Wykład III

(1)

Wykład III

Granice funkcji

f : R∋A →R

_, A− _przedział

x

₀

∈ A

_,

f −

określona w

Sx₀=(x₀−δ , x¿ ₀+δ){x₀

¿ ¿ ¿

Definicja 3.1 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji)

|x−x ₀ |¿ δ ⇒|f ( x)−g|<ε ¿

|x−x

₀

|<δ

_⇔ x ∈U

(

^x0, δ

)

|f ( x ) − g|<ε

_⇔

f ( x ) ∈ϑ ( g , ε )

Inaczej:

x∈U ⇒ f ( x ) ∈ ϑ ¿

x

x∈U ∈ot

⁽

−∞

⁾

⇔ x<K x∈U ∈ot

⁽

+∞

⁾

⇔ x> M

Granice niewłaściwe:

x

₀

=±∞ g=±∞

lim

x →−∞f (x)=g ⇔

∀

ε >0

∃

K ∈R

∀

x∈ D_f x< k ⇒|f (x)−g|<ε lim

x →+∞f (x)=−∞ ⇔

∀

K > R

∃

M ∈ R

∀

x ∈D_f x > M ⇒ f (x)<K

Def. 3.2. (definicja Heinego granicy funkcji)

[ ^lim ^{n →∞} ^x ⁿ ⁼ ^x ⁰ ^⇒ ^n→∞ ^lim ^f ⁽ ^x ⁿ ⁾ ⁼ ^g ] ^{¿ ¿}

(2)

Definicja 3.3 (granice jednostronne)

granica lewostronna:

[ ^lim ^n→∞ ^x ⁿ ⁼ ^x ⁰ ^⇒ ^lim ^n→∞ ^f ⁽ ^x ⁿ ⁾ ⁼ ^g ] ^{¿ ¿¿}

granica prawostronna:

[ ^lim ^n→∞ ^x ⁿ ⁼ ^x ⁰ ^⇒ ^lim ^n→∞ ^f ⁽ ^x ⁿ ⁾ ⁼ ^g ] ^{¿ ¿¿}

granice specjalne:

1)

lim

α →0

sin α α =1

2)

lim

α →0

e

^α

−1 α =1

3)

lim

α →0

ln (1+α )

α =1

Przykład 3.1

a)

lim

x →0(

⏟

1+ x)

1

⏞x

∞

=e

uzasadnienie:

[ ⁽

^xⁿ

⁾

^⊂R∧lim^n→∞^xⁿ⁼⁰

]

^⇒^n→∞^lim

⁽

^{1+ x}ⁿ

⁾

1 xn=e

ogólnie:

[

^{x → x}^lim0

f ( x )=0

]

^⇒^lim^{x→ x}0

[

^{1+ f ( x )}

]

1 f (x )

=e

b)

lim

x →0

( ⏟

^cos²^x

)

1

2 x²

⏞

∞

=

[1^∞]

lim

x →0

[

^1+cos²^x−1

]

2

x²=lim

x→ 0

{ [

¹⁺

⁽

^−sin²^x

⁾ ]

1

−sin²x

}

⏟

e

(−sin2

x)⋅2 x2

⏞

?

?:=

lim

x→0

− 2⋅ ( ^{sin x} x )

²

⁼⁻²

(3)

lim

x →0

(

^cos²

^x )

2

x²=e⁻²= 1

e

²

c)

lim

x→0

sin 1

⏟ x

∞

Podejrzewamy, że ciąg nie ma granicy.

sin x

1 x

_n

= π

2 +2 nπ

sin ( ^π 2 + 2 nπ ) ^=sin ^π 2 =1 x

_n

= 1

π

2 +2 nπ

Niech

x

_n

= 1 π

2 +2 nπ

⏟

∞

⃗

^n→∞

0 f ( ^x

n

) ^=sin _x ¹

n

=sin ( ^π ² ⁺ ^{2 nπ} ) ^⃗

^{n→ ∞}

¹

¯ x

_n

= 1

nπ ⃗

^n→∞

0 f ( ^¯ ^x

n

) ⁼ ^{sin (nπ )⃗}

^n→∞

⁰

x_n⃗^{n → ∞}0 ∧ lim

n → ∞ f ( ^xn)⁼¹

¯x_n⃗n → ∞0 ∧ lim

n → ∞

f (^¯^xn)⁼⁰

¿^}¿

¿⇒

∃

^lim

x → 0sin 1

x ¿

na podstawie definicji Heinego granicy funkcji

(4)

Podstawowe twierdzenia dotyczące granic funkcji

Twierdzenie 3.1 (podstawowe własności granic funkcji)

Z definicji Heinego granicy funkcji i odpowiednich twierdzeń dotyczących granic ciągów wynikają następujące własności:

(działania arytmetyczne) Jeżeli:

f , g−

określone w sąsiedztwie punktu

x

₀

lim

x → x₀

f ( x)=g₁¿lim

x→ x₀g ( x )=g₂

g

₁

, g

₂

−

granice właściwe

1°

lim

x → x₀

[

f (x)±g(x)

]

=g₁±g₂ 2°

lim

x → x₀

f ( x)⋅g ( x )=g₁¿g₂

3°

lim

x → x₀

f ( x ) g ( x) = g

₁

g

₂

przy dodatkowym założeniu, że

g ( x ) ≠0

w sąsiedztwie

x

₀

∧ g

₂

≠ 0

(5)

Twierdzenie 3.2 (twierdzenie o 3-ch funkcjach)

Z. U ∈ot

(

^x0

) f , g,h−

określone na

U { x¿ 0

¿ ¿ ¿ x ∈U { x¿ 0

¿

∀_¿ ¿f ( x )≤ g ( x )≤h ( x )¿

lim

x → x₀f ( x)=lim

x →x₀h ( x )=g

T.

lim

x → x₀g ( x )=g

x→x ₀

Przykład 3.2

Oblicz:

lim

x→ ∞

sin x x

Ogólnie:

Z twierdzenia o 3-ch funkcjach wynika następująca własność:

Jeżeli lim

x → x₀f ( x )=0 g-ograniczona w otoczeniu x₀ ⇒ lim

x → x₀f ( x )∗g (x)=0

− 1

x ≤ sinx x ≤ 1

x

(6)

krótko:

lim

x → x₀f ( x )

↓x → x₀ 0

¿ ¿¿ ¿ ¿⏟g ( x )

ogr

=0¿

W przykł. 3.2.:

lim

x → ∞

1 x

↓ 0

¿ ¿_¿¿⏟⋅sin x

ogr

=0¿

Definicja 3.4 (ciągłość w punkcie)

f −

określona w otoczeniu punktu

x

₀

f −

_{ciągła w} ^x⁰^⇔^{x → x}^lim0

f ( x)=f

(

^x0

)

inaczej:

f −

_{ciągła w}

x₀⇔ 1 ° x₀∈D_f 2 °

∃

^lim

x → x₀f (x)=g 3 ° g= f (x0)

¿¿

¿

¿^{¿ ^{¿ ¿ ¿ Ciągłość jednostronna:

f −

lewostronnie (prawostronnie) ciągła w

x₀⇔ 1 ° x₀∈D_f

2 ° lim

¿

x → x₀⁻

(x → x0 +)

¿¿

3 ° g = f (x₀)

¿

¿¿

¿^{¿ ^{¿f ( x )= g ¿ ¿ ¿

Przykład 3.3

(7)

Zbadać ciągłość w punkcie

x=2

w zależności od m _.

1 1 + e

1 2− x

 dla x ≠2 m  dla x =2

¿

f (x)=¿ ^{¿ ¿ ¿

¿

1° f ( 2 ) =m

2 °  lim

x →2⁻

f ( x )= lim

x → 2⁻

1 1+ e

1 2 −x → 0⁺

⏟

+∞

=0

lim

x →2⁺

f ( x )= lim

x →2⁺

1 1 +e

1 2− x → 0⁻

⏟

0

=1

¿^}¿

¿⇒

∃

^lim

x → 2f ( x ) ⇒

∃

m∈R¿

- dla

m=0 f −

lewostronnie ciągła w punkcie

x=2

- dla

m=1 f −

prawostronnie ciągła w punkcie

x=2

Definicja 3.5 (ciągłość na zbiorze)

f −

ciągła na zbiorze ciągła zbioru X tzw. (jeżeli jest ciągła w każdym punkcie)

Wniosek 3.1

1° Suma, różnica, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągła.

Iloraz funkcji ciągłych jest funkcja ciągłą pod warunkiem, że mianownik jest różny od 0.

2° Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

by

f

_była

ciągła w

x=2

(8)

Własności funkcji ciągłych – c.d.

I. (twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku)

[ f −

_{ciągła w}

^x

₀ , określona w U ∈ot

(

^x0

)

^∧f

(

^x0

)

^{>0 (}^¿^{0) ]⇒}

⇒

∃

U₁∈ot(^x0)

∀

x ∈U₁f (x)>0 (¿0)

II. (własność Darboux)

[ f ∈C

_[_{a ,b}_]

∧f ( a ) ≠ f ( b )

, niech ^c− liczba pomiędzy

f ( a )

_i

f ( b ) ] ⇒

⇒_x

∃

0∈(a , b)f(^x0)^=c

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.

Definicja 3.6 (ograniczenie funkcji)

1° f −

ograniczona z góry na zbiorze X :⇔

∃

M ∈R

∀

x ∈ X f(x)≤M

2° f −

ograniczona z dołu na zbiorze X :⇔

∃

m∈ R

∀

x ∈ X f (x)≥m

x ₀

c

(9)

Przykład 3.4

f ( x ) = e

^x

g ( x ) =1−x

²

y=e ^x

(10)

Definicja 3.7 (kresy funkcji)

M = sup

x ∈ X f ( x ) : ⇔

1 °

∀

x ∈ X f ( x )≤ M

2 °

∀

ε > 0

∃

x∈ X f ( x ) > M + ε

¿

¿^{¿ ¿ ¿

(czyt. supremum po x należącym do X _z

f ( x )

₎

m= inf

x ∈ Xf ( x ) : ⇔ 1 °

∀

_{x ∈ X} ^{f ( x )≥ m}

2 °

∀

ε > 0

∃

x∈ X f ( x ) < m + ε

¿

¿^{¿ ¿ ¿

(czyt. infimum po x należącym do X _z

f ( x )

₎

III. (twierdzenie Weierstrassa)

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym osiąga swoje kresy.

f ∈C_[_{a , b}_]⇒

∃

x₁, x₂∈[a , b]f

(

^x1

)

⁼ ^inf

x ∈[a, b]

f(x)∧f

(

^x2

)

⁼ ^sup

x∈[a , b]

f (x)

Rachunek różniczkowy funkcji 1-ej zmiennej

Niech

f −

określona na U ∈ot

(

^x0

)

_,

(

^x0+h

)

^∈^U

f

(

^x0+h

)

⁻^f

(

^x0

)

h – iloraz różnicowy

sup

x∈R

( _1−x ² ) ₌ _f ₍ ₀ ₎ _=1=max

x∈R

( _1−x ² ) ₌₁

α

(11)

Definicja 3.8 (pochodna)

Jeżeli

∃

^lim

h →0

f

(

^x0+h

)

⁻^f

(

^x0

)

h to powiemy, że funkcja

f

jest różniczkowalna w punkcie

x

₀

i wartość tej granicy

lim

h→0

f

(

^x0+h

)

⁻^f

(

^x0

)

h =f^'

(

^x0

)

nazywamy pochodną funkcji w punkcie

x

₀

.

Interpretacja geometryczna pochodnej:

f^'

(

^x0

)

^{=tg α}

α − kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie

(

^x0, f

(

^x0

) )

i dodatnim kierunkiem osi 0 X

Wniosek 3.2

l : y −f

(

^x0

)

⁼^f^'

(

^x0

) (

^x−x0

)

– prosta styczna do wykresu w punkcie

(

^x0 ,f

(

^x0

) )

Prosta do niej prostopadła nazywa się prostą normalną:

n : y−f ( ^x

0

)

⁼⁻ ¹

f

^'

( ^x

0

) ( ^x−x

0

)

Definicja 3.9 (różniczkowalność na przedziale)

f

– różniczkowalna na

U ⇔ f

– różniczkowalna w każdym punkcie

x∈U f

^'

: X ∋ x →f

^'

( x )

Tw. 3.3 (działania arytmetyczne na pochodnych)

(12)

Z:

f , g

– różniczkowalne w

x

₀

T: 1)

∀

α , β∈ R( αf + βg )

– różniczkowalna w

x

₀

¿ ( αf + βg )

^′

( ^x

0

) ^=α⋅f

^'

( ^x

0

) ⁺ ^β⋅g

^'

( ^x

0

)

2)

( f⋅g )

x

₀

¿

[ ^f ⁽ ^x

⁰

⁾

^⋅g

⁽ ^x

⁰

⁾ ]

^′^=f^'

⁽ ^x

⁰

⁾ ^g ⁽ ^x

⁰

⁾

⁺

^f ⁽ ^x

⁰

⁾ ^g

^'

⁽ ^x

⁰

⁾

3)

g≠0

_{w pewnym} ^{U ∈ot}

(

^x0

)

( g ^f )

x

₀

¿

[

^g^f

⁽ ⁽

^x^x⁰⁰

⁾ ⁾ ]

^′⁼^f^'

⁽

^x⁰

⁾

^⋅^g

⁽

^x

_[

^g⁰

⁾ (

^−f^x0

) ] ⁽

²^x⁰

⁾

^⋅^g^'

⁽

^x⁰

⁾

D: 2)

[ ^f ⁽ ^x ⁾ ^⋅ ^g ⁽ ^x ⁾ ]

^′

^=lim

h→0

f ( x +h ) ⋅ g ( x +h ) −f ( x ) ⋅ g ( x )

h =

¿ lim

h→0

f ( x +h ) ⋅ g ( x +h ) − f ( x ) ⋅ g ( x +h ) + f ( x ) ⋅ g ( x +h ) − f ( x ) ⋅ g ( x )

h =

¿ lim

h→0

[ ^⏟ ^h ^f ⁽ ^{x +h}

^f^'

⁾

⁽

^−f

^{x )}

⁽ ^x ⁾ ^⋅ ^g ⁽ ^{x +h} ⁾ ⁺ ^f ^⏟ ⁽ ^x ⁾ ^⋅ ^g ^h ⁽ ^{x +h}

^g^'⁽^{x )}

⁾ ^−g ⁽ ^x ⁾ ] ⁼

¿ f

^'

( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g

^'

( x )

f^'( x )=lim

h→0

f

(

^x0+h

)

⁻^f

(

^x0

)

h

f

^'( x )= lim

x →x₀

f ( x )−f ( ^x

0

)

x −x

₀ – drugi wzór na pochodną

Wykład III

Wykład III

Granice funkcji

f : R∋A →R

x

∈ A

f −

|x−x 0 |¿ δ ⇒|f ( x)−g|<ε ¿

|x−x

|<δ

(

)

|f ( x ) − g|<ε

f ( x ) ∈ϑ ( g , ε )

x∈U ⇒ f ( x ) ∈ ϑ ¿

x

x∈U ∈ot

−∞

⇔ x<K x∈U ∈ot

+∞

⇔ x> M

x

=±∞ g=±∞

∀

∃

∀

∀

∃

∀

[ lim n →∞ x n = x 0 ⇒ n→∞ lim f ( x n ) = g ] ¿ ¿

[ lim n→∞ x n = x 0 ⇒ lim n→∞ f ( x n ) = g ] ¿ ¿¿

[ lim n→∞ x n = x 0 ⇒ lim n→∞ f ( x n ) = g ] ¿ ¿¿

lim

sin α α =1

lim

e

−1 α =1

lim

ln (1+α )

α =1

⏟

[ (

)

]

(

)

[

]

[

]

( ⏟

)

[

]

{ [

(

) ]

}

⏟

lim

− 2⋅ ( sin x x )

=−2

(

x )

e

lim

sin 1

⏟ x

sin x

1 x

= π

2 +2 nπ

sin ( π 2 + 2 nπ ) =sin π 2 =1 x

= 1

π

2 +2 nπ

x

= 1 π

2 +2 nπ

⏟

|x−x ₀ |¿ δ ⇒|f ( x)−g|<ε ¿

[ ^lim ^{n →∞} ^x ⁿ ⁼ ^x ⁰ ^⇒ ^n→∞ ^lim ^f ⁽ ^x ⁿ ⁾ ⁼ ^g ] ^{¿ ¿}

[ ^lim ^n→∞ ^x ⁿ ⁼ ^x ⁰ ^⇒ ^lim ^n→∞ ^f ⁽ ^x ⁿ ⁾ ⁼ ^g ] ^{¿ ¿¿}

[ ^lim ^n→∞ ^x ⁿ ⁼ ^x ⁰ ^⇒ ^lim ^n→∞ ^f ⁽ ^x ⁿ ⁾ ⁼ ^g ] ^{¿ ¿¿}

[ ⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾ ]

− 2⋅ ( ^{sin x} x )

⁼⁻²

^x )

sin ( ^π 2 + 2 nπ ) ^=sin ^π 2 =1 x

f ( ^x

) ^=sin _x ¹

=sin ( ^π ² ⁺ ^{2 nπ} ) ^⃗

¹

f ( ^¯ ^x

) ⁼ ^{sin (nπ )⃗}

⁰

x→x ₀

^x