ANALIZA OBWODÓW W ASPEKCIE POCHODNYCH UŁAMKOWEGO RZĘDU I UKŁADÓW DODATNICH

DOI 10.21008/j.1897-0737.2017.89.0002

__________________________________________

* Politechnika Białostocka.

Ewa PIOTROWSKA*

ANALIZA OBWODÓW W ASPEKCIE POCHODNYCH UŁAMKOWEGO RZĘDU I UKŁADÓW DODATNICH

Układy dodatnie to układy, w których wymuszenia, zmienne stanów oraz odpowiedzi i warunki początkowe przyjmują wartości nieujemne. W pracy przedstawiono analizę stanu nieustalonego obwodu z kondensatorami ułamkowych rzędów (będącego realiza- cją układu dodatniego). Podano ogólne rozwiązanie dla równań tego obwodu. Rozpa- trzono dwie definicji pochodnej ułamkowego rzędu: Riemanna-Liouville’a i Caputo.

Następnie wyniki porównano z obliczeniami uzyskanymi metodą klasyczną – za pomo- cą zwykłej pochodnej α = 1. Wyniki zestawiono za pomocą wykresów przebiegów napięć na kondensatorach. Wyniki dla definicji Caputo porównano z rozwiązaniami otrzymanymi wybraną metodą numeryczną.

SŁOWA KLUCZOWE: pochodne ułamkowego rzędu, analiza obwodu, rozwiązanie analityczne, definicja Riemanna-Liouville’a, definicja Caputo

1.OGÓLNEPRZEDSTAWIENIEPROBLEMU

1.1. Schemat obwodu elektrycznego z układem równań opisującym napięcia w układzie

Rozważmy układ równań opisujący zachowanie obwodu przedstawionego na rysunku 1. Przedstawiono w ten sposób obwód elektryczny o konduktan- cjach Gk, k = 0, 1, 2, pojemnościach C1, C2 oraz źródło napięcia e1.

Układ równań (1) i (2) opisuje wybrane napięcia w obwodzie:

) t ( Be ) t ( Au dt

) t ( u

d  





0 <   (1)

) t ( De ) t ( Cu ) t

(  

 (2)

gdzie: u(t) R² jest wektorem stanu układu, e(t) R sterowaniem, (t) R sta- nem wyjściowym układu oraz A  R^2x2, B  R^2x1, C  R^1x2 i D  R.

Ogólna postać rozwiązania równania (1) (niezależnie od definicji wykorzy- stanej pochodnej) jest następująca:



t

Be t g w t f t u

0

0+ (, ) ( )d

) (

= )

(    (3)

gdzie f(t) i g(t,τ) są pewnymi funkcjami zależnymi od typu pochodnej użytej w równaniu (1), natomiast





t w u

d ) 0 ( d

0



 (4)

opisuje warunki początkowe, przy czym -1 <   0 jest pewną liczbą zależną od definicji i rzędu wykorzystanej pochodnej. Skoro w rozważanym zagadnie- niu e() jest funkcją skalarną to wektor stanu można zapisać jako:

B ] d ) ( e ) , t ( g [ w ) t ( f ) t ( u

t

0

0 ^



 (5)

Rys. 1. Przykład obwodu elektrycznego z kondensatorami niecałkowitych rzędów

W dalszej części poszukiwane jest rozwiązanie przy założeniu źródła o po- staci:







 

0 dla 0

0 dla ) 1

(

e 

  (6)

co pozwala zapisać wzór (5) następująco:

B ) t ( h w ) t ( f ) t (

u  ₀  (7)

gdzie funkcja h(t) oznacza całkę zależną od czasu:



 )d , t ( g ) t ( h

t

o



 (8)

1. 2. Postacie macierzy opisujących rozważany układ [1]

Macierze wykorzystane w układzie równań (1) i (2) wyrażają się wzorami:

F G A A

A _r  _n ^1 (9)

H G A B

B _m _n ^1 (10)

F G

C ^1 (11)

H G

D ^1 (12)

przy czym dla rozpatrywanego obwodu:































2 2 1

1

r

C 0 G

C 0 G

A (13)



























2 2 1 1

n

C G C G

A (14)







 0

B_m 0 (15)





F   (16)





G   (17)





H   (18)

Macierz odwrotna do G ma postać











 



2 1 0 1

G G G

G 1 (19)

Po wykonaniu podstawień, otrzymujemy macierze opisujące układ

























 

 



 

2 1 0 2 2

2 1

1 2 1 1

2 0 1

2 1 0

C G G ( G C

G G

C G G C

G G ( G

G G G

A 1 (20)



























 

2 2 1 1

2 1 0

0

C G C G

G G G

B G (21)





2 1 0

G G G

G G C 1



  (22)











 

2 1 0

0

G G G

D G (23)

Wyznacznik macierzy A

) G G G ( C C

G G ) G

A det(

2 1 0 2 1

2 1 0



  (24)

Macierz odwrotna do A

































2 2 0 2 1

2 1

1 0 1

0 1

G ) G G ( C C

G C ) G G ( C

G

A 1 (25)

Ślad macierzy A

) G G G ( C C

) G G ( G C ) G G ( G ) C

A ( r

2 1 0 2 1

2 0 1 2 1 0 2 1









 

 (26)

Wyróżnik trójmianu charakterystycznego macierzy A ) A det(

) A ( tr )

(

w  ²  (27)

jest następujący:

2 2 1 0 2 2 2 1

2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 0 1 2 1 0 2 1

) G G G ( C C

) G G G ( G G G C C 4 )]

G G ( G C ) G G ( G C [















 



(28) Zatem:

2 2 1 2 0

1

2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 0 1 2 1 0 2 1

) G G G ( C C

) G G G ( G G G C C 4 )]

G G ( G C ) G G ( G C [















 



(29) Ponieważ det(A) > 0, więc  < [tr(A)]². Zatem tr(A). Uwzględniając dodatkowo tr(A) < 0, mamy tr(A). Po przeniesieniu wyrazów na lewą stronę nierówności otrzymujemy tr(A)+ <0. Tym bardziej tr(A)– <0.

Uzyskujemy stąd 12 < 0.

 













 2C C (G G G )

) G G ( G C ) G G ( G x C

2 1 0 2 1

2 0 1 2 1 0 2 1 1

 (30)

) G G G ( C C 2

) G G G ( G G G C C 4 )]

G G ( G C ) G G ( G C [

2 1 2 0

1

2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 0 1 2 1 0 2 1















 

 













 2CC (G G G )

) G G ( G C ) G G ( G x C

2 1 0 2 1

2 0 1 2 1 0 2 1

2 (31)

) G G G ( C C 2

) G G G ( G G G C C 4 )]

G G ( G C ) G G ( G C [

2 1 2 0

1

2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 0 1 2 1 0 2 1















 

Wektory własne mają postać:







 



21 22 1

1 A

p  A

(32)







 



21 22 2

2 A

p  A

(33)

Dodatkowo wyznaczany jest wektor:











 ^

 1

B 1 A

u ¹ (34)

2.ROZWIĄZANIAPROBLEMU

2. 1. Rozwiązanie problemu przy wykorzystaniu pochodnych niecałkowitego rzędu

Rozpatrzmy dwie definicje pochodnych niecałkowitego rzędu: definicję Ca- puto oraz definicję Riemanna-Liouville’a.

2.1.1. Rozwiązanie w przypadku wykorzystania pochodnej Caputo (C) Rozwiązanie ma postać ogólną:

) t ( ) t (

f ₀ (35)

) t ( ) , t (

g    (36)

gdzie:

) 1 k (

t ) A

At ( E ) t (

k k

0 k 1

,

0  





  



 

 (37)

] ) 1 k [(

t ) A

At ( E t ) t (

1 ) 1 k ( k

0 k ,

1



 

 







 





 







E(z) jest dwuparametrowa funkcją Mittag–Lefflera. Dla definicji Caputo  = 0, co daje warunek początkowy w postaci:

) 0 ( u ) t ( u D

w₀^C_{0 t}⁰  ^ (39)

oznaczany dalej przez u₀ = u(0⁺). Wtedy





(t )d )

t ( h

t

0







W celu obliczenia h(t), wykonuje się podstawienie s = t –  – wtedy dla d = -ds otrzymuje się:

ds ) s ( ds

) s ( )

t ( h

t

0 0

t











 (41)

Uwzględniając zależność (s) = ’(s)A^-1 oraz 0(0⁺)= I, otrzymamy

1 0

t 0 1

0(s)A [ (t) ]A )

t (

h  ^    I ^ (42)

W przypadku wykorzystania definicji pochodnej Caputo, rozwiązaniem rów- nania jest:

B A ] ) t ( [ u ) t ( ) t (

u_c _{0 0} ₀ I ^1 (43)

Korzystając z oznaczenia (34) można zapisać rozwiązanie (43) jako:

) u u )(

t ( u

u ] ) t ( [ u ) t ( ) t (

u_c _{0 0}  ₀ I _  __{0 0} _ (44) Ponieważ wartości własne macierzy A są ujemne:











 0 0

0 ) 0

t ( lim ₀

t  (45)

zatem:

 



 u ) t ( u lim _C

t

(46)

W celu uzyskania rozwiązania klasycznego podstawiono do funkcji 0(t) współ- czynnik α = 1. Otrzymano 0(t) = exp(At). Stąd rozwiązanie klasyczne

) u u ( e u ) t (

u_kl  _ ^At ₀ _ (47)

2.1.2. Rozwiązanie w przypadku wykorzystania pochodnej Riemanna-Liouville’a [2]

) t ( ) t (

f  (48)

) t ( ) , t (

g    (49)

oraz  =  – 1, co daje warunek początkowy postaci ) t ( u D

w₀^RL_{0 t}^1 (50)

Wtedy funkcja

1 0

t 0 1

0(s)A [ (t) ]A )

t (

h  ^{ }   I ^ (51)

Wykorzystując wyniki dotychczasowych obliczeń uzyskamy



  

 (t) D u(t) [ (t) ]u )

t (

u_RL  ^RL_{0 t}^{ 1} ₀ I (52)

czyli





 

u (t) D u(t) (t)u )

t (

u_RL  ^RL_{0 t}^{ 1} ₀ (53)

Ponieważ macierz A ma ujemne wartości własne, więc











 0 0

0 ) 0

t ( lim

t  (54)

Korzystając dodatkowo z wzoru (45) otrzymano:

 

lim u_RL(t) u

t (55)

Po porównaniu rozwiązań definicji Caputo i Riemanna-Liouville’a można zauważyć, że przy zerowych warunkach początkowych wybór pomiędzy defini- cjami nie ma znaczenia. Jednakże w przypadku innych warunków początkowych przy zastosowaniu definicji Riemanna-Liouville’a występują pochodne niecał- kowitego rzędu dla warunków początkowych, których interpretacja fizyczna jest niewyjaśniona, co sprawia pewne trudności.

Korzystając ze wzorów (37) i (38) uzyskujemy I I





 





) 1 ) ( t ( lim ) 0

( ₀

0 0 t

 

 (56)















 















 0

0 )

( lim t ) t ( lim ) 0 (

1

0 t 0

t I



 





(57)

co prowadzi – w przypadku rozwiązania Riemanna-Liouville’a do warunku















 

 ^{ }

 ^

) t ( u D ) 0 ( ) t ( u

lim _RL ^RL_{0 t} ¹

0 t

  (58)

2.1.3. Graficzne przedstawienie rozwiązań

Dla określonych w ten sposób parametrów obwodu złożonym z konduktancji i kondensatorów niecałkowitych rzędów obliczono wartości funkcji i wyzna- czono ich przebiegi. Następnie wyniki porównano z obliczeniami uzyskanymi metodą klasyczną – za pomocą pochodnej rzędu całkowitego α = 1. Wyniki dla różnych definicji pochodnej ułamkowego rzędu porównano z rozwiązaniami otrzymanymi wybraną metodą numeryczną.

Rysunek 2 przedstawia przebiegi czasowe napięcia na dwóch kondensatorach początkowo rozładowanych – w przypadku wykorzystania klasycznej pochodnej (α = 1).

Wartości napięć na kondensatorach w funkcji czasu zbiegają do 1.

Krzywe na rysunku 3 obrazują ładowanie kondensatora nr 1 przy założeniu definicji pochodnej wg. Caputo dla rzędów α = 0.7; 0.8; 0.9; 1.0

Wszystkie rozwiązania równania różniczkowego zbiegają asymptotycznie do wartości 1.

Na rysunku 4 przedstawiono przewidywany czasowy przebieg napięcia na ładowanym kondensatorze nr 2, z wykorzystaniem definicji Caputo w przypad- ku rzędów α = 0.7; 0.8; 0.9; 1.0.

Rys. 2. Charakterystyka skokowa (dla α = 1). Rozwiązanie dla pochodnej klasycznej

Rys. 3. Napięcie dla α = 0.7, α = 0.8, α = 0.9, α = 1.0 dla kondensatora 1 z wykorzystaniem def. Caputo

Rys. 4. Napięcie dla α = 0.7, α = 0.8, α = 0.9, α = 1.0 dla kondensatora 2 z wykorzystaniem def. Caputo

Porównując rozwiązanie klasyczne z rozwiązaniem obliczonym według defi- nicji Caputo można dostrzec, że w przypadku ładowania kondensatorów napię- cie dąży do 1. W przypadku zerowych warunków początkowych, mimo różnic pomiędzy definicją Caputo oraz definicją Riemanna-Liouville’a można uzyskać identyczne rozwiązanie, o ile rząd α jest jednakowy.

Na rysunku 5 przedstawiono porównanie wyznaczonych napięć na kondensa- torach z obliczonymi za pomocą metody numerycznej SubIval (metody pod- przedziałów) [3, 4, 5]. Zbieżność wyników świadczy o poprawności uzyskanego rozwiązania analitycznego.

Rys. 5. Porównanie wyników (przebiegów napięć) dla definicji Caputo

3.PODSUMOWANIE

W pracy przedstawiono metody obliczenia przebiegów napięć na elementach obwodu elektrycznego. Podano ogólne rozwiązanie za pomocą równań obwodu, wykorzystując pochodne ułamkowego rzędu. W analizie problemu wykorzysta- no definicję pochodnych ułamkowego rzędu: Riemanna-Liouville’a oraz Capu- to. Przeanalizowano rozwiązania przy pomocy pochodnej klasycznej oraz po- chodnych ułamkowego rzędu. Zauważono, bez względu na wykorzystaną defi- nicję pochodnej (Riemanna-Liouville`a i Caputo) w przypadku zerowych wa- runków początkowych otrzymano takie same rozwiązanie.

LITERATURA

[1] Kaczorek T., Rogowski K, Fractional Linear Systems and Electrical Circuits, Springer, 2014.

[2] Kaczorek T., Sajewski Ł., Dodatnie realizacje dwuwymiarowych układów hy- brydowych, Białystok, 2009.

[3] Sowa M., Application of SubIval, a Method for Fractional–Order Derivative Computations in IVPs. Theory and Applications of Non–Integer Order Systems (Springer), 2017, s.489–500.

[4] Sowa M., A subinterval–based method for circuits with fractional order elements. Bulletin of the Polish Academy of Sciences Technical Sciences vol. 62 (3), 2014, s.449–454.

[5] http://msowascience.com

ANALYSIS OF THE CIRCUIT IN TERMS OF DERIVATIVE FRACTIONAL POSITIVE AND SYSTEMS

Positive systems are systems in which sources, state variables and the responses along with the initial conditions take non–negative values. The paper presents an analysis of the transient state in a circuit with fractional order capacitors (the circuit realizes a positive system). A general solution is given for the equations of this circuit.

Two definitions of the fractional derivative have been considered: the Riemann-Liouville definition and the Caputo definition. Next the results have been compared with those obtained for the case of the ordinary derivative (α = 1). The results have been presented as time functions of voltages on the capacitors. The results obtained for the Caputo definition have been compared with those obtained with a selected numerical method.

(Received: 26. 01. 2017, revised:4. 03. 2017 )