Matematyka Dyskretna (1)
wskazówki do zada« 1417 z listy I, 3.III.21
Rozwi¡zuj¡c proste równania algebraiczne stosujemy zwykle szereg upraszczaj¡cych przeksztaªce«:
przenoszenie elementów na drug¡ stron¦ (inaczej: dodawanie lub odejmowanie tej samej wielko±ci od oby- dwu stron równania, dodawanie lub odejmowanie równa« stronami)
4x− 5 = x + 2 ⇒ 4x− x = 2 + 5
rozwijanie podwyra»e« i redukcja wyrazów podobnych (stosowanie rozdzielno±ci mno»enia i dzielenia wzgl¦- dem dodawania i odejmowania)
x2+ (2x + 1)(x− 5) + 3 = x2+ 2x2− 10x + x − 5 + 3 = 3x2− 9x − 2
mno»enie lub dzielenie obu stron równo±ci przez t¦ sam¡ wielko±¢ (mno»enie lub dzielenie równa« stronami) 3x + 9y = 12 ⇒ x + 3y = 4
W przypadku przeksztaªacania kongruencji mo»na stosowa¢ te same operacje, co wynika z nast¦puj¡cych wªa±no±ci arytmetyki modularnej:
równo±ci modularne mo»na dodawa¢, odejmowa¢ i mno»y¢ stronami: je±li a = b (mod n), c = d (mod n), to a + c = b + d (mod n), a − c = b − d (mod n), a · c = b · d (mod n)
mno»enie jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania modulo n:
a(b + c) = ab + ac (mod n) . Terminologia
liczba przeciwna do a jest to liczba b, która po dodaniu do a daje 0 a + b = b + a = 0, czyli b = −a
liczba odwrotna do a jest to liczba b, która po pomno»eniu przez a daje 1 ab = ba = 1, czyli b = a−1. Tabele dziaªa« mod p
W tabelach mno»enia pomijamy wiersze i kolumny dla 0. Wska» pary liczb przeciwnych i odwrotnych.
dziaªania mod 7
+ 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5
× 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1
dziaªania mod 8
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1 3 3 4 5 6 7 0 1 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4 6 6 7 0 1 2 3 4 5 7 7 0 1 2 3 4 5 6
× 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 0 2 4 6 3 3 6 1 4 7 2 5 4 4 0 4 0 4 0 4 5 5 2 7 4 1 6 3 6 6 4 2 0 6 4 2 7 7 6 5 4 3 2 1
De nicja Grupa jest to zbiór z dziaªaniem dwuargumentowym (X, ◦) o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
ª¡czno±¢: ∀ a, b, c ∈ X (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
istnienie elementu neutralnego: ∃ e ∈ X a ◦ e = e ◦ a = a dla dowolnego a ∈ X
odwracalno±¢ elementów: ∀ a ∈ X ∃ ! a−1∈ X a ◦ a−1= a−1◦ a = e.
(Zp, +)jest grup¡ addytywn¡ dla dowolnego p, (Zp,·) jest grup¡ multiplikatywn¡ tylko dla pierwszych p.
(Z8,·) nie jest grup¡, ale podzbiór elementów odwracalnych w Z8, {1, 3, 5, 7}, tworzy grup¦.
Lemat Liczba m jest odwracalna w mno»eniu modulo n wtedy i tylko wtedy gdy NWP(m, n) = 1.
De nicja Pier±cie« jest to zbiór z dwoma dziaªaniami (X, ⊕, ◦) o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
(X, ⊕) jest grup¡ przemienn¡
dziaªanie ◦ jest ª¡czne i rozdzielne wzgl¦dem ⊕, a ◦ (b ⊕ c) = a ◦ b ⊕ a ◦ c
je±li istnieje w X element neutralny wzgl¦dem ◦, wtedy (X, ⊕, ◦) jest pier±cieniem z jedynk¡.
De nicja Ciaªo jest to zbiór z dwoma dziaªaniami (X, ⊕, ◦) o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
(X, ⊕, ◦) jest pier±cieniem przemiennym z jedynk¡
(X − {0}, ◦) jest grup¡, gdzie 0 oznacza neutralny element dziaªania ⊕.
Rozwi¡zywanie kongruencji ax + b = c (mod n) w pier±cieniu (
Zn, +, ·)
1. Przenosimy element b na praw¡ stron¦ (dodajemy do obydwu stron element −b przeciwny do b) 2. Je±li NWP(a, n) = 1, czyli gdy a jest odwracalny w Zn, mno»ymy obie strony przez a−1.
4x + 5 = 3 (mod 7) ⇒ 4x = 3− 5 = 3 + 2 = 5 (mod 7) ⇒ 2· 4x = 2 · 5 (mod 7)
⇒ x = 3 (mod 7)
3. Je±li NWP(a, n) ̸= 1, kongruencja mo»e posiada¢ rozwi¡zania lub nie
6x + 3 = 7 (mod 8) ⇒ 6x = 7 − 3 = 4 (mod 8) ⇒ x = 2 (mod 8) ∨ x = 6 (mod 8) 6x + 4 = 7 (mod 8) ⇒ 6x = 7 − 4 = 3 (mod 8) ⇒ brak rozwi¡za«
Lemat Je±li NWP(a, n) = d, kongruencja ax = b (mod n) posiada rozwi¡zania tylko wtedy, gdy d | b.
Wówczas jest ona równowa»na kongruencji a dx = b
d
(mod n d )
.
W przykªadzie wy»ej kongruencj¦ 6x = 4 (mod 8) mo»na wi¦c zast¡pi¢ równowa»n¡ 3x = 2 (mod 4), której rozwi¡zaniem jest x = 2 (mod 4) = 2 + 4k. Dla k = 1 dostajemy drugie rozwi¡zanie x = 6.
W drugim przykªadzie 6x = 3 (mod 8) NWP(6, 8) = 2 nie dzieli prawej strony 3. atwo sprawdzi¢ podsta- wiaj¡c ró»ne warto±ci za x, »e ta kongruencja nie posiada rozwi¡za«.
Zadania: 5x + 3 = 1 (mod 9), 10x − 4 = 9 (mod 11), 8x + 2 = 6 (mod 12), 6x − 2 = 4 (mod 9)
Obliczanie odwrotno±ci a
−1( mod n)
a· x = 1 (mod n) ⇔ a· x = 1 + y · n ⇔ a· x − n · y = 1
Je±li NWP(a, n) = 1, rozwi¡zujemy to»samo±¢ Bezout przy pomocy rozszerzonego algorytmu Euklidesa ax + ny = 1, co oznacza, »e ax = 1 (mod n) ,
a wi¦c x z rozwi¡zania jest odwrotno±ci¡ a.
Oto przykªad: 8x + 17 = 2 (mod 29), czyli 8x = 2 − 17 = −15 = 14 (mod 29). By znale¹¢ 8−1 mod 29, wyznaczamy 1 jako NWP(29, 8):
29 8 29 = 3· 8 + 5 r = 5 8 5 8 = 1· 5 + 3 r = 3 5 3 5 = 1· 3 + 2 r = 2 3 2 3 = 1· 2 + 1 r = 1
Odwracamy teraz kolejno±¢ dziele« w algorytmie, wyra»aj¡c reszty r kolejno przez liczby z poprzedniego wiersza:
1 = · · · = −3 · 29 + 11 · 8 .
St¡d 1 = 11 · 8 (mod 29), a wi¦c 8−1= 11. Mno»ymy teraz obie strony naszego równania przez 11 otrzymuj¡c 11· 8x = 11 · 14 (mod 29) ⇒ x = 154 = 9 (mod 29) .
Sprawdzenie: 8 · 9 + 17 = 89 = 2 (mod 29). Ogólne rozwi¡zanie jest wi¦c postaci x = 9 + 29· k, k∈ Z .
Prosz¦ teraz samodzielnie zastosow¢ opisane wy»ej metody do rozwi¡zania zadania 17 z listy I.
(a) 9x + 6 = 0 (mod 18) (b) 4x + 5 = 1 (mod 15) (c) 6x = 10 (mod 15)
(d) 6x = 9 (mod 15) (e) 20x + 2 = 10 (mod 36) (f) 14x + 2 = 9 (mod 21)
(g) 24x = 40 (mod 64) (h) 15x + 72 = 3 (mod 111)
(i) 75x = 48 (mod 90)
Wªasno±¢
a = b (mod n) ∧ c = d (mod n) ⇒ ac = bd (mod n) poci¡ga za sob¡ tak»e
ab = (amod n)(b mod n) (mod n), ap= (amod n)p (mod n), apq= (apmod n)q (mod n) . Korzystaj¡c z tych reguª mo»na obliczy¢ bez pomocy kalkulatora wiele pozornie skomplikowanych wyra»e«
modularnych.
230(mod 7) = (23)10(mod 7) = 810(mod 7) = (8 mod 7)10(mod 7) = 110(mod 7) = 1 (mod 7).
Inny przykªad: oblicz 283− 1 (mod 167).
Szukamy pot¦gi dwójki o mo»liwie maªej warto±ci mod 167. Mamy
28= 256 = 89 (mod 167), 29= 2· 89 = 178 = 11 (mod 167) 227= 113= 1331 = 162 =−5 (mod 167) . Dalej 281 = (−5)3=−125 = 42 (mod 167). St¡d 283 = 22· 281= 4· 42 = 168 = 1 (mod 167). Ostatecznie 283− 1 = 0 (mod 167).
Zadanie 1 z listy II.
