MATEMATYKA NA EGZAMINIE KLAS ÓSMYCH

(1)

Otyń 2021

MATEMATYKA

NA EGZAMINIE KLAS ÓSMYCH

Arkusze zadań dostępne na stronie OKE Poznań https://www.oke.poznan.pl/cms,5264,arkusze.htm Wykorzystano grafikę z arkuszy egzaminacyjnych.

Opracowała: Magdalena Ważna

Opiekun dydaktyczny: Ewa Prymakowska

(2)

2

Arkusz 2019 rok zadania otwarte

Zadanie 16 (1 otwarte)

1. Analizuję polecenie zadania oraz wypisuję dane.

45% – mecze zremisowane 25% – mecze wygrane

?% – mecze przegrane

2. Obliczam ile procent mają mecze przegrane:

100% – (45% + 25%) = 100% – 70% = 30%

3. Następnie obliczam ile meczy to 100% wykorzystując dane z zadania. Wiedząc, że 25% to 10 mnożę liczby przez 4, aby uzyskać 100%:

25% – 10 /×4 100% – 40

4. Wiedząc, że 100% + 40 meczy obliczam ile to 30%, czyli mecze przegrane. Obliczam to za pomocą proporcji.

100% – 40 /÷10 10% – 4 /×3 30% – 12

5. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że mecze przegrane stanowią 30%, czyli w sumie 12 meczy.

Odp.: Ta drużyna przegrała 12 meczy w tym sezonie.

120 km w 75 minut – samochód osobowy prędkość średnia busa na tej samej trasie – 80 ^𝑘𝑚_ℎ

2. Obliczam czas przejazdu busa na trasie 120 km. Obliczam to używając proporcji:

1 h – 80 km /÷2 0,5 h – 40 km /×3 1,5 h – 120 km

1,5 h to inaczej 90 minut

3. Obliczam różnicę czasu przejazdu busa i samochodu, czyli odejmujemy od siebie czas, w którym przejechał bus do czasu trasy samochodu osobowego, czyli 75 minut.

1,5h – 75 min = 90 min – 75 min = 15 min

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że czas przejazdu samochodem osobowym był krótszy o 15 minut.

Odp.: Czas przejazdu samochodem osobowym był krótszy o 15 minut od czasu przejazdu busem.

2x – ilość goździków x – ilość róż

3 zł – cena goździka 4 zł – cena róży

2. Zakładając, że x = 5 to 2x = 10. Wykonam zadanie używając proporcji.

2x (10) 10×3 zł = 30 zł 30 zł + 20 zł = 50 zł x (5) 5 × 4 zł = 20 zł

(3)

3

3. Wykonując proste obliczenia oraz sumując ich wyniki otrzymujemy 50 zł, lecz nie możemy tak zakończyć tego zadnia. Damy jeszcze dwa przykłady (podstawiam dowolne liczby).

x = 4 4 ×4 zł = 16 zł 2x = 8 8 ×3 zł = 24 zł

16 zł + 24 zł = 40 zł x = 2 2 ×4 zł = 8 zł 2x = 4 4 ×3 zł = 12 zł

8 zł + 12 zł = 20 zł

4. Podstawiając dowolne liczby pod znak x oraz używając proporcji do obliczenia ich cen żadna z nich nie wynosi 35 zł. 40 zł ≠ 35 zł, 50 zł ≠ 35 zł oraz 20 zł ≠ 35 zł.

Dlatego dowiadujemy się, że bukiet nie może kosztować 35 zł.

Odp.: Bukiet nie może kosztować 35 zł.

Od 9.00 do 12.00 – ¹₂ wszystkich konkurencji między 12.00 a 14.00 – ¹₃ z pozostałych 14.00 – zakończenie zawodów

12 konkurencji nie przeprowadzono

? – zaplanowane konkurencje

2. Aby obliczyć ¹₃ z pozostałych konkurencji odejmę ¹₂ od całości (1), a następnie mnożę przez ¹₃. Wtedy dowiem się ile jest pozostałych konkurencji.

1 – ¹

2 = ¹

1 2 2 × ¹

3 = ¹

6

3. Jeżeli ¹₆ to wszystkie pozostałe konkurencje, to muszę odjąć to od ¹_2,aby uzyskać ile to konkurencji.

1

2 – ¹₆ = ³₆ – ¹₆ = ²₆ = ¹₃

4. Z obliczeń wynika, że ¹₃ to 12 konkurencji wiec używając proporcji dowiemy się ile to całość – wszystkie konkurencje.

5. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że wszystkich zaplanowanych i przeprowadzonych konkurencji było 36.

Odp.: Podczas całego dnia sportu planowano przeprowadzić 36 konkurencji.

1. Analizuję polecenie zadania oraz wypisuję dane. Pp = 3750 m²

(4)

4

2. Wiedząc, że prostokątna działka przedzielona jest na trzy prostokątne działki o jednakowych wymiarach musimy podzielić Pp (3750 m²) na trzy.

3750 m² ÷ 3 = 1250 m²

3. Jeżeli każda z trzech działek ma po 1250 m²musimy dodać do siebie 2P, z których powstaje kwadratowa działka, a następnie dając otrzymaną liczbę pod pierwiastek dowiemy się jakie są wymiary kwadratowej działki.

1250 m² + 1250 m²= 2500 m²

√2500 𝑚= 50 m

4. Następnie, jeżeli znamy wymiary kwadratowej działki (50 m x 50m) musimy dowolny z boków kwadratu podzielić na 2, aby dowiedzieć się ile ma krótszy bok prostokątnej działki, Później musimy od dowolnego z boków kwadratowej działki dodać krótszy bok prostokątnej działki:

50m ÷ 2 = 25 m 50m + 25 m = 75 m

5. Z poprzednich działań dowiadujemy się, że wymiary głównej działki to 75m x 50 m.

Odp.: Działka przed podziałem miała wymiary 75m x 50 m.

(5)

5

2. Aby obliczyć ile ma przeciwprostokątna trójkąta skorzystam z twierdzenia Pitagorasa.

x²= (16 cm)² + (12cm)² x² = 256 cm + 144 cm x² = 400 /√

x = √400 𝑐𝑚 = 20 cm

3. Znając wszystkie wymiary tego trójkąta możemy przejść do dalszej części obliczeń.

Wiedząc, że linia przerywana w środku trójkąta jest połączeniem środków przyprostokątnej i przeciwprostokątnej możemy obliczyć jej długość. Będziemy dzielić na 2 długości przyprostokątnej i przeciwprostokątnej.

16 cm ÷ 2 = 8 cm 20 cm ÷2 = 10 cm

4. Znając wymiary połowy przyprostokątnej i przeciwprostokątnej możemy obliczyć jaka długość ma przerywana linia używając twierdzenia Pitagorasa:

(10m)² = (8 cm)² + x² 100 cm = 64 cm + x² x² = 100 cm – 64 cm x²= 36 cm /√

x = √36𝑐𝑚 = 6 cm

5. Poznaliśmy wymiary wszystkich odcinków, więc możemy obliczyć obwody figur przedstawionych na rysunku I i II.

OI = 16 cm + 12 cm = 20 cm OII = (12 cm + 6 cm) + 10 cm + 6 cm + 10 cm O_I = 28 cm + 20 cm = 48 cm O_II= 18 cm + 26 cm = 44 cm

O_I = 48 cm O_II = 44 cm

(6)

6

6. Znając obwody obydwu figur obliczymy ich różnicę.

OI – OII = 48 cm – 44 cm = 4 cm

7. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że obwody tych figur różnią się o 4 cm.

Odp.: Obwody figur różnią się o 4 cm.

Arkusz próbny 2020 rok zadania otwarte

x – długość trasy w km

Taxi „Jedynka” Taxi „Dwójka”

Opłata początkowa 3,20 zł 8,00 zł

cena za 1 km trasy 3,20 zł 2,40 zł

2. Nastepnie, aby obliczyć jaką trasę przejechali skonstruuje równanie wykorzystując wcześniejsze dane:

3,2 + 3,2x = 8 + 2,4x 3,2 – 2,4x = 8 – 3,2 0,8x = 4,8 /÷0,8 x = 6

3. Wykonując wcześniejsze kroki dowiadujemy się, że każdy z pasażerów przejechał trasę o długości 6 km:

Odp.: Każdy z pasażerów przejechał trasę o długości 6 km.

Rodzynki – 12 zł za kg (40 dag) Pestki dyni – 17 zł za kg (60 dag)

2. Nastepnie, muszę obliczyc ile zapłacono za 40 dag rodzynek oraz 60 dag pestek dyni, aby to zrobić zamienie dag na kg, a potem wykonam obliczenia mnożąc wagę przez cenę.

40 dag = 0,4 kg 12 zł – 1 kg 60 dag = 0,6 kg 17 zł – 1 kg

0,4 kg × 12 zł = ²₅ kg ×12 zł = ²⁴₅ zł = 4⁴₅ zł = 4,8 zł 0,6 kg × 17 zł = ³₅ kg × 17 zł = ⁵¹

5 zł = 10¹

5 zł = 10, 2 zł

3. Potem zsumuję dwie wcześniej otrzymane wyniki, aby dowiedzieć się ile kosztuje 1 kg tej mieszanki.

4,8 zł + 10,2 zł = 15 zł

4. Wykonując poprzednie kroki dowidujemy się, że 1 kg tej mieszanki kosztuje 15 zł:

Odp.: 1 kg tej mieszanki kosztuje 15 zł.

(7)

7 Zadanie 18 (3 otwarte)

O = 100 m (prawdopodobnie), figura jest wtedy rombem

2. Najpierw dodam wszystkie krawędzie, tworząc równanie, w którym suma wszystkich krawędzi równa jest 100. W taki sposób obliczę x.

2x – 15 + x + 5 + ³₂x – 5 + ¹₂x + 15 = 100 3x – 10 + (³₂x + ¹₂x) + 10 = 100

3x + ⁴₂x = 100 3x + 2x = 100 5x = 100 /÷5 x = 20

3. Następnie znając wartość x (20) wykonam wyrażenia algebraiczne podstawiając pod x liczbę 20. W taki sposób obliczę długość wszystkich boków tego czworokąta.

x = 20

2x – 15 = 2 × 20 – 15 = 40 – 15 = 25 x + 5 = 20 + 5 = 25

1

2x + 15 = ¹₂20 + 15 = 10 + 15 = 25

3

2x – 5 = ³₂20 – 5 = 30 – 5 = 25

4. Znając wszystkie długosci krawedzi obliczę obwód figury, czyli zsumuję wszystkie krawędzie.

O = 25 + 25 + 25 + 25 O = 100

5. Wykonując poszczególne kroki dowiadujemy się, że obwód tej figury jest równy 100 oraz udowadniamy, że ta figura jest rombem.

Odp.: Długość boków tego czworokąta są sobie równe, zatem ta figura jest rombem.

90 km – 1,5 h

droga powrotna = 1,5 h – 15 min (90 – 15 = 75)

2. Najpierw obliczę ile km przejechał w 1 h. Obliczę to używając proporcji:

90 km – 1,5 h /÷3 30 km – 0,5 h /×2 60 km – 1 h

(8)

8

3. Jeżeli wiemy ile km przejechał w 1 h, to teraz obliczymy to samo, ale tym razem prędkość drogi powrotnej. Również używając proporcji.

75 minut – 1,25 h 90 km – 1,25 h /÷5 18 km – 0,25 h /×4 72 km – 1 h

4. Znając już prędkość z jaką jechał oraz wracał pan Kazimierz, musimy obliczyć ich różnicę, aby dowiedzieć o ile się od siebie różnią. Aby to zrobić odejmiemy je od siebie.

72 km – 60 km = 12 km

5. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że średnia prędkość jazdy różniła się o 12 ^𝑘𝑚_ℎ .

Odp.: Prędkość jazdy w drodze powrotnej była o 12 ^𝑘𝑚_ℎ większa.

PABCD= 72 cm² P AED = ^{𝐴𝐸×ℎ}₂ PABCD = ^{(𝐴𝐵+𝐷𝐶)×ℎ}₂ odcinek AE = 4 cm

odcinek CD = 2 ×4 cm (8 cm) P_AED– ?

2. Aby obliczyć pole trójkąta AED potrzebna jest nam wysokość, więc żeby ją obliczyć podstawimy dane pod wzór na pole trapezu i obliczymy niewiadomą h.

P = ^{(𝐴𝐵+𝐷𝐶)×ℎ}₂

72cm² = (4 𝑐𝑚+8 𝑐𝑚)×ℎ 2

72cm² = ^{12 𝑐𝑚 ×ℎ}₂ 72cm² = 12h /÷12 h = 72 cm ÷ 12 h = 6 cm

3. Jeżeli znamy wartość h (6 cm) to możemy obliczyć pole trójkąta, aby to zrobić musimy użyć wzoru na jego pole:

P = ^{𝐴𝐸×ℎ}₂ P = ^{4 𝑐𝑚 ×6 𝑐𝑚}₂

(9)

9 P = ^{24 𝑐𝑚}₂

P = 12 cm²

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że pole trójkąta AED równe jest 12 cm².

Odp.: Pole trójkąta AED wynosi 12 cm². Zadanie 21 (6 otwarte)

Prostopadłościan o wymiarach – 16 cm × 24 cm × 2,5 cm W nim jest 32 czekoladki o wymiarach – 2 cm × 2 cm × 1,5 cm 2. Najpierw obliczamy objętość pudełka używając wzoru na objętość.

V1 = Pp × h

V1 = 16 cm × 24 cm × 2,5 cm V₁ = 384 cm × 2,5 cm = 960 cm³

3. Obliczając objętość jednej czekoladki musimy pomnożyć ją razy 32, aby dowiedzieć się jaką objętość mają wszystkie czekoladki, a następnie obliczyć jaki to procent z 960 cm³, czyli pudełka.

V₂ = 2 cm × 2 cm × 1,5 cm V₂=4 cm × 1,5 cm

V2 = 6 cm³

6 cm³× 32 = 192 cm³

100% = ₉₆₀¹⁹² × 100% = ¹₅ × 100% = ^100%₅ = 20%

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, jaki procent objętości pudełka stanowią czekoladki, czyli 20%.

Odp.: Czekoladki stanowią 20% objętości pudełka.

(10)

10

Arkusz 2020 rok

Zadanie 1 (1 zamknięte)

1. Analizuję polecenie zadania oraz przedstawione w nim dane.

2. Aby uzupełnić pierwsze zdanie musimy zsumować ilość km z poniedziałku i wtorku, a następnie obliczyć ile to 100% i obliczyć czy jest to więcej, czy mnie niż 50%.

26 km + 27 km = 53 km

100% = 26 km + 27 km + 21 km + 31 km = 53 km + 52 km = 105 km 100% – 105 km

50% – 52,5 km 53 km > 52,5 km Odp.: A

3. Aby obliczyć następną lukę, musimy obliczyć jaki ułamek stanowi 21 z 105.

21 𝑘𝑚 105 𝑘𝑚 = ¹₅ Odp.: D

1. Analizuję zadanie, a następnie obliczam wartość wyrażenia:

5

7 – ²₇ × (– ³₂)

– Najpierw wykonam mnożenie zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

5

7 – ²₇ × (– ³₂) = ⁵₇ – (– ₁₄⁶) = ⁵₇ + ₁₄⁶

– Później dodam pozostałe liczby do siebie, aby to zrobić muszę sprowadzić je do wspólnego mianownika (w tym przypadku do 14).

5

7 + ₁₄⁶ = ¹⁰₁₄ + ₁₄⁶ = ¹⁶₁₄ = 1₁₄² = 1 ¹₇ Odp.: D

Adam, Janusz, Oskar – 154 000 zł stosunek – 2:3:6 (2 + 3 + 6 = 11)

2. Aby dowiedzieć się jaką kwotę wpłacił Janusz muszę cenę, czyli 154 000 zł podzielić przez 11 (zsumowany stosunek).

154 000 zł ÷ 11 = 14 000 zł

(11)

11

3. Ponieważ Janusz wpłacił 3 części (Adam, Janusz, Oskar – 2:3:6) to muszę 14 000 zł pomnożyć razy 3.

14 000 zł × 3 = 42 000 zł Odp.: C

Zadanie 4(4 zamknięte)

S i W – 287 i 311

RW – podzielony na 5 równych części

2. Aby stwierdzić czy jest to fałsz, czy prawda muszę obliczyć jaką długość ma ST wykonam to najpierw odejmując od 311 liczbę 287:

311 = 287 = 24

punkty R i T różnią się o 24 Odp.: P

3. Aby stwierdzić, że R = 271 muszę od 287 odjąć 16:

287 – 16 =271 Odp.: P

l = 150 m (pociąg) d = 350 m (tunel) v = 20 ^𝑚_𝑠

2. Najpierw musimy obliczyć jaką trasę pokonał pociąg, aby to zrobić dodamy do siebie długość pociągu, jak i tunelu.

s = 150 m + 350 m = 500 m s = 500 m

3. Aby obliczyć czas z jakim pociąg przejechał przez tunel musimy przekształcić wzór na prędkość (v = ^𝑠_𝑡).

v = ^𝑠

𝑡

vt = s t = ^𝐬_𝐯

(12)

12

4. Jeżeli znamy już wszystkie dane pozostało nam je podstawić pod wzór i obliczyć czas:

t = ? t = ^𝑠_𝑣 s = 500 m t = ^{500 𝑚}₂₀𝑚

𝑠

v = 20 ^𝑚_𝑠 t = 25 s Odp.: C

1. Analizuję polecenie zadania, następnie obliczam wartość wyrażenia: √3 (√27 − √12). Najpierw √3 mnożę przez obie liczby w nawiasie, a potem obliczam resztę.

√3 (√27 − √12) = √81 − √36 = 9 − 6 = 3 Odp.: B

1. Aby dowiedzieć się która z podanych liczb nie jest równa 3¹⁵, musimy obliczyć wszystkie przykłady (zgodnie z zasadami działań na potęgach):

3 × 3¹⁴= 3^{1 + 14} = 3¹⁵ 3⁹ × 3⁶ = 3^{9 + 6} = 3¹⁵

3¹⁷ ÷ 9 = 3¹⁷÷ 3² = 3^{17 + 2} = 3¹⁵ (3⁵)³ = 3¹⁵

9¹⁵ ÷ 3 = (3²)¹⁵ ÷ 3 = 3^{30 – 1} = 3²⁹ Odp.: E

2. Aby dowiedzieć się ile zawodników uzyskało wynik wyższy od średniej arytmetycznej, musimy ją najpierw obliczyć, wiec sumujemy wszystkie wyniki i dzielimy przez liczbę zawodników, czyli 7:

202+198+208+206+202+205+200

7 = 400+414+607

7 = ¹⁴²¹

7 = 203

3. Jeżeli mamy wyliczoną średnią arytmetyczną, to wystarczy zliczyć zawodników, których wysokość skoku jest większa niż 203.

Zawodnik: 2, 4, 5 (czyli trzech zawodników).

Odp.: B

(13)

13 Zadanie 9 (9 zamknięte)

2. Aby dowiedzieć się, który rysunek przedstawia sklejona kostkę musimy przeanalizować siatkę sześcianu.

3. Jeżeli biały trójkąt byłaby na spodzie figury to:

– czarne koło umieszczone byłoby na górnej ścianie sześcianu

– czarny trójkąt byłby na lewej stronie sześcianu, a naprzeciwko niego byłby czarny kwadrat

– biały kwadrat umieszczony byłby na przedniej ścianie sześcianu, a białe koło na tylnej

Tylko rysunek C przedstawia takie ułożenie.

Odp.: C

2. Aby wybrać odpowiedź trzeba przekształcić wzór P = ^{(𝑥+𝑦)×ℎ}₂ . P = ^{(𝑥+𝑦)×ℎ}₂ /×2

2P = (x + y) × h /: h x + y = ^2𝑃_ℎ / – y x = ^2𝑃_ℎ – y Odp.: D

(14)

kąt ostry rombu ma miarę 60°

bok tego rombu ma długość równą 4 cm Odp.: P

2. Aby odpowiedzieć na 2 pytanie musimy znać wartość h jednego z trójkątów równobocznych, czyli jeżeli h =^𝑎²₂^√3 to h = ^{4 √3}₂ = 2√3. Następnie obliczamy pole ze wzoru P = ^𝑎

2 √3

4 i mnożymy razy dwa.

P = ^𝑎

2 √3

4 P = 4√3 ×2

P = ⁴

2 √3

4 P = 8√3

P = ^{16 √3}₄ = 4√3 Odp.: P

2. Aby uzupełnić pierwsze zdanie musimy zapoznać się z regułą przedstawioną w tabelce. Po zapoznaniu się z nią dostrzegamy, że długość łamanej jest kwadratem liczby naturalnej, która jest pomniejszona o 1.

I łamana = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 II łamana = 3² – 1 = 9 – 1 = 8 III łamana = 4² – 1 = 16 – 1 = 15 IV łamana = 5² – 1 = 25 – 1 = 24

Wzorując się na tym możemy stwierdzić, że 48 = 49 – 1 = 7² – 1.

(15)

15

Jeżeli IV łamana wynosi 5² – 1, to 72 – 1 jest VI łamaną.

Odp.: A

3. Wzorując się na wcześniejszych spostrzeżeniach dochodzimy do wniosku, że VIII łamana wynosi 9² – 1, czyli 81 – 1 = 80.

Odp.: B

2. Aby odpowiedzieć na pytanie musimy sprawdzić ile wynosi obniżka ceny łyżew w każdym ze sklepów. Obliczymy to zamieniając ułamki na procenty. Później porównamy ceny łyżew w poszczególnych sklepach, przez co dowiemy się, gdzie była najwyższa, a gdzie najniższa zniżka.

Sklep Alfa – ²₃ ceny = 66,6% (zniżka 33,3%) Sklep Beta – 70% (zniżka 30%)

Sklep Gamma – 75% (zniżka 25%)

3. Dowiadujemy się, że po obniżce cena łyżew była najniższa w sklepie Alfa.

Odp.: A

2. Żeby obliczyć obwód trójkąta ADC musimy znać jego wymiary. Aby to zrobić musimy obliczyć h ze wzoru h =^𝑎√3₂ .

h =^𝑎√3₂ h = ^10√3

2

h = 5√3

|𝐶𝐷|= 5√3

3. Wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę zawsze na dwie równe części, zatem odcinek DC jest równy połowie długości boku trójkąta, czyli 5

|𝐷𝐶| = 10 ÷2

|𝐷𝐶| = 5

4. Znając już wymiary tego trójkąta (h = 5√3, bok – 10, oraz podstawa – 5), możemy obliczyć obwód ze wzoru O = a + b + c

5√3 + 10 + 5 = 15 + 5√3 Odp.: D

(16)

1. Analizuję polecenie zadania oraz przedstawione w nim dane.

Dane:

|𝐾𝐿| =2y

|𝐿𝑀| = 2x

|𝐾𝑁| = k + 1

2. Aby obliczyć pole tego trójkąta należy skonstruować równanie na podstawie danych z zdania, a następnie podstawić pod wzór na pole trójkąta (P = ^{𝑎 ×ℎ}₂ )

P = ^{𝑎 ×ℎ}

2

P = ^{𝐿𝑀 ×𝐾𝑁}₂ P = ^{2𝑥 ×(𝑘+1)}₂ P = ^{2𝑥 ×(𝑘+1)}₂ P = x × (k + 1) Odp.: A

2. Po przeczytaniu treści zadania dowiadujemy się, że α = γ − β. Jeżeli teraz w tym równaniu obustronnie dodamy β, to wyjdzie nam, że α + β = γ. Wiemy, że suma miar kątów trójkąta wynosi 180⁰, więc α, β, γ również wynoszą 180⁰

α + β + γ = 180⁰

3. Jeżeli α + β = γ to możemy rozwiązać równanie, z którego dowiemy się ile wynosi γ.

Zrobimy to dodając do siebie α + β = γ oraz γ, co równa się 180⁰.

γ + γ = 180⁰ 2 γ = 180⁰ / ÷2 γ = 90⁰

4. Wykonując poprzednie kroki udowodniliśmy, że jeden z kątów tego trójkąta ma miarę 90°, czyli że jest to trójkąt prostokątny.

Odp.: Jest to trójkąt prostokątny.

(17)

2. Jeżeli Edyta chce siedzieć przy oknie to może zając dwa miejsca 45 oraz 46, a Agnieszka, która chce siedzieć przodem do kierunku jazdy to może zając 4 miejsca, czyli miejsce 42, 48, 44 oraz 46.

3. Jeżeli wiemy już które miejsca w pociągu Edyta i Agnieszka chcą zająć to uwzględnijmy ile jest możliwych kombinacji usadzenia dziewczyn.

– Gdy Edyta usiadłaby na miejscu 45 to Agnieszka musiałaby usiąść na miejscu 42, 48, 44, 46, a gdy Edyta usiadłaby na miejscu 46 to Agnieszka musiałaby usiąść na miejscu 42, 48, 44.

– W sumie jest 7 różnych kombinacji (45 oraz 42, 45 oraz 48, 45 oraz 44, 45 oraz 46, 46 oraz 42, 46 oraz 48, 46 oraz 44).

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że jest 7 rożnych kombinacji.

Odp.: Jest 7 rożnych kombinacji.

Wszystkie nagrody – x

Książki – ²₃ kupionych nagród, czyli ²₃x

E–booków było o 8 mniej niż książek, czyli e–booki = ²₃x – 8

2. Znając już wszystkie dane możemy zacząć konstruować równanie, w którym suma książek oraz e–booków równa jest liczbie wszystkich nagród, czyli x.

2 3x + (²

3x – 8) = x

2

3x + ²₃x – 8 = x

4

3x – 8 = x / – x

4

3x – x – 8 = 0 / +8

4

3x – x = 8

1

3x = 8 / ×3 x = 24

3. Jeżeli znamy już wartość x to możemy przystąpić do dalszej części zadania, czyli obliczyć jaka jest liczba książek, czyli ²₃x.

2

3x = ²₃ × 24 = ⁴⁸₃ = 16

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że liczba książek wynosiła 16.

Odp.: Kupiono 16 książek

(18)

pięć dni w tygodniu – od poniedziałku do piątku – po 7 godzin dziennie W ciągu każdej godziny pracy szyto średnio 3 poduszki

2. Na początku musimy obliczyć ilość dni niepracujących. Aby to zrobić trzeba wypisać te dni zaczynając od 1 marca.

1 marca – niedziela

8 marca – niedziela, 7 marca – sobota 15 – marca niedziela, 14 marca sobota 22 – marca niedziela, 21 marca sobota 29 – marca niedziela, 28 marca sobota Razem 9 dni wolnych od pracy.

3. Następnie musimy obliczyć ilość dni pracujących. Obliczymy to odejmując od 31 liczbę dni wolnych od pracy, czyli 9.

31 – 9 = 22

4. Ponieważ krawcowe pracują po 7 godzin dziennie liczbę dni musimy pomnożyć razy liczbę godzin, aby uzyskać liczbę godzin pracy. Następnie liczbę godzin pracy pomnożymy razy 3, czyli liczbę poduszek.

22 × 7 = 154 154 × 3 = 462

5. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że wszystkich uszytych poduszek jest 462.

Odp.: W marcu 2020 roku uszyto 462 poduszki.

Boisko – 46 m × 30 m 10 kg – 163 zł

Do obsiania 40 m² powierzchni jest potrzebny 1 kg nasion trawy

2. Najpierw obliczymy ile m² ma boisko szkolne wykorzystując do tego wzór na pole prostokąta, czyli P = a × b, a następnie wynik podzielimy przez 40 m^2,aby dowiedzieć się ile kg jest potrzebnych do obsiania boiska.

P = 46 m × 30 m P = 1380 m²

1380 m² ÷ 40 m² = 34,5

3. Jeżeli wiemy już ile kg nasion trawy jest nam potrzebne, to musimy obliczyć ile worków – 10 kg musimy kupić, z powodu, że są tylko worki 10 kg musimy kupić takich 4, czyli 163 zł (cena za worek) mnożymy razy 4.

4 × 163 zł = 652 zł

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że koszt zakupu nasion trawy potrzebnych do obsiania tego boiska wynosi 652 zł.

Odp.: Koszt zakupu nasion trawy wynosi 652 zł.

(19)

2. Aby obliczyć objętość tego ostrosłupa musimy poznać wartość naszego h. Naszą niewiadomą obliczymy za pomocą twierdzenia Pitagorasa. (Długość równą 13cm będzie mieć przeciwprostokątna tego górnego trójkąta prostokątnego, bo tylko wtedy siatka da się złożyć w ostrosłup)

(5 cm⁵) + H² = (13 cm)² 25 cm + H² = 169 cm H² = 169 cm – 25 cm H² = 144 / √

H = √144 H = 12 cm

3. Jeżeli znamy wartość H – 12 cm, to możemy obliczyć objętość ostrosłupa korzystając ze wzoru V = ¹₃P_p × h, ale najpierw musimy obliczyć nasze pole podstawy, czyli kwadratu.

Pp = 5 cm × 5 cm P_p = 25 cm² V = ¹₃Pp × h V = ¹₃25 × 12

(20)

20 V = ³⁰⁰₃

V = 100 cm³

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że objętość tego ostrosłupa wynosi 100 cm³.

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 100 cm³.

Arkusz 2021 rok

2. Aby stwierdzić, że pierwsze zdanie jest prawdziwe czy fałszywe musimy obliczyć jaką część ze wszystkich medali stanowią złote medale. Najpierw dodamy do siebie wszystkie medale, a następnie odejmiemy od nich wszystkie złote.

Wszystkie medale: 3 + 2 + 5 + 4 + 5 + 2 + 3 + 1 + 7 + 2 + 3 + 6 = 43 Złote medale: 3 + 4 + 3 + 2 = 12

Złote medale stanowią ¹²₄₃ czyli mniej niż ¹

3, dlatego pierwsze zdanie jest fałszywe.

Odp.: Fałsz

3. Jeżeli na igrzyskach w 2004, 2008, 2012 oraz 2016 roku sportowcy zdobywali po 12 złotych medali to średnia zdobytych złotych medali jest równa:

12 4 = 3 Odp.: Prawda

2. Aby dowiedzieć się która z tych liczb jest największa musimy najpierw obliczyć wszystkie wyrażenia arytmetyczne, a następnie je porównać do siebie i wybrać największą z nich.

𝑥 = – 62,5 + 30 = – 32,5 𝑦 = – 14,4 – 12,6 = – 27 𝑡 = – 12 ∶ 0,3 = – 40 𝑢 = – 8,02 ∙ 6 = – 48, 12 Odp.: B, czyli 𝑦

(21)

2. Aby uzupełnić pierwsze zdanie musimy wykonać obliczenie: ³

7 + ³

5, aby to zrobić musimy sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika, którym w tym przypadku jest 35.

3 7 + ³

5 = ¹⁵

35 + ²¹

35 = ³⁶

35 = 1 ¹

35

W taki sposób dowiadujemy się, że wartość wyrażenia ³₇ + ³₅ jest większa od 1, czyli poprawną odpowiedzią jest odpowiedź B

Odp.: B

3. Aby uzupełnić drugie zdanie musimy wykonać obliczenie: ³₇ – ³₅, aby to zrobić musimy również sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika.

3 7 – ³

5 = ¹⁵

35 – ²¹

35 = – ⁶

35

W taki sposób dowiadujemy się, że wartość wyrażenia ³₇ – ³₅ jest liczba ujemną, czyli poprawną odpowiedzią jest odpowiedź C.

Odp.: C

2. Aby wybrać właściwą odpowiedź spośród podanych musimy zapoznać się z regułą działania na potęgach:

3. Jeżeli przeanalizowaliśmy powyższy przykład, to wystarczy tylko przedstawić liczbę (60 000 000)³ zgodnie z wcześniejszą regułą i wykonać obliczenia.

(60 000 000)³ = (6 × 10 000 000)³ = (6 × 10⁷)³ = 6³ × 10²¹ Odp.: A, czyli 6³ × 10²¹

2. Najpierw musimy przeanalizować treść zadania, wtedy dostrzegamy, że pomnożenie liczby podzielnej 5, przez dowolną liczbę parzystą, da liczbę podzielną przez 10.

Również możemy wywnioskować, że mając zestaw pięciu kolejnych liczb całkowitych wśród nich będzie przynajmniej jedna liczba podzielna przez 5 i co najmniej jedna liczba parzysta, a to sprawi, że iloczyn tych liczb będzie podzielny przez 10, niezależnie od pozostałych liczb. Przykładowy zestaw takich liczb:

16 × 17 × 18 × 19 × 20 = 19 × 20 × 16 × 17 × 18 = 380 × 16 × 17 × 18 Liczba 380 jest podzielna przez 10, więc i cały iloczyn będzie podzielny przez 10.

Odp.: Tak, 3

(22)

22

2. Jeżeli kwota do obliczenia podatku jest mniejsza od 85 528 zł to mnożymy tę kwotę przez 18%, czyli 0,18, a następnie odejmujemy od tego kwotę 556,02zł.

0,18 × 84 500 zł – 556,02 zł Odp.: A

3. Jeżeli kwota do obliczenia podatku jest większa od 85528zł, to nadwyżkę mnożymy przez 32% i dodajemy do tego kwotę 14839,02 zł. U Pani Zofii nadwyżka będzie równa 97300 – 85528.

14 839,02 zł + 0,32 × (97 300 zł − 85 528 zł) Odp.: D

2. Aby wybrać właściwą odpowiedź musimy najpierw wykonać obliczenie: −√10 + 5, ale aby to zrobić trzeba oszacować wartość pierwiastka −√ 10 , a następnie dodać liczbę 5, żeby wykonać obliczenie.

−√10 ≈ (– 3,15) – 3 ,15 + 5 = 2,15

Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że otrzymany wynik jest liczbą większą od 1.

Odp.: A (większa od jeden) Zadanie 8 (8 zamknięte)

2. Jeżeli a = 2n + 1, to liczba a zawsze będzie nieparzysta, ponieważ liczby parzyste zawsze zapisujemy jako 2n, a nieparzyste jako 2 n +1.

Odp.: B

3. Liczba b jest równa 2n (n+1) = 2n²+2n, a liczba c jest równa 2n² +2n+1. Więc te dwie liczby różnią się o 1.

Odp.: C

(23)

2. Jeżeli najmniejszą ze wszystkich liczb jest a i równa się 9 to musimy podstawić pod a liczbę 9, a następnie obliczyć ile wynosi n.

2n + 1 = 9 / – 1 2n = 8 /÷2 n = 4

3. Jeżeli znamy już wartość n (4) to możemy przystąpić do dalszej części zdania, czyli n (4) podstawić pod wzór c = 2n² + 2n + 1.

c = 2n² + 2n + 1 c = 2 × 4² + 2 × 4 + 1 c = 2 × 16 + 8 +1 c = 32 + 9

c = 41 Odp.: A

3 zeszyty – 15 zł (1 zeszyt – 5 zł)

2. Jeżeli średnia arytmetyczna cen czterech zakupionych artykułów była równa 6zł, to, aby obliczyć ile kosztowały zakupy musimy pomnożyć 6 zł razy ilość zakupów (czyli 4):

6 zł × 4 = 24 zł

Zakupy kosztowały 24 zł

3. Jeżeli wiemy już ile kosztowały całe zakupy, to wystarczy odjąć od nich cenę trzech zeszytów, czyli 15 zł. Wtedy dowiemy się ile kosztował blok rysunkowy:

24 zł – 15 zł = 9 zł Odp.: D

2. Aby dowiedzieć się ile wygrywających losów przygotowano wystarczy 150 podzielić na 6, ponieważ co szósty był wygrywający.

150 ÷ 6 = 25 Odp.: B

3. Aby dowiedzieć się ile wynosi prawdopodobieństwo tego, że będzie to los wygrywający musimy od 150 odjąć 30 (wyciągnięte losy, a nie były one wygrywające), a następnie stworzyć odpowiedni ułamek.

150 – 30 = 120 P(A)= ₁₂₀²⁵

Odp.: C

(24)

2. Aby łatwiej móc wykonać to zadanie proponuję nadać nazwę miejscu przecięcia się wysokości. Załóżmy, że jest to punkt F.

3. Aby obliczyć miarę kąta α musimy najpierw obliczyć miarę kąta AFD, żeby to zrobić od 180° odejmiemy 138°.

180° – 138° = 42°

4. Jeżeli znamy już miary kątów AFD i ADS (ma 90°, ponieważ jest to kąt prosty) to wystarczy te dwa kąty odjąć od 180°.

180° – 90° – 42° = 48°

Odp.: D

2. Jeżeli Iwona chce podzielić listewkę co 5 cm to przecięcia byłby w tych miejscach:

5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm, 30 cm, 35 cm, 40 cm, 45 cm

3. Jednak, jeżeli Agata chce podzielić listewkę co 2cm, więc jej linie byłyby w miejscach, gdzie liczba centymetrów jest parzysta, czyli:

2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm, 14 cm, 16 cm, 18 cm, 20 cm, 22 cm, 24 cm, 26 cm, 28 cm, 30 cm, 32 cm, 34 cm, 36 cm, 38 cm, 40 cm, 42 cm, 44 cm, 46 cm, 48 cm 4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że cięcia dziewczyn pokryją się w

odległościach, które się powtarzają, czyli 10 cm, 20 cm, 30 cm, 40 cm. Razem w 4 miejscach.

Odp.: B

(25)

2. Aby dowiedzieć się ile m³ piasku wsypano do skrzyni musimy najpierw obliczyć objętość tej skrzyni, a następnie ile to ³₄ tej objętości.

V = Pp × h

V = 1,5 m × 1,2 m × 1 m V = 1,8 m × 1 m

V = 1,8 m³

1,8 m³ × ³₄ = ^{5,4 𝑚}₄ = 1,35 m³

3. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że do skrzyni wsypano 1,35 m³ piasku.

Odp.: C

2. Na początku musimy pole powierzchni 80 cm² podzielić przez ilość ścian, czyli 5.

80 cm² ÷ 5 = 16 cm

3. Jeżeli otrzymana bryła ma pole powierzchni równe polu ośmiu ścian bocznych to wystarczy 16 cm pomnożyć razy ilość tych ścian.

Pc = 16 cm × 8 Pc = 128 cm²

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że pole całkowite tej bryły wynosi 128 cm².

Odp.: B

Brat dostanie – ¹

2 czekolady Siostra dostanie – ₁₂⁵ czekolady Paweł dostanie – ¹₆ czekolady

2. Aby odpowiedzieć na patynie, czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy musimy najpierw te wszystkie części do siebie dodać. Żeby je do siebie dodać musimy najpierw sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, w tym przypadku będzie to liczba 12.

1 2 + ⁵

12 + ¹

6 = ⁶

12 + ⁵

12 + ²

12 = ¹³

12 = 1¹

12

3. Po wykonaniu obliczenia dowiadujemy się, że taki podział czekolady jest niemożliwy, ponieważ zabrakłoby czekolady.

Odp.: Taki podział tabliczki czekolady nie jest możliwy, ponieważ jeżeli Paweł podzieliłby czekoladę w taki sposób w jaki zamierzał czekolady by zabrakło.

(26)

prędkość jazdy Adama była równa 25 ^𝑘𝑚_ℎ

Adam umówił się z Bartkiem w Żabnie na godzinę 18:00 wyjechał z Bocianowa na skuterze o godzinie 17:20

2. Aby wiedzieć jaką drogę pokonał Adam musimy obliczyć odcinek Stawisko – Bajorko z twierdzenia Pitagorasa.

x² = 3² + 4² x² = 9 + 16 x² = 25 x = 25 /√

x = √25 x = 5

3. Jeżeli wiemy już ile km ma odcinek Stawisko – Bajorko, to możemy obliczyć całą drogę sumując wszystkie km.

3 km + 5 km + 7 km = 15 km

(27)

27

4. Jeżeli znamy już drogę to musimy przekształcić wzór na prędkość, aby dowiedzieć się ile czasu będzie jechał. Następnie podstawiamy dane pod wzór na czas.

v = ^𝑠_𝑡 vt = s t = _𝑣^𝑠 t = _𝑣^𝑠 t = ^{15 𝑘𝑚}

25 ^𝑘𝑚_ℎ

t = 0,6 h

5. Następnie musimy zmienić h na minuty, godzina ma 60 minut więc:

t = 0,6 × 60 min = 36 minut

6. Jeżeli wiemy już ile minut Adam jechał (36 min), to wystarczy dodać ten czas do godziny o której wyjechał, czyli do 17:20.

17:20 + 36 min = 17:56

7. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem o godzinie 17:56.

Odp.: Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem o godzinie 17:56.

2. Po krótkiej analizie możemy dowiedzieć się, że:

10x – 11 zł (na 10 puszek zabrakło Ani 11 złotych) 6x + 3,40 zł (6 puszek i zostało jej 3,40 zł)

3. Jeżeli mamy już zapisane te zależności, to możemy stworzyć z nich równanie z jedną niewiadomą, a następnie obliczyć wartość x.

10x – 11 zł = 6x + 3,40 zł 10x – 6x = 3,40 zł + 11 zł 4x = 14,40 zł /÷4

x = 3,60 zł

4. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że jedna puszka karmy kosztuje 3,60 zł.

Odp.: Jedna puszka karmy kosztuje 3,60 zł.

prostokąt ABCD o wymiarach 12 cm i 16 cm odcinek AC jest przekątną tego prostokąta odcinek DS jest wysokością trójkąta ACD

(28)

28

2. Najpierw obliczymy jaką długość ma przekątna tego prostokąta korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

|𝐴𝐶|² = 122 + 16²

|𝐴𝐶|² = 144 + 256

|𝐴𝐶|² = 400 /√

|𝐴𝐶|² = √400

|𝐴𝐶|² = 20

3. Jeżeli znamy długość przekątnej to możemy przejść do dalszej części zadania, czyli obliczenia pola powierzchni tego prostokąta, a następnie podzielimy to pole na dwie części, aby poznać pole trójkątów.

P = 12 cm × 16 cm P = 192 cm²

P_ACD = 192 cm² ÷ 2 P_ACD = 96 cm²

Trójkąt ACD – 96 cm²

4. Jeżeli Odcinek DS jest wysokością trójkąta ACD, którego podstawa ma długość 20 cm i którego pole jest równe 96cm. Więc korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:

P = ¹₂ah

96 cm² = ¹₂ × 20 cm × h 96 cm² = 10 cm × h h = 9,6 cm

5. Wykonując poprzednie kroki dowiadujemy się, że odcinek DC ma długość 9,6 cm.

Odp.: Odcinek DS ma długość 9,6 cm.

MATEMATYKA NA EGZAMINIE KLAS ÓSMYCH

Otyń 2021

MATEMATYKA

NA EGZAMINIE KLAS ÓSMYCH

Arkusze zadań dostępne na stronie OKE Poznań https://www.oke.poznan.pl/cms,5264,arkusze.htm Wykorzystano grafikę z arkuszy egzaminacyjnych.

Opracowała: Magdalena Ważna

Opiekun dydaktyczny: Ewa Prymakowska

Arkusz 2019 rok zadania otwarte

Arkusz próbny 2020 rok zadania otwarte

Arkusz 2020 rok

Arkusz 2021 rok

Drogi kolego, droga koleżanko dziękuję za skorzystanie z tej pracy.

Mam nadzieję że była ona dla Ciebie pomocna.

Magda