Inleiding werktuigbouwkunde

; Hl 'f' ' ." , ·l. ~/' .

:--

Jan

-·c

..

co

ol

"/~'

(

.

',

..

. -

I

.. \ ( , / .. I

.

"

~/.

l

peter v. pistecky

/'

,

.,-1 \

LIC2A

"i

I ; Kil

~~(.:i

TH Deift

Technische Hogeschool Delft

inleiding werktuigbouwkunde

prof. ir. J.C

.

Cool

ir. P.V. Pistecky

2510

700

1

~

,I

.

Bibliotheek TU Delff

" "."

"

1111111111111111111111111111111111

C

5015176

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag

Cool, J.e.

Inleiding werktuigbouwkunde / J.C. Cool, P.V. Pistecky. - Delft: Delftsche U.M. - 111. Uitg. van de Vereniging voor Studie-en Studentenbelangen. - Met index, lil. opg. ISBN 90-6562-047-8

SISO 650.2 UDC 621.01 Trefw.: werktuigbouwkunde.

© jan c. cool & peter v. pistecky Eerste druk 1984

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, op-geslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, op-namen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a re-treival system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

ISBN 9065620478

3

Voorwoord

De oorsprong van dit boek is een college 'Inleiding werktuigbouwkunde' geweest, dat bedoeld was om een algemeen overzicht te geven van de verschillende aspec-ten van de werktuigbouwkunde. Daarbij zijn bestaande apparaaspec-ten en machines geanalyseerd op hun werking. Steeds is geprobeerd om globaal, op eenvoudige wijze en zonder veel wiskunde, duidelijk te maken waarom bepaalde apparaten hun karakteristieke vorm en opbouw hebben.

Door op verschillende punten dieper in te gaan kreeg een aantal constructieve bijzonderheden meer aandacht. Met wat extra rekenwerk kon in een aantal geval-len de optimale constructie worden aangegeven. Daarmee is de stof geschikt ge-worden voor de opleiding van constructeurs. In de huidige vorm wordt het boek gebruikt als schriftelijke begeleiding van het college 'Inleiding ontwerpleer' voor studenten van de afdeling Industrieel Ontwerpen van de Technische Hogeschool te Delft. Dit onderwijs wordt verzorgd vanuit de sectie Instrumenten van de vak-groep voor werktuigkundige meet- en regeltechniek, waar jarenlange praktische ontwerpervaring op het gebied van de protheseologie aanwezig is.

De eerste twee hoofdstukken geven een beknopte herhaling van de noodzakelijke mechanica-kennis en de beginselen van de sterkteleer. Vooral het veel verwaarloosde begrip stijfheid krijgt in deze en andere hoofdstukken aandacht.

Omdat materiaalkeuze bij een ontwerp vaak van doorslaggevende betekenis is, wordt in een afzonderlijk hoofdstuk getracht inzicht te geven in het hoe en waarom van bepaalde materiaaleigenschappen.

Het hoofdstuk over comparologie laat de problemen zien bij het verkleinen of ver-groten van reeds bestaande constructies en bij de soms noodzakelijke modelproeven. Er is ruim aandacht gegeven aan wrijving en mechanische weerstand alsmede aan de middelen om deze te vergroten of te verkleinen.

Omdat veren tot de essentiële werktuigonderdelen behoren is een hoofdstuk gewijd aan enkele principiële problemen betreffende het veerontwerp, waaronder ook de keuze van de optimale veer valt.

Het hoofdstuk over energie geeft een inleiding in de 'warme werktuigbouwkunde'. Hierin is een technologisch rendement beschreven dat aangeeft in welke mate een machine warmtetechnisch goed is geconstrueerd.

Tenslotte worden de verschillende mogelijkheden bij het koppelen van een motor met een last besproken. Met de gegeven methode kan de beste overbrengingsver-houding worden gekozen.

De auteurs menen dat dit boek ook gebruikt zal kunnen worden bij verschillende soorten hoger technisch onderwijs, zowel door het globale overzicht van de gehele werktuigbouwkunde als door de specialistische behandeling van enkele belangrijke onderwerpen. De verschillende hoofdstukken kunnen grotendeels onafhankelijk van elkaar worden behandeld.

Alle opmerkingen betreffende dit boek zijn bij de schrijvers welkom.

Delft, januari 1984. Jan C. Cool

4

Inhoud

1. Krachten en momenten 1.1. Theorie 1.1.1. Inleiding 1.1.2. Statische krachten 1.1.3. Evenwichtsvoorwaarden

1.1.4. Veranderlijke krachten en momenten 1.1.5. Dynamische krachten en momenten 1.2. Krachtvergroting, wegvergroting

1.2.1. Inleiding 1.2.2. Hefboomwerking

1.2.3. Hellend vlak, schroefdraad 1.2.4. Hydraulische vijzel 1.3. Momentversterking 1.3.1. Theorie 1.3.2. Toepassingen 1.4. Servosystemen 2. Spanningen en vervormingen 2.1. Spanningen

2.2. Vervormingen, wet van Hooke 2.3. Sterkte en stijfheid

3. Materialen

3.1. Atomaire opbouw van materialen 3.1.1. Typen bindingen

3.1.2. Bindingskrachten en bindingsenergie 3.1.3. Rangschikking van atomen

3.1.4. Elastische en plastische vervormingen 3.2. Materiaaleigenschappen

3.2.1. Onderverdeling van materialen 3.2.2. Metalen 3.2.3. Keramische materialen 3.2.4. Polymeren 3.2.5. Composieten 4. Comparologie 4.1. Inleiding 4.1.1. Schaalfactoren 4.1.2. Afhankelijke schaalfactoren 4.1.3. Moeilijkheden bij modelproeven 4.2. Statische schaalwetten

4.2.1. Belasting door uitwendige krachten

7 7 7 7 7 10 11 15 15 15 18 24 24 24 25 27 29

29

34 38 43 43 43 44 46 48 49 49 50 52 53 56 61 61 61 62 62 63 63

4.2.2. Belasting door zwaartekracht 63

4.2.3. Belasting door pneumatische of hydraulische drukken 67

4.2.4. Belasting op knik 70

...

I

I

_I 5

I

4.3. Dynamische schaalwetten 73

,

4.3.1. Heen en weer gaande massa's 73

I

4.3.2. Roterende massa 77

4.4. Energetische schaalwetten 78

I

4.5. Vertakking en onderverdeling 4.6. Kental 81 82 1

4.6.1. Schaalwet en kental 82

4.6.2. Invloed van de vorm 84

I

4.6.3. Stromingen in vloeistoffen en gassen 85

4.6.4. Moeilijkheden bij modelproeven 86

S. Wrijving en weerstand 88

I

5.1. Droge 5.1.1. Theorie wrijving 88 88

I

5.1.2. Verminderen droge wrijving 91

5.1.3. Vergroten droge wrijving 94

I

5.1.4. Remweg 95 5.2. Vloeistofwrijving 97 I _{5.2.1. Theorie 97}

I

5.2.2. Hydrodynamische aslagers 99 5.2.3. Luchtweerstand 101 5.2.4. Draagvlakken 101 5.2.5. Verminderen luchtweerstand 103 5.2.6. Leidingweerstand 104 5.3. Rollende wrijving 105 6. Veren 107 6.1. Algemeen 107 6.1.1. Inleiding 107 6.1.2. Veerkarakteristieken 107 6.1.3. Werkpunt 108

6.1.4. Samenwerkende veren, parallelschakeling 109

6.1.5. Samenwerkende veren, serieschakeling 110 6.1.6. Samenwerkende veren, nadere beschouwing 112

6.2. Energieopslag in veren 112

6.2.1. Theorie 112

6.2.2. Energieopslag, invloed van de vorm 113

6.3. Veerkeuze 117

6.3.1. Invloed van de ontwerpeisen 117

6.3.2. Invloed van de overbrenging 120

6.3.3. Keuze van veermateriaal 122

6.4. Veren in trillende systemen 124

6.4.1. Theorie 124

6.4.2. Statisch evenwicht 124

6.4.3. Vrij e trilling 124

6

6.4.5. Gedwongen trilling met demping 6.4.6. Trillingsisolatie 6.4.7. Meetveren 7. Energie 7.1. Inleiding 7.2. Warmteleer 7.2.1. Theorie 7.2.2. Camot proces

7.2.3. Eerste hoofdwet rendement 7.3. Warmtemotoren 7.3 .1. Zuigermotoren 7.3.2. Turbines 7.4. Warmtepompen 7.4.1. Koelprocessen 7.4.2. Rendement 7.4.3. Absorptie-koelsystemen 7.4.4. Verwarming met warmtepomp

7.4.5. Gecombineerde verwarmings- en koelinstallatie 7.5. Vermogens en rendementen 7.5.1. Algemeen 7.5.2. Tweede hoofdwet-rendement € 7.6. Energieopslag 7.7. Energietransport 8. Aandrijving 8.1. Inleiding 8.2. Karakteristieken 8.3. Motor-last-koppeling 8.3.1. Directe koppeling

8.3.2. Koppeling via een overbrenging 8.4. Keuze overbrengingsverhouding 8.5. Veranderende karakteristieken 8.6. Dynamisch gedrag 9. Eenheden Literatuur Index 127 128 129 131 131 133 133 134

135

136 138 139

141

141 142

143

143

145

145

145

148

150

153

155

155

155

158

158

160

161

163

164

166

169

170

~l

1. Krachten en momenten

1.1. Theorie

1.1.1. Inleiding

7

In werktuigbouwkundige constructies zijn de optredende mechanische krachten veelal van groot belang. Het is gebruikelijk de mechanische krachten te onder-verdelen in statische krachten en dynamische krachten. Dynamische krachten worden de krachten genoemd die samenhangen met de beweging van een voor-werp. De statische krachten treden altijd op; zowel bij beweging als bij stilstand van het voorwerp/de voorwerpen. In 1.1.2 worden de statische en in 1.1.5 de

dynamische krachten besproken.

Een kracht is een vectorgrootheid. Dit betekent dat een kracht slechts dan vol-ledig is bepaald indien zijn grootte en zijn richting bekend zijn. De lijn die door het aangrijpingspunt van een kracht in de richting van die kracht is getrokken heet werklijn. Volgens de mechanicawetten verandert de werking van een kracht niet als zijn aangrijpingspunt langs zijn werklijn verplaatst.

1.1.2. Statische krachten

Enkele belangrijke statische krachten zijn:

• Zwaartekracht. Deze kracht grijpt aan in het zwaartepunt van een voorwerp, is steeds naar het middelpunt van de aarde gericht en heeft een grootte F

=

mg (m

=

massa voorwerp, g

=

versnelling van de zwaartekracht). • Contactkrachten. Dit zijn de krachten die twee voorwerpen in hun aam

a-kingspunt op elkaar uitoefenen. Deze krachten zijn steeds gelijk van grootte en tegengesteld gericht volgens het principe actie = reactie. Tot deze cate-goriebehoren ook de krachten die optreden als een voorwerp in aamaking is met een vloeistof of een gasvormig medium. Elke contactkracht is te ontbinden in een normaalkracht loodrecht op het oppervlak en een wrijvings-kracht evenwijdig aan het oppervlak.

• Magnetische en elektrische krachten. Deze krachten zijn slechts in een be-paald vakgebied belangrijk.

1.1.3. Evenwichtsvoorwaarden

Meestal werken op een lichaam meerdere krachten. Het lichaam is in evenwicht (eenparige beweging of rust) indien bij het samenstellen van al deze krachten geen resulterende kracht en geen moment overblijft. In het tweedimensionale geval is de mathematische voorwaarde voor evenwicht:

~Fx

=

0, geen resulterende kracht in x-richting ~Fy

=

0, geen resulterende k!acht in y-richting

~T = 0, geen resulterend moment.

Indien er. slechts twee krachten werken kunnen deze drie voorwaarden worden vervangen door de eis: de krachten moeten gelijk van grootte zijn, dezelfde werklijn hebben en tegengesteld gericht zijn.

Als er drie krachten werken kunnen de gegeven voorwaarden worden vervangen door de eis: de werklijnen van de krachten moeten door één punt gaan en de krachtendriehoek (zie onder andere voorbeeld I) moet gesloten zijn.

8 krachten en momenten

In die gevallen dat er meer dan drie krachten werken is het vaak handig de krachten eerst onderling samen te stellen tot dat er drie overblijven. Voor dit (vectorisch) samenstellen komen alleen de krachten die in grootte èn richting bekend zijn in aanmerking. Vervolgens de drie resterende krachten als boven vermeld behandelen.

Met nadruk wordt er nog op gewezen dat de gegeven vervangende evenwichts-voorwaarden slechts bruikbaar zijn indien er geen momenten werken. Bij de

aan-wezigheid van een moment is evenwi~ht mogelijk zonder dat de werklijnen van

de (twee of drie) krachten door één 'punt gaan. Zie hiervoor onder andere

voor-beeld 3.

Voorbeeld 1. Een straatlantaarn van 20kg is opgehangen in het midden van een kabel die tussen twee gebouwen is gespannen, zie figuur l.I. Met behulp van de krachtendriehoek voor het ophangpunt is de grootte van de spankracht S in de kabel te bepalen. In het ophangpunt van de lantaarn werken drie krachten:

het gewicht G = 200 N en de twee spankrachten S1 en S2. Van de spankrachten

is alleen de richting bekend. Omdat er evenwicht is moet de krachtendriehoek gesloten zijn. Hieruit volgt direct de grootte van S1 en S2. Het is duidelijk dat

in een strak gespannen koord (kleine hoek a) een grote spankracht SI = S2

op-treedt. Dit blijkt ook uit de mathematische formulering SI = S2 = G/2sina.

Figuur 1.1. Bepaling van de spankrachten in de ophangkabel van een straatlantaarn.

Voorbeeld 2. Met een lier wordt een last L opgehesen. In figuur 1.2 zijn de krachten en momenten getekend die op de verschillende onderdelen van de

lier werken. In de hijskabel werkt een trekkracht eveneens ter grootte van L.

Aan de omtrek van de trommel werkt dus ook een kracht L. Voor het

verti-kaal evenwicht van de trommel is het nodig dat de lagers op de as ook een kracht L uitoefenen. Eenzelfde kracht oefent de as dan ook op de lagers uit. De trommel is echter nog niet in evenwicht. Hiervoor is nog een moment T nodig. Bij hijsen moet T

>

LD/2; voor strijken moet T

<

LD/2; en voor

stil-stand moet T = LD/2. Dit alles geldt voor langzame bewegingen waarbij de

traagheidskrachten (zie 1.1.5) verwaarloosd kunnen worden. Ook het eigen ge-wicht van kabel en trommel is verwaarloosd.

'I

I

1

I

\

lc'achten en momenten 9

o

hijs moment of remkoppel T

Figuur 1.2. De krachten en momenten zoals die werken op de verschillende onderdelen van een hijslier.

Voorbeeld 3. In figuur 1.3.a is de principiële opbouw van een verbrandings-motor getekend. In de cilinder heerst een druk p die een kracht Fz op de zuiger uitoefent'. De gasdruk veroorzaakt ook krachten op het manteloppervlak van de cilinder. Deze heffen elkaar echter op en zijn niet getekend. Er is een langzaam lopende machine verondersteld waarbij de traagheidskrachten mogen worden verwaarloosd. Ook de eigen gewichten van de verschillende onderdelen zijn niet meebeschouwd. Van de kracht op de drijfstang Fd is alleen de richting bekend. Immers, op de drijfstang werken slechts twee krachten en deze moeten dus tegengesteld gericht zijn en langs dezelfde werklijn werken (c). De grootte

e

Figuur 1.3. De krachten en momenten werkzaam op de onderdelen van een verbrandings-motor, uitsluitend ten gevolge van de gasdruk in de verbrandingsruimte.

10 krachten en momenten

van de kracht Fd volgt uit de krachtendriehoek voor de zuiger (f). Op de zuiger werkt ook nog de kracht Fn' die loodrecht op de cilinderwand staat (b). De wrijving die deze normaalkracht veroorzaakt is verwaarloosd. De kracht Fd werkt ook op de krukas (d) en veroorzaakt daar een lagerreactie van dezelfde grootte en richting. Aan de momentenvoorwaarde is voldaan als het belastende koppel T

=

Fd ·s. De drie krachten Fz, Fd en Fn veroorzaken alle een reactie-kracht op het machinehuis (e). De reactie-krachtendriehoek voor het machinehuis (g) lijkt sterk op die voor de zuiger (f).

Alle bepaalde krachten en momenten zijn uitsluitend een gevolg van de gasdruk in de cilinderruimte. In 1.1.5 zal de invloed van de aanwezige massa's worden bepaald.

1.1.4. Veranderlijke krachten en momenten

Bij een verbrandingsmotor is de druk in de verbrandingsruimte niet constant en ook zal de onderlinge geometrie van drijfstang en krukas voortdurend wijzigen. Daarbij komt dat tijdens de inlaatslag een onderdruk heerst in de verbrandingsruimte waarvoor een trekkracht in de drijfstang benodigd is. Gedu-rende het ronddraaien zullen dus op de verschillende onderdelen steeds andere krachten werken. Het door de motor geleverde moment zal gedurende het

rond-6 5 4 3 2

,

cilinderdruk ff.1P~ o

t---~~----~----~=---t---~=---~=----c=-~~-_, arbeid I uitlaat I inlaat

i

tijd

2 omwentelingen 150 motormoment [Nm) 100 50 gemiddeld motormoment

----_-.:'---I I I I I I I I I I I I o +---~---~~._--~---- ~---~~--+_---50

j

-100 voor oompressie aan de motoras onttrokken moment tijd

Figuur 1.4. In de bovenste grafiek is het verloop van de periodiek veranderende cilinderdruk aangegeven. Elke twee omwentelingen herhaalt het patroon zich. Uit de cilinderdruk en de op dat tijdstip aanwezige krukhoek is (bij bekende motorafmetingen) het motormoment te berekenen. Dit moment is getekend in de onderste grafiek. TIjdens de arbeidsslag levert de motor een moment, bij de compressieslag moet een moment worden toegevoerd. Tijdens de inlaatslag en de uitlaatslag zijn de optredende momenten zeer klein. Het gemiddeld over twee omwentelingen geleverde moment is berekend en in de grafiek getekend.

krachten en momenten 11 draaien ook (periodiek) veranderen, zie figuur IA. De gemiddelde waarde van dit periodiek veranderende moment wordt gewoonlijk als het geleverde moment beschouwd. De figuur laat zien dat het gemiddelde moment veel lager is dan de maximale waarde van het werkelijk geleverde motormoment . De onderdelen van de motor moeten dus tegen veel grotere krachten bestand zijn dan overeenkomt met het opgegeven geleverde moment.

Als de motor een werktuig aandrijft dat een constant moment vraagt dat even groot is als het gemiddelde motormoment, dan is er gemiddeld gezien over twee omwentelingen een evenwichtssituatie. In werkelijkheid is er echter van even-wicht geen sprake. Tijdens de arbeidsslag is het motorlnoment veel groter dan het gevraagde lastmoment. Het verschil tussen motormoment en lastmoment wordt dan gebruikt voor versnelling van de motor as met aangekoppelde delen. Tijdens de uitlaatslag, de inlaat slag en vooral tijdens de compressieslag is het gevraagde moment groter dan het geleverde. De motoras gaat weer langzamer roteren. De grootte van de optredende toerentalvariatie hangt af van de bouw van de motor, het aantal cilinders en het massatraagheidsmoment van de bewegende delen. De in de verschillende onderdelen van de motor optredende krachten en mo-menten zijn veranderlijk. In het gegeven voorbeeld veranderen ze echter perio-diek en worden daarom ook wel stationair genoemd.

1.1.5. Dynamische krachten en momenten

In het voorgaande zijn de voorwaarden voor evenwicht toegepast in gevallen waar de onderdelen in rust verkeerden of zo langzaam bewogen dat de versnel-lingskrachten konden worden verwaarloosd. Zo is in paragraaf 1.1.3, voorbeeld 3 uitdrukkelijk geen rekening gehouden met traagheidseffecten. In werkelijkheid is de krachtenwerking enigszins anders. Zie hiervoor figuur 1.5, waarin Fl en F₂ de krachten voorstellen die respectievelijk de zuigerpen en de krukaspen op de drijfstang uitoefenen. Er is duidelijk geen evenwicht. De krachten Fl en F

2

vor-men savor-men de resultante Fres' Deze kracht Fres veroorzaakt een versnelde bewe-ging van de drijfstang volgens de bekende formule Fres

=

_{mares (m}

=

massa

Figuur 1.5. Op de driifstang werken de contactkrachten Fl en F2 alsmede de traagheids-kracht Ftraag. Voor evenwicht van de drijfstang is het noodzakelijk dat deze krachten door één punt gaan en dat de krachtendriehoek gesloten is. Er geldt dan _Ftraag = -mares'

12 krachten en momenten

drijfstang, ares

=

versnelling van de drijfstang langs de werklijn en in de richting van Fres). De formule is echter ook te schrijven in de vorm Fres - mares

=

O. Bij de invoering van de traagheidskracht Ftraag

=

_{-mares gaat de formule over} in Fres

+

Ftraag

=

0 of LF

=

O. Door het invoeren van de traagheidskracht (Ftraag

=

-mares) is het met meer nodIg de optredende versnellingen in rekening te

brengen en het systeem is weer als een in rust verkerend systeem te beschouwen. De reeds gegeven evenwichtsvoorwaarden kunnen dan weer worden toegepast. Het komt er dus op neer dat de twee op de drijfstang werkende krachten wor-den aangevuld met een derde kracht, zodanig dat er geen resulterende kracht overblijft. Als er geen resultante is, is er ook geen versnelling. Het invoeren van een derde kracht, de traagheidskracht, leidt dus tot een stilzetten van de

bewe-~

Een soortgelijke redenering geldt als in plaats van de werkelijk optredende centri-petale versnelling gerekend wordt met de centrifugaalkracht. De centrifugaal-kracht is - analoog aan de traagheidskracht - ingevoerd om de evenwichtsvoor-waarden te kunnen toepassen op (snel) roterende voorwerpen. Het eenvoudige voorbeeld van een aan het eind van een touw ronddraaiende steen laat zien hoe één en ander werkt. Met het invoeren van de centrifugaalkracht wordt de bewe-ging stilgezet. De evenwichtsvoorwaarden zijn dan toepasbaar. De centrifugaal-kracht trekt de steen even hard naar buiten als de spancentrifugaal-kracht in het touw de steen naar binnen trekt.

Bij rotatieversnellingen en -vertragingen is, geheel overeenkomstig aan de traag-heidskracht, een traagheidsmoment Ttraag te definiëren. Voor dit traagheidsmoment geldt de formule Ttraag= -J Q. De formule is geheel analoog aan de formule voor translerende massa's. De vectoren voor de hoekversnelling Q en het traagheidsmo-ment Ttraag. hebben dezelfde werklijn. Vanwege het minteken werken zij in tegengestelde richting. Het massatraagheidsmoment J moet om deze'zelfde werk-lijn in rekening gebracht worden.

Voorbeeld. Voor de bestudering van de invloed van de bewegende massa's van een krukdrijfstangmechanisme is het zinvol eerst de zuigerbeweging te beschrij-ven. Voor een mechanisme zoals getekend in figuur 1.6 geldt voor de momentane zuigerpositie x:

x

=

rcoswt

+

QJI -

(~sinwt)2.

Voor het berekenen van de zuigerversnelling

x

is het voordelig de bovenstaande 1 formule te vereenvoudigen tot (Vs 2 x = , , (= > sin

2:x:.

1-2 Sin :c.

r2 r

x = Q - 4Q

+

r(coswt

+

4Qcos2wt). -

~

2

·

(O

S2

'Xt~

"

I

Bij aanname van een constant toerental resulteert hieruit voor de

zuigerversnel-ling

Voor de bepaling van de grootte van de translerende massa moet niet alleen aan de zuiger worden gedacht. De drijfstang voert een gecompliceerde slingerende

I

I

I

1

I

"

I

I

I

I

'

~'I ~

I

I

I

_i

Figuur 1.6. Een krukdrijfstangmechanisme waarbij de kruk (kruklengte r) een hoek wt

gedraaid is. De drijfstanglengte is aangegeven

met Q.

krachten en momenten 13

m translerend

',Frot (ten gevolge van , tegengewicht)

~

Figuur 1. 7. De maSIQ's van een krukdrijf stangmechanisme verdeeld in een roterende massa mrot en een translerende massa mtrans' Om de beweging stil te zetten zijn de schijn-krachten Ftrans en Frot ingevoerd. Frot is eenvoudig te compenseren met een tegenge-wicht aan de kruk. Zie gestippelde vector. beweging uit: gedeeltelijk translerend en gedeeltelijk roterend. Het is gebruikelijk de drijfstangmassa m drijf te splitsen in een massa mI = "Ïmdrijf ter plaatse van . de kruk die dan een roterende beweging uitvoert en een massa m₂

=

~mdrijf ter plaatse van de zuigerpen die dan een translatie uitvoert. Deze verdeling is een benadering van de werkelijke situatie. Voor de totale translerende massa geldt dan:

mtrans = m zuiger

+

4

mdrijf·

Indien mkruk de op de krukpen gereduceerde massa van de krukas voorstelt, dan geldt voor de roterende massa (rotatiestraal r):

mrot = mkruk

+

~mdrijf'

Wat betreft de massawerking is de tekening van figuur 1.6 te vereenvoudigen tot figuur 1.7. In deze figuur zijn ook de vectoren van de twee traagheidskrachten

•• 2

Ftrans = -mtransx en F;.ot = mrotrw getekend.

Ftrans is steeds langs de cilinderhartlijn gericht. Frot is steeds radiaal aan de kruk, centrifugaal, gericht. Met de invoering van deze twee traagheidskrachten is de beweging dus stilgezet. De invloed van Frot is eenvoudig te compenseren door het aanbrengen van een geschikt tegengewicht aan de kruk. Zie de gestippelde pijl in figuur 1.7. De invloed van Ftrans is niet door eenvoudige maatregelen op

. te heffen. De invloed is tweeërlei. In de eerste plaats ontstaat door de recht-streekse invloed van de kracht _{Ftrans een translatietrilling van het gehele} motor-blok. Ftrans wordt ook wel de oscillerende kracht genoemd. Voorts veroorzaakt Ftrans via het kruk-drijfstangmechanisme nog een traagheidsmoment Ttrans in de aandrijving. Dit oscillerende moment resulteert in torsietrillingen in de aandrijfas.

14 krachten en momenten

2

zuigerpositie x = f -

h-

+ r(coswt + ~cos2wtl

f + r

----~---+----~

krukhoek wt

f - r

traagheidskracht F".n. = m".n •. rw2 _{(coswt + fcoS2wtl}

mtrans' rw2

krukhoek wt

m_uans' (-rw2 ) - -- - - -

-traagheidsmoment

2 r (r . . 2 3r . 3 l Ttrans = mtrans . rw "'2 22 Sin wt - sm wt - 22 Sin wt mtrans·}rw2

1---rr---~--.----~~--.--~

---krukhoek wt

mtrans' (-~ rw2)

Figuur 1.8. In de figuur is ervan uitgegaan dat de roterende massa's van kruk en drijfstang geheel zijn gebalanceerd. De totale translerende massa van de zuiger en een deel van de drijfstang veroorzaken de oscillerende kracht F_trans en het traagheidsmomen! T_trans' De krac.hten ten gevolge van de verbrandingsdruk zijn niet in de figuur verwerkt.

Figuur 1.8 geeft het verloop van de traagheidskracht en het traagheidsmoment tijdens één omwenteling van een ééncilindermachine.

Bij ééncilindermachines is nog een geringe verbetering aan te brengen door de krukas van nog een extra tegengewicht te voorzien. Voor meercilindermachines kunnen de verschillende bewegende massa's elkaar compenseren. Voor volledige compensatie van alle oscillerende krachten en momenten is tenminste een zes-cilindermachine benodigd.

krachten en momenten 15

1.2. Krachtvergroting, wegvergroting

1.2.1. Inleiding

Reeds in de verre oudheid wilde de mens grotere krachten uitoefenen dan waartoe hij fysiek in staat was. Hij wil dat nu nog. De grote verscheidenheid van hulpwerktuigen waarmee een krachtvergroting kan worden verkregen be-rusten op slechts twee principes die beidè al zeer lang bekend zijn. Krachtver-groting is meestal verkregen door hefboomwerking en door toepassing van een hellend vlak. Van beide methoden zullen in het volgende een aantal toepassings-voorbeelden worden gegeven, zowel voor rechtlijnige als voor roterende bewe-gingen. Ook de modernere hydraulische krachtversterking wordt besproken. 1.2.2. Hefboomwerking

In figuur 1.9.a is de hefboomwerking nog schematisch in beeld gebracht. Uit het momentenevenwicht om het steunpunt volgt direct dat de grootste kracht aan de kleinste arm werkt en omgekeerd. Uiteraard is de configuratie van figuur 1.9.a niet de enig mogelijke. Het steunpunt kan ook tussen de beide krachten in liggen, zoals in figuur 1.9.b is getekend. Steeds geldt de momentvoorwaarde Fla l

=

F2a2. Als al

=

ia2 dan is _F2

=

_iFI·

a b

j

Figuur 1.9. Schematische voorstelling van de hefboom werking. Het momentenevenwicht

eist dat FI'al

,=

F2·a2. Als al

=

6a2 dan is dus F2

=

6FI.

a. De hefboom werking treedt op als de twee krachten aan één zijde van het draaipunt werken, maar ook:

b. als de twee krachten aan weerszijden van het dral1ipunt aI1ngrijpen.

Voor beide uitvoeringen geldt dat bij beweging van de hefboom de kleinste kracht de grootste weg moet afleggen en omgekeerd. Bij verdraaiing van de hefboom over een hoek I{) behoort bij de (ingaande) kracht FI een weg SI

=

al I{) en bij de (uitgaande) kracht F2 een weg s2 = _a21{). Met al = _ia2 is reeds afgeleid F2

=

iF_{1 ;} maar geldt ook s2

=

81/i.

Hieruit volgt

F1/F2

=

s2/s1

of F₁ SI

=

_{F2 s2.}

Het produkt van kracht en weg blijft dus constant. Dit is ook direct af te leiden uit de wet van behoud van energie.

De hefboomwerking wordt in veel eenvoudige mechanieken toegepast. Enkele voorbeelden zijn: koevoet, spijkertrekker, tang, handrem van fiets, deurkruk. Zie figuren 1.1 0 en 1.11.

16 krachten en momenten

Figuur 1.10. Op de spijkertrekker wordt een kracht FI uitgeoefend om de spijker met een kracht Fz uit te kunnen trekken. Uit de momentenvoorwaarde om het steun-·

punt S volgt Flal = Fzaz. Omdat al:> az kan Fl «Fz.

_______ J , . ' - -- -- - ---""-, 1

- _ _ _ _ ,_1

Figuur 1.11. De bedieningshandle van een fietsrem draait om het punt S. De knijp-kracht van de vingers FI levert een moment Flal. De trekkracht in de bowdenkabel levert een moment Fzaz. Steeds geldt Flal = Fzaz. Omdat al > az kan FI <Fz zijn. De kleinere bedieningskracht moet wel een grotere weg afleggen.

Niet altijd wordt de hefboom gebruikt voor krachtvergroting. In een aantal ge-vallen is de toepassing gebaseerd op wegvergroting. Omdat ook hier de wet van behoud van energie moet gelden is de benodigde bedieningskracht (veel) groter dan de met de hefboom uitgeoefende kracht. Het beste voorbeeld is wellicht de menselijke onderarm die een last kan optillen, maar daarvoor een veel grotere kracht in de bedienende spier (biceps) nodig heeft. Zie figuur 1.12.

Figuur 1.12. Bij het tillen van een kogel met gewicht Fz wordt de onderarm als hefboom met wegvergroting gebruikt. De door de biceps uit te oefenen bedieningskracht FI is veel groter dan het getilde gewicht Fz. Bij de mens is de verhouding az/al ~ 7. De berekening van FI is hier iets gecompliceerder omdat de biceps niet alleen de last Fz maar ook een gedeelte van het (relatief grotere) armgewicht moet tillen. Bovendien zijn er meerdere spieren die de arm laten buigen in gebruik.

-I

I

I

I

I

_I ! krachten en momenten 17 Het principe van krachtvergroting door hefboom werking is ook toepasbaar op roterende onderdelen. Een eenvoudig voorbeeld geeft figuur 1.13. Meer uitge-breide toepassing vindt het hangende katrol van figuur 1.14. De kracht wordt hier een factor twee versterkt. Het principe van de hangende katrol is zeer ge-eigend voor herhaalde toepassing. Zie hiervoor figuur 1.15.

a

F₁

Figuur 1.13. In a is schematisch een eenvoudig hijswerktuig getekend. In het frontaanzicht

b is de krachtwerking aangegeven, die volledig overeenkomt met de hefboom van c.

Figuur 1.14. Bij een hangende katrol ontstaat een hefboom met het draaipunt aan de katrol· omtrek. De in het draaipunt optredende kracht op de hefboom heeft dezelfde grootte en

18 krachten en momenten.

I

f2-

32F_l I

,

Figuur 1.15. Twee mogelijkheden om de krachtversterking van een hangende katrol her-haald toe te passen. In beide figuren is de meest rechtse katrol een omloopschij[, die niet aan de krachtversterking mee doet. De oplossing van de linkse figuur levert de grootste krachtversterking. De opstelling is echter ongunstig omdat het katrol dat het snelst·

be-weegt (het katrol met uitgangskracht 2F1) de kleinste slag ter beschikking heeft en

daar-mee het hele systeem beperkt. Bovendien zijn de kabelkrachten sterk verschillend. Het rechts getekende systeem heeft deze nadelen niet en wordt daarom algemeen toegepast. De bovenste en de onderste katrollen worden dan in twee blokken verenigd.

1.2.3. Hellend vlak, schroefdraad

Reeds in de verre oudheid wist de mens dat het eenvoudiger was een last tegen een hellend vlak op te duwen dan recht omhoog te tillen_ Ook uit de mechanica volgt dit direct. Zie figuur 1.16. Om een last met een gewicht G tegen een hellend vlak op te trekken moet tenminste een kracht Fl = G sinG: worden uit-geoefend. Deze kracht moet beschikbaar zijn om de invloed van het gewicht

Figuur 1.16. De verschillende krachten werkende op een last die door een kracht F tegen een hellend vlak wordt opgetrokken. De evenwijdig aan het vlak werkende wrijvingskracht

krachten en momenten 19

tegen te gaan. Voor het overwinnen van de wrijving (wrijvingscoëfficiënt f, zie

§

5.1.2) is nog een extra kracht F₂

=

fGcosa benodigd. In totaal moet dus een kracht F = G(sina

+

f cosa) aanwezig zijn om de last het hellend vlak op te trekken.

Toepassing van een hellend vlak is alleen voordelig indien F jG <{ 1. In figuur 1.17 is F jG uitgezet als functie van ex met f als parameter. Een hellend vlak levert alleen een grote krachtsbesparing bij een kleine hellingshoek en een lage wrijvingscoëfficiënt,

7,

1,2

t

G 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 10' 20' 30' 40' 50" 60' 70' 80' 90' hellingshoek Ci G

Figuur 1.17. De kracht F, benodigd om een last langs een hellend vlak omhoog te trekken,

is alleen aanzienlijk kleiner dan het gewicht G van de last bij een kleine hellingshoek Ci en

een lage wrijvingscoëfficiënt f.

Natuurlijk geldt ook hier de wet van behoud van energie. Als er geen wrijving is, en de last G is h meter opgetild dan is er een arbeid G' h geleverd. Deze arbeid is afkomstig van de kracht die een weg hjsinex heeft afgelegd. Zoals reeds berekend is F

=

Gsina. De kracht F heeft dus een arbeid geleverd G sin ex' hjsinex

=

G'h, dus evenveel als aan de last G is toegevoerd.

Naar alle waarschijnlijkheid ,zijn in de oudheid de grote stenen van de piramiden en de hunebedden met behulp van een hellend vlak op hun plaats gebracht. Een moderne toepassing zijn de opritten van een parkeergarage.

Zoals reeds is gebleken is de werking van het hellend vlak alleen effectief bij kleine hellingshoeken. Dit leidt tot lange hellingen. Ter besparing van ruimte wordt het hellend vlak dan om een cilinder gewonden. Zie figuur 1.I8.a. Er ontstaat een schroeflijn, die zeer veel Li1 de techniek wordt toegepast. Het meest bekende gebruik is de schroefdraad. Deze ontstaat door een bepaald profiel (bij-voorbeeld een rechthoek) langs een schroeflijn te laten bewegen. Zie figuur 1.1B.b. De schroefdraad kan zijn aangebracht aan de buitenzijde van de omwentelings-cilinder (bout, uitwendige draad) of aan de binnenzijde ervan (moer, inwendige draad). Als bout en moer moeten samenwerken moeten uiteraard het profiel en de spoed (de grootte van de rechtlijnige axiale verplaatsing van het profiel per omwenteling) van de schroefdraad hetzelfde zijn.

20 krachten en momenten

spoed

a

b

Figuur 1.18. Als een hellend vlak rond een cilinder wordt gewonden ontstaat een schroef lijn (a). Door een bepaald profiel (bijvoorbeeld een rechthoek) langs deze schroeflijn te bewegen ontstaat een schroefdraad (b).

In een aantal gevallen wordt een bout-moer combinatie gebruikt voor het ver-plaatsen van een support van een draaibank of voor het omhoog brengen van een last (vijzel of krik) en dergelijke. De schroefdraad is dan in gebruik als bewegings-schroefdraad. Dit type schroefdraad heeft meestal een rechthoekig (figuur 1.19.a) of trapeziumvormig profiel.

De tweede belangrijke toepassing van de schroefdraad is voor het uitoefenen van een axiale kIemkracht (bevestigingsschroefdraad). De meest bekende uit-voering hiervan is de (genormaliseerde) metrische schroefdraad met een drie-hoekig profiel (figuur 1.19.b).

G

Figuur 1.19. De twee belangrijkste schroefdraadtypen.

a. Schroefdraad met een rechthoekig profiel; meestal als bewegingsschroefdraad in gebruik. b. Genormaliseerde metrische schroefdraad met een driehoekig profiel; overwegend als

bevestigingsschroefdraad bekend.

Voor een rechthoekig schroefdraadprofiel van figuur 1.19 geldt: F = G tga ± f

I + ftga .

ti b h 41GA we

krachten en momenten 21

Voor de metrische schroefdraad met driehoekig profiel met tophoek 2{3 verandert

de formule in: f tga ± -F = G cos{3 _ f 1 + tga--{3 cos

Onder invoering van een nieuwe wrijvingscoëfficiënt

f'

=

fJcos{3 zijn de twee for-mules overeenkomstig. De metrische schroefdraad heeft een tophoek van 60°,

zodat

f

=

l,l4f. ~ z ~Oo

In de praktijk is de grootte van een optredende wrijvingscoëfficiënt niet goed bekend. Bovendien treden tijdens bedrijf grote variaties (soms tot 50%) in deze waarde op. In verband daarmee kan gesteld worden:

f'

=

f.

G 0,6 0,4 grens zelfremmendheid 0;2 10' 30' hellingshoek a.

Figuur 1.20. De verhouding F/G bij het optrekken van een last langs een hellend vlak in-dien de kracht F evenwijdig aan het grondvlak aangrijpt. Dit is het geval bij onderlinge be-weging van bout en moer. De lijn van a = arctgf (waarboven de schroefdraad zelf remmend is) en het gebied van bevestigingsschroefdraad (1°< a < 4°) zijn aangegeven.

In figuur 1.20 is de functie FjG getekend in afuankelijkheid van de wrijvingsco

-efficiënt f (of

f)

en de hellingshoek

a

.

Uit de figuur blijkt dat de aandrijvende kracht nu - in tegenstelling tot de figuur 1.17 - niet evenwijdig aan het hellend vlak gericht is, maar de schroefdraad loodrecht kruist. De aandrijvende kracht F is alleen klein ten opzichte van de last G bij een lage waarde van de wrijvings-coëfficiënt en een kleine hellingshoek.

Een gunstige FjG-verhouding is vooral van belang voor bevestigingsschroefdraden. Daar is steeds a

<

4° gekozen. Bij bewegingsschroefdraden met een lichte belas-ting komen grotere a-waarden voor.

Met de gegeven formules is ook de kracht te berekenen die nodig is om de moer langs het hellend vlak van de schroefdraad naar beneden te bewegen. Bij een positieve waarde van deze kracht F moet de last G dus naar beneden getrokken worden. Als er geen kracht F wordt uitgeoefend blijft de moer dus op zijn plaats. De schroefdraadverbinding heet dan zelfremmend. Het limietgeval treedt

22 krachten en momenten

op voor F

=

0, dus als tg~

=

f. Voor hellingshoeken ~

<

_{arctgf is de constructie}

dus zelfremmend. Zie hiervoor figuur 1.20, waar het zelfremmende gebied is aangegeven. Dit is het gebied van de bevestigingsschroefdraad. Een bout-moer verbinding moet dan permanent een axiale spankracht leveren.

De eerder vermelde formules gelden uitsluitend in gevallen waarin alleen de schroefdraad de bron van wrijving is. _{Een voorbeeld hiervan is de}

spanschroef-moer (figuur 1.21) voorzien van één rechtse en één linkse schroefdraad. De beide haakvormige schroefuiteinden bewegen bij het aandraaien van de gekop-pelde moeren naar elkaar toe en kunnen daardoor een bepaalde constructie op spanning brengen.

G

..

Figuur 1.21. Een spanschroefmoer voor het op spanning brengen van bepaalde constructies.

Het aandraaikoppel T = F(D/2) _{behoeft slechts de wrijving in de schroefdraad te}

over-winnen.

In de meeste andere gevallen, voornamelijk bij bevestigingsschroefdraden, wordt echter slechts een klein gedeelte van het aandraaimoment T

=

F-(Dj2) _{benut om de}

wrijving van de schroefdraad te overwinnen. Een voorbeeld hiervan is de beves-tigingsmoer van een autowiel, figuur 1.22.

aandraaimoment = moer

100%

momentverlies + momentverlies ₊ momentverlies t.g.v. wrijving t.g.v. wrijving voor bouttrek schroefdraad _{konisch draagvlak}

15-20% 60--80% 4-8%

Figuur 1.22. Bij het aandraaien van de bevestigingsmoer van een autowiel is het totale aan-draaimoment veel groter dan benodigd zou zijn voor het alleen overwinnen van de schroef draadwrijving.

Een bijzondere toepassing van het hellend vlak is de hydraulische wigvorm, zie figuur 1.23.a. De vloeistof (meestal olie) die door de beweging van het ene

krachten en momenten 23

G

'.

a

'~

a

5 Figuur 1.23. De hydraulische wig.

a. Door de relatieve snelheid van de twee grensvlakken ten opzichte van elkaar wordt olie in de wig geperst. De hierdoor ontstane drukverdeling is in het onderste deel van

de figuur getekend. De resulterende kracht van deze hydraulische druk kan de belas· ting G opnemen.

b. De op de hydraulische wig optredende krachten. De wrijvingskrachten W1 en W2 zijn

klein ten opzichte van de resulterende drukkrachten P en G.

grensvlak wordt meegenomen, wordt in de wig geperst. De drukverhoging die hierdoor ontstaat veroorzaakt een kracht die de beide grensvlakken uiteen wil drijven en zodoende een belasting G kan opnemen.

In figuur 1.23.b zijn de op de hydraulische wig aangebrachte krachten getekend. De krachten W₁ en W₂ ontstaan ten gevolge van vloeistofwrijving en zijn niet groot. Zie ook paragraaf 5.2.1. Doordat ook de hellingshoek Q zeer klein is

(enkele tiende graden) is de effectieve werking van de wig groot. De mogelijke belasting G is vele malen de optredende wrijvingskrachten W.

De constructie wordt toegepast voor zwaarbelaste axiale lagers zoals bijvoor-beeld voorkomen bij grote centrifugaalpompen en schroefassen van schepen. Er zijn dan een aantal drukblokjes aangebracht in een ringvormige ruimte. Zie figuur 1.24.

Bij berekening blijkt de optimale hellingshoek Q van de hydraulische wig af te

hangen van de bedrijfstoestanden. Bij een zogenaamd Michell-blok zijn zelf-instellende blokjes toegepast die zich automatisch in de optimale hellingshoek instellen. Iets dergelijks gebeurt bij de hydraulische cilindrische lagers voor ra-diale belasting. Dit is beschreven in 5.2.2.

Bij de hydraulische wig ondergaat de geleverde kracht geen verplaatsing. Er wordt dus geen energie geleverd. Om de wigvorm te onderhouden moet er echter wel energie, nodig voor het overwinnen van de vloeistofwrijving, worden toegevoerd. Deze energie wordt onttrokken aan de rotatiebeweging van de as.

24 krachten en momenten

kantel ribbe

[)

I I

t---~

Figuur 1.24. Bij de constructieve uitvoering van een hydraulisch axiaal lager zijn een aantal

zelfinstellende drukblokjes ringvormig aangebracht. De afstand tussen de drukblokjes moet afhankelijk gekozen worden van het astoerental. Bij sneldraaiende assen grote tussen-ruimten.

1.2.4. Hydraulische vijzel

Met het principe van de gelijkblijvende hydrostatische druk is bij voldoend grote zuigeroppervlakverschillen een enorme krachtversterking te verkrijgen. Met hydraulische vijzels kunnen bijvoorbeeld hele gebouwen opgetild worden om ze te kunnen verplaatsen. Op Hawaü is het Ohaustadion in vier gedeelten uitgevoerd. De delen kunnen met behulp van luchtdruk worden opgetild en aldus gemakkelijk worden verschoven om de tribunes aan te passen aan de vorm van het sportveld.

1.3. Momentversterking

1.3.1. Theorie

Voor elke hefboom moet steeds aan de momentenvoorwaarde zijn voldaan. Daarom is met een enkele hefboom nooit momentversterking te verkrijgen. De gebruikelijke manier om momentversterking te verkrijgen is met twee van hef-bomen voorziene assen, zoals getekend in figuur 1.25. Ook voor deze

mecha-nismen geldt de wet van behoud van energie. Indien er geen verliezen zijn, moet I

de ingaande energie Tl <1'1 (moment l< hoekverdraaiing) gelijk zijn aan de uitgaan-

1

1

gaande energie T_{2 <1'2'} Met de hefboomlengten al en a₂ volgt hieruit voor de overbrengingsverhouding i

=

<1'2/<1'1

=

a₁/a₂

=

_{Tl /T2 •}

I

1

F

~cr2'Fa2=

a2 T,

8, :}~*:~

krachten en momenten 25

Figuur 1.25. Verschillende opstellingen om twee assen te koppelen. In de linker figuur is

een riemoverbrenging getekend alsmede de daarmee corresponderende hejboomkoppeling.

Aan de kleine riemschijf wordt het moment TI toegevoerd. Hieruit ontstaat een riemkracht

F = TI/al. die naar de omtrek van het andere wiel wordt overgebracht. Op het grote wiel kan dan het lastmoment T2 = a2TI/al werken. Met de tandwieloverbrenging van de rechter figuur is op principieel dezelfde wijze een momentversterking te verkrijgen.

1.3.2. Toepassingen

Voor de koppeling van twee ver van elkaar verwijderd liggende assen zijn door-gaans riemen of kettingen in gebruik. Riemoverbrengingen bezitten enige elasti-citeit. Dit is soms een voordeel (opvangen van schokken en trillingen) en soms een nadeel (afwijkingen in de onderlinge hoekrelatie). Kettingen bezitten noch dit voordeel, noch dit nadeel. Er zijn tegenwoordig allerlei overgangsvormen verkrijgbaar. Dat zijn riemen die van een soort tanden zijn voorzien waarmee

Figuur 1.26. Een eindeloze riem is aan de binnenzijde van tanden voorzien die samenwerken met een op de wielen aangebrachte vertanding. Op deze wijze blijft enige elasticiteit in de

overbrenging ten gevolge van vering in de riem behouden, maar wordt slip tussen riem en

26 krachten en momenten

zowel een trillingsisolatie als een redelijk trouwe hoekrelatie is te verkrijgen. In vele moderne automotoren worden dit soort riemen gebruikt voor de nokkenas-aandrij ving.

De toepassing van tandwielen is zeer uitgebreid. Ze zijn uitgevoerd voor kleine en grote momenten en voor hoge en lage toerentallen. Er kunnen compact meervoudige overbrengingen mee worden gebouwd, zoals bij uurwerken. Door toepassing van schakelmechanieken kunnen verschillende overbrengingsver-houdingen in één tandwielbak worden gerealiseerd. Dit vindt toepassing onder andere bij draaibanken en bij automobielen (figuur 1.27).

Met tandwielen zijn ook elkaar snijdende assen (kegelwielen of konische tand-wielen) of elkaar kruisende assen (worm en wormwiel. schroefwielen,

spiraal-E

Figuur J.27. Tandwielvertragingsbak van auto.

De wielen B, C en D kunnen met behulp van de schuivende tandwielkoppelingen aan de uitgaande as worden gekoppeld. Zo zijn de volgende overbrengingen te realiseren: 'versnelling'IJ in-A-E-H-D-uit

2 in-A-E-G-C-uit 3 in-A-E-F-B-uit 4 in-uit.

d,fferentieelhuis kroonwiel aangedre_en linker steekas cardanas krachten en momenten 27

T

Figuur 1.28. Autodifferentieel. Reeds bij een geringe ongelijkheid in de lastmomenten T2

en T 3 treedt een relatieve verdraaiing van het kegelwie/stelsel in werking, die erin resulteert dat de as met het kleinste moment sneller gaat draaien en de as met het grootste moment langzamer. Voor een nauwkeuriger analyse moeten de aandrijvings· en lastkarakteristieken bekend zijn.

vertanding) te koppelen. Indien de samenwerkende wielen ongelijke tandaantallen bezitten ontstaat tevens een momentversterking.

Met bijzondere tandwielensamenstellingen kunnen eenvoudige mathematische berekeningen worden uitgevoerd. Met de opstelling van figuur 1.28 is het moge-lijk op te tellen of af te trekken. Deze constructie is toegepast in het aandrijf-systeem van automobielen (differentieel).

1.4. Servosystemen

Voor alle in het voorgaande gegeven constructies voor krachtversterking en voor momentversterking gold steeds: toegevoerde energie = afgegeven energie

+

verlie-zen. De verliezen worden veroorzaakt door allerlei wrijvingen (as/lager, riem/riem-schijf, tandwiel/tandwielen, vloeistof) en vervormingen (kabel, riem, as, hefboom). Bij een goede constructie zijn de verliezen te beperken tot enkele procenten van de doorstromende energie, zodat met grote benadering geldt: toegevoerde ener-gie "'" afgegeven enerener-gie, waarbij de toegevoerde energie altijd groter is dan de afgegeven energie.

Een bijzonder geval was het hydraulische lager van het Michell-blok waarbij geen energie werd afgegeven en de toegevoerde energie geheel werd gebruikt voor compensatie van de verliezen. Toch zijn er veel gevallen waarbij het gewenst/ noodzakelijk is dat meer energie aan de uitgang afgegeven wordt, dan aan de ingang beschikbaar is. In figuur 1.29 is aangegeven hoe dit is te bereiken. Met behulp van twee gekoppelde stuurzuigers kan olie naar en van de twee zijden van een arbeidszuiger worden gevoerd. Als de stuurzuiger naar beneden ver-plaatst is, beweegt de arbeidszuiger naar boven en omgekeerd. Het hydraulische systeem is slechts dan in rust wanneer de stuurzuigers de aansluitkanalen van de arbeidszuiger afsluiten.

28 krachten en momenten

---

---

_--

-F,

stang stuurzuigers

Figuur 1.29. Zodra het linkeruiteinde van de bovenliggende hefboom verplaatst zal ook

de stuurzuigerstang een uitwijking verkrijgen. Dit heeft tot gevolg dat olie van de

toe-voer naar de bovenste (onderste) zijde van de arbeidszuiger toestroomt en van de onderste

(bovenste) zijde wordt afgevoerd. De beweging die de arbeidszuiger hierdoor krijgt

ver-plaatst ook het rechtereinde van de hefboom waardoor de stuurzuiger in de rustpositie

terugkeert en de oliestromen beëindigt. Het punt van de hefboom dat aan de

stuurzuiger-stang is gekoppeld fUnctioneert als draaipunt voor de hefboom. In dit geval geldt wel de

hefboomwegrelatie s2

=

Sta2/at maar niet de hefboomkrachtrelatie. Hier is _F2 »Ftat/a2.

In de figuur zijn de stuurzuigers en de arbeidszuiger gekoppeld door een hef-boom. Bij deze opstelling zal het einde van de stuurzuigerstang als draaipunt optreden. De ingangsverplaatsing sI en de uitgangsverplaatsing s2 zijn gerelateerd volgens de normale hefboomformule a2 sI = a₁·_{s2. Voor de ingangskracht F1} en de uitgangskracht F2 geldt de normale hefboomrelatie echter niet meer. De kracht F_{1 is slechts benodigd om de stuurzuigers te verptaatsen, de kracht F2} kan door keuze van een groot zuigeroppervlak van de arbeidszuiger willekeurig groot worden.

Dergelijke mechanismen waarbij aan de uitgang meer energie kan worden ge-leverd dan aan de ingang wordt gevraagd, worden servosystemen genoemd. Enkele voorbeelden van servosystemen zijn bijvoorbeeld: de copieerinrichting van verspaningsmachines (geringe aftastkracht mal, grote bewerkingskrachten), vuurleidingssystemen (positiecoördinaten verkregen van radarinstallatie, grote krachten voor verstellen geschut) en registratie-instrumenten (elektrische meet-spanning, bewegingskrachten van schrijfpen).

In praktische toepassingen is de hefboomwerking zelden zo goed te onder-scheiden als in het voorbeeld van figuur 1.29.

Ook voor servosystemen geldt de wet van behoud van energie. De hoeveelheid energie die aan de uitgang meer is geleverd dan aan de ingang is aangeboden moet extra worden toegevoerd. In het servosysteem van figuur l.29 gebeurt dat in de vorm van hydraulische energie. Vanwege de steeds aanwezige ver-liezen moet beduidend meer dan het berekende verschil aan energie worden

toegevoerd.

I

2.

Spanningen en vervormingen

2.1.

Spanningen

29

Indien een staaf met een kracht F wordt belast (zie figuur 2.1) zal in een door-snede van de staaf een trekspanning optreden. Een materiaalspanning is de maat voor de krachtdichtheid (kracht per oppervlakte) en is te berekenen uit de op-tredende kracht en het beschouwde oppervlak.

doorsnede A

I

~

Lr~

~L---~t-o---+J~

Figuur 2.1. De kracht F veroorzaakt in de staaf met dwarsdoorsnede A een trekspanning F/A. Heeft de staaf van figuur 2.1 een dwarsdoorsnede A dan heeft de optredende trekspanning een waarde F/A. Het is gebruikelijk trekspanningen aan te duiden met het symbool a. Er geldt hier dus a

=

F/A.

Een geheel ander type materiaalbelasting komt voor bijvoorbeeld bij het ponsen van gaten in een plaat. Zie figuur 2.2.

tegenhouder

Figuur 2.2. De ponskracht F veroorzaakt in het door een streeplijn aangegeven oppervlak een schuifspanning 'T = F/11"Dh.

Op de met een streeplijn aangegeven plaatsen wordt het materiaal niet gerekt maar afgeschoven. Als het stempel een rond gat maakt met diameter D en de plaat dikte is h, dan is de grootte van het af te schuiven oppervlak A = 1TDh. Met een kracht F op het stempel ontstaat een schuifspanning F/A = F/1TDh.

Een schuifspanning werkt steeds in de beschouwde oppervlakte, een trekspan-ning werkt loodrecht op de beschouwde oppervlakte. Om het verschil tussen schuifspanningen en trekspanningen goed te benadrukken is een apart symbool in gebruik. Een schuifspanning wordt steeds aangegeven met 7. Bij het ponsen treedt in de plaat een schuifspanning op 7 = F/A = F/1TDh.

Het zal duidelijk zijn dat elke willekeurige kracht steeds ontbonden kan worden in twee componenten, waarvan één component loodrecht op een beschouwd oppervlak staat en dus een normaalspanning a tot gevolg heeft, en een andere component die in het beschouwde oppervlak ligt en een schuifspanning 7

ver-n . . ,

_ . _ _=, ____ -"1,,-. . '_:-' ...

0-.

R' 'I

30 spanningen en vervormingen

oorzaakt. De omstandigheden waarin alleen een normaalspanning (trekspanning of drukspanning) of alleen een schuifspanning optreedt zijn uiterst zeldzaam.

Beschouw hiertoe nogmaals de staaf van figuur 2.1. Het is onjuist te denken dat in deze staaf uitsluitend trekspanningen optreden. Dit is wel het geval voor de beschouwde doorsnede loodrecht op de staafas. In elke andere doorsnede treden naast trekspanningen ook schuifspanningen op. Dit is verduidelijkt in figuur 2.3 waar een scheve doorsnede van de staaf is getekend.

oppervlak A oppervlak A/sina

\

/

~

,/

;;;

. \

~

I

a('VF

>

I F I _I F "

,

F Fcosa

Figuur 2.3. De kracht F veroorzaakt in de staaf van figuur 2.1 ook schuifspanningen. Voor de optredende schuifspanning is te schrijven r= (F/2A)sin2a. Maximale schuifspanning

T_max treedt op voor a = 45°.

De in totaal werkende kracht F is ontbonden in de twee componenten Fsino: en Fcoso:, respectievelijk loodrecht op en langs het oppervlak. Voor het be-schouwde oppervlak dat een grootte heeft van Ajsino: is Fsino: de normaalkracht en levert dus de normaalspanning a = (FjA)"sin20:. De component Fcoso: ver-oorzaakt een schuifspanning ter grootte van T

=

(FjA)sin a: cos a: .

Constructies bezwijken doordat de schuifspanningen te hoog oplopen. Het is daarom zinvol na te gaan waar de maximale schuifspanning optreedt. De for-mule voor de schuifspanning is ook te schrijven in de vorm

F . 2 T = 2A sm 0:.

Hieruit volgt direct dat T_max optreedt indien sin 2a: = 1, dus als a: = 45°:

F Tmax =2A'

Bij op trek belas~e staven treedt dus in vlakken onder 45° met de lengte-as van de staaf de grootste schuifspanning op. Deze berekening is in overeenstemming met de waarneming. Breukvlakken van een op trek belast onderdeel vertonen de 45° -hoek. In vlakken loodrecht op de lengteas (a: = 90°) treedt geen schuif-spanning op; de normaalschuif-spanning is daar maximaal.

In de techniek zijn nog twee andere eenvoudige belastingstoestanden bekend, namelijk buiging en wringing. Deze toestanden ontstaan onder de invloed van respectievelijk buigende en wringende momenten. Een willekeurig moment dat op een oppervlak werkt is te ontbinden in een buigend moment dat loodrecht op het beschouwde oppervlak werkt, en een wringend moment dat in het op-pervlak werkt. Bij zuivere buiging treden alleen trek- en drukspanningen op. Indien een balk op de in figuur 2.4 aangegeven wijze wordt ondersteund en belast ontstaat in het balkdeel tussen de steunpunten een zuivere buiging.

spanningen en vervormingen 31 zuivere buiging

:~llllllll

l

llllllllll~lllllllllllllllll'"

_{M; F-s} b neutrale lijn - - +

~

~

trekspanningen (spannin~sloos) -- - -- ~ - - -+ drukspanningen c

Figuur 2.4. De onder a getekende balk vertoont tussen de twee ondersteuningspunten zuivere buiginx. Het verloop van het buixend moment is in b getekend. De spanningsver-deUnx in de balk is in c aanxegeven ..

Aangenomen wordt nu dat de middelste vezels (de 'neutrale lijn') van de balk

even lang blijven, dat in de bovenste vezels een trekspanning en dat in de on-derste vezels van de balk een drukspanning ontstaat. Naarmate een vezel verder van de neutrale lijn afligt is een grotere spanning aanwezig, één en ander zoals

in figuur 2.4 is aangegeven.

In de buitenste vezels is de trek-of drukspanning maximaal. Bij het dimensio-neren van een op buiging belast onderdeel moet ervoor gezorgd worden dat in

de buitenste vezels de toelaatbare spanningen niet worden overschreden.

Voor de materiaalspanning in de buitenste vezels geld t:

buigend moment

--,--...,----=--- x uiterste vezel-afstand

axiaal kwadratisch oppervlaktemoment

Het axiaal kwadratisch oppervlaktemoment en de uiterste vezelafstand van een aantal doorsneden geeft figuur 2.5 weer.

Zoals uit figuur 2.4.c blijkt wordt bij een massieve doorsnede van de staaf het materiaal van de binnenste vezels niet volledig benut. Bij een buisvormige

door-snede, waar het materiaal verder van de neutrale lijn is geplaatst, is de

materiaal-belasting veel gelijkmatiger. Uit ob = (M/Or volgt dat bij een gegeven

buig-belasting M de verhouding I/r van de staaf en de buis gelijk moet zij n om een bepaalde materiaalspanning in de buitenste vezels niet te overschrijden. De verhouding I/r wordt weerstandmoment tegen buiging genoemd. Om aan

deze voorwaarde te voldoen zal de buis (zie figuur 2.5) altijd een grotere uit-wendige diameter bezitten dan de staaf. Het kan echter worden bewezen dat de buis desondanks altijd lichter zal zijn dan de staaf. Zie hiervoor figuur 2.6.

i'"liilM

32 spanningen en vervormingen

d

ia

h

L'rJ

I

-

..:!...D4 Z-(D4_d4) -Lbh3 64 64 12 lp ..!...D4 32 .2!:..(32 D4_d4) ~12 (bh3_b3h) D D h r

-2" 2" 2"

Figuur 2.5. Axiaal kwadratisch oppervlaktemoment I (bij buiging om de horizontale as) en

polair kwadratisch oppervlaktemoment lp (bij wringing) van een drietal belangrijke door·

sneden. Tevens is de uiterste vezelafstand r aangegeven.

bij gelijke sterkte is

buis lichter dan staaf !

I

I

mb: 3/4 m.

t

I

mb:

1J2

m

.

+

I

udiaitwemetendige r van de buis Db mb = 1/4ms \ -_ _ _ _ _ _ _ _ ....::::... _ __ ~-::-:~=

°

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 of of ~ ~

-

_~

db

(])

Db ~ db ~

Figuur 2.6. Als een staaf en een buis even sterk moeten zijn is het nodig dat zij een gelijk

weerstandsmoment bezitten (2IbuistDb = 2 Istaaf/DsJ. De buis moet weliswaar een

grotere uitwendige diameter hebben, maar desondanks is zijn massa altijd lager dan die

van de staaf Opvallend is dat tot een verhouding db/Db;: 0,8 de buisdiameter Db nog

nagenoeg gelijk is aan de staaf diameter Ds, terwijl de massa van de buis mb dan slechts

de helft van de staaf massa ms bedraagt.

Wringing is een in de werktuigbouw veel voorkomende belastingstoestand. Bij

het overbrengen van momenten via assen en tandwielen en dergelijke ontstaat

spanningen en vervormingen 33 wringing. De optredende spanningen zijn schuifspanningen en worden weer met Taangeduid.

Wordt bijvoorbeeld (zoals in figuur 2.7) een as door een moment T

=

P' a belast op wringing dan ontstaat in de buitenste vezels een schuifspanning

wringend moment .

- - - " ' - - - -x uIterste vezel-afstand.

polair kwadratisch oppervlaktemoment

De waarden voor lp zijn voor de belangrijkste doorsneden ook in figuur 2.5 vermeld.

a

Figuur 2.7. Eénzijdig ingeklemde ronde staaf belast met een wringend moment T

=

F·a.

Bij het belasten van constructies op druk bestaat in sommige gevallen kans op uitbuigen (uitknikken). Vooral relatief dunne lange staven knikken gemakkelijk uit. Het is praktisch niet mogelijk ervoor te zorgen dat bij druk belastingen de resultante van de drukkrachten precies langs de symmetrieas werkt. Eveneens zal, ondanks een nauwkeurige bewerking van een onderdeel de lengteas nooit volkomen recht zijn.

:~

~

'.~'

2 4

Figuur 2.8. Vier basismogelijkheden van een knikbelasting. De factor n uit de formule voor de kritische knikspanning Ok is weergegeven.

34 spanningen en vervormingen

Het gevolg is dat de staaf zal uitknikken voordat de toelaatbare drukbelasting in het materiaal is bereikt. Hoe groot de knikbelasting zal zijn is mede afhan-kelijk van de wijze waarop de staaf of buis is bevestigd. Figuur 2.8 geeft de vier basissituaties weer.

De kritische spanning Ok is volgens Euler:

n2EImin ok = n

AQ2

waar n afhankelijk is van de bevestiging (zie figuur 2.8),

E

=

de elasticiteitsmodulus _{van het materiaal (zie paragraaf 2.2),}

Imin = _{het kleinste kwadratische oppervlaktemoment van de}

staafdoor-snede (zie figuur 2.5) en

Q = de staaflengte.

2.2.

_{Vervormingen, wet van Hooke}

Tengevolge van spanningen treden in het materiaal vervormingen op. Deze

ver-vormingen zijn het eenvoudigst te bestuderen bij een uitsluitend door trekkrachten belaste prismatische staaf (figuur 2.1). Als gevolg van de trekbelasting zal de

staaf een verlenging .;:lQ vertonen ten opzichte van de on belaste lengte Qo. Deze

elastische rek zal _{toenemen met de aangelegde kracht F, toenemen met de}

oor-spronkelijke lengte Qo en afnemen met de doorsnede A. De

evenredigheidscon-stante is l/E:

Een proef waarbij een staaf op trek wordt belast wordt in de techniek veel uit-gevoerd en heet trek proef. Bij de ge bruikelijke uitvoering van deze proef word t de belastingskracht F continu verhoogd en te zamen met de bijbehorende rek M van de proefstaaf geregistreerd.

De resultaten van verschillende trekproeven zouden niet goed vergelijkbaar zijn indien in de registratie-grafieken de kracht F en de verlenging .;:lQ zouden zijn uit-gezet. De toegepaste afmetingen van de trekstaaf Qo en A beïnvloeden immers het verloop van de grafiek. Deze beïnvloeding is te vermijden door in plaats van

F en .;:lQ de materiaalspanning

°

₌

FIA en de relatieve rek €

=

_{.;:lQ/Qo in de}

gra-fiek uit te zetten. De hierboven aangenomen evenredigheid is dan uit te drukken met de zeer eenvoudige formule

Opgemerkt dient te worden dat de rek € _{gewoonlijk in procenten wordt}