Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21 4. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n oraz każdych liczb rzeczywistych dodat- nich a

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21

4. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n oraz każdych liczb rzeczywistych dodat- nich a₁,a₂,...,a_n zachodzi nierówność

√n

a1a2...an¬a₁+ a2+ ... + an

n .

Wybrane rachunki:

T (n) ⇒ T (2n)

2n√

a₁a₂...a_2n=^q√ⁿ

a₁a₂...a_n·√ⁿ

a_n+1a_n+2...a_2n¬

¬

sa₁+ a₂+ ... + a_n

n ·a_n+1+ a_n+2+ ... + a_2n

n ¬

¬

a1+a2+...+an

n +^an+1+an+2_n^+...+a2n

2 =a₁+ a₂+ ... + a_2n

2n .

T (n) ⇒ T (n − 1)

a_n= ⁿ⁻¹√

a₁a₂...a_n−1

√n

a1a2...an=^qna1a2...an−1· ⁿ⁻¹√

a1a2...an−1=

= (a₁a₂...a_n−1)^1n+n(n−1)1 = (a₁a₂...a_n−1)ⁿ⁻¹¹ = ⁿ⁻¹√

a₁a₂...a_n−1

an= ⁿ⁻¹√

a1a2...an−1= √ⁿ

a1a2...an¬a₁+ a₂+ ... + a_n n

a_n¬a₁+ a₂+ ... + an

n n − 1

n · a_n¬a₁+ a₂+ ... + a_n−1 n

an¬a₁+ a2+ ... + an−1

n − 1

n−1√

a₁a₂...a_n−1¬a₁+ a₂+ ... + an−1

n − 1

AG - 1 - 6.10.2020