1
Streszczenie—W referacie przypomniano podstawowe pojęcia i przekształcenia, prowadzące do opisu modulacji nośnych sinusoidalnych w równoważnym pasmie podstawowym. astępnie przedstawiono aplet do demonstracji modulacji cyfrowych, wykorzystywany w trakcie zajęć dydaktycznych w zakresie systemów transmisji cyfrowej.
Słowa kluczowe—modulacja cyfrowa, konstelacja sygnału, obwiednia zespolona
I. WSTĘP
YKŁAD i ćwiczenia audytoryjne w zakresie systemów transmisji cyfrowej odbywają się na Wydziale Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej na piątym semestrze studiów I stopnia.
Ponieważ temat modulacji cyfrowych w paśmie nośnym nastręczał wielu trudności, prowadzący ćwiczenia – pierwszy współautor niniejszego referatu – stworzył w środowisku MATLAB niewielki program przedstawiający kolejne etapy powstawania pasmowego sygnału cyfrowego. Program ów sterował graficznym interfejsem użytkownika (ang. Graphical User Interface, GUI), który pokazano na rys. 1. Przebiegi prezentowane były w trakcie zajęć z odpowiednim komentarzem prowadzącego. Studenci wielokrotnie prosili o udostępnienie podobnego programu, z którego mogliby korzystać w domu, przygotowując się do zajęć. Niestety, MATLAB nie jest środowiskiem darmowym, a cena jego zakupu przekracza możliwości finansowe polskiego studenta. Z drugiej strony, nie ma możliwości łatwego utworzenia w pakiecie MATLAB aplikacji typu stand-alone, czyli niewymagającej środowiska uruchomieniowego. Dlatego powstała koncepcja napisania podobnego symulatora w darmowym środowisku programowania, a jej stworzenie powierzono drugiemu z współautorów niniejszego referatu w ramach pracy inżynierskiej [1].
II. MODULACJA CYFROWA NOŚNEJ SINUSOIDALNEJ A. Modulacje fazy i amplitudy
W ogólności sygnał pasmowy z modulacją fazy i/lub amplitudy można zapisać w postaci
ൌ ʹ , (1) gdzie jest częstotliwością nośną sygnału, – jego amplitudą, a – fazą. Dwie ostatnie z wymienionych wartości mogą zależeć od aktualnie nadawanego elementu ciągu danych.
Korzystając z własności trygonometrycznych, (1) można przepisać w następującej formie:
ൌ ʹ െ
െ ʹ , (2) przy czym ൌ ூ nazywa się składową synfazową sygnału, a ൌ ொ – składową kwadraturową. Korzystając z powyższych oznaczeń, wygodnie jest posługiwać się pojęciem równoważnego sygnału w paśmie podstawowym lub, inaczej, obwiednią zespoloną sygnału:
ൌ ூ ொ. (3)
Związek pomiędzy obwiednią zespoloną, a rzeczywistym sygnałem pasmowym jest następujący:
ൌ ࣬ሼ ାሽ, (4)
przy czym
ା ൌ ଶ௧ (5)
jest tzw. sygnałem analitycznym. Dzięki zastosowanym zależnościom, kolejne operacje powstawania sygnału pasmowego mogą być reprezentowane w równoważnym pasmie podstawowym.
Składowe ூ i ொ są kształtowane, odpowiednio, w torze synfazowym i kwadraturowym nadajnika, jak pokazano na rys. 2. Wektor binarny a jest odwzorowywany w wektor zespolonych symboli danych d o elementach
ൌ ூ ொ. (6)
Składowe (rzeczywista i urojona) symboli danych reprezentują łącznie tzw. punkt konstelacji, który – przy założeniu konkretnej postaci filtrów kształtujących impuls w pasmie podstawowym – jednoznacznie wyraża rozpoczynający się w i-tym odstępie modulacji składnik sygnału pasmowego. Należy zaznaczyć, że w ogólności w
Maciej Krasicki, Bartosz Kaczmarek
Wydział Elektroniki i Telekomunikacji
Politechnika Poznańska
ul. Polanka 3, 61-131 Poznań
e-mail:
mkrasic@et.put.poznan.plAplet JAVA do demonstracji
modulacji cyfrowych
W
2
każdym torze nadajnika mogą być stosowane filtry o różnych odpowiedziach impulsowych. W omawianym przypadku założono, że obie odpowiedzi są jednakowe i wynoszą .
Źródłem problemów interpretacyjnych dla studentów jest stałe położenie punktów konstelacji na płaszczyźnie zespolonej, jak na rys. 3, stanowiących ilustrację procesu modulacji pasmowej w podręcznikach. Czytelnik może przeoczyć w ten sposób fakt, że nośne kosinusoidalna i sinusoidalna sygnału pasmowego są w istocie modulowane przez składowe synfazową i kwadraturową obwiedni zespolonej, która jest funkcją ciągłą. Między innymi ten problem miał być wyjaśniony w tworzonym programie.
B. Modulacja częstotliwości z ciągłą fazą
W trakcie ćwiczeń ze studentami, poza liniowymi modulacjami amplitudy i fazy, dużo uwagi poświęca się modulacji częstotliwości o stałej obwiedni i z ciągłą fazą (Continuous Phase Modulation, CPM), a to ze względu na jej znaczenie praktyczne we współczesnych systemach telekomunikacji bezprzewodowej.
Sygnał CPM może być reprezentowany za pomocą obwiedni zespolonej (3), przy czym tym razem
ூ cos , (7) ொ sin . (8) Rys. 1 Graficzny interfejs użytkownika programu do demonstracji modulacji
cyfrowych w środowisku MATLAB
Rys. 2. Model obrazujący tworzenie sygnału pasmowego w nadajniku
Rys. 3. Punkty konstelacji 16-QAM; pokazano przykładowe odwzorowanie bitów ciągu kodowego w
3
Skoro jest stałą, oczywistym następstwem jest stała moc sygnału pasmowego, bowiem niezmienny jest również kwadrat modułu obwiedni zespolonej:
||ଶ ଶcosଶ sinଶ ଶ. (9) Tymczasem chwilowa wartość fazy sygnału nośnego dana jest następującym wzorem:
2 ∑ୀିஶ ିஶ௧ d, (10) w którym 2∆ jest tzw. indeksem modulacji cyfrowej, ∆ to maksymalne odstrojenie częstotliwości sygnału od częstotliwości nośnej, reprezentuje kolejne (rzeczywiste, najczęściej bipolarne) symbole danych, a jest tzw. impulsem częstotliwościowym. Jak można stwierdzić analizując (10), to impuls częstotliwościowy decyduje o szybkości i sposobie zmiany fazy rzeczywistego sygnału pasmowego. Modulację częstotliwości na płaszczyźnie zespolonej można interpretować jako ruch punktu, stanowiącego aktualną wartość obwiedni zespolonej, po okręgu wokół początku układu współrzędnych. Jeżeli ruch tego punktu następuje w kierunku zgodnym z kierunkiem wirowania zespolonej sinusoidy, składającej się na sygnał analityczny (5), można powiedzieć, że w ten sposób zwiększana jest efektywna (wypadkowa) częstotliwość sygnału pasmowego. Jeżeli punkt reprezentujący wartość obwiedni zespolonej wiruje przeciwnie niż zespolona sinusoida, efektywnie zmniejsza on częstotliwość sygnału pasmowego. Nadajnik CPM, w szczególnych przypadkach, może być zrealizowany w postaci liniowej, podobnie jak dla modulacji fazy i częstotliwości (por. rys. 4.38 w [2]).
III. WŁASNOŚCI APLETU DEMONSTRACYJNEGO Założeniem przy realizacji programu była jego bezpłatna dostępność dla możliwie szerokiego kręgu odbiorców, niezależnie od używanego systemu operacyjnego. Możliwości takie daje programowanie w języku Java. (Aplet Java może być uruchomiony z poziomu dowolnej przeglądarki internetowej, dzięki użyciu wirtualnej maszyny Java.) Aby zadośćuczynić wymienionym założeniom, program został udostępniony w Internecie [3].
W oknie apletu, pokazanym na rys. 4 widoczne są trzy wykresy, przedstawiająco kolejno: przebieg obwiedni zespolonej, sygnału analitycznego oraz rzeczywistego sygnału pasmowego. Wyświetlane są także fragmenty ciągu danych a, odwzorowywane w kolejne elementy sygnału. Użytkownik otrzymuje możliwość wyboru rodzaju modulacji spośród BPSK, QPSK, 16-QAM oraz CPM (CPFSK) oraz kształtu impulsu (w przypadku modulacji CPM rzecz dotyczy wyboru impulsu częstotliwościowego).
Aplet pokazuje, że punkt reprezentujący obwiednię zespoloną może poruszać się na płaszczyźnie zespolonej, a także, że wypadkowy sygnał pasmowy może być wypadkową dwu kolejnych sygnałów w przypadku, gdy odpowiedź impulsowa filtru kształtującego impuls w pasmie podstawowym przekracza jeden odstęp modulacji.
Symulacja powstawania sygnału pasmowego przebiega automatycznie po kliknięciu przycisku „Start”. Godna uwagi jest możliwość powrotu do dowolnego momentu symulacji po zakończeniu jej automatycznego przebiegu (wystarczy w tym celu jedynie przesunąć suwak umieszczony nad wykresem sygnału pasmowego).
Rys. 4. Okno apletu w trakcie demonstracji przebiegu sygnału 16-QAM z impulsem podstawowym o kształcie podniesionego kosinusa
4
Wyświetlanie na bieżąco przebiegu obwiedni zespolonej dla sygnału CPM (rys. 5) jest bodaj najbardziej efektownym wynikiem uruchomienia apletu. Użytkownik może bowiem przekonać się o stałości obwiedni rzeczywistego sygnału pasmowego, a także stwierdzić, że obrót punktu reprezentującego chwilową wartość obwiedni zespolonej zmniejsza lub zwiększa częstotliwość sygnału nośnego. Na podstawie otrzymanego przebiegu można łatwo wytłumaczyć sens kratownic fazowych dla sygnałów CPM.
Nietypowym, a posiadającym duże walory dydaktyczne, rozwiązaniem jest wyświetlenie, jak na rys. 6, pełnej trajektorii obwiedni zespolonej, uwzględniającej wszystkie możliwe przejścia na konstelacji. Uzyskanie podobnego obrazu (por. rys. 4.23 w [2]) w rzeczywistych warunkach mogłoby wymagać bardzo długiego czasu obserwacji.
IV. PODSUMOWANIE
W połączeniu z innymi materiałami informacyjnymi dostarczanymi studentom, opisany aplet stanowi nowoczesną i skuteczną metodę nauczania w dziedzinie podstaw telekomunikacji w trakcie zajęć na uczelni. Studenci mogą korzystać z niego także w domu, celem powtórzenia materiału i przygotowania się do kolokwium.
W przyszłości strona internetowa [3], na której umieszczony jest aplet, mogłaby zostać wzbogacona o stosowny opis modulacji cyfrowych i wówczas wykorzystana do nauczania na odległość.
LITERATURA
[1] B. Kaczmarek, Program do demonstracji właściwości modulacji cyfrowych, Praca inżynierska pod kier. dr. inż. M. Krasickiego, Wydział Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej, styczeń 2012. [2] K. Wesołowski, Podstawy cyfrowych systemów telekomunikacyjnych,
WKiŁ, Warszawa, 2003.
[3] cygnus.et.put.poznan.pl/~mkrasic/Modulations/launch.html Rys. 5. Demonstracja kształtowania sygnału CPM
Rys. 6 Kompletna trajektoria obwiedni zespolonej dla sygnału 16-QAM przy zastosowaniu impulsu w kształcie
