1 11. DYNAMIKA RUCHU
SWOBODNEGO PUNKTU MATERIALNEGO
Zadanie 1/11
W polu przyciąganie ziemskiego z punktu o współrzędnych x0, y0 wyrzucono punkt materialny o masie m z prędkością początkową υ0pod kątem α do poziomu.
Znaleźć równania ruchu punktu. Przeprowadzić dyskusję.
x y
α υ0
x0 y0
α υ υ
α υ υ
υ υ
sin cos 2
0 0
0 0
0 0 2
0 0
=
=
+ +
−
= +
=
y x
y x
y gt t
y
x t Odp.: x
Zadanie 2/11
Punkt materialny o masie m znajduje się w jednorodnym zmiennym polu magnetycznym. Znaleźć równanie ruchu punktu x(t), jeżeli pole magne- tyczne działa na punkt siłą F=F0sinωt (F0, ω − stałe). Położenie oraz prędkość początkowa punktu równe są 0.
x(t)
0 m F(t) x
−
= ω
ω ω
t t m x F0 sin Odp.:
Zadanie 3/11
Ciało o masie m spada pionowo bez prędkości początkowej w ośrodku, który stawia opór R=kmυproporcjonalny do prędkości υ(k − stała).
Obliczyć do jakiej maksymalnej prędkości υmax rozpędzi się ciało oraz podać równanie ruchu x(t).
( )
tk e g
k x g k
g kt
+
−
=
= 2 − 1
υmax
Odp.:
2 Zadanie 4/11
Ciało o masie m porusza się po prostej poziomej pod wpływem siły (k − stała)
Znaleźć prędkość υciała jako funkcję czasu, jeśli w chwili początkowej jego prędkość równa była υ0.
k t F 2
υ
=
3 3
0 2
2
3 υ
υ= t +
m Odp.: k
Zadanie 5/11
Z jaką prędkością υ0należy wystrzelić pocisk z powierzchni Ziemi w kierunku Księżyca, aby doleciał on do punktu, w którym siły przyciąga- nia Ziemi i Księżyca równoważą się i aby zatrzymał się w tym punkcie?
Ruch Ziemi i Księżyca oraz opór atmosfery pominąć.
Przyjąć: R=6370km g=9.81m/s2 gdzie: MZ- masa Ziemi, MK– masa Księżyca, d – odległość między środkami Ziemi i Księżyca, R – promień Ziemi.
Odp.: υ0≈11.065km/s
Odp.:
60 80 = =
=
= b
R a d
M M
K Z
Zadanie 6/11
Na punkt materialny o masie m działa siła proporcjonalna do czasu F1=kt oraz siła oporu proporcjonalna do prędkości F2=αυ. Znaleźć prędkość punktu υ(t) oraz położenie x(t) w zależności od czasu. Warunki początkowe: dla t=0 x=0, υ=0.
( ) ( ) kt
mk e t mkt k t k e
t m x
mt mt
α α α υ
α α
α α
+
−
=
−
+
−
=
−
−
2 1
1 2 2 2
3 2
3 Zadanie 7/11
Kulę o masie m wyrzucono pod kątem α0 do poziomu z prędkością początkową υ0. Opór powietrza R=kυ jest proporcjonalny do prędkości. Znaleźć równanie y(x) toru ruchu kuli.
Odp.:
Odp.:
y
x
υ0 α0 m
y(x)
0 0 2
2
0 0
0 ln1 cos
cosα υ α
α υ
m kx k
gm k
tg mg x
y + −
+
=
Zadanie 8/11
Punkt o masie m porusza się w płaszczyźnie Oxy, pod działaniem siły centralnej skiero- wanej do początku układu współrzędnych.
Siła ta jest wprost proporcjonalna do odle- głości punktu od początku układu. W chwili początkowej punkt zajmował położenie x=b, y=0 i posiadał prędkość υx=0, υy= υ0.
Znaleźć równanie toru ruchu punktu. 2 1
0 2 2 2
= +
k m y b x
υ
elipsa x y
υ0 m
O b
l P=kl
Zadanie 9/11
Ciężar o masie m może ślizgać się po pionowym pręcie AB, którego sztywność na rozciąganie równa jest k1.Koniec B pręta opiera się o śrubową sprężynę o sztywności k2. Obliczyć największe wydłużenie pręta h przy spadku ciężaru z wysokości H bez prędkości początkowej. Masę pręta i sprężyny pominąć.
Odp.:
Odp.:
( )
+
+ + +
= mg
k k H k
k
h mg 1 2
2 1
1 2 1
A
B m
k1 H
k2
Zadanie 10/11
Na końcu nie odkształconej nici o sztywności c, która może przenieść maksymalną siłę Q, zaczepiono ciężar o masie m i puszczono bez prędkości początkowej. Jaka jest minimalna wartość m, przy której nić zerwie się i jaka będzie prędkość ciężaru w chwili zerwania nici?
2 =0
= υ
g m Q
