Rozmowa z Andrzejem Nowakiem - Laureatem Nagrody im. Rufusa Isaacsa

(1)

Anna Ja±kiewicz (Wrocªaw)

Rozmowa z Andrzejem Nowakiem - Laureatem Nagrody im. Rufusa Isaacsa

Abstract Nagroda Rufusa Isaacsa jest przyznawana co dwa lata za wybitne wyniki w dziedzinie gier dynamicznych na Sympozjach Mi¦dzynarodowego Towarzystwa Gier Dynamicznych pocz¡wszy od 2004 roku. W 2018r. nagroda ta zostaªa przyz- nana prof. dr hab. Andrzejowi S. Nowakowi z Uniwersytetu Zielonogórskiego oraz prof. Georges Zaccourowi z HEC w Montrealu. Artykuª prezentuje wywiad z prof.

dr hab. Andrzejem Nowakiem, w którym Laureat wspomina swoj¡ drog¦ naukow¡, opowiada o uzyskanych wynikach w tej dziedzinie i ludziach, których spotkaª podczas swojej kariery naukowej. Lista wszystkich laureatów znajduje si¦ w dodatku zamieszczonym na ko«cu wywiadu.

2010 Mathematics Subject Classication: Primary: 65H04; Secondary: 12E12.

Key words and phrases: Nagroda Isaacsa; gra stochastyczna; gra dynamiczna; równowaga Nasha.

1. Na wst¦pie nale»y wspomnie¢, »e Rufus Isaacs byª pionierem w dziedzinie gier ró»niczkowych wyznaczaj¡cym wiele dróg badaczom z caªego ±wiata.

Jak wygl¡da procedura przyznawania nagrody jego imienia?

Kandydatów do nagrody Rufusa Isaacsa wyznacza komisja zªo»ona z kilku poprzednich laureatów na okoªo póª roku przed sympozjum ISDG, które od- bywa si¦ co dwa lata. Przewodnicz¡cy komisji, S. Jørgensen (Odense Uni- versity, Denmark), przysªaª mi list przed ostatnim sympozjum w Grenoble w 2018 roku z informacj¡, »e zostaªem wybrany do nagrody w tym roku.

Warunkiem byªo wyra»enie zgody na przyjazd do Grenoble i wygªoszenie w dowolnej formule 45-minutowego referatu o swoim dorobku i karierze. Nie ma w przypadku tej nagrody »adnej formy aplikacji czy przedstawiania swo- jego curriculum vitae. Na ka»dym sympozjum ISDG przewodnicz¡cy komisji ogªasza nazwiska dwóch laureatów na uroczystym obiedzie. Przed nim nie s¡

one podawane do publicznej wiadomo±ci. Ma to pewien urok. Do ostatniej chwili nie wiedziaªem, »e drugim laureatem jest Georges Zaccour (University of Montreal), pracuj¡cy gªównie w dziedzinie gier ró»niczkowych, zaªo»yciel dobrego czasopisma Dynamic Games and Applications (2017 IF okoªo 1.007, wyd. Springer).

2. My±l¦, »e dla cz¦±ci stosunkowo maªego ±rodowiska osób zajmuj¡cych si¦

teori¡ gier w Polsce byªo to dobre wydarzenie. A jak odebraª to laureat? By- ªem tym zaskoczony. Moje prace dotycz¡ gªównie modeli gier dynamicznych

(2)

1: Dyplom potwierdzaj¡cy uzyskanie nagrody im. Rufusa Isaacsa przez An- drzeja S. Nowaka.^A.1

w czasie dyskretnym i s¡ teoretyczne. By¢ mo»e wpªyw na decyzj¦ komisji miaªy dwie prace przegl¡dowe z gier stochastycznych [25,28], które pokazaªy znaczny rozmiar tej problematyki i rozmaito±¢ stosowanych metod. Literatura obejmuje okoªo 400 pozycji, a w±ród nich jest du»o artykuªów pochodz¡cych od naszej maªej grupy. Bez zarozumiaªo±ci mog¦ powiedzie¢, »e teoria gier stochastycznych opisana w [25,28] robi wra»enie. Przyst¦puj¡c do napisania tych artykuªów sami autorzy nie my±leli jak du»o pracy ich czeka i jak ob- szerny to jest materiaª. Obszar stosowanych metod obejmuje elementy logiki, deskryptywnej teorii mnogo±ci, analizy, teorii punktów staªych, semimartyn- gaªy i kwestie ergodyczno±ci procesów stochastycznych generowanych przez strategie graczy.

Oczywi±cie podstawowe twierdzenia teorii gier otrzymane w literaturze dla gier statycznych (twierdzenia minimaksowe czy o równowadze w sensie Nasha) wraz z elementami teorii miary te» s¡ stosowane w badaniu gier stochastycznych. R. Isaacs napisaª pierwsz¡ monogra¦ z teorii gier ró»niczkowych [23], ale miaª te» wpªyw na badania w zakresie modeli z czasem dyskretnym. Spo- tkaª w RAND Corporation zarówno R. Bellmana, D. Blackwella, jak i L.S.

Shapleya, czy H.W. Kuhna, którzy mieli fundamentalne prace z procesów

(3)

decyzyjnych i gier w czasie dyskretnym.

3. Zapewne przygotowywanie referatu o swojej karierze i dorobku wzbu- dzaªo jakie± wspomnienia.

Rzeczywi±cie tak byªo. Referat nie mógª by¢ techniczny. Zdecydowaªem,

»e na wst¦pie powiem jak traªem do teorii gier. Dla mnie podstawow¡ in- spiracj¡ byªy prace D. Blackwella [8, 10, 11, 15], którego promotorem byª sªynny J. Doob. Praca doktorska D. Blackwella z 1941r. dotyczyªa wªasno±ci ªa«cuchów Markowa. Jednak dobrze wiemy, »e byª wybitnym statystykiem i probabilist¡. Doskonale znaª teori¦ miary i podstawy matematyki. Zajmowaª si¦ te» teori¡ gier i w jej j¦zyku opisaª zbiory analityczne oraz borelowskie [13].

Ponadto miaª bardzo du»y wkªad do teorii gier z wektorowymi wypªatami [9]

i gier stochastycznych. Jego artykuª pt. The Big Match, napisany wspólnie z T. Fergusonem [15], wskazaª drog¦ dla trudnego dowodu istnienia warto±ci gry stochastycznej o sumie zerowej z kryterium ±redniej w sensie Cesaro wypªat etapowych. A. Neyman i J.F. Mertens sami to przyznaj¡ w swojej pracy [38] o istnieniu warto±ci dla takich gier. D. Blackwell miaª te» fundamentalne prace ze stochastycznego programowania dynamicznego [10,11]. W tej drugiej za- stosowaª jeden z wyników otrzymanych wspólnie z C. Ryll-Nardzewskim [16].

Wªa±nie te dwa artykuªy pokazaª mi w 1976r. C. Ryll-Nardzewski, zach¦caj¡c do studiowania tej dziedziny przy przygotowywaniu pracy magi- sterskiej w Instytucie Matematyki na Wydziale Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocªawskiej. Nie omieszkaª doda¢, »e Blackwell byª jednym z najinteligentniejszych matematyków, jakich spotkaª w »yciu. Nie powiem czy mnie to zachwyciªo, czy wystraszyªo. Tak czy owak, zabraªem si¦

za lektur¦ prac D. Blackwella. Wiem, »e pracowaª po doktoracie przez jaki±

czas w Howard University, niezbyt presti»owej uczelni. Jednak jego rezultaty zostaªy zauwa»one i zaproponowano mu posad¦ profesora na Wydziale Staty- styki Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. Pomógª mu w osi¡gni¦ciu tak znakomitej pozycji J. Spªawa-Neyman, który pracowaª tam od 1938r. To byª ciekawy fakt i zbieg okoliczno±ci. Wiadomo, »e J. Spªawa-Neyman znaª wielu matematyków z tzw. Matematycznej Szkoªy Lwowskiej i Warszawskiej, w tym H. Steinhausa. W latach powojennych utrzymywaª kontakty z matematykami polskimi, w szczególno±ci ze ±rodowiska wrocªawskiego, do którego nale»aª H.

Steinhaus. Zapraszaª kilku z nich na sympozja probabilistyczne w Berkeley.

Materiaªy z nich byªy publikowane. Bywali tam mi¦dzy innymi tacy matematycy jak J. o±, C. Ryll-Nardzewski czy S. Trybuªa. Mogli spotka¢ oprócz D.

Blackwella inne du»e indywidualno±ci jak D. Gale, E.M. Stewart, L.E. Du- bins i L.J. Savage czy S. Karlin, zwi¡zane cz¦±ciowo z teori¡ gier i procesami stochastycznymi w optymalizacji [17,20]. My±l¦, »e te spotkania wpªyn¦ªy na pó¹niejsze starania J. osia stworzenia silnego o±rodka ekonomii matematycznej w Instytucie Podstaw Informatyki (IPI) PAN w Warszawie. S. Trybuªa podj¡ª badania w teorii gier czasowych, gdzie promowaª czterech doktorów (A. Styszy«ski, K. Orªowski, T. Radzik, A. Cegielski) oraz w problematyce

(4)

optymalnego zatrzymywania procesów stochastycznych i gier Dynkina [19], w której doktoryzowaª si¦ K. Szajowski. C. Ryll-Nardzewski napisaª bardzo ceniony przez specjalistów artykuª o grach po±cigu i pogoni [49]. Jest on cyto- wany w kilku monograach z teorii gier ró»niczkowych. Problematyk¡ t¡ zaj- mowaª si¦ te» troch¦ J. Mycielski [40], równie» po wyje¹dzie z kraju do USA Przypuszczam, »e zach¦t¡ do bada« w teorii gier byªa opinia H. Steinhausa, który pozytywny stosunek do matematycznej reeksji nad grami przywiózª do Wrocªawia ze Lwowa. Jeszcze przed 1939 rokiem snuª pewne rozwa»ania o grach z peªn¡ informacj¡, zainspirowany rozwa»aniami Zermelo na temat szachów [51]. H. Steinhaus poznaª te» we Lwowie jako jeden z pierwszych gr¦ Banacha-Mazura [53], jedn¡ z pierwszych gier topologicznych. Na pewno miaªo to wszystko wpªyw na wykrycie przez H. Steinhausa i J. Mycielskiego we Wrocªawiu aksjomatu determinacji w teorii mnogo±ci i zbadaniu jego kon- sekwencji, w±ród których chyba najsªynniejsza to ta, która mówi o tym, »e wszelkie podzbiory prostej rzeczywistej s¡ mierzalne w sensie Lebesgue'a [41].

4. Czy na Politechnice Wrocªawskiej byªy regularne wykªady z teorii gier?

Przyjechaªem na studia do Wrocªawia jesieni¡ 1972r., okoªo sze±¢ mie- si¦cy po ±mierci H. Steinhausa. Mogªem tylko co± posªucha¢ o jego wa»nej roli dla matematyki i jej zastosowa«. Natomiast jego przemy±lenia na temat modelowania sytuacji koniktowych opisaª C. Ryll-Nardzewski w pracy [50]. Nigdy te» nie spotkaªem te» J. Mycielskiego. Wykªad z teorii gier w 1975r. prowadziª R. Telgársky, który doktoryzowaª si¦ z topologii ogólnej u C. Ryll-Nardzewskiego kilka lat wcze±niej. Wykªad byª tradycyjny, obejmowaª klasyczne wyniki i metody, cho¢ jego autor lubiª gry topologiczne i zainspirowany gr¡ Banacha-Mazura prowadziª badania w tej dziedzinie. Trwaªo to a» do jego emigracji z Polski do USA w 1983r. W 1981r. obroniªem prac¦

doktorsk¡ pod kierunkiem R. Telgársky'ego o grach stochastycznych o sumie zerowej z ogóln¡ przestrzeni¡ stanów. Praca byªa inspirowana przez artykuª L.S. Shapleya [52] oraz artykuªy D. Blackwella [10,11] i ze wzgl¦du na pewne problemy zwi¡zane ze stanem wojennym ukazaªa si¦ drukiem dopiero w 1984r.

w Probability and Mathematical Statistics. Recenzentami byli J. o± i C. Ryll- Nardzewski. Prac¦ doktorsk¡ z tej tematyki napisaª te» A. Idzik w 1976r. w IPI PAN w Warszawie. C. Ryll-Nardzewski wspieraª mnie dobrym sªowem.

Lubiª teori¦ gier i miaª troch¦ wyników, np. o miarach sko«czenie addytyw- nych w teorii gier. Wiele z nich pozostaªo w szuadzie. Jako mªody czªowiek nie miaªem na to wpªywu. Wiem, »e pomagaª wielu probabilistom w tym czasie prowadz¡c seminarium na Politechnice Wrocªawskiej. Dla niego rozmowy o matematyce byªy wa»niejsze od publikowania. Tak mi si¦ wydawaªo.

Twierdzenie Kuratowskiego i Ryll-Nardzewskiego o selektorach mierzalnych [29] poznaªem jeszcze na studiach, na bardzo dobrym wykªadzie monogracz- nym Z. Romanowicza. Miaªo ono wpªyw na moje zainteresowania, podobnie jak pewne prace C. Olecha z teorii sterowania wykorzystuj¡ce twierdzenie Lapunowa o obrazie miary wektorowej oraz caªki z selektorów multifunk-

(5)

cji mierzalnych. Podobne rozwa»ania prowadzone byªy w teorii tzw. du»ych gier (gier z continuum graczy), mniej wi¦cej w tym samym czasie [1,2]. Je±li mam si¦gn¡¢ pami¦ci¡ jeszcze dalej do ¹ródeª, to powinienem wspomnie¢ S.

Zaremb¦ (dobre wspomnienie na 100-lecie PTM), który zainicjowaª badania inkluzji ró»niczkowych. Jego prace inspirowaªy T. Wa»ewskiego i C. Olecha w ich badaniach. Metody stosowane w badaniu inkluzji ró»niczkowych i teorii sterowania s¡ te» u»yteczne w teorii gier i ekonomii matematycznej, nawet przy studiowaniu modeli z czasem dyskretnym. Moje najwa»niejsze prace w pewnym sensie nawi¡zuj¡ do tej tradycji naukowej.

5. Przyszedª czas, by wspomnie¢ jakie± prace, czy jeszcze co± zostaªo pomini¦te?

Trudno mówi¢ o wszystkim. Wybior¦ kilka rezultatów, które mi sprawiªy najwi¦ksz¡ satysfakcj¦. Po doktoracie napisaªem prac¦ o uniwersalnie mierzalnych strategiach w dwuosobowych grach stochastycznych o sumie zerowej przebiegaj¡cych w czasie dyskretnym [43, 44]. W takich modelach gracze o przeciwstawnych interesach wpªywaj¡ przez swoje decyzje na przebieg ªa«- cucha Markowa z borelowsk¡ przestrzeni¡ stanów. W trakcie gry otrzymuj¡

etapowe wypªaty, które w przypadku niesko«czonego horyzontu czasowego mog¡ by¢ dyskontowane. Wypªaty zale»¡ od bie»¡cych stanów i decyzji graczy. Ten opis jest oczywi±cie podany w wielkim skrócie, z pomini¦ciem szcze- góªów matematycznych. Jednym z problemów jest mierzalno±¢ funkcji war- to±ci minimaksowej gry z funkcj¡ wypªaty zale»n¡ of parametru losowego, np. b¦d¡cego liczb¡ rzeczywist¡. Okazuje si¦, »e jest zgodnym z aksjomatami Zermela-Fraenkla teorii mnogo±ci przyj¦cie zaªo»enia o istnieniu gry z bore- lowska funkcj¡ wypªaty, dla której ta warto±¢ (jako funkcja parametru) jest niemierzalna w sensie Lebesgue'a. Wi¡»e si¦ to z uniwersum konstruowal- nym Gödla. W artykule [48] K. Prikry i W.D. Sudderth rozwijaj¡ ten temat szerzej. W pracy [43] pokazaªem bardzo ogóln¡ klas¦ gier z borelowskimi wy- pªatami, które maj¡ warto±¢ uniwersalnie mierzaln¡. Byªo to zastosowane do gier wieloetapowych à la Shapley [52] z borelowsk¡ przestrzeni¡ stanów. Ten wynik wyrastaª z bada« prowadzonych wcze±niej przez D. Blackwella i jego uczniów z Berkeley (L.D. Brown, R. Purves, W.D. Sudderth, A. Maitra i innych). Byªo mi miªo spotka¢ D. Blackwella w 1987r. na du»ej konferencji z teorii gier nansowanej przez NSF w Columbus (Ohio) i usªysze¢ par¦ mi- ªych sªów. Byªo te» miªo zobaczy¢ par¦ lat pó¹niej prace A. Maitra i W.D.

Suddertha [31,32,33,34], gdzie wykorzystali mój wynik do badania bardzo ogólnej klasy gier borelowskich z wypªatami w postaci granicy górnej wypªat etapowych. Przy okazji warto wspomnie¢, »e metoda zastosowana przez nich jest podobna do metody D. Blackwella z pracy [14] dedykowanej S. Karlinowi.

D. Blackwell podaª nowy dowód determinacji pewnych gier niesko«czonych, które najpierw opublikowaª w pracy z dedykacj¡ dla H. Steinhausa [12].

6. Ciekawie si¦ to wszystko ukªadaªo - zwi¡zek nazwisk i miejsc. Prace

(6)

Blackwella, Dubinsa i ich uczniów byªy publikowane w Annals of Statistics, Annals of Probability, Probability and Related Fields czy Stochastic Proces- ses and their Applications. Sporo publikacji z optymalizacji stochastycznej i gier mo»na byªo tam znale¹¢. Ostatnio to si¦ zmieniªo, rzadko w tych czasopismach spotyka si¦ prace z tych dziedzin. Jeden z recenzentów mojego projektu grantu NCN (przyjetego do realizacji) sugerowaª, by w tych czasopismach co±

publikowa¢. Mam artykuª a Annals of Applied Probability. Wygl¡da na to, »e cz¦±¢ osób oceniaj¡cych badania matematyczne w Polsce ma utrwalony ranking klasycznych czasopism.

Co ja mog¦ o tym powiedzie¢? Z jednej strony matematyka nansowa i ubezpieczeniowa przyci¡gn¦ªy uwag¦ wielu osób. Niektóre prace z tych dziedzin s¡ dobrze widziane w wymienionych czasopismach. Powstaªy te» nowe czasopisma jak Mathematical Finance itp., które maj¡ wysoki IF. Z drugiej strony w latach 70. ubiegªego wieku powstaªy nowe czasopisma jak Mathe- matics of Operations Research czy Games and Economic Behavior. Maj¡ one obecnie bardzo wysokie pozycje w rankingach, podobnie jak SIAM Journal on Control and Optimization. Pewna cz¦±¢ autorów wspóªpracuj¡cych dawniej z klasycznymi i wymienionymi wcze±niej czasopismami przeszªa do redakcji nowych czasopism. Uczniowie D. Blackwella pracowali przez wiele lat dla Mathe- matics of Operations Research. Poziom matematyczny wielu prac w tym czasopi±mie jest bardzo wysoki. Byªo i jest nadal inne zjawisko, typowe dla USA i kilku innych krajów za zachodni¡ granic¡. Cze±¢ matematyków przeniosªa si¦ z wydziaªów matematycznych i statystycznych na wydziaªy ekonomiczne lub in»ynierskie. Z prostego powodu. Po przej±ciu znacznie wi¦cej zarabiaj¡.

Gdy spojrzy si¦ na redakcj¦ Games and Economic Behavior to tylko kilka na kilkadziesi¡t osób z komitetu redakcyjnego tego czasopisma jest zatrudniona na wydziaªach matematycznych. Ponadto, jest tam caªe grono laureatów nagrody A. Nobla z dziedziny ekonomii. Podobnie jest w International Journal of Game Theory, które ma IF okoªo 0.6, ale w skªadzie redakcji widniej¡ osoby z czoªowych uczelni ±wiata. Ubolewam, »e u nas nie znaleziono miejsca dla teorii gier w NCN. Tam w spisie dziedzin matematycznych nie ma teorii gier.

Du»o osób my±li, »e jest ona cz¦±ci¡ dziedziny zwanej optymalizacj¡. To du»y bª¡d. Teoria gier jest obecnie bardzo szeroka, wystarczy zajrze¢ do ksi¡»ki z podstaw teorii gier napisanej w Instytucie A. Einsteina (Hebrew University at Jerusalem) przez M. Maschlera, E. Solana i S. Zamira [36] licz¡cej prawie 1000 stron. Ostatnio w USA robi¡ karier¦ absolwenci uczelni polskich i to na czo- ªowych uniwersytetach ±wiata. Dla przykªadu A. Skrzypacz jest profesorem w Stanford University, A. Strzalecki na Harvardzie, W. Olszewski w Northwe- stern University, M. Pycia w UCLA, wszyscy na wydziaªach ekonomicznych. U nas bardzo wolno pojawiaj¡ si¦ nowe mªode osoby zainteresowane teori¡ gier:

cz¦±¢ z nich na SGH, cz¦±¢ na Uniwersytecie Warszawskim. Ci drudzy nawi¡- zuj¡ do biologii lub informatyki. Ja osobi±cie nie narzekam. Od 1989r. byªem kierownikiem lub wykonawc¡ w o±miu grantach (KBN, MNiSW i NCN). Ale

(7)

widz¦, »e niektórzy nie bardzo wiedz¡, w której dziedzinie zªo»y¢ projekt.

Co wi¦cej, ±rodowisko matematyczne maªo interesuje si¦ teori¡ gier. Jedynie matematyka nansowa przyci¡ga uwag¦ i metody analizy danych. Teoria gier jest czym± w rodzaju nauki podstawowej dla ekonomii czy nansów, podobnie jak zyka dla nauk technicznych. Nie b¦d¦ dalej si¦ rozwodziª nad tym, ale powiem, »e kraje, w których matematycy bardzo powa»nie podchodz¡

do teorii gier (Izrael, USA, Francja, Niemcy) maj¡ wielu noblistów w dziedzinie ekonomii. Na pewno stary system polityczny utrudniaª matematykom z Polski szersze zaanga»owanie w teori¦ gier i nowoczesn¡ ekonomi¦. Poza tym matematycy w Polsce traktowali t¡ dziedzin¦ bardzo fragmentarycznie, jako dodatek do ich zdaniem wa»niejszych bada«. I w zasadzie tak pozostaªo.

Chyba troch¦ odszedªem od gªównego tematu rozmowy?

7. Te uwagi te» s¡ interesuj¡ce. Ale wró¢my do bada«. Troch¦ konty- nuowaªem prace z gier stochastycznych o sumie zerowej, ale interesowaªy mnie modele ze sªabo ci¡gªymi prawdopodobie«stwami przej±cia (maj¡cymi wªasno±¢ Fellera). Tutaj wskazaªbym artykuª [45] oraz nasze wspólne prace [24,26]. Pierwsza z nich dotyczyªa modeli z ergodycznymi wypªatami, a druga modeli optymalizacji minimaksowej, inspirowanymi problematyk¡ makroeko- nomiczn¡, np. wywodz¡cymi si¦ z dynamicznej teorii wzrostu ekonomicznego.

Byªy jeszcze jakie± pokrewne prace, ale bardziej mnie interesowaªy gry nie- kooperacyjne o sumie niezerowej. W takiej grze N graczy wpªywa na praw- dopodobie«stwa przej±cia w ªa«cuchu Markowa z ogóln¡ przestrzeni¡ stanów i sukcesywnie zbiera wypªaty zale»ne od ich wyborów w czasie gry. Gracze mog¡ u»ywa¢ loterii w ka»dym stanie gry jaki spotkaj¡ po drodze. Wypªaty s¡

dyskontowane i u±rednione po trajektoriach (niesko«czonych historiach gry) wedªug rozkªadów prawdopodobie«stwa skonstruowanych za pomoc¡ znanego twierdzenia Ionescu-Tulcea. Podstawowym rozwi¡zaniem dla takiej gry jest równowaga strategiczna w sensie Nasha [42]. Jest to ukªad strategii graczy, z którego nie opªaca si¦ wyj±¢ »adnemu pojedynczemu graczowi. Trzeba zwróci¢

uwag¦ na to, »e wybory strategii graczy s¡ niezale»ne. Ka»dy z nich zna na ka»dym kroku caª¡ dotychczasow¡ histori¦ gry, ale w momencie wyboru al- ternatywy w danym okresie nie wie, co czyni¡ partnerzy. Je±li który± z graczy my±li o odst¡pieniu od swojej strategii w równowadze Nasha, to musi si¦ liczy¢

z mniejsz¡ wypªat¡ w przypadku, gdy wszyscy pozostali gracze tego nie zrobi¡. Jest to pewna forma stabilno±ci strategicznej równowagi Nasha, by¢ mo»e nieco sªaba i czasami trudna do zrealizowania, zwªaszcza, gdy w grze istnieje wiele równowag. Znane s¡ problemy z akceptacj¡ tej koncepcji rozwi¡zania gry o sumie niezerowej, nawet w przypadku gier statycznych i sko«czonych (macierzowych). D. Blackwell wspomniaª kiedy±, »e nie pisaª prac na temat równowag Nasha, bo nie rozumiaª (raczej nie akceptowaª w swoim sposobie my±lenia) tego modelu. Dlatego ograniczaª si¦ do badania gier antagonistycz- nych (o sumie zerowej). Niemniej zach¦caª innych do poszukiwania nowych idei w dziedzinie gier o sumie niezerowej. Pojawiªo si¦ szereg prób ulepszenia

(8)

rozwi¡zania Nasha, a tak»e wiele modeli, w których poj¦cie równowagi Nasha byªo naturalne. St¡d ta koncepcja przetrwaªa do czasów obecnych, a jak wiadomo, Nash i kilka osób pracuj¡cych nad równowagami otrzymaªo Nagrod¦

Nobla w dziedzinie ekonomii w 1994r.

Ciekawym faktem jest to, »e istnienie równowagi Nasha w grze dwumacie- rzowej jest równowa»nie twierdzeniu Brouwera o punkcie staªym. To oznacza,

»e znalezienie równowagi Nasha w grze stochastycznej i w wielu podobnych modelach gier dynamicznych polega na rozwi¡zaniu wielokrotnego zagadnie- nia punktu staªego w tym samym czasie. N punktów staªych w przestrzeniach funkcyjnych, np. przestrzeniach Banacha funkcji mierzalnych i ograniczonych z norm¡ supremum, gdzie ka»dy punkt staªy wi¡»¦ si¦ z pewnym odwzo- rowaniem zw¦»aj¡cym, oraz dodatkowo punktu staªego tzw. odwzorowania najlepszych odpowiedzi graczy na strategie partnerów. Ten dodatkowy punkt staªy jest w klasie strategii graczy, w której trzeba znale¹¢ odpowiedni¡ zwart¡

topologi¦.

Istnienie równowagi Nasha w grze stochastycznej z borelowskim zbiorem stanów interesuje badaczy od pocz¡tku lat 70. ubiegªego wieku. Ciekawostk¡

jest, »e do dzisiaj opublikowano na ten temat osiem prac z bardzo powa»- nymi bª¦dami w dowodach, w dobrych i bardzo dobrych czasopismach. Im wy»szy ranking w bazie Scopus, tym trudniej wykry¢ bª¡d. Nie wypada ich tutaj cytowa¢. Dodam tylko, »e nie ma w tym zestawie mojego artykuªu.

W 1987r. J.F. Mertens i T. Parthasarathy napisali raport, w którym zawarli bardzo trudny dowód istnienia równowagi Nasha w grze stochastycznej z borelowskim zbiorem stanów w klasie strategii zale»nych od historii gry, w tym od numeru jej etapu. Mieli kªopoty z jej publikowaniem, bo recenzenci do- magali si¦ wersji bardziej czytelnej. W ko«cu ta sama wersja ukazaªa si¦ w [39], w 2003r. Nie my±laªem wcze±niej o równowagach Nasha w klasie strategii zale»nych od historii i etapu gry. Sam model jest stacjonarny i dlatego inte- resowaªy mnie proste równowagi w klasie strategii niezale»nych od czasu, ale zale»nych od aktualnego stanu gry, zwanych stacjonarnymi. Okazaªo si¦, »e po wprowadzeniu nowej wspóªrz¦dnej stanu b¦d¡cej rodzajem szumu o roz- kªadzie jednostajnym na odcinku [0, 1] mo»na wykaza¢ istnienie stacjonarnej równowagi Nasha w grze z borelowsk¡ przestrzeni¡ stanów. Ten szum pomaga graczom w pewnym sensie korelowa¢ wybory w poszczególnych stanach gry, stanowi¡c rodzaj publicznych sygnaªów. Prac¦ na ten temat napisaªem wraz z T.E.S. Raghavanem w Chicago [47]. Podobne rezultaty opublikowali nieco pó¹niej bardzo znani autorzy jak D. Due (Stanford University), J.

Geanakoplos (Yale University), A. Mclennan (University of Minnesota), A.

Mas-Colell (UCLA) [18] oraz C. Harris (Oxford, UK), P. Renyi (University of Chicago) i A. Robson (Simon Fraser University, Canada) [22]. Ten wynik od- biª si¦ do±¢ szerokim echem w±ród osób zajmuj¡cych si¦ grami dynamicznymi, w tym stochastycznymi. Dowód opiera si¦ na pewnym zastosowaniu twierdzenia Kakutaniego-Glicksberga o punkcie staªym [21] i odpowiednio dobranych

(9)

technikach znanych w teorii sterownia i funkcji wielowarto±ciowych. Pó¹niej pokazaªem, »e szum mo»na wyeliminowa¢ przy zaªo»eniu, ze prawdopodobie«stwo przej±cia jest kombinacj¡ wypukª¡ sko«czonej ilo±ci miar probabi- listycznych o wspóªczynnikach zale»nych od akcji graczy i stanów losowych gry [46]. Nowym elementem w dowodzie (poza zastosowaniem odpowiedniego twierdzenia o punkcie staªym) byªo zastosowanie twierdzenia Lapunowa o obrazie wektorowej miary bezatomowej. Okazaªo si¦, »e ten klasyczny fakt jest wa»nym kluczem do rozwa»ania stacjonarnych równowag Nasha w grach stochastycznych o sumie niezerowej z continuum stanów. Artykuª [46] ukazaª si¦

w jubileuszowym zeszycie International Journal of Game Theory, na 30-lecie tego czasopisma, ufundowanego przez pioniera teorii gier O. Morgensterna.

Nasza wspólna praca [27] zawiera pewne rozszerzenie pracy [46] na przypa- dek, gdy miary w kombinacji wypukªej zast¡pione s¡ przez prawdopodobie«- stwa przej±cia od stanu do stanu, niezale»ne od akcji graczy. W tym przypadku otrzymana jest stacjonarna równowaga Nasha, ale zale»na od aktualnego i po- przedniego stanu gry. Praca J.F. Mertensa [37] gra wa»n¡ rol¦ w dowodzie.

Dotyczy mierzalnego wyboru mierzalnych selektorów pewnych odwzorowa«

wielowarto±ciowych. Tutaj tajemnica le»y te» w zastosowaniu odpowiedniego wariantu twierdzenia Lapunowa, ale dla sparametryzowanej rodziny miar bez- atomowych. Z uczuciem zrozumiaªej emocji dedykowali±my artykuª [27] pami¦ci C. Ryll-Nardzewskiego. Znaczenie tego artykuªu jest wzmocnione przez kontrprzykªad, który znalazª J. Levy [30]. Podaª skomplikowany przykªad gry o±mioosobowej, speªniaj¡cej zaªo»enia z naszej pracy [27] i nieposiadaj¡cej stacjonarnej równowagi Nasha w strategiach zale»nych tylko od aktualnego stanu gry. Ciekawe czy podobny przykªad mo»na znale¹¢ w klasie gier dwuosobowych. To na pewno jest trudny problem.

W dziedzinie gier stochastycznych o sumie niezerowej napisaªem te» inne artykuªy, w tym kilka nawi¡zuj¡cych do makro- lub mikroekonomii.

8. Ostatnio powstaªo kilka artykuªów nawi¡zuj¡cych do gier wielogeneracyjnych i procesów decyzyjnych z u»yteczno±ciami zmieniaj¡cymi si¦ w czasie.

Tak, to nawet ciekawa dziedzina. W najprostszym uj¦ciu w grze wielo- generacyjnej rozwa»a si¦ równowag¦ strategiczn¡ mi¦dzy generacjami. Ka»da generacja »yje w jednym okresie i konsumuje pewne dobro odnawialne. Po- zostaªo±¢ jest inwestycj¡ na poczet nast¦pców. U»yteczno±¢ ka»dej generacji zale»y od jej konsumpcji oraz od tego, ile b¦d¡ konsumowali spadkobiercy.

Chodzi o znalezienie strategii konsumpcji dla poszczególnych graczy stanowi¡cych równowag¦ w sensie Nasha. To jest gra z przeliczaln¡ ilo±ci¡ uczest- ników i wtedy istnienie równowagi stacjonarnej (pewnego wspólnego modelu konsumpcji dla graczy) jest ciekawym zagadnieniem punktu staªego w odpowiednio dobranych przestrzeniach funkcyjnych. Ten model wywodzi si¦ z rozwa»a« znanych ekonomistów jak E. Phelps R.A. Pollak i byª dyskutowany przez K. Arrowa i innych. K. Arrow i E. Phelps to laureaci Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii. Na temat tych gier pisano prace w London School of

(10)

Economics (W. Leininger) oraz w Stanford University (D. Bernheim i D. Ray) na pocz¡tku lat 80. ubiegªego wieku Pó¹niej ukazaªy si¦ dwie prace w bardzo renomowanym czasopi±mie Journal of Economic Theory na temat nieco ogól- niejszych modeli, ale dowody w nich podane byªy bª¦dne i nienaprawialne.

Po wielu latach zastoju udaªo mi si¦ wraz z moimi mªodszymi wspóªpra- cownikami uzyska¢ kilka bardzo dobrych rezultatów dla szerokiej klasy gier wielogeneracyjnych [4, 5, 6, 7]. Dowody s¡ dosy¢ subtelne. Sporo drobnych detali. Potrzebna byªa du»a uwaga i dbaªo±¢ o szczegóªy, by nie zrobi¢ bª¦du.

Znaczna cz¦±¢ mojego dorobku i moich wspóªpracowników w zakresie gier stochastycznych jest dobrze opisana w obszernych artykuªach przegl¡dowych [25, 28]. Wida¢ w nich, »e ta dziedzina jest obecnie mocno zaawansowana i bardzo szeroka.

2: Od lewej stoj¡: Vladimir V. Mazalov (Prezydent ISDG), Andrzej S. Nowak, S. Jørgensen (przewodnicz¡cy jury) i Georges Zaccour.²

9. Sªyszaªam, »e w latach 80. ubiegªego wieku panowaª pewien sceptycyzm co do rozwoju i znaczenia teorii gier.

Chyba rzeczywi±cie tak byªo. W latach powojennych pojawiªy si¦ wielkie indywidualno±ci jak J. von Neumann, O. Morgenstern (uwa»ani za twórców dziedziny), J.F. Nash, L.S. Shapley, H. Kuhn. Pracowali na Princeton Uni- versity. Pó¹niej doª¡czyli do nich R. Aumann, jego uczniowie, J. Harsanyi (University of California, Berkeley), D. Blackwell i inni. Nie nale»y zapomina¢

postaci R. Isaacsa, który uwa»any jest za pioniera teorii gier ró»niczkowych [23] i osob¦, która wywarªa wielki wpªyw na teori¦ gier dynamicznych. Praco-

2Autorem zdj¦cia jest S. Kumkov.

(11)

waª on z wieloma wybitnymi matematykami dla RAND Corporation w USA.

W tamtych czasach wielu matematyków traktowaªo teori¦ gier jak pewien dodatek do swoich podstawowych bada«, albowiem mo»na byªo wykorzystywa¢

teori¦ punktów staªych odwzorowa« ci¡gªych (w tym wielowarto±ciowych), zagadnienia analizy nieliniowej, elementy teorii miary i inne metody znane z podstawowych kursów uniwersyteckich. Modele gier byªy w miar¦ proste.

Mo»na byªo te» zaobserwowa¢ wpªyw teorii gier na teori¦ mnogo±ci czy topologi¦ [20,35,40,53]. Z biegiem czasu modele teorii gier stawaªy si¦ coraz

3: Od lewej stoj¡: Georges Zaccour, Anna Ja±kiewicz i Piotr Wi¦cek.³

bardziej rozbudowane i skomplikowane, trudne do szybkiego zrozumienia. Po- nadto, badane rozwi¡zania rozmaitych gier stawaªy si¦ coraz bardziej wyra- nowane i skomplikowane, w zasadzie trudno dost¦pne nawet dobrze wyksztaª- conym ogólnie matematykom. Rozwijaªy si¦ specjalizacje w ramach dziedziny, wykorzystuj¡ce ró»ne narz¦dzia badawcze. Chyba dlatego nazwa teoria gier

utrwaliªa si¦ w±ród specjalistów. Niektórzy powiadali, »e w realnym ±wiecie ludzie tak nie graj¡ jak matematycy sobie wymy±laj¡. Co wi¦cej, niektóre strategie rozwa»ane w teorii wymagaj¡ olbrzymiej pami¦ci od graczy. Chyba to byªy przyczyny pewnego sceptycyzmu, je±li chodzi o praktyczne znaczenie teorii gier. W ostatnich dwudziestu latach wida¢ jednak spory wzrost zainteresowania teori¡ gier. Wystarczy zajrze¢ na strony internetowe Game Theory Society, International Society of Dynamic Games czy Econometric Society, by zauwa»y¢ bardzo du»¡ liczb¦ konferencji z teorii gier po±wi¦conych jej ró»- nym obszarom. Cz¦sto one si¦ ró»ni¡ pod wzgl¦dem metod matematycznych i

3Autorem zdj¦cia jest K. Szajowski.

(12)

badanych modeli. Naprawd¦ jest tego du»o. Pojawiaj¡ si¦ zastosowania teorii gier w problematyce zwi¡zanej z bezpiecze«stwem sieci komputerowych, w te- lekomunikacji, sieciach spoªeczno±ciowych, modelowaniu rynku i w wielu klasycznych dziedzinach jak ekonomia. Warto poogl¡da¢ te strony. Jedn¡ z wa»- nych przyczyn wzrostu zainteresowania teori¡ gier w ±wiecie jest mo»liwo±¢

wykorzystania komputerów du»ej mocy. One staj¡ si¦ graczami w rozmaitych grach i potra¡ gromadzi¢ coraz wi¦cej informacji. Szeroko rozumiany rynek gospodarczy zauwa»a potrzeb¦ wykorzystania metod teorii gier, skoro gracze s¡ coraz bardziej wyranowani i skuteczni, bo korzystaj¡ z nowych technolo- gii. Pomijam militarne zagadnienia b¦d¡ce w kr¦gu zainteresowania du»ych graczy tego ±wiata. Bardzo szeroki przegl¡d podstawowych rezultatów w teorii gier, a tak»e ich zastosowa« w ekonomii, biologii, naukach technicznych i spoªecznych (politycznych) mo»na znale¹¢ w serii tomów przegl¡dowych pod redakcj¡ wybitnych przedstawicieli tej dziedziny jak R.J. Aumann, S. Hart [1,2,3], H.P. Young, S. Zamir [54] oraz T. Basar i G. Zaccour [8]. Dwa tomy [8] zawieraj¡ bardzo du»o informacji o nowych kierunkach bada« i zastosowa- niach gier dynamicznych.

Niestety, w Polsce poza prac¡ drobnej grupy osób pracuj¡cych w dziedzinie teorii gier, nie wida¢ wiele nowego. Mo»na zauwa»y¢ pewien post¦p w Warszawie czy Krakowie. Nie wypada mi wi¦cej o tym mówi¢, moje spo- strze»enia mog¡ by¢ niepeªne. Dobrze si¦ staªo, »e to co byªo dotychczas zrobione zauwa»ono w ±wiecie. Du»a w tym zasªuga moich Profesorów, w tym C. Ryll-Nardzewskiego, a tak»e grona moich kolegów wymienionych wcze-

±niej, a zwªaszcza kilkorga moich uczniów, widocznych szczególnie w pracach przegl¡dowych [25, 28]. Poza osob¡ przeprowadzaj¡c¡ ten wywiad powinienem wspomnie¢ innych uczniów: W. Poªowczuka, P. Szajowskiego, P. Wi¦- ceka czy . Balbusa, który pracuje od kilku lat ze mn¡ na Uniwersytecie Zielonogórskim. Wraz z . Wo¹nym realizuje drugi z rz¦du grant NCN w ekonomii po±wi¦cony du»ym grom. My z kolei realizujemy wraz z P. Wi¦ckiem pod kierunkiem mojej rozmówczyni drugi z rz¦du grant NCN w dziedzinie matematyki. Mamy tam projekty dotycz¡ce gier stochastycznych, procesów decyzyjnych Markowa z ograniczeniami, gdzie u»ywa si¦ ªadny aparat teorii miary, a tak»e gier z du»¡ ilo±ci¡ uczestników, gdzie wªa±ciwe rozwi¡zanie jest inspirowane w pewnym sensie podej±ciem statystycznym (mean-eld equilibrium). Co jeszcze mógªbym doda¢?

My±l¦, »e to wystarczy i dzi¦kuj¦ bardzo za rozmow¦.

10. Spis cytowa«

[1] R. J. Aumann and S. Hart, editors. Handbook of game theory with economic applications. Vol. I, volume 11 of Handbooks in Economics. North- Holland Publishing Co., Amsterdam, 1992. ISBN 0-444-88098-4. MR 1202045. Cited on pp. 65and 72.

(13)

[2] R. J. Aumann and S. Hart, editors. Handbook of game theory with economic applications. Vol. II, volume 11 of Handbooks in Economics.

North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1994. ISBN 0-444-89427-6.

MR1313215. Cited on pp. 65 and 72.

[3] R. J. Aumann and S. Hart, editors. Handbook of game theory with economic applications. Vol. 3, volume 11 of Handbooks in Economics.

Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2002. ISBN 0-444-89428-4. Cited on p. 72.

[4] . Balbus and A. Nowak. Existence of perfect equilibria in a class of multigenerational stochastic games of capital accumulation. Automatica, 44(6):14711479, 2008. ISSN 0005-1098. Cited on p. 70.

[5] . Balbus, A. Ja±kiewicz, and A. Nowak. Stochastic bequest games.

Games Econom. Behav., 90:247256, 2015. ISSN 0899-8256. doi:

10.1016/j.geb.2015.02.017. MR 3337377. Cited on p.70.

[6] . Balbus, A. Ja±kiewicz, and A. S. Nowak. Existence of stationary Markov perfect equilibria in stochastic altruistic growth economies. J.

Optim. Theory Appl., 165(1):295315, 2015. ISSN 0022-3239. doi:

10.1007/s10957-014-0555-1. Cited on p.70.

[7] . Balbus, A. Ja±kiewicz, and A. Nowak. Non-paternalistic intergene- rational altruism revisited. J. Math. Econom., 63:2733, 2016. ISSN 0304-4068. doi: 10.1016/j.jmateco.2015.12.002. MR 3476586. Cited on p.70.

[8] T. Basar and G. Zaccour, editors. Handbook of Dynamic Game Theory.

Springer International Publishing AG, part of Springer Nature, Cham, 2016. ISBN 878-3-319-44373-7. doi: 10.1007/978-3-319-44374-4. Cited on pp. 63 and72.

[9] D. Blackwell. An analog of the minimax theorem for vector payos. Pacic J. Math., 6:18, 1956. ISSN 0030-8730. URL http:

//projecteuclid.org/euclid.pjm/1103044235. Cited on p.63.

[10] D. Blackwell. Discrete dynamic programming. Ann. Math. Statist., 33:

719726, 1962. ISSN 0003-4851. doi: 10.1214/aoms/1177704593. Cited on pp. 63 and64.

[11] D. Blackwell. Discounted dynamic programming. Ann. Math. Statist., 36:

226235, 1965. ISSN 0003-4851. doi: 10.1214/aoms/1177700285. Cited on pp. 63 and64.

[12] D. Blackwell. Innite Gδ-games with imperfect information. Zastos.

Mat., 10:99101, 1969. ISSN 0044-1899. Cited on p. 65.

(14)

[13] D. Blackwell. Borel sets via games. Ann. Probab., 9(2):321322, 1981. ISSN 0091-1798. URL http://links.jstor.org/sici?sici=

0091-1798(198104)9:2<321:BSVG>2.0.CO;2-8&origin=MSN. Cited on p.63.

[14] D. Blackwell. Operator solution of innite Gδ games of imperfect information. In Probability, statistics, and mathematics, pages 8387. Acade- mic Press, Boston, MA, 1989. Cited on p. 65.

[15] D. Blackwell and T. S. Ferguson. The big match. Ann. Math. Statist, 39:

159163, 1968. ISSN 0003-4851. doi: 10.1214/aoms/1177698513. Cited on p. 63.

[16] D. Blackwell and C. Ryll-Nardzewski. Non-existence of everywhere pro- per conditional distributions. Ann. Math. Statist., 34:223225, 1963.

ISSN 0003-4851. doi: 10.1214/aoms/1177704259. Cited on p.63.

[17] L. E. Dubins and L. J. Savage. Inequalities for stochastic processes. How to gamble if you must. 2nd ed. Dover Publications, Mineola, NY, 1976.

Cited on p. 63.

[18] D. Due, J. Geanakoplos, A. Mas-Colell, and A. McLennan. Stationary Markov equilibria. Econometrica, 62(4):745781, 1994. ISSN 0012-9682.

doi: 10.2307/2951731. URLhttps://doi.org/10.2307/2951731. Cited on p. 68.

[19] E. B. Dynkin. Game variant of a problem on optimal stopping. So- viet Math. Dokl., 10:270 274, 1969. URL http://mi.mathnet.ru/

dan34469. Å. Á. Äûíêèí. Èãðîâîé âàðèàíò çàäà÷è îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå, Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 185:1 (1969), 1619. Cited on p. 64.

[20] D. Gale and F. M. Stewart. Innite games with perfect information.

In Contributions to the theory of games, vol. 2, Annals of Mathematics Studies, no. 28, pages 245266. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1953. Cited on pp. 63 and71.

[21] I. L. Glicksberg. A further generalization of the Kakutani xed theorem, with application to Nash equilibrium points. Proc. Amer. Math. Soc., 3:170174, 1952. ISSN 0002-9939. doi: 10.2307/2032478. URL https:

//doi.org/10.2307/2032478. Cited on p.68.

[22] C. Harris, P. Reny, and A. Robson. The existence of subgame-perfect equilibrium in continuous games with almost perfect information: A case for public randomization. Econometrica, 63(3):507544, 1995. ISSN 0012-9682; 1468-0262/e. Cited on p. 68.

(15)

[23] R. Isaacs. Dierential games. A mathematical theory with applications to warfare and pursuit, control and optimization. (The SIAM Series in Applied Mathematics) New York-London-Sydney: John Wiley and Sons, Inc. XXII, 384 p. (1965)., 1965. Zbl 0125.38001. Cited on pp. 62,70, and 78.

[24] A. Ja±kiewicz and A. S. Nowak. Zero-sum ergodic stochastic games with Feller transition probabilities. SIAM J. Control Optim., 45(3):773789, 2006. ISSN 0363-0129. doi: 10.1137/S0363012904443257. Cited on p.

67.

[25] A. Ja±kiewicz and A. S. Nowak. Non-zero-sum stochastic games. In T. Basar and G. Zaccour, editors, Handbook of Dynamic Game Theory, pages 164. Springer International Publishing, Cham, 2017. ISBN 978- 3-319-27335-8. doi: 10.1007/978-3-319-27335-8_33-2. Cited on pp.62, 70, and72.

[26] A. Ja±kiewicz and A. S. Nowak. Stochastic games with unbounded payos: Applications to robust control in economics. Dynamic Ga- mes and Applications, 1(2):253279, Jun 2011. ISSN 2153-0793. doi:

10.1007/s13235-011-0013-8. Cited on p.67.

[27] A. Ja±kiewicz and A. S. Nowak. Stationary almost Markov perfect equilibria in discounted stochastic games. Math. Oper. Res., 41(2):430441, 2016. ISSN 0364-765X. doi: 10.1287/moor.2015.0734. Cited on p. 69.

[28] A. Ja±kiewicz and A. S. Nowak. Zero-sum stochastic games. In T. Basar and G. Zaccour, editors, Handbook of Dynamic Game Theory, pages 1

65. Springer International Publishing, Cham, 2016. ISBN 978-3-319- 27335-8. doi: 10.1007/978-3-319-27335-8_8-1. Cited on pp. 62, 70, and 72.

[29] K. Kuratowski and C. Ryll-Nardzewski. A general theorem on selectors.

Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys., 13:397403, 1965.

ISSN 0001-4117. Cited on p. 64.

[30] Y. J. Levy and A. McLennan. Corrigendum to Discounted stochastic games with no stationary Nash equilibrium: two examples [ MR3117038]. Econometrica, 83(3):12371252, 2015. ISSN 0012-9682.

doi: 10.3982/ECTA12183. URLhttps://doi.org/10.3982/ECTA12183.

Cited on p. 69.

[31] A. Maitra and W. Sudderth. Borel stochastic games with lim sup payo.

Ann. Probab., 21(2):861885, 1993. ISSN 0091-1798. URLhttps://www.

jstor.org/stable/2244679. Cited on p.65.

(16)

[32] A. Maitra and W. Sudderth. Finitely additive and measurable stochastic games. Internat. J. Game Theory, 22(3):201223, 1993. ISSN 0020-7276.

doi: 10.1007/BF01240053. Cited on p.65.

[33] A. Maitra and W. Sudderth. Finitely additive stochastic games with Bo- rel measurable payos. Internat. J. Game Theory, 27(2):257267, 1998.

ISSN 0020-7276. doi: 10.1007/s001820050071. Cited on p. 65.

[34] A. P. Maitra and W. D. Sudderth. Discrete gambling and stochastic games, volume 32 of Applications of Mathematics (New York). Springer- Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94628-4. doi: 10.1007/978-1-4612- 4002-0. Cited on p.65.

[35] D. A. Martin. Borel determinacy. Ann. of Math. (2), 102(2):363371, 1975. ISSN 0003-486X. doi: 10.2307/1971035. MR 0403976. Cited on p.71.

[36] M. Maschler, E. Solan, and S. Zamir. Game theory. Cambridge University Press, Cambridge, 2013. ISBN 978-1-107-00548-8. doi:

10.1017/CBO9780511794216. Translated from Hebrew by Ziv Hellman and edited by Mike Borns. MR 3154588. Cited on p.66.

[37] J.-F. Mertens. A measurable measurable choice theorem. In Stochastic games and applications (Stony Brook, NY, 1999), volume 570 of NATO Sci. Ser. C Math. Phys. Sci., pages 107130. Kluwer Acad. Publ., Do- rdrecht, 2003. Cited on p. 69.

[38] J.-F. Mertens and A. Neyman. Stochastic games have a value. Proc.

Nat. Acad. Sci. U.S.A., 79(6):21452146, 1982. ISSN 0027-8424. doi:

10.1073/pnas.79.6.2145. URL https://doi.org/10.1073/pnas.79.6.

2145. Cited on p.63.

[39] J.-F. Mertens and T. Parthasarathy. Equilibria for discounted stochastic games. In Stochastic games and applications (Stony Brook, NY, 1999), volume 570 of NATO Sci. Ser. C Math. Phys. Sci., pages 131172. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003. Cited on p.68.

[40] J. Mycielski. Games with perfect information. In Handbook of game theory with economic applications, Vol. I, volume 11 of Handbooks in Econom., pages 4170. North-Holland, Amsterdam, 1992. doi:

10.1016/S1574-0005(05)80006-2. Cited on pp.64and 71.

[41] J. Mycielski and S. wierczkowski. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fund. Math., 54:6771, 1964. ISSN 0016- 2736. doi: 10.4064/fm-54-1-67-71. Cited on p.64.

(17)

[42] J. Nash. Non-cooperative games. Ann. of Math. (2), 54:286295, 1951.

ISSN 0003-486X. doi: 10.2307/1969529. URL https://doi.org/10.

2307/1969529. Cited on p.67.

[43] A. S. Nowak. Universally measurable strategies in zero-sum stochastic games. Ann. Probab., 13(1):269287, 1985. ISSN 0091- 1798. URL http://links.jstor.org/sici?sici=0091-1798(198502) 13:1<269:UMSIZS>2.0.CO;2-Q&origin=MSN. Cited on p.65.

[44] A. S. Nowak. Measurable selection theorems for minimax stochastic optimization problems. SIAM J. Control Optim., 23(3):466476, 1985.

ISSN 0363-0129. doi: 10.1137/0323030. Cited on p.65.

[45] A. S. Nowak. Semicontinuous nonstationary stochastic games. J. Math.

Anal. Appl., 117(1):8499, 1986. ISSN 0022-247X. doi: 10.1016/0022- 247X(86)90250-7. Cited on p.67.

[46] A. S. Nowak. On a new class of nonzero-sum discounted stochastic games having stationary Nash equilibrium points. Internat. J. Game Theory, 32 (1):121132, 2003. ISSN 0020-7276. doi: 10.1007/s001820200118. Special anniversary issue. Part 2. Cited on p. 69.

[47] A. S. Nowak and T. E. S. Raghavan. Existence of stationary corre- lated equilibria with symmetric information for discounted stochastic games. Math. Oper. Res., 17(3):519526, 1992. ISSN 0364-765X. doi:

10.1287/moor.17.3.519. Cited on p.68.

[48] K. Prikry and W. D. Sudderth. Measurability of the value of a para- metrized game. Internat. J. Game Theory, 45(3):675683, 2016. ISSN 0020-7276. doi: 10.1007/s00182-015-0476-8. Cited on p.65.

[49] C. Ryll-Nardzewski. A theory of pursuit and evasion. In Advances in Game Theory, pages 113126. Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1964. Cited on p. 64.

[50] C. Ryll-Nardzewski. The works of Hugo Steinhaus on conict situ- ations. Wiadom. Mat. (2), 17:2938, 1973. ISSN 0373-8302. doi:

10.14708/wm.v17i01.3109. Papers presented at a Conference in Honor of Hugo Steinhaus (Wrocªaw, 1972). Cited on p. 64.

[51] U. Schwalbe and P. Walker. Zermelo and the early history of game theory. Games Econom. Behav., 34(1):123137, 2001. ISSN 0899-8256. doi:

10.1006/game.2000.0794. With an appendix by Ernst Zermelo, translated from German by the authors. MR 1895174. Cited on p.64.

[52] L. S. Shapley. Stochastic games. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 39:

10951100, 1953. ISSN 0027-8424. doi: 10.1073/pnas.39.10.1953. Cited on pp. 64 and65.

(18)

[53] R. Telgársky. Topological games: on the 50th anniversary of the Banach- Mazur game. Rocky Mountain J. Math., 17(2):227276, 1987. ISSN 0035-7596. doi: 10.1216/RMJ-1987-17-2-227. Cited on pp.64 and 71.

[54] H. P. Young and S. Zamir, editors. Handbook of game theory. Vol. 4.

Handbooks in Economics. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2015.

ISBN 978-0-444-53766-9. Cited on p. 72.

A. Uzupeªnienia.

A.1. Nagroda imieniem Rufusa Isaacsa. Nagroda im. Rufusa Isa- acsa zostaªa ustanowiona w 2003r. i przyznawana jest od roku 2004 dwóm naukowcom co dwa lata na sympozjum ISDG za outstanding contribution to the theory and applications of dynamic games (wybitny wkªad w teori¦ i zastosowania gier dynamicznych).

Rufus Isaacs urodziª si¦ w 1914r. Otrzymaª licencjat na MIT w 1936 r., a tytuª magistra i doktora uzyskaª na uniwersytecie Columbia w Nowym Jorku odpowiednio w1942r. i 1943r. Pracowaª krótko na katolickim uniwersytecie Notre Dame du Lac w stanie Indiana, a nast¦pnie w 1948r. dostaª posad¦ w RAND Corporation, w której pozostaª do 1955r. Jego badania zwi¡zane byªy z prze- mysªem obronnym i lotnictwem i dotyczyªy gªównie gier ró»niczkowych po±cigu i pogoni o sumie zerowej. Ponadto, zainteresowania badawcze R. Isaacsa obejmowaªy tak»e w teorii grafów, funkcje analityczne czy teori¦ liczb. Warto wspomnie¢, »e jego prace ujrzaªy ±wiatªo dzienne dopiero dekad¦ pó¹niej po opuszczeniu RAND Co. i wydaniu ksi¡»ki [23] w 1965r. Podczas swojej kariery w RAND Co. procowaª m.in. z R. Bellmanem, L. Berkovitzem, D. Blackwel- lem, W. Flemingiem, I. Glicksbergiem, S. Karlinem czy J. Milnorem, J. Na- shem i L.. Shapleyem. Jego prace miaªy niebagatelny wpªyw na rozwi¡zania problemów optymalizacyjnych zwi¡zanych z programowaniem dynamicznym oraz zasad¡ maximum Pontryagina Obie metody stosowane s¡ w ekonomii oraz innych dziedzinach. Po zako«czeniu pracy w RAND Co. Isaacs byª profesorem na uniwersytecie Johnsa Hopkinsa w Baltimore.

Laureatami nagrody im. R. Isaacsa byli: George Leitmann i Yu-Chi Ho (2004), Nicolai Krasovskii i Wendell Fleming (2006), Alain Haurie i Pierre Bernhard (2008), Tamer Ba³ar i Geert Jan Olsder (2010), Karl Sigmund i Stef- fen Jørgensen (2012), Eitan Altman i Leon Petrosyan (2014), Martino Bardi i Ross Cresssman (2016), Andrzej Nowak i Georges Zaccour (2018). Wi¦cej informacji o nagrodzie oraz laureatach mo»na znale¹¢ na stronie internetowej:

http://www.isdg-site.org/(X(1)S(yrtm3mfvnhtppkt3i3qzgtpw))/Award.

(19)

A.2. RAND Corporation. RAND Corporation jest ameryka«skim glo- balnym non-prot think-tankiem zaªo»onym w 1948 roku przez rm¦ Douglas Aircraft w celu prowadzenia bada« i analizy dla Ameryka«skich Siª Zbroj- nych. RAND Co. zostaª zaªo»ony jako organizacja non-prot, aby promowa¢

nauk¦, edukacj¦ i dziaªalno±¢ charytatywn¡ dla dobra publicznego i bezpiecze«stwa USA. RAND Co. opracowaª w latach 50. ubiegªego wieku znan¡

doktryn¦ odstraszania nuklearnego przez wzajemnie gwarantowane zniszcze- nie (MAD), opracowane pod kierunkiem sekretarza obrony Roberta McNa- mara. Doktryna ta oparta o prace z teorii gier. Ponadto, trzydziestu dwóch laureatów Nagrody Nobla, gªównie w dziedzinie ekonomi i zyki, byªo zwi¡- zanych z RAND Co. jako pracownicy i konsultanci. W±ród nich znale¹li si¦

tacy uczeni jak: Kenneth Arrow (ekonomista, noblista w dziedzinie ekonomii), Robert Aumann (matematyk pracuj¡cy w teorii gier (noblista w dziedzinie ekonomii), Richard Bellman (matematyk, twórca programowania dynamicznego), George Dantzig (matematyk, twórca algorytmu simplex w programo- waniu liniowym), John Nash, (matematyk pracuj¡cy w teorii gier, noblista w dziedzinie ekonomii), John von Neumann (matematyk, pionier nowoczesnego komputera i teorii gier), Lloyd Shapley (matematyk pracuj¡cy w teorii gier, noblista w dziedzinie ekonomii). RAND Co. zatrudnia obecnie okoªo 1850 pracowników. Jej gªówna siedziba znajduje si¦ w Santa Monica w Kalifornii.

Ponadto, RAND Co. ma równie» swoje oddziaªy w Cambridge (UK), Brukseli (Belgia) i Canberra ( Australia). RAND Co. posiada wªasn¡ uczelni¦ Pardee RAND Graduate School, która szkoli przyszªe kadry dla korporacji na pozio- mie doktoratu.

(20)

Interview with Andrzej Nowak - Laureate of the Rufus Isaacs Award

Anna Ja±kiewicz

Abstract The Isaacs Award, named after Rufus Isaacs, is given every two years for the outstanding achievements in dynamic games by the International Society of Dy- namic Games since 2004. In 2018, Professors Andrzej Nowak (University of Zielona Góra) and Georges Zaccour (HEC, Montreal) were awarded. The article presents an interview with Professor Andrzej Nowak, in which the Laureate tells about his research career, the signicant results obtained in this eld and mentions scholars he met as a scientist. The list of all winners can be found in the appendix at the end of the interview.

2010 Mathematics Subject Classication: 62J05; 92D20.

Key words and phrases: Isaacs Award; stochastic game; dynamic game; Nash equilibrium.

Anna Ja±kiewicz received Ph.D. degree in mathematics from Wrocªaw University of Technology (Poland) in 2003. Her research interests include stochastic dynamic optimisation, game theory, and mathematical economics.

She is an Associate Professor at the Faculty of Pure and Applied Mathematics at Wrocªaw University of Science and Technology. She is an Associate Editor of Operations Research Letters, Dynamic Games and Applications and Mathematica Applicanda.

Anna Ja±kiewicz

Wrocªaw University of Science and Technology Faculty of Pure and Applied Mathematics Wybrze»e Wyspia«skiego 27, Wrocªaw 50-370 E-mail: Anna.Jaskiewicz@pwr.edu.pl

Communicated by: Krzysztof J. Szajowski

(Received: 5th of June 2019 ; revised: 26th of June 2019)