MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 309-316, Gliwice 2006
EKSPERYMENTALNA IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODALNYCH NIESTACJONARNYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH
Z ZASTOSOWANIEM EKSPLOATACYJNEJ ANALIZY MODALNEJ
JACEK KROMULSKI
TADEUSZ PAWŁOWSKI
JAN SZCZEPANIAK
Przemysłowy Instytut Maszyn Rolniczych, Poznań
Streszczenie. Eksploatacyjna analiza modalna pozwala na identyfikację parametrów modalnych układu tylko na podstawie pomiaru jego odpowiedzi eksploatacyjnych. Bazuje ona na założeniu, że wymuszenie układu podczas pracy ma charakter przypadkowy. W wielu przypadkach, szczególnie podczas pracy układu, mierzony sygnał odpowiedzi układu może być niestacjonarny (zmienny w czasie). W artykule przedstawiono możliwości zastosowania eksploatacyjnej analizy modalnej do identyfikacji parametrów modalnych układu mechanicznego wymuszanego różnymi niestacjonarnymi sygnałami:
-poziom siły wymuszającej jest zmienny w czasie pomiaru,
-wymuszenie ma charakter harmoniczny i zależy od prędkości obrotowej maszyny ( zmiennej w czasie pomiarów).
Metoda została zastosowana do identyfikacji parametrów modalnych rzeczywistego układu mechanicznego – maszyny wiatrowej.
1. WSTĘP
W klasycznej analizie modalnej zadawane jest wymuszenie w czasie sterowanego eksperymentu. Na podstawie zmierzonych sygnałów wymuszających oraz odpowiedzi układu na wymuszenie wyznacza się model funkcjonalny w postaci charakterystyk czasowych lub częstotliwościowych i na ich podstawie dokonuje się estymacji parametrów modalnych.
Wyznaczane w warunkach laboratoryjnych własności układu mogą jednak odbiegać od własności charakteryzujących układ w warunkach eksploatacyjnych. Jest to spowodowane zmianą warunków brzegowych układu (np. w wyniku kontaktu maszyny z medium roboczym lub glebą). Charakterystyki dynamiczne układów o ciągłym rozkładzie parametrów fizycznych charakteryzują się dużą wrażliwością na zmiany warunków brzegowych.
Zmiany warunków brzegowych układu traktować można jako lokalne zmiany parametrów fizycznych układu. Charakterystyki dynamiczne maszyny są funkcją parametrów fizycznych (masa, sztywność, tłumienie). Każda zmiana parametrów fizycznych układu powoduje zmianę charakterystyk częstotliwościowych układu (opisanych przez funkcję transmitancji widmowej).
Wymienione wyżej niedoskonałości klasycznej analizy modalnej mogą być zminimalizowane poprzez zastosowanie eksploatacyjnej analizy modalnej realizowanej na podstawie pomiarów przeprowadzonych podczas eksploatacji.
Eksploatacyjna analiza modalna w porównaniu z metodą klasyczną ma wiele zalet. Do najważniejszych z nich należą [6,7]:
- zidentyfikowany model lepiej modeluje rzeczywistą konstrukcję, gdyż uwzględnia eksploatacyjne warunki brzegowe i wymuszenia eksploatacyjne,
- daje dobre przybliżenie dla układów nieliniowych,
- umożliwia analizę konstrukcji, dla których test laboratoryjny jest niemożliwy lub trudny do zrealizowania (np. dla konstrukcji o dużej masie),
- daje mniejsze koszty przeprowadzenia eksperymentu identyfikacyjnego.
2. ALGORYTMY IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW MODALNYCH METODAMI EKSPLOATACYJNEJ ANALIZY MODALNEJ
Metody identyfikacji parametrów modalnych oparte na pomiarach odpowiedzi eksploatacyjnych można podzielić na metody realizowane w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Bazują one na założeniu, że wymuszenie układu podczas pracy ma charakter przypadkowy.
Do najczęściej stosowanych algorytmów realizowanych w dziedzinie czasu należą [5,7,9]:
- metody BR (ang. Balanced Realization), CVA (ang. Canonical Variate Analysis), SSI (ang. Stochastic Subspace Identication) realizowane w podprzestrzeni stochastycznej, - metody realizowane na bazie korelacji własnej i wzajemnej sygnałów, np. oparte na
aproksymacji przebiegu korelacji sumą zanikających wykładniczo funkcji harmonicznych LSCE (ang. Least Square Complex Exponentional) lub metodzie Ibrahim Time Domain (ITD),
W dziedzinie częstotliwości najczęściej stosuje się [5,9]:
- metodę PP (Peak-Picking) opartą na analizie maksimów w widmach wzajemnych lub własnych odpowiedzi układu na wymuszenie,
- metodę CMIF (Complex Mode Indication Function) opartą na analizie wartości szczególnych macierzy wzajemnych widm mocy odpowiedzi,
- metody realizowane na bazie transmitancji eksploatacyjnej (np. metoda PolyMax Polyreference Least-Squares Complex Frequency-Domain lub metoda Maximum Likelihood ),
W wielu przypadkach, szczególnie podczas pracy układu, mierzony sygnał odpowiedzi układu może być niestacjonarny (zmienny w czasie). W ostatnim okresie opracowane zostały algorytmy identyfikacji parametrów modalnych metodami eksploatacyjnej analizy modalnej dla przypadków, gdy wymuszenie jest złożeniem wymuszenia przypadkowego i składowych harmonicznych [5]. Są to zmodyfikowane metody realizowane w dziedzinie czasu wymagające znajomości częstotliwości harmonicznych a priori:
- zmodyfikowana metoda Least Squares Complex Exponential (LSCE) – metoda oparta na aproksymacji przebiegu korelacji sumą zanikających wykładniczo funkcji harmonicznych,
- zmodyfikowana metoda Ibrahim Time Domain (ITD) oparta na analizie korelacji, - zmodyfikowana metoda ERA.
3. ZASTOSOWANIE EKSPLOATACYJNEJ ANALIZY MODALNEJ DO WYZNACZENIA CZĘSTOTLIWOŚCI MODALNYCH MASZYNY WIATROWEJ Obiektem badań jest stacjonarna maszyna wiatrowa napędzana silnikiem spalinowym z wolnoobrotowym wentylatorem umieszczonym na wieży. Maszyna wiatrowa stosowana jest do ochrony upraw ogrodniczych przed przymrozkami. W trakcie pracy maszyny:
- poziom siły wymuszającej jest zmienny w czasie (zależny od prędkości wiatru i położenia śmigła względem kierunku wiatru),
- wymuszenie ma charakter harmoniczny i zależy od prędkości obrotowej maszyny (zmiennej w czasie pracy).
Podczas rozmieszczenia czujników przyspieszeń wzięto pod uwagę przede wszystkim wyniki obliczeń dynamicznych konstrukcji nośnej maszyny wiatrowej. Położenie czujników pokrywa cię z miejscami największych przemieszczeń konstrukcji dla pierwszych sześciu postaci drgań własnych słupa, które pokazano na rysunku poniżej.
Rys.1. Analiza dynamiczna MES konstrukcji słupa punkty największych przemieszczeń Schemat rozmieszczenia punktów pomiarowych pokazano na rysunku 2.
Rys.2. Rozmieszczenie czujników pomiarowych na konstrukcji maszyny wiatrowej
Podczas badań rejestrowano sygnały pomiarowe w takcie pracy maszyny wiatrowej.
Pomiary obejmowały przebiegi rejestrowane w czasie:
- rozruchu i zatrzymania maszyny,
- w ustalonych warunkach pracy, to jest przy ustabilizowanej prędkości śmigła 540 obr/min (czas pomiaru obejmował kilka cykli obrotu głowicy wokół osi słupa).
Wyznaczono widma gęstości mocy przyspieszeń drgań mechanicznych w węzłowych punktach maszyny. Do wyznaczenia estymat widmowych zastosowano krótkoczasową transformatę Fouriera (STFT - Short Time Fourier Transform).
STFT można zdefiniować jako transformatę Fouriera wykonywaną dla określonego okna czasowego (widmowego) o zmiennej w czasie pozycji okna:
S tb( ) =
∫
s t g t( ) ∗( −b e) −j2πf t b( − )dt = s g, b f, (1) przy czym gb f, ( )t = g t( −b e) j2πf t b( − )gdzie s(t) - jest sygnałem, b - parametrem czasu, f -parametrem częstotliwości.
Na rysunku 3 zamieszczono przykładowe trójwymiarowe (amplituda, czas, częstotliwość) widmo STFT (widmo własne gęstości mocy przyspieszeń drgań mechanicznych) wyznaczone w warunkach eksploatacyjnych dla maszyny wiatrowej (końcowa faza rozruchu - stan ustalony).
Rys 3. Przykładowe widmo STFT własne gęstości mocy przyspieszeń drgań mechanicznych wyznaczone dla końcowej fazy rozruchu i stanu ustalonego
maszyny wiatrowej (punkt C4 kierunek „x”)
W analizowanych widmach gęstości mocy odpowiedzi eksploatacyjnych występują maksima. Mogą one pochodzić od wymuszeń harmonicznych (częstotliwości eksploatacyjne) lub stochastycznych (częstotliwości własne układu). Oceny, czy maksima w widmach
odpowiedzi pochodzą od wymuszeń harmonicznych lub stochastycznych, można dokonać na podstawie analizy własności statystycznych sygnałów odpowiedzi.
Gęstość prawdopodobieństwa odpowiedzi na wymuszenie statystyczne charakteryzuje się rozkładem podobnym do rozkładu Gaussa. Gęstość prawdopodobieństwa odpowiedzi na wymuszenie harmoniczne posiada rozkład z dwoma maksimami. Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa można wyznaczyć po dokonaniu separacji sygnałów z zastosowaniem filtracji cyfrowej. Badanie rozkładu gęstości prawdopodobieństwa może być wskaźnikiem identyfikującym częstotliwości modalne układu [3].
Częstotliwości rezonansowe (własne) układu można określić na podstawie analizy funkcji koherencji między sygnałami odpowiedzi eksploatacyjnych. Funkcja koherencji między dwoma jednocześnie rejestrowanymi sygnałami odpowiedzi eksploatacyjnych przyjmuje wysokie wartości (≈1) dla częstotliwości własnych układu [2].
Rys.4. Przykładowa funkcja koherencji między sygnałami rejestrowanymi w czasie pracy maszyny (w punktach pomiarowych C3”x” i C4„x” )
Analizowano wartości współczynnika koherencji dla poszczególnych składowych dominujących w widmie przyspieszeń drgań. Najwyższe wartości współczynnika koherencji występują dla częstotliwości 2,05 Hz (wsp. koherencji = 0,99) oraz 14,7 Hz (wsp. koherencji
= 0,97). Na podstawie analizy funkcji koherencji można stwierdzić, że częstotliwości 2,05 oraz 14,7 Hz mogą być częstotliwościami modalnymi układu.
Dla częstotliwości związanych z wymuszeniami harmonicznymi (9 Hz i harmoniczne) współczynnik koherencji jest mniejszy niż 0,5.
Wyznaczono funkcje transmitancji widmowej Tij(ω); Tij(ω) jest zespoloną funkcją transmitancji widmowej typu przyśpieszenie/przyśpieszenie.
Można ją zapisać jako:
∑
=
∑
=
k
k jk k
k ik
j i
ij H F
F H X
T X
) ( ) (
) ( ) ( )
( ) ) (
( ω ω
ω ω ω
ω ω (2)
Wielkość Tij( )ω jest stosunkiem widm fourierowskich przyspieszeń drgań mechanicznych wyznaczonych w punktach pomiarowych („i” i „j”), wzbudzanych w wyniku działania sił wymuszających Fk( )ω w eksploatacyjnych warunkach pracy maszyny
Rys.5. Przykładowa funkcja transmitancji eksploatacyjnej TC3X,C4X(ω wyznaczona ) w czasie pracy maszyny
W transmitancjach eksploatacyjnych największe uwielokrotnienia występują dla częstotliwości około 2,1 Hz oraz 14-16 Hz.
Estymacja parametrów modalnych układu może być realizowana przez algorytm oparty na analizie wskaźnika identyfikacji częstotliwości modalnych układu CMIF (Complex Mode Indication Function). W eksperymentalnej analizie modalnej wskaźnik CMIF wyznacza się z rozkładu na wartości własne µ (lub szczególne σ) macierzy funkcji odpowiedzi częstotliwościowych układu (FRF) [1,6]:
H
H H j V j j V j
j
H( )] [ ( )] [ ( )][ ( )][ ( )]
[ ω ω = ω Σ2 ω ω (3)
) ( ) ( )
(jω µ jω σ2 jω
CMIFk = k = k (4)
gdzie: Σ macierz diagonalna zawierająca wartości szczególne
W eksploatacyjnej analizie modalnej wskaźnik CMIF można wyznaczyć z analizy rozkładu na wartości szczególne macierzy G wzajemnych gęstości widmowych mocy sygnałów odpowiedzi eksploatacyjnych:
j H
V j j
V j
G( )] [ ( )][ ( )][ ( )]
[ ω = ω Σ2 ω ω (5)
Rys.4. Przykładowy wskaźnik CMIF wyznaczony dla przebiegu zawierającego rozruch, stan ustalony i wybieg maszyny
Wskaźnik CMIF przyjmuje najwyższe wartości dla częstotliwości modalnych układu. W przypadku, gdy układ posiada podwójne częstotliwości własne występują dla tych częstotliwości dwie dominujące wartości szczególne.
Na podstawie analizy wskaźnika CMIF można stwierdzić, że największe wartości występują dla częstotliwości 2,05 i 14,7 Hz (częstotliwości modalne) oraz dla częstotliwości 9 Hz i harmonicznych (składowe związane z wymuszeniami pochodzącymi od pracujących mechanizmów maszyny).
4. WNIOSKI
1. Istnieje potrzeba doskonalenia metod identyfikacji parametrów modalnych na podstawie analizy odpowiedzi wyznaczanych podczas pracy maszyny (metoda eksploatacyjnej analizy modalnej).
2. W widmach eksploatacyjnych wyróżnić można częstotliwości związane z pracą mechanizmów oraz związane z własnościami struktury (modalne). Oceny, czy są to częstotliwości modalne lub pochodzące od wymuszeń harmonicznych można dokonać na podstawie badania rozkładu gęstości prawdopodobieństwa sygnałów odpowiedzi lub poprzez analizę funkcji koherencji.
LITERATURA
1. Allemang R. J., Brown D. L., A unified matrix polynomial approach to modal identification, Journal of Sound and Vibration (1998) 211(3), 301-322
2. Bendat J.S. Piersol, A.G. Engineering applications of correlation and spectral analysis , John Wiley & Sons, New York, NY, USA, 1993.
3. Brincker R., Andersen P., Mřller N.. An indicator for separation of structural and harmonic modes in output-only modal testing, Proceedings of The 18th International Modal Analysis Conference (IMAC) San Antonio, Texas, 2000.
4. Hermans L., Van der Auweraer H., Modal testing and analysis of structures under operational conditions: Industrial applications, Materiały firmy LMS International, Leuven, Belgium.
5. Mohanty, P. Operational modal analysis in the presence of harmonic excitations, delft dissertations, Technische Universiteit Delft, 2005
6. Shih C. Y. Tsuei Y. G. Allemang R. J. Brown D. L., Complex mode indication function and its applicationsto spatial domain parameter estimation, Proceedings of The International Modal Analysis Conference (IMAC VII), 1989
7. Uhl T., Lisowski W., 1999, Eksploatacyjna analiza modalna i jej zastosowania, AGH, Kraków.
8. Uhl T., Kurowski P., VIOMA – User’s Guide, AGH, Kraków, 2000.
9. Uhl T., 1997, Komputerowo wspomagana identyfikacja modeli konstrukcji mechanicznych, WNT, Warszawa
EXPERIMENTAL IDENTIFICATION OF MODAL PARAMETERS OF NONSTACJONARY MECHANICAL SYSTEMS ON THE BASIS
OF OPERATIONAL MODAL ANALYSIS TECHNIQUES Summary. Operational Modal Analysis (OMA) is a technique for identification of modal parameters by measurement of only the system’s response. It is based on the assumption that the non-measured excitation to the system in operation must a stochastic white noise. In many cases, especially in operational condition, the measurement signals of response may be nonstationary (time varying). This paper presents possibility of application OMA for identification of modal parameters of mechanical system excited with different types of nonstationary signals: excitation force levels change during the measurement time period; the excitation are harmonic and are related to a rotational speed in the machine (which changes during the measurement time period). The methods were used to identify modal parameter of a real mechanical system – wind machine.
