• Nie Znaleziono Wyników

# Assume that the pressure far from the bubble is p0

N/A
N/A
Protected

Share "Assume that the pressure far from the bubble is p0"

Copied!
2
0
0
Pokaż więcej ( Stron)

Pełen tekst

(1)

Hydrodynamics and Elasticity: Class 4

1. Determine the shape of the surface of an incompressible fluid subject to a gravitational field contained in a cylindrical vessel which rotates about its (vertical) axis with a constant angular velocity Ω. Thus the velocity field is

u(x, y) = (−Ωy, Ωx, 0).

2. Consider the irrotational fluid motion outside a spherical bubble of (a perfect) gas in an incompressible liquid. Neglect the effect of surface tension and mass diffusion. Find an equation for the radius R(t) of the bubble. Assume that the pressure far from the bubble is p0.

3. The path of a fluid particle, that was at (X, Y, Z) at time t = 0, is described by x(t) =



X cos Ω

2α(e2αt− 1)



− Y sin Ω

2α(e2αt− 1)



e−αt,

y(t) =



Y cos Ω

2α(e2αt− 1)



+ X sin Ω

2α(e2αt− 1)



e−αt, z(t) = Ze2αt.

(a) Show that the flow velocity reads

u = −αx − Ωye2αt, −αy + Ωxe2αt, 2αz , (1)

where Ω and α are constants. Verify that ∇ · u = 0.

(b) Show that the flow obeys the vorticity equation for an incompressible and ideal fluid

Dt = (ξ · ∇)u.

(c) Consider a material curve, described by the equation X2+ Y2 = a2, Z = 0,

at time t = 0. Obtain the equation that describes the shape of this material curve at any time t > 0.

Hint. Note that the velocity field in Eq. (1) has the form u = u1+ u2, where u1 = (−αx, −αy, 2αz) , u2 = −Ωye2αt, Ωxe2αt, 0 ,

∇ × u1 = 0 and u2 is a rigid body motion about the z axis.

1

(2)

4. For an inviscid fluid the Euler’s equation reads

∂u

∂t + ξ × u + ∇ 1 2u2



= −∇h0− ∇χ.

We also have conservation of mass, dρ

dt + ρ∇ · u = 0.

Show that d dt

 ξ ρ



= ξ ρ · ∇

 u.

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

The performed research with the use of a measuring arm together with an integrated laser scanner for the analysis of the filler wear, on the basis of the measurements of the

We suggest in this paper a method for assessing the validity of the assumption of normal distribution of random errors in a two-factor split-plot design.. The vector

In fact, we know the correspondence, at least generically, in the case of second order linear ordinary differential equations of Fuchsian type (with a large parameter) and we

In [14], the first of these two theorems has been generalized in a natural way to flag transitive automorphism groups of finite linear spaces which satisfy the following condition..

We introduce and investigate the well-posedness of a model describing the self-propelled motion of a small abstract swim- mer in the 3-D incompressible fluid governed by

Controllability of Partial Differential Equations Governed by Multiplicative Controls, Lecture Notes in Mathematics Series, Vol.. 1995,

Ten dwoisty punkt widzenia jest decydujący przedewszyst­ kiem dla końcowej sceny „Legjonu“. Pigoń daje tu nową i bardzo oryginalną interpretację. Legjon nie

Wychowawca staje więc wobec wychowanka jako osoby, spotyka się z wychowankiem w jego niepowtarzalnym fakcie „bycia osobą”, stąd też realizacja wychowania jest

Przedmiotem opracowania jest wyznaczona tytułem analiza historycznej polszczyzny kijowskiej w polsko-łacińskich panegirykach na cześć Warłama Jasińskiego: Arctos caeli

P ra w ie zupełnie lub zupełnie (ale nie bez uzasadnienia) pom inięto urzędników pryw atn ych (cóż to za dziew icze pole do badań!), kościelnych i

Fakt, iż jedni widzieli w piśmie narzędzie prowadzenia interesów, drudzy zaś sposób na transmisje wartości wyższej kultury duchowej tylko pozornie nie po­ zwala

EDT (Early Decay Time) is determined based on the speed of sound decay for first 10 dB of the acoustic pressure level decrease after the sound source dis- connection.. Time Tr20

Figure 3a shows the forward I-V characteristics in the semi-log scale for the vertical GaN-on-sapphire SBDs with various L AC.. Figure 3b shows the forward I-V characteristics

Niezwykle ważna jest zatem świadomość, iż promując okre­ ślony typ języka i form komunikacji międzyludzkiej, automatycznie promujemy specyficzny sposób bycia człowiekiem,

When is it

This kind of fluid-structure interaction arises in the cardiovascular system, for example, the blood flow in large arteries with aneurysm (see [3] and [4]) or the blood flow

Dwa domy możemy wskazać poza murami miejskimi na Ostrowie Tumskim; dwa – w sąsiedztwie posesji mieszczań- skich, ale w  prestiżowej części miasta, gdzie znajdowała się

Dług publiczny nie był i nie jest jedynym sposobem akumulacji pierwotnej kapitału. David Harvey pisze, że obecnie elementem akumulacji kapitału poprzez wywłaszczenie jest

of the turbulent field existing in the wind tunnel. By comparing the bending moment spectra under various tur- bulence conditions, particularly with the vortex

The percentage of newly created genotypes that passed the life test fell from 82 (90% of the deadline set) to 36 (60% of the deadline set). However, it did not influence the

Abstract—Many of current web search engines rely on inverted index-based data structures as document information store.. In other words, such systems can only find the

Vectors  of  the  radial-tangential  mean  velocity  obtained  from  PIV  measurements

Wybierz swój język

Strona internetowa zostanie przetłumaczona na wybrany język.

Proponowane języki dla Ciebie:

Inny: