ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria V: DYDAKTYKA MATEMATYKI 4 (1985)
Stefan Turnau
Kraków
Tendencje czy intencje?
Kształcenie matematyczne w USA,
zalecenia na ósmą dekadę XX wieku
Dwa dokumenty wydane niedawno przez Narodową Radę Nauczycieli Matematyki (NCTM) w Stanach Zjednoczonych trzeba uznać za do niosłe, nawet jeżeli nie wpłyną one w tej dekadzie na zasadni czą zmianę stanu nauczania matematyki. Formułują one bowiem ugruntowany - jak zapewniają autorzy - rzetelnymi badaniami pogląd środowiska amerykańskich dydaktyków matematyki na to, w jakim kierunku powinno ewoluować nauczanie matematyki i kształ cenie' nauczycieli tego przedmiotu. Stanowią więc ważny przyczy nek do toczącej się dyskusji nad celami, treściami, metodami i środkami tego nauczania.
Pierwszy z nich to Program działania. Rekomendacje dla ma tematyki szkolnej lat osiemdziesiątych [1].
R e k o m e n d a c j e r e p r e z e n t u j ą z a r ó w n o r e a l i z m j a k i o d p o w i e d z i a l n o ś ć - czytamy w przedmowie - . . . M a m y s z c z ę ś c i e d y s p o n o w a ć w i ę k s z y m z a s o b e m i n f o r m a c j i o p r a k t y c e n a u c z a n i a m a t e m a t y k i n i ż k i e d y k o l w i e k . . . (p o c h o d z ą c e j ) z s e r i i s t u d i ó w b a d a w c z y c h . . . i d w ó c h o c e n w y n i k ó w n a u c z a n i a m a t e m a t y k i . R a d a . . . p r z e p r o w a d z i ł a s z e r o k i e b a d a n i a o p i n i i w i e l u s e k t o r ó w s p o ł e c z n y c h 3 z a r ó w n o f a c h o w y c h j a k n i e f a c h o w y c h .
Rekomendacji jest osiem. Zestawiono je na pierwszej stro nie w postaci krótkich haseł, a następnie każdą rozwinięto od dzielnie. Powtórzmy i tu ten układ.
Rekomendacje dla matematyki szkolnej lat osiemdziesiątych: Narodowa Rada Nauczycieli matematyki zaleca:
(1) by nauczanie matematyki lat osiemdziesiątych ogniskowało się na rozwiązywaniu zadań,
(2) by podstawowe umiejętności zostały określone w sposób obej mujący więcej niż tylko sprawności rachunkowe,
(3) by programy nauczania matematyki uwzględniły w pełni możli wości kalkulatorów i komputerów na wszystkich poziomach na uczania,
(4) by zastosowano surowe standardy skuteczności i wydajności nauczania matematyki,
(5) by wartość programów i osiągnięcia uczniów oceniano za po mocą bogatszego zasobu pomiarów niż konwencjonalne testowa nie ,
(6) by wymagano od wszystkich uczniów uczenia się matematyki w większym wymiarze oraz by stworzono elastyczny program, da jący większy wybór możliwości dostosowanych do różnych po trzeb występujących w populacji uczniowskiej,
( 7) by nauczyciele matematyki wymagali od siebie i swych kole gów wysokiego poziomu umiejętności zawodowych,
(8) by społeczne poparcie dla nauczania matematyki zostało pod niesione do poziomu współmiernego z doniosłością rozumie nia matematyki dla jednostki i społeczeństwa.
1. Nauczanie matematyki w latach osiemdziesiątych musi się og niskować na rozwiązywaniu zadań.
TENDENCJE CZY INTENCJE ? 171
p r o g r a m n a u c z a n i a matematyki, był. z o r g a n i z o w a n y w o k ó ł r o z w i ą z y w a n i a
z a d a ń . .. z p o ł o ż e n i e m n a c i s k u na d o b ó r i u ż y c i e s p r a w n o ś c i R a c h u n k o
w y c h ] w n i e o c z e k i w a n y c h 3 n i e z a p l a n o w a n y c h s y t u a c j a c h .
Mocno przy tym zaakcentowano konieczność wprowadzania - na wszystkich szczeblach - szeroko rozumianych zastosowań matematy ki: tych pospolitych, istotnych w życiu codziennym, ale i tych występujących w innych naukach, jak nauki społeczne, ekonomia, technika i nauki przyrodnicze. Dla realizacji tego postulatu "nauczyciele powinni stworzyć w klasie atmosferę, w której roz wiązywanie zadań może "kwitnąć", należy odpowiednio rozwinąć środki nauczania (m.in. podręczniki szkolne i komputery), a u- czeni winni badać naturę rozwiązywania zadań i efektywne spo soby jego nauczania".
Ta tak zdecydowanie sformułowana koncepcja jest - jak łat wo się domyślić - reakcją na obserwowany stan nauczania, gdzie "program kładzie nacisk na sprawności rachunkowe w izolacji od ich zastosowania", rozwiązywanie zadań jest oparte "wyłącznie na ustalonych sposobach, przepisach i wzorach, a zadania pod ręcznikowe zwykle ujawniają przejrzysty podział na kategorie i typy, często zaś przy tym niewiele przypominają wysoce zróżni cowane problemy realnego życia". Aby stan ten zmienić, autorzy zalecają zwrot radykalny: całe nauczanie zorientować na rozwią zywanie z adań.
Jednak z dotychczas czynionych prób wiadomo, że nasycenie kursu matematyki, aż po najwyższe klasy szkoły średniej, roz wiązywaniem zadań zmusza do zaniedbania teoretycznych aspektów matematyki: dowodzenia twierdzeń i systematyzacji teorii, nie mówiąc o ujęciu aksjomatycznym. Można wprawdzie, do pewnego stopnia, orientować dobór zadań na stopniowe wzbogacanie i sys tematyzowanie teorii matematycznej; będą to jednak problemy teoretyczne, specyficzne dla matematyki, a najwyraźniej nie o to autorom chodzi. Jak więc zogniskować nauczanie na zadaniu, nie poświęcając jedności strukturalnej i wewnętrznych powiązań całości? Na to pytanie "Rekomendacje" nie odpowiadają.
2. Pojęcie sprawności podstawowych w matematyce musi objąć wię cej niż sprawności rachunkowe.
Postulat redukcji ćwiczeń w rachunku pisemnym w dobie kalkula torów elektronicznych liczy sobie już dobrze ponad dziesięć lat, i dziwi nieco fakt, że trzeba go powtarzać i uzasadniać w Ameryce, w roku 1980. Jednak i w tym przypadku rzeczywistość szkolna i postulaty dydaktyków chodzą osobnymi drogami.
Interesujące jest natomiast, jakimi sprawnościami proponu je się uzupełnić listę sprawności podstawowych. Wymieniono - cytując za innym dokumentem, opracowanym przez Narodową Radę Inspektorów Matematyki - dziesięć podstawowych dziedzin spraw ności ("skill areas"):
r o z w i ą z y w a n i e z a d a ń ; s t o s o w a n i e m a t e m a t y k i d o s y t u a c j i ż y c i a c o d z i e n
n e g o ; c z u j n o ś ć w o b e c s e n s o w n o ś c i w y n i k u ; o s z a c o w a n i e i p r z y b l i ż a n i e
w y n i k u ; s p r a w n o ś ć r a c h u n k o w ą ; m i e r z e n i e ; o d c z y t y w a n i e 3 i n t e r p r e t a c j a
i k o n s t r u o w a n i e t a b e l a d i a g r a m ó w i w y k r e s ó w ; p r z e w i d y w a n i e z p o m o c ą
m a t e m a t y k i ; e l e m e n t a r z i n f o r m a t y k i .
Samych sprawności nie określono, gdyż
i d e n t y f i k a c j a p o d s t a w o w y c h s p r a w n o ś c i w m a t e m a t y c e j e s t p r o c e s e m d y
n a m i c z n y m i p o w i n n a b y ć s t a l e a k t u a l i z o w a n a d l a o d z w i e r c i e d l e n i a n o
w y c h i z m i e n i a j ą c y c h s i ę p o t r z e b .
osiem-TENDENCJE CZY INTENCJE ? 173
dziesiątych. Jednak wymienione następnie aktywności, na które w nauczaniu należy położyć nacisk "dla odzwierciedlenia rozsze rzonego pojęcia sprawności podstawowych", są godne uwagi. Znaj dujemy wśród nich aktywności - zdawałoby się - banalne, jak "u- życie stosunku i proporcji do problemów dotyczących zmian pro porcjonalnych w ogóle i procentów w szczególności", a także am bitne, jak sprzyjające "uczeniu się sprawności komunikowania się w matematyce". Zaznaczono też, że
r o z u m o w a n i a l o g i c z n e , p r z e t w a r z a n i e i n f o r m a c j i i p o d e j m o w a n i e d e c y z j i
p o w i n n y b y ć u w a ż a n e za p o d s t a w o w e d l a z a s t o s o w a ń m a t e m a t y k i ,
i dlatego
r o z w i j a n i e p r o c e s ó w l o g i c z n y c h , p o j ę ć i j ę z y k a p o w i n n o b y ć p r z y j ę t e
za c e l w p r o g r a m i e n a u c z a n i a i p r z e z n a u c z y c i e l i .
Zwróćmy jeszcze uwagę na silnie zaakcentowaną konieczność rozwijania aktywności zachęcających do oszacowywania wyniku i szukania jego sensu oraz rozsądnej formy. Autorzy wyraźnie chcieliby wydać zdecydowaną walkę odwiecznej pladze, jaką jest bezmyślne produkowanie przez uczniów liczb i dawanie odpowie dzi bezsensownych lub rażących nieadekwatnością. Trudna będzie to walka...
3. Programy nauczania matematyki muszą w pełni uwzględniać moż liwości kalkulatorów i komputerów na wszystkich szczeblach nauczania.
organizowanie zajęć uczniów w czasie, gdy pozostawianie ich w domu byłoby niepożądane. Można nie ufać prognozom, ale nie moż na traktować poważnie rzeczywistości, w której nie tylko szko ła, ale i niejeden uczeń dysponuje podłączonym do telewizora komputerem, oferującym liczne gry i nieprzebrane możliwości eksploracji w różnych dziedzinach matematyki, nauk przyrodni czych, techniki itp.
Z tej perspektywy spojrzeć trzeba na rekomendowane działa nia administracyjne i dydaktyczne:
- Wszyscy uczniowie powinni mieć dostęp do kalkulatorów i co raz łatwiejszy dostęp do komputerów w ciągu całego pobytu w szkole.
- Użycie przyrządów elektronicznych, jak kalkulatory i kompute ry, powinno być zintegrowane ze wspólnym trzonem programu ma tematyki.
- Trzeba tworzyć i udostępniać materiały do nauczania, które wymagają użycia kalkulatora i komputera w sposób urozmaicony
i pomysłowy oraz zintegrowany z treścią nauczania.
- Kurs podstaw informatyki, wprowadzający w zagadnienia roli i wpływu komputeryzacji, powinien stanowić część ogólnego wy kształcenia każdego ucznia.
- Wszyscy nauczyciele matematyki powinni posiąść podstawy in formatyki . . .
- Kursy informatyki w szkole średniej powinny być zaplanowane tak, by zapewniały konieczne podstawy dla zaawansowanych stu diów informatycznych.
- Administracja szkolna i nauczyciele powinni inicjować współ pracę z domem dla osiągnięcia maksymalnych korzyści ucznia ze skoordynowanego użycia komputerów i kalkulatorów w domu i w szkole.
TENDENCJE CZY INTENCJE ? 175
4. Muszą być zastosowane surowe standardy skuteczności i wy dajności nauczania matematyki.
Nie tylko w Polsce uważny obserwator odwiedzający szkołę jest nieraz uderzony kontrastem między nowoczesnym wyposażeniem technicznym a skandalicznie wręcz zacofanym nauczaniem; feno men ten występuje również w USA. Nauczyciele mało korzystają ze znanych i dostępnych technik nauczania, materiałów i urzą dzeń. Kwitnie więc "metoda tab1icowo-kredowa", dodatkowo zubo żona - w stosunku do stosowanej u nas - brakiem obyczaju wywo ływania ucznia do tablicy, głównego w tym układzie środka akty wizacji. Czas lekcji nie jest planowo zagospodarowany, toteż spora część marnuje się bezproduktywnie.
Jeżeli więc dominującą aktywnością na lekcjach ma stad się rozwiązywanie zadań, z natury swej wymagające zaangażowa nia ucznia i dużej ilości czasu, konieczna jest radykalna re forma techniki i organizacji nauczania, tak by przekazywanie wiedzy i niezbędne ćwiczenia mogły się zmieścić w dużo krót szym czasie niż dotąd. Zaleca się więc, by nauczyciele opanowa li efektywne techniki organizacji lekcji, korzystali z dostęp nych środków i materiałów, oraz stosowali różnorodne metody na uczania. Uczniowie powinni otrzymywać zadania domowe i odrabiać'
je, co najwidoczniej nie leżało dotąd w codziennym obyczaju. Autorzy muszą zdawać sobie sprawę z tego, że wszystko to wymaga entuzjazmu i zjednoczenia wysiłku nauczycieli, uczniów i rodziców, do czego - jak na razie - brak społecznej i mate rialnej motywacji. Toteż z pewnością jeszcze w tym dziesięcio leciu szkoła amerykańska nie będzie miejscem najwydajniejszej pracy.
5. Wartość programu i wyników nauczania muszą być oceniane za pomocą bogatszego zasobu pomiarów niż konwencjonalne testo wanie.
Krytyczny stosunek dydaktyków amerykańskich do testowania jako metody oceniania procesu nauczania pojawił się już kilka lat
więc tu przytaczać znanych wad testów. Jednak - niestety - za pewne i w tym wypadku nawyk, tradycja i wygoda długo jeszcze bę dą chronić testy standaryzowane jako podstawową metodę oceny ucznia i nauczyciela.
Przedmiotem troski autorów "Rekomendacji" jest jednak nie tylko szkodliwość tej tradycji, ale - i przede wszystkim - brak "oparcia metod oceny programów na celach tych programów i sto sowaniu strategii oceny zgodnych z tymi celami". Ich zdaniem, testami standardowymi należy się posługiwać dla oceny progra mów tylko wówczas, gdy "można jasno wykazać, że test odpowiada celom programu". Natomiast "dostępne techniki oceny i testowa nia nie powinny determinować celów i wyników programu ani roz łożenia akcentów w jego realizacji".
Wszystko to, jak łatwo się domyślić, jest autorom potrzeb ne dla wysunięcia postulatu "udzielenia specjalnej uwagi oce nie posługiwania się metodami rozwiązywania zadań", do czego, jak wiadomo, dotychczasowe formy testów są nieprzydatne. Ale ani na ten temat, ani na temat metody oceny w ogóle, autorzy nie dają żadnych konstruktywnych wskazań, zalecając jedynie po szukiwanie nowych metod. Na przykład
t r z e b a r o z w i j a ć {jnetody] d ł u g o f a l o w e j o c e n y i n d y w i d u a l n y c h u m i e j ę t n o ś c i i r o z w i ą z y w a n i a p r o b l e m ó w 3 gdyż o s i ą g n i ę c i e s p r a w n o ś c i r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń j e s t p r o c e s e m d ł u g o f a l o w y m i n i e p o w i n n o b y ć o c e n i a n e w y ł ą c z n i e za p o m o c ą k r ó t k o t r w a ł y c h p o m i a r ó w .
Od pomysłu do jego szerokiego zastosowania droga daleka, szcze gólnie w pedagogice; a i na pomysł adekwatnej, użytecznej i w miarę obiektywnej metody oceny tej sprawności wciąż trzeba cze kać. Więc i ten postulat zapewne długo jeszcze pozostanie w sferze życzeń.
Mowa tu jeszcze o ocenie podręczników i materiałów dydak tycznych (które "powinny być oceniane i selekcjonowane z punk tu widzenia celów programu, a nie na odwrót" ) i nauczycieli. I tu konieczne są daleko idące zmiany.*
W s z e l k a o c e n a n a u c z a n i a m a t e m a t y k i p o w i n n a b y ć u z a l e ż n i o n a o d c e l ó w
-TENDENCJE CZY INTENCJE ? 177
c i e l ą i klasy. J e ż e l i o c e n a e f e k t y w n o ś c i [ p r a c y ] n a u c z y c i e l a o b e j m u
j e p o s t ę p y u c z n i ó w 3 p o m i a r t y c h o s t a t n i c h p o w i n i e n b y ć z g o d n y z c e
l a m i n a u c z a n i a .
Stanowisko takie od dawna prezentuje środowisko osób kształcących nauczycieli matematyki u nas i gdzie indziej. Trudność podstawowa jego urzeczywistnienia leży jednak znowu w braku tych adekwatnych metod oceny postępów ucznia.
6. Trzeba wymagać od uczniów uczenia się matematyki w większym wymiarze, oraz stworzyć elastyczny program, dając większy wybór możliwości dostosowanych do różnych potrzeb występują cych w populacji uczniowskiej.
Choć hasło to ma sens uniwersalny, trzeba przede wszystkim spojrzeć na nie na tle specyfiki szkoły amerykańskiej. Dzieli się ona na przedszkole (3 do 6 lat), szkołę elementarną (od 6 do 12 lub 14 lat, w tym tzw. okres wczesnego dzieciństwa od 6 do 8-9 lat) i szkołę średnią - "high school" (od 12 lub 14 do 18 lat). Organizacja szkół jest różna w poszczególnych stanach, toteż trudno operować jednolitym podziałem na klasy.
W szkole średniej uczeń ma możliwość wyboru przedmiotów; wybór ten jest ograniczony pewnymi kryteriami, które w istocie sprowadzają go do niewielu bloków przedmiotowych. Wymagane tu minimum obejmuje jeden rok matematyki. Jeżeli zaś uczeń decydu je się wyjść poza to minimum, wpada w jeden z dwu jednoznacz nie określonych torów kolejno przerabianych działów: albo tzw. matematyka ogólna albo wprowadzanie do analizy. Trzeba też
zaznaczyć, że zawartość programów matematyki szkoły średniej jest dość uboga, w każdym razie w zestawieniu z Europą, przy pominając program naszego liceum sprzed reformy w roku 1967
(z jeszcze bardziej archaicznym kursem uproszczonych "Elemen tów" Euklidesa).
Przyjrzyjmy się najpierw bardziej szczegółowym zaleceniom zwiększenia czasu nauczania matematyki. A więc - co najmniej trzy lata obowiązkowej matematyki w szkole średniej (zazwyczaj lekcja z danego przedmiotu odbywa się codziennie, tj. pięć ra zy w tygodniu) i od minimum 5 godzin tygodniowo w niższych do 7 w wyższych klasach szkoły elementarnej; minimum to nie obej muje kursów fakultatywnych. Jednak - na to w "Rekomendacjach" położono bardzo silny nacisk - nauczanie powinno byó znacznie zróżnicowane przez oferowanie kursów i bloków dostosowanych do różnych uzdolnień, zainteresowań i potrzeb poszczególnych ucz niów. J e s t n a i w n o ś c i ą p r z y p u s z c z a ć 3 ż e s a m o z a p e w n i e n i e m o ż l i w o ś c i w y b o r u m a t e m a t y k i b ę d z i e s ł u ż y ć z r ó w n a n i u szans. N a l e ż y w y k o r z y s t a ć w s z e l k i e r o z s ą d n e ś r o d k i d l a z a p e w n i e n i a 3 ż e k a ż d y z d o b ę d z i e p o ż ą d a n e p o d s t a w y m a t e m a t y c z n e i s t o t n e d l a u r z e c z y w i s t n i e n i a s w o j e g o p o t e n c j a ł u j a k o p r o d u k t y w n e g o o b y w a t e l a . G r u p y o b e c n i e n i e d o ś ć r e p r e z e n t o w a n e p o w i n n y z n a l e ź ć s z c z e g ó l n ą z a c h ę t ę i p o m o c . U z n a n i e z r ó ż n i c o w a n y c h i n d y w i d u a l n y c h z a i n t e r e s o w a ń i p o t r z e b i m p l i k u j e k o n i e c z n o ś ć s t w o r z e n i a p r o g r a m ó w p r z y k r o j o n y c h d l a p o s z c z e g ó l n y c h k a t e g o r i i u c z niów. Z r ó ż n i c o w a n e p r o g r a m y m u s z ą z a s p o k a j a ć s p e c j a l n e p o t r z e b y m a t e m a t y c z n e u c z n i ó w z u p o ś l e d z e n i a m i 3 t a k ż e f i z y c z n y m i i s t w a r z a j ą c y m i t r u d n o ś c i w u c z e n i u się. P r o g r a m y te b ę d ą m u s i a ł y o d e j ś ć o d i d e i 3 ż e k a ż d y m u s i s i ę u c z y ć t e j s a m e j m a t e m a t y k i i r o z w i j a ć te s a m e s p r a w n o ś c i . M a t e m a t y k a i u z d o l n i e n i a m a t e m a t y c z n e o b e j m u j ą z n a c z n i e s z e r s z y z a k r e s ni ż s ą d z i w i ę k s z o ś ć ludzi. P r z y w i e l u o b e c n y c h p r o g r a m a c h ucz e ń j k t ó r y k i e p s k o O p a n o w a ł s p r a w n o ś c i a l g ó r y t m i c z n e 3 m a z a b l o k o w a n ą m o ż l i w o ś ć p o s t ę p ó w w e w s z y s t k i c h a s p e k t a c h r o z w o j u m a t e - m a t y c z n e g o 3 g d y ż n a u c z a n i e w y r ó w n a w c z e k o n c e n t r u j e s i ę w y ł ą c z n i e na t y m b r a k u . P r o g r a m y z e s p o ł ó w w y r ó w n a w c z y c h p o w i n n y o b e j m o w a ć i n n e d z i e d z i n y u m i e j ę t n o ś c i m a t e m a t y c z n y c h - n a p r z y k ł a d s p r a w n o ś c i d o t y c z ą c e p r z e s t r z e n i - i k o n c e n t r o w a ć u w a g ę t a k ż e na m o c n y c h s t r o n a c h u c z n i ó w 3 a n i e t y l k o n a i c h b r a k a c h . U c z n i o w i e n a j b a r d z i e j z a n i e d b a n i - z p u n k t u w i d z e n i a p e ł n e j r e a l i z a c j i s w e g o p o t e n c j a ł u - t o ucz-, n i o w i e u z d o l n i e n i m a t e m a t y c z n i e . W y b i t n y t a l e n t m a t e m a t y c z n y j e s t c e n n y m z a s o b e m s p o ł e c z n y m 3 o g r o m n i e p o t r z e b n y m d l a u t r z y m a n i a p r z o d o w n i c t w a [ s t a n ó w Z j e d n o c z o n y c h ] w ś w i e c i e t e c h n o l o g i i .
naj-TENDENCJE CZY INTENCJE ? 179
bardziej rewolucyjną, a przy tym - najłatwiejszą chyba do szyb kiej realizacji; pod warunkiem, bagatela! , dysponowania przez oświatę odpowiednim funduszem; jednak o tym warunku tu nie wspom niano. Jak wiadomo, fundusze na oświatę częściej się teraz re dukuje, niż podnosi...
Zarysowano tu, jak powinno być zaprogramowane nauczanie rozwiązywania zadań. I tak
w s z k ó l e e l e m e n t a r n e j w t o k u r o z w i ą z y w a n i a -poszcz e g ó l n y c h z a d a ń u c z
n i o w i e p o w i n n i r o z w i j a ć s w e p r o c e s y m y ś l o w e w y ż s z e g o r z ę d u i u c z y ć
s i ę s z c z e g ó l n y c h s p r a w n o ś c i i s z c z e g ó l n y c h s t r a t e g i i .
Przy tym sprawności powinny być opanowane nie w izolacji od zastosowań, ale dla nich i poprzez nie. W wyższych klasach szkoły elementarnej i niższych średniej powinien się dokonywać stopniowy p o s t ę p k u w i ę k s z e m u u o g ó l n i e n i u 3 a b s t r a k c j i t e c h n i k 3 s i l n i e j s z e m u a k c e n t o w a n i u p o d o b i e ń s t w i s t e r e o t y p ó w s p o t y k a n y c h w r ó ż n y c h s y t u a cjach. S t r a t e g i e p o w i n n y s t a w a ć s i ę n i e t y l k o s p o s o b a m i r o z w i ą z y w a nia z a d a ń j e d n e g o t y p u 3 l e c z p o d l e g a ć u o g ó l n i a n i u i s y n t e t y z a c j i . T e c h n i k i o p a n o w a n e w j e d n y m k o n t e k ś c i e m o g ą o k a z y w a ć s i ę s t o s o w a l n e d o i n n y c h p r o b l e m ó w . S p e c j a l n e j u w a g i w y m a g a u d z i e l a n i e u c z n i o m p o m o c y d l a d o k o n a n i a p r z e z n i c h w a ż n e g o p r z e j ś c i a d o r o z w a ż a ń a b s t r a k c y j n y c h .
W ostatnich klasach szkoły elementarnej należy
b u d o w a ć s w o b o d ę 3 u m i e j ę t n o ś ć i p e w n o ś ć w s t o s o w a n i u [ p o d s t a w o w y c h ]
s p r a w n o ś c i m a t e m a t y c z n y c h d ó r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń o z m i e n n e j t r u d n o ś -
c i 3 z a c z e r p n i ę t y c h z r ó ż n y c h dziedzin.' N a t y m e t a p i e i s t o t n a j e s t
u m i e j ę t n o ś ć w y b o r u s t r a t e g i i z w c i ą ż r o s n ą c e g o i c h zasobu.
7. Nauczyciele matematyki muszą wymagać od siebie i swych kole gów wysokiego poziomu umiejętności zawodowych.
Nie warto przytaczać całej, raczej oczywistej motywacji dla te go postulatu. Zacytujemy jedynie argument perspektywiczny:
W c i ą g u ó s m e j d e k a d y z j a w i a j ą c e s i ę w c i ą ż n o w e p o j ę c i a i t e o r i e w m a t e m a t y c e , z a s t o s o w a n i a c h m a t e m a t y k i i p r o c e s i e n a u c z a n i a - u c z e n i a s i ę b ę d ą w p ł y w a ć t a k na p r o g r a m y , j a k i n a n a u c z a n i e m a t e m a t y k i w s z k o l e . D l a u t r z y m a n i a s w e g o p o z i o m u z a w o d o w e g o n a u c z y c i e l e m u s z ą k o n t y n u o w a ć n a u k ę w t y c h t r z e c h d z i e d z i n a c h . B ę d z i e to w y m a g a ł o o d n a u c z y c i e la n o w e g o p o z i o m u m o t y w a c j i i o d d a n i a z a w o d o w e g o , ż a d e n n a u c z y c i e l w y k a z u j ą c y b r a k O d d a n i a t y m i d e a ł o m z a w o d o w y m i n i e u s t a n n e m u d o s k o n a l e n i u się, n i e p o w i n i e n n a d a l p r a c o w a ć w z a w o d z i e .
Hasła te, choć nie budzą wątpliwości co do swej doniosłoś ci i pilności, wywołują uśmiech, gdy czyta się je w dobie drama tycznego i wciąż rosnącego braku nauczycieli matematyki (rów nież w USA), a więc ogromnej i wciąż rosnącej liczby nauczycie li o mniej niż mizernych kwalifikacjach.
W rozwinięciu tej rekomendacji autorzy zwracają się prze de wszystkim do wielu instytucji wspierających, nadzorujących lub organizujących oświatę lub kształcenie nauczycieli, oraz do organizacji zawodowych, zalecając im niezbędne działania. Zaleceń tych, jako osadzonych w specyfice sceny amerykańskiej, nie będziemy omawiać.
8. Społeczne poparcie dla nauczania matematyki musi być podnie sione do poziomu współmiernego z doniosłością rozumienia ma tematyki dla jednostki i społeczeństwa.
Zaiste ciemne są barwy sytuacji społeczno-zawodowej, w której ma być realizowana proponowana reforma.
TENDENCJE CZY INTENCJE ? 1 8 1
m i ę d z y s z k o ł ą a d ó m e m o o d o z a d a ń d o m o w y c h .
Te czynniki, a także rozczarowanie niepowodzeniem reform, entuzjastycznie podejmowanych w ubiegłym dwudziestoleciu, przy czyniają się do rosnącego w środowisku szkolnym nastroju apa tii i redukcji wysiłku nauczania do minimum. Stan ten w pełni usprawiedliwia uderzenie w największy dzwon:
Ś r o d o w i s k o z a w o d o w e i s p o ł e c z e ń s t w o m a j ą p r z e d s o b ą w s p ó l n y c e l : d o p r o w a d z i ć d o p e ł n e j r e a l i z a c j i u z d o l n i e n i a m a t e m a t y c z n e k a ż d e g o o b y w a t e l a . J e s t t o z a d a n i e z ł o ż o n e i d e l i k a t n e , w y m a g a j ą c e o d d a n i a i w s p ó ł p r a c y w s z y s t k i c h s e k t o r ó w s p o ł e c z e ń s t w a , n i e t y l k o s a m y c h szkół, r o d z i c ó w i n a u c z y c i e l i . A więc;
- Społeczeństwo musi dostarczyć bodźców, które przyciągną i za trzymają w szkole kompetentnych, w pełni przygotowanych, wy kwalifikowanych nauczycieli matematyki.
- Rodzice, nauczyciele i administracja szkolna muszą ustalić nowe, wyższe standardy współdziałania i pracy zespołowej ku wspólnemu celowi wykształcenia każdego ucznia czy uczennicy do poziomu określonego najwyższym indywidualnym potencjałem. - Rząd powinien działać na wszystkich szczeblach w kierunku
ułatwienia, a nie dyktowania, osiągnięcia celów wypracowa nych wspólnie przez reprezentantów społeczeństwa i środowis ka zawodowego.
Jakże to podejście byłoby potrzebne i u nas...
Przejdźmy obecnie do omówienia drugiego dokumentu:
Linie przewodnie dla kształcenia nauczycieli matematyki [2].
Dokument ten stanowi niejako ciąg dalszy "Rekomendacji" [l], gdyż zarysowany w nim program jest oparty na tych samych ide ach przewodnich: rozwiązywanie zadań jako główna aktywność u- czniów, zastosowania matematyki jako dominująca tematyka zadań, oraz kalkulatory i komputery jako stale obecne i maksymalnie wykorzystywane techniczne środki nauczania. Reprezentatywność
matema-tycznego zapewnia akceptacja przez Zarząd Narodowej Rady Nau czycieli Matematyki, Radę Amerykańskiego Towarzystwa Matema tycznego, oraz Komitet Nauk Matematycznych (Conference Board of the Mathematical Sciences).
Dokument proponuje m i n i m a l n e s t a n d a r d y d l a p r o g r a m ó w p r z y g o t o w a n i a n a u c z y c i e l i m a t e m a tyki, m i n i m a l n ą l i s t ę k o m p e t e n c j i , k t ó r e p o w i n n i m i e ć n a u c z y c i e l e m a t e m a t y k i . . . , wskazuje p o d e j ś c i a d o k s z t a ł c e n i a n a u c z y c i e l i m a t e m a t y k i , k t ó r e w y d a j ą s i ę n a j b a r d z i e j o b i e c u j ą c e , ale n i g d y n i e m i a ł p e ł n i ć r o l i o g r a n i c z a j ą c e j i n i e p o w i n i e n b y ć u ż y w a n y d l a u z a s a d n i a n i a o g r a n i c z e ń n a k ł a d a n y c h na j a k i e ś p r o g r a m y e k s p e r y m e n t a l n e , k t ó r e m o g ł y b y p r o w a d z i ć d o u l e p s z e n i a k s z t a ł c e n i a n a u c z y c i e l i m a t e m a t y k i .
Najobszerniejszą część dokumentu stanowią
1. Wiedza i kompetencje matematyczne
Omawia się je oddzielnie dla czterech grup nauczycili: (I) przedszkoli i klas początkowych (do 8 lat), (II) wyższych klas szkoły elementarnej (8 do 12 lat), (III) niższych klas szkoły średniej (12 do 14 lat) i (IV) starszych klas szkoły średniej (14 do 18 lat). Sformułowane zaś są bez wyjątku jako umiejęt ności ("Nauczyciele... powinni umieć..."), przy czym umiejęt ności matematyczne są przemieszane z dydaktycznymi w sposób wskazujący na całkowicie równoprawne traktowanie jednych i dru gich. Każda z tych czterech list umiejętności jest uzupełniona krótkim programem kształcenia nauczycieli tej grupy.
występu-TENDENCJE CZY INTENCJE ? 183
ją pojęcia i metody nauczane zazwyczaj na tym poziomie", a w odniesieniu do klas początkowych - także dotyczących "środowis ka dziecka". Obok tego wymaga - "wyróżniania i stosowania stra tegii rozwiązywania zadań właściwych dla tych klas".
Od wszystkich nauczycieli wymaga się umiejętności racjo nalnego posługiwania się kalkulatorami, a od nauczycieli szko ły średniej - także posługiwania się stosownym językiem prog ramowania dla tworzenia programów do rozwiązywania zadań. Każ da z list zawiera umiejętności posługiwania się odpowiednimi pojęciami i matodami matematycznymi oraz ich wyjaśniania z po mocą stosownych środków dydaktycznych.
Np. od nauczyciela grupy (II) wymaga się, by umiał
p o s ł u g i w a ć s i ę z w y k ł y m i a l g o r y t m a m i d l a c z t e r e c h d z i a ł a ń p o d s t a w o
w y o h na l i c z b a c h c a ł k o w i t y c h i w y m i e r n y c h, d o d a t n i c h i u j e m n y c h { w ł ą c z a j ą c z a p i s d z i e s i ą t k o w y ) f w y j a ś n i a ć te a l g o r y t m y p r z y u ż y c i u
m o d e l i o d p o w i e d n i c h d l a t y c h klas; w y j a ś n i a ć te a l g o r y t m y p r z y u ż y
c i u w ł a s n o ś c i o d n o ś n y c h s y s t e m ó w l i c z b o w y c h .
Każda wreszcie kończy się umiejętnościami
o p i s y w a n i a h e u r y s t y c z n e g o i k u l t u r o w e g o z n a c z e n i a n i e k t ó r y c h z a s a d
m a t e m a t y k i 3 z a z w y c z a j n a u c z a n y c h w t y c h k l a s a c h, d o s t r z e g a n i a w h a s ł a c h p r o g r a m u i l u s t r a c j i r ó ż n y c h a s p e k t ó w f i l o z o f i i i n a t u r y m a t e m a
tyki.
Tak więc wymagane kompetencje nauczyciela matematyki na każdym poziomie wydają się funkcją celów i treści nauczania ma tematyki na tym poziomie. Jednak ten liniowy wzrost wymagań zmienia się w ogromny skok jakościowy przy przejściu do pozio mu (IV) - najwyższych klas szkoły średniej. Nie tylko wykształ cenie matematyczne tej grupy nauczycieli ma byó objętościowo ponad dwa razy obszerniejsze niż grupy (III) (omawiamy to da
lej) , ale wymaga się od nich, i tylko od nich, umiejętności - wyboru i tworzenia stosownych modeli matematycznych dla roz
wiązywania problemów w kilku dziedzinach zastosowań, - ukazywania wzajemnych powiązań różnych gałęzi matematyki, - samodzielnego uczenia się pojęć i metod matematyki.
Umiejętność samodzielnego uczenia się matematyki uważają oni - najwidoczniej - za niedostępną dla osób bez specjalnych uzdol nień. Jest to hipoteza nowa, warta bliższego zbadania. W każ dym razie widoczna jest troska autorów dokumentu o to, by sfor mułowane tu wymagania (powtórzmy: minimalne) były realistyczne, tj. by wymagane kompetencje były dla poszczególnych grup nau czycieli rzeczywiście osiągalne.
A oto jakie kursy przewidziano w ramach studiów zasadni czych (każdy w wymiarze 60 godzin) .
Grupa (I) :
(A) systemy liczbowe aż do liczb wymiernych,
(B) nieformalna geometria z włączeniem mierzenia, kreśle nia, konstrukcji geometrycznych, podobieństwa i przystawania,
(C) metody nauczania na tym poziomie z włączeniem metod diagnozy i nauczania wyrównawczego.
Grupa (II) : (A) , (B) , (C) jak wyżej, oraz
- wybrane zagadnienia matematyki, włączając liczby rzeczywiste oraz elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki, geo metrii analitycznej i teorii liczb.
Grupa (III): (C) jak wyżej, oraz - jeden kurs analizy
- geometria, z włączeniem ujęć nieformalnych, aksjomatyk i do wodu formalnego,
- informatyka,
- zastosowania matematyki z tematyką zaczerpniętą z takich dziedzin, jak nauki przyrodnicze, nauki społeczne, ekonomia lub technika,
- rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Grupa (IV); (C) jak wyżej, oraz
- trzy kursy analizy, - algebra liniowa, - algebra abstrakcyjna,
- geometria, z włączeniem geometrii euklidesowej i innych geo metrii ,
TENDENCJE CZY INTENCJE ? 185
- historia nauk matematycznych,
- co najmniej jeden kurs wybrany spośród następujących: równa nia różniczkowe, teoria liczb, analiza kombinatoryczna, teo ria grafów, logika i podstawy matematyki, programowanie mate matyczne, matematyka stosowana,
- informatyka,
- rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
Raz jeszcze widać tu, jak dramatycznie proponowane wy kształcenie matematyczne nauczyciela klas najwyższych odbiega od wykształcenia wszystkich pozostałych grup. Nasuwają się cztery argumenty, które mogłyby uzasadniać to podejście:
1° większość kandydatów na nauczycieli matematyki rekrutu je się spośród ludzi o tak miernych uzdolnieniach i zaintereso waniach matematycznych, że nie stad ich na opanowanie matematy ki wykraczającej radykalnie poza program szkoły średniej,
2° nauczyciele uczniów do 12 roku życia mogą dobrze reali zować zarysowane (ambitne!) cele nauczania matematyki, mimo, że nie mają zaawansowanego wykształcenia matematycznego; wy kształcenie takie byłoby dla nich zbędnym luksusem,
3° możliwości organizacyjne i finansowe nie pozwalają na pełne kształcenie matematyczne wszystkich nauczycieli tego przedmiotu, dlatego kształcenie takie trzeba zarezerwować dla tej grupy, której jest ono najpotrzebniejsze, przygotowując pozostałych nauczycieli w zakresie mocno ograniczonym,
4° instytucje kształcące nauczycieli niższych grup nie są pod względem kadrowym przygotowane do kształcenia matematyczne go na poziomie uniwersyteckim i wymaganie od nich tego nie przyniosłoby pożądanych efektów.
2. Przygotowanie ogólne i pedagogiczne oraz praktyka szkolna
wykształcenie w zakresie psychologii, pedagogiki, historii wy chowania i organizacji oświaty jest wymagane w USA od wszyst kich nauczycieli matematyki w jednakowym stopniu i w szerokim - w porównaniu np. z Europą zachodnią - zakresie. Z listy czternastu kompetencji (sformułowanych także operacyjnie, jako umiejętności) wymienimy tylko te, które odnoszą się wprost do nauczania matematyki; nie znaczy to, że pozostałe są mniejszej wagi. A więc nauczyciel matematyki powinien m.-in. umieć:
- sformułować swą osobistą filozofię nauczania matematyki i od nieść ją do filozofii dobrze znanych pedagogów i dydaktyków matematyki, dawnych i współczesnych,
- odnieść uczenie się matematyki do procesu uczenia się ucz niów różnych płci i... o różnych warunkach bytowych,
- opisać różne teorie uczenia się, a szczególnie uczenia się matematyki,
- dobierać lub tworzyć środki oceny wiedzy matematycznej, sto sując zarówno techniki testowe, jak i nietestowe,
- opisać i stosować metody diagnozy pospolitych braków w ucze niu się matematyki oraz metody ich usuwania,
- oceniać własną filozofię i strategię nauczania oraz modyfi kować je na podstawie takiej oceny.
Dokument nie określa rodzaju ani liczby kursów, niezbęd nych dla realizacji tych haseł, oraz ośmiu pozostałych, obejmu jących bardziej ogólną wiedzę psychologiczno-pedagogiczną lub dotyczących organizacji nauczania w USA; jest jednak jasne, że wymaga to niemało czasu spędzonego na wykładach lub przy lektu rze. Tak więc przyszły nauczyciel matematyki aż do siódmej kia sy miałby wiedzę matematyczną niewiele wykraczającą poza tę, którą ma przekazać, a za to wiedziałby dużo o matematyce, pro cesie uczenia się jej i kierowania tym procesem.
odpowied-TENDENCJE CZY INTENCJE ? 187
nich kwalifikacjach matematyczno-dydaktycznych da nauczycielo wi kompetencje wystarczające dla skutecznego sterowania proce sem dydaktycznym w szkole ?
Duży nacisk położono na praktyczną stroną kształcenia przyszłego nauczyciela. Praktyka ma się składać z praktyki la boratory jno-klinicznej (rozpoczynającej Się "jak najwcześniej, a nie później niż na drugim roku studiów"), śródsemestralnej
(pod kierunkiem matematyka lub dydaktyka matematyki) i ciągłej; a więc bardzo podobnie jak. u nas.
Kryteria oceny przyszłego nauczyciela matematyki powinny obejmować:
- stosowną wiedzę i umiejętności matematyczne oraz entuzja styczny stosunek do matematyki,
- wiedzę socjologiczną, psychologiczną i pedagogiczną, także w zastosowaniu do nauczania matematyki,
- wiedzę z zakresu teorii nauczania i uczenia się, także T*’ zas tosowaniu do nauczania matematyki,
- umiejętności nauczania..., wykazane w czasie praktyk..., - zdolność do podejmowania samooceny i odpowiedzialne podej
ście do własnego rozwoju jako nauczyciela matematyki.
P r o c e s o o e n y p o w i n i e n s i ę r o z p o c z ą ć w m o m e n c i e, g d y k a n d y d a t w y r a z i z a i n t e r e s o w a n i e z a w o d e m i t r w a ć a ż d o w y d a n i a d y p l o m u .
. . . K a n d y d a t o m n i e s p e ł n i a j ą c y m t y c h k r y t e r i ó w n a l e ż y d o r a d z i ć w y c o f a
n i e się.
Okres obecny, okres ogólnej recesji gospodarczej i reduko wania budżetu oświaty, nie wydaje się sprzyjać takiej masowej reformie. Wydaje się natomiast możliwe, a przy tym bezpiecz niejsze, przeprowadzenie jej najpierw na skalę laboratoryjną, w wybranych szkołach, i stopniowe rozszerzanie; to samo można by zalecić proponowanej reformie kształcenia nauczycieli mate matyki. Reformatorskie hasło, źle zrozumiane i zrealizowane, może - jak to nieraz bywało - wypaczyć ideę, przynosząc więcej szkód niż korzyści.
Już po napisaniu tego artykułu, wiosną roku 1983, ukazał się dokument, prezentujący stan nauczania matematyki w USA. Jest to sprawozdanie "narodowej komisji dla wysokich osiągnięć w nauczaniu" (National Commission on Excellence in Education). Ton sprawozdania ilustruje następujące zdanie, które obiegło prasę amerykańską."Gdyby jakieś obce mocarstwo próbowało na rzucić Ameryce tak mierne wyniki nauczania, jakie obserwujemy obecnie, można by to uznać za akt wojenny". Główne źródła owej
"mierności", gdy chodzi o nauczanie matematyki, komisja upatru je m.in. w następujących faktach: ]) większość uczniów kończy naukę matematyki w 10 roku nauczania, 2) uczniowie za mało cza su poświęcają nauce, zarówno w szkole jak i w domu, 3) poziom programów nauczania w szkołach średnich i wymagania przy przyj mowaniu do szkół wyższych są niskie, 4) wskutek niskich płac niski jest przeciętny poziom nauczycieli.
Sytuacja ta, a nie ma powodu wątpić w słuszność stwier dzeń komisji, tym bardziej stawia pod znakiem zapytania rea lizm niektórych proponowanych przez NCTM reform w obecnym dziesięcioleciu.
Dokumenty cytowane:
[1] National Council of Teachers of Mathematics, A n a g e n d a f o r a c t i o n 3 R e c o m m e n d a t i o n s f o r s c h o o l m a t h e m a t i c s o f t h e 1980s.
NCTM, 1980.
TENDENCJE CZY INTENCJE ? 189
G u i d e l i n e s f o r t h e p r e p a r a t i o n o f t e a c h e r s o f m a t h e m a t i c s t
NCTM, 1981.
TRENDS OR INTENTIONS ?
MATHEMATICS EDUCATION IN U.S.A., RECOMMENDATIONS FOR THE EIGHTH DECADE OF XX CENTURY
Summary
In the article the author discusses two documents: An agenda for action. Recommendations for school mathematics of the 1980 s. - by National Council of Teachers of Mathematics, 1980, and Guidelines for the preparation of teachers of mathematics - by the Commission of Teachers of Mathematics, 1981.
