Dodatek 10
Kwantowa teoria przewodnictwa I Teoria klasyczna miała następujące mankamenty:
(1) zmierzone wartości średniej drogi swobodnej okazały się o kilka rzędów wielkości większe niż oczekiwane
(2) teoria nie dawała poprawnych zależności temperaturowych (3) nie przewidywała istnienia półprzewodników i izolatorów
Obecnie omówimy krótko (obszernie - patrz wykład) model elektronów swobodnych w zastosowaniu do teorii przewodnictwa. Chwilowo ograniczymy się do teorii przewodnictwa metali. W pierwszym przybliżeniu elektron w metalu można traktować jako cząstkę poruszającą się swobodnie pomiędzy jego brzegami. Przypomina to sytuacje cząstki w pudle potencjału, która była przez nas już rozwiązywana. Okazuje się, że już taki prosty model daje niezłe wyniki.
przypadek jednowymiarowy (1D)
wiemy, że elektrony są fermionami spełniającymi rozkład Fermiego – Diraca
1 ) 1
(
+
= −
kT E
n En F
e E
f , (1)
przy czym
n n
n g
E n
f ( ) = , (2)
gdzie
nn– liczba cząstek o energii En
gn – liczba dostępnych stanów o energii Ei (gęstość stanów) N – całkowita liczba cząstek
zastosujemy funkcję rozkładu do elektronów uwięzionych w pudle potencjału takim jak rozpatrywane w dodatku D6
+∞ +∞
0 x L
zakładamy, że szerokość bariery potencjału wynosi L, stąd
L n =
2
λ →
n L
n
= 2
λ (3)
dlatego pęd i energia są skwantowane zgodnie z formułami
L h n p h
n
n = = 2
λ →
2 2 2
2 2
2
=
= L
n m h m
En pn (4)
funkcje falowe muszą być unormowane tak, aby dla każdego stanu energetycznego prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w pudle było równe jedności, stąd
L x n x L
n
ψ 2 sin π
) (
2 / 1
= (5)
(sprawdzić)
zakładamy teraz, że w pudle umieszczamy N elektronów, każdy poziom energetyczny oznaczony liczbą kwantową n można obsadzić przez 2 elektrony, jeden ze spinem ku górze, drugi ku dołowi
jeżeli będziemy obsadzali N elektronami począwszy od najniższego n = 1, to najwyższy poziom nF spełni zależność
N nF =
2 (6)
energię najwyższego obsadzonego poziomu nazywamy energią Fermiego, wstawiając nF do (4) otrzymujemy
2 2 2 2
4 2 2
2
=
=
L N m h L
n m
EF h F (7)
otrzymane zależności są dobrym modelem jednowymiarowego układu przewodzącego w metalach N, nn– liczba cząstek o energii En i gn – liczba dostępnych stanów o energii Ei (gęstość stanów) są bardzo dużymi liczbami i w modelach teoretycznych często zamiast sum używa się różniczek i całek
np. gęstość stanów g= g(E) (rozumianą jako liczbę stanów elektronowych w jednostkowym przedziale energii) można otrzymać różniczkując (4)
L dn L n m
dE h
=
2
2
(8)
stąd (pamiętając o spinie elektronu) mamy
2 / 1 2
2
2 4 1 2 8
)
(
=
⋅
=
= E
m h
L n h
m L dE E dn
g (9)
widać, że gęstość stanów maleje z energią
przy takim podejściu również funkcje rozkładu (1) należy traktować jako ciągłą
1 ) 1
(
+
= −
kT E
E F
e E
f (10)
oczywiście jest spełniona zależność
∫
∞
=
0
) ( )
(E g E dE N
f (11)
przypadek (3D)
prawdziwy metal jest 3 – wymiarowy, dlatego trzeba rozwiązać 3 – wymiarowego równania Schroddingera dla cząstek w pudle 3D, jeżeli to zrobimy zamiast (5) otrzymamy (rozwiąż, patrz wykład, różne podręczniki, np. C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, itp.)
założymy, że próbka metalu ma kształt sześcianu o boku L, w trzech wymiarach wektor falowy k = (kx,ky,kz)i funkcja falowa ma postać
r
r k⋅
= i
n e
V
2 /
1 1
)
ψ ( , (12)
funkcja falowa jest już znormalizowana w ten sposób, że spełnia warunek brzegowy (3) w każdym wymiarze z osobna, tzn.
L nx =
2
λ →
x
nx n
L
= 2
λ (13)
stąd
x
x n
k 2Lπ
= , y ny
k 2Lπ
= , z nz
k 2Lπ
= (14)
po podstawieniu (12) do 3D równania Schrodingera
) ( )
2 (
2 2
r
r ψ
ψ E
m
h ∇ =
− (15)
otrzymuje się formułę na energie własne
2 2
2 k
m
E = h , (16)
gdzie składowe k spełniają warunki brzegowe (14), powyższe równanie w przestrzeni pędów jest równaniem kuli
) 2 (
2 2 2 2
y y
x k k
m k
E = h + + (17)
jeżeli będziemy obsadzać poziomy energetyczne N elektronami, podobnie jak to robiliśmy na etapie (7) otrzymamy energię Fermiego
2 2
2 F
F k
m
E = h (18)
w przestrzeni pędów wewnątrz kuli o objętości
2
3 4
F
k k
V = π (19)
dozwolona liczba stanów wynosi
3
3 3
2 F
k
k V k
V V
= π
∆ , (20)
gdzie
2 3
=
∆Vk Lπ
jest elementem objętości w przestrzeni k jeżeli, podobnie jak na etapie (6) założymy, że
V N V
k
k =
2∆ , (21)
otrzymamy prosty wzór
(
3 2n)
1/3kF = π (22)
gdzie n =V /N jest koncentracją (numeryczną) gazu elektronowego, stąd zgodnie z (17)
(
2)
2/32
2 3 n
m
EF = h π (23)
funkcja gęstości stanów (9) jest równa (patrz wykład)
2 / 1 2 / 3 2 2
2 ) 2
( E
h m E V
g
=
π (24)
widać, że zupełnie inaczej jak w przypadku 1D, gęstość stanów rośnie z energią
Powyższe formuły są użyteczne w wielu zagadnieniach fizyki ciała stałego. Jak to wykorzystać do opisu przewodnictwa metali?
(1) teoria kwantowa rzuca nowe światło na średni czas relaksacji τ (patrz wykład)
siła działająca na elektrony ze strony pola elektrycznego F=-e E, powoduje zmiany pędu elektronów, a zatem ich liczb falowych
h t F h
k δp δ
δ = = ⋅ (25)
kula nie rozpędza się do nieskończoności, bo zachodzą zderzenia elektronów, w stanie ustalonym czas rozpędzania wynosi średnio
τ
δt = (26)
oznacza to przesunięcie w przestrzeni pędów kuli Fermiego o wielkość δk w kierunku przepływu prądu, przesunięcie to nadaje dodatkową prędkość
m E e m
v F τ τ
δ ⋅ = − ⋅ ⋅
= (27)
z dodatkową prędkościąδv związany jest transport ładunku v
nq
j = ⋅δ (28)
z dwu powyższych wyrażeń otrzymujemy m E j ne2τ
= (29)
a więc formułę identyczną jak klasyczna, stąd dalsze formuły
m ne τ σ
2
= i
ρ 2τ
ne
= m (30)
czas relaksacji jest parametrem, który można wyznaczyć głębiej studiując ruch elektronów w sieci krystalicznej (potencjał periodyczny)
(2) średnia droga swobodna elektronu w obrazie kwantowym jest równa vE
l = 2τ (31)
gdzie vF jest prędkością elektronów na powierzchni Fermiego (dla pędu Fermiego), obliczoną zgodnie z oczywistym wyrażeniem
F
F hk
mv = (32)
do którego podstawiamy (20), stąd
(
3 2n)
1/3m
vF = h π (33)
(3) obowiązuje również formuła klasyczna E ne
j = µ (34)
tyle, że ruchliwość ma już inny sens
E v m
e F
=
= τ
µ [m2/Vs] (35)
Andrzej Kułak, CII p. 205/tel. 6173637/radiol1@wp.pl
