De Moving-Boat Methode: Debietmeting met een varende boot

DE MOVING-BOAT METHODE: Debietmeting met een varende boot

Deel 111 Appendices G tiro L Projekt nr 72.003.05

Afstudeerstudie ir. F.A. van Beek

bij

de Vakgroep Vloeistofmechanica Afdeling Civiele Techniek

Technische Hogeschool Delft

Dordrecht, juli 1984 Direktie Waterhuishouding en Waterbeweging

Appendix G

Appenàix G

DISCRETISATIE IN INTERVALLEN

Appendix G INHOUD Appendix G. Discretisatie in intervallen Inleiding ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Uitgangspunten ••••••••••••••••••••••••••••••••••••

DoorwerKing onnauwKeurigheid meetparameters ••••••• Stroomsnelheid ••••••••••••••••••••••••••••••••• Plaatslengte •••••••••••••••••••••••••••••••••• Diepte •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Correctieco~ffici~nt •••••••••••••••••••••••••• Diepteverloop ••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Diepte, stroomsnelheid en vaartuigsnelheid •••• Analyse gevolgen diepteverloop •••••••••••••••• Diepteverloop en nauwKeurigheid ••••••••••••• Uitvoering meting ••••••••••••••••••••••••••••••

Sinusachtige baan ••••••••••••••••••••••••••••• Snelheid ten opzichte van het omringende

water

...

Synthese ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• NumerieK onderzoeK ••••••••••••••••••••••••••••••• Samenvatting ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• blz. 1 2 6 6 12 13 14 15 15 16 18 21 21 22 24 25 27

Appendix G

FIGUREN

Figuur blz.

1. vectordiagrammen vaarbeweging en

stroomsnelheidsbepaling ••••••••••••••••••••••• 29 2. simulatie volgens de Monte Carlo-methode

~ mogelijke richtingen vector bv

.

.

30

3. _•••••••••••••••••••••• 31

4. aanpassing fig. 1m.b.v. (G.7) en (G .8)

...

32 5. standaardafwijking gemeten stroomsnelheid

.

.

33 6. correctieco@fficient ~ ••••••••••••••••••••••••••••• 3ij 7. plaats dieptewaarnemingen bij toenemende diepte

.

....

35 8. factor g(a,z) in vergelijking (G.39)

.

.

36 9. vectordiagram vaarbeweging •••••••••••••••••••••••••• 37 10. diepteverloop in meetinterval 6t~

...

37 11. verband tussen baan en stroomsnelheid •••••••••••••••

3i

12. voorbeeld gemeten watersnelheid ••••••••••••••••••••• 39

TABEllEN Tabel blz. 1. standaardafwijking _{in wi*cos (~ iw ....}

...

9 2. standaardafwijking _{in 6x,;/6ti}

.

...

10 3. standaardafwijking _{in u",%i.}•••••••••••••••••••••••••• 11 4. standaardafwijking in 6.y. _{• ••••••••••••••••••••••••••} 13 l.

Appendix G

Een belangrijk onderdeel van de m.b.-methode, zoals deze in a~pendix D is uitgewerkt, is de onderverdeling van de raai in intervallen. Van elk interval wordt het lokale debiet Q~ gemeten. De nauwkeurigheid waarmee een debiet in een interval kan worden bepaald, is onderwerp van deze appendix. De elementaire vergelijkingen, die ten grondslag liggen aan de berekening van Q. zijn (appendix D, verg. (D.2) en

(D.10), en fig. 1): c.

(G.1) (G.2) Hierin is

f:::.x

=

x~-t, - x~: verplaatsing in x-richting meetvaartuig in interval i;

f:::.t

=

t.:+, - tL: verstreKen tijd in interval i;

6

N

=

N;t, - Ne::aantal omwentelingen van de propellor van de w-meter in interval i;

- y~: verplaatsing in y-richting meetvaartuig in interval i;

cos(\J).: rekenkundig gemiddelde van de cosinus van de !w c.

waargenomen hoeKen

y~

in interval ij u~ .: loodrecht op de raai staande component van de

~~ stroomsnelheid op z

=

z~ in interval i; K . : co rrectLecoëf tLcLent ter verdiscontering van het

~~ verticale stroomsnelheidsverloop in interval i;

ai : rekenkundig gemiddelde van de waarnemingen van de diepte in interval i.

van het

= Yt..+-I van het

De nauwkeurigheid in het berekenàe debiet in een interval

(Q~) is in deze appendix op twee manieren behandeld. Deze manieren zijn simultaan toegepast:

1. Analytische beschouwing:

Met behulp van de elementaire vergelijkingen van de statistieK wordt de nauwkeurigheid in Q~ geanalyseerd: uit de standaardafwijkingen van de diverse parameters volgt de standaardafwijKing van

Q~ {<7'Qi}·

2. Numerieke beschouwing:

Ter ondersteuning van en als contrêle op de analytitische beschouwing is de bepalin_. g van Q.

~ met behulp van een computermodel ges1muleerd. Dit model werkt volgens de Monte Carlo-methode

(fig. 2): Uit de kansverdElingen rond bepaalde

-Appendix G waarden van de diverse parameters worden

"waarnemingen" gegenereerd en verwerkt tot een "gemeten" debiet Qi.. Door deze procedure een groot aantal keren te herhalen worden evenzovele

"gemeten debieten" Q~ gegenereerd, die tesamen wederom een kansverdeling om de gemiddelde waarde van Qi heen vormen. In deze analyse is voor het genereren van een kansverdeling volgens de Monte Carlo-methode een trekkingsaantal van 400 gebruikt

(Lit.: Grijsen, 1974).

De oQzet van de appendix is als volgt: 1. Opstelling uitgangspunten:

Deze uitgangspunten maken bepaalde vereen-voudigingen in de analyse mogelijk.

2. Doorwerking onnauwkeurigheid meetparameters:

De standaardafwijkingen in de parameters zoals deze in appendix F zijn weergegeven, werken in de standaardafwijking van het debiet in het interval

(Q~) door. Dit wordt geanalyseerd.

3. Invloed diepteverloop op de nauwkeurigheid:

De mate waarin de variatie van de diepte in een interval op de nauwkeurigheid van het resultaat doorwerkt, wordt met een wiskundig model onderzocht.

4. Uitvoering van de meting:

Bepaalde uitvoeringstechnische aspecten die bij de analyse onder het vorige punt zijn aangestipt, worden aan de hand van praktijkvoorbeelden onder de loep genomen. Hieruit volgen enkele concrete opmerkingen en aanbevelingen.

5. Synthese tot standaardafwijking in Q~: Op basis van het voorafgaande wordt standaardafwijking van Q~ samengesteld en enkele concrete eisen ten aanzien van uitvoering van de meting opgesteld.

de worden de

6. Numeriek onderzoek:

Tenslotte wordt uiteengezet, hoe onderzoek ter ondersteuning van gebruikt.

het numerieke de anal yse is

Appendix G

In de analyse van de onnauwKeurigheid van het debiet door een interval Q. worden diverse uitgangspunten gehanteerd ten

. I..

aanzien van:

1. het intervalcriterium;

2. de stroomsnelheid;

3.' het diepteverloop langs de raai (y-as)

4. de ophanghoogte van de w-meter zm;

5. de richting van de lengteas van het meetvaartuig

Ybv;

6. het verband tussen de gemeten watersnelheid ~ en

de verplaatsingssnelheid van het meetvaartuig

!te

7. de snelheid van het vaartuig ten opzichte van het

omringende water.

In appendix D zijn drie mogelijkheden aangegeven om de

grenzen van een interval i vast te leggen:

1. een tijdsinterval6ti;

2. een plaatsinterval 6y~;

3. een interval van een zeKer

propelleromwentelingen

6

N

i•

aantal

De klok is in alle in appendix E gepresenteerde

mogelijkheden van debietbepaling een onontbeerlijk

instrument. De w-meter en het plaatsbepalingssysteem

daarentegen kunnen in sommige gevallen worden gemist. Dit

overwegende is de Keuze op het tijdsinterval 6tL gevallen.

StIQQE~!l~lheiQ

De stroomsnelheid staat loodrecht op de raai (y'w..

=

Oei

of 180°) en het vaartuig vaart een rechte baan op of

evenwijdig aan de raai

(is

=

900 of 270°).

-Appendix G

De diepte a verandert gelijkmatig in een interval. De verandering van de diepte in het interval is klein genoeg om te veronderstellen, dat de correctiefactor K~ constant is. in appendix C is een uitdrukking voor K~ uitgewerkt op basis van de benadering van het stroomsnelheidsverloop met behulp van een logaritme. Uit deze analyse volgde, dat bij een diepte a tussen 4.00 en 12.00 m en bij een ophanghoogte van de lol-meterz~

=

-2.00 m de groette van K~

=

0.91 gesteld mag worden.

In deze beschouwing wordt de stroomgeleidend lichaam met de z.,.,_

= -

2 •OOm.

ophanghoogte van het lol-meter ingesteld op

Er is reeds in appendix B uiteengezet, dat de lengteas van het meetvaartuig tijdens een m.b.-reeting naar een richting tegengesteld aan de stroomrichting neigt. De richting van de lengteas wordt gesymboliseerd door

Ybv.

Er worden ten aanzLen van

Ybv

twee extremen onderkend, die in figuur 3 staan getekend: .

~

cos (I'h)

=

0:

De as van het vaartuig ligt op of evenwijdig aan

de raai <}lbv

=

90° of 270°). In figuur 3 zijn

deze richtingen met een letter "aU op de

cirkelboog aangeduid.

2. COS2.(Ybv) = 0.5:

De richtingen, aangegeven deor "bH in figuur 3

voldoen aan deze uitdrukking. De schipper van het

vaartuig zal doorgaans proberen tijdens een

m.b.-meting de lengteas van het vaartuig een

richting binnen het niet - gearceerde deel van

figuur 3 te laten aannemen. Als namelijk

Ybv

in

het gearceerde deel ligt, is de

manouevreer-baarheid van het vaartuig slecht voor het varen

van een goede baan. Bovendien zal hij de langzame

oversteeksnelheid s~ als benauwend ervaren (vooral

als er van druk scheepvaartverkeer sprake is) •

Uitgangspunt voor de verdere beschouwing is, dat

Appendix G

-7 ~

In windstil weer valt de vector bv met de vector b samen

(zie appendix B) en verandert (G.3) tot:

:2-o

<=

cos

Q'b)

<=

0.5 (G.4)

In appendix B is het verband gelegd tussen de snelheid van het meetvaartuig ten opzichte van het omringende water b, de stroomsnelheid u en de resulterende snelheid van het rneetvaartuig s. Uit deze beschouwing volgde de component in y-richting (op of evenwijdig aan de raai) van die

resulterende vaarsnelheid (verg. B.2.b):

(G.5) Het is realistisch ervan uit te gaan, dat bij grotere dieptes (a

>

4.50 m) de stroomsnelheidsvariatie in plaats tussen z

=

0 en z

=

zl')t.

=

-2.00 m als gevolg van de bodemweerstand gering is:

(G. 6)

Hieruit volgt een aan~assing van figuur 1 tot figuur 4, waarin geldt:

w

=

b (G.7)

(G.8) v V + lBO fI

jW

= ~

b

Met (G.7) en (G.B) mag gesteld worden dat: b=s in(Yb) = - w';:sin(}'\.v)

en met (G.9) is (G.S) om te werk.en tot:

(G.9)

(G.10)

Als de stroomrichting loodrecht op de raai (y-as) staat, k.an deze vergelijKing vereenvoudigd worden tot:

(G.11)

(G.B) wordt ook.gebruikt om (G.4) aan te passen:

'2.

o

<=

cos ('rw)

<=

0.5 (G.12)

Ten aanzien van de richting van de gemeten watersnelheid w

(Yw) is eenzelfde beschouwing op te zetten als ten aanzien

van de richting van de lengteas van het vaartuig:

-Appendix G

COS 2.

(ywl

= 0 (Q = 0):

IS'r'

=

l-w:::sin{J'w-)I

=

w:;:(l- cos'1(){.,»o.ç

=

=w::::b COS2(I'IW) = 0.5 (G.13) (Q .,. 0) :

IS

1'

= I-w:::sin(j,,)I = w:::(l- cos:t(YIN»o.,

=

=

w/\fi ~

b/\fi

(G.13) wordt in het vervolg van deze appendix en appendix H gebruikt om een benadering te geven van de oversteeksnelheid s~ van het meetvaartuig bij de extreme standen van de r1chting van de w-meter.

De snelheid van het vaartuig ten opzichte van het omringende water (b) is constant, waaruit met (G.7) volgt dat de gemeten watersnelheid w eok constant is.

Uit (G.1) en het gegeven, dat

volgt: (G.14) Hierin is cos (v). Ivv (., 1 {m2. .

= - -:::

L

cos (VvV· .) + mlo j=l " 'J Met behulp uitdrukking verkrijgen:

+ 0.5:::(cos(YW':-t-",) - ces

'}'WL.,,»}

van de voortplantingswet is de

voor de standaardafwijking in

(G.15)

volgende

Appendix G

W:::cos

<Y...,)

i

-:

De standaardafwijKing in de term lol,;,=cos (}'w)~ is:

a' (w. "COS (y",);) = {(

~2~

~

=~::~~~~·~~r

='»,

+

(

U(Wi;::CCS(~W)~ »2 ~

}o

.

r-+

---c)~~~(Y:)i---

:::0 (cos

(lw>

i, ) =

= {cos .2.(tw)':' :::a-'lw~+ w~2 :;:(1'"'1(cos (~w)i..)

}o

.

S""

=

= {

Wi.

'1. ::: ( cos 1. (yw)~

:::

S2t:

+ (j"'l (cos

(di

w).:

»)}o

.s:

(G.17) De laatste term in (G.17) is verder uit te werKen tot:

I()cos

(1'...

)

~

I

=

1---1 :;:(J"';jwC:j = I ()}'wij I Isin (}'w)c: I = 1---1 :::a"Yvvc.j' I m2 I

Invullen van (G.la) in G.17) levert op: 6(cos(V).) dW (.. (G.IS) w·:L (. si n~(!'w)" ~ 0 ) ----~~---,:: a:

;rW

L

j}

.

(G.19) { '2. ••_ 2.()'{ )

=

w·_(. ~ cos _Wc.. :::---- + 7

-A.ppendix G

Over deze belangrijke vergelijking (G.19) wordt het volgende

opgemerkt:

1. en <TV., zijn gegeven (zie appendix f).

I"'''J

2. De standaardafwijking van v; :::cos<jIW)':'

evenredig met de grootte van de

watersnelheid w,•

is recht

gemeten

3. Vergroting van de factor mA geeft een verKleining

van (f(wc:: :::cos(rw) L.) •

Voor àe grootte van m~ (het aantal metingen van

yw

per

interval) is het volgende criterium opgesteld:

als cos2.(V). = 0.5, dan 1'- c sin2

<lw).;.

'1 ---:::ö

'Iw~i

<= m~ (G.20)

Als m~ aan dit criterium voldoet, is de factor aan de

linkerkant van het <=-teken van (G.20) zo Klein, dat

vergroting van m2. de standaardafwijking v : =cos(/"""")t: nog

slechts in zeer geringe mate (in de orde van enkele

procenten) verbetert.

Op basis van (G.1.9) en (G.20) is tabel 1 opgesteld, waarin

de standaardafwijking van de factor w.:.:::cos{Y,.•)i voor diverse

tijdsintervallen en voor de extreme richtingen van de

w-meter is uitgewerkt. Opvallend is, dat voor de verschillende

tijdsintervallen m~ zodanig groot is, dat overal geldt:

te:

~t··_1..)

=

2.5 s (G.21.)

Een·dergelijk Kort interval tussen twee waarnemingen van

y._

is alleen mogelijk bij een automatische besturing van

de meting en de registratie.

Omdat

x·_(.+1 - xi.

is

Appendix G Tabel 1. standaardafwijking in w

_~

·*cos(v}

_'w

. I, (JV .. = S<>= 0.0873 rad " W'~J sin 2.

<YW>c

1. (2): ---::: 0-

y....,.~j

m2

1---

1

12.1 I cos

(yW>c:.

= 0.5 I 1 I

1---I

I I CiWi. 1 I I I I

1

~tL

1

I

(1)

I

m2

I

(2)

I

O"(w(. *cos ()',.,)c:.)

I

I

1

Wc:.

I

(I

1

1

I ( 1 1 1 I I I (s) I (mis) I (-) I (-) I (-) I (mis) I I I 1 I (I I

1---1---

1

---

1

----1---1---

-

-I

I 1 1 I 1 I I 120 10.058 10.00168 I 810.00048 1 0.•047~:w.:. I 1 1 1 I [I I 1 30 I 0.050 I 0.00125 I 12 I 0.00032 I 0.040:::wc:. 1 I ril [I I 140 10.044 10.00097 116 10.000241 0.035'::w.: 1 1 I 1 I I 1 I

1---I

1---1

I ~ I

=:

In het geval, dat cos'1(~ }.

=

0,

1 cos

(4'wli =

0 1 is (1)

=

0 ongeacht de W (,

I I waarde van

c

v; /vc •

1---I

I 1 (J"Wi. [ 1 t I I

1

6

ti, 1 I (1) 1 ffi4 I (2) I ó{w(.·:::cos(y~) i.) I

[ 1 »: t I I I I I I I I l' 1 I (s ) 1 (mis) [ (-) I (-) 1 (-) I (mis) I 1 I lil 1 1

1

---1---

[

---1----1---1---I

I 1 [ 1 1 I I I 20 I ::: , 0 t 8 I O. 00096 ( 0 •031 :::wi_ I I I [ 1 I 1 I I 30 I * I 0 1 12 1 0.00064 1 0.025*wi 1 I I [ I I I 1 l40 ( =:: , 0 116 10.00048 I O.022*wL f I I til I t

1---

I

9

-Appendix G De onnauwkeurigheid van ~tL is bijzonder klein, zoals in appendix F is uiteengezet. Deze onnauwkeurigheid hoeft daarom ook niet in de stanàaardaf~ijking van ~xL/6t~ in rekening te worden gebracht. Nu geldt:

V2

(I\.x" 11\.t")

=

---:;:(ÏX W<-WL. /).

t"(.

(G. 23)

In appendix F wordt uitgelegd, dat de standaardafwijking van de meetwaarde van x tussen een maximum en een minimum waarde ligt. Voor beide extremen en op basrs van (G.22) en (G.23)

zijn in tabel 2 de mogelijke standaardafwijkingen in AXi lAt;_. voor diverse tijdsintervallen weergegeven.

Tabel 2. standaardafwi jking in /).x,J~tc:.

1---1

I I I I I 6t, I a-x I

«v»;

16,ti.,) 1 1 1 I I

I

(s)

I

(m)

I

(m)

1

I 1 I I

1---1---1---1

1 I I I I 20 1 0.92 I 0.065 I I I 0.26 I 0.019 I I I I I I 30 I 0.92 I 0.043 I I I 0.26 I 0.012 I 1 I I I I 40 I 0.92 I 0.033 I I I 0.26 1 0.009 [ I 1 I I

1---1

Synthese tot O-u ... .:.:

De onnauwkeurigheid in U~~i is samengesteld uit de onnauwkeurigheden van 'ol.:. :::cos(rw)":' en !Jx,:Jllti....In tabel 3 zijn de resultaten, die in de tabellen 1 en 2 z1Jn weergegeven, gecombineerd tot een standaardafwijking van u",~i.volgens (G.16).

De uitdrukkingen voor een tijdsinterval 6t..:.

=

20 s, genummerd met 1, 2, 3 en 4, zijn in een grafiek ui tg ezet (fig. 5). Ten aanz ien van figuur 5 zijn de volgende opmerkingen op hun plaats:

Appendix G Tabel 3.

standaardafwi jk:ing in um-xc.'

(1): cos'l.(yW')~ (2): O(W~::::cOS(y.Ji) (3): (t2<;_Ifj,t(_)

1---1

I I I I I 1

I

fj,ti.

I

(1)' (2)

I

(3)

1

()'l.U...,~i

1

I I I I I I

I (s) I (-) I (mis) I (mis) I (mis) I

I

I

1

I

I

I

1---1---1---1---1---1

1 1 I 1 1 ~ I 1 20 I 0.5 I 0.OQ7::':w 1 0.065 1 (0.047~:w}:t. .. 0.065 1 1

I

I

I

1

I

I

I I I I 0.019 I (0.047:::w)~ + 0.019':1.. I 2 I til 1 1 1 1 0.0 I 0.031::':101I 0.065 1 (0.031:::"1):2. .. 0.065~ 1 3 I I 1 I I I 1 1 I 10.019' (0.031:::101)2 + 0.019:t 14 I 1 I lil I I I I 1 [ 130 10.5 I 0.040:::101 I 0.043 I (0.040:::w}~" 0.0431 r I I I I I I I I I 10.0121 (O.040::':w}'1 + 0.012'l I I I ( I' I I 1 0.0 I 0.025>::101I 0.043' (0.025:::'01)'1 .. 0.043'2 I I I I I I I I (I I 0.012 I (0.025:::"1)';2. + 0.0121. I I I I I I r I 'I

'f

I 140 10.5 10.035:::101 10.033 I (0.035*w)'l. + 0.033'2. I I I I I I I I 'I 10.009' (0.035:::101)'2 + 0.009'2. I 1 I 1 I 1 1 r 1 0.0 ( 0.022*101 1 0.033 I {0.022:::w)'2. .. 0.033'2 I

,

't

1 1 I I lil 0.009 1 (0.022:::'.w)'Ä. + 0 .009~ 1 r I I 1 1 I

1---1

1. De grootte van de gemeten watersnelheid lol is

afhanKelijk van de snelheid van het vaartuig ten opzichte van het omringende water b. Met het vaartuig, waarmee de experirrentele metingen zijn verricht, werden doorgaans watersnelheden groter dan 1.00 mis gemeten. Hiermee is in de figuur rekening gèhouden: de streepjeslijnen geven een fout weer, die bij gebruik van dit vaartuig niet realistisch is.

-Appendix G 2. Op de verticale as staat de onnauwkeurigheid van

u '""~...als relatieve standaardafwijking (/u..,..,q·/wi. uitgezet. De getekende lijnen naderen horizontaal liggende asymptoten. In woorden uitgedrukt: de standaardafwijking van um~i is bij benadering

recht evenredig met de grootte van w.

Bij toenemende w (dus bij toenemende snelheid b ten opzichte van het omringende water) wordt ook de onnauwkeurigheid van u ..."""groter!

3. De onnauwkeurigheid in de stroomsnelheidsbepaling is groter als cos~(Vw)'

=

0.5 dan als

'1 0 I' (..

cos (Yw)t: = .0.

4. De lijnen naderen de asymptoten bij toenemende w bijzonder snel. Dit betekent, dat de

standaardafwijking van ~Xi./6"ti...(afkomstig van de fout in de plaatsbepaling) bij toenemende ween steeds kleinere, zelfs inferieure rol gaat spelen.

Het plaatslengte is de afstand tussen de twee op de y-as (raai) liggende punten. Deze punten zijn projecties van de plaats van het meetvaartuig aan het begin en aan het eind van de metingen in het interval:

Analoog aan (G .21) is voor de standaardafwijking in

6"y

.

de

(..

volgende uitdrukking geldig:

C5"6.y.

₌

V

cr-'l

Y + (j'ly

= \fï

_{':'O'y (G. 24)}

(-In appendix f zijn voor y twee extremen gegeven: 0-yVIl.c:x.

=

VO.S39 + S;/192

(G. 25) a-y_c:.,

=

VO.069 + _S/'/192

Ten aanzien van de oversteeksnelheid s'"geef t (G.13) twee extremen, die afhankelijk zijn van de richting van de w-meter (Yw) en de grootte van de gemeten watersnelheid (w). In tabel ij zijn de grenzen, waartussen 6.y ligt, weergegeven.

Hierbij is gebruik gemaakt van berekeningen volgens (G.13), (G.24) en (G.2S).

Appendix G Tabel 4. standaardafwijking in

6y

·

i:

1---1

I

1

2

1

I

I

co5 2 (YIo)

I

o:

y

1

c?~

Y '-

I

I I I I I (-) I (m) 1 (rn) , 1 1 1 1

1---1---1---1

I I 1 I 1 0.5 1 0.839 + 5//192 1 1.678 + w2/192 I I I I I I I 0.069 + 5;/192 1 0.138 + w2/192 I 1 1 I '1 1 I I f I 0.0 I 0.839 + 51/192 I 1.678 + w~/96 I I I 'I I I

r

I 0.069 + 5;/192 1 0.138 + w2/96 I 1 I 1 I

1---1

G.3.3

Voor de bepaling van het rekenkundig gemiddelde a~ van de

dieptewaarnemingen in interval i wordt de volgende

vergelijking gebruikt:

- a. )

1

',I } (G.26)

Hieruit volgt de uitdruKking voor de standaardafwijking in

a. :

c

(G.27)

In appendix F is uitgewerkt, dat

(ja~k

=

0.075 m (G.28)

Er wordt nu als eis gesteld, dat de relatieve

standaard-afwijking

=

0.5 % (G.29)

a·_l.

-Appendix G In dat geval zal de bijdrage van de onnauwkeurigheid van de àieptebepaling aan de onnauwkeurigheid van het berekende intervaldebiet Q~ zeer gering zijn. Indien gegeven is, dat de dieptemetingen waarnemingen opleveren in de orde van grootte van 5.00 m , dan is <J"ai in (G.28) absoluut te mak.en:

oa ...

=

0.5 % :.':5.00 = 0.025 m (G.30)

(G.30) en (G.28) ingevuld in (G.2?) levert een eis op voor het minimale aantal bemonsteringen van de diepte per interval:

a-a':k

0.0752-m3

=

=

---

= 9

<Ta i. 0.0252.

(G.31)

Als nu met een tijdsinterval ~tL

=

20 s gemeten wordt, dient op basis van (G.31) het tijdsinterval tussen twee

diepteregistraties te zijn:

= = ~ 2 s

~tL 20

(G.32)

mJ 9

Een dergelijk k.ort tijdsinterval tussen twee

die~tewaarnemingen is praktisch gezien slechts mogelijk, als de meting en de registratie automatisch geschieden.

G.3.4

De correctieco~fficient ter verdiscontering snelheidsverloop langs de verticaal {z-as} uitgewerkt. Hierbij was de benadering met stroomsnelheidsverloop het uitgangspunt:

van het stroom-is in appendix C een logaritmisch

K&A...c.:. = (G.33)

Hierin is

kN: de equivalente zandruwheid volgens Nikuradse. figuur 6 laat het verloop van K~

functie van de àiepte a zien.

Er wordt nu verondersteld, dat de gebruikte waarden voor k~ goed met de praktijk. overeen komen. Als daarnaast wordt beseft, dat de diepte van de rivier doorgaans zal liggen

Appendix G tussen a

=

3.50 m en a

=

10.00 m, dan volgt uit de figuur d3t K~ ligt in een interval [0.87 , 0.96]. Opvallend is daarbij, dat de factor KN een niet zo grote invloed op de grootte van K~ heeft: de strook tussen de lijnen voor KN

=

0.10 m en voor kN

=

0.60 m is betrekKelijK smal

(maximale breedte: 0.025). K~~ wordt ingesteld op

KI.<.i:

=

0.91 (G. 34)

De schatting van de relatieve standaardafwijking van K~. is gebaseerd op de veronderstelling, dat de genoemde strook in fig. 6 een 95 ~-betrouwbaarheidsinterval om K~~

=

0.91 heen represen teerd :

----

~ o.

Ol (G.35)

In een meetinterval zal de diepte a in meer of mindere mate varieren. Met name nabij de oevers en aan de randen van stroomgeulen zal die variatie optreden. In-appendix A is het verband tussen de stroomsnelheid op een bepaalde hoogte in de vericaal (z-as) en de diepte uitgewerkt (verg. (A.8)):

u ; Y.:~:~=:*ln

(

32*=~~_:)

In appendix B staat een uitdruKking verplaatsingssnelheid van het meetvaartuig

s

=

V

b'l.+

z=c,

::'b::'cos(~b) + u;-(G.36) voor de s (verg. (B.l}): (G. 37) Hierin is

(X.b ="Yb -

)'IA.:

hoek.tussen de vectore n

tf

en \tb.

Het gegeven, dat de stroomsnelheid u toeneemt bij toenemenàe diepte a ~ie (G.36», heeft een ander belangrijk effect tot gevolg (fig. 7):

Om in de raai te blijven moet de schipper de richting van de lengteas van het vaartuig (en dus van de vector b) gedurende het meetinterval bijstellen. Als de grootte van de snelheid van het vaartuig ten opzichte van het omringende water b constant is gedurende het meetinterval, neemt de

-A.ppendix G resulterende oversteeksnelheid s af bij toenemende

stroomsnelheid u.

Er is in appendix f uiteengezet, dat de diepte op regelmatige tijdsintervallen ~ttk wordt bemonsterd. Oe afname van de oversteeksnelheid s heeft tot gevolg, dat de die~tewaarnemingen in plaats steeds dichter bij elkaar komen te liggen. Dit is de reden, waarom tot nu toe uitdrukkelijk is gesproken van "rek~n1S:und1g .gemiddeld~ digQ!g" a.:_!De berekende aL komt niet overeen met de werkelijke gemiddelde diepte, omdat de diepte in de raai (y-as) niet overal even intensief bemeten is.

In deze paragraaf wordt besproken in hoeverre de variatie in stroomsnelheid en oversteeksnelheid als gevolg van de variatie van de diepte, gevolgen heeft voor de nauwkeur igheid.

G.4.2

De matè waarin de stroomsnelheid u en de oversteeksnelheid s veranderen bij toe- of afnemende diepte a, wordt uitgedrukt in de respectievelijke parti~le afgeleiden ou/~a en ds/da. De parti~le afgeleide naar a van (G.36) in interval i is als volgt uitgewerkt:

au

oa

= u:'':g(a,z) (G. 38) waarin 1 1 g (a , z)

(

a - z)

(a - z)

=

i n

32:::--~;-(G. 3 9) = --- +

Het interessante van deze uitdrukkingen is het feit, dat de factor g(a,z) onafhankelijk is van de werkelijk optredende stroomsnelheid. In figuur 8 is deze factor grafisch tegen de diepte uitgezet voor diverse kN en voor z

=

zm

=

-2.00 m en z

=

Zb

=

-0.75 m.

Voor a ) 4.00 m liggen de lijnen dicht bij elkaar en is g(a,z) erg klein. Er wordt daarom nu de afspraak gemaakt, dat z voortaan niet meer als afhankelijke parameter in de factor 9 wordt gebruikt en dat g(a) alleen in de bovenste stroomlagen (z ) -2.00 m) geldig is.

De parti~le afgeleide naar a van (G.37) zit een stuk ingewikkelder in elkaar. Om te beginnen moet

d

s/da gesplitst worden in ds/d~ en dUb/aa:

Appendix G 'Os

dS

.~dub

= --_

..._--da dUb

oa

dUb/da volgt uit (G.38), waarbij Z = zb = -0.75 mingevuld

moet worden. Bij de berekening van os/8ub worden (G.37) en de volgende vergelijking (fig. 9) betrokKen:

(G.40)

va a r in

Cl.b

=

tó -

y...:

hoek tussen de vectoren ~ en ~. Hiermee is (G.3?) om te bouwen tot:

s

=

Vb? + 2>;:u:;:s:::cosb (ols) - ub'2. (G.42)

Kwadratering van, herschikking van de diverse factoren in, en de toevoeging van Ub~CCOSZ(<<5) links en rechts van het =+te Ken van (G.42) levert op:

- U'1

b (G.43)

De wortels van de diverse termen van (G.43) leveren een uitdruKking op, waarmee os/àub berekend kan worden:

s - uö:'.:cos(cts)= ~Vb? - ub2.:::(l - cos'2(OCs» =

=

!Vb'2. - ub<J.csin'--(.x,.} (G.44) De parti~le afgeleide van snaar ub:

os

= co s (C(s ) --- = b~ - ub ~ :::sin~(<<s) ... • 2. ( ) u, ',-51.n 01.5

=

cos~ } - ---s .:!V bi).- ub'2.

=

sLn2 (OCr ) (G.45)

De noemer van de breUK van worden aangepast.

(G.4S) wordt:

(G.45) Kan met behulp van (G.44)

às

(G. 46)

Deze vergelijking is algemeen geldig, ongeacht de stroomrichting en de baan van het vaartuig.

-Appendix G Onder de

cos (eX$' ) =

gegeven ui tgangspun ten is sin(O(.s)

=

o.o.

Dan wordt (G.46) wat eenvoudiger:

1.0 en

= (G.47)

s

Uit (G.47), (G.40) en (G.3a) volgt de partLëLe afgeleide van s naar a bij de genoemde uitgangspunten:

dS

ub ê)ub Uó 2

=

-

--

...

...--- = - - -:::g (a)

da s c)a s

(G. 48)

Er wordt gesteld dat in een meetinterval .6ti.een in de tijd rechtlijnig diepteverloop wordt geregistreerd, zoals in figuur 10 is ~eergegeven. In verband met de beschouwingen in de volgende paragraaf is de oorsprong van de t-as in het midden van het interval ter plaatse van de rekenkundig gemiddelde diepte a geplaatst.

Gegeven dat .6a niet te groot is, wordt g(a) = g(ac:) van (G.39) verondersteld constant langs het interval te zijn. Nu zijn op elk punt in het meetinterval met een diepte a de stroomsnelheid u en de oversteeksnelheid s met behulp van

(G.38) en (G.48) wiskundig te benaderen:

(G.49)

(G. 50)

(G.49) heeft nog een vrijheidsgraad in de vorm van z. Deze vergelijking wordt uitsluitend voor z

=

zb

=

-0.75 m en z

=

Zm

=

-2.00 m toegepast. Omdat een van de uitgangspunten

is, dat ub ~u~, geeft (G.49) in de bovenste stroomlagen constante waarden voor u, ongeacht z. Het vermelden van Z als afhankelijke parameter mag hier dus vervallen.

(G.49) en (G.SO) zijn zeer belangrijk voor de beschouwingen in de volgende subparagraaf.

:::;.4.3

In deze subparagraaf wordt de invloed van het diepteverloop op de nauwkeurigheid van de gemeten Qi behandeld. Dat wil

zeggen: er wordt een schatting gegeven van het verschil

tussen het berekende debiet Q. en het werkelijke debiet Q.

Appendix G

Er wordt verondersteld, dat de diepte in het interval rechtlijnig in de tijd toeneemt, zoals in figuur 10 is getekend:

act) + ~a-- --·-t_'.

6

t,

(G.S1)

(G.S1) ingevuld in (G.49) en (G.50) levert vergelijkingen van u en s als functie van de tijd top:

u(t)

=

_{u (ai) "}

(1

=

5(a;)*(1

{G.S2}

set) (G.S3)

Het werkelijke debiet wordt nu benaderd met een vergelijk.ing, die in hoofdlijnen met (G.2) overeenk.omt:

o •

5:::~ti.

Q.

=

f

K· :;:u (t) :::a (t) ::'5(t) =d t

(oW I.A.,L """"

-0 •S:::6t~

Als in (G.S4) de vergelijkingen (G.S1), (G.52)

worden ingevuld, verandert deze mede met behulp

tot: (G. S4) en (G.S3) van (G.2)

=

K ·:::u.(a.):::a.:::s(a·)::~t·:::C",

=

~(. ,"'ZI. (. (... L c ~ (G.SS)

De factor Ca geeft een indicatie van de afwijking van Q~ van

Qiw en bevat de termen aan de rechterkant van het *-teken in

(G.S1), (G.S2) en (G.S3):

I _'. 0.jS:::6t,. (

Ca

= ---~

1

/j,t;_ -0. S::'6.ti

(G.56)

Deze omvangriJKe vergelijking wordt sterk. vereenvoudigd, als

CQ beschouwd wordt in de twee extreme situaties:

cos~(!,\.)

=

0.5 ::;> ub ~ s:

-Appendix G 1 = 1 -

--*

(6a)'1..

=s

'2(a~) 12 (G. 57) cos'2. ()Jw) = 0.0 ::> u"J. 0:

C

Q = _~_:::

o.

ï~ti.

{1

+

(~~_):<.~:

~:~~~~,::t:t1

*d

t = 6tl... -0.5:::6~ 6ti.. ai. 1 'l. g(at>

=

1 + --=::(t;;.a) :::---12 a~ (G.S8)

Hieruit volgt, dat bij een normaal verlopende m.b.-meting onder de gegeven uitgangspunten CQ aan de volgende uitdrukking voldoet:

1",_ :t .'_ ?. 1 9 (a .)

1 - ---,-(6a) -,-g (ai)

<=

C

<=

1 + --(6a),z

:::---:.-12 Q 12 ai.

(G. 59)

rijdens de metingen in de Lek bleek, dat in een

tijjsinterval t;;.t

=

L 20 s de toe- of afname van de diepte a

ter grootte van t;;.a

=

3.00 m vrijwel nooit overschreden werd.

Uit de beschouwing bij t;;.a

=

3.00 rr. volgt dan ook een

schatting van de maximale invloed van het diepteverloop op

de nauwkeurigheid.

Gegeven: a~

=

5.00 m

t;;.a= 3. 00 m

de bekende uitgangspunten

Bij een diepte aL. = 5.00 m is g(ac.> ~ 0.15 (zie fig. 8).

Ingevuld in (G.58):

0.98

<=

CQ

<=

1.02

(G.60)

o •

9 8

<

=

Q~I.V / Qi.

<

=

1. 0 2

Het blijkt dat de afwijking van

hooguit 2 % bedraagt.

Q. van Q. bij t;;.a

=

3.00 m

Appendix G

Nu worden de volgende conclusies getrokken:

1. De invloed van het diepteverloop op de

nauwkeurigheid, waarmee Q~ bepaald wordt, is erg klein. In het voorbeeld is deze afwijking hooguit 2 % van

QL.

2. Bij het gebruik van een groter tijdsinterval dan ~t~

=

20 s wordt de kans groter, dat

- de dieptevariatie aanzienlijk wordt;

- de baan van het vaartuig in het meet interval niet recht is;

- de snelheid van het vaartuig ten opzichte van het omringende water b niet constant is.

Aan de uitgangspunten van paragraaf G.2 wordt dan niet meer helemaal voldaan. De bewering, dat de invloed van het diepteverloop op de nauwkeurigheid gering is. is om deze reden minder zeker.

Er wordt daarom aanbevolen een zo kort mogelijk tijdsinterval te gebruiken.

In de volgende paragraaf worden aspecten ten aanzien van de baan meetvaartuig nader bekeken.

de uitvoeringstechnische en de snelheid van het

In appendix B is in de beschrijving van uiteen gezet, dat het vaartuig normaal sinusachtige baan vaart. De vorm van de samen met het stroomsnelheidsverloop langs

de vaarbeweging ges proken een

baan hangt nauw de raai.

In figuur 11 is dit verband goed te zien:

1. Aan het begin van de meting (t

=

0.00 s) houdt de schipper al rekening met de stroming in de positieve x-richting door de lengteas van het vaartuig (en daarmee de richting van vector b) tegen de stroomrichting in in te stellen. Daar de stroomsnelheid u nog erg klein is, is z1Jn resulterende vaarbeweging stroomopwaarts gericht. 2. Van t = 51 s tot t = 122 s constateert de

schipper, dat de stroomsnelheid flink toeneemt. Hij corrigeert met zijn roer, maar hij kan niet voorkomen dat door de traagheid van het systeem

het vaartuig niet direct reageert en hij door de

-Appendix G stroming in stroomafwaartse richting wordt

meegenomen.

3. De stroomsnelheid is van t

=

122 s tot 183 s vrijwel constant, zodat de schipper nauwKeurig evenwijdig aan de raai Kan varen.

4. Bij het naderen van de rechter oever neemt de stroomsnelheid af. Omdat de schipper de lengteas van het vaartuig (ofwel de richting van vector b) op de grotere stroomsnelheid in het midden van de raai heeft ingesteld, vaart hij vanaf t

=

183 s in stroomopwaartse richting.

Opvallend aan de baan is het feit dat het afwijken van de raai heel geleidelijk geschiedt.

Voor de m.b.-methode is dit een gunstig gegeven: Bij het gebruik van meetintervallen ~tL

<=

20 s benadert de baan in het interval een rechte lijn. In dat geval wordt aan de eis voor de baan in het interval i, zoals deze in de vorige paragraaf is opgesteld, voldaan.

C:>~lusie

Uit deze beschouwing volgt een bevestiging van de aanbeveling een zo kort mogelijk meetinterval te gebruiken.

G.S.2

In alle beschouwingen tot nu toe is verondersteld, dat de snelheid van het vaartuig ten opzichte van het omringende vater (b) constan t is. t-1et(G.7) volgt hieruit , dat de gemeten watersnelheid w ook constant is.

Toch moet rekening gehouden worden met het geval, waarin b en w tijdens de meting niet constant zijn. Bij het begin van een m.b.-meting is het vaartug net cp gang gekomen en is het (nog) bezig naar de raai toe te varen. De kans is dan grcot, dat het vaartuig dan nog niet die snelheid ten opzichte van het omringende water b heeft bereikt, die bij het ingestelde motorvermogen past.

Voorb~eld:

Bij een m.b.-meting op 17 maart 1984 blijkt de gemeten watersnelheid w van t

=

100 s geleidelijk van 0.70 mIs tot van 1.60 mIs toe te nemen (fig. 12).

in de Lek

t = 0.0 tot een maximum

Appendix G

owlat ~ 0.01 mis (G.61)

Bi j gebruik van ~t,

=

20 s is w uniform verdeeld over een interval van 0.20 mis. Dit geeft een bijdrage tot de standaardafwijking in w:

(JW'

=

0.201\jlï

=

0.06 mis (G.b2)

Aan het begin van de meting is w ~ 0.70 mis. Dan is op basis van de beschouwingen in appendix f:

sv

r» = 0.058 (G.b3)

Uit (G.61) en {G.62} standaardafwijking van meting:

volgt de totale

waan het begin van de

=

v

(0.058:::0. 70}i =

=

0.07 mis (G.6ij) De relatieve standaardafwijking is:

0.07

---

=

=

0.10 (G.bS)

wO.70

Het verschil met (G.b3) is 4 %.

Oe vergroting van de relatieve standaardafwijking van w neemt bij toenemende t (en dus bij toenemende w) zeer sterk af. Als w de maximum waarde benadert is deze zelfs verwaarloosbaar klein geworden.

De bovenstaande berekeningen z1Jn niet algemeen geldig. Ze zijn gebaseerd op een incidentele rn.b.-meting. Geen enkele meting is in de uitvoering gelijk aan de vorige. In het kader van deze nauwkeurigheidsbeschouwing wordt slechts volstaan met de onderstaande aanbevelingen.

Deze zijn:

1. Door een zo klein mogelijk meetinterval {bv. ~ti

=

20 s} te gebruiken wordt voorKomen, dat de toename van w te sterk in de fout doorwerkt.

2. Tijdens een m.b.-meting moet ernaar gestreefd worden dat de gemeten water snelheid w constant is in de tijd. Er kan om dit te bewerkstelligen aan het volgende worden gedacht:

-Appendix G Vanuit stilstandpositie

groot vermogen op gang snelheid b ~ w (in het

1.60 mIs) is bereikt,

vermogen verder gevaren.

wordt het gebracht. bijgaande wordt met

vaa rtuig met Als de vereiste voorbeeld: b ~ een kleiner

Met (G.2) is de onnauwkeurigheid van het berekende debiet in een interval (Qc:.) als volgt uit te örukkene

(G.66)

Voor een nadere analyse van (G.66)

onderscheid gemaakt tussen de twee

cos'::2.(d'I.) = 0.5 en cos?

<J'w) ::

0:

1. COS~(y,.,):: 0.5 (Q 1- 0):

Door de termen van (G.66) links en rechts van het

::-teken te delen door het berekende debiet in het

interval Q~ wordt een uitdrukking voor de

relatieve standaardafwijking verkregen:

wordt wederom een

extreme gevallen

(G.67)

Opmerkingen:

- De relatieve standaardafwijkingen in K~i en ai

Zijn kleiner of gelijk aan 1 %, terwijl die

van um~i minimaal 3.5 % is. Dit betekent, dat

de onnauwkeurigheid van KtA.. en ai relatief

weinig in de totale onnauwkeurigheid van Q.

c

doorwerken.

- De invloed van de nauwkeurigheid van het

plaatslenste van het interval y op de

onnauwkeurigheid van Q is afhankelijk van de

grootte Vcln het plaatslengte zelf. Deze is op

haar beurt afhankelijk van de

oversteeksnelheià s~.

(G.67) is een van de twee belangrijkste

basisvergelijkingen voor de beschouwingen in appendix

Appendix G

2. COS2

(d" ••

,J

=

0 (QtO):

In dit geval is het debiet heel Klein, omdat de stroomsnelheid nihil is: u ~ O. Dit heeft tot gevolg dat de partLë Le afgeleiden van Qe: naar KI.4"

ai en 8Yi alle gelijk zijn aan nul:

ê)Q. dQ· _dQ~

L

,

=

=

=

0

dK

C4.: c)a'_(,.

èJ6y,

(G.66) is met onder andere vereenvoudigen tot:

(G.68)

(G.2) en (G.34) te

1 è)Q.;

OQi

=

1---1 :::a-U,"""i

=

K ....i :::ai :;:16Y~I:::O""ulo1'X<..

=

IdUI't{~i.1

(G.69) Deze vergelijking is de tweede basisvergelijking in appendix H.

Er wordt met deze analyse van de standaardafwijking volstaan. Een getallenvoorbeeld is misschien wel een goede illustratie van de bovenstaande theorie, maar is in de totale context van geen waarde:

In de nauwkeurigheidsbeschouwing gaat het niet om de nauwkeurigheid van het berekende debiet in een interval, maar om de

_---~----

nauwkeuricheid

_---

van het totale debiet. Deze wordt

--- ---

---in appendix H met behulp van (G.67) en (G.69) en de oe r exende standaardafwijkingen in Ku.<.' u.,.."",:,ai en

6

Yi..

behandeld.

De simulatie van m.b.-metingen met behulp van een model volgens de Monte Carlo-methode (fig. 2) diende ter ondersteuning van de analytische beschouwing. Het numerieke onderzoek werd gelijktijdig met het analytische onderzoek uitgevoerd en bestond uit drie stappen.

1 • QIlJlg1!!Lls.~ill:.is.heiQ ~~.k..

sn

~Y4.

- x·_(..

Met het model werden "waarnemingen" gegenereerd van de factoren in het rechterlid van de bovenstaande vergelijkingen. Hieronder is weergegeven van welke parameters deze

-Appendix G "waarnemingen" afhankelijk zijn. Deze parameters

zijn als onafhankelijke variabelen in het model gebruikt.

a. xi.,., - onnauwkeur igheid p

laatsbepalings-sys teem

b , xi : - onnauwkeurigheid

plaatsbepalings-systeem

c, Y;..., : - onnauwkeurigheid

plaatsbepalings-systeem - vaarsnelheid meetvaartuig s~; d. ~ : - onnauwkeurigheid plaatsbepalings-systeem - vaarsnelheid meetvaartuig s~. 2.

Onn~~~1~~Li3helQ str2Qill§ll~lh~lQ~QgQ~ling

um1r.i = {G.14l

De factoren in het rechterlid van vergelijking

(G.14) zijn afhankelijk van de volgende

parameters, die als onafhankelijke variabelen in

het model zijn gebruikt:

a.

.

.

-

onnauwkeurigheid, zoals in bepaald; stap 1 b , w·_c.. - onnauwkeurigheid watersnelheid ; bepaling c. cos (v ).

ów (, - onnauwkeurigheid waarneming hoek

Ywc.j;

- aantal waarnemingen per interval

m'2. •

Q_I... -- K_14(.. "'u,-, _m?::,.',' .'-'a ,',_c -e- 11::::.y._(. I (G. 2)

Onderstaande parameters zijn als

variabelen in het model ingevoerd:

onafhankelijke

a. u""",,-,: - onnau ....' keur igheid, zoals in stap 2

bepaald;

b. a·(. onnauwkeurigheid waarneming ctLept e

aik ;

Appendix G

c , !:::.Yi.:- onnauwkeurigheid, zoals in stap 1

bepaald.

·_---_.

.

.

1. Kt.<-l:

De relatieve standaardafwijking is:

= 0.01 (G.34)

2. u ...e.i:

In tabel 3 blijkt de standaardafwijking bij een meetinterval !:::.t~

=

20 s 3 a 5 ~ van de gemeten watersnelheid w te zijn.

De parameter

Yw

moet iedere 2.5 s worden gemeten (vb.: m'l_

=

8 bij !:::.t(_

=

20 sJ.

3. ai. :

·Het aantal bemonsteringen van de diepte per interval is gebaseerd op de onderstaande eis: o-a_(...

=

0.005 (G.29)

a·(..

Hieruit volgde dat het aantal dieptemetingen per interval minimaal ffi3

=

9 moet zijn.

4. &1..:

Deze factor heeft een standaardafwijking in de orde van 1. 00 m (tabel 4).

:---

-

----

-

---:

-Appendix G

._---_.

·

.

Het meetinterval dient zo klein mogelijk te zijn, omdat bij een groter interval:

1. de dieptevariatie zodanig groot kan Z1)n, dat de

nauwkeurigheid van het debiet per interval (Q,) in

belangrijke mate negatief be!nvloed wordt;

2. de afwijking van de uitvoering van de meting van

de ideale meting (reehte baan, gemeten

watersnelheid w

=

constant) in sterkere mate

negatief op de nauwkeurigheid van Q~ doorwerkt •

.

_---_.

·

.

.

_---_.

·

.

1. cos'2..()lw)

=

0.5 (Q ~ O) :

(~~~r

=

(~~~1"

+

(~~~~~r

+ KL(.L U nt'1(. +

(~~t

₊

(~~~"-t

cr-fu,

2. cos'2

(y..,,)

=

0 (Q % 0) :

G"Qi

=

o

•91'"-a·-_I..""16y._I.. I"'!TU~. _""~L .

(G. 67)

(G.69)

De relatieve standaarafwijkingen in K~~ en a~ z1Jn

vrij klein ten opzichte van de standaardafwijking

in u'tl'ti.K...: en a,:hebben daarom een relatief

kleine invloed op de totale relatieve

nauwkeurigheid van Qe,:, zoals deze in (G.67) is

uitgedrukt.

De invloed van de standaardafwijking van

6Y,-

is

afhankelijk van de grootte van 6.y(... zelf •

.

_---_.

Appendix G

y

'. -9

b - ~

_-

_-

_;_5

.

,

_,

~ \ \ \ \ \ BOOT BEWEGING

y

-s

STROOMSNELHEIDSBEPALING

figuur 1: vectoràiagrammen vaarbeweging en

stroomsnelheiàsbepaling

-App enc ix G·

p

P

1

ho.

p

Appendix G·

RAAI

y

b

I

Fisuur 3: mo~elijKe richtingen vector -:)bv

-Appendix G

y

crumxi

15

I:

_w

(I)

\

(%)

\\

W";J: lOO mis

\\

:>

10

\\

\\

1

\

-,

-,

\

'-- 2

5

-"'"

<,

4

--A ppend ix G 100 2.00

W

(mIs)

3.00

figuur 5: standaardafwijKing gemeten stroomsnelheid

-Ku

(- )

1.00 0.95 0.90 Appendix G

Zm=

-2.00m

kN: --- O.10m

~~I---~----~---~----~---~I---~---~I

~>

3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

a (m)

figuur 6: correctieco~fficient K~

Appendix G·

/

1

_INTERVAL

₂

1---.:;;.>

y

figuur 7: plaats àieptewaarnerningen bij toenemende

diepte

-kN(ml: _{Appendix G}

(I

):

aUb/

aa

0.400

9(0

Izt)

=

_

.

_

ub

a

)

0.30

.

aum'aa

(1/

m)

₉₍₀

_Z

₎

₌

0.

Im

u

0.10

m

0.300 0.60 \ 0.200 0.100

o

"

I

3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 6.00

I

I

>

9.00 10.00

a(m)

Appendix G

Figuur 9: vectordiagram vaarbeweging

a

Figuur 10: die~teverloop in meetinterval ~t.

(.

-Appendix G

Y~

YJ

(m)

.

L.

0,

(m)

,

L.

O

.

150

T

isa

T

T

T

----T

T

'.

h

r~

..

J

43

3

3

IOC"

1

100 \ ""

Cl

f

~..

T~~

o'-,. J

r

"0 .~2') 3 ..... 50

t

l

"

.c se

r

:

33 ~Cl)

T~

i33 c (J)

f

-

-

-

-

j

e

TL,

0 0

r

,

~

~ .o.J (J)

umx

T ~

i62 _c

>

4+

I I I 11 ~

1

:!5-{~

X

Cl) ~

:>

c tr. LI1 of'

(mIs)

0 0

cr

l

O

C

(m)

CT3 '-"'-1 r' r" N

-T

~42 N ~ T

f

~

l

a

I I ..Q

T \

.

~-,

C aJ

r

'

-

(J) (J)

T

l

T :;;::

i~2 :J -50

f

-50

t

i

:

:

2

...

'''0 C

T

L

CT3 ..Q

I

l

TT

Q' ~ Cl)

1

f ~

I > -~

r.

T

s: ...-4

..

-iJO

f

1

...-4

/

1

,

_~ -1 O~ •1

I

J

:J::J 0"1

o

-

r

J

...t&.

1

_-

1

_r

r~ '\ 30

'

\J

_"l

?

_,-J "'I

-

l

<j

q_T

-1so

r

~

1-0 "

T

t

_R

_,

_O

_.

T

R

.

0,

'.

w

(mIs)

2.00 Appendix

G

1.50 1.00 050

o

-t----t----+----t---_+__~

t

(s)

o

50 100 150 200

figuur 12: voorbeeld gemeten watersnelheid

-Appendix H

NAUwKEU RIGHEID DEE lETBEPALING

Appendix H

INHOUD

Appenàix blz.

H. Nauwkeurigheid debietbepaling

Inleiding ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 1

Onnauwkeurigheid berekend debiet •••••••••••••••••• 1

Samenstelling onnauwkeurigheid berekend

debiet ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 2

Doorwerking onnauwkeurigheid intervaldebiet •••• 2

Debiet door niet-bemeten raaidelen •••••••••••• 11

BereKend debiet en tijdsgemiddeld debiet ••••••••• 13

Synthese onnauwkeurigheid m.b.-methode ••••••••••• 15

Samenvatting ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 16

FIGURt:N

Figuur blz.

1. schematisatie raaiprofiel

..

.

.

.

....

.

.

.

...

.

...

.

.

..

..

18

2. debietbepaling in intervallen ••••••••••••••••••••••• 18

3. onnauwkeurigheid gemeten debiet, COS2(y~)

=

0.5 ••••• 19

u , onnauwkeurigheid gemeten debiet, cos1..(y ...) = 0 ••••••• 20

5. synthese onnauwkeurigheid gemeten debiet •••••••••••• 21

6. uitgangspunten schatting Q~ •••••••••••••••••••••••••22

Appendix H

TABELLEN

Tabel blz.

1. invoergegevens (H.13) I cos 2. ()' >

=

0.5 (Q 1- 0) ••••••••• 5

Appendix H

Deze appendix is een voortzetting van de analyse in de appendices F en G. Daarin kwamen respectievelijk de onnauwkeurigheden van de meetgegevens en de onnauwkeurigheid door de discretisatie in intervallen aan de orde.

Op basis hiervan wordt nu de nauwkeurigheid, waarmee het gehele debiet langs de raai wordt gemeten, besproken.

Aan deze analyse liggen wederom de uitgangspunten, zoals deze in paragraaf G.2 zijn opgesteld, ten grondslag.

Daarnaast wordt een nieuwe veronderstelling gehanteerd ten aanzien van het profielverloop. Het raaiprofiel wordt geschematiseerd tot een rechthoekige bak met een breedte B die gelijk is aan die van het raaiprofiel zelf, en een gemiddelde diepte ae ale overeenkomt met de gemiddelde diepte van de rivier langs de raai (fig. 1). Langs deze raai geldt, dat de stroomsnelheid constant is:

u(y)

=

constant (H.1)

Met dit aanvullende uitgangspunt mag gesteld worden dat

Qf

=

Q'l.

=. •• =

Q..., (H.2)

De opzet van appendix H is nu als velgt:

1. Doorwerking onnauwkeurigheid intervaldebiet: Allereerst wordt de onnauwkeurigheid van het berekende debiet Qrn als gevolg van de

karakteristieke eigenschappen van de m.b.-methode zelf (onnauwkeurigheid meetgegevens, discretisatie in in tervallen) bekeken.

2. Berekend debiet en tijdsgemiddeld debiet:

Daarna wordt beredeneerd, dat de m.b.-methode een benadering van het tijQ29.~!l11gQglQgQ.~Qie!

Q.

geeft. Er wordt een schatting gegeven van het verschil tussen Qrn en

Q.

3. Synthese onnauwkeurigheid m.b.-methode:

~e onnauwkeurigheid van Q~ en het verschil tussen Q en Qrn vormen samen de onnauwKeurigheid van de meetwaarde van het debiet, die met de m.b.-methode is verkregen.

Appendix H

Zoals reeds in ap~endix D is uiteengezet bestaat het berekende debiet Qm uit twee onderdelen (fig. 2):

1. Gemeten debiet QF:

Q~ bestaat uit een sommatie van debieten door intervallen Qi:

%

=

mi

r

i=l Q. t. (H. 3)

Met (H.2) is (H.3) om te werken tot

Q,

=

m, :;:Q, (H.4)

De onnauwkeurigheden van de diverse Q& (appendix G) vormen tesamen de onnauwkeurigheid van Q~. 2. Debiet door de niet bemeten raaigedeelten Q~:

Deze is sterk afhankelijk van typische riviereigenschappen, zoals de vorm van het raaiprofiel.

De samenhang tussen de standaardafwijking van het gemeten debiet Q~ en de standaardafwijkingen van de debieten door de intervallen Qi. (i

=

1, •••,m,) is als volgt:

mi

=

l:

(j"ll.Q.

• I..

1.=1

(H. S)

Over (H.5) is op te merken dat O"'Q1gedeelte lijk: ook afhankelijk is van het aantal reeetintervallen per debietbepal ing (m,).

De grootte van m, hangt op haar beurt af van de snelheid, waarmee het vaartuig oversteekt: s~.

Met (H.2) is (H.4) te vereenvoudigen tot

(H.6)

Evenals in appendix G wordt in deze beschouwing een ondersch eid gemaak t tussen cos2.

<yw)

= 0.5 (Q ~ 0) en cos'l.(y.•,)

=

0 (Q ~ 0).

-Appendix H cos 2(;,,,,,) = 0.5 (Q "# O)

in appendix G is (G.67) afgeleid:

(H.7) De grootte van de stroomsnelheid wordt benaderd door

IUm", 1 = Iw=::cos(Yw) I

=

w/V2 ~ b/\[ï (H.a)

Vergelijking (G.13) geeft een benadering van de grootte van de oversteeksnelheid:

Is'f I

=

w

/\/2 ~

b

/\/2

(H • 9 )

Als gegeven is dat het meetinterval 6ti groot is, dan is met

(H.9) de plaatslengte van het interval 6Y~

(H .10)

en het aantal meetintervallen per meting in een raai B

breed:

(H.11)

=

=

---Het invullen van (H.Lt), {H.7}, {H.B}, (H.10) (H.6) levert op:

en (H.l1) in

(H.12)

De afmetingen van het raaiprofiel (E en aS) zijn als volgt V3n invloed op de relatieve standaardafw~jking van het gemeten debiet:

1. In appendix G is cpgemerkt dat stan da a rdaf wLjk Ln q van ai Een relatief

de

Appendix H invloed op de standaardafwijking van

Q,

heeft. De relatieve standaardafwijKing van Q~ verandert dus ook nauwelijks als de diepte aG wordt aangepast. 2. De relatieve standaardafwijKing van Q~ is recht

evenredig met de reciproke van de wortel van de breedte B.

Van de afmetingen van het raaiprofiel (B en aal heeft alleen B een significante invloed. Om een uitdrukKing te Krijgen, die ongevoelig is voor de afmetingen van het raaiprofiel, wordt (H.l2) omgewerKt tot:

=

[~~*{

(~j

~

+

(:;~r

+

(

G"a .

)'t

(a'

t::._y. )}

1

o.

s-+ --: + ---~--- (H.l3)

a~ t::._ti. :::w/

\fi

In figuur 3 is de factor \(B*~1/Q1 als functie van b

uitgezet. De nummering van de lijnen komt overeen met de

nummering in tabel l. Aan de berekeningen volgens (H.l3)

met de gegevens van tabel 1 lisgen de gegevens in appendix G

van de tabellen 3 en ij en van de formules (G.29) en (G.35)

ten grondslag.

Hierbij moet opgemerkt worden dat ~x~~~ en ~~.~ niet

gelijktijdig Kunnen optreden, zoals in appendix F (paragraaf

F.4) is uiteengezet!

De bijdragen van de onnauwkeurigheden van de diverse

factoren aan de onnauwkeurigheid van het gemeten debiet

Q1

zijn als volgt: 1. Kt,.<.': en a,,':

De relatieve onnauwkeurigheden van deze factoren

zijn klein in vergelijking tot die van u,...,~{en

t::._y~. Hun bijdrage aan de totale onnauwkeurigheid

is daarom gering.

u~~i: De relatieve

nadert bij toenemende (zie a pp , G, fig. 5).

onnauwkeurigheid van

stabiel.

onnauwKeurigheid van u1M1C(

w (Z b) een constante waarde

De bijdrage aan de relatieve

Q1

is dan constant en

-Appendix H Tabel 1.

invoergegevens (H.13), cos2(yw)

=

0.5 (Q ~ 0) I ~K(4c.: r», I

=

0.01

=

0.005 I K~.· a,· I I I

1---1

I I I I I

1

~t~

I

a:«

I

Qy

I

lijn

I

I I I I I

1---1---1---1---1

1

I

I

I

1

1 20 I max 1 min 1 1 1 I 20 I min I max I 2 I I I I 1 I I 30 I max I min 1 3 1 I 30 I min I max I 4 I I 1 I 1 I I 40 1 max I min I 5 I 1 40 I min I max I 6 I I I I I f

Toename van b impliceert volgens (H.10) een

toename van de plaatslengte van het interval ~~.

De relatieve onnauwkeurigheid in

mi

neemt dan af

naar nul.

Evaluatie van de bovenstaande drie punten laat zien, dat de

factor \JB:';.(jQ'J IQ,.. een stabiele en constante waarde zou

benaderen. Ech ter, het aantal meet intervallen (m,) is ook

van belang.

4. m,:

In het vorige punt is beredeneerd, dat bij

toenemende b de plaatslengte van het interval ~Yi

toeneemt. Hieruit volgt, dat bij een gegeven

rivierbreedte B het totale aantal intervallen m,

kleiner wordt (zie ook. (H.11))•

In (H.12) is te zien, dat dit effect een

vergroting van de factor \fi:>,:(jQ1 IQ, tot gevolg

heeft.

Het uiteindelijke resultaat is een lichte stijging van de

onnauwkeurigheid bij toenemende b. Deze stijging is echter

Appendix H (JO,..

---*

\IB ~

0.45 m

Qr

Onder de gegeven veronderstelling van de vorm van het profiel en van het stroomsnelheidsverloop volgens (H.1) is met behulp van (H.S) een schatting te geven van het gemeten debiet:

(H.14)

Qq. = K"", :::u~"\:.*aG >::B = O. 91:'':~''Jt:.:''.:af?l*B =

=

0.64>::b:'.:aG:;:B (H.1S)

Samen met (H.14) geeft dit een benadering van de absolute onnauwkeurigheid van het debiet:

~01 =

O.30:'':b;':a

VB

g:;: (H.16)

Ten aanzien van deze berekeningen en de figuur wordt het volgende opgemerKt:

1. Meet1ntervê.l:

De lijnen liggen dicht bij elkaar. Hieruit volgt dat de onnauwkeurigheid van het debiet vrijwel ongevoelig is voor het gekozen meetinterval.

Er moet echter niet uit het oog worden verloren, dat deze redenering cpgaat als aan de

veronderstellingen wordt voldaan. In appendix G is reeds gewezen op de onzekerheid over de

nauwkeurigheid als het meetinterval groot ingesteld wordt. De uitvoering van de meting en het diepteverloop kunnen dan van belangrijke negatieve invloed zijn.

2. ~lggl~~gQê.ling~§Y~tegm:

Uit het feit dat de lijnen 1 en 2, 3 en 4, en 5 en 6 op elkaar liggen, wordt het volgende

geconcludeerd:

De nauwkeurigheid van het gemeten debiet is ongevoelig voor de positionering van het Artemis plaatsbepalingssysteem (O"'xltt..-x. of cr-xloK':.., , 6"yl'KóC.'7<. of

~Ylfili~ ) •

coS '4 ((I,V) = 0 (0 lJt: 0)

In appendix G is (G.69) afgeleid: OQ·

=

O. 91:::a.:;:IAy. I:::óu .

c.. " u" """lIC.(' (H.17)

De nauwkeurigheid van het totale gemeten debiet Q~ (in dit geval ~ 0) wordt verkregen door (H.17) in (H.6) in te vullen:

-Appendix H ö~ = ~ :::ClQi =

=

Vm,

:::0.91«a i::: It:.yi I:::(T"u... "", c (H.18}

Vergelijking (G.13) geeft een benadering van de grootte van

de overs teeksnelheid

'»:

als cos 'l.{/",,)

=

0:

1

s'1-

I ~

w ~ b (H.19)

Als het meetinterval t:.t,en de breedte van de rivier gegeven

zijn, volgt uit (H.19) de plaatslengte van een interval:

1&,' I

=

I

sï

I

=ts; ~

t:.ti:::b

en het aantal meetintervallen per m.b.-meting:

(H. 20) B B mi

=

---

₌

---I~y·

r

ó._ti:::b c. (H.21)

Met het gegeven dat de diepte constant is (al

=

ae) en

wanneer (H.21) in (H.1?) wordt ingevuld, dan:

()Q'f-

= ~

*0. 91

"a.*b.t,

*b*'-u~~,

=

(H.22)

De uitdrukking in het rechterlid wordt ongevoelig voor de

afmetingen van het raaiprofiel door 8 en a~ naar het

linkerlid te verhuizen:

'

--~~-

=

0.91:::

V

flti *b :::ClUI'H'lC.l

Va:::

all

De factor oQ1/ ('{B;;:aQ) is tegen b uitgezet in figuur ij • De

nummering van de lijnen komt overeen met de nummering in

tabel 2 • De gebruikte uitdrukkingen van de

standaardafwijking van u~~~ komen uit tabel 3 van appendix

G.

(H. 23)

Als in (H.23) àe bijdrage van de onnauwkeurigheid van het

meetgegeven van x wordt verwijderd, diln vereenvoudigt (H.23)

Appendix H Tabel 2. invoergegevens (H.23), cos4(,rW) = 0 (Q ~ 0)

1

~t~ 1 c-x lijn (s) I I I I I

1---1---1---1

1 1 I I I 20 I max I 1 I I 20 I min I 2 I I I I I I 30 1 max I 3 I I 30 I min I 4 I I I I I I 40 1 max I 5 I I 40 I min I 6 ( ,I I 1 I

=

als ~ti.

=

20 s als ~t2

=

30 s als 6,t,:. = 40 s (H. 24)

Opvallend is, dat deze analyse een vergelijking (H.2U)

oplevert, waarvan de constante nauwelijks verandert als er

een ander meetinterval ~t~ wordt gebruikt. Deze relatie is

ook in figuur 4 naast de lijnen 1 tct en met 6 uigezet.

Naar aanleiding van deze beschouwing worden de volgende

opmerkingen geplaatst:

1. ~~etin1~~1:

Verandering van de grootte van het meetinterval

~t~ heeft nauwelijks consequenties voor de

nauwkeurigheid van het gemeten debiet Q~.

Er wordt echter nogmaals gewezen op de Deschouwing

in appendix G over het interval. Hier is

uiteengezet, dat bij gebruik van een groter

meetinterval de nauwkeurigheid negatief be!nvloed

kan worden door de uitvoering van de meting en het

diepte verloop langs de raai.

-Appendix H In tegenstelling tot de nau vke ur Lqh e Ld van Q,. bij cos'2.(r~ = 0.5 wordt de nauwkeurigheid van Q bij cos '2.( Yv)

=

0 wel be!nvloed door de opstellin~ van het Artemis plaatsbepalingssysteem. De factor

~1-1 <'\.fE.:::af!J) kan in een strook van ongeveer

o.l7 5 m I.S"Is breed te boven de met (H.24) ui tgezet te

lijn liggen (fig. 4).

Er is besloten aan (H.24) een constante toe te voegen, waarmee dit effect in voldoende mate wordt verdisconteerd:

+ 0.15 (H. 25)

Voor de bepaling van de nauwkeurigheid van het gemeten debiet Q~ zijn twee vergelijkingen beschikbaar gekomen

«H.16) en (H.25». In beide vergelijkingen ~W.n de afmetingen van de rivierraai in de factor VB*ac

ondergebracht. Door nu (H.16) door deze factor te delen ontstaat in het rechterlid van (H.16) een uitdrukking, die net als in (H.2s) onafhankelijk is van de afmetingen van de rivierraai.

Het resultaat van de analyse is: 1. cos'l.(y",)

=

0.5 (Q 1- 0):

oQ1---

=

0.30::'b

Vs*a

c

(H.26) 2. cos :t({'v) = oQt

---

=

\(8:::a~

o

(Q Ak 0) (H.25)

Beide uitdrukKingen zijn in figuur 5 als functie van b uitgezet.

Opmerkingen:

1. De lijnen 1 en 2 in figuur 5 liggen dicht bij elkaar. Voor een beschouwing van de nauwkeurigheid van het gemeten debiet Q is het verstandig lijn 1

(H.26) als leidraad te nemen. De onnauwkeurigheid

met de snelheid van

is ongeveer recht evenredig het rneetvaartuig ten opzichte

Appendix H van het omringende water b. Hieruit volgt de

aanbeveling, dat het voortstuwingsvermogen zo laag als voor de manouevreerbaarheid mogelijk is, moet worden ingesteld.

3. De onnauwkeurigheid is recht evenredig met de factor \jB:::af"!J.

Dit is een interessant gegeven: Er worden twee rivieren beschouwd, waarvan de ene een breedte B en de andere een breedte 26 heeft. Oe

stroomsnelheid en de diepte zijn in beide rivieren hetzelfde, waaruit volgt dat het debiet in de andere rivier twee maal zo groot als het debiet in de ene rivier is. Voor de beschouwing van de onnauwkeurigheid wordt de volgende exercitie gepleegd: Rivier 1 Rivier 2 breedte B 28 diepte _{aa a~} stroomsn. u u gemeten Q1-' Q1l.

=

2:;:Q1' debiet onnauwk. (JQ (Jf'I -"'1'- -(H.26) 1-1

\.j2

_{:',:6"Q , I} relatieve

-».

~~l.__ 1 VQ'T1 onnauwk.

₌

----.".----_._ f'\ Q'}7.

V2

_~I

"\t.1"'

De relatieve onnauwkeurigheid in het gemeten debiet neemt onder de gegeven voorwaarden af bij toenemende rivierbreed te.

De gevolgtrekking hiervan is, dat bij toenemende rivierbreedte de onnauwKeurigheidstoename van het volgens de m.b.-methode bepaalde debiet binnen de perken blijft. Dit is een bevestiging van de ervaringen in de praktijk: in Noord-A~erika wordt de m.b.-methode toegepast bij de debietbepaling in zeer brede rivieren, zoals de Mississippi.

Rivier: Lek (bij Krimpen aan de Lek) Afmetingen: 8

=

275 m

al!

=

6.00 m

Snelheid meetvaartuig: b

=

1.50 mis

Volgens (H.26) is de nauwkeurigheid van het gemeten debiet: