WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK UKŁADU LINIOWEGO PRZY REZONANSIE PRZEJŚCIOWYM

36, s. 207-212, Gliwice 2008

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK UKŁADU LINIOWEGO PRZY REZONANSIE PRZEJŚCIOWYM

P

K

Katedra Podstaw Techniki, Akademia Morska w Gdyni e-mail: pawkas@am.gdynia.pl

Streszczenie. W artykule rozpatrywano przejście przez strefę rezonansu układu liniowego o jednym stopniu swobody przy wzrastającej częstości wymuszenia (rozpędzanie układu) oraz przy malejącej częstości wymuszenia podczas hamo- wania układu. Na podstawie przeprowadzonych symulacji numerycznych wyzna- czono bezwymiarowe charakterystyki dynamiczne układu przy przejściu przez re- zonans. Charakterystyki te określają współczynnik wzmocnienia amplitudy oraz częstość rezonansu dynamicznego w funkcji zmiany częstości wymuszenia.

1. WSTĘP

Wiele układów mechanicznych w tym większość okrętowych układów napędowych jest eksploatowana powyŜej obrotów krytycznych odpowiadających pierwszej częstości drgań własnych skrętnych układu napędowego [2]. W związku z tym istnieje konieczność przecho- dzenia przez strefę rezonansu mechanicznego przy rozpędzaniu układu do prędkości eksplo- atacyjnej czyli wzrostu częstości wymuszenia z zakresu pod do pozarezonansowego (eksplo- atacyjnego). Odwrotna sytuacja istnieje podczas odstawiania układu napędowego, czyli zmniejszania częstości wymuszenia z zakresu eksploatacyjnego. Rezonansem przejściowym w odróŜnieniu od rezonansu stacjonarnego nazwiemy stan osiągnięcia maksymalnej amplitu- dy drgań przy wymuszeniu o zmiennej (wzrastającej lub malejącej) częstości wymuszenia.

Zagadnienia rezonansu przejściowego rozwaŜano w wielu pracach juŜ w okresie przed i powojennym, wyjaśniając istotę tego zjawiska. Pełną syntetyczną analizę tych prac przed- stawiono m. in. w [1]. Częstość rezonansu przejściowego jest zawsze przesunięta w stronę częstości wyŜszych przy rozpędzaniu układu i w stronę częstości niŜszych przy hamowaniu układu, amplituda jest zawsze mniejsza od amplitudy przy rezonansie stacjonarnym [1],[2].

Wielkość przesunięcia częstości rezonansowych i wielkość amplitudy zaleŜy od sposobu i prędkości przejścia przez zakres częstości rezonansowych. Przebiegi drgań przy rezonansie przejściowym wyznaczono metodą numerycznej symulacji równań ruchu układu.

2. MODEL UKŁADU DRGAJĄCEGO

W artykule analizowano drgający układ liniowy o jednym stopniu swobody (rys.1) o parametrach m, c, k charakteryzujących własności masowe (m), tłumiące (c) i spręŜyste (k).

Na układ działa uogólniona siła wymuszająca P(t) o stałej amplitudzie P_o i zmiennej częstości wymuszenia. Przebieg drgań x(t) przy zadanych parametrach rozpędzania lub hamowania układu jest wyznaczany na podstawie symulacji numerycznego całkowania równania róŜnicz- kowego opisującego proces drgań układu przy przechodzeniu przez rezonans. Równanie ru- chu układu drgającego w postaci przyspieszenia współrzędnej uogólnionej x ma postać [4],[5]:

&x&+2ξω₀x&+ω²₀x=qsinϕ

( )

m q P

; km 2 c

; c c

; m

k ₀

kr kr

0 = ξ= = =

ω

przy czym: ω₀ - częstość drgań własnych układu nietłumionego; ξ - bezwymiarowy współczynnik tłumienia; φ(t) – funkcja kątowa zmiany częstości wymuszenia w czasie t.

Rys.1 Schemat układu drgającego o jednym stopniu swobody

W przypadku jednostajnej (liniowej) zmiany częstości wymuszenia ω od częstości począt- kowej ω_p z przyspieszeniem kątowym ε [s^-2] funkcję kątową φ zmiany częstości oraz zmianę częstości wymuszenia ω przedstawia się w postaci:

ω

( )

( )

ϕ (2) Szybkość i kierunek przechodzenia przez strefę rezonansu charakteryzuje znak i wartość przy- spieszenia ε. Stany rezonansu statycznego występują dla zakresów bezwymiarowego współ- czynnika tłumienia ξ w granicach 0≤ξ≤ξ_gr. Równanie (1) wraz z funkcją zmiany częstości wymuszenia (2) opisuje drgania układu przy zmiennej liniowo częstości siły wymuszającej.

Jest to równanie róŜniczkowe, którego rozwiązanie analityczne i numeryczne analizowano w pracach [1],[3],[5]. W niniejszej pracy rozwiązanie równania uzyskano na drodze nume- rycznej.

3. SYMULACJA DRGAŃ, CHARAKTERYSTYKI REZONANSOWE

Równanie (1) rozwiązywano numerycznie metodą Rungego-Kutty rzędu czwartego ze zmiennym automatycznym doborem kroku całkowania [3]. Wielkościami określającymi przejście przez rezonans były: częstość początkowa wymuszenia ω_p oraz zmiana częstości wymuszenia ε. Wszystkie symulacje przeprowadzono przy jednakowych zerowych warunkach początkowych wychylenia oraz prędkości drgań. Podczas symulacji stosowno początkowe częstości wymuszenia ω_p umoŜliwiające jednakowy czas osiągania częstości własnej przy zwiększaniu jak i zmniejszaniu częstości wymuszenia. W wyniku rozwiązania równania otrzymano dla danego układu drgającego i danych parametrów zmiany częstości wymuszenia przebieg wychylenia x w funkcji czasu t, gdzie przykładowy przebieg tej zaleŜności przedsta- wiono na rys. 2 jako fragment okna dialogowego programu symulacyjnego, gdzie moŜna od- czytać

Rys. 2 Przemieszczenie x(t) oraz siła wymuszająca przy rezonansie dynamicznym wartość maksymalnej amplitudy xm oraz odpowiadający jej czas tm od rozpoczęcia symulacji.

Z czasu t_m moŜna wyznaczyć ze wzoru (2) dla zadanych warunków symulacji ω_p i ε częstość rezonansową ω_R przy której następuje maksimum amplitudy. Dla poszczególnych układów drgających i symulacji moŜna zbudować parametry bezwymiarowe analogiczne jak w charakterystykach rezonansowych przy stałej częstości wymuszenia [1],[5]. Są to parame- try: współczynnik amplitudy przy rezonansie przejściowym µ_d oraz bezwymiarowa częstość rezonansowa η_d definiowane następująco:

0 d R st

d m ; x

x

ω

=ω η

=

µ ;

k

x_st = P⁰ (3)

Przykładowy wykres współczynnika wzmocnienia amplitudy µd w funkcji przyspieszenia ε przedstawiono na rys.3 dla tłumienia względnego ξ = 0 (A) i ξ = 0,01 (B) dla trzech przykła- dowych układów drgających róŜniących się częstością własną i oznaczonych a, b, c. Wprowa- dzono wielkość bezwymiarowego przyspieszenia ε* zdefiniowanego [1] następująco:

20

*

ω

= ε

ε (4)

Wszystkie wykresy współczynnika wzmocnienia amplitudy µd w funkcji przyspieszenia ε^* dla róŜnych układów drgających przy tym samym tłumieniu względnym moŜna przedstawić na jednej charakterystyce przedstawionej na rys. 4 dla trzech róŜnych wartości tłumienia względ- nego ξ równego 0; 0,01; 0,025 oznaczonych cyframi 1,2,3. Otrzymane w wyniku symulacyj- nego przejścia przez strefę rezonansu przedstawione wykresy są symetryczne względem osi pionowej. Wielkości amplitudy drgań rezonansowych dla zerowego przyspieszenia (ε* = 0) osiągają wartości jak przy rezonansie o stałej częstości wymuszenia µ_rs wynoszącej:







ξ

<

ξ

<

ξ

− ξ

= ξ

∞

=

µ gr

2

rs 0

1 2

1

0

(5)

0 20 40 60 80 100

-0,012 -0,008 -0,004 0 0,004 0,008 0,012

a a

b b

c c

ξξξξ=0

µµµ µ_d

ε [ ε [ε [ ε [s ] ] ] ]^-2 A

0 10 20 30 40 50

-0,012 -0,008 -0,004 0 0,004 0,008 0,012

ξξξξ=0,01

µ µµ µd

a a

b b

c c

ε [ ε [ε [ ε [s ] ] ] ]^-2 B

Rys.3 Amplituda rezonansowa µd w funkcji przyspieszenia ε przy tłumieniu A) = 0;

B) ξ = 0,01 dla układów: a) ω0 = 1[s^-1]; b)ω0 = 2[s^-1]; c) ω0 = 0,5[s^-1].

Podobnie jak amplitudę rezonansu dynamicznego µd analizowano częstość rezonansową ωd

w funkcji przyspieszenia ε i przyspieszenia bezwymiarowego ε* .Przykładowe wykresy czę- stości rezonansowej η_d w funkcji przyspieszenia ε dla tych samych układów drgających jak na rys. 2

0 20 40 60 80 100

-0,012 -0,008 -0,004 0 0,004 0,008 0,012

1

2

3

εεεε^* µ

µµ µd

Rys.4 Bezwymiarowa amplituda rezonansowa µd w funkcji przyspieszenia ε^* dla wartości tłumienia względnego ξ :1) ξ = 0; 2) ξ = 0,01; 3) ξ = 0,025

przedstawiono na rys.5 przy tłumieniu względnym ξ = 0 (A). Usytuowanie wykresów a, b, c dla róŜnych zakresów częstości własnej względem częstości ω0 = 1 jest analogiczne jak na

wykresach z rys 2 i 3 dla amplitud rezonansowych. W przypadku przyspieszenia ε = 0 czę- stość rezonansowa jest równa częstości przy rezonansie ze stałą częstością wymuszenia wyno- szącą:

η_rs = 1−2ξ² (6) Z przedstawionych wykresów a, b, c wynika, iŜ przesunięcie wielkości strefy rezonansowej w kierunku wyŜszych częstości przy rosnącej częstości wymuszenia jak i przesunięcie strefy rezonansu w stronę niŜszych częstości jest zaleŜne od tłumienia oraz przyspieszenia częstości wymuszenia.

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

-0,012 -0,008 -0,004 0 0,004 0,008 0,012

ξξξξ=0

a

a

b

b

c

c η

ηη η_d

ε [ ε [ ε [ ε [s ] ^-2 A

Rys. 5 Częstość rezonansowa η_d w funkcji przyspieszenia ε przy tłumieniu względnym A) ξ = 0; B) ξ = 0,01 dla układów: a) ω0 = 1[s^-1];b) ω0 = 2[s^-1]; c) ω0 = 0,5[s^-1]

Wzrost tłumienia względnego powoduje zmniejszenie strefy przesunięcia częstości rezonan- sowych, a wzrost wartości przyspieszenia powoduje zwiększenie strefy przesunięcia częstości rezonansowych.

0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25

-0,012 -0,008 -0,004 0 0,004 0,008 0,012

1 2 3

1 2 3

η η η ηd

ε∗

ε∗ε∗

ε∗

Rys.6 Bezwymiarowa częstość rezonansowa ηd w funkcji przyspieszenia ε^* dla wartości tłumienia względnego ξ :1) ξ = 0; 2) ξ = 0,01; 3) ξ = 0,025

Przykładowe charakterystyki przesunięcia częstości rezonansowych w funkcji przyspieszenia bezwymiarowego ε* przedstawiono na rys.6 dla trzech róŜnych współczynników tłumienia względnego ξ oznaczone cyframi 1,2,3.

4. WNIOSKI

Na podstawie przeprowadzonych symulacji numerycznych rezonansu przejściowego moŜ- na określić wartości amplitud oraz częstości rezonansowych w zaleŜności od szybkości zmian częstości siły wymuszającej. Współczynnik amplitudy przy rezonansie przejściowym przy da- nym tłumieniu względnym jest zawsze mniejszy od tego współczynnika przy rezonansie sta- cjonarnym. Zakres tego bezpieczeństwa widać na wykresach rys.4 i maleje on ze wzrostem tłumienia. Przesunięcie częstości rezonansu dynamicznego następuje w stronę częstości wyŜ- szych od częstości drgań swobodnych przy rozpędzaniu układu i w stronę częstości niŜszych przy odstawianiu układu. Maleje ono ze wzrostem tłumienia i rośnie ze wzrostem przyspie- szenia. Prezentowany model maszyny jako układu drgającego o jednym stopniu swobody jest zgrubnym przybliŜeniem, gdyŜ jest to układ dyskretno ciągły o większej liczbie stopni swo- body. Przedstawiony sposób przejścia przez strefę rezonansową charakteryzuje się liniową zmianą częstości i moŜna go rozszerzyć na inne bardziej rozbudowane charakterystyki zmiany częstości wymuszenia. Badania symulacyjne moŜna zastosować takŜe do układów o większej liczbie stopni swobody. Analogiczne charakterystyki rezonans przejściowego moŜna zbudo- wać przy wymuszeniu bezwładnościowym lub przy róŜnych modelach wymuszenia kinema- tycznego. Otrzymanie charakterystyk rezonansu przejściowego na drodze symulacji nume- rycznej równań ruchu układu jest znacznie szybsze niŜ ich otrzymanie na drodze analitycznej, która wymaga większych nakładów czasowych.

LITERATURA

1. Goliński J.A.: Analiza rezonansu przejściowego jednomasowego układu spręŜystego i jej zastosowanie do teorii wibroizolacji maszyn wirnikowych. Wrocław 1963. Cz. I . Prace IMP z. 13, s.81-198.

2. Kruszewski J., Wittbrodt E.: Drgania układów mechanicznych w ujęciu komputerowym.

T.I Zagadnienia liniowe. Warszawa : WNT, 1992.

3. Kucharski T.: Drgania mechaniczne. Rozwiązywanie zagadnień z MATHCAD-em. War- szawa: WNT, 2004.

4. Marciniak A., Gregulec D., Kaczmarek J.: Podstawowe procedury numeryczne w języku Turbo Pascal. Poznań: Mikom, 1997.

5. Osiński J. Teoria drgań. Warszawa :PWN, 1980.

THE DETRMINATION CHARACTERISTICS BY TRANSIENT RESONANCE OF LINEAR SYSTEM

Summary. Present paper shows transient through resonance zone of linear sys- tem with one degree of freedom by increasing exciting frequency (system accele- ration) and by decreasing exciting frequency during system braking. On the basis of numeric simulations the dynamic system by the resonance transition is pre- sented in dimensionless characteristics. This characteristics describes the ampli- tude gain factor and dynamic resonance frequency in the variation of exciting fre- quency function.