t

) i ^{H ( x}

^{, t}

⁾ F _x ( x

, x

, t

, t

) = 1

2 [ t

∂

F _z + x

∂

F _z + H( x

, t

)]

x x t t x x t t