1. Jak powy»ej, ale dla cz¡stki w polu kulombowskim V (r) =

GRUPA 1

Zadania (XV) z mechaniki kwantowej na ±rod¦, 3-go czerwca 2014.

0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«, w szczegolno±ci rozwi¡- za¢ równanie radialne dla trójwymiarowego oscylatora harmonicz- nego, wykonuj¡c jawnie wszystkie obliczenia wskazane na wykªa- dzie, zmienne bezwymiarowe, zachowania asymptotyczne w r = 0 i r = ∞, zmiana funkcji, rozwi¡zanie tak otrzymanego równania metod¡ szeregów, warunek regularno±ci.

1. Jak powy»ej, ale dla cz¡stki w polu kulombowskim V (r) =

−Ze/r (pami¦ta¢ o ró»nicy mi¦dzy potencjaªem a energi¡ poten- cjaln¡).

2. Funkcje falowe elektronu w polu kulombowskim upraszczaj¡ si¦

dla l = n − 1:

ψ

(~ r) = a

N

(2n − 1)!x

e

Y

(θ, φ) N

= 2

n

v u u t

(n − l − 1)!

((n + l)!)

, x = 2r

na (1)

gdzie a = ¯h

/(me

) jest promieniem Bohra.

2aWyprowadzi¢ to wyra»enie korzystaj¡c z ogólnego wzoru na ψ

(~ r) podanego na wykªadzie oraz z nast¦puj¡cej funkcji tworz¡cej dla wielomianów Laguerra L

(z)

Σ

t

(p + k)! L

(z) = exp (−zt/(1 − t))

(1 − t)

(2)

Wsk. Rozwa»y¢ granic¦ t → 0.

2b Obliczy¢ < r >, < r

> w tym stanie dla dowolnego n. Wsk.

caªki po r wykona¢ ró»niczkuj¡c po parametrze.

2c Pokaza¢, »e ∆r/ < r > d¡»y do zera z n → ∞ (jak szybko

?). Zinterpretowa¢ ten wynik z punktu widzenia granicy klasycznej.

Wsk. Jakiemu L odpowiadaj¡ orbity koªowe? (Landau, Mechanika,

Ÿ 15 Zagadnienie Keplera), Messiah, rozdz. I.15.

J. Wosiek.

1