Widmowe charakterystyki stratyfikowanych przepływów turbulentnych z gradientem prędkości

Andrzej ICHA

Zakład Dynamiki Morza Instytut Oceanologii PAN, Sopot

WIDMOWE CHARAKTERYSTYKI STRATYFIKOWANYCH PRZEPłYWÓW TURBULENTNYCH Z GRADIENTEM PRĘDKOŚCI

Streszczenie. W pracy rozważono półempiryczne, spektralne równanie bilansu energii kinetycznej turbulencji E(k) w stratyfikowanym termicznie i zasoleniowo przepływie turbulentnym z gradientem prędkości. W celu opisu bezwładnościowego mechanizmu przenoszenia energii przez Kaskadę wirów wykorzystano hipotezy Pao i Kovasznay’a.

Otrzymano analityczne wyrażenia dla widma energii E(k) przy założeniu słabego odziaływania pomiędzy polami średnim i pulsacyjnym.

SPECTRAL CHARACTERISTICS OF STRATIFIED TURBULENT FLOWS WITH SHEAR

Summary. In this paper a semi-empirical model is proposed to solve the spectral equation for the balance o f turbulent kinetic energy E(k) in a thermally and salt- stratified turbulent shear flow. For the terms representing inertial transfer o f turbulent energy through the hierarchy o f eddies, Pao s and Kovasznay’s formulations are employed. Tne analytical expressions for E(k) are obtained for the case when interaction between tne mean and turbulent fields is weak.

CnEKTPAJTHHE XAPAKTEPHCTHKH TYPByjIEHTHHX CTPATHSHII.HPOBAHHfiX TE4EHMH CO MBHCOM

PeuioMo. B pa6oTC iipencTaBJieHo nojiyoMnHpHuecKOO c n o K T p a n b iio e y p a B H H O H H e 6 a n a n c a k h h o t h u o c k o h B H e p r H H T y p f i y n e H T H O c T H E(k) h c T p a T H ( | i H u 1H p o B a H H U M n o T e M i t e p a T y p e h c o b p h o c t h n o T o i c e c o c a h h i ' o m .

Ansi

uemny

106 A . Icha

1. WSTĘP

W wielu problemach geofizycznych zasadnicze znaczenie posiadają stratyfikowane przepływy turbulentne, tzn. niejednorodne gęstościowo przepływy zachodzące w polu siły ciężkości |1 ], [2]. W przypadku atmosfery stratyfikacja ośrodka jest uwarunkowana głównie niejednorodności? pola temperatury T(x,t), natomiast w przypadku przepływów oceanicznych porównywalny wkład do stratyfikacji gęstościowej wnosz? pola - temperatury T(x,t) oraz zasolenia s(x,t). Szczególnie interesujące i ważne z praktycznego punktu widzenia s?

przypadki, w których przepływ turbulentny ma miejsce w warstwie ścinającej i w której lepkie i turbulentne naprężenia styczne współistniej? z dużym poziomym gradientem prędkości średniej dn/dz (np. w strefie oddziaływania morza i atmosfery).

W dalszym ci?gu ograniczymy się do sytuacji, w której dany ośrodek (woda morska) charakteryzuje się stabilnym rozkładem gęstości p - p(T,s) i rozpatrzymy przypadek statystycznie stacjonarnego i horyzontalnie jednorodnego przepływu turbulentnego z poziomym gradientem prędkości dn/dz - const. Wiadomo, że występowanie gradientu prędkości średniej w przepływie zwiększa jego niestabilność i odgrywa rolę "generatora"

turbulencji. Z kolei, stabilna stratyfikacja ośrodka powoduje, że część energii kinetycznej turbulencji pod wpływem pracy siły wyporu przechodzi w energię potencjału? przepływu.

Uwzględnienie tych mechanizmów wymaga sformułowania teorii stratyfikowanych przepływów turbulentnych z gradientem prędkości.

W niniejszej pracy rozważymy jeden z możliwych wariantów realizacji tego zadania w ramach tzw. spektralnej (widmowej) teorii turbulencji. Celem pracy jest otrzymanie nowych analitycznych rozwi?zań dla widma energii kinetycznej turbulencji E(k), przy wykorzystaniu hipotez zamykania Pao |3] oraz Kovasznay’a [4] (zob. także [5]).

2. PODSTAWOWE RÓWNANIA

Rozważymy równanie bilansu energii kinetycznej przepływu turbulentnego w przedziale liczb falowych k * L 0’', gdzie 1^ - jest zewnętrzn? skal? turbulencji zwi?zan? z geometri?

rozpatrywanego przepływu i w którym przepływ może być traktowany jako lokalnie jednorodny. Po raz pierwszy takie równanie dla ośrodka jednorodnego zostało sformułowane w pracy [6]. W rozpatrywanym przez nas ogólniejszym przypadku dla stratyfikowanego termicznie i zasoleniowo przepływu turbulentnego z gradientem prędkości odpowiednie równanie ma postać:

e = ¡ F { k J) d k l ~ ] x ( k t ) d k ‘ = g a j E ^ k W -

k k k

k

- g fijE /k * ) d k ' + 2v f k / 2 E(k')dk' i 2 - 1)

k 0

Wyraz po iewej stronie równania (2.1) opisuje całkowity dyssypację e energii kinetycznej turbulencji w przepływie'. Pierwszy wyraz po prawej stronie równania (2.1) opisuje bezwładnościowe przenoszenie energii turbulencji w przedziale liczb falowych od k do <» w kierunku mniejszych liczb falowych, drugi wyraz opisuje generację energii turbulencji w przedziale (k; °o) w polu gradientu prędkości średniej, trzeci i czwarty wyraz opisuję energetyczny wkład siły wyporu uwarunkowanej stratyfikację termicznę i zasoleniowę do całkowitej energii turbulencji, pięty wyraz opisuje lepkościowę dyssypacje energii turbulencji w przedziale liczb falowych (0;k)\ g, a T, fi, i v oznaczaję - odpowiednio - przyspieszenie ziemskie, współczynnik rozszerzalności cieplnej, współczynnik ściśliw ości zasoleniowej oraz współczynnik lepkości kinematycznej. Gęstości widmowe - pionowego strumienia ciepła Ej(k), pionowego strumienia soli E,(k), pionowego strumienia pędu r(k) [ = E uw(k)l oraz kinetycznej energii turbulencji E(k) spelniaję, z definicji, zależności:

w ' T = j E j ( k ' ) d k ' ; w's' = JEsQc')dk!\ u'w'=Jx ( k ’) d k l ,

o o o

( ^ v W ) =j £ ( t W ( 2 .2)

W dalszym cięgu rozważymy równanie (2.1) w przedziale liczb falowych k > kb, gdzie kb = (fłlq>),n jest wypom ościowę liczbę falowę, N = (g a T dTldz - gfi , d sld z )1'2 jest częstościę Vaisala-Brunta i który obejmuje podprzedziały bezwładnościowy oraz lepkościowy. W celu uzyskania zamkniętego równania (2.1) dla widma E(k) konieczne jest przyjęcie pewnych hipotez dotyczęcych postaci czterech wyrazów po prawej stronie tego równania. Spośród wielu możliwych hipotez wybierzemy dwie - hipotezę Pao oraz Kovasznay’a (zob. |3], [4], [5], [7]), które umożliwiaję uzyskanie analitycznych rozwięzań rozpatrywanego problemu.

108 A. Icha

2 .1 . Rozwiązanie problemu (2.1) przy wykorzystaniu hipotezy Pao

Zgodnie z hipotezy Pao bezwładnościowe przenoszenie kinetycznej energii turbulencji można wyrazić następująco:

gdzie P jest pewną bezwymiarową stalą, v T jest efektywnym (turbulentnym) współczynnikom lepkości, <ar jest wirowością pulsacyjnego pola prędkości.

Znajdziemy wyrażenie dla lepkości efektywnej v T, wykorzystując następujące rozważania [8]. W ujęciu Boussinesqa, lepkość turbulentna jest iloczynem długości charakterystycznej oraz charakterystycznej prędkości pulsacji turbulentnych, tzn. v T ~ l t vt , Następnie prędkość charakterystyczna może być oszacowana jako vt - [kE(k)fn. Z kolei, 4 ~ V* - fkE(k)],nq> '/3Km. W rezultacie, lk ~ lk"3e 2/3 E(k)]'n. Zatem otrzymamy:

W celu uzyskania wyrażeń dla strumieni turbulentnych wykorzystamy przybliżenie słabego oddziaływania pomiędzy ruchem średnim i pulsacyjnym [9]. Oznacza to, że charakterystyczna skala zmian prędkości średniej L , ~ | dzida \ ) jest większa od charakterystycznej skali przepływu turbulentnego L , - l l a > T) i zatem strumień pędu przenoszony jest od ruchu średniego do ruchu turbulentnego w rezultacie pracy gradientu prędkości średniej. Możliwe są inne, bardziej złożone przypadki, których jednak nie będziemy rozpatrywać (zob. np. [7], [10]).

Zgodnie z hipotezą słabego oddziaływania przyjmiemy następujące wyrażenie dla strumieni:

(2.3)

(2.4)

(2 .5 )

(2 .6 )

przy czym przyjm ujemy, że współczynniki turbulentnej wymiany ciepła i soli są proporcjonalne do współczynnika turbulentnej wymiany pędu, tzn. vT' = a vT, v / = f i v T, gdzie a i fi s? pewnymi stałymi (zob. |5 |).

Uwzględniając wyrażenia (2.3), (2.5)-(2.6) w równaniu (2.1) otrzymamy:

e = 2 v J k 2E (k/)dk/ + P xt ' pk 5pE(k) + b P ^ t ^ k ^ E i k ) , (2 7 ) 0

gdzie

1 dz I

d T

« s « T~ r + P s P ,—

dz

ds ' dz

(2-8)

Przepiszemy zależność (2.7) w postaci:

k

t = 2 \ f k 2E(k')dk'+ P lt lp [kfpE(k)] + b P -le ir)k ^ [ k s/iE m (2 9 >

o

Różniczkując powyższe wyrażenie, otrzymamy:

- b t - }p * ' 7/3 - 2 v P ,/3

d t k * E m m 3 ł A ( 2 »0)

Jt5/3 E(k) e 1/3 + h ' 1/3 * ‘4'3

Całkując równanie (2.10), otrzymamy:

i?* m

gdzie Q je st stał?. Ponieważ rozpatrujemy przedział liczb falowych kblk < 1, możemy rozłożyć mianownik w wyrażeniu podcałkowym (2.11) w szereg potęgowy i ograniczyć się do pierwszych wyrazów tego rozwinięcia. Mamy

110 A . Icha

(1 + bt-™ - b z 'W k-*» (2.12)

Łatwo zauwazyć, że wyrażenie dla b może być napisane w postaci:

( 2 . 1 3 )

gdzie R, = f ł (du/dz)'2 je st liczby Richardsona, a N 2 — g a T dTldz opisuje w kład pola tem peratury do częstości Väisälä - Brunta.

Cal kuj ęc równanie (2.1) przy założeniu (2.12), otrzymamy ostatecznie:

gdzie b jest określona zależności? (2.8) lub (2.13), a 0 ’je st stał?.

2 .2 . Rozwi?zanie problemu (2.1) przy wykorzystaniu hipotezy Kovasznay’a

Zgodnie z hipotez? Kovasznay’a [4] bezwładnościowe przenoszenie kinetycznej energii turbulencji można wyrazić zależności?

gdzie y jest stał?. Wykorzystuj?c tak ja k poprzednio hipotezę słabego oddziaływania, rozważymy postać widma energii kinetycznej turbulencji w przedziale liczb falowych, w którym można pomin?ć efekty lepkościowe, tzn. przyjmiemy, że k < l/k„, gdzie

= (v3ltp)I/4 je st skal? Kołmogorowa. Przy takim założeniu w równaniu (2.1) możemy pomin?ć w yraz opisuj?cy lepkościow? dyssypację energii turbulencji w przedziale (0;k) i w rezultacie dla widma E(k) otrzymamy następuj?ce równanie:

m = Q 'k ™ + ^ e J - h e ^Jt ^ - l v P e V^{2vP b} + U 2e 413k 8/3. , (2-14)

(2.15) k

e = Y ksp[£(k)]3/2 + b y k {ri[E{k)]m , (2 .1 6 )

gdzie w ielkość b wyraża się wzorem (2.8) (lub (2.13)].

Równanie (2.16) po podstawieniu x = k l/2, y = ( E (k )f'2, e l y = c sprowadza się do równania trzeciego stopnia o postaci - y V + by ~ cx = 0 [11], W przypadku stabilnej stratyfikacji (b > 0) sens fizyczny posiada jedynie dodatni pierwiastek tego równania. Łatwo zobaczyć, że w takim przypadku widmo energii E(k) będzie m iało postać:

3. ZAKOŃCZENIE

W pracy przedstawiono półempiryczny model stratyfikowanego przepływu turbulentnego z gradientem prędkości przy wykorzystaniu klasycznych koncepcji zamykania opartych na hipotezach Boussinesq’a, Kovasznay’a i Pao. W ybór tych hipotez umożliwił otrzymanie ścisłych analitycznych rozwiązań rozpatrywanego problemu. Jednakże w ramach spektralnej teorii turbulencji nie można, ja k się wydaje, rozszerzyć uzyskanych rezultatów poza rozważane przedziały widmowe oraz uwzględnić intermittentnej struktury przepływu turbulentnego. Taka m ożliw ość, przynajmniej w zasadzie, istnieje w podejściu funkcjonalnym do problemu turbulencji, ponieważ funkcjonał charakterystyczny pola [u, T. s] opisuje również, zależące od liczby Reynoldsa przepływu, statystyczne w łasności drobnoskalowych pulsacji tego pola [2], Poza tym, nie widać możliwości dokonania na drodze teoretycznej jednoznacznego wyboru jednej z wielu możliwych hipotez przenoszenia energii przez kaskadę wirów. Wykorzystując rezultaty pracy (12] naszkicujemy możliwy schemat postępowania w tym zakresie:

1. Należy przeform ułować problem (2.1) przy wykorzystaniu funkcjonałów charakterystycznych pól termohydrodynamicznych;

2. Należy określić grupę przekształceń skalowania, względem której przeformułowany problem (2.1) je st niezmienniczy;

3. Wykorzystując metody teorii grup, należy określić postać widma turbulencji w poszczególnych przedziałach liczb falowych.

Naszkicowany program , jako zagadnienie o wyjątkowym stopniu złożoności, nie był do tej pory rozpatrywany i będzie przedmiotem odrębnej, pogłębionej i wyczerpującej analizy.

+

(2.17)

112 A . Icha

LITERATURA

[1] Druet C. : Dynamika stratyfikowanego oceanu. Wyd. 1. Wydawnictwo Naukowe PWN, W arszawa 1994.

[2] Icha A .: Teoria turbulencji w ośrodkach stratyfikowanych. Wyd. 1. Sopot: Rozprawy

¿Monografie 10 PAN nr 5, 1994.

13J Pao Y. H .: Structure o f turbulent velocity and scalar fields at large wave-numbers.

"Phys. F lu id s', T. 8, Nr 6, ss. 1063-1075.

f4] Kovasznay L. S. G .: Spectrum of locally isotropic turbulence. „ J . Aeronaut. S ci.” , T.l, Nr 12, pp. 7 4 5-753.

[5] Monin A. S ., Jagłom A. M .: Statisticzieskaja gidromiechanika. T. 2, Wyd. 1. Nauka, Moskwa 1967.

[6] Tchen C. M .: On the spectrum o f energy in turbulent shear flow. ,,J. Res. Bur Standards” , Nr 50, ss. 51—62.

[7] Panchev S.: Random functions and turbulence. Oxford: Pergamon Press, 1971.

[8] Chakraborty A. K ., Vembe B. E., Mazumdar H. P. : On the spectra o f turbulent velocity field in a stably stratified flow. "Z. Naturforsch. Nr 46a, 1991, ss. 462-468.

f9j Gisina F . A .: O wlijanii gradientów sriedniej skorosti i tiempieratury na spiektralnyje charaktieristilri turbulientnosti. "Izw. Akad. Nauk SSSR,Fiz. Atmos. Okieana” , T.2, nr 8, 1966, ss. 804-813.

[10] Panchev S., Syrakov D.: Spectra thermally stratified turbulent flow with no shear

•Tellus", T. XXIII, nr 6, 1971, pp. 500-505.

[11] Chakraborty A. K ., Gupta S. N ., Mazumdar H. P .: Some remarks on the weak interaction process in stratified turbulent flow . „Indian Joum . Technology, T.24, 1986, pp.549-552.

[12] Icha A. : Spectral characteristics o f turbulence in a stratified medium. "Phys. Scripta", T. 48, 1993, pp. 140-146.

Recenzent: prof. dr hab. inż. W . Gutkowski W płynęło do Redakcji w grudniu 1994 r.