Egzamin ze wste

Egzamin ze wste

pu do matematyki { cze

sc 1.

30 stycznia 2007 r.

Zadanie 1.

Okreslamy relacje^,rownowa_znosci ^ w zbiorze ^P(^Z) wszystkich podzbiorow zbioru liczb ca lkowitych^Zw naste^,puja^,cy sposob:

A^B ^, f[A] =f[B] dla A;B^Z; gdzief :^{Z ?! N} jest funkcja^,dana^,wzoremf(k) =k².

(Uwaga: f[X] oznacza obraz zbioruX wzgle^,dem funkcjif).

(a) Wypisz wszystkie elementy klasy abstrakcji zbioru^f?2;^?1;0;2^g. Udowodnij, _ze klasa abstrakcji ka_zdego skonczonego niepustego zbioruA^Zjest skonczona^,rodzina^,zbiorow skonczonych.

(b) Znajdz moc klasy abstrakcji zbioru wszystkich liczb naturalnych.

(c) Udowodnij, _ze zbior wszystkich klas abstrakcji relacji^ma moc continuum.

Zadanie 2.

Niech^{lek s} be^,dzie porza^,dkiem leksykogracznym, wyznaczonym przez zwyk le porza^,dki^w^Q i^N, tzn.

hp;n^{i lek s h}q;m^{i , ?}p < q ^_ (p=q ^{^} n^m)
:

(a) Wska_z podzbioryA; B^QN takie, _ze^hA;^{lek si}jest porza^,dkowo izomorczny z^hQ;^i, a^hB;^{lek si} jest porza^,dkowo izomorczny z^hN;^i.

Dla danego zbioru liniowo uporza^,dkowanego^hX;^i przedzia lem otwartym o koncach a; b ² X nazwijmy zbior postaci^fx²X : ax ^{^} xb^g.

(b) Udowodnij, _ze _zaden zbiorA o w lasnosci z punktu (a) nie jest przedzia lem otwartym w zbiorze liniowo uporza^,dkowanym^hQN;^{lek si}(o koncach w zbiorze^QN).

(c) Udowodnij, _ze _zaden zbiorB o w lasnosci z punktu (a) nie jest przedzia lem otwartym w zbiorze liniowo uporza^,dkowanym^hQN;^{lek si}(o koncach w zbiorze^QN).

Przypominamy o koniecznosci podawania starannych i kompletnych uzasadnien!

Bardzo prosimy o napisanie rozwia^,zania ka_zdego zadania na

oddzielnej

czytelnie

_Zyczymy powodzenia!