Matematyka na egzaminie gimnazjalnym od Katowice Bielsko-Biała, grudzień 2011

(1)

Katowice – Bielsko-Biała, grudzień 2011

Matematyka na egzaminie

gimnazjalnym od 2012

(2)

Zestaw zadań z matematyki Przykłady zadań

Punktowanie rozwiązań Komunikowanie wyników

Program spotkania

(3)

W gimnazjum sprawdza się, w jakim stopniu gimnazjalista spełnia wymagania z zakresu matematyki określone w podstawie programowej kształcenia ogólnego dla III etapu edukacyjnego.

Poszczególne zadania zestawu egzaminacyjnego mogą też – w myśl zasady kumulatywności przyjętej w podstawie – odnosić się do wymagań przypisanych do etapów wcześniejszych (I i II).

Zadania z matematyki mogą mieć formę zamkniętą lub otwartą.

Matematyka

Wymagania egzaminacyjne

(4)

Cele kształcenia – wymagania ogólne

I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.

II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji.

Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi.

III. Modelowanie matematyczne.

Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji.

IV. Użycie i tworzenie strategii.

Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu.

V. Rozumowanie i argumentacja.

Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

Matematyka

Wymagania egzaminacyjne

(5)

Zadania budowane są zgodnie z zapisanymi w PP wymaganiami ogólnymi i wymaganiami szczegółowymi.

Wymagania (cd.)

Matematyka

WO WS

I-V

1. Liczby wymierne dodatnie (1-7)

2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie (1-4) 3. Potęgi (1-5)

4. Pierwiastki (1-4) 5. Procenty (1-4)

6. Wyrażenia algebraiczne (1-7) 7. Równania (1-7)

8. Wykresy funkcji (1-5)

9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa (1-5)

10. Figury płaskie (1-22) 11. Bryły (1-3)

(6)

Rodzaj zadania Forma zadania

Zamknięte

wielokrotnego wyboru (WW)

prawda-fałsz (P/F) na dobieranie (D)

Otwarte

rozszerzonej odpowiedzi (RO)

krótkiej odpowiedzi (KO) z luką (L)

Typologia pisemnych zadań testowych

(7)

Zadanie 4. (AD, GM-1 XII 2011) W tabeli zapisano cztery liczby.

Dokończ zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych.

Liczba (0,4)⁵ jest równa liczbom A. I i II

B. I i III C. II i IV D. II i III E. III i IV

I (0,2)

¹⁰

II (2,5)

⁵

III (2/5)

²

 (2/5)

³

IV 2

⁵

 5

^-1

Zadanie zamknięte wielokrotnego wyboru (WW)

Przykłady zadań ze względu na rodzaj i formę

(8)

Zadanie 20. (AD, GM-1 XII 2011)

Krem jest sprzedawany w trzech rodzajach pojemników. Każdy pojemnik ma kształt walca, którego wewnętrzne wymiary podane są na rysunku.

Objętość walca oblicza się ze wzoru V = r² H, gdzie r oznacza promień koła będącego podstawą walca, H – wysokość walca.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Zadanie zamknięte prawda-fałsz (P/F)

3 cm

4 cm

4 cm 6 cm

8 cm 3 cm

W pojemniku B mieści się cztery razy więcej kremu niż w pojemniku A. P F W pojemniku C mieści się dwa razy mniej kremu niż w pojemniku B. P F

(9)

Zadanie 20. (AD GM-8 XII 2011)

Zapoznaj się z rysunkiem przedstawiającym różne odcinki.

Uzupełnij zdania, korzystając z rysunku i podanych wyrazów.

Wpisz literę A lub B.

1. Odcinek DE jest ……….. do odcinka EF.

2. Odcinek FG jest ………... do odcinka BC.

3. Odcinek GH jest ……….. do odcinka CD.

A prostopadły B równoległy

A B

C

D

E F

G

H

Zadanie zamknięte na dobieranie (D)

(10)

Zadanie 19. (AP, GM-1 X 2011)

Czy kulę o objętości 500 cm³ można przełożyć przez otwór w kształcie kwadratu boku 10 cm? Wybierz odpowiedź T (tak) albo N (nie) i jej uzasadnienie spośród oznaczonych literami A–D.

T

ponieważ

A.

średnica kuli jest mniejsza od przekątnej kwadratu.

B.

średnica kuli jest mniejsza od boku kwadratu.

N C.

średnica kuli jest większa od przekątnej kwadratu.

D.

średnica kuli jest większa od boku kwadratu.

Zadanie zamknięte (P/F/D)

(11)

Liczba, rodzaje i typy zadań

• liczba zadań 23

• suma punktów 29

• 18 zadań WW (18 p.)

• 2 zadania WW (5 odpowiedzi) (2 p.)

• 2 zadania P/F (2 p.)

• 3 zadania otwarte (3+2+4=9 p.) Matematyka –

arkusz diagnostyczny XII 2011.

Matematyka –

przykładowy zestaw zadań X 2011.

• liczba zadań 23

• suma punktów 30

• 13 zadań WW (13 p.)

• 4 zadania P/F (4 p.)

• 1 zadanie P/F/D

• 3 zadania otwarte (3+3+4=10 p.)

(12)

Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne

Wymagania szczegółowe

1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń:

7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek (prędkości, gęstości itp.).

Zadanie 7. (AD, GM-1, 6 XII 2011)

Rozmiar ramy roweru to długość fragmentu rury pod

siodełkiem mierzona tak, jak przedstawiono na rysunku – od środka miejsca, w którym obracają się pedały do środka rury łączącej siodełko kierownicą.

Jaki jest rozmiar ramy, której niektóre wymiary przedstawiono na rysunku? Wybierz odpowiedź spośród podanych.

A. 49 cm B. 53 cm C. 58 cm D. 59 cm

(13)

Zadanie 7. (AD, GM-5, 6 XII 2011)

Rozmiary kół rowerowych podaje się zwykle w calach. Średnica obręczy pewnego koła jest równa 22 cale.

Ile centymetrów ma promień obręczy tego koła, jeśli 1 cal = 2,54 cm?

A. 22 cm B. 27,94 cm C. 11 cm D. 8,66 cm 22 cale

7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek (prędkości, gęstości itp.).

Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne

(14)

Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne

II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji.

Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi.

6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych.

Równość 3/5 = 1/x + 1/y będzie prawdziwa, jeśli w miejsce x i y zostaną wpisane liczby

A. 5 i 2 B. 6 i 4 C. 10 i 2 D. 10 i 6

(15)

Zadanie 3. (AD, GM-1 XII 2011) Na rysunkach przedstawiono osie liczbowe, a na każdej z nich kropkami zaznaczono trzy liczby.

Na którym rysunku jedna z tych liczb jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych? Wybierz odpowiedź spośród podanych.

C.

1 0

D.

1 0

A.

1 0

B.

1 0

Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne

III. Modelowanie matematyczne.

Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji.

2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń:

1) interpretuje liczby wymierne na osi liczbowej.

9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń:

4) wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych.

(16)

W równoległoboku o obwodzie 26 cm różnica długości dwóch sąsiednich boków jest równa 3 cm. Dłuższy bok tego równoległoboku jest równy

A. 8 cm B. 6,25 cm C. 5 cm D. 3,25 cm

Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne

IV. Użycie i tworzenie strategii.

Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu.

7. Równania. Uczeń:

4) zapisuje związki między nieznanymi wielkościami za pomocą układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

10. Figury płaskie. Uczeń:

9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.

(17)

Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne (A1)

Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

Wymagania szczegółowe 11. Bryły. Uczeń:

2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym).

W pojemniku B mieści się cztery razy więcej kremu niż w pojemniku A. P F

Krem jest sprzedawany w trzech rodzajach pojemników. Każdy pojemnik ma kształt walca, którego wewnętrzne wymiary podane są na rysunku.

Objętość walca oblicza się ze wzoru V = r² H, gdzie r oznacza promień koła będącego podstawą walca, H – wysokość walca.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

3 cm

4 cm

4 cm 6 cm

8 cm 3 cm

Pojemnik A Pojemnik B Pojemnik C

(18)

Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne (A7)

Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń:

5) analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut kostką, rzut monetą,

wyciąganie losu) i określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadczeniach [...].

Dokończ zdanie. Zaznacz dobrą odpowiedź.

W woreczku są tylko koraliki białe i czerwone.

Białych koralików jest cztery razy więcej niż czerwonych. Losujemy jeden koralik.

Prawdopodobieństwo, że wylosujemy biały koralik, jest równe

A. 1/4 B. 3/4 C. 1/5 D. 4/5

Rozwiązanie:

4 białe

1 czerwony p = 4/5

(19)

Uczniów na przedstawienie przewieziono trzema samochodami. W każdym samochodzie jest 49 miejsc.

Oceń, czy podane zdania są prawdziwe. Zaznacz TAK lub NIE.

1. Samochodami przewieziono razem 102 uczniów. TAK NIE 2. Samochodem A przewieziono więcej uczniów niż samochodem B. TAK NIE 3. W samochodzie C zostało jeszcze 12 wolnych miejsc. TAK NIE 4. W samochodzie B było najwięcej wolnych miejsc. TAK NIE

Samochód A Samochód B Samochód C

przewiózł 27 uczniów przewiózł 40 uczniów przewiózł 35 uczniów

Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne (A8)

Uczeń prowadzi proste rozumowania, (…) Wymagania szczegółowe

7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym [...].

(20)

Typowe błędy popełniane przez gimnazjalistów

Informacje do zadań 28.–30.

Pewna firma telekomunikacyjna proponuje użytkownikom telefonów komórkowych cztery taryfy: A, B, C, D. Miesięczny rachunek

telefoniczny jest sumą kwoty abonamentu i kosztu rozmów według podanych w tabeli stawek.

Taryfa A B C D

Abonament miesięczny w zł 20 40 80 120

Koszt jednej minuty połączenia w zł 1,10 0,75 0,60 0,40

Zadanie 28. (0-2) (Egzamin gimnazjalny, IV 2011, GM 1)

Pan Kowalski wybrał taryfę C. W marcu otrzymał w promocji 120

bezpłatnych minut. Jaka jest wysokość miesięcznego rachunku

telefonicznego, jeśli łączny czas połączeń wykonanych przez pana

Kowalskiego w marcu wyniósł 300 minut? Zapisz obliczenia.

(21)

Typowe błędy popełnione przez gimnazjalistów w rozwiązaniach zadania 28.

1) 300 – 120 = 180 minut

180  0,60 = 108 zł Odp.: 108 zł.

Nie uwzględniono abonamentu (nieuwaga, niezrozumienie tekstu) 2)300 – 120 = 180 minut

180  0,60 = 54 zł 54 + 80 = 134 zł lub

300 – 120 = 280 minut

Błędy rachunkowe (brak sprawności rachunkowej) 3) 300  0,60 = 180 zł;

180 + 80 = 260 zł

Nie uwzględniono promocji (nieuwaga, niezrozumienie tekstu) 4) 300 – 120 = 280 minut (poprawnie 180)

280  0,60 = 188,80 zł (konsekwentnie 168 zł) 188,80 – 80 = 108,80 zł

Odejmowanie abonamentu i błędy rachunkowe

(22)

Ocena rozwiązań

Informacje do zadań 29. i 30.

Pracownik ochrony chodzi wzdłuż ogrodzenia parkingu (w kształcie trapezu prostokątnego) ze stałą prędkością 1 m/s. Obchód zaczyna od wartowni A. Na rysunku przedstawiono plan jego trasy, a obok podano wymiary parkingu.

Zadanie 30. (0-3) (GM A1– IV 2010)

Pracownik doszedł do 1/5 odcinka BC (punkt P). Oblicz, w jakiej odległości jest on od odcinka AB, a w jakiej od punktu B. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie PB = 1/5  CB

PB = 1/5  65 m = 13 m

Trójkąty PFB i CGB są podobne:

BC : CG = BP : PF PF = 12 (m)

BC = 65 m CG = 60 m

D C

P

A G F B

Punktowanie wg kryteriów:

a) poprawny sposób obliczenia PB – 1 p.

b) poprawny sposób obliczenia PF – 1 p.

c) poprawne wszystkie obliczenia – 1 p.

 2009

Punktowanie wg zasad (2010):

3 p. – poprawne ustalenie długości obu odcinków (PB, PF)

2 p. – poprawny sposób obliczenia długości obu odcinków przy popełnianych błędach rachunkowych LUB

nieustalenie długości odcinka PB i poprawne obliczenie długości odcinka PF LUB

błędne ustalenie długości odcinka PB i obliczenie długości odcinka PF z wykorzystaniem ustalonej długości odcinka PB bez dalszych błędów rachunkowych

 2011

(23)

Ocena rozwiązań od 2012

Wyróżnia się siedem poziomów rozwiązania.

Poziom 6: pełne rozwiązanie

Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.)

Poziom 4: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne Poziom 3: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale w trakcie ich pokonywania popełniono błędy

Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane

Poziom 1: dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania

Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu

Przy ocenianiu rozwiązań niektórych zadań wykorzystuje się wszystkie poziomy, a przy ocenianiu innych – tylko część z nich.

Zasady punktowania opisane zostały w Informatorze na 2012

Ocena rozwiązania zadania otwartego zależy od tego, jak daleko dotarł rozwiązujący w drodze do całkowitego rozwiązania.

(24)

Przykład oceny rozwiązania wg zasad od 2012

Przykładowe rozwiązanie PB = 1/5  CB

PB = 1/5  65 m = 13 m

Trójkąty PFB i CGB są podobne:

BC : CG = BP : PF PF = 12 (m)

BC = 65 m CG = 60 m

D C

P

A G F B

Poziomy wykonania zadania 30. (0-3 p.)

3 p. Poziom 6: pełne rozwiązanie

– poprawne ustalenie długości obu odcinków (PB, PF)

2 p.

Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.) – poprawny sposób obliczenia długości obu odcinków przy popełnianych błędach rachunkowych LUB

nieustalenie długości odcinka PB i poprawne obliczenie długości odcinka PF LUB

błędne ustalenie długości odcinka PB i obliczenie długości odcinka PF z wykorzystaniem ustalonej długości odcinka PB bez dalszych błędów rachunkowych

1 p.

Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane

– poprawne ustalenie długości odcinka PB LUB poprawny sposób obliczenia długości odcinka PF

0 p. Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu

(25)

Po sprawdzeniu prac ustala się wyniki egzaminacyjne w następujących sześciu zakresach:

• język polski

• historia i wiedza o społeczeństwie

• matematyka

• przedmioty przyrodnicze

• język obcy nowożytny na poziomie podstawowym

• język obcy nowożytny na poziomie rozszerzonym.

Każdy zdający otrzyma zaświadczenie o szczegółowych wynikach swojego

egzaminu. Dla każdego z powyższych zakresów będą podane dwie liczby: wynik procentowy oraz wynik centylowy.

Komunikowanie wyników

(26)

Wynik procentowy to odsetek punktów (zaokrąglony do liczby całkowitej), które zdający zdobył za zadania sprawdzające wiadomości i umiejętności z danego zakresu.

Na przykład, jeśli zdający za zadania matematyczne zdobył 18 punktów spośród 29 możliwych do zdobycia, to uzyskał wynik 62%.

Wynik centylowy to odsetek liczby gimnazjalistów (zaokrąglony do liczby całkowitej), którzy uzyskali z danego zakresu wynik taki sam lub niższy.

Na przykład zdający, którego wynik centylowy w zakresie matematyki wynosi 74, oznacza, że 74% wszystkich gimnazjalistów uzyskało za zadania matematyczne wynik taki sam lub niższy, a wynik wyższy uzyskało 26% gimnazjalistów.

Komunikowanie wyników (cd.)

(27)

Matematyka na egzaminie gimnazjalnym od Katowice Bielsko-Biała, grudzień 2011