Perturbation, approximation et controle optimal d'un systeme gouverne par les equations de Navier-Stokes couplees a celle de la chaleur

PERTURBATION, APPROXIMATION ET

CONTROLE OPTIMAL D'UN SYSTEME

GOUVERNE PAR LES EQUATIONS DE

NAVIER-STOKES COUPLEES A CELLE

DE LA CHALEUR

PAR LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

COUPLEES A CELLE DE LA CHALEUR

11

In IIII'• IInil i l l mil III I

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00 M OJ o sO o O IjJ 00 O Ul OD BIBLIOTHEEK TU Delft P 1798 2385 C 538392

CONTROLE OPTIMAL D'UN SYSTEME GOUVERNE

PAR LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

COUPLEES A CELLE DE LA CHALEUR

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van de graad van doctor in de technische wetenschappen

aan de Technische Hogeschool Delft, op gezag van de rector magnificus

prof. dr. ir. H. van Bekkum, voor een commissie aangewezen door het

college van dekanen te verdedigen op woensdag 26 mei 1976 te 14.00 uur

door

CORNELIS CUVELIER, drs. Wis- en Natuurkunde

geboren te Amstelveen

l)^6>

PREFACE

Que M. TEMAM veuille "bien trouver ici 1'expression de ma gratitude, pour m'avoir inspire I'ohjet de ce travail. Je le remercie egalement pour son hospitalite pendant mon sejour (1973-197^) a I'Universite de Paris-Sud.

Je remercie M. DECORI qui a bien voulu corriger le texte francjais. Mes remerciements vont aussi aux Mesdemoiselles Annelies ROUWENHORST et Ank VOETS pour le soin et la diligence qu'elles ont sa apporter a la realisation de ce document.

Je tiens, enfin, a remercier 1'Organisation Neerlandaise pour le Developpement de la Recherche Scientifique (Z.W.O.) d'avoir partiellement suhventionne ce travail.

T A B L E D E S M A T I E R E S

IMTRODUCTION p. 11

CHAPITRE 0 : Principales notations. p. 23

CHAPITRE I : Les equations de Navier-Stokes couplees a q

equations du type de 1'equation de la chaleur. p. 39

CHAPITRE II : Essais numeriques. p. 83

CHAPITRE III: Un probleme de controle optimal pour un systeme gouverne par les equations de Navier-Stokes

couplees a celle de la chaleur. p. 101

CHAPITRE IV : Essais numeriques. p. 179

BIBLIOGRAPHIE p. l89

SAMEMVATTIMG (resume en neerlandais). p. 195

CURRICULUM VITAE p. 197

La description mathematique de I'etat d'un fluide en raouvement se fait au moyen de fonctions determinant la distribution de la Vitesse du fluide et de deux quelconques de ses grandeurs thermodynamiques, par exemple de la pression et de la densite. On sait que toutes les grandeurs thermodynamiques sont

determinees d'apres les valeurs de deux quelconques d'entre elles par 1'equation d'etat de la matiere, ceci etant, la donnee de cinq grandeurs, des trois

composantes de la Vitesse, de la pression et de la densite, determine complete-ment I'etat du fluide en mouvecomplete-ment.

Coiranen(;ons par 1'introduction de I'equation de la conservation de la masse. Nous considerons un fluide dans un domame borne de I'espace K (N = 2 ou 3) dont la densite p est une fonction du temps et de la position x = {x^ , .... x_}. Soit, ensuite, u = (u^, ..., u } le vecteur Vitesse, alors la conservation de la masse est exprimee par la loi suivante.

(1) 1 ^ + div(pu) = 0 ou bien

|£-.p d i v u . Z u ^ l ^ = 0 1=1 1

Cette loi peut etre obtenue en exigeant que la quantite de masse qui sort d'un certain volume soit equivalents a la quantite de masse qui entre dans ce volume.

La deuxieme equation est basee sur la supposition que le fluide est nevftonien, c'est-a-dire que la relation entre le tenseur visqueux des contraintes a' (anglais, viscous stress tensor) et le tenseur des vitesses

IK

de deformation (anglais, rate of deformation tensor) est lineaire (cf. COLEMAN, MARKOVITZ, NOLL [1]). Alors le tenseur des contraintes a (anglais: stress tensor) s'ecrit sous la forme.

(2) °.k = -5^k ^

"IK

ou

6 , = le tenseur unite (symbole de Kronecker)

ik

p = la pression.

Or la conservation de I'lmpulsion d'un fluide newtonien s'exprime par les equations suivantes.

3(pu, ) N 3(pu u, ) 3t 1=1 8x

(3)

k 1=1 1 8u 3u, , 1 k, k 1 + - ^ ( A div u ) , k = 1 N

ou p et X sont des coefficients de viscosite lies par la relation de Stokes 2M + 3A = 0, F = {F., ..., F } = force exterieure.

La troisieme equation que nous obtiendrons est celle de la conservation de I'energie. Considerons un volume dans le fluide et ecrivons le bilan de i'energie par unite de masse, nous obtenons I'equation suivante

^ { p ( e ^ ' ) } . ; ^{pu^(e>i')) =

1=1 1 (1*) N N N 3u 3u Z r ^ p u ) + Z Z T ^ (UU (—i + -^)} + N

. ^^ i f Uu^ ci- u) . '. -l-(.^^l^)

1=1 1 1=1 1 1

e = I'energie interne de I'unite de masse Te = la temperature

<_ = coefficient de thermoconduction Te

II nous reste a exprimer la conservation d'une matiere dissoute dans le fluide. Soit C la concentration de ce polluant, elle verifie

(5)

3(pC) _3t - Z (pCu ) - div J

dx 1 1=1 1

ou J designe la densite de flux de diffusion, c'est-a-dire la quantite de substance consideree transferee par diffusion dans 1'unite de temps a travers

I'unite d'aire.

p ic (grad C + —r— grad Te + —§ grad p) c Te p

< = coefficient de diffusion c

D„ = coefficient de thermodiffusion Te

D = coefficient de diffusion barometrique P

Pour la derivation complete des equations (l), (3), {h) et (5) nous renvoyons a LANDAU, LIFCHITZ [1].

Nous supposons que le fluide est isotrope de telle sorte que les coefficients p et \ ne dependent pas de x. Grace a I'equation (l), il est possible d'ecrire les equations (3), C*) et (5) de facjon plus simple

3u N 3u N 32u k ^ „ k ^ k ^ 3p p - r - + P Z U. T - P Z T + T ^ ^ (3')

(V)

(5') 3t . , i 3x. . , 3x.'^ 3x, 1=1 1 1=1 1 k (P + A) -r— (div u) + pF , k = 1 , .. . , N oX. K k N N 3e _^ _ 3e I d , 3Te. 1=1 1 1=1 1 1 N N 3u. 3u p(div u) + X(div u)2 + Jp Z Z ( T - ^ + -—)

1=1 k=1 k 1 N N 3C , " 3C ' 3 , 3C, 1=1 1 1=1 1 1 _ " 3 , ,°Te 3Te , °p 3p^, 1=1 1 1 1

Les equations de conservation de la masse, de 1'impulsion de I'energie et de la masse du polluant doivent etre completees par une equation d'etat du fluide. Nous posons:

(6) P = PQ^^ " ^Te (Ts-Te ) - e^ (C-C'')] avec

Te et C des valeurs constantes

S„ = coefficient de dilatation thermique

6 = coefficient de dilatation due a la concentration c

p = la densite du fluide a temperature Te et a concentration C .

-3 ^ Notons que les valeurs de & et de 6 sont assez petites. environ 10 a 10~ (unites, kg, m, sec, °C) (cf. CHANDRASEKHAR [l]). Nous substituons 1'expression (6) dans (l), qui devient

[1 - 0„ (Te-Te*) - g (C-C*)] div u = Te c (7) = 6^^ ^ (Te-Te'') . g^ ^ (C-C*) . N N

" ^Te \ ^ ^ (^^-^^')" ^c \ \ i r (^-^''

1=1 1 1=1 1

Nous supposons les differences de temperature et de concentration suffisamment petites pour qu'on puisse considerer les quantites physiques p. A, < , K , 6 , g comme independantes de la temperature et de la concentration. Dans cette hypothese nous pouvons remarquer que le second membre de (7) est de I'ordre de g (ou g ) , de sorte qu'il est justifie de faire 1'approximation suivante

(8) div u = 0

Cependant, pour un fluide incompressible, il existe une relation entre I'energie interne par unite de masse et la temperature, a savoir

(9) e = c Te P

ou c designe la chaleur specifique a pression constante.

D'apres la relation (9), il est possible d'eliminer la quantite e de I'equation de conservation de I'energie.

Nous nous bornerons au cas ou le gradient de pression et celui de temperature sont relativement petits, de sorte qu'il est permis de negliger les termes

-2. _11 , ^ 3Te p 3x T e 3x

1 1

d a n s (5')

A partir d e s equations ( 3 ' ) et (6) o n salt demontrer (cf. CHANDRASEKHAR [l]] que l a dissipation d'energie

2

N N /3u 3u,

iN i^ /a Li dU, \

1=1 k=l » k i'

est d'un ordre inferieur compare aux autres termes de (!*'), de sorte qu'elle peut etre omise.

Ces suppositions etant faites, les equations de conservation peuvent etre ecrites comme suit.

(10) div u = 0

3u N 3u N 32u

(1^) p - ^ ^ p ^ ^ 3 f - ^ \ i ^ ^ ^ - - ' \ ' k = i , . . . , N

1=1 1 1=1 1 k N K N 1

,,^. 3 T e _^ " 3Te "le ' i^Te _ ^

^ 2 ) P -r- + p Z u Z — — J = 0 3t , 1 3x c , 3x ^ 1=1 1 p 1=1 1 N N / 1 n \ 3C ^ „ 3C 3 / 3C_v 3t , 1 3x c , dx 3x 1 = 1 1 1 = 1 1 1

Maintenant n o u s ferons 1'approximation de Boussinesq (cf. BOUSSINESQ [1]) qui consiste a remarquer q u e l a variation de p est b e a u c o u p plus importante d a n s l e t e r m e pF de ( l l ) que dansles autres termes de ( l l ) , (12) et (13) a u point q u e l a d e n s i t e p peut etre consideree comme constante (p = p _ ) , sauf d a n s le t e r m e .

(lit) pFj^

Soit p la pression pour laqueUeTe = Te , C = C , p = p et u = 0. I I suit de I'equation (11) que p verifie

i T = pQ^k

Nous considerons le terme - r ^ de (11 ) et nous posons p = p_^ + p , il devient dx, 0 k

i ^ = !Z0^ 3£_ ^ ^

3x, 3x, 3x, O k 3x, k k k k

Substituant cette expression dans I'equation (11 ) , on obtient f m a l e m e n t le systeme d'equations suivant.

div u = 0

'^ 1=1 "^ ' \ " PQ 1=1 " ^ PO ' \

Fj^(g^^(Te-Te'') + g^(C-c'')), k = 1, ..., N

N K N T 3Te ^ ' 3Te Te ' 32Te „ — — + Z u Z -T T = 0 3t , 1 3x c p„ , 3x ^ 1=1 1 p 0 1=1 1 N N o 3C _,. " 3C 1 3^0 _ ^ T T + Z u K Z -—2" = 0 3t , 1 3x c , 3x ^ 1=1 1 1=1 1 Nous ecrivons ce systeme sous forme vectorielle

(15) div u = 0 3 " (16) -rr + 2 u i^ vAu + grad 2 - = f + gz " 1=1 ^ ^ \ pQ

(17) If + Z u 1 ^ - <AZ = g *

3t , 1 3x 1=1 1

V = •'^ = coefficient de viscosite cinematique Pn

f = F(g Te** + g C**) Te c

3i)

^ - O

g = vecteur dont les composantes representent les sources de la chaleur et du polluant.

A ce systeme d'equations aux derivees partielles nous ajoutons les conditions aux limites et initiales.

REMARQUES

1. Dans la suite nous noterons Te au lieu de Z

p au lieu de ^^

. . ^° . . . . ^Te

2. Sans restriction de la generalite nous posons = < , de faqon que K peut etre considere comme quantite scalaire.

3. L'extension a des problemes avec plusieurs polluants est immediate.

k. Les equations (l6) avec la contrainte (15) sont appelees "equations de Navier-Stokes".

Le systeme d'equations (15), (l6) et (17) constitue un couplage des equations de Navier-Stokes avec quelques equations du type de I'equation de la chaleur.

Les equations de Navier-Stokes ont ete etablies, en principe, pour la premiere fois par NAVIER [1] et ont ete completees par STOKES [1]. Les resultats de base

de la theorie de I'existence et de I'unicite des solutions de ces equations sont dus aux travaux classiques de LEFIAY [l], [2], qui a introduit la notion de solution faible (ou turbulente). On trouvera des demonstrations de I'existence, de I'unicite et de la regularite d'une solution faible dans e.a. HOPI [1], L A D Y 2 E N S K A Y A [l], LIONS [6], TEMAM [6].

L'approximation d'une solution des equations de Havier-Stokes a fait I'objet de nombreux travaux. Parmi les methodes proposees pour la resolution numerique de ces equations, on peut distinguer celles qui utilisent comme mconnues la fonction de courant et le tourbillon et celles qui considerent le vecteur Vitesse et la pression.

Par 1'introduction de la fonction de courant et du tourbillon on evite les difficultes dues a la contrainte "div u = O". Un desavantage de cette methode est qu'elle n'est applicable que si la dimension d'espace est egale a 2. Parmi ceux qui utilisent cette methode nous citerons FROMM [l], [2], CAMPBELL [l], TA PHUOC LOC [1], lis etudient des discretisations des equations de Navier-Stokes par des methodes de differences finies.

Parmi les auteurs qui emploient la deuxieme methode nous rappellerons seulement quelques-uns. KRZIVICKI, LADYZENSKAYA [l] etudient des methodes de differences finies et demontrent, par des methodes d'energie, la stabilite et la convergence des schemas proposes. Dans ces schemas, la condition discretisee "div u = o" est verifiee a chaque pas dans le temps, ce qui complique la mise en oeuvre des cal-culs. JAMET, LASCAUX, RAVIART [1] etudient un schema aux differences finies ex-plicite decentre voisin de celui de NOR [l], lis demontrent la stabilite et la convergence du schema. Quoique leur schema soit explicite, lis doivent tenir compte de la condition "div u = 0" et pour cela, resoudre un probleme d'equations aux differences finies lineaires a chaque pas dans la variable de temps. TEMAM [h],

FORTIN [1], FORTIN, TEMAM, PEYRET [l], FORTIN, TEMAM [l], CHORIN [2] etudient des schemas aux differences finies bases sur la methode de projection.

Une methode differente de celles que nous venons de mentionner a ete proposee et appliquee par LIONS [6], [7], TEMAxM [3], [5], [6], CHORIN [1], YANENKO [1] aux equations de Navier-Stokes. Le principe de cette methode, dite de la compressi-bilite artificielle, est le suivant Le systeme des equations de Navier-Stokes avec la condition de 1'incompressibilite n'est pas du type de Cauchy-Kowaleska, puisque la contrainte "div u = O" ne contient pas de derivee " —^ ". Lorsque I'on

3t

considere des approximations de la Vitesse et de la pression par la methode de differences finies, on peut constater que la condition "div u = O" rend assez difficile la resolution du probleme. On peut approcher ce systeme d'equations par un systeme du type de Cauchy-Kowaleska en ajout ant dans " div u = 0 " un terme " e -^ " , s > 0. En faisant cela il faut alors modifier les equations

de Navier-Stokes de fagon a obtenir des integrales d'energie. Si la dimension d'espace est egale a 2 TEMAM [2], [3], LIONS [6] demontrent que le probleme "perturbe" admet une solution unique et que, lorsque E ->- 0, cette solution con-verge vers la solution des equations de Navier-Stokes, tout cela dans des topo-logies convenables. En dimension d'espace egale a 3 on salt demontrer I'existence d'une solution, mais on ignore s'll y a unicite ou non.

Quant a la resolution numerique, TEMAM [3] a etudie des schemas aux differences finies bases sur une methode discrete de pas fractionnaires.

Si H H

Le probleme du couplage des equations de Navier-Stokes a celle de la chaleur a ete aborde par CHERNYAKOV [1] qui a obtenu des estimations a priori des solu-tions faibles et qui a demontre que la solution approchee, trouvee par la methode de Galerkin, converge vers une solution faible du probleme. L'unicite a ete re-cherchee par ZENOUDA [1], il demontre I'unicite d'une solution du probleme du couplage en dimension d'espace egale a 2.

Ponr 1'approximation numerique de la solution des equations de Navier-Stokes couplees a I'equation de la chaleur nous nous referons a WILKES [l], CHURCHILL, WILKES [1], FROM[>I [2], [3], DEARDORFF [l] qui introduisent la fonction de courant et le tourbillon et etudient ce systeme par des methodes de differences finies. ZENOUDA [1], qui considere comme inconnues la Vitesse, la pression et la temperature, etudie quelques schemas, parmi lesquels on trouve une discretisation voisine de celle de NOH [l], il demontre la stabilite et la convergence des schemas adoptes.

M i€ «

L'mteret d'une etude des equations de Havier-Stokes couplees a I'equation de la chaleur et a une ou plusieurs equations de diffusion des polluants consiste en son importance pour I'etude quantitative de la pollution de I'air ou celle de I'eau ou beaucoup de phenomenes sont dus a 1'interaction des forces exterieures (force de gravite) et a la fois des differences de densite des especes chimiques dissoutes dans le fluide (par exemple CO, SO dans I'air, differences de salinite dans I'eau) et des differences de temperature (cf. DETRIE [1], DOTREPPE-GRISVARD

[1] , McCORMAC [1]).

Farm les auteurs qui ont fait des essais numeriques il y en a tres peu qui considerent le systeme d'equations complet. Souvent lis se restreignent a des approximations par des couches limites ou bien font des simplifications

conside-r a b i e s . Nous ne c i t o n s que q u e l q u e s - u n s de c e s a u t e u conside-r s . GRJlNSKEI [ 1 ] , PERA, GEBHART [ 1 ] , [ 2 ] .

a n a

Le plan de redaction de notre travail est le suivant.

L'objet de la premiere partie (chapitres I et II) de cette these est I'etude, par la methode de la compressibilite artificielle, du systeme d'equations (15)>

(16), (17) complete par des conditions aux limites et initiales. Apres avoir evoque les resultats de I'existence et de I'unicite, tant pour le probleme (15), (l6), (17) que pour le probleme perturbe associe, nous presenterons un schema aux differences finies base sur une methode discrete de pas fractionnaires. Pour la solution de ce schema nimierique nous demontrerons la stabilite et la convergence vers une solution du probleme (15), (16), (17)- Le chapitre II est consacre a des essais nxuneriques relatifs aux couplage des equations de Navier-Stokes a celle de la chaleur.

Dans la deuxieme partie (chapitres III et IV) de cet ecrit nous etudierons un probleme de controle optimal par rapport au couplage des equations de Navier-Stokes a I'equation de la chaleur en dimension d'espace egale a 2. Hous appliquerons la methode de la compressibilite artificielle du chapitre I et nous etudierons un

schema aux differences finies du meme type que celui du chapitre I. Au chapitre IV nous presenterons quelques essais numeriques.

A I'appendice on trouvera des tableaux et des figures illustrant les calculs mentionnes aux chapitres II et IV.

PLAN DETAILLE

§0.1. Notions geometriques. §0.2. Espaces fonctionnels.

§0.3. Formes multilineaires et operateurs. §0.1*. Notations geometriques discretes. §0.5. Espaoes fonctionnels discrets.

§0.6. Formes multilineaires et operateurs discrets.

P- p- P- p-25 25 28 31 32 37

§0.1. MOTIONS GEOMETRIQUES.

(i) Soit Q un ouvert borne de E (N = 2 ou 3) de frontiere T reguliere.

(ii) Soit r = r.| u r^ avec r.| n F^ = 0 et I. reguliere, i = 1,2.

(iii) X = {x,, ..., X } designe la variable d'espace, x € IR ; mesure dx = dx,...dx„.

1 N

(iv) dF designe la mesure de surface sur F.

(v) t designe la variable de temps, t e r0,Tl, T fini; mesure dt.

(vi) n = n u F, Z = Fx]0,T[, dZ = dFdt, Z. = r.x]0,T[, i = 1,2.

(vii) n designe le vecteur unite normal a F dirige vers I'exterieur de SI.

* * *

§0.2. ESPACES FONCTIONNELS.

(i) Nous introduisons quelques espaces fonctionnels avec, eventuellement, leur produit scalaire et leur norme habituels (cf. LIONS ri*l,[6'l):

D{ii)

1 ^

{D{U)r = n D{a) 1 entier > 1

i=1

Din)

L2(«)

{L {a)r = n L (f2) i=1 L 2 ( E " ) L in) P 1 -L (L in)r = n L (S2) P i=1 P (•,•) H (n)

HVB^^

HQ(f2) 1 (Hj(n))^ = n Hg(fj) i=1 H^(n) (H^(fi))-'- = n H^(n)

i=1

VF^)

H^r^) (Lg)! ^•'•^L2(P^^) H1(B'^)

(HJ)^

(H'')^ (Lg)! L,(P'')

^S'^

Hi H1(F.'') (H 1 entier 5 1. 1 < p £ °°. 1 entier a 1. 1 < p < <». 1\1 1 entier a 1, s > 0. . s^l 1 entier £ 1. ^" ' s > 0. s > 0. 1 1 -(ii) Puisque les injections de H (n) dans 12(^2), EAQ) dans H^(n) et de H^(f2)

dans L (n) sont continues, il existe une constante c > 0 ) telle que I'on a

| f M L ^ ^ = o l l ^ M „ i

Vf e Hg(n).

k l l „ ^ s = o l k l l H j

Vf e HQ(f2).

|f||,^^cj|f||^^

Vf e H^(f2).

(iii) L'application "trace"

1 1

Yg : H (n) + }{HT^)

definie par

Yf, : f -*• f L (restriction a F )

est continue; il existe alors une constante, disons c_, telle que (cf. LIONS, MAGENES [1]):

l l Y / l l r J s ^ol|f|lHi' ^^

'

^^^°^-(iv) Soit

V = {u|u e (Z)(fi))^, div u = 0 ) .

Nous designons par V I'adherence de V dans ( H (fZ)) et par H I'adherence de ^

N

dans (L„(f2)) . Les espaces V et H seront munis du produit scalaire et de la norme induits par (H (fj)) et (L (fJ)) respectivement. L'espace V est inclus et dense dans H avec injection continue.

(v) Soit X un espace de Banach de norme ||"||„- Nous designons par L (0,T;X),

A p

1 < p < ", I'espace des (classes de) fonctions t -*• f(t) mesurables sur [0,T]

pour la mesure de Lebesgue dt a valeurs dans X et telles que

ll^llLp(0,T;X) = ^ / 11^(^)1 l / ^ ^ ' < " ' 1 - P < » .

avec modification habituelle pour p = •»:

||f|| , , = sup. ess |If(t)||

LJO,T,X) t£]0,Tr ^ (vi) Au lieu de L (0,T;L (F )) nous ecrirons L (Z ).

(vii) C(0,T;X) designe I'espace des fonctions continues sur [0,Tl et a valeurs dans I'espace de Banach X.

(viii) 0(0,T;X) designe I'espace des fonctions indefinim.ent differentiables sur ]0,T[ a valeurs dans I'espace de Banach X et a support compact dans ]0,T[.

(ix) Nous designons par X' I'espace dual de X.

(x) Comme d'habitude nous identifions I'espace L„(^) a son dual. Puisque D{il)

1 1 1 ^ V

est dense dans H'(n), le dual (H (t2))' de V.^in) peut etre identifie a un sous-espaoe de D'{Q):

Din) c n^^ia) c 12(52) <= (H^(f2))' c D'in).

L'espace 0( fj) n'est pas dense dans H (^), de sorte qu'on ne peut pas identifier 1

(H (S))' a un sous-espace de D'{Q). Toutefois on a

iti\il))' c D'in),

puisque £)(?2) est dense dans E iii).

(xi) 5'(0,T;X) designe I'espace des distributions sur ]0,Tr a valeurs dans

I'espace de Banach X.

(xli) u , est un ensemble convexe ferme dans L (z.).

REMARQUE

Lorsqu' aucune ambiguite n'est a craindre nous supprimons le "fJ" dans la no-tation des espaces; par exemple: H. = H„{[j).

§0.3 FORMES MULTILINEAIRES ET OPERATEURS.

N q 1 (u,r,s) =11 I / u i=l j=1 n 3r . s . d x A r u , r ] : n •* a (u,r,ri) A ^ [ s , r ] : 5 ->• a.|(s,r,5) = a.|(c,r,s) ( i i ) Pour u € (L. ) , r e (L, ) , s e (^ ) soient N q 3 s . a2(u,r,s) = IJ J j u.r ^ 1 = 1 .1 = 1 fJ 1 dx A„ru,rl : n -*- a ( u , r , n ) A 2 [ s , r l : 5 ^ a 2 ( s , r , £ ) = a 2 ( £ , r , s )

( i i i ) Ensuite, nous definissons pour u e (L. ) , r e (H_) , s e (Hn^

a ( u , r , s ) = a (u,r,s) - a (u,r,s)

A L u , r ] : n ->• a(u,r ,n)

A [ s , r ] : £ -!• a (s,r,£.) = a(j;,r,s)

(iv) Pour u e (L, ; , v e (H ) , w e (L, ) soient N N 3 v . b,(u,v,v) = ij I / " i ^ V j dx 1=1 j=l Q 1 B^ru,vl: 5 ^ b^(u,v,5) 3.|[w,v]: C -»• b.|(w,v,C) = b^(C,v,w) (v) Pour u e (L,^) , v e (Lj^) , w e (H ) soient N N _3w. b (u,v,w) = 11 I j u V - ^ i=l j = l n '^ '^''i dx B2[u,v]: C + b2(u,v,C) B2rw,v]: C ->• h^iv,v,Z) = b2(C,v,w)

b(u,v,w) = b^(u,v,w) - b2(u,v,w)

B[u,v]: C ->• b(u,v,C)

B*[w,v]: C ->- b*(w,v,5) = b(5,v,w)

(vii) Pour r e (HQ)"^ soit

Cgfr]: n -<• (r,n)(jj1)q

(viii) Pour r e H , z e L (F ) soit

C.,[r;z]: n ^- (grad r, grad n) ^^ jW - (z,YQn)j,

(ix) Pour u e ( H ^ ) soit

CgCu]: C •* (u,e)jjj1^N

(X) Pour p e L2, u e (H^) soient

d(p,u) = / p div u dx

n

D[p]: 5 •* d(p,c)

D [u]: IT -*• d (u,Tr) = d(ir,u)

REMARQUES

. 1. Notons que

a(u,r,r) = 0 b(u,v,v) = 0

a(u,r,s) = -a(u,s,r) b(u,v,w) = -b(u,w,v) N q 3r. q

a(u,r,s) = I I I u —^ s dx + I I j (div u)r.s dx

n N 3v. N

I I /

u.

^ w

dx

+ n

i=i j=i a ^ 1 -J j-1 a .2. Si u e V on trouve

b(u,v,w) = I I j n. T-^ w. dx + 5 J / (div u)v.w dx

N q 3r. a(u,r,s) = I Z / u. T-^ s. dx i=l j = l n ^ ""^i J N N 3v.

1 1 /

i=i j=i a b(u,v,w) = y y f u. T—^ w. dx • _ , - . , > , i 3 x . J

.3. Si la dimension d'espace est egale a 2, il suit du theoreme d'immersion de Sobolev que H c Li avec injection continue. Alors les formes a , a

. N2 1 2 1 2 1 1 et a sont aussi continues sur (L, ; xH xL, , (L, ) xL.xH , (L, ) xH xH res-pectivement .

§0.'4. NOTATIONS GEOMETRIQUES DISCRETES- )

(i) Soit h = {h , ..., h }, h. > 0, le pas dans la variable d'espace; N = 2 ou 3. Nous supposons que h est "petit".

(ii) Nous designons par R 1'ensemble des points de E de coordonnees {j h , ..., jf,h„} ou les j . , i = 1, ..., N, sont des entiers de signe quelconque

(iii) Designons par x (M,i), i = 0,1, des voisinages de M = {p., ..., p„} e R h 1 N h definis par h. h. Tj^(M,0) = {{x^, . . . , Xj^} e TFT \ p. _ - i < X. < p. + -^, i = 1 , . .. , N}

Ji^i

J N V j^(M,l) = u T j ^ ( M + { ^ , ..., ^ } , 0 ) avec |j| = | j ^ | + ... + |jj

1^1-

j. . Z .

1 (iv) Q} = m e K I x^(M,l) c n} h h ' h

) Les paragraphes O.^t, 0.5 et 0.6 peuvent etre passes par ceux qui ne sont pas interesses par la lartie numerique (i.e. §1.2, §111.2).

Q^ = {M £ R^ I T J ^ ( M , 1 ) n a it 0]

"h ^ ^" ^ \ I •^h^"'°^ n !2 ?f 0}

f2^ = {M e Rj^ I XJ^(M,0) n F ^ 5^ 0}

(V) Appelons a la fonction caracteristique du pave x. ( M , 0 ) .

(vi) &., v., V. designent les operateurs de derivation au sens des differences finies, i = 1, ..., N: . h. h. 6.:f(x) -V 6.f(x) = -Mfix + -~-t.) - f(x - ^ e.)} 1 1 h. 2 1 2 1 1 V.:f(x) -* V.f(x) = -'-{f(x + h.e. ) - f(x)} 1 1 h. 1 1 1 V^:f(x) ->• V_^f(x) = ^ { f ( x ) - f(x - h^e^)} i X E E " e t e . = { 0 , . . . , 0 , 1 , 0 , ...,0} elrf* i-ieme coordonnee.

§0.5. ESPACES FONCTIONNELS DISCRETS.

Dans ce paragraphe nous donnerons des approximations des espaces (H ) , H ,

I N . ( H „ ) , L et L (r ). Pour les notions d'approximation interne et d'approximatic

externe nous renvoyons a TEMAM r7l.

APPROXIMATION DE (HJ*^

Soit V I'espace des fonctions etagees de la forme

Nous munissons I'espace V. des structures hilbertiennes suivantes:

^^h'«h'v^ =

J^ I

^jh^'^'Sjh'-^^'^' l^hlv, = ^^h'^h4^

((f,,g,))iv, =

I

/ (^ifj,(x))(*ig.,(x))dx. Ilfjl..^ =

iif^,rj)l^^

((f,,B,))v = .f ((^h'^h^'iV' ll^hllv = ( ( V ^ h » l

1 1=1 1 1 1 II y a equivalence de ces normes:

l^h'v ' '^o'l^h'Uv (inegalite de Poincare)

llfjl.^^ .S.(h)|fJ.^

2 N 1 a v e c S . ( h ) = —-. Dans l a s u i t e nous n o t e r o n s S ( h ) = ( J S ? ( h ) ) ^ . "^ i i = 1 "^ O p e r a t e u r de r e s t r i c t i o n :

Plh eLiiL^)\i^), p,^ : f - f h = h ^ . ' . h , J J L o / ^ ' ^ ' " • "h"^

1 N Mefi^ Tj^(M,0) Operateurs de prolongement: ^1

A^^ e L ( V ^ , ( L 2 ) ' ^ ) . A^^ = ^ ^ f; _hijl

^lih ^ £ ( ^ . ( ^ 2 ) ' ' ) . ^lih = ^h= f^lh' • • • ' V ^ " ^ ' i ' l h l . * i V l . ^

qh^ ^ i Ihlfj 1 q h ' s j '

^ i ^ h l , -1 / > APPROXIMATION DE H in). S o i t V I ' e s p a c e d e s f o n c t i o n s e t a g e e s de l a forme

f, = I A^, f" . K

^ M,fi2 h hM' h

Nous definissons sur V les produits scalaires et les normes suivants:

((^h'^h»iv, = / (Vh(^»(*i^h'^»^^' ii^hiiiv^ = ( ( ^ h ' ^ h ' i ^

(^^h'^h^V, = (^h'^hV, ^ .5 »^h'^h»iv ' ll^hllv^ = ((^h'^h»J

1 1 1=1 1 1 1 Les relations entre ces normes sont donnees par

l^hlv/ ll^hllv^' llfjliv^^^i(h)|fj,^

Operateur de restriction:

pih ^^(1^2'^'' pih •• f - ^ h = v ^ „ L ^ ^i.J''^^"^^" • "™>

1 N Mef2f T, ( M , 0 h h

ou Pf designe le prolongement de f sur tout IR . Un prolongement tel,qui soit

continue de L (12) dans L (iR^')et de }i\il) dans H \ I E ^ ) , existe (cf. LIONS, MAGENES [1])

Operateurs de prolongement:

^ h ^ ^ ( ^ I ' ^ s ) ' S h = ^ h ^ ^ h ' n

^lih ^ ^ ( ^ ' ^ 2 ) ' 'llih = ^ h ^ V h l .

APPROXIMATIONS DE (H^)'^.

Soit V I'espace des fonctions etagees de la forme

h „^_i h hM' h

Men,

h

Nous munissons I'espace V des structures hilbertiennes suivantes:

N 1

(^h'Sh)v2 = -l /^jh(-'«jh(^'^^' Ifhlv2 = ^'h'^';2

((f,,g,)).,^ = J ^ / (6.f.Jx))(6.g.^(x))dx, llfjl.^^ = ((f,,f,))^^^

N 1

»^h'Sh)V2 = j/(^h'^h»iV2^^' ll^hllv2=((V^h')v2

l^hlv2^=0ligiiV2' ll^hlliV2^'i^^^l^hIv2

Operateurs de restriction: ^2h . ^ ( ( L 2 ) " . V 2 ) , P2h = f - ^n = V ^ M L ^ ^ M r 1 N Mef!;' T (M,C P , , e L ( ( L , ) , V , ) , p , , : f •* f, = — I { / f ( x ) d x • lOj^}

"h 'h^"'°'

P 2 , eLi(Diil))\y^), p2j^ : f = { f ^ , . . . , f ^ } . { f ^ ^ , . . . , f ^ ^ } = f^ h . f-v, = T^—S:r I ^ / f-(x)dx. • u^, ) i h h , . . . h „ „^r 1 ,^1 >, 1 I hl»! 1 N M = { p ^ , . . . ,Vjj}efifj 0 dx . . . d x h .

^^i = d ^ ~ ^ • ^ = \ ^ " ' ° ^ " ^^1^ = {x^,...,x^},x. = p . - ^ }

i

La propriete fondamentale de 1'operateur p„ est la suivante: N

I V.(p^^r). = 0 V f e K .

1=1

Operateurs de prolongement:

^2h^^(^2'(^2)"'' ^ 2 h = ^ - ^ h l n

^2ih ^ ^(V2,(L2)"), n^i, : f^ = {fih'---'V - t*i^lhl.'---'«i%hl.^

* * * ^ *i^h

APPROXIMATION DE Lg.

Soit V I'espace des fonctions etagees de la forme

h „ „i h hM' h

MeQ,

n

Sur cet espace nous definissons le produit scalaire et la norme suivants:

O p e r a t e u r de r e s t r i c t i o n :

P _{3h ' 2 ' 3 ' "^Sh • h h , . . . h} c L ( L . , V j , p . f . f = _ - _ y { / f ( x ) d x . a>,„}

1 " N Mrf)3 T^(M,0) h h

ou f est le prolongement de f par 0 en dehors de il.

Operateurs de prolongement:

S h ^^(V3,L2), A3^ : f ^ ^ f J ^

^3,^^ eZ,(V3,L2), 13^^ : f, - V .fh ' f2

APPROXIMATION DE ^^JT•^)•

Soit V, I'espace des fonctions qui sont constantes sur F n x (M,0) pour tout M e R, . V, sera muni de la structure hilbertienne suivante:

h 4

''-''A. - i o . rL. .M '.^^K^^^'^' KK, - (^h'^h)^

_{4 MeilZ r . n x , (M,0) k h} a 1 h e t on a ( c f . CEA [ 1 ] ] N 4 1=1 1 1 pour tout g > 0; C ( B ) > 0. Operateur de restriction:

%^ . i(L2(r^),v^), Pi^^ : f ^ f^ = y {[ / dF 1- . r / f(x)dri • .^„^}

MeflJ* X (M,0)nr x (M,0)nF ou 10 J, designe la fonction caracteristique de x (M,0) n F (cf. BENSOUSSAN, BOS-SAVIT, NEDELEC [1]).

Operateur de prolongement:

^h^^hlf^-§0.6. FORMES MULTILINEAIRES ET OPERATEURS DISCRETS.

(i) Pour u, e V„ et r, ,s, e V. nous introduisons (i = 1,...,N) n 2 n h 1

^h'^'^'^h^ = U ^ / V^^jh^^^jh - ^jh^^i^jh^^-^^

N

\(%'^h'%' = J^ ^hK'^h'\^

^ih^^'^h^ = \ - ^ h ' % ' " h ' \ '

^h^^h'V = % " 4^^%'^h'\^ = ^ihS'^h'^h'

(ii) Pour u, ,v, ,w, e V nous introduisons (i = 1,...,N) h h h 2

^ih(%'^'-h' = U^ / V^^i^jh^^jh -

-jh(*i"jh'>'^-N

V % ' V = \ " ^h(%'^'^^

\V^h'V = "h" hh\'\'%^ = ^h'^'^h'^h^

(iii) Pour r, ,s, e V, nous introduisons (i = 1, . . . ,N) h h 1

^ o i h ^ V = %^ ((^h'^h^'iV^

(iv) Pour r ,s e V , z e V, nous introduisons (i = 1 N)

^lih^^h'V = %^ ('^h'^h'^iV^ - ^ \ ' ^ o h ' ^ h \

avec Y^j^ e £(V.|,V[^) defini _par ^oh '• " h " P^^'h =°s(x.,H)|^^)

On a (cf. TEMAM [ 1] ):

l^lh\lV^II*hll'iv/=(e)|M2,^ v*^cv^

(v) Pour u^,v e V nous introduisons (i = 1,...,N)

^2ih^V = \ " ^K'"h^'iV2

(vi) Pour p e V , u e V nous introduisons (i = 1,...,N)

^ h ^ P h ' ^ ^ = / Ph'^^ih^'^'^ N •^h^Ph'^h^ = .^, ^ih'Ph'%) 1=1

V P h ^ =

\ -

*ih(Ph'%)

^V%^ •• Ph" '^rh'^'Ph) = <iih^Ph'\)

L E_S 5_Q_U_A_T_I_0_N_S__ D_E _N_A_V_I_E_R 3 S T 0 K_E_S C 0_U_P_L_E E_S A Q E_Q_U_A_T_I_0_N_S D U _ T Y_P E D E L ' E Q U A T I O N D E L A C H A L E U R

PLAN DETAILLE

§ 1.1. Approximation par un systeme du type de Cauchy-Kowaleska. § 1.1.1. Formulation variationnelle du probleme

non-perturbe (Notation. P(Te, u, p, N, q)). § 1.1.2. Formulation variationnelle du probleme

perturbe (Notation: P (Te , u , p , N, q)). § 1.1.2.1. Existence d'une solution du probleme P § 1.1.2.2. Regularite et unicite d'une solution

du probleme p pour N = 2. § 1.1.2.3. Passage a la limite (e -* O ) . § 1.2. Approximation par la methode de differences finies.

§ 1.2.1. Le schema aux differences finies. Le probleme ^eh^^^^h' "h' Ph' "' <!'•

§ 1.2.2. Estimations sur la solution du probleme P , .

Eh

§ 1.2.3. Stabilite des solutions du probleme P , . Eh

§ I.2.U. Convergence P ->• P lorsque { E , k, h} * {0,0,0}. e p-1*1 ^3 ^5 hi 55 58 62 62 6U 72 73

§ 1 . 1 . APPROXIt-lATIOH PAR UN SYSTEME DU TYPE DE CAUCHY-KOWALESKA Au § I . 1 . 1 . n o u s donnons l a f o r m u l a t i o n v a r i a t i o n n e l l e du p r o b l e m e s u i v a n t ( d e j a i n t r o d u i t d a n s 1 ' i n t r o d u c t i o n ) ; T r o u v e r un t r i p l e t de f o n c t i o n s {Te, u , p} d e f i n i d a n s Q x [ 0 , T [ t e l que I ' o n a i t f, ^ 3Te . ni ^ v 3Te

(^> i r - ^^^^ " .^ "i 177=2

1 = 1 1 N (2) I T - V A u + Z u . - ^ + g r a d p - oTe = f 3t . , 1 3 x . 1=1 1 ( 3 ) div u = 0 d a n s il X ] 0 , T [ , a v e c l e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s (It) T e ( x , 0 ) = TeQ(x) u { x , 0 ) = U Q ( X )

pour x e !i, et les conditions aux limites

(5) Te(x,t) = 0 u(x,t) = 0

pour {x,t} e F X ]0,T[.

REMARQUES

1. Le vecteur Te est un vecteur a q composantes representant la temperature Te, et les concentrations C , ..., C _. de q-1 matieres qui polluent le fluide: Te = {Te,, C, , ..., C^_,}.

2. Le vecteur u est un vecteur a N composantes et represente le champ des vitesses: u = {u,, ..., u„}.

1 N

3- g = {g,, •••, g } est un vecteur representant les soxu-ces. U. Le vecteur f = {f ..., f } represente les sources d'impulsion.

5- /°11 ••• °1a\

est une matrice d'ordre K x q. I I " ' Iq

^°N1 ••• % /

Au § 1.1.1. nous donnons, pour la formulation variationnelle de ce probleme, un theoreme d'existence (W = 2 ou 3) et d'unicite (N = 2 ) . Comme la demonstration de ce theoreme est tout a fait analogue a celle que nous aliens donner pour le pro-bleme suivant, nous ne la ferons pas.

Pour des raisons deja mentionnees dans 1'introduction nous approchons le pro-bleme (l), ..., (5) par le propro-bleme suivant du type de Cauchy-Kowaleska:

Trouver, pour e > 0 fixe, {Te , u , p } defini dans il x [0,T[ tel que 3Te N 3Te

(6) — — ^ - K A Te + Z u . T — ^ + i (div u ) Te = g

3t E . , £1 3x. E E 1=1 1

3u N 3u

( T ) —-^ - V A u + Z u . T-^ + 5 (div u ) u + grad p - cTe = f

3t E . , El 3x. £ E E E 1=1 1

3p,

(8) ^ ^ "" "^"-^ •^e = 0

dans il X ] 0 , T [ , avec les conditions initiales

(9) Te^(x,0) = Te^(x) u^(x,0) = U Q ( X ) P ^ ( X , 0 ) = P Q ( X )

pour x £ f2, et les conditions aux limites

(10) Te (x,t) = 0 u (x,t) = O

pour {x,t} e F X ]0,T[.

Ainsi que pour le probleme non-perturbe nous donnons une formulation variation-nelle du probleme perturbe (§ 1.1.2). Ensuite nous demontrerons, en dimension d'espace H = 2 et 3, un theoreme d'existence d'une solution faible du probleme perturbe (§ 1.1.2.1.). La methode que nous suivrons consiste a obtenir une suite

de solutions approchees par la methode de Faedo-Galerkin et a obtenir des estima-tions a priori permettant d'appliquer des theoremes de compacite pour montrer que la suite possede une limite qui est la solution faible du probleme perturbe. Comme le probleme est non-lineaire le passage a la limite est justifie s'il y a, outre un resultat de convergence faible, un resultat de convergence forte. La conver-gence faible resulte des estimations sur la solution approchee elle-meme, tandis que la convergence forte resulte d'une estimation sur la derivee d'ordre fraction-naire en t de la solution approchee.

En dimension d'espace egale a 2 nous demontrerons que, apres modification eventu-elle sur un sous-ensemble de [0,T] de mesure nulle, la solution {Te , u , p } du probleme perturbe est egale a un triplet de fonctions continues de [0,T] -*- (L ) x X (L^)" X Lg (§ I.1.2.2.).

Toujours en dimension d'espace egale a 2 nous demontrerons que la solution du probleme perturbe, dont I'existence est assuree, est unique (§ I.1.2.2.).

Afin de justifier 1'approximation en E , nous demontrerons (§ 1.1.2.3.) que la solution du probleme perturbe converge vers une solution du probleme non-perturbe, lorsque e * 0 ( s i N = 2 i l y a , evidemment, convergence vers "la" solution du probleme non-perturbe). Ceci se fera grace aux estimations independantes de E sur la solution du probleme perturbe. Si la dimension d'espace H est egale a 2 nous etablirons un resultat de convergence dans une topologie plus fine que pour N = 3 (§ 1.1.2.3. ).

Pour terminer la premiere partie du chapitre I nous expliciterons dans quelle topologie grad p converge vers grad p, lorsque E tend vers zero (§ 1.1.2.3.).

§ 1.1.1. FORMULATION VARIATIONNELLE DU PROBLEME NON-PERTURBE (notation: P(Te, u, p; N, q)). On se donne Te^ e (L2)^ q ^ 1 entier

u ^ e n

K, V constantes positives g € L2(0,T; (L2)'^) T > 0 fini f e L2(0,T; (Lg)") a matrice d'ordre N x q. (o. . constant, l < _ i < _ N , l < _ j < _ q )

Le probleme que nous nous posons est le suivant (cf. LERAY [1], [2]): Trouver des fonctions vectorielles Te et u telles que

Te e L (0,T; (L„)1) 0 L„(0,T; (nh'l) o^ d. d U u e L^(0,T; H) n L2(0,T; V) et verifiant (11) T

/ { - (Te(t), x'(t)) + K(Te(t), x(t)) ., „ + a(u(t), Te(t), x(t))}dt 0 (L2)'^ (H^)"!

T

= / (g(t), x(t)) „ dt + (Te^, xtO)) ^ . 0 (L 1^ ° (Lj'i

J { - (u(t), ip'(t))jj + v(u(t), ip(t))y + b(u(t), u(t), (p(t))

(12)

(aTe(t), (p(t)) } dt =

il^^T

= / (f(t), (p(t)) dt + (u <;)(0))„ 0 (Lg)" ° ^

pour toutes fonctions x et ip telles que

(13) X e c(o,T, (HJ)^) X' = H e L2(0,T; (L2)^) X(T) = 0

(11*) IP e C ( 0 , T ; V) (p' = l ^ e L2(0,T; H ) (P(T) = 0

THEOREME I.1 (demonstration analogue a celle du theoreme 1.2.)

Pour N = 2 et 3, il existe {Te, u} solution du probleme P(Te, u, p, N, q) oil p L (0,T, L ) / represente la pression associee a {Te, u} par

a> ^ IK

(15) < u'(t) - vC2[u(t)] + Blu(t), u(t)] -oTe(t) - D[p(t)] - f(t), v >= 0,

V v 6 (H ) ; <.,.> designe le produit scalaire dans la dualite entre ((H ) )'

Pour N = 2, la solution {Te, u} du probleme P(Te, u, p; N, q) est unique. En outre elle est, apres modification eventuelle sur un sous-ensemble de [0,T] de mesure nulle, continue de

et

[0,T] ->- (Lg)'^ X H , {Te(t), u(t)} ^ {Te^^, u^} dans i^o' X H fort, lorsque t -> 0.

REMARQUE

Pour N = 3, il existe aussi un resultat de continuite en t (cf. LIONS [6]]

Nous ne donnons le resultat que pour N = 2, car ceci nous sera utile au chapitre III.

§ 1.1.2. FORMULATION VARIATIONNELLE DU PROBLEME PERTURBE (notation: P ( T e , u , p ; N , q )

Soit £ un parametre reel et positif (nous supposons que 0 < £ ,f_ 1 ) et soit p une fonction arbitrairement choisie dans L . Nous nous posons le probleme suivant:

Trouver des fonctions vectorielles Te , u et une fonction scalaire p telles

£ £ e que 1'on a i t Te^ e L_^(O.T; (L2)'^) H L2(0,T; (H^)*!) u^ e L^(0,T; (Lg)") n L2(0,T; (HJ)"^) P, e L^(O.T; Lg) et v e r i f i a n t T J { - (Te ( t ) , X ' ( t ) ) + K(Te ( t ) , x ( t ) ) , +

0 '

iL^)" ' i^l)^

(16) + a ( u ^ ( t ) , T e ^ ( t ) , x ( t ) ) } dt =

T

= / (g(t), x(t)) ^ dt + (Te X(0)) ^ . 0 (12)^^ ° (L2)'^

T

/ { - (u (t), ip'(t)) + v(u (t), cp(t)) + b(u (t), u (t), ip(t)) + 0 ^ (L2)'^ ^ ( H ^ ) " ^ (17) - (aTe (t), tp(t)) - d(p (t), ip(t))} dt = (Lg)" T = J (f(t), tp(t)) dt + (u , ip(0)) 0 (L2)'^ ° (L2)^' T (18) / { - £(p (t), li^'(t))^ + d(^(t), u (t))} dt = £(p^,ij;(0))^ 0 £ Lg E ° ^2 pour toutes fonctions x> ^ et ijj telles que

(19) X e C(0,T; (H^)1) X' e L2(0,T; (L2)'^) x(T) = 0

(20) tp e C(0,T; (H^)") ip' £ L2(0,T; (L2)'^) <43(T) = 0

(21) ,Jj £ 0(0,T; L2) ij^' £ L2(0,T; L^) ^(T) = 0

Dans les paragraphes suivants nous demontrerons le

THEOREME 1.2.

Pour H = 2 et 3, il existe {Te , u , p ) solution du probleme

£ £ £

P (Te , u , p i N, q ) .

£ £ £ E

Pour N = 2 la solution {Te , u , p } du probleme P (Te , u , p ; N, q) est unique et elle est, apres modification eventuelle sur un sous-ensemble de

[0,T] de mesure nulle, continue de

[0,T] - (L2)'^ x (L2)" X L2 et

{Te^(t), u^(t), p^(t)} * {Te^, u^^, p^}

dans (L ) X (L ) x L fort lorsque t •+ 0

Si e tend vers zero il existe une sous-suite de {Te , u , p } (encore notee

£ £ E E

{Te , u , p } ) telle que, pour N = 2 et 3, cette suite de solutions du pro-bleme P (Te , u , p , N, q) converge vers une solution {Te, u, p} du propro-bleme P(Te, u, p, N, q) aux sens suivants

Te -* Te dans L (0,T, (L„)'^) faible - a £ CO 2 L2(0,T, (HQ)*^) faible L2(0,T, (Lg)'^) fort u -> u dans L (0,T, (L^) ) faible - H £ 00 2 L2(0,T, (HQ)'*) faible L2(0,T, (Lg)") fort 3p . , —^ * -:f- dans (H„( ]0 ,T[xSj)) ' faible, i = 1 , .. . , N dx dx 0 1 1

Si H = 2 1'extraction d'une sous-suite de {Te , u , p } n'est pas necessaire

£ E £ E

puisque c'est la suite entiere qui donne lieu aux convergences, d'ailleurs, pour M = 2, les resultats de convergence ont lieu dans des topologies plus fines, a savoir Te •* Te dans L^(0,T, (nh'^) fort £ 2 0 u ^• u dans 12(0,T, (H^)^) fort 3p • ^ ->- 1 ^ dans (Hj!|(]0,T[xn))' fort, 1 = 1, ... , N 1 1

§ 1.1.2 1. EXISTENCE D'UNE SOLUTION DU PROBLEME P (Te , u , p , N, q)

E £ £ E

L'espace Diil) est dense dans H , il existe done une base de (H ) formee d'elements u £ iDiil)) , j = 1,2, ..., et une base de (H ) formee d'elements

(2) J H . V

u £ i^iil)) , J = 1,2, . . . De meme I'espace L possede une base formee

d'ele-•^ (3)

mentsu^ ' £ Din) , j = 1 ,2, . . . Nous definissons la solution approchee

(22) Te (t) = Z g^^^t)

_{Em _, jm J}

j y

(23) u (t) = Z g^^^t) J^^

Em _, jm J

(21*) p^ (t) = z

e[lht) J'^^

Em = 1 J "^ J

par le systeme suivant d'equations differentielles ordinaires en t

(25)

(Te- ( t ) , coj^^) + <(Te ( t ) , 0^5^^) ^ a(u ( t ) , Te (t) , coj ^ ')

Em J / ^q Em j (u ) '^

= (g(t),

^ [ ^ h

„ J = 1, ..., m

^ ( L 2 ) ^

(u' ( t ) , co^^') „ + v(u ( t ) , 0)'^^) , , + b ( u „ ( t ) , u ( t ) , u*^^) + Era ' J ,, ,H ' E m ' J , T,N m 'em ' j (L2) ( H Q ) lofi) - (aTe^„(t), u ) ^ ^ ^ - d(p ( t ) , c o j ^ ^ = \.2b) em '^ (L ) ^ = (f(t). 0)^^^) J = 1, ..., m J (Lg)'^ (27) £(p' ( t ) . 0 ) ^ ^ ^ ^ + d(io*^\ u (t)) = 0 J = 1, •••, m Em J L J Em

avec les conditions initiales

(28) Te (0) = comb. lin. {M, \ . . . , 10^ ^ '} -*- Te„ dans (L^)'^ fort Em 1 m 0 2 (29) u (0) = comb. lin. {u, , . . . , u } -*• u dans (L ) fort

(3) (3)

(oQ) p (0) = comb. lin. {OJ , ..., uj } ^- p„ dans L„ fort ^-'^' cm I m u d

Grace au theoreme de Cauchy-Kowaleska, ce systeme d'equations differentielles sede une solution

montrent que t = T.

Multiplions (25) par g P ' ( t ) , (26) par g : ^ ' ( t ) , (27) par g. ^ t ) et ajoutons l e s e g a l i t e s obtenues pour j = 1 m. I I r e s u l t e , puisque

^ ( \ m ( * ) ' ^ ^ m ^ * ) ' ^^Em^^)) = °

^'V^^' V ^ ) ' "£m^^^^ = ° '

que l a solution approchee verifie:

ill^^Em'^Hl' , q ^ 2 K M T e ^ J t ) | | ^ =2(g(t),Te^Jt))

(.Lg^ I H Q ; (,L2; T T I I U ( t ) | | „ + 2 v | | u ( t ) | | „ - 2 ( a T e ( t ) , u ( t ) ) „ + d t ' ' em' I ' , ,N ' ' Em' ' ' , 1 >N Em ' £m , . -.N ^'-'2' ^ 0 2 - 2 d ( p ( t ) , u ^ ^ ( t ) ) = 2 ( f ( t ) , u ^ ^ ( t ) ) „ Em Em Em , , N ( L g ) = 3 ^ l | P E m ( ^ ) | l L 2 * 2 ' ^ ( P E m ( ^ ) ' ^ m ^ ^ - ^ ^ = ° d ' o u r e s u l t e l e lemme s u i v a n t ( c f . CUVELIER [ 1 ] ) : LEI'IME 1. 1

La solution approchee du probleme P (Te , u , p ; N, q ) , definie par (22), (23) et (2U), verifie 1'estimation suivante:

II^^Emll' a ^ "ll^^mll' 1 a ^ H ^ m H ' N "^ ™ L J 0 , T ; (Lg)^) ^"^ L2(0,T; (H^)^) "" L j O . T ; (L2)")

•" ''ll^mll 1 N " ^II^Emll - = 1 ^"^ L2(0.T; (HJ)") ^"^ L„(0,T; L2) ^

Comme notre probleme est non-lineaire, il faut, pour la demonstration de

I'existence, une majoration supplementaire faisant intervenir des derivees d'ordre fractionnaire en t.

On designe par ip la fonction egale a g) sur I'intervalle [0,T] et nulle ailleurs. On deduit de (25), (26) et (27) que I'on a au sens des distributions sur IR :

f-(Te (t), J.'^h + <(Te (t), J.^h , + dt Em J (^^^q Em J ^^^l^q

(31) + a(u (t), Te^^(t), coP') = (g(t), oj?^^) + em Em j J / T \ q

+ (Te^^(O), <oP^) 6 - (Te^^(T), 0,^^^) 5„ Em '^ (L ) ^ '^ (L ) * | - ( u ( t ) , 0 0 ^ ^ ^ ) „ + v ( u ( t ) , 0 , ^ ^ ^ 1 N + ^ ( i l ( * ) ' S ( t ) , t o ^ . ^ ^ ) + d t Em J IT •,^ e™ J / t j l \ I ' Eim Em j I L g J ^ O ' (32) - (aTe (t), J.^h „ - d(p (t), J.^h = em 3 IT \" E m j (Lg)

-'f'". "f\y,. *'"..'»).-r'),,^,,.'.-'V'". "f'>„^,» s

(33) £ ^ ( p _ ( t ) , 10^3)) + d((.5^\ a (t)) dt £m ' J L J ' £m = = ( V ° ) ' " ? ' ) L 2 ^ - ^ ( P E m ( ^ ) ' ^ ? ' ) L 2 ^ T

ou 6 designe la distribution de Dirac au point x. La forme

.(^).a(u^^(t),Te^^(t),.(^))

etant continue sur (H ) , il existe un element x £ L (-<», °"; (H ) ) tel que

^(\m(^)'^^m(^''X) = (X,,(^)'X) , V x £ (H^)'^.

De maniere analogue il existe tp £ L (-", ~; (H ) ) tel que

^ ' \ m ( ^ ' ' "Em^^)''^' = (^£m(^'' ^ ^ „ K N ^ '^ ^ («o'" (Hg)

En transformant par Fourier en t les egalites (31), (32) et (33) on obtient (7 designe la transformee de Fourier en t ) :

ix(Te_(x), u.^.^^) + <(Te (T),a.^^h , + (x „ ( T ) , co^ ^ ') , J (Lg)'! ^"^ J (H^)^ ^"^ J (H^)^ (3U)

isiT),J,^h + (Te (0),c.P^ ^ -(Te (T),co^^^) e"^^^

J (L^)q^ £m J (^^)q Em J ^^^^q

'^^^J'^' ^f\, .N ^ ^(^m(^)' " f ^) KN ^ (^£m(^)' " r \ „ K N ^

^^2^ U Q J (HQ)

(35) - ( a T e ^ ^ ( x ) , . f ) - d(p^,(x ) , . f ' ) = (L2)

= ( ? ( T ) , c.^-^^) + (u^^(o), 0^5^') „ - (u^^(T), ^^.2)) e"^^" J (^^jN Em J (^^)N Em j ^^^^N

ix£(p^^(x), ojp') + d{^\^'>, uiT)) =

Em J L J Em (36)

:(p^^(0),.(3))^^_,(^^^(,),,(3))^^^-iTx_

On multiplie (3!*) par g. ^ x ) , (35) par g.^ (x), (36) par g. '(x) et on addi-jm addi-jm addi-jm tionne en j de 1 a m. Prenant ensuite les modules des parties imaginaires, on obtient (cf. CUVELIER [l]):

M l|5e^,(0||J <||g(x)|| l|5e^,(t)||

y

1^1 l l ^ m ^ ^ H l ' , N ^ ^ I ^ I II^Emt^^ll' i (Lg) L2 <(||f-(x)|| . l k T \ ^ ( T ) | | ) l|S^,(x)|| ^L2J ^ 2 IhgJ ^ ' = 3 ^ I | S , J X ) M ' ^ £ | | P , J . ) | | ) ( H Q ) L2 d'oii I'on deduit (cf. LIONS [2], [6]) le

LEMME 1.2.

La solution approchee du probleme Pf-(Te , u , p , N, q ) , definie par (22), (23) et (21+) , verifie I'lnegalite d'energie suivante

00 2 ? 2

/ (U|x|2^){||fe^^(x)|| . l|S^,(x)|| ^ e||p^^(x)|| } dx ^ c, °° (.Lg^ (Ur^J L

0 < Y < B

c. ne depend pas de £ et de m .

Nous appliquons maintenant des theoremes de compacite (LIONS [6]) et d'lnterpo-lation (LIONS [I]) et grace aux lemmes I.l, 1.2 nous obtenons le resultat suivant LEMME 1.3.

II existe des fonctions Te , u , p et pour m -> ^ une sous-suite de {Te , u , p } (encore notee {Te , u , p } ) telles que

cm £m' '^Era m Em em ^sm m ^ Te -*• Te dans L (0,T, (L^)"^) faible - n em e "> 2 L2(0,T, (H|Ij)'i) faible L2(0,T, (Lg)'^) fort u ^ ->• u dans L^(0,T, (L )^) faible - n

(37)

Lg(0,T, (HQ)'') faible L2(0,T, (Lg)") fort p ->• p dans L (0,T, L„) faible - a '^em £ co^ ' ' 2

En outre les fonctions Te , u , p verifient e £ e

llTeJl' +K||Te ll' . ||u ||' + L„(0,r, (Lg)<l) ^ Lg(0,T, (H^)1) = L^(0,T, (Lg)'') 2 2

+ ^'IhJI 1 N + E:||P II ic

^ L2(0,T, (HJ)'') ^ L„(0,T, L2) ''^^"^- ' ^ ^ " ' , - l|G^(0||' , . E | | P ^ ( X ) | | ' . . . ^ c ^ q £ / vH £ 4 (38) J (l+|Tr^){||Te^(x)|| _ + | | U ^ ( X ) | | „ + E||P^(X)|| } dx < — 00 0 < Y < i (Lg)'^ ^ (Lg)" ^ Lg (39) Te^ £ L^(0,T, (H^)'^) (1*0) u^ £ L^(0,T, (H=)'*)

II reste a demontrer que {Te , u , p } est une solution du probleme

P (Te , u , p , N, q ) . Pour cela on multiplie les egalites (25), (26) et (27) par g , fonction reelle continument differentiable sur [0,T] avec g (T) = 0. On

J J additionne en j de 1 a p (p < m) et on pose ^ (1) X = 2 S u 3=^ ' ' ^ (2) (P = Z 5 u)^ ' J = 1 ' ' ^ (3) J = l J J Apres i n t e g r a t i o n de 0 a T des e g a l i t e s o b t e n u e s , on a r r i v e a

/ ( - (Te^,(t),x'(t)) ^<(Te^,(t).x(t)) ^ ^ (1*1) + a ( u ^ ^ ( t ) , T e ^ ^ ( t ) , x(t))} dt T / ( g ( t ) , x ( t ) ) ^ dt + ( T e ^ ^ ( O ) , x ( 0 ) ) 0 (Lg)'l =" (Lg)'^ / { - (u^(t),;p'(t)) .v(u^^(t),v(t)) „ . 0 tL2i ^ 0 (1*2) + b ( u ( t ) , u ^ ^ ( t ) , ip(t)) + Em Em - (aTe ( t ) , (p(t)) „ - d ( p ^ „ ( t ) , g)(t))}dt = Em ^^^jN = / ( f ( t ) , a3(t)) „ dt + (u ( 0 ) , ip(o)) ,, 0 (Lg)" ™ (Lg)"

(1*3) / { - £(P^„(t), .l''(t)) + d(ij;{t), u^^(t))} dt = e(Pg^(0), .|;(0))

0 Lg Lg

On passe a la limite (m ->• «>) dans tous les termes de (1*1), (1*2) et (1*3); grace a (28), (29) et (30), et a. I'aide des resultats de convergence du lemme 1.3, on obtient (16), (17) et (I8).

Par un raisonnement de densite:

U {comb. lin. de u, , . . . , to } est dense dans (H^)'^

, 1 m 0 m=l

U {comb. lin. de u), , ..., u } est dense dans (H„)

1 m 0

(3) (3)

U {comb. lin. de u, , . . . . a } est dense dans L„

1 m 2 m=l

les egalites (l6), (17) et (l8) sont valables pour toutes fonctions X) 43, i> veri-fiant (19), (20), (21) respectivement.

Ecrivons (l6), (17) et (l8) avec x £ 0(]0,T[, (HQ)'^), tp £ 0(]0,T[, (H^)"), \(j £ D(]0,T[, L ) , nous en deduisons que {Te , u , p } verifie

(1*1*) Te^ + KC^ETe ] + A[u^, Te^] = g dans D'(]0,T[, ((H^)*^)')

(1+5) u ' + v C - [ u ] + B[u , u ] - aTe - D[p ] = f dans D ' ( ] 0 , T [ , iinl)^)')

E 2 E E E E £ U

(1*6) Ep' + D*'[u ] = 0 dans O ' ( ] 0 , T [ , L )

Multiplions (1*1*) (resp. (1*5), (1*6)) par x (resp. ip, tjj) verifiant (19) (resp. (20, (21)) et integrons le resultat de 0 a T; puis on integre par parties les premiers termes des trois equations resultantes. Par comparaison a (I6), (17) et (18) on obtient alors

{Te^(O), u^(0), p J O ) } = {Te^, u^, p^}.

Ici se termine la demonstration de la premiere partie du theoreme 1.2. Le resul-tat est enonce dans la proposition suivante

PROPOSITION I. 1.

Le probleme P (Te , u , p , N, q) possede (au moins) une solution {Te , u , p }.

E E E E E £ E

§ 1.1.2.2. REGULARITE ET UNICITE D'UNE SOLUTION DU PROBLEME P (Te , u , p , N, q)

E £ £ E ^

POUR N = 2.

Puisqu'en dimension d'espace egale a 2 . H^ '^-^1, > ^^^ formes a , a2, b.. et bp sont continues sur (H^)*! x (HQ)'I X inh'^, (H^)'^ x {H^)'^ x ( H ' ) 1 , ( H ^ ) W X (H'')" X

1 TVT 1 liT T J IVT ^ '-'

X ( H ^ ) et (H^) x (H^) X (H^) respectivement. Joignant ces resultats a (37), (39), (1*0), ll resulte de (1*1*), (1*5), 1*6) que I'on a

T e ' = g - KCQETC^] - A [ u ^ , Te^] £ Li^(0,T; ( ( H ^ ) " ^ ) ' ) + L g ( 0 , T ; ( ( H ^ ) 1 ) ' ) 3

u ' = f - vC„[u ] - B[u , u ]+ aTe + D [ P ] £ Li, ( 0 , T ; ( ( H ' ) ' ) ' ) +

£ 2 E E E £ e 4 .

3

+ L g ( 0 , T ; ( ( H ^ ) " ) ' )

Ep^ = - D ^ ' L P ^ ] £ L g ( 0 , T ; Lg)

ainsi que la proposition suivante (cf. LIONS [3]) PROPOSITION 1.2.

La solution {Te , u , p } du probleme P (Te , u , p ; 2, q) est, apres modifi-cation eventuelle sur un sous-ensemble de [0,T] de mesure nulle, continue de

[0,T] ^ (Lg)'l X (Lg)^ X Lg

La demonstration de I'unicite est basee sur les estimations suivantes qui ne sont valables qu'en dimension d'espace egale a 2

|a(u,r.s)| < c ||u||^ ||u|r , „ {||r|| , l|s||^ ||s||^ . ^ (Lg)" (H^)" (H^)1 (Lg)1 (H^)*! i E ^ ) ^ (Lg)^ (H^)^ (Ii = 2)

ib(u,v,w)i I C i i u | i ^ i i u i r , „ { | | v i i , „ i i w i r j i w i r , „

-^ (Lg)" (H-^)" ( n y (Lg)" (H-^)"

- \H\ 1 „ l | v | | ^ , l | v | | = , „} (N= 2) (H^)" ( L g ) " ( H ^ ) " 1 1 1 2 2 2 . V

Or s o i e n t {Te , u , p } e t {Te , u , p } deux s o l u t i o n s du probleme

E £ e E E E

- 1 2 - 1 2 - 1 2

P , ( l ' e , u , p ; 2 , q ) . On p o s e Te = Te - Te , u = u - u , P = p^ - p^ e t d ' a p r e s ( U ^ ) , ( ^ 5 ) , {h6) on o b t i e n t

(1*7) Te' + KC [Te ] + ALU^ , Te^] - k[u.^, Te^] = 0 Te (O) = 0 (U8) u' + \)C [u ] + B[ul, ul] - B[u2, u2] - oTe - DCP ] = 0 u (O) = 0

C i c G E E £ E £ E E

(1*9) £p|, + D*[u^] = 0 5^(0) = 0 Multipliant (1*7) par Te , (1*8) par u , (1*9) par p et ajoutant les equations obtenues on deduit.

f-{||Te (t)ll' + ||u (t)ll' + e||i (t)ll' } +

"^^ ^ (L2)<1 ' (L2)" ' L2

+ <||Te (t)|| + v||u (t)ll^ <

(UQ)^ (HQ)''

i c {1 + ||Tel(t)||' ^ + <||Tel(t)||' + ||ul(t)||' j,+ ^ ' (Lg)'! ^ (H^)'l ^ (L2)" +v||ul(t)||' }-{||Te(t)||' +||u(t)||' + E||i (t)ll' }.

my ^ (Lg)^ " (Lg)" ^ Lg Comme

1 + ||Tel(t)||' ^ <||Tel(t)||' + ||ul(t)||' + v||ul(t)||' f iL^ ' (H^)^ " (Lg)" ^ (H^)"

e L^(]0,1[)

on peut appliquer le lemme de Gronwall et puisque

||Te (O)ll' + ||u (O)ll' + £||5 (O)ll' = 0 (Lg)"! " (Lg)" " Lg on a demontre la

PROP03ITIOM 1.3.

§ 1.1.2.3. PASSAGE A LA LIMITE (e ->• O ) .

Soit {Te , u , p } une solution du probleme P (Te , u , p . N, q ) , N = 2 ou 3. D'apres ( 3 7 ) , (38) et des lemmes de compacite (LIONS [6]) on a la

PROPOSITION I.l*.

II existe des fonctions T e , u , z et pour e ->• 0 une sous-suite de {Te , u , p } E e e e

(encore notee {Te , u , p } ) telles que

(50) Te £ L^(0,T, (L2)'^) 0 L2(0,T), (H^)'l) (51) u £ L^(0,T, (L2)") n L2(0,T, (H^)") (52) z £ L^(0,T, Lg) Te •* Te dans L^(0,T, (Lg)"!) faible - a (53) Lg(0,T, m ^ ) faible L2(0,T, (L2)'l) fort u ->• u dans L (0,T, (L„)") faible - a e «> 2 (5I*) L2(0,T, (H^)") faible L2(0,T, (Lg)") fort

(55) /ep ^ z dans L^(0,T, L ) faible - n

D'apres (55) ^PE £ - — ^ 0 dans o'(]0,T[ x n) 0 t et done 3p div u = - E — — •* 0 dans D'(]0,T[ x n) E ot

ce qui, joint a (5I*), donne:

div u(t) = 0 p.p en t , t £ ]0,T[

et alors

PROPOSITION 1.5.

La fonction u, determinee par la proposition I.l*., verifie

u £ L^(0,T; H) fl L2(0, T; V)

a a a

Afin de demontrer que {Te, u} est une solution du probleme P(Te, u , p; N, q) nous choisissons

X(t) = ?(t)u)^^^ avec J^^ £ iDin))"^

ip(t) = C(t)(j'^^ avec J^^ £ V

iiit) = 5(t)u'^' avec u^^' £0(S2)

ou 5 est une fonction continument differentiable sur [0,T] avec 5 ( T ) = 0. Pour ces fonctions x^'P st i|) on peut passer a la limite ( E -> 0) dans tous les termes de (16),

(I7),et (18) et par un raisonnement de densite on demontre la

PROPOSITION 1.6.

Le couple {Te, u } , defini par la proposition I.l*., est une solution du probleme P(Te, u, p; N, q ) . p est la pression associee a {Te, u} par (15)

K X K

REMARQUES

1. Puisqu'en dimension d'espace egale a 2 le probleme P(Te, u, p; 2, q) possede une solution unique (cf. ZENOUDA [1]), c'est la suite {Te , u } toute

E £ £

(5l*)-2. Pour H = 3 on a encore le resultat de convergence suivant Pour chaque sous-suite de { E } ->• 0 (encore notee { E } ) telle qu'il existe des fonctions Te, u, z satisfaisant (50), (51)> (52) et telle que la solution {Te , u , p } du probleme P (Te , u , p , 3, q) converge aux sens de (53), (5l*), on a que le couple

{Te, u} est une solution du probleme P(Te, u, p, 3, q ) .

Pour obtenir un resultat de convergence plus forte que celle donnee par la proposition I.l*., nous considerons, pour H = 2, I'expression suivante.

2 T 2 X = I|Te (T) - Te(T)|I + 2 K J ||Te (t) - Te(t)|| , dt +

i h ^ 0 ' (Hj^)^

(56) + ||u (T) - u(T)||^ -* 2v ; ||u (t) - u(t)||^ dt +

"" (Lg)" 0 ^ (H^)"

+ ^ U P (T)ll'

ou {Te , u , p } est la solution du probleme P (Te , u , p , 2, q) et {Te, u}

£ £ £ £ £ E E

celle du probleme P(Te, u, p, 2, q ) .

On peut demontrer (cf. CUVELIER [l], TEMAM [2], [3]) que I'on a lim X = 0

£-0 ^ d'ou la

PROPOSITION

1.7-Pour N = 2, le couple {Te , u } ( {Te , u , p } etant la solution du probleme P (Te , u , p , 2, q.)) converge vers la solution {Te,u} du probleme P(Te, u, p, 2, q) dans une topologie plus fine que dans la proposition I.l*., notamment

Te -* Te dans Lg(0,T, (H^)"^) fort u * u dans L2(0,T, 1,H ) ) fort En outre

Te ( T ) -* Te(T) dans (L ) ^ fort

u (T) •* u(T) dans (Lg)" fort

»^p (T) ^-0 dans Lg fort

Afin de donner un resultat de convergence pour p , lorsque e ->• 0, nous ecrivons (1*5) comme suit

- D[p ] = - u' - vC„[u ] - B[u , u ] + aTe + f

E £ 2 E £ E £

D'apres les resultats de convergence pour Te et u (propositions I.l*., 1.7-), ll existe une sous-suite de {u , Te } (encore notee {u , Te } ) telle que, pour

E E E E E E

£ ->• 0 ,

- u' - vC„[u ] - B[u , u ] + aTe + f ^-E 2 £ £ £ £

^- - u' - vC [u] - B[u, u] + ole + f

dans ((Hg(]0,T[ x 52))")' fort pour N = 2 et dans ((H^(]0,T[ x fj))")' faible pour N = 3.

Nous obtenons la

PROPOSITION 1.8.

bolt {Te , u , p } une (ou la) solution du probleme P (Te , u , p ; N, q) et £ e e e e e £

soit p la pression associee a la solution {Te, u} du probleme P(Te, u, p, H, q) Alors ll existe, pour £ -*• 0, une sous-suite de { E } (encore notee {e}) telle que

grad p -> grad p dans ((H (]0,T[ x fj)) ) ' fort pour N = 2

dans ( ( H Q ( ] 0 , T [ X fl))")' faible pour N = 3

REMARQUE

Pour H = 2 1'extraction d'une sous-suite est inutile, parce que toute la suite {E} ->• 0 donne lieu a la convergence.

§1.2. APPROXIMATION PAR LA METHODE DE DIFFERENCES FINIES.

Dans ce paragraphe nous remplatjons le probleme perturbe P (Te ,u ,p ;n,q) par un probleme "approche" (§1.2.1.), Ce probleme approche sera un schema aux differences finies du type des pas fractionnaires (cf. TEt4AM [11, YANENKO f n ) . La methode des pas fractionnaires consiste en une decomposition des operateurs du probleme perturbe, de maniere qu'on puisse approcher la solution du probleme perturbe par la resolution des problemes analogues mais plus simple si la decom-position est bien choisie.

Pour cela nous introduisons (cf. §0.5) des espaces de Filbert dependants d'un parametre h destine a tendre vers zero. Pour la discretisation de la variable de temps nous introduisons (au §1.2.1.) le pas k, aussi destine a tendre vers zero. Au §1.2.2. nous deduisons les conditions que doivent verifier £, k et h pour que la solution satisfasse a des majorations independantes de e, k et h. Nous obtenons ces majorations par la methode de I'energie et elles nous permettent de donner des resultats de stabilite (§1.2.3.).

Ensuite nous faisons {e,k,h} tendre vers {0,0,0} et nous demontrerons (§1.2.1*.) que la solution du probleme discret converge, a des conditions que nous preciserons, vers une solution du probleme P(Te,u,p;N,q). La demonstration de la convergence est basee sur des arguments de compacite.

* * *

§1.2. 1. LE SCHEMA AUX DIFFERENCES FIHIES. LE PROBLEME P , (Te, ,u, ,p, ;N,q).

. , V . . . T

Soit L un entier destine a tendre vers I'infini et soit k = —. On se donne L une decomposition de g et de f: g = gl + ..- + gj, ^ = ^ 1 ^ ••• ^ ^ N telle que g. e Lg(0,T;(Lg)'l) i = 1,...,N

f e L (0,T;(L )") i = 1,...,N

Soit

0 = 0 ^ ^ ... ^0^

une decomposition du matrice a. Nous notons 1 (n+l)k . „,i 7- J P,,g.(s)ds si t e ]nk,(n+l)kl n-'"T7 / 4, \ i^ 1 i n 1 ^h ( 0 ailleurs 1 (n+l)k J, - J P„,f.(s)ds si t £ ]nk,(n+l)kl f""^ (t) = r •' nk ^^ ^ 0 ailleurs n = 0,1,...,L-1 i = 1,. .. ,N

Nous allons construire par recurrence xme famille d'elements

i i i

{Te""*¥ , u " " ^ , p " N} „ , , , e V, X V^ X v., h h ' -^h n = 0 , l , . . . ,L-1 1 2 3

i = l , . . . , N Nous p a r t o n s de

{TeJ , u ° , p°} = {p^j^Te^ , Pgj^u^ , p^^p^}

0 0 0 ^^|(i-l) p,(i-l) ^^,(i-l)

Supposons (Te , u, , p },...,{Te N , u N , p N } connus et

de-+i de-+i de-+i

finissons (Te N , u, N , p N} comme I'unique solution dans V x V x V de

^(Te;;^ - T e ; ; ^ V , x^). . .a^ei^i, >^)).. +

(5T^ , ( i - i ) , i , i

+ a.^iul N , Te;^ N , Xj^) = (g° N , X^)^^

i^<^ - u ; : " ^ , *,) ^ v((u;;^ , * j ) . ^ . ^ ( u ; ; ^ ^ , u;;^ , ,^)

(58) , ^ . . 2

. 1

- ( ' ' i ^ ^ " ' *hVg - ^ i h ^ P h " ' *h) = K^ ' *h'

. ( i - 1 ) ... i

VXj, e V.J , V^,j^ e Vg , V ^ £ V3 , n = 0 , 1 , . . . , L - 1 , i = 1 , . . . , N . i i i

L ' e x i s t e n c e e t I ' u n i c i t e d ' u n e s o l u t i o n {Te N , u N , p N} r e s u l t e du lemme

de Lax-Milgram.

En utilisant les operateurs definis au §0.6 nous pouvons donner une nouvelle formulation du schema (57), (58), (59):

(60)

(61)

+i , (i-1) J, ^(i-1) _^

Te" N - Te" N + kicC^.^ETe" N] + kA.^[u" N , Te" NT

h h Oih h ih h h

= kg^ N .

+i I (i-1) +i ^(i-1) ^i

u;; N - u;; N + kvCg.j^ru;; N : . kB.^^Eu;; N , U;; N ] .

i i i - ka.Te" N - kD.^Ep" N] = kf" N

1 h ih h h . 1 ,(i-l)

(62) Ep" N - Ep" N + kD.^Eu' N] = 0

h '^h ih h

Nous noterons le probleme (57), (58), (59) (i.e. (60), (61), (62)) par

P £ h ' % ' \ ' P h ' " ' ^ '

-§ 1 . 2 . 2 . ESTIfttTIONS SUE LA SOLUTION DU PROBLETffi P (Te ,u, ,v ; N , q ) .

Eh h-^-^i-^-'^h-^—^-^—

1 1 1

Afin d'obtenir des estimations a priori sur {Te, N , u N , p, N} nous

consi-h consi-h consi-h d e r o n s l e schema ( 5 7 ) , ( 5 8 ) , ( 5 9 ) avec 1 n+ '^h = ^ % " ' *h = % " ' % = Ph " i l r e s u l t e

iTe;;4i? - i T e ; ; ^ i f . |Te;;4- T e ; ; - T ^ i | . 2kKiiTe;;4ii^.

( 6 3 ) ^ . ^ 1 1 = 2 k ( g ; ; ^ , T e ; ; ^ ) . ^

(6U)^ - 2 k ( a . T e ; ; 4 , u^^^ - 2 k d . ^ ( p ; ; ^ , u ; ; ^ ) = 2 k ( f ; ; 4 , u ; ; ^ ) ^ ^

(65) i i

. 2kd.^(p;^ , u^-N) = 0

Nous remarquons que (applications de 1'inegalite de Schwarz et celle de Poincare): (66) |2k(g;;-^ , T e ; ; ^ ) . j . k K | | T e ; ; ^ i i f . ^ + cgkig;; " - 1 " •• ^ (67) | 2 k ( a . T e ; ; ^ , u^%^J , lkv| l ^ ; ; ^ ! | J^^ + | a | 2 e ^ k | T e ; ; ^ | j •2 '' ^-2 - 9 " ' - h " ' V ^ =max ( | ( a . ) .1) 1<i<N ^ "^ l<a<N l<g<q 2 " ^^2 - " - 2 (68) | 2 k ( f ; ; ^ , u^%j , i k v | | u ; ; ^ i i : ^ ^ . = i o ^ | f h ' " ' v

Nous ajoutons I ' e g a l i t e (63) pour i = 1 , . . . , N , n = 1 , . . . , m (avec n + — < m + ~- , 1 £ j s N). Puis nous additionnons l e s e g a l i t e s (61*) et (65) de s o r t e

, i ^ i

que l e terme 2kd. (p N , u N) d i s p a r a i s s e , et nous ajoutons l e r e s u l t a t pour i = 1 , . . . , N , n = 1,...,m (n + - < m + ^ ) . Rendant compte de ( 6 6 ) , (67) et (68) nous obtenons l e

LEMME I.l*.

La solution {Te ,xu ,p } du probleme P (Te ,XL ,p ;N,q) s a t i s f a i t a l a majora-t i o n suivanmajora-te: L-1 N i . ( i - 1 ) ^ i , ( i - l ) „ i , ( i - l ) „ (69) . I I ( i T e ; ; ^ - T e ; ; ^ T - | | . l u ; ; ^ - u ; ; ^ - i ^ i ; . E I P ; ; ^ - P ; ; " ~ T - | 2 > n=0 i=l " " v.| n n Vg n n V3 - k Y I { < i i T e ; ; ^ i i i v - v i i u ; ; ^ i | 2 } , c n=0 i=l " ^ ^ " " 2 "

m = 0,1 L-1 , j = 1,2,...,H.

c .. ne depend pas de E , k et h.

Nous venons de demontrer que L-1 ... i p i = 1.

K l l|Te;:^ll^i. ^ = ,

.. 'iv. "• "11 - - ' ' • • • ' " n=0 1 L-1 A 2

k I ||u|^ NJI.y < c^^ i = 1,...,N

n=0 2 Afin de demontrer L-1 .i

(70) kn|Te"*N|r- sc i=l,...,N j = 1,...,N

n=0 " "^'l (71) k I ||u" Nil < c i = 1,...,N j = 1 N n=0 '^2

nous donnons quelques resultats preliminaires

(72) (73) (71*)

| ( = 0 i h " V ' ^ ) v J ^ ^ i ( ^ ' l | T e J | , . J r J . ^

-* l ^ i h ^ V v ^ ^ ^ i ' ^ ' l l T e J I . - ^ i = l N VTe^^eV^

l ( ^ 2 i h ^ V ' \ V g l ^ ^ i ( ^ ' l | u , | | , , j v j ^ ^ .

* l ' ^ 2 i h ^ V l v g ^ S i ( ^ ) | l u J | , ^ ^ i = 1 N Vu^eVg

|("ihfPh^'^V3l ^ I^Phlv3l^lvg ^ ^i(^'IPhlv3l^lvg =

=* IVPh^lvg^Sit^^lPhlv3 i = ^'•••'" ^Ph ^ ^

Pour N = 2 on a ( c f . TEMAM [ 6 ] ) :

(T5) |Ai,[u,.Te^3l^^ . 2/3Si(^)|%iy I^MjV2l^^l|Jl^^lliv^

VTe £ V , Vu e Y , fi,j} = perm {1,2}

(^6) l^ih^-h'Vlv. ^ ^ ^ 3 ^ i ( ^ ' l \ l v J l ^ l l k l ^ l v J I ^ I l L

Vu ,v e Vg, {i,j} = perm {1,2} perm = permutation