Discrete signalen

C 466014 BIBLIOTHEEK TU Delft P 1622 7451

1111111111111

~lli

!

/lilt

j

~

Ii:'

UI

i

mm

It

llllllll~i

mim

IIW

~

f!

1

11111

i

:

11I

~

1I!1I1

/~llillll ~llilIU/'''lIl

llll1

HII

IIIÜIi

IlU

I

l

ijmlI l

DISCRETE

SIGNALEN

ir. A.

Henderson

Voorwoord

Digitale sign a alb ewerking komt stee ds me er in de bel a n g s t el li n g. ~iet allee n de digi tale fi l t ers zijn ~n op Qa r s, ook bij co~puterger ich te netwerk-analyse komt me n in aanraking met discrete s ig-nalen .

Bij èe bes t ude r ing va n deze st o f wo rd t me n get r o f -fe n doo r de ana l ogie ~et de theorie van de co n t i n ue signa l e n , zoal s sc h a k el ver s ch i jnse len , st a t i o n a i r e toest an d, toestandsve rglijki ngen , wiskundige tran s f o rma t i e s (d e la pl a c e-tra nsfo r mati e vers u s de z-t r a ns for mati e), beginv oorwaa rde n , pole n en nu l -punten en z .

Kenni s va n de the ori e van cont inue signalen is ech t er niet nood z a k eli j k voo r de bes tud eri n g van deze stof.

Wel wordt be k e n d h e i d vero n d er s t eld met ge l i jk- en wi s selstroo o t h e o r i e, comple x e groo thede n , reekse n en (eenv oud ige ) matr i x reke ni n g.

Voor kr i t i e k houd ik mij aanbevolgen.

Voorjaar 1980.

INHOUD

Voorwoo

r d

3

1.

I

nl e i di n g

5

2

.

Mat

hematis che

b

es

chrijving

van

d

i s c re t e

signalen

6

3

.

Sp ec i al e

fu

n c t i e s

10

4

.

Ee

t

benonste

ringspro ce s

12

5.

He

t o

p lo s s e n

v

a n de di

f fe ren t ie - verge l ijking 14

6

.

De

z-tran sfo rm ati e

18

7.

De t

erugt

r an s f or mati e

2

5

8

.

N

ie t nul z

ijnd e begin v oo r waarde n

29

9

.

De b

e g inwa

ar

d e-t h

eo

r

e

ma' s

30

10.

Tabel van z-

t r a n s fo r mati e s

32

11.

Convoluti

e

33

1

2

.

Lin

e a r i t eit,

c

aus ali t eit en t

i j d i n v a r i a n t ie

39

13

.

St a bi li te i t

40

1

4

.

Harmoni sche e

x c i ta t ie

41

15

.

Filt

err ealis at i es

46

16

.

To

es t andsver g el i j kin gen

50

17.

Vrij

e

t

rillin g en

56

18.

Polen

en

n

u l

pu n t en

59

1

9.

Compl ex e

r

esonanti e

62

2

0 .

Re sidu-b epalin g

64

Vraa gs tuk k en

69

A

n t woord en l i j st

7

4

cc

5

1. Inleiding

Lezen we op een aantal tijdstippen de temperatuur af, dan ve rkrijgen we uit een con ti nu e functi e een aantal g etal-len, bemonsteringen genoemd. Do e n we dat op regelmatige tijdstippen, dan spreekt men van eau id istante bemonste-ringen. De bemonsterings-tijàstipp en geven we aan met •••• -4T, -3T, -2T, -T, 0, T, 2T , 3T, 4T, 5T, enz. We verond erstellen, dat de rij ge t a l l e n naar links begrensd is, d.w.z. de tijd begint op een tijdstip in een ei n di g verleden. We zull e n later zien, dat dit ee n belangrijke eis is.

De rij mag wel naar rechts onbegrensd zijn.

In figuur 1 is de situatie schetsmati g aangegeven.

-T

Fig. 1

T2T

_E»

t

In plaats van co n tinu ze gt men wel analoog, de getallen, verkregen ui t he t bemonst eringsproc es heten dis c r ee t of digi taal.

We zullen in het verv o l g aannemen, dat de bemonsteringe n equidistant zi jn .

De rangorde k heet bemonsteringsgetal .

De getallen, die zodoende worden verkregen, kunnen wo~den verwerkt in systemen, computers, filters e.d. Als er be -hoefte aan is, kan het discrete si gn a a l .we er word e n omg e-zet in een analoog signaal. Zie figuur 2.

, dis cre e t discreet

~

]

bewerk ings

El::

---..,,"'1

eenhe i d I---~~ D-+A

cont o '-______ conto

De omzetters worden analoog- digitaal- res p. digitaal -anal o og-omz e t t e r s geno e md .

Hoe kleiner de bemonsterin gstijd T, hoe na u wkeurige r het signaal wordt voorgeste ld door ee n rij get a l le n .

Ook het aantal beschikbare getallen spe el t een rol . Hoe grote r da t is, des te beter het onderscheid tu ss e n twe e signaalniveau s kan zijn (resolutie, oplossend vermogen).

2. Mathematisch

e

b

eschr ijving van discrete signale

n

2

3

o

voor k~

3

zie figuu r

3

of y(k).

een kle i n e letter als We zullen de rij getallen aangeven met

funktie van de gehele getallen: x(k) Bijvoorbeeld x(k) 0 voor k <0 x(O)

x(1)

x(

2)

x(k) 2 _'4' -2 -1 0 2 3

4

5

;- k fig.

3

De bewer ki ngseenheid of het filte r verand ert deze rij x( k) in het algemeen in ee n andere rij y(k). De z e verand ering wordt bepaald do or de con st ructie van het fi lt er. Figuur

4

gee f t het blokschema .

x(k) _{fil ter} y(k)

-.. fig. 4

7

y(k) =

~

l

x(k) + X(k-1)1

De uitganes grooth eid van dit filter is steeds het gemiddelde van de laatste twee ingangserootheden.

Het aldus ingevoerde filter heet digitaal fi l te r .

Een digitaal filter kan in het algemeen de volgende bewe rk i ngen uitvoeren:

a. Vermenigvuldigen met een constante

A.

Zie figuur

5

.

y(k) Ax(k) x(k)

~0

y(k) ~ fig.

5

b. Optellen. w(k) x(k) + y(k)

(

2)

Zie figuur

6

.

x(k)

~

t-

w(k)

y(k)

fig.

6

Deze beide omze t tingen ges ch ieden tijdloos , dus zonder vert r agi ng .

c. Vertragen. Zie figuur

7.

y(k)

=

x(k -1)

fig .

7

D is van het woord "Delay".

De vertraging is over een tijdseenheid T.

Grotere vertragingen kan men verkrijgen door meer van dergelijk e vertragingseenheden in cascade te schakelen.

filt er een blok di a gram getekend worde n .

Het blok diagra m van het vorige voorbeeld is ge t eke n d in fi gu u r 8.

'---~~

I-_._

y(k)

fig. 8

Het filter moet dus over een gehe uge n beschikken .

Een recursief filter maakt geb r u i k van ee n enk el - of me e r -voudig vertraagde uitg an gsgrooth eid naast de in gan gs groot h e i d. Voorbeeld

y(k) = x(k) + 2y (k - 1 ) In blokdia gram (figuur

9) :

x(k)

fig. 9

D

y(k)

Ee n derg elij k filter kan inst abi el zlJn, want al s x(k ) = 0 geldt y(k)= 2y(k-1), d.w.z. y(k) nee mt toe vo o r opk li mme nd e

k

.

In de praktijk ~x(k) en y(k) ge l i jk aan nu l be ne den een bepaalde waarde van k. Vaak kiest men x(k) = 0 en y(k ) = 0 voor

xc

O.

We gaan nu na of we y(k) kun ne n vinden als x(k) en de filter-formule bekend zijn.

Voorbeeld: met Stel y(k ) x(k) x(k) y(k) = x(k) + y(k- 1 )

o

voor k<O

o

"

k< 0 k~O.

Ge vraagd y(O), y(1), y(2) en z . du s algeme e n y(k ) voor k~O. Opl o s s ing Ui t de forQu l e vol gt y(O)

=

x(O) + y( - 1)

=

1 + 0 y(1) x(

1)

+ y(O) + 1 2 y(2) x(2) + y(

1)

+ 2

3

en z . Hie r is gemak k elij k in te zien, dat geld t

y(k)

=

1 + k k~ O.

Het vi nde n van een derg elijke zoBe n a a mde gesloten uitdrukking is vaak lasti g er.

De in- en uitgangs r i j zijn in figuur 10 ges c h e t s t .

en z . -2 -1 0 2

3

4 ~ _k

1

4

3

enz. -2 -1 0 fig. 10 2 3 4 _{~ k}

Men noem t een derBelij k e vorm ook wel een different ie -vergel ijking .

3. Speciale functies

In het voor ga a nde is sp r a k e geweest van het bemonsteren van een analo og signaal .

We voe ren nu in het bemonster ings -symbool of stoot

Deze fun k ti e is voor k = 0 en 0 voo r k " 0. In figu u r 11 is de grafiek get ekend .

:'<

kl

2

,

:\

-~

3

'-+ ~ _k

fig. 11

Ee n over een afstand n (n is g2h e e l ) vertraa gde stoo t gev e n we aan met

(6

)

r -In f i[,U 11r 12 i s (., ( }:-

:5 )

CCt«I'.C'n d• - r - - - -, - -_. -2 -1 0 fig. 12

]

;,> _{3 t1} ) ~,.., k Eet bcncn stcr-cn van een annLoo g siG-:1. a ;ü kan nu mat he ma tis c h word e n beschre ven .

We beschouwen een funktie f( t ) voor t~O. Is de be mon s t erin gs t i j d

T,

dan wordt de bemonst erde fu nk t i e de somvan equid i stant e st o t e n :

oQoD 0 0

fb(t) = f(t)

2:.t.

1

(t -n T) =

L

f(nT) J ( t - nT )

(7)

n=O n=O

Hierin is

S(

t-nT)= 1 voor t = nT en =0 voor t

1=

nT. Ki e ze n we T

Er onts taat

1, da n is blijkbaa r t ee n geheel ge t a l. Noem dit k. 0 0

x(k) =

~

fen ) ,f(k-n ) n=O

Uitg eschreven : x(k) =

rt o

) ..

I ( k ) + f(1)S(k-1) +

f(2

) S(k-2 )

+ ...

De termen van deze som vormen een rij getalle n .

Ee n ri ~ getallc:1 , dit.? alle Gt.:l ijl: één zij n voo:: niet negat ieve k en nul v oo : n'2 ç,:3.tievc t: nccrn t een d e een he Lds-estapf'u n x tLc ~( k).

(

e )

A

é(J,:)

i

f

r

I

_r

r

enz . 2 :;; _<1

₅

₆

t>--' _~: x(k ) = 0 '/OO J: k

<

0 } kE ek )

x

(k)

=

k °l k~0

_-~----+----t----"--

2

-1

0

fig.

13

enz. "r:H!; p"-fur;: ~',i 2

~

,< .-.

~:_1

.

1._

_

~

._.

_

-2 -1 0

I

1

~

~

:1

fig. 14 zi e fi guur 14,. ';

Verder komt voor

x(k)

=

0 voor k<O} k

c

~

(k)

x(k) = Ck "

k~O

(10)

Voor C = 1 hebben we de eenheids-stapfunktie, voor 0

<lcl<

1 hebben we een dalende rij, voorlel> 1 hebben we een stij-gend e rij.

x(k)=Ovoork<O 1· (As i nk o<) E (k) x(k) = Asinkc>( voor k~0 x(k)=Ovoork<O ) (ACOSK o<..)

E.

(k) x(k) = Acosko<., voor k~ 0

4. Het bemonsteringsproces

( 11)

Stel het analoge signaal is sinusvormig met periode Ta seconde en de hoekfrequentie is wa (rad/s).

Dan geldt

Noem de signaalfrequentie fa' dan is w_a = 27Tf_a (rad/s).

Stel T de tijd tussen twee bemonsteringen en

K

het aantal bemonsteringen in één signaalperiode, dan is

T

a KT

Stel het aantal radialen van het signaal in één benonsterings-tijd is w, dan geldt

w a w T (w in rad/bern. tijd) (16) Eet (16),

(15)

en

(13)

volgt wK wK =

UT

w TK a wa aT

=

'2:1Ï

Het aantal bemonsteringen per seconde noemt men wel de bemon-steringsfrequentie (sample-frequncy) f, dus

f

~

(bem/s). w Me t (14) en (16) vinden we tenslotte f a=

2

~

w

2rrT

(18)

f

a

w

27TT

Om de vorD van een pe r i od i e k signaal ee nd u i d i g in een rij

get a l l e n vast te leggen, beho even we K niet tot een extreme

waarde op te voeren. Di t houdt na t u u r l i j k verband met de hoogste frequentie, die in het si gna a l voorkomt . Die fre q ue n

-tie is de hoogste harmonische, die voorkomt volgens de ree ks van

Fourier. De vorm hiervan is te vinden met twee bemonster inge n

in één periode. Zie figuur

15.

fa(tl

---il~~ t

(20)

(21)

Net

(17)

Ket (18) en (1 9) w f a 1 2T (ra d per bem.tijd)

lf

2

(22 )

Di t is de bove n gren s. Ken noe mt dez e fre quen t i e de

Nyquist-frequentie . Deze is de ho ogs t e signaalfrequentie, die uit ee n

5. Het oplossen van de differentie-vergelijking

We behandelen hier een meth ode om de dif f er e nti e-v erge -lijkin g rechtstreeks op te lossen. We te k e n e n daar b i j direct aan, dat we deze methode verder nie t zul l e n ge -bru iken , omdat de in de volgende paragra af in te voere n

z-t ran sformat ie vele voordelen t.o .v . dez e Det h ode heef t . Bes c h o u w als voo r b e e l d:

6y( k ) - 5y(k- 1) + y(k-2) 24x(k) - 11x(k-1)

De begi n vo orwaard en zi jn als vol gt: y( - 1 )

y(-2)

5

Verder kiezen we al s excitat ie x(k ) =

E(

k)

We beschouwen eer s t de homogeen gema a k t e vergelijking : 6y(k) - 5y(k- 1 ) + y(k-2 ) = 0

en stell e n de homogene oplo ss in g: Yh(k) = AÀ k

Ingevuld: 6AÀk _5A Àk-1 +A >,.k -2 0 dus

We noe men dit de karakter i st ie k e vergelij king. De wortel s zijn Du s 1 2 1

3

\ }" \ k A_{1 "} 1 • + A₂/\2 A (.1.)k (1 )k 1 2 + A2

"3

Stel we kennen een oplossing y (k), die we een p

particuliere oplossing zullen noemen.

Deze voldoet aan de differentie-vergelijking, dus:

Trekken we deze af van de gegeven differentie-verge-lijking, dan ontstaat:

en dat is ju ist de h~mo ge e n gemaakte differentie ve rge -lij ki n g, du s

We kunnen in ons voorbeeld een particuliere oplossing vinden door k groot te kiezen. Dan nadert het rechterlid tot 24 - 11 13, terwij l y (k) een constante Cis:

p

6c

-

5C

+

C

13 vo lgt C

12

2

De totale op lo s s i n g is dus

voor k.:;:: 0

Merk op, dat deze functie ni e t geldi g ho eft te zijn voor k <.0, omdat pas op k = 0 de ex c i ta t ie x(k) = E(k) ontstaat. De constanten A

1 en A2 vi nd e n we iû het alge meen met de beginvoorwaard en.

We kun nen hier ech t er àe ge geven be gi n condi t i es nie t recht st ree k s gebruike n, omdat de afgele i de fo rm u le alle en geld i g is voor k~O.

We lei de n nu bruikba re beginv o orwaa rden af: Ui t de di ffe rent ieverge l i jki n g vo lgt :

1 y(k)

=

6 5y( k - 1 ) - y(k-2 ) + 24x (k ) - 11x(k-1) dus y(o) 61 5y ( - 1) - y(-2 ) + 24 x(O) - 11x(-1) 1 6( 5 - 5 + 24 - 0) 4 Op analoge wi j ze vin d en we

y

( 1)

= -16

3

Vullen we deze waarden in de gevo nd en func ti e in, dan ontstaat:

waaruit resulteert: zodat

y(k) We vinden y(O)

12 _

2

(l)

k _

1

(l)

k

2 • 2 2·

3

16

4 y(1)

=

:5

y(2)

.lQ1

₁₈ enz.

Merk op, dat als y( - 1 )

=

y(-2)

=

0 zoude n zlJn geweest er niet nul zijnde waar à en y(O) en y(1) behoe ven te volgen!

We vi n d en in di t voor b e eld da n : y( O)

=

4 y(1)

=

~

.

De z-transformati e heeft t.o.v. de hier geschetste

methode enkele voord el en:

a. Er behoeft niet een particuliere opl ossi ng te worden bepaald.

b. De beginvoorwaarden v66r k gebruikt.

o

kunn en rech t sre e ks wo rden

Een enkele keer geef t de hier behan d el d e methode een snel le r resultaat da n de z-tr ansformatie.

Voorbe eld: met y(k) + y(k-1) - 12y( k -2 ) y(o ) 4 en y( 2) = 0

o

De ka r ak t e r i s t ieke ver gelij ki ng is

À.

2 +

À -

12 0

Wortels _{).1 =}

₃

_À2

_-4

De oplossing is dus:

Omdat de differentie-vergelijking homogeen is, behoeven

we geen particuliere oplossing te bepalen. Voorwaarden invullen: y(O) 4 A 1 + A2 y(2) 0

9

A 1 + 16A2 Volgt A₁

.2A

A 2 l§.

7

7

Dus y(k) =

.2A

_{7 •}

3k l§..(_4)k k ~o

7

1,/ e vinden y(O)

4

y(1)

=

48

o

enz.

De oplossing net z-transformaties zou meer rekenwerk

6. De z-transformatie

De z-transformatie biedt de moge l i j~ he i d in gewi k kelder problemen op te lossen. De met ho de bli j kt onver wa c h t el e gan t . Definitie

x(z)

Uit de functie x(k) wordt zodoende de functie X(z) v er-kregen:

x(k)

#

X(z)

We schrijven functie s van z met een hoofJl e tt er , dus X(z) of Y(z) of U(z) of korte r X, Y,

U.

Ook de omgekeerde \'Jeg blijkt moge l i jk , va n d a ar de dubbele pijl in formule (25).

Wij zullen nu een tabel samenstell e n me t functi es en hun z-getransforme erden.

He beginnen met x(k) =

U

(k)

(2 5 ) Er volgt 00 X(z)

=~

(k)z-k k=O

(2

6)

Als vo lgende functie nemen we

x(k) =

J(

k- n )

Dus

x(z) =

i:..

(k_ n )z-k k=O

We vervolgen met

x(k) =

E

( k )

dus 00

X(

z )

2:

z-k k=O -n z

Uitgeschreven: X(z) = 1 + z-1 + z-2 + z

-3

+ •....• We kunn en hie r v o o r sc h ri j v e n X(z ) -1

- z

wa n t staartdelin g levert op:

1 - z-1

I

-1 - z -1

z

-1 z - z-2 -2

z

-2

-

3

z - z enz. -1 z + Z-2 + ••

We merken op, dat de vol gen d e st a a r tde l ing ni e t is toeges t aan:

z

-1 _ 1

1

-1 -1 + z -z 2 -z + z -z enz. , -2 z - z

-3

•••

Deze gevonden functie is volgens formule (27):

- .r(

k+ 1) -

J

(k+ 2) -

J(

k+

3) - ••••

en is dus niet

é

(k), de functie, waarvan we zijn uitgegaan! Het resultaat van de laatste staartdeling strookt echter niet met de afspraak in de inleiding, dat de rij naar links begrensu moest zijn.

Iie z-k verder op, dat alleen voor Iz -11..:::1 de reeks convergeert. Omdat we ook di v e r g e n t e rijen toelaten, behoeven we ons niet te be ko mmeren om vragen over convergentie.

\-Ie hebben dus

E

(

k

)

~ _ z _

z - 1

(28)

Deze schri ~ijze is gele t op de staar tGeli~ g toegestaan. De uitv oe r ing van de staar tde l i n g

- z

levert ec h t e r weer een foutieve rij.

We beschouwen nu

waarin A eventueel complex is. We vinden X(z) 00

L

k=O k -k

A

z

De (goede) staart deli ng levert op

zodat

Ak ~ _ z _

z -

A

1 _ A z

Voor we deze berekeningen voortzetten, behand e l en we eerst enkele belangrijke eigenschappen, waarmee het mogelijk is vele transformatie-berekeni n ge n st e rk te vereenvoudigen. Eigenschap I. Als x(k)~X(z) met x(k) dan is x(k-1) . . z-1 X(z)

o

vo or k< O Bewijs 00 - -k X(z) =

L

x(k)z k=O 0 0 du s x(k-1)

~ k~

x(k- 1)z-k

+ ••• x(-1) + x( O) z -1 + x(1)z-2 + x(2)z-3 + ••• x(O) z-1 + x(1)z- 2 + x(2)z-3 00 -1 " ( ) -k z

L X

k z k=O -1, ( ) =

z

X z •

Eige n s c ha p Ir.

Als x(k)~ X( z ) met x(k) = 0 voor k..ç 0 en y(k)

=p

Y( z) met y(k) 0 voor k< 0 dan is

Ax(k) + By(k)

=+

AX( z ) + BY(z)

met A en B willekeurige constanten.

Bewijs 00 - k X(z) =

L

x(k)z-k=O 0 0 Y(z) =Ly(k)z-k k=O 0 0

dus

AX~)

+

BY(

k)~k~{AX(k)

+ BY(k)} z-k

A

6

x(k)z-k + B

~c;(k)z-k

= AX(z) + BY(z)

Ei ge n s c h a p IrI.

Als x(k)-+ X(z) dan is

met x(k) = 0 voor k<O

Bewijs kx(k)", -z dd zX(z ) 00 X(z ) =

L

x(k)z-k k=O oe dus

ill..û

=

~

-kx(k)z -k-1 dz k=u -1 ~ -k z

L

-kx(k)z k=O dus

_Zd~~Z)

₌

2.

_kx(k)z-k k=O

Eigens chap IV. Al s x( k )=p-

X

( z)

met x(k)

o

voor k< 0 da n is Bewijs 00

>

x(k)

(~)k

k

=O

x( ~)_A

We vervolgen nu de bereken i ng van enke le z-t r a n s fo r ma t i es.

Beschouw x(k) = ké ( k )

~e t (28) en eigen s chap 111 vinden we -1

- z

_z_

z -

1 'K d z • -zd;;" ~

-z

- - 2 -z-1-z z_ 2 (z-1) (z -1) Du s

k

+

__z_ ( z-1) 2 Beschouw Me t

(29)

vin den we met

A

ejw jkw e ~ z z _ ej w Tenslotte beschouwen we x(k) Er geldt (coskw)E.( k) 1 ( J'wk -jwk) coskw

=

2

e + e ,

terwijl de transfor mati e van de beide e-mac h ten volgen s (31) te vin den is:

coskw

.~

~(

_ _z_._ +

~J')

2z - cosw + jsinw - cosw - js i n w 2"z· 2

z - zcosw + jzsinw - zcosw - jzsinw + 1

2z - 2c o s w

'2

z ·

2 z - 2zcosw + 1 z - co s w z·-= ----'=..:~---z2 _ 2z c o s w + 1 Zodoende geldt: cos kw

-t

z - co s w z z2 _ 2zcosw + 1 (32a) Voor w

~

vinden we 1 z2 cos2"kn =t- 2 z + 1 (32b)

In het lin k e rl i d staat de rij

o

-1

o

o

-1 enz

he t g e e n ook uit het rechterl i d volgt met staart deling .

Op

analoee wijze vinden we

( 32c) si n w

sinkw

~

z z2 -2zco s w + 1

dus

z

Een filt er kan wo r d e n geka r akt e r i s ee rd do o r de overdrachts-funkt ie

H(

z )

=.ri..U

_XCz)

Fi gu u r 16 geeft het sy mbool.

X

(z )

X(z) is de z-getransform

e erd e

ingan

gsrij

x

( k).

Y(z) is de z

-getransforme erde

ui

tgan gsrij y(k

) .

Y

oorbe elden.

vo

o

r

k

<

0

e

n v

oor k

>

2

.

x

( 2 )

= 2.

x(

1)

=

5

Gegeven x(

k)

=

0

x(

O)

=

4

Gevraagd X(z).

Opl

ossing:

Blijkbaar is x(k)

4

.)( k )

+

5

c..\(k

-1)

+

2 S"

( k- 2 ).

Dus X(z)

=

4

+

5

z

-

1

+

2z-

2.

1 •

2

.

Gegeve

n

X(z

)

=

2

-

9z

-

1

+

S

z

-2

+

5z

-

4•

G

e vra a gd

x(k).

O

pI.

x(

k)

=

2 J"(

k)

-

9

c:.l

( k-1)+S S ( k-

2

)

+

5 J(k

-4)

l).w. z.

x

(O)

2

x(

1)

=

-9

x(

2)

= 8

x(4)

=

5.

x(k)

0

v

oor

a

ll

e

and

ere

wa

arden

van

k

.

3.

Gegeven

y(k)

x(k)

-

x(k

-1)

x(k)

0

voor k

<0 }

x(k)

=

E

(

k

)

x(k)

1 "k~O

Gevraagd

y(k) via

d

e z

-transforna ti e.

O

p l o s s i n g :

Y(z)

-

X(z)

z

-1

X(z)

d

us

Y(z)

=

(1

-

z

-1

)X(z)

d

u s H(z)

=

- - -

z -

1 z

D

e z

-ge transformeerde

v

a n de

ingangsrij is

X(z)

=

_

z_ .

z

-

1

D

u s

Y(z)

=

1.

:::r volg

t

y(k)

=

c)(k) ,

het

geen d

i re c t volgt u

it

d

e

g

egeve

ns .

4

.

B

e pa al de z

-getransformeerde

van k

2

E(k )

Oplossi

n g

z - -2

(z

-1 )

R

e gel

III

k2

o!:(k ) ~

d

-

z

-d

z

z 2

(z

-1)

-z

z

-1 -2z

(z-1)

3

=

z

z

+ 1

(z

-1)3

7. De terugtransformatie

Wil men alleen de eer s t e termen van ee n ~ij vinden ui t een

z-get~ansformeerJe vorm, da n ka n men st a art delin g toepassen.

Voorb eeld Gegeven Y(z) z+1

z-1 We schrijven di t als Deling levert op -1 1+z -1 1-z -2 - 2z -1 1-z /1 +z

~

~

\ 1

.l::L--1 2z -1 2z + 2z-1 + 2z -2 + 2z-

3

+ •.•• -2 2z -2 2z

-Du s de eerste termen van de rij worden:

y(k)

=

1, 2, 2, 2,

'laak ka n de te r ug t r a n s f o r mat ie geschieden door toepa ssing van

breuksplitsen en ge bru i k ma kin g van ~~n van de basi st ran sf o rma

-tie s. Vo orbe e ld 1 Gege v e n Y(z) ~ z - 1 Gevraagd y(k ) Oploss in g

.L!:....1

z - 1 __z _ + __1 _ z - 1 z - 1

Ue kunnen di t schrij ven als _z_ + z-1 z-1

z

26

De tweede term stelt de vertraagde stapfunctie vo or op gronà van eigen s c h a p I, dus

hetgeen de ri j 2 2 2 2 .• is.

He t is ec hte r va a k handig de fun cti es van z zod ani g om

te vormen, dat het resultaat als

f(k) E(k) te schrijv en is. Hier vinden we z+1 z 1 z z-1-z z-1

=

z-1 + z-1 z- 1 z- 1 of wat op hetzel f de neerkomt Voorbeeld 2.

_

z_

2 z- 1 - 1, zoda t Gegeven Y(z) 2 4z - 7z 2 z - 3z+ 2 Gevraagd

y

( k)

Oplossing: De polen zijn ) 4z2 - 7z Y(z = (z-1)(z-2) 4z -

7

We schrijven dit als z. (z-1)(z-2)

z (

-.A-

+ -1L.) z-1 z-2 He vinden Du s Y(z) A

3

B=1. ~ z z-1 + z-2 àu s k y( k )

=

(

3 + 2 ) ê (k)

Zijn de polen van Y(z ) con plex, dan levert de ter ugt r a n s f o rmatie

Voo rbee ld 3.

Gegeven Y(z)

2

z

Gevraagd y(k).

ft •

Oplossi ng : de polen zijn -1+ j en -1-j. dus Y(z) = z( ft. + 13 ) z+ 1-j z+1+j We vinden A =

~(1

+j)

13 =

~(1

-j)

Dus y(k) = A(_1+j)k +

A

~( _1 _j)k

2ne

{~( 1+j)(-1+j)~

Re{( 1+ j)(.f2) ke

1

35°j~

Re

{(~~}k( 1 +j)(COS 135°k

+

jS

in1 35°k~

(1J2 ) k ( c o s1 35° k - sin1350k )E( k).

Uiteraa rd kan di t antwoo rd wo r d e n gecont r o lee r d do o r dit terug te transformeren .

In de tec hni e k va a k voorkomende functies zijn de gede mpte sinus- en cosinusvormen .

We lei de n gemakke l ijk af

z - Bc os w z z2 _ 2Bz c os w + 132 ( 33a) en 13sinw (33b )

Nu we ove r de z e transformati es bes chikke n , ku nn e n we de gege v en functi e va n het vorig e vo or b e eld gemakkel i jke r terugt r a nsformer en:

2 z

Y(z ) = -~-­

z2 + 2z + 2 i'/e hebben

28

We constatere n allere erst, da t de po l en co ~p l ex zij n.

We vergel~jk en nu de ge g e v e n noemer met de noe mer van

de gedempte sinu s- en cosinusfuncti e.

We co n c l uàe r e n Bc o s w -1 en Hieru i t volgt B

=-J2

\"e he bb e n du s z + 1 z, z 2 + 2z + 2 en De la atste vor m is z. z2 + 2z + 2

De gewe n ste teller (hier z2 ) kan nu geformeers worden

door n x de gedem pl t e co s i n us op te tellen bij Dl X

de gedempte sinus.

We vinden hier n

=

en m -1, dus

2

z

z2 + 2z + 2

29

8. Niet nul zijnde beginvoorwaarden

Als x(k) niet nul is voor ne gatieve k, ondergaat regel I een

kleine vera n d e r i n g:

Regel Ia. Als x(k)~ X(z)

dan x(k-1)

~

z-1X( z ) + x(-1)

Het bewijs volgt di rec t uit het bewi js van regel I.

Verder volgt:

x(

k-2)~

z-1 {z - 1X( z ) + X(-1)} + x(-2) dus

x

(k-2 ) ~

z-2X(z) + z-1 x(_1) + x(-2) en vervolgens . - 1{ -2 -1

J

x( k- 3 )·~ z z X(z) + z x(-1) + x(-2) + x(-3) dus

x

( k-3)~z-3X ( z )

+ z-2x(_1) + z-1x(_ 2) + x(-3) (36) Di t kan zo vorde n voort gezet. Ook is af te lei d e n x(k+1 )· + zX(z) - zx(o )

Voorbeeld. Gegeve n y( k )

=

x(k) + 3y(k- 1) x( k ) =

E

(k)

y(-1)

=

2

Gevraagd Bepaal y(k) voor k~O. Oplossing: .1 Y(z)

=

X( z ) + 3z- Y(z) + 3.2 dus Y(z)(1-3z-1)

=

~1

+ 6

z-Y(

z ) =

z

+ ( z-1 ) ( 1- 3z -1 )

6

-1 1-3z

1

_

z_ 2 z - 1 z2 6z

(z

-1)(z -3)

+

z

-

3

+

.2

__

z_ + ..k.-2 z -

3

z -

3

1 z

2

z

-1

1::; z +..:...<. -2

z

-

3

Dus y(k) = -

"2

1 +

"1"

1'"

.3

k

Iie rk op , dat we niet mogen schrijven y(k) =

(

-~

+

~.

3

k)

~

(k), omdat dan gesuggereerd wordt, dat y(-1)=a.

()

1

..1.2

We vinden y

a

"2

+ 2

7

y(1)

~

+

12

22, enz.

welke wa a r d e n natuurl i jk ook rech tst reeks uit de differentie -vergelijki ng gevonden kunnen worden.

9. De beginwaarde-theorema

's

Het eer ste be g i n wa ard e theorema luid t:

x(

a )

= lim X(z ) z-~ oo Be wi j s : X( z) du s lim

X(

z

)

z'~OO lirn

{x(

a )

+

x

( 1) ;-

+

x(

2)

1

₂

+ .•.

J

z~~ Z

=

x(

a)

•

Voor be eld. In het vor ige voor b e el d vonden we 2

--i.L

Y

(z)

=

z

(z-1)

(z- 3)

+

z

-3

du s lirn

Y(

z)

= 1 + 6 =

7

= y(

a)

•

z...

...

Ee n uit b r ei di n g van di t theorema is de volgende:

00:>

Let

X

(z)

L

x

( k)z

-

k

x

'(

a) +

1

x ( 1 ) +

1

₂x(2) +

....

volgt

Z

{X(Z) _

X(O)}

=

x(1) +

~(

2)

+ • . . . dus

liD

Z

{

X( Z)

-

x(O)]

z·? ~

Voorbe eld. Uit het vorige voorbe eld volgt:

Z3 2 zy( z )

-

zy(O) = (z-1)(z -3) + ~z-3 7z z3 + 6z 3 _ _6z2

_-

_7z3 2 _21z + 28z

-"

2

3

z

-

4z +

De li mi e t hiervan voor z-;.ooi s 22

y(

1)•

Ive vinden verd e r

x(2) = limJ z2

x(z)

- z x(O)2 - zx(

1)

J

z-;, Algemeen x(k) lim [z kX (z ) - z x(k O) - zk-1x(1) - zk-2x(2)

-z~ """ - ZX(k-1)}

In de volgende paragraaf is een tabel met de me e s t voorkomenàe eigenschappen en transforma ties opgenorr.en .

3

2

10. Tabel van z-transformaties

x(k

)

X(

z)

0 0

( Ic )

-k x .. z

Ax(k

)

+

By

(k)

x(k

-1)

x(

k-2 )

x

(k+1

)

x

( k+2 )

k

x(k )

Ak

x(k )

lirn

X(

z )

z-+u.;>

S"

(

k)

[

( k-n )

é

( k)

co

s k

w

E(

k

)

s

i nk w

é(

k)

k

B c

o sk w

E..

(

k)

A

X(z) +

3Y(

z)

z

-1

X(z )

+

x

(

-

1)

z

-

2

X(z)

+

z

-1

x

(

_1

)

+

x

(

-

2 )

z

X( z )

.:.

zx(o)

z

2X( z )

-

z2 x (

O

)

-

zx

(1 )

-zdd z

x

z )

X(*

)

x

(o)

-n z z

z

-1

z

z

-

A

z-c

os W

z ";; 2:"'-""-"-"----Z -2 Z C O f W+ 1

s

in w

z

2

z

-

2

z

c

o s w

+

1

z

_-

Bc

os w

z

₂

₂

z

-

23

z c o s w+

:3

Bsi

nw

z

2

₃

2

z

-

23

z co sw..

33

11. Convolutie

We bes c h o u we n een filt er met overdrachtsfunct ie H(z) :

X(z) is de z-ge t r ans for meerde in gan g s r i j. Y(z ) is de z-getransformeerde uit gan g sri j .

H(z)

IW

X(z ) Al s X(z)

=

1, dswvz. x(k)

=

S

(k) volgt Y(z) = H(z)X(z) = H(z) du s y(k) = hek)

We noe men di t de imp u lsresDon s ie van he t filt er .

Voo r ee n will e k euri g in ga n gs-signaal X(z) is áe ui t ga n

gs-f'un ct i.e

Y(z ) H(z)X( z )

De vraa g rijst, wat áe uit ga ngsrij y(k ) is ui tge d ru k t in

hek)

en x(k).

We onderzoek en di t prob lee m aan de han d van het volgende voorbeeld.

Dat di t niet he t gewo ne proá u c t is, bl ijk t uit ~et vol -genáe voor be el d. z 2

(z

-1)

z - - + z- 1 __z_ z - 1 Hieru it volgt H(z) en X(z) 2 z 2

( z

-1)

Anderz i j d s is hek) = E (k) en x( k ) =é.(k), hetgeen als pr o.luct E.( k) oplevert . Stel H( z) = z___

z

-

1 2r volgt H(z) Ge g even het fi l ter H( z ) z ₁

z

-

~ c

De impulsresponsie is dus

We nemen nu als ingangsfunctie

1 - 1 ., -e-x(k) = "2U(k) + "2u(k-1) + '" (k-2) De z-getransfor~eerde hiervan is ( ) 1 1 -1 -2 X z ="2 +"2z + z zodat de uitgangsfunctie is

Y(z) B(z)X(z) ,hetgeen oplevert

Y(z)

- - -

11 z

-

5

2 2 1 z z -2 zodat y(k) 1;•(

~

) kE (k )

-

5

J ( k ) - 2S ( k+ 1) waar uit volgt y(O) 1₂

y(

1)

.2

4

y(2)

11 8

y(3)

_=1"611 y(4) _{= 3"2}11 enz.

In figuur 17a is de impulsresponsie van het filte r geschetst,

in figu u r 17b is de ingangsri j x(k) getekend.

De eers te ter m va n x(k) is

~

Lr(k)

en deze geeft aanleiding

tot de uitga n g sfu n c ti e Y1 (k) =

~h(k)

.

Zie figuu r 17c. De twe e d e term va n x(k) is

~

Jï( k-1 ) en die betekent de

re s po n si e

~

h( k-1 ),

dat is de éénmaal vertraagde functie

fig.17 a

x

(k )

fi;.17b

t

₁ 2 1 ,.., c:

1

4 2

J.:.

h( k)

1 ~ k 2 <:: fig.17c

Î

1

₄

1 8 1 .~ k

~

h(k- 1 )

2

1

fig.17d

t

4

1

8 - k h(k-2)

t

fig.17e 1 2

1

4

36

.u

8 1 2

i

4

₁₆

11 fig. 17f

o

1 2 ,

IL

x(O)h(O) =

t

L X (0 ) h(1) + x(1)h( 0) =

~

~X

( 0 ) h( 2 )

+ x(1) h ( 1 ) + x(2 ) h( O) =

8"

11

De laatste term van x( k ) is (k-2 ) en die geeft een tweemaal

vertraa gde uitgan gsri j h( k- 2 )w Zie figuur 17 e.

Optell en van de drie uitkomsten lever t de to ta le res po n sie

y( k ) , zie figuur 17f. De termen zi jn : y(O) x(O) h( O) ₌

_"2

1 y( 1 ) x(0)h(1 ) + x(1 ) h ( 0 ) =

i

4 y(2) x(0)h(2) + x(1)h(1) + x(2)h(0 ) _- 11₈ enz. Algemeen k y(k )

=

~

x(i)h(k-i) i=O

We noemen dit de convoluti e tus s e n de signalen x(k) en h(k)

en schrijven di t als volgt:

Uit

(44)

blij kt:

x(k)

*

h(k)

=

h(k)

*

x(k)

We onderzoeken nu de z-getransformeeràen:

00

hetgeen in d erd a a d d e z-get ran sfo rr.lee rde is van de convolutie

In fi guur 18 is nog een co n s tru c tie gegeven, waarmee het

moge l ijk is va n een convo lut ie een bepaalde te rm te vinden.

...

,

00 00 H(z)

=:>

h( k ) z- k k=O 00

In figu u r 18a is h(k ) getekend . In figuur 18b is x(k) gete k e n d .

In figuur 18c is x(k) over ee n afstand m (hier m=3) ver sc hoven.

zoda t

H(z)X(z ) =

L

h(k)z -k .

2:.

x(k)z -k

k=O k=O

h(O)x(O) +

{

h( O~X( 1 )

+ h(1)X(O) } z- 1 +

+

l

h(O)X( 2)

+ h(1)x(1) + h(2)X(O)} z-2 +

'/erm en i gvu l d ige n van figuur 18a me t figuur 18c en de termen op t el l e n, levert y(m). We vinde n hier voor m= 3:

1 1 1 1 1 11

38

t

fig. 18a

o

1 1 2 2

L

I~

3

versch uiven 1 2 2 fig. 18b 3 4

....

1 1 :2 2 fig. 18c

\

12. Lineariteit, causaliteit en tijdinvariantie

De filters, die we heb b e n beschouwd en nog zullen beschou -wen, voldoen aan de volgende eigensch ap pe n:

a. zij zijn lineai r , d.w.z. in de differentie-vergelijking zi j n de factoren constanten.

b. zij zij n causaal , d.H.Z . een in ga n g s-s i gnua l kan aan de

ui tga ng niet ve r v r oegd worden waargenomen. Vo or beeld.

Stel een fi lte r heeft de ove rdrachtsfunct ie:

I

Zo is y(k) = {X( k )

l

2 niet-lineair.

\

I

2 H(z) = z

~

1

We kunnen dit sc hrijven als H(z)

=

z + Z Z - 1

De imp ulsre s p o n s i e is dus h(k) = ;:;(k+1) +

E

(

l~)

,

het g ee n in h o udt, dat de ingangsfunctie eerder worèt

waargenomen , dan hij is ontstaan. We noemen zo' n filter niet-causaal .

De ove rd ra ch tsfunctie van een ca u s a a l filter (dat lineair is ) heeft een teller , wa a r v a n de graad ten

hoogste gel ijk is ar.n de graad va n de noemer .

c. zij zijn tijdinvariant, d.w . z . een verschoven ingangs -ri j levert een over het zelfde tijdsinter val versc hoven uitgangs r i j.

13. Stabiliteit

We bepalen de z-get ran s fo r~ e erde van x(k ) = Ake j k wE(k) Zr geldt St el Du s C .A'1.ej,w

X(z)

.

'w Deze fu nkt ie heeft een nulpun t z1

=

0 en ee n po o l P1

=

Ae J .

Nu is x(k) instabiel (gaat naar onei di g voor groter wordende

k

)

voo r

I

Ai

>

1

Di t bet e kent, àa t de po ol dan buiten de eenheid s c i rke l in het

cOQplexe vlak ligt. Zie figuur

19.

t

1

m

(z)

j fig.

19

-1 -j - - - - Re(z)

Conclusi e: l';e n diskre te funktie is st a bi el, als de pol en van

zijn z-get ran sfo r ~e erd e bin n e n de ee nheid s ci rke l

lig gen. Voorbe eld en: a. is stabi el, al s

1

;'/< 1.

b.

_

z_

z - 1 is op de ra n d van in s t abi l i t ei t. De get a lle n va n de rij blijven vo or grote k alle gelijk aan 1.

Beva t X(z ) mee r po len , die al le bin n en de eenheidsc i rk e l

liggen, d an is x( k ) stabie l. De pool , die het dichtst

bij de eenheidsc i rke l ligt, bepaal t het gedrag va n x( k ) voo r gro te k. Voorbeeld X(z) _z_ _ 1 z -

'2

+ ~ 1 z - 3 Voo r gro t e wa ar d en van k is al l e e n de eers te te rm be p al en d en dit be t r eft inderda ad de pool, die het

dicht s t bij de eenheid s c i rke l ligt.

Deze funct ie heeft twee po l e n 1

3

Het bove n s ta a n d e is ook va n toepass ing op ee:! filter met

ove r d rach tsfun c tie H(z).

Zijn de polen meervoudig dan is he t fi l ter ook ins t a bi el,

al s die polen 22 àe eenheids c irke l lig g e n ! Voorbee l d ~en filt e r heeft de ove r d r a c h ts fu n c t i e H(z ) = __z_ 2

( z

-1)

De impulsr e s p o ns i e is

welke rij onb e g r e ns d toeneemt.

De functie H(z) hee ft een tweevoudi g e pool in het punt 1. Het filter is in s tab i el.

14. Harmonische excitatie

In

j

6,

fig . 16 is de overd r ac htsfunctie van een fil t er in g evo erd:

H

( z)

= y(z) X(z)

.till

I~) '1'(z) en ;;(z ) zij n po lyn onen in z,

Voorbeeld: y(k) dus Y(z)

x(k)

-

x(k

-1)

X(z) - z-1X(z) dus

~(z)

=

YtZ~

z__

X

z - z-1 X(z)

=

',.fe kunnen alleen van een ovoi-d r-achtsf' u n ct i.e spreken, als de beginvoorwaa rden nul zijn.

Voorbeeld:

y(k) x(k) x(k-1) [;let

_x(

_-1)

₃ dus Y(z) X(z) _ z-1X( z)

-

₃

Y(z) (1_z-1)x(z)

-

3,

zodat ~(z) niet als het ~uot iën t va n twee polynor:ren geschreven

kan wo r d e n.

'.-Ie ner~e:l in deze paragraaf aan , dat de beginvoorwaarden nul zijn.

~/e beschouwen nu een digitaal filte r met als ingangsfunctie

De z-ee tr an s f o rme erd ~ hie rvan is

__

z

_

z_ej w

Als de ove rd ra chtsf unct ie van het filter H(z) is, is de

uitgangs func t ie i':et H(z ) Y(z)

1itl

_{ii(z) ont s t a at} Y( z) H(z)X(z)

zT

(z)

Na breuks plit se n on t st aat Y(z) = z +

wa arin 3 ge en func ti e va n z is, gelet op de noemer.

B T(e j w) ;;( ej W)

(5

0)

net

Y

(z) _z

ff;t

_..( ov .. z en Yst(z) ~ z_ej w Ui t de laatste volgt

Yst(k) B.ejwkE;(k)

dus

Yst(k) = H(ejW)ejwk

é

(k)

',i e schrijven

Y(z) y_ov(z) + Y_st(z)

(55)

Yst(k) bevat alleen de frequentie van het in g nngs signaal , zodat dit de statior.aire toestand is.

Laa r u i t volGt, dat Y_ov

(

k)

,

die ook andere frequenties kan bevatten, het overgangsverschijnsel is.

Voorbe eld

Gegeven het filter met overdr~chtsfunct ie H(z) j!!.k

Het ingangss ignaa l is x( k ) = e

2

t

(k)

z

1 1

(z

- -

)( z-

-

)

2

3

Gevraagd het overgangsve rsch ijnsel en de stationaire toe stand. Oplossing. x(k) = /

E

( k )

X(z) = _z_,

z - J

:Ju s Y(z) H(z)x(z)

=

z

1,2( 1+2 j) -r: +

Y(z

)

=

z

(

,

....

z _

.1.

~ + 3 ₁ z -

3

-O ,6( 1+ 3 j) n _ 'J_ ) Z - j C = -0,

6

(

1+,j ) Ju s y(k) =

1

,2(1+

2j)

.(~

)k

- O,E ( 1+) j).(-}):'< - O, 6( 1+ j) jk

E.

(

;'; )

"

Het overgangsverschijnsel is

~e stationa ire toestand is

en bevat de frequentie van het in g a n g s s i gnaa l.

wi Ll e n we alle e n de stationaire toestand weten, dan behoe ven we slechts H(ej W) te bepalen op 6T o nd van (55).

-O,6 (1+ j ) ,n H(e J

2" )

= H(j)

---.i-

1 . 1 . 1

J

-"2

J

- }

j'st(k) = H(ejW)ejwké(k) -O,6( 1+ j )/ (:;.( k). dus

De ampli tude van di t signaal is

IHI

= 0,6

(2

.

cos~k

é

(k )

dan is uit het reële

Is de ingnngsfunctie u(k)

.11.

deel van x(k) = e J

2"K

t.

(k)

Het uitgangss ignaa l w(k) is het reële deel v~n y( k): Het ove rgangs ve rsc hijn~el is

wov ( ;·d =

l

1,

2. (~) k

-

O

,6 .(~)k] E(k) .

De stationai re toestand is

ws t ( k ) = ?e[ -O, 6 ( 1+ j )

i

COS~k

+ jSin%11 ]

é.

(k )

dus

We kun nen de sta t i o na i re toe s tan d voor de overdrach ts func ti e b e s choui..en voor alle fre q ue n t ie s tus s e n 0 er; H ra a/b l:I:1. tijd.

"

... e noerae n

1

.

"(

: ejW)

I

de a;:I-;)1"J.tuae1<ara'1 kter J.st::.e. . .,~, snectrum of kort we g snectrum . We ste l le n du s

z = ej w In ons voor b e e ld vin de n we: :!(ej W) jw jw e e , jw _{l )( e}j w_{_}

₁

₎

e 2 jw_ r; jw 1

le

-

t

e

+

_"6

2 3 cos 2w + jsin2w - tcosw - tjSinW +

i

zodat he t ar.101 it.ud e -Hie r u i t

(cos2w - tcosw +

i

)2

+ (s i n2 w - t sinw ) 2 volgt 18 31 + bc o s2 w - jcos w - 30co s2 wc o s w - 30s i n2 ws i n w ~ie ru i t volgt w

°

1

:11

3 w .!!.

I

_:~

_I

3

-/2

2

5

I

:!1 1 w rt 2

Het spectru m wordt du s volGens figuur 20 .

3

fig. 20 1

2"

- -_ _

°

,

5

n _~ w

15. Filterrealisaties

Ee n filter ka n in het alge meen doo r middel van de in

.§

2 gege ve n bewe rkin(;see!1hed en ver o e ni gvul d i g e n, optel len en ver t ragen op verschi l l e n d e manie ren wo r d e n gerea l isee rd.

2en bloksc hema rnet het kle i n s t moge l ijke aantal vertr agf.ngs

-elenente n noemt men een can onieke re ali s a ti e.

lli t kle i ns t e aantal is de orde va n het :' i lter en is tevens de orde va n de dif fe r e n t ie ve rg e l i j k i n g van ingan gs- en

ui tga ngsi'u nctie.

~e nemen als voorbe eld

y(k)

';x(k)

+ 12y(k-1)

~ie schr i j ve n hierv oor

4 {X( k ) + 3Y(k-1) }

·..ie vez-k ri jgen zo het bLoics chema volgen s figuu r 21a.

a)

fi

e-

21

Y(z)

In het z-geb ied onts taat:

Y

=

4X

'

+

12 z-1

Y

dus

~(

1 - 1

2

z

-

1)

=

4

X,

wa a r me e ontstaa t E Y X

4

-1 - 12 z

I

De~edeeldoverdr ach ts fu n c ti e ido o r 6~n min desrde reond - gaan dec h td oorgnn ndever 3 ~ erki n gvers~ c. r~ing

::et ri l ter b Lck schc ra a i:l net z-f;eb ie d is in lïbll u r 21b

Al s twe ede voorbe el d nemen we een twe e d e orà e diffe rent ie

-verge lijkin g :

y

( k)

3x(k)

-

2y(k

-1)

+

3y(k

-

2)

~en canoniek e re ali s a t i e zal dus twee vertragingsel ewenten

bevatten. In figuu r ~2 is de zoge n a a md e eers:e cêTIonieke

realisatie geteken d .

iïg.

2

2

Je z-ge transformeerd e ver gel i j king is

y

y

_3X

_-

₂

_z

-1

_Y

₊

_3z

-2

_Y

Di t is ook als volgt te sch rijven :

Ja t levert de twe e de cano ni eke reali s a ti e. Zie fi gu u r

23

3

}--

--J

fig.

23

Dez e bevat één op t ell er meer da n de vor:ge.

Nog ee n an d e r e re al i sati e is de cascade realisatie.

In ons vo orbe eld hebben we

( - 1

-

2

)

Y 1 + 2z - 3z

3

X

dus 11 Y X

3

z2 + 2z -

3

3

.

__z_

z

-

1 __z_ z + 3

3

.

_{-1 • - 1} 1 - z 1 + 3z hetgeen figuur 24 op l e v e r t

~r--.~

...

_--,

fig.24

Te n s l ot t e noemen we de parallel-realisatie .

Het voorbe eld levert op na breuksplitsen:

du s H z(

0

, 7

5

z

-

1 + 2,25

z

+

3

H

0

, 7

5

_-1

-

z

+ 2,25 -1 - 3z Zie figuur 25. fig. 25 x _{l - -... y}

49

In de vorige voorb eelden besto nd de teller van H(z ) ui t slechts één term. He e f t de teller me e r terme n, dan is het vinden van de eer s t e canoniek e realisatie iets la s tiger. Voorbe eld.

H(z) 4z + S

(z - 1)(z - 2 )

De cano ni eke realisatie mag dus slechts twee vertragings -ele le n t en be va t t e n . \ve schri jven Beschouw eerst H(z) -1 -2 4z +

Sz

- 1 -2 1 - 3z + 2z Du s ofwel

Dit levert het blokschema op van figuur 26.

x

fig. 26

We vi n d e n verd e r y _4z-1 -2

+

5z

1- 1 _2X , waar ui t het to tale blokschema vol gt , 1 - 3z + 2z

l----t~... Y

x

fig . 27

16. Toestandsvergelijkingen

Een ver t r a gi n g s- el e me n t kan worden opgevat al s een geh euge n. Het moet gedurende de bemonsteringstijd de aangebo den

functiewa a rd e ontho uden .

De uitga ngsfu n c t i es van de vert r agi n gs el e men t e n geven we

aan met · x,(k), x 2(k),

x_{,( k+' ), x 2(k+')}, ••

, zodat de ingangsfu ncties zijn De to e s t a n ds v e c t or wo rd t ge v o r md do o r de in ga n g s f un c t i e s

va n al le n vertrag in g s -e l e men t e n :

x

(

k )

n

De ord e va n het filte r is n.

De n-de orde diffe ren tie - ve rgel ijk ing van dit filter kan gesc hre ven word e n als n eer st e ord e different ie -vergelij -kin gen:

IJ

Q

~(k+1)

=

J1~

( k )

+

~

~( k )

Hierin is ~( k ) de vect o r met al le ingangsfunct ies.

Verder is de ui t ga n gs fu n c ti e

y(k) =

C

~(k)

+

~

~(k)

We noemen di t de toestandsvergeli jkingen .

De op l o s si n g in he t z-geb i e d verlo o p t als volgt:

De z-getr a n s for me erde to e s t a n d s v er g eli j ki:. gen zij n:

z

X

(

z) -

z

~(

0) =

.

:9

x

(

z)

/

6

u

.

z )

~

(

z )

=CX(z)

+~

Il(z ) Hier in is

(58

a)

(58

b)

(

59a

)

(

59b )

X

(

z )

x

(z)

n

te rwij l [[ e z ) en

~

(z) in het algemeen ook ve ctor e n zij n.

Vo o r bee ld Zie figuur 28.

U(

k)

3

1--- - - -.,

y(k) '- - - - - - --l-2 1 - > - - - 1 ' - - - 1

3

> - - - - -

...J fig. 28

'J e vind e n dus x₁(k+ 1) 3y(k) 3

{

3

u( k ) + X 2 ( k )} x₂( k+1 ) x₁(k ) - 2y(k) = x₁(k) - 2

f

3u(k) + + X

_2(k)

)

x₁₍k+1 ) = 3x2(k) +

9

u(k) x 2(k+1 ) = x1(k) - 2x2(k) - 6u(k) In matr i x vorm:

De uitgangs verge lijki ng is

Ne t z-tran s f o rm a t i e vinden we, al s u( k) =

J

(k): dus vo lgt

[

:

:

]

Verder is 2 z + 2z - 3 Invull e n levert op

53 y z2 + 2z -

3

Na enig reke n we r k vinden we z

z

+

3

0,75 _ _z_ + 2,25

--=--z

-

1 y zodat

We kunnen de toestandsverge lijkingen geb ruiken om de

beginwaarden voor wille~eurige k te vinden , als ze op k

=

0 geeeven zijn.

Uit (58a) volgt

(60a)

Hiermee zijn alle waarden in de vector ~ op k = 1

bekend, waarna we de waaràen op k = 2 kunnen bepalen met

(60b )

enz.

Is daare ntegen ~(1) ge g e v e n, dan volgt ~(O) eveneens uit (5 0 c) do or het stel sel ve r ge l i jk inge n op te lossen.

St e ll e n we 13.Jd ( 0 ) = Q , da n is

JJ

-1

~( O) =Jf ~(1) ,

waarin de ma t ri x ..

~

nie t-si

n

gulier

moet zijn. Voorbeeld

Stel _{x 1}(0) = 5 en x

Stel nu anders om gege ven x(1) ; -18 en x₂( 1 ) 26, ëan vo l g e n A

1

( O)

en x

2

(

O)

uit

f

1(0

)

1;

f

2 4

J-

1

r=

1

8

];

[

5

J-~

2 (0)

1

l2

-

3

L

26

7

l,o/e gaan nu na, of He de karak t e r i s t ieke vergel ijking ui t de overd r ac ht sfunc ti e kunne n bepal en. '.Ie nemen daarb ij

aan, da t het filter éé n in gang en éé n uitgang heeft.

De z-g e tr ansform e erd e toestandsvergelij kin g en zijn

eX

+ DU Dus ofwel DU zod at H(z)

(

6

1)

Deze uitdrukki n g he e ft een noeme r p o l yn o oD

die voor z ;

À

en nu lge s teld juist de karakte ri s t ie k e vergelijking

(

50r

)

opl evert .

Ande rz ijüs is

zod at

H T

mi ts T(z ) en H( z ) geen gemeen s ch appe li jke fac t o re n beva t t e n.

De conclusie is, dat al s er in H(z) geen polen samen v a l l e n

nst nuLpun ten

I

,

r(

A

)

o

(62)

de karak t e r i s t ie ke ver ~elij king is.

Voorbeeld 1.

Stel

iJ

=

p

;

0

J

G

-

3

dan is de ka ra k te r i s

-tieke vergel ijking

À

-2

-1

°

Het filter is v&n de twe ede orde.

Voorbeeld 2.

i/e kiezen de z e l f d e ma trix als in voorbe eld 1•

Verder ,...-, =

[

~

]

C

[1 1J kiezen we

1:>

D 0 dan is volgens (51): H z + 1

(z

-

2)(z

+ 3)

De nu lges te lde noemer geeft (voor z =

À

)

de karakte

-ri s ti e k e vergelijking , omd a t in deze vorm van H geen

polen samenvallen met nulpunten .

Voorbeeld

3

.

We kiezen weer dezelf de matrix

voorbeelden.

Verder kiezen we

(z+3)(z - 2 )

~

-

[

,:]

We vi n u e n nu

c

H

0)

z +

3

D

o

In de functie H(z) val t er nu een nulpunt (~icr z1

-

3)

sa~en met een pool (P1

=

-

3).

Zr res u l t eert

H

z - 2

zod a t de ju i s t e karak te ritieke ver gelij ki n g van het systeem niet volgt het het nuls te l len va n de noemer.

17. Vrije trillingen

Zijn alle in g a n g s f u n cti e s van een filter nu l , dan kun nen de uit g a n gs f u n c ti e s van nul ver schill en tenge vo lge van de gehe ugen - inhoud van de ver t r a gi n g sele ment e n.

het name de uitgangs f u n c t ie s van de ve r t ragings e l eme n t e n

~(k ) he bb e n een van nul verschillende waarde.

We nemen als voorbe e ld eerst een filt er met één ge heugen-ele men t (du s een eer st e orde filter).

De diff e rent ie -ve rge l i jki n g is van de erste orde:

x

( k+ 1)

=

3

x( k )

Stel dan is du s ofwel ~/e noe men

,\-

3 = 0

de kara kteritieke verBelij king en

=

3

is de wort el, di e aanleiding geeft tot een vrije trilling van de vorm

k

x(

k ) = 3

Stel nu we hebben twee simultane dif f ere ntie-ver geli j ki n g en

(het betreft nu dus een twe e de orde fi lte r):

\;fe ste l len :

I

X

₁

p,

k

IX21Ak

dus

Uitgesc hreven:

Ix 1

1

~

k+ 1

I

X

₂

1

À

k+1 Dus A11 1x11Ak + _A121x

d

A

k A₂

d

X1!>,k + A_{2 2}

1

X21Ak

À

I

X

11 = A₁₁

I

X11 + A₁₂

1

x

d

,\ lxd = A21 1x 11 + A_{2 2}1X21

(

A-

A₁₁

)

/

x

d-

A_{1 2} /X₂

1

= 0 -A_{2 1}

I

X 1

1+

(À-

A22 )

I

x

2/ = 0 zoda t

of korter

Di t ste ls e l heeft een opl ossing , als

det(X

1-..

4

)

= 0

(63a)

(63b)

Deze fo rm u le is oo k geldig voor hogere orde digita Le filte rs .

He nocmen ( 63b) de karakteristieke ver-g e Lajking , vaar-van de wortels

I\, ,

>"

2'

'\3' . . • aanleiding geven tot vri je trillingen van de vorm

Deze tr i l l ingen tr ed en op in elk punt van het blok -schema va n het filter , dus ook aan de uitgang(en) e~ aan de uitgangen van de vertragings -elementen . De constanten C₁' C₂, C

3, enz . zijn daarbij natuurlijk nie t dez e lfde . Voor somraige pu n t en kunnen bepaalde consta t nten C_n nu l zijn.

Voo r b ee l d

De karak te ris ti eke ver gelij king van het filte r van het vorige voor b e el d is

À -

2 -1

-

4\

- 0

A

+

3 -. 2 \

De vr,ije trillingen hebben dus ue vorm

18. Polen en nulpunten

De algeoe ne vor mvan de overdrac htsfun c t i e van een

filter is

H(z)

b zP + b zp-1 +

p p-1

waarin alle a en b con stant zijn en waa rin p n, ge l e t

op ca usa l i t e i t .

Zijn de n nulpunt en z1' z2' • . zn en de p po l e n P1' P2'

• • Pp bepaald, dan ku nne n we (65) schr ijven al s

(66)

(z-z:;) (z-o_- ) ~) (Z-Z 1)(z-z2 ) • (z-P 1 )(z-P 2 ) • H( z)= K _~_ _..ó:..- :..:..-waarin K a n b p een co n st a n t e Voor is.

dat is een punt op de eenheid s c i rke l in het comple xe

vlak krijgen we H(ej W) (ej W-z₁)(ej W-z 2)

.

(68) K (ej W-P1)(ej W-P2)

In figuur 29 is een situatie geschetst, waarbij H(z)

één po o l en éé n nu l p u n t he eft.

Verd er is het punt ej w1 gete k e nd (dat lig t op de ee n

-heidscirkel).

De wijzer van

wijz er van P1

z1 naar ej W1ge ven He aan met

na a r

e.:iW1

noemen we A

p

60

Alle factoren in het rechterlid van (6 8 ) zijn wijzers van àe nulpunten naar het punt ej wl , alle factoren in

~w

de noemer zijn wijz ers van de po l e n naar eV

1.

Lmz

t

-1

fig.

29

We vinden zodoende voor de morlulus:

jw

I

e 1-P2

w

=o

~R e z

Merk op, dat we de constante K niet ui t het pol e n -nulpunt terugvinden!

Op een dergelijke wijze kunnen we het totale ar gu me n t vinden ui t de afzonderlijke argumenten van de verschil -le n d e wijzers: arg H = arg (ej W1-z 1) + arg(e j w 1-z 2) + • • • + -arg(ejW1-P1) - arg(ej w1-p2) - (70)

We kunnen de beide gevonden for~ules als volgt ko r t opschr ij ven:

waarin

rr

staat voor product.

waarin ;> staat voor som.

Ter illustratie nemen we het voorbe~ld van 14:

H(z) z

1

_{_}

₁₎

(z - - ) (z

2

₃

Nu l pu n t z1

0,

polen P1 =

1

₂ P2

"3.

1 Zie figuur

3

0 .

rmz

61

Rez

w=n

fig.

30

We laten w vari êren va n 0 to t n over de halve eenhe i d s

-cirkel. Ui t voe r i ng va n de productregel

(71

)

levert

I

H

l

op als functie va n w, zie figuur

31

.

fig.

3

1

Voor

w

=o

is

I

H

l

= ₂ 1

3

3

.

2 Voor

w=n

is

_IH

_I=

1

1

J.

.:i

2 2

.

3

1

2 n

Toepassing van de somyegel (72) le vert op arg H als functie van w, îig.32 . argli

t

.~ w îig. 32

19

.

Complexe resonantie

We bèschouwen een fi lte r met de ov erà r a c h t s f un c ti e E(z).

Als de ingangsfunctie U(z) is, is àe uitgangsfunctie :

Y(z) H(z)U(z)

Nu bès taan H( z ) en U( z) in het alg eme e n uit een teller

-en een noemer-polynoom :

H(z)

t+B

1'1 Z

u(

z) T

_u

(

z ) li U(z) du s

Het polen-n u lp unten-be el d van Y(z ) is dus de som van de po len-nu lpunte n-beel de n van H(z) en U(z).

E

r

kunn en zich nu si t uat ies voordoe n, wa a rbi j

a. polen van U(z) same nval le n me t po le n van H(z },

b. pole n va n U(z) sa me n val le n met nu lpunten van

H

(

z ) • We noeme n het optred en van éé n of me er van deze si t uat ie s compl exe r~ so nanti e.

We zu ll en van beide sit u ati es ee~ voorb e el d geven. Voor be eld a. Stel

H(z) = _ z -1

z

-2 en U(z) \-Ie vinden

Y(z)

Voor dez e ui t dru kkin g schr-äj ven we 2z z

1 2 1 1 1 (z

-

-;;-)

è Z

-2 + 2 1 2

--2L-2z ( _{1 2)} z 2z = + + (z

-

.1.

₂

)

2

z

-

1₂

( z

-

_2")

z

-

₂1 (z

-

.1.

\

2

2' z z z -z -1

~

(~lé. ( k )

:2 1 Ó z - 2 - z en ook -ziJz ~--1- = -z (z _

.1.

) 2

2 2 ilu geldt

Kenm~rkend is het optreàen van de factor K in de responsie.

Voorbeeld b. Stel H(z) = __z__{1 •}

z

-

2"

_ z_ 1

z

-

"3

U(z) Dus

Y

(z)

z 1

z

- -

₂ dus

y(

k)

De .Y.2l:E!. van de vrije tri l l ingen wordt gekarakter iseerd door de nulgestelde rioemer van H(À):

o

du s \

.1.

₂₎

A

_:2 1

3

De vor:n is dus

\'Ie zien, dat de gevo n è en ui tgangsfunctie de vrije t r i l l ing

Het is zelfs mogelijk door een goede keuze van het

in-gangssignaal alle vrije trillingen van het systeem te

onderdrukk en!

2 z en U(z) 2 H(z) = 1 z 1

(

z

-

"2)(z

-

"3)

dan is '1(z) = 1 en dus y(k) = d ( k )

Voorbe eld c.

Stel

en de uitgan gs functie bevat geen enkele vrije trilling

van het filter.

20. Residu-bepaling

We beschouwen ee r s t ee n overdrachtsfunctie met enkel

-voudige ~:

H(z)

• (z. -z )

n

_(a)

Ont wikke l e n in breuken lever t op:

A

1 A2 A

H(z) + + p (b)

z

-

_P1 z

-

_{P 2} z _{- Pp}

waarin alle tellers constanten zijn .

Deze tellers heten residuen . Zo is A

1 het residu, behorend

bij de po ol P1 ' A

2 is het residu bij de pool P2 enz.

Vermenigvu ld igen we (b) met z - P

1 ' dan ontstaat: z

-

_P1 z

-

_P1 (z - P 1 ) H(z ) A 1 + A2 +

. .

.

+ z

-

_{P 2} z

-

_Pp Vulle n we nu in z _{P 1 '} dan vo l g t voor z

(c

)

Dit houd t in het we gsc hra ppe n van z - P1 uit de noeme r

va n (a) en in de rest het substitu ere n van z =

P

1

:

(P1

-

z1

)(P1

-

z)

(P1

-

zn)

A1

=

(

d )

(P1

-

P

2 )

• • •

_{(P 1}

-

pp)

Dit staat bekend als het theor ema van Heaviside . en analoge formules voor A

2, A3, enz. Voorbeeld 1. 65 H(z) 4z - 7 2 z -3z+ 2 De polen zijn P1 = 1 en P 2 = 2 Dus H( )z = 7"(-'z_:L.::4z₁,",,")-r(-z--2"""') \<Ie stellen 4z - 7 (z-1)(z-2)

...A-

z-1 + zB-2

Om

A

te bepalen , schrappen we de fa c t or (z-1) ui t de noemer van het liny. erlid en vullen da a r na z=1 in:

A

-~

_{- -1} -_- 3 Op analoge manier vinden we

B

:

B

=

4

.

2

-

7

=

1

1 Het resultaat is

I1(z)

-L

+ z-1 1 z-2

Ook functies met complexe polen kunnen op deze manier

behandeld worden.

Het is echter va a k ver standige r de kwauratis che vor~en niet te splitsen om een terugt ransformatie zonder

complexe e-machten te verkrijgen.

Voorbe eld 2.

H(z)

2

9z - z + 20

Er is een pool P1 = 2. Uitdelen levert op H(z) 2

9

2

-

z + 20 2 (z-2)(z +2z+10 ) Oe d at de bei de an d e r e po l en compl ex zijn, ste l l e n we gz2 _ z + 20 < 2 (z-2 )( z +2z+10) A

z

-

2 + Ez + C z2 + 2z + 10

~e be p alen

A

op de hier bov en oms c hr eve n wijze en vinden

A=:3

Door sel i jkstelling vinden we B en C:

9z2 _ z + 20

=

3z2 + 6z + 30 + Bz2 + Cz - 2Bz - 2C voor al le z

We noemen dll een id e nt i t eit.

Er volgt Hie ru i t volgt Er re s ul t e er t

{

-

20

~

B

3

+

B

6

+

C

-

2B 30 - 2C

6

en C

=

5

H(z) =

-l-

+ 6z +

5

z-2 z2 + 2z + 10 (De terugtransformatie van de tweede term verloopt

via 6z + 5 2)' (z+ 1)2 + ₃

Heeft de functie samenvallende polen, dan kan de split -sing via ge l i j k s t e l l i n g verkr~gen woràen of via een (hogere ) afgel eide.

He behandelen hier alleen een functi e met een t\Vee -voudige pool.

Voorbeeld 3. llethode 1. ',ve s teLle n

:-:(z)

2 2z - 5z + 3 (_{z - "2}1)(_z _

1)2

₃

z

-2 2z - 5z +

3

(_{z - "2}1)(_z

1

₃

) 2

_ 1\_"_ + 1 2

We vi n d e n - de gebr uike li jke wlJze A

=

36.

1 2 2

Verde r is, ge le t op de noemer (z - 2)(z - 3z

2 2 2 1 1 2z - 5z + 3 = 36z - 24z + 4 + Bz - "2Bz + Cz - 2C voor al le z Hie r u i t volgt { 2

-

5

3

36 + B 1 -24 - "2B + C

4

-

1

₂C Er vol gt B = -3 4 en C 2. Du s H(z) =

-2.L

+ - 34z + 2

_

1

)

2 1 (z z

_-

_"2

3 Ne th ode 2. \ve ste l len _A_ 1

z

-

2

D

Z

+ - - -1 + - -1 2 z - - (z - - )

3

3

Op de geb r u ike l i jke manier be palen we A. ~e vinden ~ 36

'tie vinden E Verd er ge l d t We vind e n 1 ) 2••(

~

-

3

11

z

11

z

-l

-3

E D