Wzory matematyczne

Wzory matematyczne

Na podstawie: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki, tom 1, dodatek E, PWN, Warszawa 2003

Opracował mgr inż. Karol Tarnowski

Symbole matematyczne

= równa się

≈ równa się w przybliżeniu

∼ jest tego samego rzędu wielkości 6= nie jest równe

≡ jest równe tożsamościowo, jest zdefiniowane jako

> jest większe niż ( jest dużo większe niż)

< jest mniejsze niż ( jest dużo mniejsze niż)

­ jest większe lub równe (czyli nie mniejsze niż)

¬ jest mniejsze lub równe (czyli nie większe niż)

± plus albo minus

∝ jest proporcjonalne do Σ suma

xśr wartość średnia x Geometria

Koło o promieniu r: obwód = 2πr; pole powierzchni

= πr².

Kula o promieniu r: pole powierzchni = 4πr², obję- tość = ⁴₃πr³.

Walec obrotowy o promieniu podstawy r i wysokości h: pole powierzchni = 2πr²+ 2πrh; objętość = πr²h.

Trójkąt o podstawie a i wysokości h: pole powierzchni

= ¹₂ah.

Iloczyny wektorów

Niech ˆi, ˆj i ˆk będą wektorami jednostkowymi kierun- ków x, y i z. Zachodzą związki:

ˆi·ˆi = ˆj · ˆj = ˆk · ˆk = 1, ˆi· ˆj = ˆj · ˆk = ˆk ·ˆi = 0, ˆi׈i = ˆj × ˆj = ˆk × ˆk = 0,

ˆi× ˆj = ˆk, ˆj × ˆk = ˆi, ˆk × ˆi = ˆj.

Dowolny wektor ~a o składowych wzdłuż osi x, y i z równych a_x, a_y i a_z można przedstawić w postaci

~a = a_xˆi+ a_yˆj + a_zˆk.

Niech ~a, ~b i ~c będą dowolnymi wektorami o długo- ściach (modułach) a, b i c. Zachodzą związki:

~a × (~b + ~c) = (~a × ~b) + (~a × ~c),

(s~a) × ~b = ~a × (s~b) = s(~a × ~b) (s — skalar).

Niech θ będzie mniejszym z kątów między wektorami

~a i ~b. Zachodzą związki:

~a · ~b = ~b · ~a = a_xb_x+ a_yb_y+ a_zb_z = ab cos θ,

~a × ~b = −~b × ~a =       

ˆi ˆj ˆk ax ay az

b_x b_y b_z       

= ˆi     

ay az

b_y b_z     

− ˆj     

ax az

b_x b_z     

+ ˆk     

ax ay

b_x b_y     

= (a_yb_z− b_ya_z)ˆi + (a_zb_x− b_za_x)ˆj+

+ (a_xb_y− b_xa_y)ˆk,  

~a × ~b= ab sin θ,

~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b),

~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c.

Wzory Cramera

Układ równań z dwiema niewiadomymi x i y a1x + b1y = c1 oraz a2x + b2y = c2

ma rozwiązanie

x =     

c₁ b₁ c₂ b₂

a₁ b₁ a₂ b₂

= c1b2− c₂b1

a₁b₂− a₂b₁

oraz

y =     

a1 c1

a₂ c₂      

a1 b1

a₂ b₂     

= a₁c₂− a₂c₁ a1b2− a₂b1

.

Równanie kwadratowe i jego rozwiązanie Jeśli ax²+ bx + c = 0, to x = −b ±√

b²− 4ac

2a .

1

Funkcje trygonometryczne kąta θ sin θ = y

r cos θ = x r tg θ = y

x ctg θ = x y sec θ = r

x cosec θ = r

y 0 ^- oś x

6 oś y

















r y

x θ

Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym a²+ b²= c².















c a

b Trójkąty

Kąty: A, B, C.

Boki im przeciwległe: a, b, c.

A + B + C = π.

sin A

a = sin B

b = sin C c . c² = a²+ b²− 2ab cos C.

Kąt zewnętrzny D = A + C.























J J J J J J J J J

A B

C

D c

b a

Tożsamości trygonometryczne sin(π/2 − θ) = cos θ cos(π/2 − θ) = sin θ sin θ/ cos θ = tg θ sin²θ + cos²θ = 1

sec²θ − tg²θ = 1 cosec²θ − ctg²θ = 1

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2 cos²θ − 1 = 1 − 2 sin²θ sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tg(α ± β) = tg α ± tg β

1 ∓ tg α tg β sin α ± sin β = 2 sinα ± β

2 cosα ∓ β 2

cos α + cos β = 2 cosα + β

2 cosα − β 2 cos α − cos β = −2 sinα + β

2 sinα − β 2

Pochodne

W poniższych wzorach u i v są dowolnymi funkcjami zmiennej x, a a i m są stałymi.

Pochodne:

1. dx dx = 1 2. d

dx(au) = adu dx 3. d

dx(u + v) = du dx +dv

dx 4. dx^m

dx = mx^m−1 5. d

dxln x = 1 x 6. d

dx(uv) = udv

dx + vdu dx 7. d

dxe^x= e^x 8. d

dxsin x = cos x 9. d

dxcos x = − sin x 10. d

dxtg x = sec²x 11. d

dxctg x = − cosec²x 12. d

dxsec x = tg x sec x 13. d

dxcosec x = − ctg x cosec x 14. d

dxe^u = e^udu dx 15. d

dxsin u = cos udu dx 16. d

dxcos u = − sin udu dx 2

Rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe (1 + x)ⁿ= 1 +nx

1! +n(n − 1)x²

2! + . . . (x²< 1) e^x= 1 + x + x²

2! +x³ 3! + . . . ln(1 + x) = x − 1

2x²+1

3x³− . . . (|x| < 1) sin θ = θ − θ³

3! +θ⁵

5! − . . . (θ w radianach) cos θ = 1 − θ²

2! +θ⁴

4! − . . . (θ w radianach) tg θ = θ +θ³

3 +2θ⁵

15 + . . . (θ w radianach) Całki

W poniższych wzorach u i v są dowolnymi funkcjami zmiennej x, a a i m są stałymi. Do każdej z całek nie- oznaczonych należy dodać dowolną stałą całkowania.

1.

Z

dx = x 2.

Z

audx = a Z

udx 3.

Z

(u + v)dx = Z

udx + Z

vdx

4.

Z

x^mdx = x^m+1

m + 1 (m 6= −1) 5.

Z dx

x = ln |x|

6.

Z udv

dxdx = uv − Z

vdu dxdx 7.

Z

e^xdx = e^x 8.

Z

sin xdx = − cos x 9.

Z

cos xdx = sin x 10.

Z

tg xdx = ln | sec x|

11.

Z

sin²xdx = 1 2x − 1

4sin 2x 12.

Z

e^−axdx = −1 ae^−ax 13.

Z

xe^−axdx = − 1

a²(ax + 1)e^−ax 14.

Z

x²e^−axdx = − 1

a³(a²x²+ 2ax + 2)e^−ax 15.

Z ∞ 0

xⁿe^−axdx = n!

aⁿ⁺¹

16.

Z ∞ 0

x²ⁿe^−ax2dx = 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) 2ⁿ⁺¹aⁿ

rπ a 17.

Z dx

√x²+ a² = ln^x +^px²+ a^2

18.

Z xdx

(x²+ a²)^3/2 = − 1 (x²+ a²)^1/2 19.

Z dx

(x²+ a²)^3/2

= x

a²(x²+ a²)^1/2 20.

Z ∞ 0

x²ⁿ⁺¹e^−ax2dx = n!

2aⁿ⁺¹ (a > 0) 21.

Z xdx

x + a = x − a ln(x + a)

Uwagi

Obszerniejsze tablice dostępne na stronach:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Tablica całek, http://www.math.com/tables/integrals/tableof.htm a także w literaturze:

1. Matematyka. Poradnik encyklopedyczny I. N.

Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew

2. Inegrały i riady specjalnyje funkcii, A. P. Prudnikow, Ju. A. Bryczkow, O, I. Mariczew

3. Handbook of Mathematical Functions, Abramowitz, Stegun

4. Mathematical Handbook for Scientists and Engine- ers: Definitions, Theorems, and Formulas for Refe- rence and Review, G. Korn, T. Korn

5. Tables of Integrals and Other Mathematical Data: H.

Dwight

Generator całek online:

http://integrals.wolfram.com/

Wrocław, 12.10.2009

3