Matematyczne ujęcie wpływu głębokości na odkształcenia górotworu i naprężenia w otoczeniu wyrobisk eksploatacyjnych (ścianowych)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ_________ 1g8l

Seria: GÓRNICTWO z. 110 Nr kol. 687

Mirosław CHoJEK Witalij IWASZCZENKO

MATEMATYCZNE UJĘCIE WPŁYWU GŁĘBOKOŚCI NA ODKSZTAŁCENIA GÓROTWORU I NAPRĘŻENIA

W OTOCZENIU WYROBISK EKSPLOATACYJNYCH (ŚCIANOWYCH)

Streszczania. W pracy — na podstawie wyników badań Modelowych [3] Prasy wykorzystaniu metody regresyjno-korelacyjnej - podano za­

leżności pozwalająoe na prognozowania wpływu głębokości na: wiel­

kość i przebiag ciśnienia eksploatacyjnego, wielkość osiadania stro­

pu i wyciskania spągu oraz szorokość przestrzeni wyeksploatowanej, przy której wytwarza się pierwszy pełny zawał stropu zasadniczego.

1. Wprowadzenie

W związku z wyczerpywaniem się zasobów złóż węgla na małych i średnich głębokościach od szeregu lat w Polsoe i w Doniecku sięga się po złoża za­

legające na dużych głębokościach: 1000 m i więcej. Obserwuje się w czasie prowadzenia eksploataoji szczególnie w górnictwie polskim prowadzącym eks- ploataoję na głębokościaoh 300 m do 1000 m i głębiej zróżnicowany prze­

bieg odkształcania stropu i spągu, a także zmienny przebieg i wielkość naprężeń przed frontem ściany. Jednym z parametrów decydujących o tym zja­

wisku jest zmienna głębokość eksploataoji.

Zagadnienie to można zgłębić poprzez badania modelowe i badania w wa­

runkach naturalnych. Poprzez badania modelowe można jednak znacznie do­

godniej i szybciej zaprogramować i zrealizować analizę tego problemu uzy­

skując dużą dokładność.

Przedmiotem pracy jest analityczne ujęcie wyników badań modelowych przeprowadzonych w Instytucie Projektowania, Budowy Kopalń i Ochrony Po­

wierzchni w Zakładzie Mechaniki Górotworu i Obudowy Wyrobisk Górniczych Politechniki Śląskiej w Gliwicach, z których znaczną ozęść łącznie z ana­

lizą wyników badań podano w pracy [3^{] .}

2. Analityczne ujęcie wyników badań

Analizę matematyczną uzyskanych wyników badań modelowych przeprowadzo­

no w dwóch etapach.

6 M. Chudek, V. Iwaszczenko

V pierwszym etapie dokonano wyboru postaoi analitycznaj funkcji opi­

sującej zmienność badanyoh parcuwetrów w zależnośoi od głębokości eksplo—

ataoji [5]. V związku z tya, Za wyniki badań modelowych mają charakter probabilistyczny, dla opisu ilościowego tych wielkości przyjęto metody regresyjno-korelaoyjne.

V drugim etapie wyznaozono związki stoohastyczne pomiędzy szybkością osiadania stropu zasadniczego, intensywnością wyciskania spągu, wielko­

ścią współczynnika ciśnienia eksploatacyjnego, rozkładem naprężeń przed czołem ściany a głębokością eksploataoji, wykorzystując do tego celu me­

todę n a j n i e j s z e j sumy kwadratów.

Dalej pokazano wyniki obliozeń oraz procedurę weryfikacji istotności i przydatności wartości obliczonych.

Na podstawie wykresu danych empirycznych wnioskuje się, że tendencja kształtowania się intensywności osiadania stropu zasadniczego jest rosną­

ca i krzywoliniowa (rys. 2 [3] )• Dobre przybliżenie badanego zjawiska po­

winno się otrzymać poprzez zastosowanie funkoji potęgowej [5], którą o- kreśla następująca relacja:

h = aoL * 1 ^ (1⁾

gdzie:

ao , a 1 - parametry funkoji, L - wybieg ściany, a,

h - maksymalna wielkość osiadania stropu zasadniczego, mm, J| - multiplikatywny składnik losowy.

V celu znalezienia estymatorów parametrów a Q i należy transformować funkcję potęgową do postaci liniowej, logarytmując obie strony równania

(

)

lgh = lgao + a^lgL + £

* Jeśli wprowadzimy oznaozenia:

L' = IgL, logh = h', lgaQ = |5q , a1 =

to funkcja przyjmie postać:

h ' = Po + V + )

Matematyczne ujęcie wpływu głębokości.. 7

Parametry strukturalne [?>0 1 można oszacować bezwarunkowy metody naj­

mniejszej sumy kwadratów. V wyniku oszacowania logarytmu rzeczywistej wiel­

kości osiadania stropu zasadniczego otrzymano funkoję:

ta = - 2 , 5 6 1 5 + 2 , 9 7 4 6 L' + £ (0,1817) (0,1363)

Średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych funkcji podane są w nawiasach pod ocenami nieznanych parametrów.

Otrzymane estymatory są wysoce wiarygodne, bowiem żadna z wielkości stan­

dardowych błędów ocen parametrów funkcji regresji nie przekracza wyesty- mowanej wartości odpowiedniego parametru.

Współczynnik zbieżności:

X > i - *;>

1 = 1_______________

n

2 > i - V

cpz = - i ^ --- = 0,0 18 6

1 = 1

Oznacza to, że 1,86% zmienności wielkości osiadania stropu zasadniozego nie jest wyjaśniona zmianami w wybiegu ściany L, lecz Jest spowodowana czynnikami nie uwzględnionymi w oszacowanym modelu regresyjnym.

Ponieważ funkcja regresji (?) jest nieliniowo zależna od parametrów, należy wyznaczyć współczynnik korelaoji krzywoliniowej z zależności:

= 1 - tp 2 = 1 - 0,0 18 6 = 0,9814

Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału < 0 , 1 > i dla

o 2

(p = O model regresyjny Jest funkcją deterministyczną, zaś im wartość _cp jest bliższa jedności, tym gorsze jest dopasowanie szaoowanej zależności z danymi empirycznymi. Współczynnik korelacji wielorakiej A również P r z y j m u j e wartośoi z przedziału <0,1>, a im jego wartość jest bliższa jedności, tym związek między badanymi zmiennymi jest ściślejszy.

Odchylenie standardowe składnika resztkowego:

8 M. Chudek, V. Iwaazozenko

gdziet

(n — k — i) - liczba stopni swobody, n - liozba obserwacji,

(k + 1 ) — liozba szacowanych parametrów.

Obllozone wartości a określają, o ile odchylają się średnio na skutek działania czynnika losowego poszczególne wartości empiryczne h^ od wartości teoretycznych Im mniejszą wartością llozbową jest Sh a, tym lepszą aproksymantą modelu regresyjnego jest dana funkcja.

Zarówno błąd estymacji A a, jak i współczynnik zbieżności świadczą o dobrej zgodności danych empirycznych i teoretycznych. Wyznaczenie tych parametrów struktury stochastycznej modeli jest ze wszeoh miar uzasadnio­

ne, ponieważ przyczynia się do lepszego poznania modeli, ich zalet i wad.

Następną charakterystyką modelu jest współozynnik zmienności losowej dany wzorem:

S A A

z = -" ~ h 100 = 7,2;6 h'

gdzie:

h'- średnia arytmetyczna zmiennej objaśnianej.

Standardowy błąd oceny w stosunku do wartości średniej arytmetycznej zmiennej objaśnianej informuje o tym, jaki procent, średnio rzecz biorąc, zmiennej objaśnianej stanowią odchylenia losowe w danym modelu.

Istotoność współczynnika korelaoji można zbadać posługując się testem F. Snedecora. Test F bada stosunek wariancji funkcji regresji do oszaco­

wania warianoji resztowej

Przyjmując poziom istotności (ty (0,1), można dla konkretnych wartości liozby pomiarów n i liozby parametrów modelu regresyjnego k + 1 wyznaczyć z tablic rozkładu Snedeoora wartość krytyczną F (kj n-k-1} t y ). Jeżeli mo­

del jest istotny, to:

Fobl. > F(kj n-k-1j ty)

Niespełnienie powyższego warunku należy uznać za zaprzeczenie hipotezy o Istotności modelu regresyjnego.

V tablioy 1 zebrano niezbędne wzory analizy wariancji dla modelu 2, Ponieważ Fobl. a 475)82 > 5,12 = F (l| 8; 0,05), model jako oałość jest statycznie istotny, łby uprościć rachunki, zamiast obliczać każdorazowo wartość statystyki F, można posługiwać się tablioą wartości . krytycznych

Matematyczne u jęcie wpływu głębokości. . 9

Tablica 1 Rodzaj

wariancji Suma kwadratów Stopnie swobody

Średni kwa­

drat

Fobl. F(1}8}0,05)

Funkcja regresji

n

^ ¿ 2 (hi-Ei )2 = l*»5203 i=1

k=1 4,5203

475,82 5,12

Zmienność rosztowa

n

ij>2^ ( h 1-h1 )2 = 0,0760 i=1

n-k-1=8 0,0095

Łącznie

n

^ ( h ±-h± )2 = 4,5963 i=1

n-1=9 0,5107

współozynników koralaoji wielowymiarowej Rj, £ '. Przedziały ufności dla poszczególnych parametrów modelu regresyjnego (i = 0,1) wyznacza się za pomocą kolejnych estymatorów (i = 0,l) wyznaczonych z próby. Korzy­

sta się przy tym z następująoych zalotności:

p{ 4 - t(n-k-1 } Of)Śpi < ji^C + t(n—k — 1 } Of)Ś |}± = 1 - O f

gdzie:

t(n-k-l) _{o f )} — wartość zmiennej losowej t rozkładu t Studenta dla n-k-1 stopni swobody i dla ustalonego z góry współczynnika uf­

ności 1-Of.

Przedziały ufnośoi dla parametrów modelu (2 ) przy n—2=8 stopniaoh swo­

body i dla ustalonego z góry współozynnika ufności 1 - _{Of =} 0,95 wynoszą:

-2,9805 < j$o < -2 ,1425} 2,6603 •< < 3,2889

Przedziały ufnośoi nie zawierają zera, 00 oznacza, te parametry mode-

\ y *

lu (2 ; istotnie rótnią się od zera. 0

Porównując ze .sobą wlelkośoi obliozone z rzeczywistymi realizacjami logarytmów osiadania stropu zasadniczego, motna zauwatyć debre ich wza­

jemne dopasowanie. Świadozy to e wysokiej wiarygodności oozekiwanych wielkości osiadania stropu zasadniczego. Wartość regresyjna h^ jest oceną nieznanej wartości logarytmu osiadania stropu zasadniczego obllozoną dla danego L^. Dokładność takiej ooeny nie Jest znana. Motna ją ooenić za po­

mocą przedziałów ufności według wzorów:

- t (n-k-1} 0f ) S ^ << h < h. + t(n—k— 1} 1 - O f

10 M. Chudek, W. Iwaszczenko

{ d z i c

I

r _{\ 2}

i , ś * \ h ♦ (Li - Li r

\ " h“h łn nś*,

jost odchyleniem standardowym wartości regresyjnej, a Ś2r jest estymatorem nieobciążonym warianoji z próby. Podsumowanie wyników obliczeń podano w tablicy 2.

Tablica 2

Lp. hi k

Granice przedziału uf­

ności

« lhi-Óil dolna

-id

górna »I- “ y,<

h i

1 0,0792 -0,0114 -0,1831 0 ,16 0 4 1,1439

2 0,5563 0,5124 0,3896 0,6352 0,0789

3 0,8388 0,8840 0,7891 0,9790 -0,0539

4 1,1004 1,1723 1,0905 1,2541 0,0654

5 1 ,3 2 2 1,4078 1,3282 1,4875 0,0647

6 1,4983 1,6070 1,5224 1,6915 0,0725

7 1,6946 1,7795 1,6865 1,8724 0,0501

8 1,9440 1,9316 1,8288 2,0345 • 0,0063

9 2,1717 2,0677 1,9546 2,1809 0,0479

10 2,2764 2,1307 2 ,0 12 5 2,2491 0,064

średni procentowy błąd względny zaobserwowanych wartości h^ wynosi

k~E

1 -10 0 = l6,48;t

1 ^{i=1 h i}

Zatem model (2) jest wystarczająoy dla celów predykcji} nie ma potrzeby wprowadzania bardziej złożonej funkoji. Po powrotnej transformacji i przejściu do oryginalnych zmiennych przyjmuje się następujący model pre­

dykcji opisujący wartość oczekiwaną rzeozywistej wielkości osiadania stro­

pu zasadniczego przy eksploatacji n a głębokości 200 m

h = 0,0027 L2 *97**6 . 10^ (3 )

Matematyczne ujęci« wpływu głębokości.» 11

Dla warunków ekspleatacji węgla na głębokości 300 m modol regresyjny opisujący wartości ocz«kiwana logarytmów rzeczywistych wielkości osiada­

nia stropu zasadniozego ma postać:

h'= -2,5797 + 3,0883 L1 +£ (4)

(0,2205) (0,1738)

Regresja jako całość jest istotna, bowiem wartość krytyczna współczyn­

nika korelacji R ^ na poziomie istotności 0f = 0,0 5 przy n-2=6 stopniaofi swobody spełnia nierówność

R(6} 0,05) = 0 ,7 0 7 < 0,9891 = Rj^

Otrzymane estymatory są również wysoce wiarygodne, gdyż przedziały uf­

ności

-3,1193 < jb0 <-2,040} 2,663 < ¡ ^ < 3 , 5 1 3 6

nie zawierają zera.

Zmienna L wyjaśnia wielkość osiadania stropu zasadniczego h na stałej głębokości eksploatacji w jednakowych warunkach górniczo-geologicznych i górniczo-technioznych w 98?C (R^£ = 98^).

Współczynnik zmienności losowej z = 8^. Wielkości zaobserwowane i ob­

liczone na podstawie modelu (4) wraz z rzędnymi krzywych ufności dla _{Of =} a 0,05 i n-2 a 6 stopni swobody zestawiono w tablicy 3.

Tablica 3

Lp. hi

Ciranioe przedziału uf­

ności i

dolna

A

hid

górna

A h Jig

J i ■ hi

1 0 ,1 7 6 1 0,0679 -0,1402 0,2761 0,6144

2 0,6232 0,6117 0,4682 0,7553 0,0184

3 0,9085 < 0,9976 0,8773 1,1178 0,0981

4 1,1761 1,2969 1,1939 1,3998 0,1027

5 1,4594 1,5414 1,4316 1t 6512 0,0562

6 1,7251 1,7481 1,6242 1,8702 0,0134

7 1,986 1,9272 1,7868 2,0677 0,0298

8 2,2214 2,0852 1,9278 2,2426 0,0612

Średni procentowy błąd względny zaobserwowanych wartości h^ wynosi £ =12% .

12 M. Chudek. W. Iwaszozenko

Model jest przydatny do prognozy osiadania stropu zasadniczego w da­

nych warunkach eksploatacji na głębokości 300 m.

Model regresyjny opisujący wartość oczekiwaną logarytmów rzeczywistej wiel­

kości osiadania stropu zasadniczego na głębokości 400 ra ma postać wyra­

żoną wzorem:

t

h'= -2,7995 + 3,3992 L' +3 (5 )

(0,3147) (0,2567)

Funkcja regresji jest istotna n a poziomie oę = 0,05 i przy n-2=5 stop­

niach swobody

R(5; 0,05) = 0,707 < 0 , 9 8 3 =

Przedziały ufności dla parametrów modelu przy n— 2=5 stopniach swobody i oę = 0 , 0 5 wynoszą:

-3,6086 < /io <-1,9904; 2,7392 < < 4,0592

A 2

Procent wyjaśnionej zmienności wynosi: = 0 , 9 6 7 . 100 = 96*7$» zaś współczynnik zmienności losowej z = 1 1$.

W tablicy k pokazano podsumowanie otrzymanych wyników.

f ;

Tablica k

Lp. hi i'

i -

Granice przedziału ufności

c lhi-Ail dolna

A

h id

górna

A

i«

01 " ., h i

1 0,2553 0,1 147 0,2404 0,2271 0,5503

2 0,6812 0,7133 0 ,6 10 7 0,8158 0,0471

3 0,9542 1,1379 1,0386 1,2374 0,1925

4 1,3541 1,4674 1,3 6 8 1 1,5667 0,0837

5 1,7324 1,7366 1,6358 1,8374 0,0024

6 2 ,0 5 1 1 1,9641 1,8 6 10 2,0673 0,0424

7 2,1717 2,0659 1,9615 2,1704 0,0487

A .

6 = 13$

7 _*

Z zebranych danych wynika, że model (5) jest wystarczający dla celów predykcji wielkości osiadania stropu zasadniczego na głębokości kOO m.

Matematyczne ujęcie wpływu głębokości.. 13

Model regresyjny logarytmu osiadania stropu zasadniczego dla głęboko­

ści 500 m ma postać

ń'= -2,1833 + 3,2297 L' +£ (6)

(0,0346) (0,0293)

Funkcja regresji jest istotna na poziomie qp = 0,05 i przy n-2=*ł stop­

niach swobody

R(4; 0 ,0 5 ) = 0 ,8 1 1 < 0,9873 = 5 ^

Przedziały ufności dla parametrów modelu przy n-2=4 stopniach swobody i 0ę = 0,0 5 wynoszą

-2,2793 < po < -2,0873} 3 » 1 ^ 8 4 <C ^ < 3,3110

Procent wyjaśnionej zmienności wynosi: = O f97^8 , 100 = 97,^8^, zaś współczynnik zmienności losowej z = 1$#

Podsumowanie otrzymanych wyników pokazano w tablicy 5»

Tablica 5

Lp. hi

Granice przedziału ufności

i lh'i"Ail dolna

A

h id

górna ig

« „i

1 0,5910 0,5856 0,554 7 0 ,6 16 5 0,0093

2 1,1583 1,1543 1,1384 1 ,1 7 0 2 0,0035

3 1,5443 1,5578 1,5432 1,5724 0,0081

4 1,8573 1,8707 1,8549 1,8865 0,0072

5 2,1264 2 ,12 6 5 2 ,10 7 0 2,1460 0,0023

6 2,2552 2,2388 2,2172 2,2604 0,0073

A .

6= 1%

Model (6) jest przydatny dla przewidywania wielkości osiadania stropu zasadniczego na głębokości 500 m #

Dla głębokości 600 m model regresji opisujący wartość oczekiwaną loga- rytmu rzeczywistej wielkości osiadania stropu zasadniczego wyraża się wzorem:

h'= -1,4893 + 2,8382 L’ (7 )

(0,0509) (0,0447)

: ; \

1*ł M. Chudek, V, Iwaszozenko

Funkcja regresji jest istotna na poziomi« Cf = 0,05 przy n—2=3 stop­

niach swobody

R(3} 0 *0 5) = 0,878 < 0 , 9 9 =

Przodziały ufności dla parametrów modelu przy n— 2=3 stopniach swobody i _{O f=} 0,0 5 wynoszą

-1,6513 < po < -1,3273} 2,6960 < < 2,9801*

Procent wyjaśnionej zmienności wynosił R^£ = 0,99, zaś współczynnik zmienności losowej z = 1 ,5Jl.

V tablicy 6 pokazano podsumowanie otrzymanych wyników.

Tablica 6

Lp. h i

'V

Granice przedziału

ufności ■s

5i

l-i--i’l dolna

-id

górna 6,ig

-i

1 0,95*12 0,9*139 0,8899 0,9981 0 ,0 10 7

2 1 ,*1313 1, *i*i38 1 ,¿*092 1 ,**781* 0,0087

3 1,7993 1,798** 1,7671 1,8297 0,0005

1* 2,0569 2,073*1 2,0361 2,1108 0,0080

5 2,3159 2,2982 2,2523 2,3*1*11 0,0077

* .

£ = 1*

Zebrane dane świadczą o tym, te model (7) jest przydatny dla przewidy­

wania wielkości osiadania stropu zasadniczego na głębokości 600 ra.

Vyniki końcowych obliczeń zmierzających do ustalenia funkoji regresji opisująoych intensywność osiadania stropu zasadniczego w zależności od głębokości eksploatacji pokazują niżej zestawione równania regresji:

H = 200 m

H = 300 m

h ' = -2,5615 + 2,97*16 l/ + $ (0,1817) (0,1363) h = 0,0026 H2 *97**6 ^10$

h = -2,5797 + 3,0883 L'+ ^ (0,2205) (0,1738) h = 0,0026 H3 »0883 10$

W ł t M t t y o m » ujęci« wpływu głębokości..» 15

H = 400 m ^{A l}h = -2,7995 + 3,3922 L' (0,3147) (0,2567)

Ah = 0,0016 H3 *3" 2 10^

a = 500 m h = -2 ,1 8 3 3 + 3,2297 L' +^{A l} (0,0346) (0,0293) h a 0,0066 H3 *2297 1 0 3

H = 600 m h' = -1,4893 + 2,8382 L1 + (0,0509) (0,0447) h = p,0324 h2 *8382 10 ^

Model represyjny opisujący wartość oczekiwaną logarytmu rzeczywistej wielkości wyciskania spągu w zalotności od głębokości eksploataojl ma po­

stać wyrażoną wzorem:

Ś ' = 2 , 5 0 6 7 + 0 , 0 0 2 H' + ^ (8)

(0,1676) (0, 0 0 0 4 )

Funkcja regresji Jest istotna na poziomie o f= ^0,05 i Przy n-2=3 stop­

niach swobody

R ( 3 } 0 , 0 5 ) = 0 , 8 7 8 < 0 , 9 1 8 3 = Rs a

Przedziały ufności dla parametrów modelu przy n— 2=3 stopniaoh swobody i op = 0 ,0 5 wynoszą:

1, 9 7 3 4 <

¡i0

Prooent wyjaśnionej zmienności wynosi: R2a = 84$, zaś współczynnik zmienności losowej z = 4 ,265856.

V tablicy 7 pokazano podsumowanie otrzymanych wyników.

Z zebranych danych wynika, te model (8) jest wystarczająoy dla celów predykcji wielkości wyciskania spągu.

Po przejściu do oryginalnych zmiennych otrzymujemy następujący wzór dla określenia wielkości wyoiskenia spągu w wyrobisku śoianowym:

S = 12,2644 e0 *002 H e£

gdzie: ,

S - maksymalna wielkość wyciskania spągu w wyrobisku śoianowym, mm, H - głębokość eksploataojl, m.

16 M. Chudek, V, Iwaszczenko

Tablioa 7

Lp. Si

1

Śi

Granice przedziałów ufności

i lsi-śil dolna

/\

Sid

górna A Sig

0 1 ' *

1 3,0445 2,9014 2,6280 3,4610 0,0470

2 3,1001 3,0987 2,6953 3,3065 0,0045

3 3,1780 3,296 2,9198 3,4363 0,0371

4 3,4500 3,4934 3,1444 3,7556 0 ,0 12 6

5 3,8067 3,6907 3,3902 4,2231 0,0305

Średni procentowy błąd względem zaobserwowanych wartości wynosi £ =

= 2,5%. /

Model regresyjny opisujący wartośoi oczekiwane logarytmu rzeczywistej szerokości przestrzeni wyeksploatowanej do pierwszego pełnego zawału stro­

pu zasadniczego ma postać:

B'= 2,2086 - 0,2720 L' + ^ (9 ) (0,1018) (0,0395)

Regresja jako całość jest istotna, bowiem wartość krytyczna współczyn­

nika korelacji RBB na poziomie istotności 0 ( = 0,05 przy n-2=3 stopniach swobody spełnia nierówność

R(3j 0 ,0 5 ) = 0,878 <0,9595 = Rgg

Otrzymane estymatory są również wysoce wiarygodne, gdyż przedziały uf­

ności

2,8847 < _ji0 <2,5325» -2,8462 < < -2,5948

nie zawierają zera.

Zmienna H (głębokość eksploataoJi) wyjaśnia wielkość szerokości prze­

strzeni wyeksploatowanej B do pierwszego zawału stropu zasadniczego w (1 - _{< p ^ )} 100 = 92%. Współczynnik ^miennośoi losowej wynosi:

a = -jp2 100 = 0,99%ŚB-B

Wielkości zaobserwowane i obliozone na podstawie modelu (9) wraz z rzędnymi krzywych ufnośoi dla Op = 0,05 i n-2=3 stopni swobody zestawiono w tablioy 8.

Matematyczne ujęcie wpływu głębokości». 17

Tablioa 8

Lp. B'i _{B ±}

Granice przedziału ufności

y* lBi-B¿ I dolna

Bid

górna Big

' -i

1 1,5910 1,5826 1,5826 1,6304 0,0053

2 1,5185 1,5346 1,5040 1,5652 0,0 10 6

3 1,5105 1,5007 1,4729 1,5284 0,0066

4 1,4624 1,4742 1,4413 1,5073 0,0081

5 1,4624 1,4528 1,4121 1,4933 0,0659

¿rodni procentowy błąd względny zaobserwowanych wartości wynosi £ =

= 1,93*.

Model (9) jest przydatny dla oelów prognozy szerokości przestrzeni wy­

eksploatowanej do pierwszego pełnego zawału stropu zasadniczego»

Po powrotnej transformacJi i przejściu do oryginalnych zmiennych otrzymu­

jemy następujący wzór:

B = 1 6 1 , 6 6 h- 0 »272 10^

gdzie:

B - szerokość przestrzeni wyeksploatowanej do pierwszego zawału stropu zasadniczego, ra,

H - głębokość eksploatacji, m.

Do opisu rzeczywistych wartości współczynnika ciśnienia eksploatacyj­

nego na różnej odległości od czoła ściany została wybrana funkcja:

K =

a + bL + CL

c o

(1 0)

W celu wyznaczenia parametrów tego modelu należy funkcję (1 0) trans­

formować do postaci liniowej wprowadzając oznaczenia

k = r - = abL + CL2 + _{e k , c c O}\

gdzie:

Lc — odległość punktu pomiarowego od czoła ściany, k 0 - wartość współczynnika ciśnienia eksploatacyjnego.

Końcowe wyniki obliczeń dotyczące oceny przydatności zależności sto­

chastycznych typu (1 0) dla potrzeb prognozy zebrano i przedstawiono w ta— , blicy 9.

i§____________ M. Chudek. V. Iwaszczenko

Tablica 9 Analiza modeli typu k# = a + bLc ♦ oL^

H,m

Parametry strukturalna aodalu represyjnego

Śradnia błędy szacun­

ku parametrów struk- ralnyoh

n—3 R/n-3}0,05

*k'k'

A a e

a b ^Ac Sa

a _k

A k

200 -0,5751 0,8518 0,01 0,0796 0,0204 0 ,0 0 11 15 0,645 0,9816 300 -0,7044 0,5959 0,0211 0,1524 0 ,0 327 0 ,0 0 15 17 0,615 0,9891 400 -0,1294 0,2899 0,0329 0,3274 0,0650 0,0027 19 0,587 0,9871 500 1,0036 0,0662 0,0401 0,3440 0,0683 0,0028 19 0,587 0,9814 600 1,1*311 -0 ,0 2 10 0 ,0418 0,3213 0 ,00641 0,0026 21 0,56 3 0,9803

H,m

Przadziały ufności na poziomie Of= 0,05 A2

R A

\ k

A

a b o £ *

prawy lawy prawy lawy prawy lewy

200 -0,7447 -0,4055 0,8083 0,8953 0,0077 0,0123 0,9635 1 1.5 300 -1,0 26 0 -0,3828 0,5269 0,6649 0,0179 0,0243 0,9783 2 3 400 -0 ,0 6 10 0,1978 0,1539 0,4259 0,0272 0,0386 0,9744 4 6,6 500 0,2836 1,7236 0,0519 0,0805 0,0342 0,0460 0,9631 4,4 7,3 600 0,7628 2,0994 -0,0343 -0,0077 0,0364 0,0472 0,9 6 10 5 7,2

Tablica 10

T

.Tl

Granioe przedziału ufności

Jjp #

dolna górna ¿ ł - k , ei

1 2 3 4 5 6

1 1,3333 1,16 8 5 1,0696 1,2675 0 ,12 3 6

2 2,0833 2,0704 1,9972 2,1437 0,0060

3 2,7737 2,8064 2,7480 2,8648 0 ,0 118

4 2,9412 2,9924 2,9368 3,0480 0,0174

5 3,8760 3,9344 3,8871 3,9817 0 ,0 15 1

6 4,3330 4,4129 4,3660 4,4594 0 ,0 18 5

7 4,8487 4,8965 4,8495 4,9435 0 ,0 119

8 5 ,1 2 2 0 5,-1890 5,1371 5,2409 0 ,0 13 1

/ 9 5,8333 5,8786 5,8280 5,9292 0,0078

10 6 ,8 9 66 6,8808 6,8266 6,9350 0,0023

11 7,9646 7,9030 7,8468 7,9592 0,0077

12 9,0090 8,9453 8,8892 9,0014 0,0071

Matematyczne ujęcie wpływu głębokości,. 19

cd. tablicy 10

1 2 3 4 5 6

13 10,0917 10,0077 9,9533 10 ,0 6 21 0,0083

14 1* 1 1 1 0 11,0901 11,0370 11,1430 0,0019

15 12,2642 12,1925 12,1377 12,2475 0,0058

16 13,1333 13,3150 13,2515 13,3785 0,0014

17 14,42'31 14,4576 14,3774 14,5380 0,0024

18 15,5340 15,6203 15,5154 15,7250 0,0056

Tablica 11

Lp. k' .

ei ¿.i

Granice przedziału ufności

VA 1 kéi-kéi 1 dolna górna " k'V..ei

1 1,6 3 9 3 1,2729 1,11-41 1,4319 0,2235

2 1,9 1 9 2 1,8643 1,7360 1,9928 0,0286

3 2,0 20 2 2,0164 1,8880 2,1448 0,0 019

4 2,6738 2,8019 2,7057 2,8983 0,0479

5 3,0556 3,2105 3 ,1 2 2 1 3,2991 0,0507

6 3,4884 3,6297 3,5458 3,7136 0,0405

7 3,7500 3,8862 3,8014 3,9710 0,0363

8 4,3750 4,4996 4,4165 4,5827 0,0285

9 5,3333 5 ,4116 5,3231 5,50 0 1 0,Ól47

10 6,3380 6,3658 6,2706 6,4610 0,0044

11 7,4074 7,3621 7,2 6 2 0 7,4624 0,0061

12 8,4615 8 ,4006 8,2983 8,5029 0,0072

13 9,6000 9,4812 9,3800 9,5826 0,0124

14 10,7438 10,6o4o 10,3159 10,8923 0 ,0 13 0

15 11,8644 11,7690 11,6749 11,8631 0,0080

16 13,0435 12,9761 12,8829 13,0693 0,0052

17 14,2857 14,2253 14,1256 14,3250 0,0042

18 15,4545 15,5167 15,3996 15,6340 o,oo4o

19 16,8224 16,8503 16,7041 16,9965 0,0017

20 18 ,0952 18 ,226 0 18,0403 18 ,4117 0,0072

20 M. Chudek, V. Ivaszozenko

Tablica 12

Lp. k'

ei ei

Granice przedziału

ufności Va lk ói“keil

«Si - k ,

ei

dolna górna

1 1,8519 1,29 5 6 1,0829 1,5083 0,3004

2 2 ,0 3 2 1 1,70 6 7 1,3941 2,0193 0 ,16 0 1

3 '2,0725 1,8 16 0 1,6104 2 ,0 2 16 0,1237

4 2,4752 2,4024 2,20 56 2,5992 0,0294

5 2,4554 2,7203 2,5285 3,1039 0,1079

6 2,7027 3,0546 2,8 6 81 3,2413 0,1302

7 2,8636 3,2631 3,0771 3,4493 0,1395

8 3,3654 3,7727 3,5972 3,9484 0,1210

9 4,1885 4,5567 4,3917 4,7217 0,0879

10 5,1429 5,4066 5,2504 5,5628 0,0513

11 6,2112 6,3223 6,1712 6,4734 0,0179

12 7,2848 7,3039 7,1517 7,4561 0,026

13 8,3916 8,3514 8,1903 8,5125 0,0048

14 9,6296 . 9,4647 9,2860 9,6434 0,0171

15 10,9375 10,6439 10,4393 10,8487 0,0268

16 12,1951 11,8 8 9 0 1 1 ,6 5 1 1 12,1269 0,0251

17 13,5593 13,2000 12,9226 13,4774 0,0265

18 14,9123 14,5768 14,2545 14,8991 0,0225

19 16 ,2 16 2 16,0195 15,6475 16,3917 0,0121

20 17,5926 17,5281 17,3331 17,7231 0,0037

21 18,8679 19,10 26 18,9028 19,3024 0,0124

22 2 0 ,19 2 3 20,7429 20,0 r17 21,4341 0,0273

Tablioa 13

Lp. kU k ' .

ei

Granioe przedziału

ufności v* \k ± - K x\

k 'i ei I

dolna górna

1 2 3 4 ₅ 6

1 1,9999 1,5634 1,3399 1,7869 0,2183

2 2,1965 1,8437 1,6170 2,0 524 0,1647

3 2,2346 1,9105 1,6945 2 ,12 6 5 0,1450

4 2,4038 2,3379 2,1313 2,5446 0,0274

5 2,4554 2 ,5 8 18 2,3803 2,7833 0 ,0 515

6 2,6 250 3,0136 2,8181 3,2091 0,1480

7 2,9787 3,4338 3,2491 3 ,6 18 1 0,1527

8 3,7383 4,10 19 3,9285 4,2751 0,0973

9 2,5105 2,7458 2,8496 3,04l6 0,1335

10 4,5685 4,8504 4,6863 5,0145 0 ,0 6 17

Matematyczne ujęcie wpłynu głębokości.. 21 od. tablicy 13

1 2 3 4 5 6

11 5,4945 5,6792 5,5203 5,8379 0,0336

12 ⁶ >706 6,5882 6,4283 6,7481. 0 ,0 18 2

13 7,5949 7,5776 7,4084 7,7468 0,0023

14 8,7838 8,6472 8,4594 8,8350 0 ,0 15 6

15 10,0719 9,7971 9,5821 1 0 ,0 12 1 0,0273

16 11,3636 11,0273 10,7773 11,2771 0,0296

17 12,8000 12,3377 12,0463 12,6291 0,0 36 1

18 14 ,16 6 7 13,7284 13,3898 14,0670 0,0309

19 15,3846 15,1994 14,8085 15,5903 0,0120

20 16,8142 16,7507 16,5458 16,9556 0,0038

21 1 8 ,18 18 18,3822 18,1723 18 ,5 0 2 1 0,0110

22 19,4444 20,0940 19,3678 20,8202 0,0334

Tablioa 14

Lp. k'

ei k',

ei

Granice przedziału

ufności í _{\ K Á \}

dolna górna 0i _ k 'i ei

1 1,7391 1,5562 1,10 6 0 2,0064 0,1051

2 2,0690 1,7442 1,3805 2,1077 0,1570

3 2,3171 1,9547 1,6473 2 ,2 6 2 1 0,1564

4 2,3392 2,0157 1,7204 2 ,3 1 1 0 0,1383

5 2,500 0 2,3707 2,1222 ! 2,6192 0,0517

6 2,5581 2,5796 2,3460 2 ,8^32 0,0084

7 2,5974 2,8094 2,5850 3,0338 0,0 816

8 2 ,6 250 2,9573 2,7326 3,1820 0 ,126 6

9 2,8000 3,3316 3,1112 3,6552 0,1899

10 3,3333 3,'9374 3,7083 4,1665 0 ,1 8 1 2

11. 4,1284 4,6268 4,3841 4,8695 0,1207

12 5,0505 5,3997 5,1440 5,6554 0,0691

13 6 ,0 10 9 6 ,25 6 2 5,9912 6 ,5 2 12 0,0408

14 7 ,10 0 6 7,1963 6,9271 7,4655 0,0135

15 8,6093 8,2200 7,9520 8,4880 0,0452

16 9,5890 9,3272 9,0651 9,5893 0,0273

17. 10,8696 10,5180 10,2643 10,7717 0 ,0 323

18 12,2137 11,8924 11,5463 12,0 38 5 0,0345

19 13,6000 13,1504 12,9053 13,3953 0,0331

20 15,0000 14,5919 14,3348 14,8490 0,0272

21 16,3793 16,1170 15,8293 16,4047 0,0100

22 17,8991 17,7256 17,3867 18,0645 0,0923

23 19,0909 19,4179 19,0082 19,8276 0,0171

24 \ 20,3704 21,1937 20,6958 21,6916 0,o4o4

/

22 M. Chudek. W. Iwaszezenko

Rzędna krzywych przedziału ufności dla modeli represyjnych typu (1 0 ) przy założonych głębokościach eksploatacji od 200 do 600 ra przedstawiono kolejno w tablicach 10, 11, 12, 13t 1**. Wszystkie modele zostały dobrze dobrane i dopasowane. Oznacza to, że funkcje typu (10) mogą być użyte do przewidywania wartości współczynnika ciśnienia eksploatacyjnego na różnej odległości od czoła ściany, przy zadanych głębokościach eksploatacji.

Po powrotnej transformacji do zmiennyoh oryginalnych otrzymujemy:

■0 ,5 7 5 1 + 0,8 518 Lc + 0 ,0 1 L2 + )■

H = 200

ra

H = 300 m ke

H = 400 m k

•

H = 0 0 m k

e

H = 600 m k.

Model represyjny opisująoy wartości oczekiwane rzeczywistej wielkości współczynnika ciśnienia eksploatacyjnego ma postać:

ko = 0,1798181 + 0,0081649 H - 0,0000074 H2 (1 1 ) (0 ,0 8 23 3 31) (0 ,0005021) (0 ,0000006)

R ^ = 0 ,9 7 7 j 2 = 436» £ = 3*,

Procent wyjaśnionej zmienności: R ^ = 0,9545 . 100 = 9556. Model jako całość jest istotny na poziomie oę = 0,05, ponieważ R(2 }52}0,05) = 0 , 3 4 8 <

<0 , 9 7 7 = R,^.

Przedziały ufności dla parametrów modelu przy n-k-1=52 nie zawierają zera i wynoszą:

0,Ot51519 < ¡b0 < 0,3444843» 0,0071607 < < 0,0091691

-0,0000086 < < -0,0000062

Wielkości zaobserwowane i obliozone zestawiono w tablicy 15. Wyniki ob­

liczeń świadczą o tym, że model (li) może być wykorzystany dla określenia wielkości współozynnika olśnienia eksploatacyjnego w zależności od głębo- kośoi eksploatacji.

1

Matematyczne ujęcie wpływu głębokośoi...

12

Tablica 15

Lp. k'4

ei k '

ei

Granice przedziału

ufnoáoi « K i A i l

“ k' dolna górna ei

1 2 3 4 5 6

1 1,5100 1,5177 1,3727 1,6627 0,0051

2 1,5500 1,5177 1,3727 1,6627 0,0208

3 1,6000 1,5177 1,3727 1,6627 0,0514

4 1,46 1,5177 1,3727 1,6627 0,0395

5 1.45 1,5177 1,3727 1,6627 0,0467

f it*1 1,5177 1,3727 1,6627 0,0764

7 1,38 1,5177 1,3727 1,6627 0,0998

8 1,49 1,5177 1,3727 1,6627 0,0186

9 1,47 1,5177 1,3727 1,6627 0,0325

10 1 ,5 2 1,5177 1,3727 1,6627 0,0015

11 1,44 1,5177 1,3727 1,6627 0,0540

12 2,02 1,9654 1,8715 2,0593 0,0270

13 2,10 1,9654 1,8715 2,0593 0,0641

14 2,07 1,9654 1,8715 2,0593 0,0505

15 2,01 1,9654 1,8715 2,0593 0,0223

16 2,12 1,9654 1,8715 2,0593 0,0 729

17 2,04 1,9654 1,8715 2,0593 0,0366

18 2,05 1,9654 1,8715 2, <*593 0,04l3

19 2,15 1,9654 1,8715 2,0593 0,0859

20 1,98 1,9654 1,8715 2,0593 0,0074

21 2,08 1,9654 1,8715 2,0593 0,0551

22 2,04 1,9654 1,8715 2,0593 0,0366

23 • 2,19 2,26 55 2,1581 2,3729 0,0345

24 2,15 2,26 55 2,1581 2,3729 0,0537

25 2,27 2,2655 2,1581 2,3729 0,0 019

26 2,22 2,2655 2,1581 2*3729 0,0205

27 2,20 2,655 2,1581 2,3729 0,0298

28 2,11 2,26 55 2,1581 2,3729 0,0735

29 2,24 2,2655 2,1581- 2,3729 0 ,0 1 14

30 2,29 2,2655 2,1581 2,3729 0 ,0 10 7

31 2,25 2,2655 2,1581 2,3729 0,0069

32 2 ,1 8 2,2655 2,1581 2,3729 0,0392

33 2,19 2,2655 2,1581 2,3729 0,0345

34 2,38 2,4181 2,3242 2,5120 0 ,0 16 0

35 2,31 2,4l8l 2,3242 2,5120 0,0468

36 2,52 2,4181 2,3242 2,5120 o,o4o4

37 2,33 2,4181 2,3242 2,5120 0,0378

38 2,42 2,4181 2,3242 2,5120 0,0008

24 M. Chudek, W, Iyaszozenko

od, tablicy 15

1 2 3 4 5 6

39 2,37 2,4181 2,3242 2 ,5 12 0 0,0203

4o 2,36 2,4181 2,3242 2,5120 0,0246

41 2,41 2,4181 2,3242 2,5120 0,0034

42 2 ,4 3 2,4181 2,3242 2,5120 0,0049

43 2 ,4 7 2,4181 2,3242 2,5120 0,0210

44 2,40 2,4181 2,3242 2,5120 0,0075

45 2 ,5 0 2,4232 2,2782 2,5682 0,0307

46 2 ,3 6 2,4232 2,2782 2,5682 0,0268

47 2 ,5 1 2,4232 2,2782 2,5682 0,0346

48 2 ,4 7 2,4232 2,2782 2,5682 0,0 18 9

49 2,39 2,4232 2,2782 2,5682 0,0139

50 2,42 2,4232 2,2782 2,5682 0 ,0 0 13

51 2 ,4 7 2,4232 2,2782 2,5682 0,1089

52 2,41 2,4232 2,2782 2,5682 0,0055

53 2 ,4.5 2,4232 2,2782 2,5682 0,0 109

54 2,46 2,4232 2,2782 2,5682 0,0150

55 2,42 2,432 2,2782 2,5682 0 ,0 0 13

i

3. Podsumowanie '

Podane w pracy zależności mogą być wykorzystane przez kopalnie, biura projektowe do prognozowania odkształceń stropu, wyciskania spągu, wielko­

ści ciśnienia.eksploataoyjnego i 1 pełnego zawału przy różnych głęboko­

ściach eksploatacji do głębokości 600 m. Dla pełnego rozwiązania ,tego za­

gadnienia należy dalej kontynuować badania i rozważania teoretyczne,

LITERATURA

[]l] Chudek M.s Mechanika górotworu. Skrypt centralny, Gliwice 1981 r.

j^2J Chudek M.s Zachowywanie się skał stropowych nad wyrobiskiem ścianowym w świetle badań modelowych. Zeszyty Naukowe Pol.Śl. s. Górniotwo z.30,

1968.

[3] Chudek M , , Iwaszozenko W . D . : Badania modelowe nad wpływem głębokości na odkształoanie skał i naprężania w otoczeniu wyrobisk śoianowyoh.

Zeszyty Naukowe Pol.Śl., s. Górniotwo, w druku,

[ k j Chudek M. , Pach A.s Obudowy ozynnikami regulacji oiśnień eksploata­

cyjnych. Przegląd Górniczy nr 1, 1974.

[5 ] Draper N.R,, Smith.s Analiza regresji stosowanej.PWN, Warszawa 1973.

Wpłynęło do Redakoji w kwietniu 1980 r.

Recenzent: prof. dr hab, inż. Zdzisław Kłsozek

Matematvozne u.leoie wplywu glebokoAoi.. 25

MATEMATHHECKOE OIIPEAEJIEHHE BJIHflHHH rjiyEH H U HA ABSOPMAHHH MAC CUBA TOPHMX nOPOA

H HAIIPflKEHHfl B OKPyjKEHHH BKCnJlOATAUH.OHHiiX CnjlOlllHHX BhlPAEOTOK

P e 3 » m e

B p a O o x e H a oCHOBaHHH p e 3 y j i b i a i o B M O flejibH ux HcnNxaHHM [ 3 ] n p n h o h o ji b3o- BaHHH p e rp e c c H B H O - K o p p e a u m H O H H o r o M e xo .u a n p e s c x a B ji e H b i 3 aB H C H M 0C iH , h o3 Bo jih- romne n p o r H 0 3 H p o B a x t BjiHHHue rjiy 6 H H K H a s B ejiH H sm y h x o a S K c n jio a x a R H O H H o ro ,n a - BJieH H H , BeaH H H H y o o a flK H k p o b o t, B 3 i,y T H e h o h b h, a x a ic A e mnpHHy B H p a O o x a H H o ro n p o c i p a H C i B a , n p a K o x o p o M o 6 p a 3 y e x c a n e p B o e n o jiH o e o S py m eH H e o c h o b h oS x p o -

BJIH.

A MATHEMATICAL FORMULATION OF THE EFFECT OF DEPTH ON THE ROCK MASS DEFORMATION AND STRESSES IN THE WALL HEADINGS

S u m m a r y

Vith the use of a regressive-correlative method and on the basis of I the results of the model studies the paper presents the relationships that allow to prognosticate the effect of depth on: magnitude and the course of mining pressure, magnitude of roof settlement and floor heave as well as the width of the working space in which the first fall roof collapse occurs,

\