]D SRPRFą LWHUDFML SRGSU]HVWU]HQL

(1)

  : DUV]DZ D

: \]QDF]DQLH ZDUWRĞFL ZáDVQ\FK L ZHNWRUyZ ZáDVQ\FK

]D SRPRFą LWHUDFML SRGSU]HVWU]HQL

3UDFD ZSá\QĊáD GR 5 HGDNFML 

:352:$'=(1,(

1LHFK$R]QDF]D]ZDUW\RSHUDWRUOLQLRZ\G]LDáDMąF\Z]HVSROR

QHM SU]HVWU]HQL%DQDFKD; $H /&; 0]DĞVNRĔF]HQLHZ\

PLDURZąSRGSU]HVWU]HĔSU]HVWU]HQL; %ĊG]LHP\EDGDü ]DFKRZDQLH

VLĊ FLąJXSRGSU]HVWU]HQL$Q0LZLGPRSHUDWRUyZ3Q$O$Q0 JG]LH

3Q /&

ȋȌ

MHVWU]XWHPWDNLP ĪH3Q; $Q0 3RGDP\ZDUXQNL]D

SHZQLDMąFH ]ELHĪQRĞüZDUWRĞFL LSRGSU]HVWU]HQLZáDVQ\FKW\FK

RSHUDWRUyZGRRGSRZLHGQLFKHOHPHQWyZZáDVQ\FKRSHUDWRUD$ :

SUDFDFK >@ >W /͠@ª NWyUHVLĊ GRW\FKF]DVXND]Dá\QDWHQWH

PDW ]DNáDGDVLĊ ĪHRSHUDWRU$ MHVWGLDJRQDOL]RZDOQ\ *áyZQ\P

FHOHPWHM SUDF\MHVWZ\ND]DQLH ĪH]DáRĪHQLH WR MHVW ]EĊGQH

1LHFK< =R]QDF]DMąSRGSU]HVWU]HQLHSU]HVWU]HQL-; G[< LQIAOO[\,,͝ \( \`GOD[ ü; MHVWRGOHJáRĞFLą[RGSRG

SU]HVWU]HQL< -;=< VXS-G[< [͞ = [A ` PLHU]\

RGGDOHQLH=RG< 6=< PD[A&=M<<= MHVW ]DĞ RG

OHJáRĞFLą´PLĊG]\SRGSU]HVWU]HQLDPL= L<

/(0$7 3U]\SXĞüP\ ĪH$ MHVWRJUDQLF]RQ\PRSHUDWRUHPOL

QLRZ\PG]LDáDMąF\PZ;$H /; 0F[]DĞPZ\PLD

URZąSRGSU]HVWU]HQLą :WHG\

A3UREOHP05

> ͙ ͘ ͝

(2)

(i) ą, = Mjk) tf {x € X; IIx - ynll -► O, gdzie yn t

£AnM},

jest podprzestrzenią niezmienniczą dla operatora A,

(ii) dim < dim M, (iii) <T (m , A V > — 0 ,

(iv) jeśli dim m, to D o w ó d , (i) Jeśli x e , taki, że Anxn — - x. Wtedy AnxJl_1 = Ax e M^, Dowodzi to, że jest czą operatora A.

(Li) Przypuśćmy, że istnieją liniowo niezależno wektory Xq, ^,...,³^ € M ^ . Istnieją wtedy ciągłe funkcjonały liniowe fQ, takie, że f^.. - (i* 3 ■ 1.... »)•

Możemy również znaleźć liczbę naturalną n i wektory yQ,y^»...

...,ym (- AnM takie, że I^U-j - Y^)\ <■ 2(m+l) ( 3 = 0 , 1 ,m).

Ponieważ dim A^M ^ dim M, wiąc istnieją liczby ot. takie, żeJ m

ot .y. = O i max | ot. | = 1j nie tracąc ogólności możemy przy 3 3 3 0

jąć, że otQ = 1. Wtedy

1 = V o = fo<xo-yo) + fo ( Z ś m+1 1

^ / Io6. | fn (x.-y .)< — -- = — .

^ 3 O 3 3 ² (m+1) 2

Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy (ii).

(iii) Niech x^ jXg,.. • jX^. będzie bazą M, f^,...,fk zaś-

<T(M, AnM)~^ O.

to istnieje ciąg c M A(An“1xn-1) -•* Ax, a więc podprzestrzenią niezmienni-

(3)

układem funkcjonałów biortonormalnych, tzn. f = ^ij*

ją ciągi {y. (j=1,...,k) takie, że y. ► x., y. € A1^.

"* n=1 n "

k

Każdy wektor x e M ma przedstawienie x = x^f ..x, a stąd 1

k k

d * 1* - £ <*3 " yj.JV

1 1

^ IIx II max ||x. - y. II•IIT -II, 1^ j$k J*Ił J

Z tej nierówności i definicji ${•,•) wynika teza (iii).

Ostatnia część tezy wynika z (iii) i nierówności (1) <? (Z,Y) < & (Z,Y)/(1 - 5(Z,Y))

prawdziwej dla dowolnych podprzestrzeni Y, Z tego samego skoń- czonego wymiaru ([4]f lemat 213).

OPERATOR Z JEDNOPUNKTOWYM WIDMEM

W tej części będziemy zakładać, że X jest przestrzenią skoń- czenie wymiarową, A € L(X) i {1} = er(A) (= widmo operatora A).

Wynika stąd, że operator A-I jest nilpotentem, czyli istnieje liczba s ss dim X taka, że (l-A)s+1 = 0. Operator A ma loga-

Zs *1 *

— (i - A)3. Nietrudno 3=1 d

sprawdzić, że Ns - 0 i = A, Ma3ąc daną podprzestrzeń M C X i wektory c M takie, że x. = 0 dla j > 2s, tworzymy ciąg

✓ " 0 ^

wektorow

( z ) y „ = n "3Z>S

2s₀

(4)

i będziemy badać zbieżność ciągu

- Ż * = £

Z

■" Ź i f v i

j=o ^{J '} ^{p = o} j=o

Wykażemy (tw.1), że skończone granice takich ciągów tworzą Mo*(A) o wymiarze równym wymiarowi przestrzeni M.

LEMAT 2. Jeśli ^a.£°° c X, to poniższe warunki są równo- ważne

1+r

W H T T al+r-j = 0 dla r=1,2,...,k, j=o D-

/,, n drfi _ v'

(ii) cr = a1+r - — — 2 ,

( r ” 1 ) ! i l o i ! ^ i + r ) 1 - 1

a, . = 0

dla r — 1,2,...,k.

D o w ó d . Przekształcamy prawą stronę równości (i) tak, aby otrzymać wyrażenie zależne tylko od wektorów c^,...,c , aQ»••°»a^•

1+r -i r -n ^a 1 j

Z UD y' Nr”^ y Nr+1

^ a i + r _ 3 = U ^ 8 1 + 3 + t o ^ a i _ i

y f y

( r - j ) l 3 (r -3) ! C i-1) ! i ! ( i + j ) Hr+1 \ v' Ifr-3

(r+i) t) “l-i = A (r_3) , °3 +

N1-"3 V / V N1'-3 (-N)3 > I > -- V N1 +

(5)

\i=0 ■-•V- •/. /• j=0

Zauważmy, że

= f ^ 2 ^ , f r *1) ( " t )'5dt = / ■fcl (1- t ) r “ 1 d t =

O j=0 ' ^ ' O

= i!(r-1) ! (i+r)!

Stąd i z poprzedniej równości wynika, że

1+r i Z gJ r-1 N 3_ . -JT al+r-j = cr + Z , 7 ~ ) T V

j=0 J- j=1 ^-3''

Jest teraz oczywiste, że (ll) => (i), natomiast Implikacja od- wrotna wynika z powyższego wzoru przez prostą indukcję wzglę- dem r.

Niech V = {(a0,a.,,... ,a2g); a^ 6 M, 0 ^ i < 2 s ] . Wzory

^(a0*a1* * * * *a2s^ = ^a1*a2* * * * *a2s*a0^’

W

Tr (ao> ai »• • • »a2s^ = 2 L "TT as+r-j = j=0 ^'

określają operatory liniowe S e L(V), Tr e L(V,X), przy czym T = T iS. r r-1

(6)

s

LEMAT 3. dim TQ / p ker T A = dim M.

\ 3=1 /

D o w ó d . Ponieważ X jest przestrzenią skończenie wymiaro- wą, więc

s s s

(5) dim T0 / P) ker T A = dim P ker T ^ - dim P ker T...

\0=1 / j=1 j=0

S jest operatorem odwracalnym, zatem ker T. = ker T.-1S =J J '

= S ker T . .. , i w konsekwencji-1 J '

s s—1 s—1

(6) dim P) ker T^ = dim P ker T^. = dim P ker T...

j=1 j=0 j=0

Stosując lemat 2 z 1 = s-1, k = s+1, możemy zauważyć, że s

v = (aQ,a1,...,a2s) e O ker T^ wtedy i tylko wtedy, gdy s-1 ó=o

v e P ker Tj i a2g = 0, gdyż Ns+"* = 0. Nietrudno też zsuwa-

j ą s-1

żyć, że jeśli (aQ,... ,a2g') e P ker T.., b £ M, to (aQ,a.j,...

s-1 j=0

•••>a2s-1»a2s+b) ^ ^ ker Tj* Z PowYższeg° rozumowania wynika,

s-1 D=0 s

że dim P| ker T^ = dim Pl ker T.. + dim M, skąd oraz z (5) i

j=0 j=0

(6) wynika teza lematu.

Zachowując oznaczenie (A) z lematu 1, wykażemy następują- ce twierdzenie.

(7)

TWIERDZENIE 1, Jeśli M jest podprzestrzenią skończenie wymiarowej przestrzeni Banacha X, A £ L(X) i fi'(A) = {1}, to

s

(i) Me, (A) = TQ O ker T.., dim M,^ (a) = dim M, (ii) istnieje stała dodatnia c taka, żej=1

<?(M^(A), AnM) < c/n, n = 1,2,...

s

D o w ó d . Dla v = (x q,x.j ,... ,x2g) 6 O ker T^ określamy j=1

yn wzorem (2). Wtedy z (3) i (4) wynika, że Anyn = TqV +

S ~ 1 P NJ

+ n"s np -jy xp_j» zatem llAnyn - Tq vII — ■* 0. Wykazaliś-

P=0 j=0 ' n

więc, że Tn [ O ker T . ] C M (A). Stąd oraz z lematów 1 i my oc j.q i i . a.^

3 wynika, że dim M = dim Tq ( ker T.. j < dim (A) ^ dim M.

\j=1 )

Nierówność ta jest więc równością, a poprzedzająca ją inkluzja - tożsamością, dowodzi to tezy (i) twierdzenia.

Korzystając z ograniczoności ciągu nllAnyn - Tq vII i postę- pując podobnie jak w dowodzie tezy (iii) lematu 1, możemy wy- kazać istnienie stałej C takiej, że ^(M^Ca ), AnM) < C/n. Sto- sując tezę (iv) lematu 1, otrzymamy tezę (ii) twierdzenia.

U w a g a . W powyższym twierdzeniu warunek &(A) = {1} moż- na zastąpić warunkiem G'(A) = {a} i X / 0. Aby otrzymać identycz- ną tezę, należy we wzorach (3) określających T^ położyć N =

= ln (a“^a). Wynika to z równości & A) = {1} i (A”^A)nM =

= AnM.

(8)

ITERACJE PODPRZESTRZENI ZA POMOCĄ. OPERATORA ZWARTEGO

Odtąd aż do końca zakładamy, że A jest zwartym operatorem li- niowym działającym w przestrzeni Banacha X. Zbiór Q c (C taki, że Si n 6 (A) jest zbiorem domknięto-otwartym w G'(A') nazywamy zbiorem spektralnym operatora A. Dla każdego zbioru spektral- nego S2 rzut spektralny E {Qtk) określamy za pomocą równości E (.Q,A) = - — - J (A -/*)” d/l , gdzie jest zamkniętą zorien- towaną dodatnio krzywą Jordana zawierającą wewnątrz zbiór

Q n G’(a), a na zewnątrz pozostałą część widma operatora A.

Potrzebne nam będą następujące własności rzutów spektralnych:

ranE(^,A) = ker (a.- Xf1, dim ranE(^,A) <co dla 0 n=1

(por. [2], § VII.3).

Określmy teraz dla r > 0 następujące rzuty spektralne:

E (*2,A)A = AE (i3,A), e( A IranE {Si,A))) “ Q n

E (i21 ,A)E (J22,A) = E(J31 n .Q2,A),

i

= I - P0 (r) - P+ (r).

Zachodzą więc związki

(?) p+ (**)p+ (s) = P+ (r), ker P+(s) C ker P+ (r) dla r ^ s > 0.

(9)

Gdy M C X jest podprzestrzenią skończenie wymiarową, wtedy z (7) wynika, że funkcja <p(r) = dim(M n ker P+ (r)) jest nieros- nąca i przybiera tylko wartości całkowite. Niech r^ > rg^ ...

... > r*^ > 0 będą wszystkimi punktami nieciągłości tej funkcji.

Kładąc Y^ = M n ker (P+ (r..) + P0(rj)) ( j=1,2,... ,k), YQ = M, mamy Y^ ę ^ ••• £ będzie jakąkolwiek podprze-

strzenią uzupełniającą Y. do Y , tzn. taką, że Z. n Y. = ^0},_J _{J '} _J _J zd + ■ Y3-1‘

LEMAT 4 .

||(l-P0(r.)) ^{An z ||}

sup --- “--- —►O, gdy n c o j=1,2,...,k.

z t Z 5 II An z ||

zfO

D o w ó d . Z definicji liczb r^ i z tego, że każdy niezerowy punkt widma operatora A jest izolowany w tf'(A) wynika, że jeśli .z t Y^-jNY^, to (P+ (r^) + P0(rj)) z ^ 0 i P+ (r)z = 0 dla r > r ,

a stąd

(8) P+ (rj)z = 0, PQ (r..)z ± 0 dla z 6 Zy z ^ 0.

Ponieważ Z^ jest podprzestrzenią skończonego wymiaru więc z (8) wynika, iż istnieje liczba dodatnia c taka, że

(⁹) IIP0 (r.)zll > clzll _^ _c) dla każdego z e Z.._<J

Istnieją ponadto liczby s^ 6 (o,r..) takie, że w przedziale [j3j,rj] nie leży moduł żadnej wartości własnej operatora A. Wte- dy P_ (s .) = P_(i*_“ _J "" J⁴)» Stąd i z (8) mamy

(10) Anz = AnP_(s..)z + AnPQ (rj)z (z € Z^) . Ponieważ

er^A l r a n P _ ( s . ) ^ C 1 ^ £ ^ * , A l < <1 3 j l ’

(10)

G (k \TanP0( r ^ c iAe C ; " rj}’

więc istnieje operator (A|ran p (r .)) -1 i 0 $

n 1/n

^ ,|AI ran P ^ ) " < sj’

ranP0 (r3)>"1» 1/n = ^Ą •

Zatem istnieje liczba naturalna N taka, że dla n > N i z £ Z._D II An P__ ( s p z II < ||P_ ( s j ) z l l , ||P0( r d) z|| ^

“ ( w ) ” “ % c ' s > ‘ ' -

Z tych nierówności oraz z (9) i (10) wynika,- że dla n > N i z e. Z._J

z ® = «Anp-(sj)zll < s“ #p_(s3)ll llzll oraz

/r i+s A n

||An z | | > || An P0 Crd) z |l - ||An P _ ( s ^ ) z|| ^ f — n ~ y c » z » "

- s “ l P _ ( S;j)|| | z # .

Stąd dla z £ 0, z £ Z . i dostatecznie dużych n_J

»An (l-P 0 ( r 1)z)l| sgHP_(B j)1_____

llAnzll o ( ( r 3+ 3 j ) / 2 ) n - ||P_(S j)ll3"

Hp_ (S j) ll r j+ 83

(11)

LEMAT 5.

g ( k nU , k n ^ © © P0( r ^ Z 3| — ► o . tj ^

D o w ó d . Każdy wektor x e M można przedstawić w postaci k

x = y + ^ Z y gdzie y 6 Yfc, z. t Z^. Niech 1

k k

v = y + P0(r_.)z... Wtedy v e Yk © © PQ (r..)Z.. i

1 1

k

(1 1 ) An(x - v ) = J T ^ “ P0^rp ) zj*

1

Z poprzedniego lematu wynika, że kładąc

c o max max ||(1 - Pn (r .)) Anz || / || Anz || — 0,

H j ^ k zcZ^ J

z£0

można znaleźć liczbę nQ taką, że dla n ^ Uq, cn < 1/2. Z (11) wynika, że

k k

(12) 1|An(x - V)|| < 2 1 II o “W ) ₁

*

^cn

H,

₁ ^{11 ^}

Zauważmy, że

II Anzd II <11(1 - P0(r3)) AnZ;J II + llPotr^AVjlK

< ' c n l|An ^ l l + l l p 0 tr 3 ) A n z d || .

Stąd dla n > Uq

(12)

(13) llAnZ;j||<(1-cn )“1 HPq Ct^ A ^ I K 2||P0 (rd)Anz.||.

/ k \

Ponieważ P q ^ z ^ = *o(rj) + Po(ri)zij = P0^r^ v » więc kładąc c = max IIPq (r^-)II mamy IIPq(p^)Anz^ll < cllAnvll. Stąd oraz

z (12) i (^{1 3}) otrzymamy nierówność

(14) |)An (x - v) || < 2kccn||Anv||< 2kccn (||An (x - v)|| + || Anx ||) . Wobec zbieżności cn 0 przy dostatecznie dużych n otrzymamy też -nierówność n

(15) llAn (x - v)ll < (1 - 2kccn ) 2kccn llAnx||.

Z nierówności (^{1 4}), (^{1 5}) i definicji "odległości11 5 wynika te-A za lematu.

Z powyższego lematu wynika, że zbieżność podprzestrzeni AnM zależy od tego, czy każdy z ciągów podprzestrzeni

^AnPQ (r ^)-Z..} , {A1^ ^ 00 jest zbieżny do jakiejś podprzestrzeni w sensie "odległości" S.A

TWIERDZENIE 2. Przypuśćmy, że A t LC (X) jest operatorem takim, że

(i) nie ma dwu różnych wartości własnych o jednakowym mo- dule,

(ii) jeśli Z jest podprzestrzenią niezmienniczą operatora A taką, że G (-Mg) = to istnieje liczba naturalna nQ taka, że A Z = {0}.n0

Wtedy dla każdej skończenie wymiarowej podprzestrzeni M c X istnieje podprzestrzeń M ^ c X taka, że

<?(An M, U ---_ 0 n u *

D o w ó d. Z określenia przestrzeni Y, wynika, że P (s) Y, =XX / % “ x *c

= P+ (s)A Y^ = dla każdego s > 0 i każdej liczby naturalnej n.

(13)

Zatem, jeśli Z jest domknięciem zbioru liniowego Y^ + AYk + + A^Y^ + to również P+(s)Z = {Oj dla s > O. Z jest więc podprzestrzenią niezmienniczą operatora A zawierającą Yk , a nie zawierającą żadnego wektora własnego odpowiadającego niezerowej wartości własnej. Stąd (?(A| z) = 0, Z założenia (ii) wynika więc, że

(^{1 6}) AnYk C AnZ = {O] dla n > nQ.

Dla każdego r^ istnieje liczba fe <3*(A) taka, że PQ (r^) =

= E (a. ,A). Ponieważ Pn (r.)Z. c ran E (a. ,A), więc z twierdzenia 1 wynika, że istnieją podprzestrzenie V. takie, żed ^ d d d d

cł*f A -

(^{1 7}) V . C r a n S f j i) D 3 ¹ c_ = max <S(AnP0(ri)Z. n l4;j^k u J 3 3 0.

Z lematu 5 i 06) wynika, że k

w ' j ' j i 0 .

j=

V j= 1 '

A . k \

Wykażemy, że S( A^M, @ V\ J — ^0, Jeśli x e AnM, to korzys- tając z (18), możemy znaleźć wektory z^ ć AnPQ (r^)Z^ takie, że kładąc z = z,j + Z² +•••+ z^ otrzymamy nierówność llx - zll <bn llxll.

Zauważmy, że z^ = PQ(r^)z, Z (^{1 7}) wynika, że istnieją wektory v. e V. takie, że llz. - v.ll ^ c U z . II < c mllzll, gdzie m =d d d d XI J II •

= max ||Pn (r .)ll • Zatem

1< j ^ k u D

k k

II - IZ vj II " II - z) + H (z3 - VH «* ₃₌₁ ₃₌₁

* «* - 2 II + ZL j = 1 I z3 " vjll * bnM + °nkmllzl *

(14)

* b n llx|| + cnkm (||x - z|| + |jx||) sc (bn + cn (1 + bn)km)||x||,

Stąd oraz z (.17) i (18) mamy

k

j=1©

Podobnie dla v = v- + v0 + ...+ v, , gdzie v. t V., v. =₁ c K j J J

= P0 (r.)v, istnieją wektory z. e AnP0 (r.)Z. i wektor x e_u _u _J _J takie, że ||v.. - z^\\ ^ c j v ^ l cnra||v|| i || z1 + z2 +...+ zk - - x|| < bn||z^ + z2 + ...+ zkll. Wtedy

k

iiv - x ii< u y* II Z (vó - ż3) + ^ z3- z.) + >■ z, - xii^

y k k

<c nkm||v|| + \ £ llzjll < Cn^l^ll + bn Z ^l|vj " zj11 +

1 1

+ II v . || ) < ( cnkm + bn (cnm + m)k) ||v||.

(19) kończy dowód, \ 1 J

APROKSYMACJA WARTOŚCI WŁASNYCH

TWIERDZENIE 3, Przypuśćmy, że M jest skończenie wymiarową podprzestrzenią niezmienniczą operatora B € L(X) ,

ciągiem podprzestrzeni, {pn^°°c L(X) zaś - cią-

^ r 2 ^

giem rzutów (tzn, Pn = Pn ) takim, że ran Pn = Mn , d f -

n ~ ^ ' ^n»^) “ 0 i sup||P || = m. Wtedy dla opera-n 11 torów B = B|m , Bn = pnB |IiIn mamy

(15)

(i) dist (<?(B), 6'(Bn)) — O,

(ii) jeśli brzeg zbioru £?c <r zawiera się w zbiorze rezol- wenty £ (B) operatora B, to istnieją liczby K i N takie,

że dla n > N dQ c ^ (Bn) i ^(ran E (J2,B), ran E

< k <5;.

D o w ó d . Dla każdego x e M istnieje wektor y- = Pny e taki, że llx - yll < (^llxll. Stąd

( 2 0 ) IIx - Pn x | | ||x - yll + llPn ( y - x ) | I < ( 1 + m)<fn l|x || , x fc M.

, Korzystając z nierówności trójkąta, otrzymamy nierówność

( i - (m + 1) (5^) llxll ^ llPn x|l

(V

^x ^e^{M ) .}

Wynika stąd, że dla n takich, że (m + 1)<Fn < 1/2 istnieją operatory Qn = (Pn| M )~1pn 6 L (x )> Przy oz3™

(21) IIOjjll < 2||Pn» ^ 2m> ran «n = “ > % = V n =

Pn^n = 9n*

Rozważmy teraz operatory Bn = £L(M). Z tożsamości Bn - B = “ 1) | ~ i z C20) wynika, że

(22) || Bn - B|| < 2m||B|| (m + 1)^.

Operator Bn jest podobny do operatora Bn , ponieważ Qh|M =

= (BjjIjjj) • Stąd oraz z (22) i twierdzeń o zaburzeniach widma O ]» [3 , tw. IV.3.16J, wynika, że istnieją liczby N i Kq takie, że dla n > N dS2<^() (Bn) = ^(Bn) ^

(23) ^JE (S,Bn ) - E ( Q ,B ) || < K0 <T ,

a ponadto dist (g^ B ^ , <r(B)) — 0.

(16)

Z definicji operatora Bn i formuł (2l) wynika, że E (£ł,Bn ) =

= PhE oraz że operatory E ^ , ! ) ^ , E(.Q,Bn)Pn są

n A

rzutami w L(X). Korzystając z definicji wielkości 8 oraz z (20) i (23), możemy otrzymać następujące nierówności dla n > N:

5{ran E(fl ,B), ran E ||E (P.I)^ - E (fl,Bn)Pn) =

= IIE - PnE (fl.Bj Qn|| ^|(1 - Pn)|M E (Si,5)1^11 + + lPn (E(^2,B)- E(«,Bn )) O J K O + m)(rn l|E(i3,B)|l ||<g| +

+ “PnHK0 ,ynll<3nll^ + m> UE (■»,§)H + 2m2K0) <5^, Nierówności te kończą dowód twierdzenia.

Z udowodnionego twierdzenia wynika, że jeśli podprzestrzenie AnM są zbliżone i potrafimy znaleźć ciąg rzutów Pn wspólnie ograniczonych na te podprzestrzenie, to wartości własne i podprzestrzenie rozpięte przez uogólnione wektory własne operatorów PnA|AnM coraz lepiej przybliżają odpowiednie elementy własne operatora A. Warunek wystarczający dla zbieżności podprzestrzeni A M podaje twierdzenie 2, a istnienie odpowiedniego ciągu rzutów wynika z lematu II.6.2 z pracy L6]• W praktycznej reali- zacji wynikającego stąd algorytmu przybliżonego wyznaczania wartości i wektorów własnych mamy najczęściej do czynienia z przestrzenią Hilberta, gdzie wyznaczenie odpowiednich rzutów or- togonalnych nie powinno sprawiać trudności. Gdy wymiar wyjścio- wej przestrzeni M jest równy 1, opisana metoda jest metodą po- tęgową. Na zakończenie podamy przykłady pokazujące, że gdy za- łożenia twierdzenia 2 nie są spełnione, wówczas metoda potęgowa może nie być zbieżna.

ot, e (T >. Warunek

' - 1 0 ' f * 1 "

PRZYKŁAD ^{1 .} Niech A ⁼ , M = ^ 0 6

. 0 1 .

1 . 1 .

(i) twierdzenia ² nie jest spełniony, ^{A n M} ⁼ (-l)n

1 J ^ot e <£

przestrzenie AnM nie są więc zbieżne. Określając Pn jako rzut

(17)

ortogonalny na AnM, nietrudno sprawdzić, że (PnA|^n^) = {O}, mimo że O $ ff(A) = {-1,1} •

PRZYKŁAD 2. W przestrzeni Hilberta z bazą ortonormalną

oo

)e określmy operator A wzorem Ax = / 2 <x,e.) e.

^ n ) ^i-v * j j “■ i

0 3=1

M zaś niech będzie podprzestrzenią rozpiętą przez wektor

OO

v = (²~"^e + 2~2^e2j+1)* Operator A jest aproksymowany w normie przez skończenie wymiarowe operatory An określone jako 3=o suma cząstkowa szeregu definiującego A. Operatory An są nilpo- tentne, zatem A jest operatorem zwartym i ^(A) = £0}. Za pomo- cą bezpośredniego rachunku można sprawdzić, że

A2n v/llA 2 n vll — (eQ ⁺ / /§ " , A2n +1v/llA 2n+1yll - e Q,

<A(A2nx), A2nx> /llA2nxl|2 — 1/4.

Tak więc ani podprzestrzenie A^M nie są zbieżne, ani widma ope- ratorów PnA| ^nM nie zbiegają do zera, jedynego punktu widma operatora A (P oznacza tu rzut ortogonalny na podprzestrzeń AnM).

PRACE CYTOWANE

Dl J. D e s c l o u x , N. N a s s i f , J . R a p p a z , On spectral approximation. Part 1. The problem of convergence, R.A.I.O. Analyse numerique vol. 12, no 2 (1978), 97-112.

[2] N. D u n f o r d , J. T. S c h w a r t z, Linear operators.

Part II, Interscience, New York 1963.

[3] T. K a t o, Perturbation theory for- linear operators, Springer, Berlin 1966.

(18)

[4] T. K a t o , Perturbation theory for nullity, defficiency and other quantities of linear operators, J. Analyse Math.

6 (1958), 261-322.

[5] H. R u t i s h a i u s e r , Computational aspects of P. Ł.

Bauer’s simultaneus iteration method, Numer. Math. 13 (1969), 4-13.

[6] I. S i n g e r , Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces, Springer, Berlin 1970.

[7] J.H. W i l k i n s o n , The algebraic eigenvalue problem, Clarendon Press, Oxford 1965.

[8] J.H. W i l k i n s o n , C. R e i n s c h , Handbook for automatic computation, vol. II. Linear algebra, Springer, Berlin 1971.

]D SRPRFą LWHUDFML SRGSU]HVWU]HQL

: \]QDF]DQLH ZDUWRĞFL ZáDVQ\FK L ZHNWRUyZ ZáDVQ\FK