Edward Nieznański
16-elemenitowa algebra Boole’a jako
model klasycznej teorii de modis
essendi
Studia Philosophiae Christianae 19/1, 125-132
S tu d ia P h ilo s o p h ia e C h r is tia n a e A T K
19(1983)1
EDWARD N IE Z N A Ń S K I
16-ELEMENTOWA ALGEBRA BOOLE’A JAKO MODEL KLASYCZNEJ TEORII DE MODIS ESSENDI
1. W yznaczone z a d a n ie . 2. T e o r ia a lg e b r B o o le ’a : 2.1. O k re ś le n ie a lg e b r Boole’a; 2.2. A r y tm e ty c z n y s c h e m a t do tw o r z e n ia n d e z d e g e n e ro w a n y c h a lg eb r Боойе’а. 3. T e o ria d e m o d is e ss e n d i: 3.1. I n t e n s jo n a l n a i e k s- te n s jo n a ln a i n t e r p r e t a c j a s ta ły c h ; 3.2. Z w ią z k i lo g ic z n e w m in im a ln e j te o rii de m o d is e s s e n d i; 3.3. Z w ią z k i lo g ic z n e w n ie m in im a ln y c h t e o r i a c h d e m o d is e s s e n d i
1. Klasyczna m etafizyka na jej aktualnym etapie rozwoju deklaruje zdecydowaną gotowość filozoficznego badania nie mal wyłącznie istnienia bytu. Bez włączania się w dyskusję wokół zagadnienia, czy przedm iotem tych badań ma być tylko istnienie aktualne, czy również możliwe, a może jeszcze i entia rationis, zamierzam jedynie rozważyć logiczne związ ki tzw. sposobów bycia — odmian bytu rozróżnianych w scholastyeznej teorii de modis essendi. Związki te zamie rzam opisać na gruncie teorii algebr Boole’a.
2. TEORIA ALGEBR BOOLE’A
2.1. Algebrę abstrakcyjną (U, + , · ,n) — w której uniw er- sum U jest niepustyim zbiorem dowolnych przedmiotów, + , · są różnymi dwiema dowolnymi dw uargum entow ym i operac jami w ykonalnym i1 w zbiorze U oraz n jest jednoargum en- tową operacją w ykonalną w U — nazywam y algebrą Boole’a, gdy operacje + i · spełniają dla wszystkich Χ,Υ,Ζ należących do zbioru U następujących 5 w arunków nałożonych na dowol ne dwie różne operacje dwu argum entow e f i g :
{1) warunek przemienności:
X fY =Y fX
1 k -a rg u m e n to w a o p e r a c ja w y k o n a ln a w z b io rz e U to f u n k c j a o k r e ś
lo n a na k - k r o tn y m ilo c z y n ie k a r te z ja ń s ik im z b io ru U i p r z y jm u ją c a w artości w z b io rz e U.
(2) w arunek łączności: (XfY)fZ = Xf(YfZ) (3) w arunek pochłaniania: (XfY)gX = X (4) w arunek rozdzielności: (XfY)igZ = (XgZ)f (YgZ) (5) w arunek jedności i zera:
(XfnX)gY=Y.
W każdej algebrze Boole’a możemy wyznaczyć:
1°. relację a słabo-porządkującą uniw ersum U (czyli zwrotno- antysym etryczno-przechodnią w żbiorze U):
XaY w tw (wtedy i tylko w tedy gdy) X · Y = X, a także
2°. element pierwszy I (zwany też najm niejszym lub zerem) i
3°. elem ent ostatni V (zwany też największym luib jednością) te j relacji (i tej algebry):
I = X.nX V = X + n X (dla dowolnego elem entu X zbio r u U).
2.2. Jeśli uniwersum U algebry Boole’a ma jeden tylko ele ment, to tę jednoelementową algebrę Boole’a nazywam y algeb rą zdegenerowaną г. W takiej algebrze I= V .
Niech к reprezentuje liczb y'n atu raln e 1,2,3,... Wówczas dla każdej klasy izomorficznych niezdegenerowanych algebr Boole’a 2k-elem entowych możemy wylhrać w charakterze rep rezen tan t ki algebrę: ({0,l}k, + , · ,n), w której uniw ersum jest k-człono- wyrn iloczynem kartezjańskim zbioru dwu liczb O i l , zaś operacje — dla Xi,Yi należących do Zbioru {0,1} przy i z prze działu zamkniętego liczb naturalnych od 1 do к — są określo ne w następujący sposób:
(1) (Χ,,Χ,.,.,Χ,Ο+ № /У 2,...;?к) =(m ax(X 1,Y1),max(X2,Y2),..., max(Xk,Yk)), gdzie m ax (l,l) = m ax(l,0)= m ax(0,l) = 1 i m ax(0,0)=0;
(2) (Xi,X2,--,Xk) · (YI,Y2,..,Y k) = (min(X1,Y1),min(X2,Y2),..., mim(Xk,Yk)), gdzie mini(l,l) = l i
min( 1,0)=m in(0,1 ) = min(0,0 )= 0 ;
2 Zob. T. T ra c z y k , W s tę p do te o r ii a lg e b r B o o le ’a, W a rs z a w a 1970,
(3) п(Х1,Х2)...)Хк) = ( 1 - Х 1Д - Х 2)...Д -Х к), gdzie 1—1 = 0 i 1—0 = 1. Jednością tej algebry jest V = { l } k a zerem I = { 0 } k.
Przyjmijmy w dalszym, ciągu pisać: Х ^ .-.Х к zamiast (Xi,X2, ...,Xk).
Dla k = l otrzym ujem y dwuelem entową algebrę Boole’a znaną jako matryca klasycznego rachunku zdań. Dla k = 2 otrzy mujemy 4-elementową algebrę Boole’a, w której uniwersuim
{0,1}2= {00,01,10,11}. Dla k = 3 mamy 8-elementową algebrę Boole’a z uniw ersum (0,1 }3= {000,100,010,001,110,011,101, 111}. Dla k = 4 otrzym ujem y 16-elementową algebrę Boole’a z uniwersum {0,1}*= {0000,1000,0100,0010,0001,1100,1010,0110, 0101,0011,1001,1110,1101,1011,0111,1111}, ltd.
Przyjmujemy następujące cztery skróty: (1) XaY w tw X .Y = X , (2) XoY w tw X .Y ^ X , (3) XeY w tw X .Y = I, (4) XiY w tw Χ ,Υ φ Ι .
3. TEORIA DE MODIS ESSENDI
3.1. Wszystkie przytaczane w dalszym ciągu stałe będą pod dawane dwu różnym interpretacjom : intensjonalnej i eksten sjonainej. I tak: „V” w in terpretacji pierwszej to „przedmiot”, a w interpretacji drugiej zbiór wszystkich przedm iotów” („klasa przedmiotów”). Zapis „Vx” w in terpretacji intensjo nalnej czytamy „x jest przedm iotem ”, w in terp retacji eksten sjonainej — „x jest elem entem klasy przedm iotów ”. Podobnie stała „B” znaczy najpierw „byt”, a następnie „klasę bytów ”. ,,Bx” znaczy „x jest b y tem ” („x istnieje”) a eiksten- sjonalrde: „x jest elem entem klasy bytów ”. Stąd zda
nie „BaV” w interpretacji intensjonalnej czytamy „Każdy byt jest przedmiotem”, a w interpretacji ekstensjonainej — „Kla sa bytów zawiera się w klasie przedm iotów”. I podobnie dla wszystkich X,Y należących do U interpretujem y „XaY” jako „każde X jest Y” lub „klasa X zawiera się w klasie Y”. Wy rażenie „XeY” znaczy „żadne X nie jest Y” (a w interpretacji ekstensjonainej — „klasy X i Y są rozłączne”). „XiY” znaczy „ przynajmniej pewne X jest (są) Y” (i ekstensjonalnie — „kla sy X i Y są nierozłączne”). „XoY” znaczy „pewne X nie jest
(nie są) Y” (lub „klasa X nie zawiera się w klasie Y”). „nX ” intensjonalnie znaczy „nie-X ” zaś ekstensjonalnie „dopełnienie
klasy X do zbioru pełnego V”. „X.Y” znaczy intens, „(zarazem) X i Y” a efcstens. „iloczyn zbiorów X i Y”. Wreszcie „ X + Y ” znaczy „X lub Y” i ekistens. „suma zbiorów X i Y”.
3.2. Ponieważ antonim am i (wyrazami m ającym i znaczenia przeciwstawne) są: „B” („byt”) i „nB” („niebyt”) oraz „V” („przedmiot”) i „nV” („nieprzedmiot”, ekstensjonalnie — „Ma sa p u sta”), przyjąw szy skrót I = n V i oznaczywszy efkstensje pojęć I,V,B,nB przez: 1=00, V = l l , B = 10 i nB = 01 uzyskuje my automatycznie 4-elementową algebrę Boole’a, która u- względnia tylko dwa modi essendi: В — entia realia i nB ■—
entia rationis. W algebrze tej obowiązuje zasada wyłącznego
środka: „Każdy przedmiot istnieje lub nie istnieje” 3 czyli V = B + n B oraz zasada niesprzeczności: „Nieprawda, że jakiś przedmiot zarazem istnieje i nie istnieje” 4, tzn. I = B · nB. Obydwie te zasady posiadają dla określonej algebry dowody: B + n B = 1 0 + n l0 = 10+01 = l l = V i В · nB = 10 · n l0 = 10 · •01 = 00=1. Można tu również wykazać, że BaV, bo B · V =
= 10 · 11 = 10 = B oraz nBaV, bo nB · V = 01 · l l = 01=nB . Również VoB, bo V · В = 11 · 10 = 1 0 ^ V i VonB, bo V · nB = l l · •01 = 0 1 ^ V . Jest to najprostsza teoria de modis essendi i za kłada ona jak widać bardzo elem entarne związki logiczne.
3.3 Zauważmy jednak, że „w metafizyce klasycznej obejmo wano pojęciem rzeczywistości (realitas) zarówno byt ak tu alny, jak potencjalny, zarówno to, co istnieje, jak to, co zda rzyć się może, i przeciwstawiano ta k pojętej rzeczywistości jedynie entia rationis jako nierzeczywiste” 5. Do bytów aktu alnych zalicza się również byt konieczny, tj. „byt, który nie może nie istnieć” ®, a także byt przygodny określany na dwa nierównoznaczne sposoby: raz jako byt, k tó ry ta k istnieje, że może nie istnieć (lub jako byt, który istnieje chociaż nie musi is tn ie ć 7); drugi raz — jako byt, który może istnieć i może nie istnieć (contingens est quod potest esse et non esse8).
N atom iast niebyty, którym i są przedm ioty pomyślane (entia
rationis) „czyli taMe, które można jedynie pomyśleć, lecz któ
re nie są ani aktualne ani potencjalne” 9 dzieli się jeszcze na
3 T. C z eżo w sk i, O m e ta fiz y c e , j e j k ie r u n k a c h i za g a d n ie n ia c h , T o r u ń 1948, s. 78. 4 T. C z eżo w sk i, dz. c y t., s. 78. 5 T. C zeżo w sk i, dz. cy t., s. 77. * K . K łó s a k , W p o s z u k iw a n iu P ie r w s z e j P r z y c z y n y , cz. I I , W a rs z a w a 1957, s. 106. 7 Z ob.: A. S tę p ie ń , W p r o w a d z e n ie do m e t a f i z y k i , K r a k ó w 1964, s. 238. 8 S u m m a T h e o lo g ic a , I, q. 8 6, a. 3. 9 T. C zeżo w sk i, dz. c y t., s. 69.
niebyty absolutne i względne 10. Związki logiczne tej wzboga conej teorii de modis essendi dają się przedstawić na modelu
16-elementowej algebry Boole’a, w której eksitenisje pojęć bytu oznaczam za pomocą uporządkowanych czwórek liczb 0 lub 1 w następujący sposób: (1) przedmiot: V = l l l l (2) nieprzedmiot: 1 = 0000 (3) byt: B = 1100 (4) niebyt: nB = 0011 (5) byt możliwy: MB = 1110 (6) nieprzygodny niebyt: nPnB = 1101 (7) nieprzygodny byt: nPB = 1011 (8) możliwy niebyt: MnB = 0111
(9) byt stający się (ens in statu fieri, ens in motu): S B =0110 (10) byt niestający się: nSB = 1001
(11) możliwy b yt nieprzygodny: MnPB = 1010 (12) możliwy nieprzygodny niebyt MnPnB = 0101 (13) byt konieczny: KB = 1000
(14) konieczny niebyt: KnB = 0001 (15) byt przygodny: P B =0100 (16) przygodny niebyt: PnB = 0010
W teorii algebr Boole’a dowodzimy zarówno tw ierdzenia jak i definicje należące do teorii de modis essendi. '
D e f i n i c j e :
Dl. V = B + n B . Przedm iot jest to byt lub niebyt. Niebyt jest [przedmiotem tylko pomyślnym (ens rationis) i nie istnieje obiektywnie, a więc nie jest bytem. Dowód: B + n B = 1 1 0 0 +
+ n ll00 = 1100 + 0011 = 1111 = V.
D2. I=B-nB. Nieprzedmiot jest to zarazem byt i niebyt. Nie istnieje on i nie jest naw et do pomyślenia, dlatego nie jest przedmiotem. Dowód: Β·ηΒ = 1100·η1100 = 1100·0011 = 0000=Ι.
D3. M B=nK nB. Byt możliwy jest to niekonieczny niebyt (jest to przedmiot, który nie musi nie istnieć). Dowód: n K n B =
=η0001 = μ ΐΟ = Μ Β .
D4. M nB=nK B. Możliwy niebyt jest to b y t niekonieczny (jest to przedm iot, który nie musi istnieć). Dowód: n K B =
=nlOOO=0111=MnB.
D5. PB=B-M nB. Byt przygodny to przedmiot, który tak
10 Zob. A. S tę p ie ń , dz. cyt., s. 232. 9 — Studia P hilosophiae C h ristian ae 1/83
istnieje, że może nie istnieć. Dowód: B-MnB = 1100-0111 =0100 = = P B .
D6. PnB = nB-MB. Przygodny niebyt to przedmiot, który talk nie istnieje, że może istnieć. Dowód: ηΒιΜΒ=0011·1110 =
= 0010=PnB.
D7. SB=MB-MnB. Byt stający s ię 11 to przedmiot, który może istnieć i nie istnieć. Dowód: MB-MnB== 1110-0111 = 0110 = = SB.
D8. n S B = K B + K n B . Byt niestający się to przedmiot, który musi istnieć lub nie istnieć. Dowód: K B + K n B = 1000 + 0001 =
= 1001 =nSB .
D9. M nPB=M B-nPB. Możliwy nieprzygodny byt to byt zarazem możliwy i nieprzygodny. Dowód: MB-nPB = 1110- •1011 = 1010=MnPB.
D10. M nPnB=M nB-nPnB. Możliwy nieprzygodny niebyt to niebyt zarazem możldiwy i nieprzygodny. Dowód: MnB-nPnB =
=0111-1101 =0101 =MmPnB. T w i e r d z e n i a 1* T 1. K B =nM nB , bo nMnB = n 0 1 11 = 1000 =K B . T 2. K nB =nM B , bo n M B = n lll0 = 0001=KnB. T 3. BenB, bo Β·ηΒ=1100·η1100 = 1100·0011=0000 = Ι. T 4. MBeKnB, bo MB-KnB = 1110-0001 = 0000 = 1. T 5. MBinB, bo MB-nB = 1110-0011 = 0010yŁI. T 6. MBiB, bo MB-B = 1110-U00 = 1100=£I. T 7. B aM B 13, bo B-MB = 1100-1110 = 1100=B. T 8. KBaB, bo KB-B = 1000-1100^1000=K B . T 9. PBaB, bo PB-B=0100-1100=0100=PB. T10. BoPB, >bo B-PB = 1100-0100 = 0100^B .
11 Z ob.: F. R iv e t tl B a rb ó , L a s t r u tt u r a lo g ica d e lla p r im a v ia p e r
p r o v a r e l ’e s is te n z a d i D io. A p p lic a z io n i d i lo g ica s im b o lic a e n e ss i d i c o n te n u ti, „ R iv is ta d i F ilo s o fia N easc o d a stic a ” , 52 (1960) z. 2—-3,
s. 241— 320 (p o lsk i p rz e k ła d w „ M is c e lla n e a L o g ic a ” t. I, W a rs z a w a 1980), zob. p a r a g r a f y 19— 35. F . R 'iv e tti B a rb ô e n s in m o tu n a z y w a b y te m s ta ją c y m sią, e n s in s ta tu fie r i i tw ie r d z i o n im , iż je s t o n b y te m m o ż liw y m , bo n ie is tn ie je jeszcze, lecz d o d a je o n im , iż m o że n ie z a is tn ie ć w w a r u n k a c h n ie s p rz y ja ją c y c h .
12 C z y ta n ie tw ie r d z e ń ja k o n a z b y t ła tw e , z o szczęd n o ści ' m ie js c a p o
m ija m .
13 A b esse ad p o sse v a le t c o n s e q u e n tia . K a ż d y b y t je s t te ż b y te m m o ż liw y m , bo w s z y stk o , co is tn ie je , je s t ró w n ie ż „ w e w n ę trz n ie n ie - sp rz e c z n e , n a d a ją c e się do is tn ie n ia ” (d e f in ic ja „m o ż liw e g o ” w A. S tę p ie ń , dz. cy t., s. 230). „ B y t m o ż liw y ” w u ż y w a n y m tu s e n s ie o b e j m u je w ię c sw y m z a k re s e m n ie ty lk o p o ss ib ilia lecz w s z y s tk ie w ogóle
T il. Ba(KB +PB ), bo Β·(ΚΒ+ΡΒ) = 1100·(1000+0100) = 1100· ■110Ö = 1100=B. Τ12. PBaSB, bo ΡΒ·8Β=0100·0110=0100=ΡΒ . Τ13. SBoPB, bo S B P B = 0 1 0 0 7tSB. T l4. S B = P B + P n B , bo P B +P ,nB =0100 + 0010=0110=SB. T15. B = |K B + P B , bo KB + PB = 1000+0100 = 1100=B. T16. nB = K n B + PnB, bo K n B + P n B = 0 0 0 1 + 0 0 1 0 = 0 0 1 1 = n B . T17. KBaMB, bo ΚΒ·ΜΒ = 1000·1110 = 1000=ΚΒ. T18. KnBanB, bo KnB-nB=0001-0011 =0001 =K nB . T19. пВаМпВ, bo ηΒ·ΜηΒ=0011·0111 =0011 = nB . T20. KnBaMnB, bo ΚηΒ·Μ ηΒ=0001·0111=0001=ΚηΒ. T21. MnPnB = PB + K nB , bo ΡΒ + Κ ηΒ =0100 + 0001 =0101 = = MnPnB.
Można również łatwo wykazać, że: T22. В= K B + В = B 'M B= MB -nPnB. T23. M B=B + MB + K B = B + M n P B = B + S B = B + P nB . T24. n P n B = B + n S B = B + M n P n B = B + K n B . T25. nPB = M n F B + nB = K B + nB = n S B + nB. T2 6. MnB = n B + M nPnB = nB + SB = n B + PB. T27. M nPB=K B + P nB . T28. nB = P n B + n B = K n B +,nB=iMnB-nPB. T29. PB =B-SB = Β·ΜηΡηΒ = Β·ηΚΒ. T30. PnB= nB ■ SB = nB-M nPB= nB-nKnB.
Ostatnia gmupa twieirdzeń ,poizwala również .poczynić pewną uwagę natury ogólnej, że nader liczne tu „sposoby bycia” dają się sprowadzić jedynie do 16 zafcresowo różnych pojęć 14. Biorąc mianowicie za podstawę relację równości zakresowej ipojęć uzysikujemy 16-elementową klasę ilorazową tej relacji, a więc i 16 ekstensjonalnie różnych modos essendi (jeśli do tych modos zgodzimy się zaliczyć również „sprzeczność” nie- przedmiotu I i „niesprzeczność” przedm iotu V) lub 14 — jeśli wykluczymy „sposoby bycia” I i V. 1
W zakończeniu dodajmy może tylko uwagę, że w sposób
14 W 8-e le m e n to w e j a lg e b rz e B o o le ’a d la te o r ii d e m o d is e s s e n d i
m o g ą być o k re ś lo n e nip. n a s tę p u ją c e m o d i: p rz e d m io t V = l l l , n ie - przedm iot 1= 0 0 0 , b y t B = 100, n ie b y t n B = 0 1 1 , b y t r e a l n y R B = 1 1 0 , b y t racjo n aln y (fik c y jn y ) F B = 0 0 1 , p rz y g o d n y n ie b y t P n B = 0 1 0 i n ie - przygodny n ie b y t n P n B = 1 0 1 . D a ją się w ó w c z a s d o w ie ść d e fin ic je : V = B -fn B , I = B .n B , F B = n R B , P n B = n B .R B , n P n B = B + F B i n p . t w i e r d z e n ia : R B = inFB , I = n V , V = n l , R B eF B , B en B , B aR B , F B a n B , B a n P n B , F B anP nB .
analogiczny do przedstawionych wyżej konstrukcji można by ew entualnie było w miarę potrzeb rozszerzać teorię de modis
essendi i budować dla niej algebry jeszcze wyższej mocy.
16-ELEMENTRIGE BOOLESCHE ALGEBRA ALS MODELL EINER KLASSISCHEN THEORIE „DE MODIS ESSENDI”
(Z u s a m m e n fa s s u n g )
I n d ie s e m A u fs a tz m ö c h te ic h e in e 1 6 -elem ein trig e b o o le s c h e A lg e b ra f ü r d ie v o n d e r k la s s is c h e n M e ta p h y s ik h e r b e k a n n te m o d o s e ss e n d i b e s tim m e n . Z u d ie s e m Z w e c k d e f i n ie r e ic h z u e r s t e in a llg e m e in e s a rith m e tis c h e s S c h e m a f ü r d ie 2k - e le m e n t r i g e n b o o le s c h e n A lg e b ra s
({0,l}k,+ ,.^ i). D a n n zeig e ich, d aß w ir g leich , w e n n w i r f ü r „ B ” („ein S e ie n d e s ”) a ls s e in e E x te n s io n (die a lle e n tia re a lia e n th ä lt) d a s g e o r d n e t e P a a r 10 u n d f ü r „ n B ” („ein n ic h t- S e ie n d e s ” ) 04 (d ie se E x te n s io n e n h ä lt a lle e n tia ra tio n is ), d a n n n o c h f ü r „V ” („eie G e g e n s ta n d ” ) 11 u n d f ü r „ I ” („ein n ic h f - G e g a n s ta n d ”) 00 am nehm en, a u f d ie s e W eise d ie 4 -e le m e n f rig e b o o le s c h e A lg e b ra a ls M o d ell d e r e in f a c h s te n T h e o r ie d e m o d is e s s e n d i b e k o m m e n . J e d e r e ic h e r e T h e o rie d e m o d is e s s e n d i s e tz t e in e b o o le s c h e A lg e b ra d e r h ö h e r e n M a c h tz a h l v o ra u s . Ic h e r w ä h n e n u r e in e 8- e le m e n tr ig e A lg e b ra f ü r e in e r e ic h e r e T h e o rie d e m o d is e ss e n d i, d a n n zeig e ic h a b e r n ä h e r e in e 16-elem em tirige b o o le s c h e A lg e b ra f ü r d ie k la s s is c h e T h e o rie d e m o
d is e s s e n d i, d ie 16 so lc h v e rs c h ie d e n e m o d o s e n th ä lt. Ic h e rr e ic h e
d a m it d ie F o r m a lis ie r u n g e in e r T h e o rie d e m o d is e sse n d i. D ie se f o r m a lis ie r te T h e o rie b r in g t z u g le ic h m it, e in e e in f a c h e L o g ik , d ie w ie ic h h o ff e a u c h f ü r m a n c h e m e ta p h y s is c h e V o rs e h u n g e n v e r w e n d b a r s e in k ö n n te .
