Numerical analysis of the stream function
in plane groundwater flow
B I B L I O T H E E K T U Delft P 1 7 0 2 5 0 7 5
Numerical analysis of the stream function
in plane groundwater flow
P R O E F S C H R I F T
T E R V E R K R I J G I N G V A N D E G R A A D V A N DOCTOR I N DE T E C H N I S C H E W E T E N S C H A P P E N V A N DE T E C H N I S C H E
H O G E S C H O O L DELFT, OP G E Z A G V A N DE RECTOR M A G N I F I C U S PROF. IR. B.P.TH. V E L T M A N , VOOR E E N COMMISSIE A A N G E W E Z E N DOOR H E T C O L L E G E V A N D E K A N E N , T E V E R D E D I G E N OP D I N S D A G 15 J U N I 1982 T E 14.00 U U R DOOR C O R N E L I S V A N D E N A K K E R CIVIEL-INGENIEUR G E B O R E N T E W O R K U M
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DIT P R O E F S C H R I F T IS G O E D G E K E U R D DOOR DE P R O M O T O R E N
PROF. DR. IR. A. V E R R U I J T PROF. IR. L. H U I S M A N
acknowledgements
T h e m a i n p a r t o f t h e r e s e a r c h w o r k f o r t h i s t h e s i s w a s c a r r i e d o u t d u r i n g t h e t i m e t h a t I w a s h y d r o l o g i s t a t t h e M u n i c i p a l W a t e r w o r k s o f A m s t e r d a m . E s p e c i a l l y i n t h e y e a r s 1 9 7 9 a n d 1 9 8 0 w h e n I w a s w o r k i n g o n e d a y a w e e k a t t h e G e o t e c h n i c a l L a b o r a t o r y o f t h e D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g o f t h e D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y I h a d t h e o p p o r t u n i t y t o d o t h e i n v e s t i g a t i o n s a n d t o w r i t e t h e c o m p u t e r p r o g r a m s f o r t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s . I am g r a t e f u l t o I r . S. G a n f o r h i s a s s i s t a n c e . M o s t o f t h e c a l c u l a t i o n e x a m p l e s w e r e c a r r i e d o u t b y M r . R: L i e s t e a n d t h e e n g l i s h t e x t w a s r e v i s e d b y M r . J . M . B e e t s , b o t h c o l l e a g u e s a t t h e N a t i o n a l I n s t i t u t e f o r W a t e r S u p p l y i n t h e N e t h e r l a n d s . I am g r a t e f u l t o M r . D. M o s a n d M r . M . J . C . M i d d e l b u r g f o r p r e p a r i n g t h e f i g u r e s . T h e t y p i n g o f t h i s t h e s i s w a s d o n e b y M r s . M. d e L a a t - S a x . I w i s h t o e x p r e s s my g r a t i t u d e t o h e r f o r d o i n g t h i s d i f f i c u l t j o b .contents
P a g e 1. I n t r o d u c t i o n 9 2. T h e b a s i c e g u a t i o n s f o r p l a n e g r o u n d w a t e r f l o w n 2 . 1 . I n t r o d u c t i o n 11 2 . 2 . D a r c y ' s l a w 11 2 . 3 . E q u a t i o n o f c o n t i n u i t y 13 2 . 4 . T h e L a p l a c e e q u a t i o n 14 2 . 5 . P o t e n t i a l a n d s t r e a m f u n c t i o n 14 3. R e l a t i o n b e t w e e n t h e p o t e n t i a l a n d t h e s t r e a m f u n c t i o n 17 3 . 1 . I n t r o d u c t i o n 17 3 . 2 . T h e a d j o i n t f l o w p r o b l e m 17 4. C a l c u l a t i o n o f p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s u s i n g a n a l y t i c a l s o l u t i o n s 27 4 . 1 . I n t r o d u c t i o n 27 4 . 2 . T h e p r i n c i p l e o f t h e m e t h o d 28 4 . 3 . D e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s 29 4 . 4 . S t r e a m l i n e s i n a c o n f i n e d a q u i f e r w i t h a n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w a n d a n u m b e r o f s i n k s a n d s o u r c e s 31 4 . 5 . P a t h l i n e s i n a s e m i - c o n f i n e d a q u i f e r w i t h n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w a n d a n u m b e r o f s i n k s a n d s o u r c e s 34 4 . 6 . P a t h l i n e s i n a t w o - l a y e r e d a q u i f e r s y s t e m w i t h a n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w a n d a n u m b e r o f s i n k s a n d s o u r c e s 36 4 . 7 . P a t h l i n e s i n a c o n f i n e d a q u i f e r w i t h a n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w a n d s t e a d y o r n o n - s t e a d y s i n k s a n d s o u r c e s 4 3 4 . 8 . P a t h l i n e s f o r a r a d i a l s y m m e t r i c f l o w t o w a r d s l i n e s i n k s a n d l i n e s o u r c e s 4 5 4 . 9 . T h e n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w 48P a g e C a l c u l a t i o n o f t h e s t r e a m f u n c t i o n a n d t r a v e l t i m e s u s i n g t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d i n p l a n e g r o u n d w a t e r f l o w 55 5 . 1 . I n t r o d u c t i o n 55 5 . 2 . T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e s t r e a m f u n c t i o n 55 5 . 3 . T h e f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n 5 8 5 . 4 . S i n k s a n d s o u r c e s i n s i d e t h e f l o w d o m a i n 63 5 . 5 . S i n k s o r s o u r c e s a t a d i s c o n t i n u i t y i n t h e p e r m e a b i l i t y 67 5 . 6 . T h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r t h e s t r e a m f u n c t i o n w i t h s i n k s a n d s o u r c e s i n t h e f l o w d o m a i n 69 5 . 7 . T h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e s t r e a m l i n e s a n d t h e t r a v e l t i m e s 73 5 . 8 . T h e s c h e m a t i z a t i o n a r o u n d a n o d a l p o i n t w i t h a s i n k o r s o u r c e 77 5 . 9 . T h e d e t e r m i n a t i o n o f s t r e a m l i n e s a n d t r a v e l t i m e s i n e l e m e n t s w i t h s i n k s o r s o u r c e s i n t h e n o d a l p o i n t s 84 5 . 1 0 . V e r i f i c a t i o n o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f s t r e a m l i n e s 8 5 5 . 1 1 . S o m e a p p l i c a t i o n s o f t h e m e t h o d 9 0 C a l c u l a t i o n o f t h e d i s p l a c e m e n t o f i n t e r f a c e s b e t w e e n l i q u i d s o f d i f f e r e n t d e n s i t i e s 104 6 . 1 . I n t r o d u c t i o n 1 0 4 6.2. T h e b a s i c e q u a t i o n s 1 0 4 6 . 3 . T h e r o t a t i o n o f a v e r t i c a l i n t e r f a c e i n a c o n f i n e d a q u i f e r 1 0 9 6.4. T h e r o t a t i o n o f a v e r t i c a l i n t e r f a c e i n a n a q u i f e r w i t h i m p e r v i o u s b o u n d a r i e s 1 1 5 6 . 5 . T h e r o t a t i o n o f v e r t i c a l i n t e r f a c e s w i t h a s i n k a n d a s o u r c e i n t h e f l o w d o m a i n 1 1 8
S a m e n v a t t i n g
S u m m a r y
1
introduction
T h e g r o u n d w a t e r i n t h e N e t h e r l a n d s h a s b e e n a n d w i l l r e m a i n v e r y i m p o r t a n t f o r s e v e r a l r e a s o n s . F o r c e n t u r i e s l a n d r e c l a m a t i o n i n t h e N e t h e r l a n d s h a s i n f l u e n c e d t h e g r o u n d w a t e r t a b l e s . I m p r o v e d w a t e r m a n a g e m e n t i n t h e l a r g e p o l d e r a r e a s h a s a l s o h a d c o n s e q u e n c e s o n t h e g r o u n d w a t e r l e v e l s . I n t h e w e s t e r n a n d n o r t h e r n p a r t o f t h e N e t h e r l a n d s t h e p o l d e r l e v e l s a r e b e l o w m e a n s e a l e v e l . T h i s c a u s e s t h e i n t r u s i o n o f s a l i n e w a t e r i n t o t h e d e e p e r a q u i f e r s . A l s o i n t h e p a s t , t h e w e s t a n d n o r t h w e r e f l o o d e d b y t h e s e a a n d f o r t h a t r e a s o n t h e g r o u n d w a t e r i n t h e a q u i f e r s i s b r a c k i s h o r s a l i n e . I n t h e e a s t e r n a n d s o u t h e r n p a r t t h e a q u i f e r s c o n t a i n f r e s h w a t e r . T h i s f r e s h g r o u n d w a t e r b e -c a m e v e r y i m p o r t a n t a s a r e s o u r -c e f o r t h e d r i n k i n g w a t e r s u p p l y . T h e g r o u n d w a t e r i s a l s o u s e d f o r i n d u s t r y . M o s t o f t h e t i m e t h e g r o u n d w a t e r i s e x t r a c t e d b y m e a n s o f w e l l s c a u s i n g a d r a w d o w n . T h e d r a w d o w n s o f r e l a t i v e l y h i g h g r o u n d -w a t e r t a b l e s o f t e n h a v e r e p e r c u s s i o n s o n o t h e r i n t e r e s t s . T h e i n f l u e n c e o f g r o u n d w a t e r t a b l e s d r a w d o w n o n c r o p g r o w t h a n d o n t h e n a t u r a l v e g e t a t i o n i n p r o t e c t e d a r e a s w a s s u b j e c t t o e x t e n s i v e r e s e a r c h . T h e h y d r o l o g i c a l i n v e s -t i g a -t i o n s o n -t h e s a -t u r a -t e d z o n e w e r e m a i n l y r e s -t r i c -t e d t o t h e e f f e c t s o f e x t r a c t i o n s o n t h e g r o u n d w a t e r h e a d s a n d g r o u n d w a t e r t a b l e s . A t l e a s t t h i s w a s t h e s i t u a t i o n p r i o r t o 1 9 7 0 . I n t h e p e r i o d f r o m 1 9 7 0 t o 1 9 7 5 t h e u s e r s o f g r o u n d w a t e r r e s o u r c e s b e c a m e a w a r e o f t h e f a c t t h a t t h e g r o u n d w a t e r q u a l i t y w a s n o t e v e r y w h e r e a s g o o d a s p r e v i o u s l y a s s u m e d . T h e r e w e r e s o m e p o l l u t i o n p r o b l e m s . T h e q u a l i t y o f g r o u n d w a t e r b e c a m e v e r y i m p o r t a n t i n t h e r e s e a r c h a c t i v i t i e s d e a l i n g w i t h g e o h y d r o l o g y . A t t h i s m o m e n t t h e p r o b l e m o f t h e d i r e c t i o n o f t h e g r o u n d w a t e r f l o w a n d t h e t r a v e l t i m e s o f g r o u n d w a t e r p a r t i c l e s i s i m p o r t a n t i n t h e g e o h y d r o l o g y . T h e i n t e r e s t c h a n g e d f r o mt h e p o t e n t i a l p r o b l e m t o t h e s t r e a m f u n c t i o n p r o b l e m . T h i s t h e s i s i s t h e r e s u l t o f i n v e s t i g a t i o n s o n t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l l i n g o f t h e f l o w o f g r o u n d w a t e r . T h i s s t u d y w a s s t a r -t e d i n 1 9 7 3 w i -t h -t h e d e v e l o p m e n -t o f c o m p u -t e r p r o g r a m s f o r t h e c o m p u t a t i o n o f p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s o f w a t e r p a r t i c l e s . T h e w e l l - k n o w n f o r m u l a s f o r s t e a d y f l o w t o w a r d s w e l l s w e r e u s e d a s t h e b a s i s f o r t h i s c a l c u l a t i o n m e t h o d . T h i s r e s u l t e d i n a s e t o f c o m p u t e r p r o g r a m s k n o w n a s t h e F L O P ( F L O w P a t t e r n ) p r o g r a m s . A f t e r s o m e b a s i c t h e o r y ( c h a p t e r 2) a n d d e a l i n g w i t h e x i s t i n g s o l u t i o n m e t h o d s ( c h a p t e r 3) t h i s m e t h o d i s b r i e f l y d i s c u s s e d i n c h a p t e r 4. F o r s o m e f l o w p r o b l e m s t h e d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s n e e d e d f o r t h e s o l u t i o n w i l l b e p r e s e n t e d . A n u m b e r o f s i m p l e e x a m p l e s w i l l i l l u s t r a t e t h e p o s s i b i l i t i e s o f t h i s c a l c u l a t i o n m e t h o d . I f t h e r e a r e i n h o m o g e n e i t i e s i n t h e f l o w d o m a i n t h e n i t i s g e n e r a l l y n o t p o s s i b l e t o f i n d a n a n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r t h e g r o u n d w a t e r h e a d . F o r c o m p l i c a t e d f l o w s y s t e m s n u m e r i c a l m e t h o d s c a n b e u s e d l i k e t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s o r f i n i t e e l e m e n t s . W i t h t h e s e m e t h o d s i n a f l o w d o m a i n t h e g r o u n d w a t e r h e a d s a r e c a l c u l a t e d . F r o m t h e s e h e a d s t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s c a n b e d e r i v e d w h i c h a r e u s e d t o c a l c u l a t e t h e p a t h l i n e s . A l s o t h e t r a v e l t i m e s o f w a t e r p a r t i c l e s f l o w i n g a l o n g t h e p a t h l i n e s a r e o b t a i n e d . I n c h a p t e r 5 a m e t h o d i s p r e s e n t e d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f s t r e a m l i n e s a n d t r a v e l t i m e s u s i n g t h e s t r e a m f u n c t i o n . T h e m e t h o d i s r e s t r i c t e d t o t w o d i m e n -s i o n a l f l o w . T h e p r o b l e m o f m a n y - v a l u e d n e -s -s o f t h e -s t r e a m f u n c t i o n a r o u n d s i n k s a n d s o u r c e s i s d i s c u s s e d . I n c h a p t e r 6 t h e s t r e a m f u n c t i o n i s u s e d i n c a l c u l a t i n g t h e v e l o c i t i e s o f w a t e r p a r t i c l e s i n f l o w d o m a i n s w i t h a s h a r p i n t e r f a c e b e t w e e n l i q u i d s o f d i f f e r e n t d e n s i t i e s .
the basic equations for plane groundwater flow
2.1. introduction I n t h i s t h e s i s s o m e i n v e s t i g a t i o n s a r e p e r f o r m e d o n t h e f l o w o f w a t e r t h r o u g h a p o r o u s m e d i u m . T h i s s u b j e c t h a s a l r e a d y b e e n i n v e s t i g a t e d f o r o v e r a h u n d r e d y e a r s a n d t h e r e i s a l o t o f i n f o r m a t i o n a b o u t t h i s s u b j e c t a v a i l a b l e e . g . B e a r ( r e f . 2 ) . W i t h i n t h e s c o p e o f t h i s t h e s i s n o e f f o r t h a s b e e n m a d e t o s u m m a r i z e t h e i n v e s t i g a t i o n s a n d r e s u l t s . O f c o u r s e u s e i s m a d e o f t h e s e r e -s u l t -s . H o w e v e r t h i -s t h e -s i -s o n l y d e a l -s w i t h a v e r y r e -s t r i c t e d p a r t o f t h e f l o w t h r o u g h a p o r o u s m e d i u m . O n l y s a t u r a t e d f l o w i s c o n s i d e r e d . F u r t h e r m o r e t h e f l o w p r o b l e m i s t w o -d i m e n s i o n a l . N o s t o r a g e o f w a t e r i s t a k e n i n t o a c c o u n t a n d t h i s m e a n s t h a t t h e w a t e r a n d t h e s o i l m a t r i x a r e i n c o m p r e s s i b l e . T h e p o s s i b i l i t y o f p h r e a t i c s t o r a g e i s a l s o l e f t o u t o f t h e i n v e s t i g a t i o n s . T h i s a l l t o g e t h e r m e a n s t h a t t h e i n v e s t i g a t i o n s a r e r e s t r i c t e d t o s t e a d y , p l a n e g r o u n d w a t e r f l o w . T h e a s s u m p t i o n i s m a d e t h a t D a r c y ' s l a w i s v a l i d a s t h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f t h e g r o u n d w a t e r f l o w . T h e s e c o n d b a s i c l a w t h a t i s u s e d i s t h e p r i n c i p l e o f t h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s o r t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y . T h e e q u a t i o n s t h a t a r e u s e d i n t h i s t h e s i s a r e d e r i v e d f r o m t h e s e t w o l a w s . 2.2. darcy's l a w T h e s p e c i f i c d i s c h a r g e q i n a d i r e c t i o n s i s g i v e n b y D a r c y ' s l a w a s q = - k | i 2.1 ^ s 3 s w h e r e <J> i s t h e g r o u n d w a t e r h e a d d e f i n e d b y 2.2I n t h e e q u a t i o n 2.1 t h e s p e c i f i c d i s c h a r g e i s t h e r a t e o f f l o w ( d i s c h a r g e ) [ L3/ T ] f l o w i n g t h r o u g h a u n i t o f c r o s s -s e c t i o n a l a r e a [ L2] . T h e c o e f f i c i e n t k i s t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . I t d e p e n d s o n b o t h t h e m a t r i x a n d f l u i d p r o -p e r t i e s . T h e m a t r i x -p r o -p e r t i e s t h a t a r e r e l e v a n t t o t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y a r e e . g . g r a i n - s i z e d i s t r i b u t i o n , s h a p e o f t h e g r a i n s , s p e c i f i c s u r f a c e a n d p o r o s i t y . T h e f l u i d p r o p e r t i e s t h a t i n f l u e n c e t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y a r e t h e d e n s i t y p a n d t h e d y n a m i c v i s c o s i t y y o f t h e w a t e r . T h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y k may be e x p r e s s e d a s
k = *£2
y 2.3 w h e r e K [ L2] i s t h e i n t r i n s i c p e r m e a b i l i t y . T h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o r p e r m e a b i l i t y k c a n h a v e d i f f e r e n t p r o p e r -t i e s i n d i f f e r e n -t d i r e c -t i o n s . I n -t h a -t c a s e -t h e s o i l i s s a i d t o b e a n i s o t r o p i c w i t h r e g a r d t o p e r m e a b i l i t y . F o r t h a t r e a s o n t h e e q u a t i o n 2.1 c a n b e w r i t t e n i n a m o r e g e n e r a l f o r m . I f t h e s p e c i f i c d i s c h a r g e v e c t o r qg i s a l s o d i s c r i b e d b y i t s t w o c o m p o n e n t s q , q ( p l a n e f l o w ) i n a x y c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m o n e may w r i t e qy = c11 - k
i i x x 3 x x y 3 y y x 9 xM. _ k —
y y 3 y 2.4 I f t h e p r i n c i p a l d i r e c t i o n s o f t h e p e r m e a b i l i t y a r e i n t h e d i r e c t i o n o f x a n d y e q u a t i o n 2.4 r e d u c e s t o q =-k
^ x x x 3 x q =-k —
L y y y a y 2.5 S e e V e r r u i j t (réf. 1)2.J5. equation of continuity T h e s e c o n d b a s i c l a w i n g r o u n d w a t e r f l o w i s t h e p h y s i c a l p r i n c i p l e o f c o n s e r v a t i o n o f m a s s . T h i s m e a n s t h a t w i t h i n a f l o w d o m a i n n o m a s s c a n b e g a i n e d o r l o s t . W i t h t w o - d i m e n s i o n a l f l o w t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y b a s e d o n t h e p r i n c i p l e o f c o n s e r v a t i o n o f m a s s c a n b e d e r i v e d . C o n s i d e r i n g a n e l e m e n t a r y r e c t a n g l e A x . A y a n d w i t h t h e r e s t r i c t i o n o f s t e a d y f l o w t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n c a n b e d e r i v e d ( f i g . 2 . 1 ) 3 ( p qx) 3 x a ( p q j 2.6 When t h e d e n s i t y p i s c o n s t a n t e q u a t i o n 2.6 r e d u c e s t o 3 ( qx) 3 y 2.7 S e e V e r r u i j t ( r e f . 1) Figure 2.1
2.4. the laplace equation S u b s t i t u t i o n o f D a r c y ' s l a w ( e q u a t i o n 2 . 5 ) i n t o t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y ( e q u a t i o n 2 . 7 ) r e s u l t s i n i _f_ v
H i + _Lf-k
l i ) dxK x x 3 x ' 3 yv y y 3 y ' 0 2.8 W h e n t h e p o r o u s m e d i u m i s h o m o g e n e o u s a n d i s o t r o p i c e q u a t i o n 2.8 r e d u c e s t o t h e e q u a t i o n o f L a p l a c e | % + A - = C 3y^ 2.92.5. potential and stream function
I n p l a n e f l o w D a r c y ' s l a w s t a t e s t h a t , 3* 3x q = — k —• 4y a y > 2 . 1 0 I n a h o m o g e n e o u s p a r t o f a p o r o u s m e d i u m t h e v a l u e o f k i s c o n s t a n t . T h i s p a r t o f t h e m e d i u m i s c a l l e d a n e l e m e n t . W i t h i n t h i s e l e m e n t o n e m a y w r i t e qx ~ 3 x 3 <i> 3y ! , / i 2 . 1 1 w h e r e 8 = k . $ . T h e q u a n t i t y $ i s t h e g r o u n d w a t e r p o t e n t i a l . T h e p o t e n t i a l $ a l s o s a t i s f i e s t h e L a p l a c e e q u a t i o n 3Z$ 32$ _ Q 3 x2 3 y2 2 . 1 2
I n p l a n e g r o u n d w a t e r f l o w w i t h i n a n e l e m e n t , w a t e r f l o w s f r o m p o i n t s w i t h h i g h g r o u n d w a t e r h e a d s o r p o t e n t i a l s t o p o i n t s w i t h l o w g r o u n d w a t e r h e a d s o r p o t e n t i a l s . I n i s o t r o p i c s o i l s t h e l i n e s a l o n g w h i c h t h e g r o u n d w a t e r p a r t i c l e s f l o w , a r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e s o f e q u a l g r o u n d w a t e r h e a d s o r t h e e q u i p o t e n t i a l l i n e s . I n t h e c a s e o f s t e a d y g r o u n d w a t e r f l o w t h e s e l i n e s a r e c a l l e d s t r e a m l i n e s . T h i s m e a n s t h a t e a c h w a t e r p a r t i c l e f l o w s a l o n g a c e r t a i n s t r e a m l i n e a n d n e v e r c h a n g e s t o a n o t h e r s t r e a m l i n e . F r o m t h i s i t f o l l o w s t h a t n o f l o w c o m p o n e n t o c c u r s p e r p e n d i c u l a r t o a s t r e a m l i n e . Now o n e c a n g i v e e a c h s t r e a m l i n e a v a l u e ijj. L e t i t be a s s u m e d t h a t t w o s t r e a m l i n e s a c e r t a i n d i s t a n c e f r o m e a c h o t h e r h a v e t h e v a l u e s 1J1 a n d ( f i g - 2.2) . T h e v a l u e s a n d ij)^ a r e c h o s e n i n s u c h a w a y t h a t t h e d i f f e r e n c e i s e q u a l t o t h e a m o u n t o f w a t e r t h a t f l o w s p e r u n i t o f t i m e a n d p e r u n i t o f t h i c k n e s s b e t w e e n t h e s t r e a m l i n e s 1 a n d 2 . Figure 2.2
Flow between stream lines.
E v e r y w a t e r p a r t i c l e i n t h e e l e m e n t i s o n a c e r t a i n s t r e a m l i n e a n d e v e r y s t r e a m l i n e h a s a v a l u e 4» • T h e f u n c t i o n i> i s c a l l e d t h e s t r e a m f u n c t i o n . T h i s s t r e a m f u n c t i o n i s
d e f i n e d m a t h e m a t i c a l l y i n s u c h a w a y t h a t qx = - i f q = + 3 if) 3 x 2.1 S u b s t i t u t i o n o f 2.14 i n t o t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y s h o w s t h a t t h e s t r e a m f u n c t i o n s a t i s f i e s t h e p r i n c i p l e o f c o n -s e r v a t i o n o f m a -s -s
_L(_ 11)
+ - M + | i ) = 0 2.1 3 xv 3 y; 3 yv 3 x ' C o m b i n i n g t h e e q u a t i o n s 2 . 1 1 a n d 2 . 1 5 t h e w e l l - k n o w n C a u c h y - R i e m a n n r e l a t i o n s h i p i s f o u n d ( r e f . 3 ) . 3$ 3* , 3$ 3* , .,relation between the potential and the stream function
3.1. introduction I t i s w e l l - k n o w n t h a t f o r p l a n e , s t e a d y g r o u n d w a t e r f l o w i n a h o m o g e n e o u s p o r o u s m e d i u m a n u m b e r o f s o l u t i o n m e t h o d s i s a v a i l a b l e t o c a l c u l a t e t h e h e a d a n d t h e s t r e a m f u n c t i o n v a l u e . M o s t o f t h e t i m e t h e h e a d i s c a l c u l a t e d b e c a u s e t h i s i s a p h y s i c a l q u a n t i t y t h a t c a n b e m e a s u r e d . F u r t h e r m o r e i n m a n y g r o u n d w a t e r f l o w p r o b l e m s t h e v a l u e o f t h e g r o u n d w a t e r h e a d i s i m p o r t a n t . H o w e v e r t h e s t r e a m f u n c t i o n b e c o m e s m o r e a n d m o r e i m p o r t a n t i n r e l a t i o n w i t h e . g . p o l l u t i o n p r o b l e m s i n g r o u n d w a t e r . F o r t h i s r e a s o n t h e c a l c u l a t i o n m e t h o d s d e a l i n g w i t h t h e s t r e a m f u n c t i o n a r e s u b j e c t t o i n v e s t i g a t i o n . A v e r y p o w e r f u l e x a c t t e c h -n i q u e i s t h e c o m p l e x v a r i a b l e m e t h o d . T h i s t e c h -n i q u e e n a b l e s t h e s o l u t i o n o f t h e g r o u n d w a t e r h e a d a n d t h e s t r e a m f u n c t i o n i n f l o w d o m a i n s w i t h s p e c i f i e d b o u n d a r y c o n d i -t i o n s . T h e m e -t h o d i s d e s c r i b e d b y V e r r u i j -t ( r e f . 1 ) . T h e u s e o f t h e a d j o i n t f l o w p r o b l e m i s p r e s e n t e d a s a m e t h o d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e s t r e a m f u n c t i o n i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s .3.2. the adjoint flow problem
I t i s w e l l - k n o w n t h a t i n p l a n e g r o u n d w a t e r f l o w e v e r y f l o w p r o b l e m h a s a n a d j o i n t p r o b l e m . T h e a d j o i n t p r o b l e m i s d e f i n e d i n s u c h a w a y t h a t t h e l i n e s o f e q u a l g r o u n d w a t e r h e a d i n a g r o u n d w a t e r f l o w p r o b l e m c o i n c i d e w i t h t h e s t r e a m l i n e s i n t h e a d j o i n t p r o b l e m . T h i s m e a n s t h a t t h e g e o m e t r y o f b o t h p r o b l e m s i s t h e s a m e . I t a l s o m e a n s t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s c h a n g e f r o m D i r i c h l e t t y p e i n t h e o r i g i n a l p r o b l e m t o N e u m a n t y p e i n t h e a d j o i n t p r o b l e m a n d v i c e v e r s a . F o r e x a m p l e t h e p r i n c i p l e o f t h e a d j o i n t p r o b l e m i s u s e d i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f e q u i p o t e n t i a l l i n e s a n d s t r e a m l i n e s
w i t h t h e e l e c t r i c a n a l o q u e m e t h o d o f c o n d u c t i n g m a t e r i a l , s e e V e r r u i j t ( r e f . 1 ) . W h e n s i n k s o r s o u r c e s a r e p r e s e n t i n t h e f l o w d o m a i n t h e a d j o i n t p r o b l e m c a n b e f o u n d a s w e l l , s e e d e J o s s e l i n d e J o n g ( r e f . 4 ) . I n t h i s c h a p t e r t h e a d j o i n t p r o b l e m w i l l b e u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f s t r e a m l i n e s . I n t h e c h a p t e r s 5 a n d 6 i t w i l l b e u s e d f o r t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n o f s t r e a m l i n e s i n i n h o m o g e n e o u s p o r o u s m e d i a a n d w i t h i n t e r f a c e s b e t w e e n t w o l i q u i d s o f d i f f e r e n t d e n s i t y . T h e g r o u n d w a t e r h e a d s i n a f l o w d o m a i n w i t h n o s i n k s o r s o u r c e s c a n b e d e r i v e d f r o m t h e e q u a t i o n £ <k + & < * I f ' = 0 W h e n a s t r e a m f u n c t i o n i> i s d e f i n e d i n s u c h a w a y t h a t qx 3y I 3 djj > 4y 3 x o n e c a n d e r i v e t h a t t h i s s t r e a m f u n c t i o n i> c a n b e w r i t t e n i n t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 3 1 3 ,1 3 i K _ n * ^ (k 3 ? + I y "(k B y ' ." 0 T h e d e r i v a t i o n o f e q u a t i o n 3.3 i s g i v e n i n c h a p t e r 5. E q u a t i o n s 3.1 a n d 3.3 s h o w t h a t i f t h e p e r m e a b i l i t y i n t h e a d j o i n t p r o b l e m i s t h e r e c i p r o c a l v a l u e o f t h e p e r -m e a b i l i t y i n t h e o r i g i n a l p r o b l e -m t h e n t h e l i n e s o f e q u a l g r o u n d w a t e r h e a d s o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m c o i n c i d e w i t h t h e s t r e a m l i n e s o f t h e a d j o i n t p r o b l e m . F o r e x a m p l e , a s s u m e o n e - d i m e n s i o n a l f l o w i n a c o n f i n e d a q u i f e r w i t h a t h i c k n e s s H a n d p e r m e a b i l i t y k. T h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d a r i e s a r e i m p e r m e a b l e a n d t h e l e f t a n d r i g h t h a n d s i d e o f t h e f l o w d o m a i n a r e l i n e s o f e q u a l g r o u n d w a t e r
h e a d <jf. a n d <f»„ ( s e e f i g . 3.1) W h e n t h e n t h e f l o w 1 y2 i s f r o m l e f t t o r i g h t . T h e a m o u n t o f w a t e r p e r u n i t t i m e f l o w i n g t h r o u g h t h e a q u i f e r i s Q = - k H B HB 3.4 F r o m t h i s i t f o l l o w s t h a t H 3.5 w h e r e L i s t h e l e n g t h o f t h e a q u i f e r a n d B t h e s t r i p t a k e n i n t o a c c o u n t p e r p e n d i c u l a r t o t h e p a p e r . T h e s t r e a m l i n e s a r e i n t h e x - d i r e c t i o n , w h e r e t h e d i f f e r e n c e i n t h e v a l u e o f t h e s t r e a m f u n c t i o n a l o n g t h e l o w e r a n d u p p e r s i d e i s e q u a l t o Q B 3.6 Figure 3.1
One-dimensional flow in a confined aquifer.
T h e a d j o i n t p r o b l e m i s i n d i c a t e d i n f i g . 3 . 2 . I n t h e a d j o i n t p r o b l e m t h e s t r e a m l i n e s c o i n c i d e w i t h t h e l i n e s o f e q u a l g r o u n d w a t e r h e a d o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m . T h e
f l o w i n t h e a d j o i n t p r o b l e m i s Q' = - k 1 L B = = i . L B 3.7 a n d f r o m t h i s i t f o l l o w s t h a t 4.: $« <(ii -- k ' - = - 7 : — - = -=-r= i 3 8 Figure 3.2
Adjoint problem of the flow in a confined aquifer.
I f e q u a t i o n 3.3 i s c o m p a r e d w i t h e q u a t i o n 3.5 i t c a n b e s e e n t h a t t h e l i n e s o f e q u a l g r o u n d w a t e r h e a d i n t h e o r i g i n a l p r o b l e m c o i n c i d e w i t h t h e s t r e a m l i n e s i n t h e a d j o i n t p r o b l e m a n d v i c e v e r s a i f 3.9 W h e n s i n k s o r s o u r c e s a r e p r e s e n t i n t h e f l o w d o m a i n a l s o t h e a d j o i n t p r o b l e m c a n b e f o u n d . T h e s e s i n k s a n d s o u r c e s a p p e a r t o b e v o r t i c e s i n t h e a d j o i n t p r o b l e m , s e e d e J o s s e -l i n d e J o n g ( r e f . 4 ) . A n e x a m p -l e o f t h i s f -l o w i s t h e s t e a d y g r o u n d w a t e r f l o w t o w a r d s a f u l l y p e n e t r a t i n g w e l l i n t h e c e n t r e o f a h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c c o n f i n e d a q u i f e r . T h e
f o r m u l a f o r t h i s p r o b l e m i s * = *1 + 2 ^ H l n< l > 3-1 w h e r e f . i s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t a d i s t a n c e r = R, QQ i s t h e e x t r a c t i o n a n d kH i s t h e t r a n s m i s s i v i t y . T h i s p r o b l e m i s s h o w n i n f i g . 3 . 3 . F o r w h e r e y < 0 t h e f l o w p r o b l e m o f f i g . 3.4 i s o b t a i n e d . T h e l i n e s o f e q u a l g r o u n d -w a t e r h e a d f o r m c o n c e n t r i c c i r c l e s a r o u n d t h e -w e l l . i IY r 1 t 1 w
1
X\
k \ Rt
Figure 3.3Radial flow towards a fully penetrating well.
V \
R/
\ k \ /
Figure 3. 4
T h e a d j o i n t p r o b l e m i s a v o r t e x s i t u a t e d i n t h e m i d p o i n t o f a c i r c u l a r a q u i f e r w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n t h a t t h e s t r e a m f u n c t i o n u> = f a t r = R. A p r a c t i c a l e x a m -p l e o f s u c h a f l o w -p r o b l e m i s t h e f l o w a r o u n d a l o c k . T h i s c a n b e s e e n i n f i g . 3 . 5 . a — a — — : i>2} ^ k' \ R / X ; Figure 3. 5
Adjoint problem of the flow towards a well.
T h e s t r e a m l i n e s f o r m c o n c e n t r i c c i r c l e s a r o u n d t h e v o r t e x . T h e s t r e n g t h o f t h e v o r t e x i n f i g . 3 . 5 i s ^WQ a n d t h e f o r m u l a f o r t h i s p r o b l e m i s 0 i tr\ ~ LN(R > 3 . 1 1 s e e d e J o s s e l i n d e J o n g ( r e f . 4 ) . On t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e l o c k t h e p o t e n t i a l i s k'<f>j a n d o n t h e r i g h t h a n d s i d e k'cf*^. T h i s m e a n s t h a t t h e s t r e n g t h o f t h e v o r t e x i s %W0 = (k'ct)" - k'4>J) 3 . 1 2 S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n 3 . 1 2 i n e q u a t i o n 3 . 1 1 g i v e s k' u : - *.•) * = * i + ~ — - l n (l » 3 . 1 3
I f t h e s t r e a m f u n c t i o n o f t h e a d j o i n t p r o b l e m h a s t o c o i n c i d e w i t h t h e g r o u n d w a t e r h e a d s i n t h e o r i g i n a l p r o -b l e m t h e n a n d t h e a m o u n t QQ/2H i s e q u a l t o (o)^ - u)|) . W h e n i n h o m o g e n e i t i e s a r e p r e s e n t i n a p l a n e g r o u n d -w a t e r f l o -w t h e n a l s o t h e a d j o i n t p r o b l e m e x i s t s . T h i s c a n b e s e e n f r o m e q u a t i o n 3 . 3 . A n e x a m p l e t o m a k e t h i s c l e a r i s t h e f l o w i n a s e m i - c o n f i n e d a q u i f e r . I t i s w e l l - k n o w n t h a t i n a v e r t i c a l c r o s s - s e c t i o n o f a s e m i - c o n f i n e d a q u i f e r w i t h a t o n e s i d e a c o n s t a n t g r o u n d w a t e r h e a d a n d a c o n -s t a n t h e a d a b o v e t h e c o n f i n i n g l a y e r , t h e e q u a t i o n f o r t h e v a l u e o f $ i n t h e a q u i f e r i s ( f i g . 3 . 6 ) * = d)2 + (<t>1 - < t >2) e ~x / X 3 . 1 4 w h e r e A = / k H c ( c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h ) c = d / k
V////A//A
d H — • d H — • Figure 3. 6T h e a s s u m p t i o n h a s b e e n m a d e t h a t i n t h e a q u i f e r o n l y h o r i z o n t a l f l o w a n d i n t h e c o n f i n i n g l a y e r o n l y v e r t i c a l f l o w i s p r e s e n t . T h e v a l u e f o r t h e s t r e a m f u n c t i o n 4 a t y = H i s , k H U l I + 2> - x / A + , 3 A 1 T h e a d j o i n t p r o b l e m h a s t h e s a m e g e o m e t r y o n l y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e c h a n g e d f r o m D i r i c h l e t t y p e t o N e u m a n t y p e a n d v i c e v e r s a . I n f i g . 3.7 t h e a d j o i n t p r o b l e m i s i n d i c a t e d . Yj — d H h Sip1 W X Figure 3. 7
Adjoint problem of the flow in a semi-confined aquifer.
I n t h e a d j o i n t p r o b l e m a t y = H + d a n i m p e r v i o u s b o u n d a r y i s p r e s e n t a n d a t y = 0 a f i x e d g r o u n d w a t e r h e a d if = #2 e x i s t s . A t x = 0 a n d y < H i s a n i m p e r v i o u s b o u n d a r y a n d a f i x e d h e a d <}> = < J > j a t y > H . T h e e q u a t i o n f o r t h i s f l o w p r o b l e m i s = 4' + («>{ - < f , p e ~x / X' 3.16 i n t h e l a y e r w i t h p e r m e a b i l i t y w h e r e A' = / k ^ d c ' c ' = H/k'
T h e s t r e a m f u n c t i o n \\t' f o r y = H i s 4,' = kcd<<i)l l L e_ x/ X ' + 4».' 3 . 1 7 A J. T h e d e f i n i t i o n o f t h e a d j o i n t p r o b l e m i s s u c h t h a t t h e s t r e a m f u n c t i o n \|i ' c o i n c i d e s w i t h t h e h e a d $ a n d t h e v a -l u e s o f <p c o i n c i d e w i t h t h e v a l u e s o f <j>' . T h i s m e a n s t h a t 3 . 1 8 a n d *2 + - * ' ) eX/ A' = k H U \ ^ e x/ A + *1 3 . 1 9 T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s u c h t h a t 1(1, = <t>2 a n d i p1 = if2 3 . 2 0 S u b s t i t u t i o n o f t h i s i n e q u a t i o n s 3 . 1 8 a n d 3 . 1 9 r e s u l t s i n F r o m e q u a t i o n 3 . 2 1 f o l l o w s t h a t U | - *2) eX /X' = p ^ U - L - *2) eX / Ä 3 . 2 3 c S u b s t i t u t i o n o f e q u a t i o n 2 . 2 3 i n e q u a t i o n 3 . 2 2 g i v e s A' » - x / X kHUl ' * 2} - x / X F d (* i " * 2)e = x e c
X' k H , k ' d \ c T h i s e q u a t i o n 3.25 i s t r u e i f k' = 4 a n d k^ = -g- . c T h i s m e a n s t h a t i n t h e a d j o i n t p r o b l e m t h e p e r m e a b i l i t i e s a r e t h e r e c i p r o c a l v a l u e s o f t h e p e r m e a b i l i t i e s i n t h e o r i g i n a l p r o b l e m .
calculation of path lines and travel times using
analytical solutions
4.1. introduction T h e c a l c u l a t i o n o f p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s i n a g e o h y d r o l o g i c a l s y s t e m c a n b e v e r y i m p o r t a n t . F o r e x a m p l e t h e c a l c u l a t i o n o f p r o t e c t i o n z o n e s a r o u n d p u m p i n g s t a t i o n s f o r d r i n k i n g w a t e r s u p p l y a r e b a s e d o n t h e d e t e r m i n a t i o n o f p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s . S o m e t i m e s a s i m p l e c a l c u l a t i o n c a n b e m a d e b y u s i n g a n a n a l y t i c a l f o r m u l a . M o s t o f t h e t i m e h o w e v e r t h e g e o h y d r o l o g i c a l s i t u a t i o n i s r a t h e r c o m -p l i c a t e d . I t i s -p o s s i b l e t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e f l o w p r o b l e m a r e s u c h t h a t o n l y w i t h a r o u g h s c h e m a t i -z a t i o n t h e p r o b l e m c a n b e s o l v e d a n a l y t i c a l l y . F o r t h a t r e a s o n v e r y o f t e n a n u m e r i c a l a p p r o a c h i s a p p l i e d . T h e g r o u n d w a t e r f l o w p r o b l e m i s s c h e m a t i z e d t o a l e v e l t h a t c a n b e s o l v e d w i t h e . g . a f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e o r a f i n i t e e l e m e n t s c h e m e . I n t h e s e m e t h o d s i n h o m o g e n e i t i e s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t i n a s i m p l e w a y . H o w e v e r f o r t h e a p p l i c a t i o n o f t h e s e m e t h o d s t h e d a t a a b o u t s o i l p a r a m e t e r s l i k e t r a n s m i s s i v i t i e s , r e s i s t a n c e s , t h i c k n e s s o f a q u i f e r s e t c . a r e n o t a l w a y s a v a i l a b l e . M o s t o f t h e t i m e w h e n s t a r t i n g a n i n v e s t i g a t i o n i n a n a r e a t h e r e i s a l a c k o f i n p u t d a t a f o r t h e n u m e r i c a l g r o u n d w a t e r m o d e l s . T h i s - m e a n s t h a t w h e n d o i n g t h e i n v e s t i g a t i o n n o t o n l y t h e d e t e r m i n a t i o n o f d a t a i s i m p o r t a n t b u t a l s o w h e r e i n t h e a r e a t h e s e d a t a h a v e t o b e d e t e r m i n e d . O f t e n t h e i n v e s t i g a t i o n s s t a r t w i t h o n l y a b a s i c k n o w -l e d g e o f f o r e x a m p -l e t h e g e o -l o g y . F r o m t h i s a f i r s t b a s i c c o n c e p t o f t h e g e o h y d r o l o g i c a l s y s t e m c a n b e m a d e . A d d i t i o n a l i n v e s t i g a t i o n s a r e p e r f o r m e d t o d e t e r m i n e p e r m e a b i -l i t i e s , n u m b e r o f a q u i f e r s e t c . A s a f i r s t a p p r o a c h s i m p -l e c a l c u l a t i o n s a r e m a d e u s i n g a n a l y t i c a l f o r m u l a s . T h e r e i s a f e e d b a c k b e t w e e n t h e c o l l e c t i o n o f p a r a m e t e r v a l u e s .d a t a a n d c a l c u l a t i o n r e s u l t s . I f t h e n u m b e r o f p a r a m e t e r s t h a t h a v e t o b e c o l l e c t e d i n c r e a s e s a n d t h e s c h e m a t i z a t i o n o f t h e a r e a i s c l o s e r t o r e a l i t y t h e n t h e c a l c u l a t i o n m e t h o d s c h a n g e f r o m a n a l y t i c t o n u m e r i c a l . F o r t h e c a l c u l a t i o n o f p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s t h e r e a r e a n a l y t i c a l f o r m u l a s f o r s e v e r a l f l o w p r o b l e m s . H o w e v e r t h e s e f o r m u l a s o n l y d e a l w i t h r a t h e r s i m p l e f l o w s y s t e m s . M o s t o f t h e t i m e t h e p o r o u s m e d i u m h a s t o b e a s s u m e d a s h o m o g e n e o u s a n d t h e n u m b e r o f a q u i f e r s a n d n u m b e r o f w e l l s a r e l i m i t e d . W i t h t h e u s e o f c o m p u t e r s i t i s s o m e t i m e s c o n v e n i e n t t o n u m e r i c a l l y s o l v e t h e a n a -l y t i c a -l f o r m u -l a s . T h i s m e t h o d f a -l -l s b e t w e e n t h e n u m e r i c a -l m e t h o d s l i k e f i n i t e d i f f e r e n c e s a n d t h e c o m p l e t e l y a n a l y -t i c a l s o l u -t i o n s . T h e a d v a n -t a g e o f -t h i s m e -t h o d i s -t h a -t w i -t h t h e h e l p o f t h e c o m p u t e r a n i m p r e s s i o n o f t h e r e s u l t s o f a r a t h e r c o m p l i c a t e d a n d t i m e c o n s u m i n g c a l c u l a t i o n i s o b t a i n e d w i t h i n a s h o r t t i m e . T h e r e s u l t s o f t h i s c a l c u -l a t i o n c a n b e u s e d i n m e a s u r i n g p a r a m e t e r s a n d c o -l -l e c t i n g d a t a i n t h e r i g h t p l a c e a n d a t t h e r i g h t t i m e . I m p r o v e m e n t i n t h e c o l l e c t i o n o f d a t a a n d m e a s u r i n g p a r a m e t e r s i s a l s o o n e o f t h e b a s i c a i m s o f t h e m e t h o d o f c a l c u l a t i o n o f p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s b y u s i n g t h e s o - c a l l e d F L O P - p r o g r a m s . I t m a k e s u s e o f r a t h e r s i m p l e a n a l y t i c a l f o r m u l a s w h i c h a r e s o l v e d w i t h a c o m p u t e r . T h e r e s u l t i s a p l o t t e d map w i t h t h e f l o w s c h e m e a n d a n i n d i c a t i o n o f t h e t r a v e l t i m e s . Due t o t h e f a c t t h a t a v e r y r o u g h s c h e m a t i z a t i o n i s u s e d t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e r e s u l t s c a n b e v e r y a r b i t r a r y . H o w e v e r i t i s a r a t h e r s i m p l e m e t h o d t h a t i n a s h o r t t i m e g i v e s a n i m p r e s s i o n o f t h e d y n a m i c s o f a c e r t a i n f l o w s y s t e m .
4.2. the principle of the method
T h i s c h a p t e r d e s c r i b e s a s i m p l e m e t h o d t o c a l c u l a t e p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s i n g r o u n d w a t e r . T h e m e t h o d i s a p p l i c a b l e a s l o n g a s t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f t h e
g r o u n d w a t e r f l o w i s k n o w n . T h e s o l u t i o n h a s t o b e a n e x -p l i c i t e q u a t i o n w h e r e t h e g r o u n d w a t e r h e a d i s a f u n c t i o n o f t h e g e o h y d r o l o g i c a l p a r a m e t e r s , t h e c o o r d i n a t e s a n d t h e s i n k s o r s o u r c e s . I n g e n e r a l t h i s m e a n s t h a t t h e m e t h o d i s r e s t r i c t e d t o h o m o g e n e o u s a n d i s o t r o p i c a q u i f e r s . F r o m t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s a r e d e r i v e d . W i t h t h e p r i n c i p l e o f s u p e r p o s i t i o n a s e t o f s i m u l t a n e o u s o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e f i r s t o r d e r i s o b t a i n e d . T h i s s e t o f e q u a t i o n s i s s o l v e d w i t h a n u m e r i c a l m e t h o d , i n t h i s t h e s i s t h e R u n g e - K u t t a i n t e g r a t i o n s c h e m e . A s a r e s u l t t h e p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s o f w a t e r p a r -t i c l e s i n -t h e p o r o u s m e d i u m a r e o b -t a i n e d . 4.15. d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s A s s u m e t h a t i n a c e r t a i n a q u i f e r s y s t e m t h e g r o u n d -w a t e r h e a d <j> i s g i v e n a s a n e x p l i c i t f u n c t i o n o f t h e s o i l p a r a m e t e r s , b o u n d a r y c o n d i t i o n s , s o u r c e s a n d s i n k s a n d t h e c o o r d i n a t e s ' . I n g e n e r a l t h i s f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n a s w h e r e k, c , H a n d Q i n d i c a t e s y m b o l i c a l l y t h e g e o h y d r o l o -g i c a l p a r a m e t e r s o f t h e f l o w r e -g i m e a n d t h e s t r e n -g t h o f s i n k s a n d s o u r c e s . F r o m t h i s e q u a t i o n i s f o u n d (j> = ij> ( k , c , H , Q , x , y , z ) 4.1 3j) 3x $ ( k , c , H , Q , x , y , x ) 3 4» 3y <|> ( k , c , H , Q , x , y , x ) 4.2 3<|> 3 z A ( k , c , H , Q , x , y , x )
U s i n g D a r c y ' s l a w q = - k ^ 4x 3 x • 34 q = - k — — ^ y 3 y -k 2 ± k 3 z 4 . 3 t h e r e c a n b e s t a t e d qx = - k *x( k , c , H , Q , x , y , ^ ) qy = -ka>y ( k , c , H , Q , x , y , z ; 4 . 4 qz = _ k <t 'z (k'c'H' Q 'x' Y 'z) S i n c e q ^ , q ^ a n d qz a r e t h e s p e c i f i c d i s c h a r g e s i n r e s -p e c t i v e l y x , y a n d z d i r e c t i o n s o f a c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e r e a l v e l o c i t i e s v , v a n d vz o f w a t e r p a r t i -c l e s a r e . 5 * n = h. n w h e r e n i s t h e e f f e c t i v e p o r o s i t y , h e n c e d x d t =vx = d y d t =vy d z d t -Vz ( k , c , H , Q , x , y , z ) - 6 ( k , c , H , Q , x , y , z ) - *z( k , c , H , Q , x , y , z )
T h e e q u a t i o n s 4.6 a r e a s e t o f s i m u l t a n e o u s o r d i n a r y d i f -f e r e n t i a l e q u a t i o n s o -f t h e -f i r s t o r d e r . A n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h i s s e t o f e q u a t i o n s i s e a s y t o p e r f o r m u s i n g t h e R u n g e - K u t t a ..method. I n t h i s t h e s i s u s e i s m a d e o f t h e R u n g e - K u t t a m e t h o d a v a i l a b l e a s a c o m p u t e r s u b r o u t i n e i n t h e S c i e n t i f i c S u b r o u t i n e P a c k a g e ( S S P ) o f I B M .
4.4. stream lines i n a confined aquifer with a natural groundwater flow and a number of sinks and sources
A s s t a t e d i n c h a p t e r 4 . 3 . t h e d e r i v a t i o n o f t h e s e t o f s i m u l t a n e o u s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s h a s t o b e d o n e s t a r t i n g f r o m t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f t h e g r o u n d w a t e r h e a d . I n t h e c a s e o f t h e f l o w t o w a r d s f u l l y p e n e t r a t i n g w e l l s i n a c o n f i n e d a q u i f e r w i t h a f i x e d h e a d <|> a t r = R t h i s b a s i c s o l u t i o n i s ( r e f . 7) F o l l o w i n g t h e d e r i v a t i o n o f c h a p t e r 4 . 3 . t h e s e t o f s i m u l -t a n e o u s d i f f e r e n -t i a l e q u a -t i o n s b e c o m e s d x d t d t 2-rrnH * 2irnH x 2 + y 2 x 2 + y 2 4.8 F o r a s y s t e m o f m w e l l s t h e s e f o r m u l a s c a n b e g e n e r a l i z e d u s i n g t h e p r i n c i p l e o f s u p e r p o s i t i o n t o d x d t m Q, i = l 2irnH ( X - X ±) 2 + ( y - y±) 2 -i m
y •
ay. = _ y
Vi
y - y± i = l 2-irnH (X - x±) 2 + ( y - y ) 2 4.9w h e r e x . a n d y . a r e t h e x a n d y c o o r d i n a t e s o f t h e l o c a t i o n o f w e l l i a n d CK i s i t s d i s c h a r g e . A l t h o u g h t h e d i s t a n c e t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n R d i s a p p e a r s o u t o f t h e e q u a -t i o n s , a l l x ^ a n d y ^ s h o u l d b e s m a l l c o m p a r e d w i -t h R, b e c a u s e t h e o r i g i n a l s o l u t i o n a p p l i e s o n l y t o w e l l s n e a r t h e c e n t r e o f a l a r g e a q u i f e r . I f n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w i s a l s o p r e s e n t t h e e q u a -t i o n s 4.9 b e c o m e , m Q. x - x . d x _ v . " i l , d t . . l2 i r n H , \9 . , so' x=l ( x - x )2 + ( y - y )2 . m Q. ¿ 1 = _ y ( _ i d t y - yH 2WI1H ( X - X . ) 2 + ( y - y . ) 2 an a t . x 1 + nat- Y n • 4, w h e r e q a n d q a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e n a t u r a l n a t . x n a t . y g r o u n d w a t e r f l o w i n r e s p e c t i v e l y x a n d y d i r e c t i o n . I n t h e s e t o f s i m u l t a n e o u s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h i s n a t u -r a l g -r o u n d w a t e -r f l o w may b e -r e p -r e s e n t e d b y a c o n s t a n t v a l u e o r a g i v e n f u n c t i o n o f x , y a n d t a n d h i g h e r o r d e r s o f x a n d y . U s i n g t h e e q u a t i o n s 4.10 a c o m p u t e r p r o g r a m h a s b e e n w r i t t e n c a l l e d F L O P ( F L O w P a t t e r n ) . W i t h t h e h e l p o f t h i s c o m p u t e r p r o g r a m i t i s p o s s i b l e t o c a l c u l a t e t h e s t r e a m l i n e s a n d t r a v e l t i m e s o f w a t e r p a r t i c l e s i n a c o n f i n e d a q u i f e r w i t h a n u m b e r o f s o u r c e s a n d s i n k s a n d w i t h a n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w . T h e m e t h o d u s e s t h e w e l l -k n o w n R u n g e - K u t t a i n t e g r a t i o n s c h e m e . I n t h e c a s e o f s t e a d y f l o w i n a c o n f i n e d a q u i f e r t h e p a t h l i n e s o f w a t e r p a r t i c l e s a r e i d e n t i c a l t o t h e s t r e a m l i n e s . A s a n a p p l i c a t i o n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e f l o w s c h e m e i n a c o n f i n e d a q u i f e r w i t h t e n w e l l s h a s b e e n p e r f o r m e d . I t i s a s s u m e d t h a t n o n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w i s p r e s e n t .
T h e i n p u t d a t a f o r t h e p r o g r a m F L O P a r e n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w q , = 0 ^ ^ n a t t h i c k n e s s o f t h e a q u i f e r H = 3 0 m p o r o s i t y n = 0.3 5 e x t r a c t i o n o f e a c h w e l l Q = 1 2 0 0 m3/ d a y a n d t h e c o o r d i n a t e s o f e a c h w e l l i n t h e x , y p l a n e F o r e a c h w e l l 8 s t r e a m l i n e s a r e c a l c u l a t e d . T h e r e s i d e n c e o r t r a v e l t i m e s o f t h e w a t e r p a r t i c l e s a t 1 a n d 3 y e a r s a r e i n d i c a t e d w i t h a s y m b o l . T h e r e s u l t o f t h e c a l c u l a t i o n i s t h e f l o w s c h e m e p r e s e n t e d i n f i g u r e 4 . 1 . • RESIDENCE TIME © RESIDENCE TIME 365. DATS 1095. DRTS 120 140 X-flS «10' N A T I O N A L I N S T I T U T E F O R WATER S U P P L Y
FLOP. VER PDP101 0RJE:Q5-aPR-82 TIME;17:12:22
C O N F I N E D A Q U I F E R , 1 L A . T E R , 10 W E L L S
Figure 4.1
4.5. p a t h l i n e s i n a s e m i - c o n f i n e d a q u i f e r w i t h n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w a n d a n u m b e r o f s i n k s a n d s o u r c e s I n t h e c a s e o f t h e f l o w t o w a r d s a f u l l y p e n e t r a t i n g w e l l i n a s e m i - c o n f i n e d a q u i f e r w i t h a f i x e d h e a d $ = a t r = 0 0 t h e g r o u n d w a t e r h e a d c a n b e a p p r o x i m a t e d b y ( r e f . 7 ) • - • i - y S s V f ' 4-x F o l l o w i n g t h e d e r i v a t i o n o f c h a p t e r 4 . 3 . t h e s e t o f s i m u l -t a n e o u s d i f f e r e n -t i a l e q u a -t i o n s b e c o m e s d x d t 2ïïnIIÀ / x 2 + y2 4 . 1 2 dy_ = Q d t 2TrnHA / x 2 + y 2 F o r a s y s t e m o f m w e l l s t h e s e f o r m u l a s c a n b e g e n e r a l i z e d u s i n g t h e p r i n c i p i e o f s u p e r p o s i t i o n , t o 1 dx d t 2TTnH\ I t -Q . ( x - x . ) 1 1 / (x-x . ) 2 + ( y - y i = l / ( x - x . ) 2 + ( y - y , ) 1 i . Kl ( -1 dy _ d t 2irnHA Q . ( y - y . ) 1 1 1
V
i = l / ( x - x ) 2 + ( y - y )2 /(X-X. )2 + ( y - y . )2 •K l ( - X 4 . 1 3 w h e r e x . a n d y . a r e t h e x a n d y c o o r d i n a t e s o f t h e l o c a t i o n o f w e l l i a n d i s i t s d i s c h a r g e . A g a i n a l l x ^ a n d y ^ c o o r d i n a t e s s h o u l d b e s m a l l c o m p a r e d w i t h R, b e c a u s e t h e o r i g i n a l s o l u t i o n a p p l i e s o n l y t o w e l l s n e a r t h e c e n t r e o f a l a r g e a q u i f e r . T h e e q u a t i o n s 4 . 1 3 a g a i n c a n b e e x t e n d e d w i t h t h e c o m p o n e n t s o f t h e n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w a n d t h e e q u a -t i o n s -t o b e s o l v e d a r e, m Q. ( x - x . ) / ( x - x . )2 + ( y - y . ) 2 q d t 2irnHA . Z\ r. VnTl T5" 1 * n x = l / ( X - X J 2 + ( y - y J 2 , m Q . ( y - Y . ) / ( x - x . )2 + ( y - y . )2 q ^ = 1 Y r 1 1 K F J- 1 11 + nat- y d t 2TTnHX . , n r^—, TT ' 1 X n 1=1 / ( x - x . ) 2 + ( y - y . ) 2 I n t h e c o m p u t e r p r o g r a m F L O P t h e e q u a t i o n s 4 . 1 4 a r e s o l v e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e w e l l - k n o w n R u n g e - K u t t a i n t e g r a t i o n s c h e m e . T h e r e s u l t i s a p l o t o f t h e p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s o f w a t e r p a r t i c l e s i n a s e m i - c o n f i n e d a q u i f e r w i t h a n u m b e r o f m s o u r c e s a n d s i n k s a n d w i t h a n a t u r a l g r o u n d -w a t e r f l o -w . A s a n e x a m p l e o f t h e c a l c u l a t i o n o f p a t h l i n e s i n a s e m i -c o n f i n e d a q u i f e r t h e f l o w s -c h e m e w i t h t e n w e l l s h a s b e e n t a k e n . T h e g e o h y d r o l o g i c a l p a r a m e t e r s a r e i d e n t i c a l t o t h e e x a m p l e i n p a r a g r a p h 4 . 4 . ( f i g u r e 4 . 1 ) , e x c e p t o f c o u r s e f o r t h e r e s i s t a n c e o f a s e m i - p e r v i o u s l a y e r c o v e r i n g t h e a q u i f e r . Now a l s o t h e k - v a l u e h a s t o b e k n o w n . T h e i n p u t d a t a f o r t h i s c a s e a r e n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w qn a t = ^ t h i c k n e s s o f t h e a q u i f e r H = 3 0 p o r o s i t y n = 0 , 3 5 e x t r a c t i o n o f e a c h w e l l Q = 1 2 0 0 m3/ d a y p e r m e a b i l i t y o f t h e p o r o u s m e d i u m k = 3 0 m / d a y r e s i s t a n c e o f t h e s e m i - p e r v i o u s l a y e r c = 1 0 0 d a y s a n d t h e c o o r d i n a t e s o f e a c h w e l l i n t h e x , y p l a n e F o r e a c h w e l l 8 p a t h l i n e s a r e c a l c u l a t e d . T h e r e s i d e n c e o r t r a v e l t i m e s o f t h e w a t e r p a r t i c l e s a t 1 a n d 3 y e a r s a r e i n d i c a t e d w i t h a s y m b o l . T h e r e s u l t o f t h e c a l -c u l a t i o n i s t h e f l o w s -c h e m e p r e s e n t e d i n f i g u r e 4 . 2 . A c o m p a r i s o n o f t h i s f l o w s c h e m e w i t h t h e o n e i n f i g u r e 4.1 ( c o n f i n e d a q u i f e r ) s h o w s t h e i n f l u e n c e o f t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h X - ':he f l o w s c h e m e .
- D RESIDENCE TIME 365. DATS O RESIDENCE TIME 1095. DATS
B 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
X-flS »10'
N R J I Q N R L I N S T I T U T E F O R WRTER S U P P L T
FLOP. VER PDP101 DRTE:U5-APR-82 TIME:17: 13:12
S E M I C O N F I N E D A Q U I F E R . 1 L R T E R . 10 W E L L S
Figure 4. 2
Flow towards 10 wells in a semi-oonfined aquifer.
4.6. path lines i n a two-layered aquifer system w i t h a natural groundwater flow and a number of sinks and sources
I n t h e c a s e o f f l o w t o w a r d s a f u l l y p e n e t r a t i n g w e l l i n a t w o - l a y e r e d a q u i f e r s y s t e m , a s i n d i c a t e d i n f i g u r e 4 . 3 , t h e f o r m u l a s f o r t h e d r a w d o w n s i n t h e u p p e r a n d l o w e r a q u i f e r a r e d u e t o a n e x t r a c t i o n ( r e f . 6 ) S u = 2 , k 1 H 1 a 1 - x 2 ) ( ( V a 2) V / I i - r ) + < «2- V V / i2. r ) > " • 4. S2 1 = 2 , k 1 V ^ - A 2 ) ( - V / V r ) + V / X 2 - r ) )
T h e r e i s a s s u m e d t h a t d u e t o t h e e x t r a c t i o n s t h e r e i s n o i n f l u e n c e o n t h e g r o u n d w a t e r h e a d a b o v e t h e s e m i - p e r v i o u s l a y e r w i t h t h e r e s i s t a n c e C .
Q i
L A N D S U R F A C E
RH'
"^HEADS IN : DURING EXTRACTION STEADY STATEI I H, I I / / / / / / H Y D R A U L I C RESISTANCE | i TRANSMISSIVITY k, H, H? IMPERVIOUS BASE s \ • Hi ' V '/// '//, ///, 1 1 1 H2 • r Figure 4. 3
Drawdowns in a two-layered aquifer system.
T h e d r a w d o w n s i n t h e u p p e r a n d l o w e r a q u i f e r d u e t o t h e e x t r a c t i o n Q2 a r e 51 2 = 2 rrk2H2' ( ^ -A2)(-K0(/Al -r) + V A 2 - r J
%
-;o o = 0 u H ,7 r—r-C ( a . - X _ ) Kn ( A . . r ) + ( A- a0) K ( A r ) ) 2 2 2 i r k2H2 ( A ^ - A2 ) 2 2 0 1 1 2 0 2 1 W l 2 k2H2C2 i k lHlc2 4.16 w h e r e S i s t h e d r a w d o w n i n a q u i f e r x d u e t o a n e x t r a c -x y t i o n i n a q u i f e r y a n d1 h Xl = 2( a l + a2 + e i+ ( ( a l+ a2 + B l ' 2 _ 4 al a2 ) 2 ) 1 h X2 = 2(al+c' 2+|3l ~ ( (al+ a2 + B l ) 2~4ala2) 2 ) 4.17 r i s t h e d i s t a n c e t o t h e e x t r a c t i o n . F r o m D a r c y ' s l a w q = - k ^L 4x 3x qy k s y 4 . 18 i t f o l l o w s t h a t d x d t dy. d t k Z_s n ." 3x x k 3_s n±" 3 y 4.19 w h e r e <i) = g r o u n d w a t e r h e a d s = d r a w d o w n e f f e c t i v e p o r o s i t y i n a q u i f e r i W i t h t h e p r i n c i p l e o f s u p e r p o s i t i o n t h i s r e s u l t s i n a s e t o f e q u a t i o n s f o r a n u m b e r o f w e l l s a n d a n a t u r a l g r o u n d -w a t e r f l o -w . F o r t h e u p p e r a q u i f e r t h e s e e q u a t i o n s a r e
m dx d t k, 1 Q . ( x - x . ) — A I " l 1=1 dy dt • r , i Q, ( x - x . ) 3 r . j Q. (y-y,. ) i 1 r . l Q. ( y - y . ) D 3 n a t . x i B I [ J 3_(_/x K .(A" r . ) + / X K . ( / X ~ . r . ) ) ] .f^ r_. I l l ] 2 1 2 3 K mi Q . ( y - y . ) ^— A I [ 1 r 1 ( ( X1- a2) / X1. K1( / X1. ri) + ( a2- X2) / X2. K1( / X2. ri) ) ] J — B I [ - L — i - j . ^ . K ^ j . r ^ + ^ . K j t ^ . r , ) ) ] + 1 j = l j n a t . y )• 4 .20 F o r t h e l o w e r a q u i f e r t h e s e e q u a t i o n s a r e k„ 1 Q. (x-x. ) d t n 1=1 ( - / X , . K (/x~ . r . ) + / L . K . ( / L . r .))] 1 1 1 i 2 1 2 i n„ k '"2 Q . ( x - x . ) I [ ^T- i - ( ( a2- X2) / ri. K1( / T1. rj) + ( Xra2) A2.K l( / X2. r . ) ) ] 2 3 = 1 j ' k „ 1 Q. ( y - y . ) qn a 1_ „ 2 1=1 k, _2 Q , ( y - y . ) — D n2 j = l | [ j r j ( ( a2- X2) / X1. K1( / X1. r . ) + (X^-c^) A"2 (/x"2 . r .) )] 4 . 2 1 w h e r e t± = / ( x - xi)2 + ( y - yi)2 x. = / ( x -Xj)2 + ( y - y . . ) 2 m = n u m b e r o f w e l l s i n t h e u p p e r a q u i f e r
= n u m b e r o f w e l l s i n t h e l o w e r a q u i f e r ( x1, y±) a n d ( X j , y j ) a r e t h e x a n d y c o o r d i n a t e s o f t h e l o c a t i o n o f w e l l i a n d j . A , B , C a n d D a r e c o n s t a n t d e p e n d i n g o n t h e h y d r a u l i c r e s i s t a n c e s a n d t h e t r a n s m i s s i v i t i e s , w h e r e A = B = C = D = 1 2 Trk^H^ (A e2 2 i r k2H2 U "X2) a2 2 T r k1H1 (A -x2) 1 2 i T k2H2 (A -x2) I n t h e c o m p u t e r p r o g r a m F L O P t h e s e s e t s o f s i m u l t a n e o u s o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e s o l v e d w i t h a R u n g e -K u t t a s o l u t i o n . A s a r e s u l t t h e p a t h l i n e s a n d t r a v e l t i m e s o f w a t e r p a r t i c l e s i n t h e a q u i f e r s a r e o b t a i n e d . T h e c o m p u t e r p r o g r a m h a s a p l o t t i n g r o u t i n e f o r d r a w i n g a map o f t h e g r o u n d -w a t e r f l o -w s c h e m e . A n a p p l i c a t i o n o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m F L O P f o r t h e c a l c u l a t i o n o f a f l o w s y s t e m i n t w o s e m i c o n -f i n e d a q u i -f e r s i s p r e s e n t e d i n t h e -f o l l o w i n g e x a m p l e . Two s e m i - c o n f i n e d l a y e r s w i t h t h e s a m e p e r m e a b i l i t y k = 30 m / d a y a r e s e p a r a t e d b y a s e m i - p e r v i o u s l a y e r w i t h a h y d r a u l i c r e s i s t a n c e o f 50 d a y s . On t o p o f t h e u p p e r a q u i f e r a n o t h e r s e m i - p e r v i o u s l a y e r i s p r e s e n t w i t h a r e s i s t a n c e o f 1 0 0 0 d a y s . T h e t h i c k n e s s H o f e a c h l a y e r i s 30 m. I n t h e a q u i f e r s t h e s p e c i f i c d i s c h a r g e o f t h e
n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w i s e q u a l t o 0 . 0 1 6 6 m / d a y . I n t h e u p p e r a q u i f e r a s i n k w i t h a s t r e n g t h o f Q = 2 5 0 0 mJ/ d a y i s o p e r a t i n g a n d i n t h e l o w e r a q u i f e r a t a d i s t a n c e o f 3 0 0 m u p s t r e a m f r o m t h e s i n k a s o u r c e w i t h t h e s a m e s t r e n g t h i s p r e s e n t . T h e p o r o s i t y o f b o t h a q u i f e r s i s 0 . 3 5 . T h e n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w i s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e p o s i t i v e x - a x i s . W i t h t h e c o m p u t e r p r o g r a m F L O P t h e p a t h l i n e s i n t h e u p p e r a q u i f e r a r e c a l c u l a t e d ( f i g . 4 . 4 ) s t a r t i n g f r o m t h e s i n k a n d t h e p a t h l i n e s i n t h e l o w e r a q u i f e r s t a r t i n g f r o m t h e s o u r c e ( f i g . 4 . 5 ) . I n f i g . 4 . 6 . t h e f l o w s c h e m e o f b o t h a q u i f e r s i s p r e s e n t e d . A l s o t h e r e s i d e n c e t i m e s o f 1 , 1 0 , 3 0 a n d 5 0 y e a r s a r e i n d i c a t e d .
• RESIDENCE TIME 365. DATS O RESIDENCE TIME 3650. DATS " & RESIDENCE TIME 10950. DATS + RESIDENCE TIME 18250. DATS
3J 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
X-AS -10' N A T I O N A L I N S T I T U T E F O R W A T E R S U P P L Y FLOP. VER PDP101 DATE:U5-RPR-82 TIME: 1 7 : i 31 b1
S E M I C 0 N F I N E D A Q U I F E R , 2 L A Y E R S , 2 W E L L S Figure 4. 4
™ a RESIDENCE TIME 3SS. DAYS
© RESIDENCE TIME 3650. DATS - A RESIDENCE TIME 10950. DATS + RESIDENCE TIME 18250. DATS
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
X-AS ^10' N A T I O N A L I N S T I T U T E F O R W A T E R S U P P L Y FLOP. VER PDP101 DATE:U5-RPR-82 T I M E : 1 7 : i 4: U9
S E M I C O N F I N E D A Q U I F E R , 2 L A Y E R S , 2 W E L L S Figure 4.5
Flow from a source in a two-layered aquifer system.
- D RESIDENCE TIME 365. DATS © RESIDENCE TIME 3650. DATS
- A RESIDENCE TIME 10950. DATS
+ RESIDENCE TIME 18250. DATS
20 40 80 80 100 120 140 160 180 200 220 240
X-AS "10' N A T I O N A L I N S T I T U T E F O R W A T E R S U P P L Y FLOP. VER PDP101 DATE:U5-APR-82 TIME:17:14:26
S E M I C O N F I N E D A Q U I F E R , 2 L A Y E R S , 2 W E L L S Figure 4.6
4.7. path lines in a confined aquifer with a natural groundwater flow and steady or non-steady sinks and sources
T h e c a l c u l a t i o n m e t h o d a s d e s c r i b e d i n p a r a g r a p h 4 . 3 . c a n a l s o b e a p p l i e d f o r s y s t e m s w i t h n o n - s t e a d y f l o w . S t a r t i n g f r o m t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f n o n - s t e a d y f l o w t o w a r d s a w e l l i n a c o n f i n e d a q u i f e r ( T h e i s ' f o r m u l a ) Q ? w . r z . 4 i r k H M c ' t ' 4.22 — - — dA ( w e l l f u n c t i o n ) u r2 = x2 + y2 k H c ' = — s s = s t o r a g e c o e f f i c i e n t Q = e x t r a c t i o n o f t h e w e l l i t i s f o u n d t h a t d x d t dy_ d t t Q (x-x ) •^——77 {-. w, yr ,W Be x p ( - ( ( x - x )2+ ( y - y )2) / 4 c ' t ) 27TnH I (x-x )z+ ( y - y Y e w 2 xv w w Jw , r Q „ ( y - y „ ) ^—z {-. W, 9_, ,W r-o e x p ( - ( ( x - x )2+ ( y - y )2) / 4 c ' t ) 27tnH I (x-x )2+ ( y - y )2 ^v w 1 Jw " • 4.23 w h e r e x a n d y a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e w e l l w i t h w -1 w e x t r a c t i o n Q i n a c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m . w •* T h e s e t o f s i m u l t a n e o u s o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 4.23 c a n b e u s e d t o g e t h e r w i t h t h e e q u a t i o n s 4 . 1 0 . U s i n g t h e p r i n c i p l e o f s u p e r p o s i t i o n t h e s e t o f s i m u l t a n e o u s o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c a n b e d e r i v e d f o r a s y s t e m o f s t e a d y a n d n o n - s t e a d y s i n k s a n d s o u r c e s . A s a n e x a m p l e a p r o b l e m i s s o l v e d w i t h o n e n o n - s t e a d y s o u r c e a n d o n e s t e a d y s i n k i n a n a q u i f e r . T h e d a t a f o r t h e n o n - s t e a d y s o u r c e u s e d i n t h i s g r o u n d w a t e r f l o w p r o b l e m
a r e f o r t < 0 t h e n Q = 0 f o r 0 < t < 3 y e a r t h e n Q = f o r t > 3 y e a r t h e n Q = 1 2 0 0 m3/ d a y 0 0.01 m / d a y T h e g e o h y d r o l o g i c a l p a r a m e t e r s a r e n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w t h i c k n e s s o f t h e a q u i f e r p o r o s i t y p e r m e a b i l i t y o f t h e p o r o u s m e d i u m s t o r a g e c o e f f i c i e n t a n d t h e c o o r d i n a t e s o f e a c h w e l l i n t h e x , y p l a n e T h e s t e a d y s i n k h a s a s t r e n g t h o f Q = 2 0 0 0 m3/ d a y . F i g u r e 4.7 s h o w s t h e p a t h l i n e s o f t h e i n j e c t e d w a t e r . ' n a t H = 20 m n = 0 . 3 5 k = 1 0 . m / d a y s = 0 . 3 5 Figure 4. 7
T h e c a l c u l a t i o n m e t h o d h a s b e e n u s e d i n t h e c o m p u t e r p r o g r a m F R O N T . T h e p r o g r a m F R O N T w a s a l s o a p p l i e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f f r o n t s o f i n j e c t e d w a t e r i n t h e c a s e o f a r e c o v e r y a n d r e c h a r g e s y s t e m d e s c r i b e d b y V e r m e e r e n V a n d e n A k k e r ( r e f . 5 ) .
4.8. path lines for a radial symmetric flow towards line sinks and line sources
I n c a s e o f f l o w t o w a r d s a p o i n t s i n k s i t u a t e d i n a h o m o g e n e o u s a n d i s o t r o p i c a q u i f e r o f i n f i n i t e e x t e n t t h e g r o u n d w a t e r h e a d i s ( r e f . 7) Q0 + C 4.24 4-rrkr w h e r e C i s a c o n s t a n t v a l u e d e p e n d i n g o n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . F o r a l i n e s i n k t h e g r o u n d w a t e r h e a d c a n b e d e r i v e d u s i n g e q u a t i o n 4 . 2 4 . T h i s r e s u l t s i n 2 _ ln(L - z+/ ( L - z ) 2±r j _) 4 > 2 5 SirkL - L - Z + / ( L + z ) 2 + r2 w h e r e Q i s t h e e x t r a c t i o n b y a l i n e s i n k o f l e n g t h 2 L ( f i g . 4 . 8 ) . F r o m e q u a t i o n 4 . 2 5 c a n b e d e r i v e d u s i n g D a r c y ' s l a w d r _ Q 1 . L-z+a + L + z - a 4 2g d t 87rLn " r / ( L - ¥ + a ) 2 + r2 / ( L + z - a ) 2 + r2 w h e r e 'z = - z + a .
Li , e x t r a c t i o n — p e r m1
2 L
2 L
• > r
Figure 4. 8
Extraction by a line sink in an aquifer of i n f i n i t e extent.
F o r t h e z - d i r e c t i o n o n e c a n w r i t e cVz d t Q 8 i r L n - L - z + a ( L + z - a + v/( L+'2"-a)2+ r 2 ) . / ( L + z - a ) 2 + r2 L - z + a ( L - z + a + / ( L + a - z )2 + r2) . / ( L - z + a )2 + L + z - a + / ( L + z - a )2 + r2 L - z + a + / ( L + a - z )2 + r 2 4.27 A s s u m e t h a t i n c a s e o f m l i n e s i n k s o n t h e z - a x i s
w h e r e 2 L ^ = l e n g t h o f t h e f i l t e r s c r e e n o f l i n e s i n k i a . = d i s t a n c e f r o m z = 0 t o t h e m i d d l e o f t h e 1 f i l t e r s c r e e n . T h e s e t o f s i m u l t a n e o u s o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r m l i n e s i n k s o n t h e z " - a x i s w h e n o n l y t h e h a l f p l a n e i n t h e d i r e c t i o n o f ~z i s t a k e n i n t o a c c o u n t i s m { Q. a , a , Q- a„ a „ A t Sim ^ ^ . r i ^ r / ^ T =— . in CO. - a - a. d t 8irn ±=1l Li (a +/ ^ 2 ^ 2 ) . /a2 + r 2 ( a ^ / a ^ r2) . /a2 +r2 "a4 (a + / a 2 + r2) . / a ? + r2 ( a2+ / a2+ r2) . i / a2+ r2 -1 1 -1 1
