A. Polaryzacja wiatła. Prawo Malusa

I. Wst p

A. Polaryzacja wiatła. Prawo Malusa

wiatło, tak jak ka da fala elektromagnetyczna, jest fal poprzeczn . Drgania wektorów nat enia pola elektrycznego E i indukcji pola magnetycznego B odbywaj si w kierunkach prostopadłych do kierunku rozchodzenia si fali. W przypadku pojedynczej fali elektromagnetycznej drgania obu wektorów zachodz w okre lonych, wzajemnie prostopadłych płaszczyznach. Fal tak nazywa si spolaryzowan liniowo. Za płaszczyzn polaryzacji przyjmuje si umownie płaszczyzn prostopadł do wektora elektrycznego E, w której odbywaj si drgania wektora magnetycznego B.

W wi kszo ci ródeł wiatła atomy lub cz steczki emituj fale wietlne niezale nie od siebie.

wiatło rozchodz ce si w danym kierunku składa si z ci gów fal, których płaszczyzny drga zorientowane s w sposób przypadkowy wokół kierunku rozchodzenia. W wi zce wiatła wyst puj wówczas wszystkie mo liwe kierunki drga wektora E, prostopadłe do kierunku wi zki (rys. 1a). Takie wiatło jest niespolaryzowane. W celu otrzymania wiatła spolaryzowanego liniowo nale y wydzieli z niespolaryzowanego wiatła ci gi falowe o okre lonej płaszczy nie drga wektora E (rys. 1b).

Rys.1 Polaryzacja wiatła

Mo liwe s bardziej zło one postacie wiatła spolaryzowanego. Je eli koniec wektora nat enia pola elektrycznego E obraca si wokół kierunku promienia bez zmiany długo ci to wiatło nazywa si spolaryzowanym kołowo (rys.1c,d). Gdy dla obserwatora patrz cego na ródło wiatła wektor obraca si zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, wiatło jest

spolaryzowane prawoskr tnie, w przeciwnym przypadku - lewoskr tnie. Ogólniejszym przypadkiem jest polaryzacja eliptyczna wiatła, gdy koniec obracaj cego si wektora E zakre la elips [1],[2].

Poka emy teraz, e wi zk wiatła spolaryzowanego kołowo mo na uwa a za zło enie dwóch wi zek wiatła spolaryzowanego liniowo o wzajemnie prostopadłych płaszczyznach polaryzacji i okre lonej ró nicy faz drga .

Niech wektor E o długo ci E0 obraca si z pr dko ci k tow w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (rys. 2). Je eli w chwili pocz tkowej, t = 0, wektor ma kierunek osi x, jego składowe wyra aj si wzorami

E_x =E₀cos(ωt) (1) ^{Ey =E0sin(ωt)=E0cos}

(

)

Wektor E mo na wi c przedstawi jako sum dwóch wektorów Ex i Ey

Rys.2.

odpowiadaj cym drganiom wzdłu osi x i y, E = Ex + Ey

przy czym ró nica faz drga wynosi 2π . Analogiczne zale no ci maj miejsce, gdy wektor E obraca si w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Jego składowe s wtedy równe

)

0cos( t E

E_x = ω (3)

(

)

cos )

sin( ₀

0 ω = ω − π

−

= E t E t

E_y (4)

i ró nica faz drga wektorów Ex i Ey wynosi 3π2. W podobny sposób mo na te wykaza słuszno odwrotnego stwierdzenia: wi zka wiatła liniowo spolaryzowanego jest równowa na dwu wi zkom wiatła spolaryzowanego kołowo, lewo- i prawoskr tnie.

Przyrz dy słu ce do przekształcania wiatła naturalnego w wiatło spolaryzowane liniowo nazywamy polaryzatorami. Polaryzator przepuszcza tylko te fale wietlne, których wektory elektryczne E maj okre lony kierunek, zwany kierunkiem polaryzacji (rys. 3). Je eli wiatło przejdzie nast pnie przez drugi polaryzator, zwany analizatorem, to jego nat enie I b dzie zwykle mniejsze od nat enia wiatła I0 padaj cego na analizator i b dzie si zmienia ze zmian k ta mi dzy kierunkami polaryzacji obu przyrz dów.

Rys.3.

Dla znalezienia warto ci nat enia I zapiszemy wektor E fali wietlnej, padaj cej na analizator, jako sum jego wektorów składowych w kierunku osi x i y układu współrz dnych (rys. 4),

E = Ex + Ey (5)

Rys.4

Je eli kierunek osi x jest zgodny z kierunkiem polaryzacji analizatora, to przejdzie przeze tylko składowa fala wietlna o wektorze Ex. Zachodz przy tym zwi zki (rys. 4)

α cos E

E_x = (6)

α

0cos

0 E

E _x = (7)

gdzie E0 i E0x oznaczaj amplitudy obu fal. Bior c pod uwag , e nat enie wiatła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy jego wektora elektrycznego,

2 0 0 ~ E

I , I ~ E₀²_x, z ostatniego wzoru otrzymujemy zale no α

0cos2

I

I = ₍₈₎

Jest to najprostsza posta równania cierskiego, zwana prawem Malusa, odkrytego do wiadczalnie w 1812 r. Zgodnie z nim nat enie przechodz cego wiatła jest proporcjonalne do kwadratu cosinusa k ta mi dzy kierunkami polaryzacji polaryzatora i analizatora. Je eli oba kierunki s do siebie równoległe, = 0, nat enie wiatła nie ulega zmianie, I = I0. W rzeczywisto ci nat enie wiatła przechodz cego przez analizator mo e by mniejsze od nat enia wiatła padaj cego na skutek pochłaniania wiatła w analizatorze.

We wzorze (8) przez I0 wówczas nale y rozumie nat enie wiatła przechodz cego przez analizator dla kata = 0. Je eli kierunki polaryzacji s prostopadłe (skrzy owane polaryzatory), α =π2, wiatło nie przechodzi przez analizator, I = 0. Na podstawie prawa Malusa mo na, wi c wyznaczy płaszczyzn drga spolaryzowanego liniowo wiatła.

II. Zjawisko dwójłomno ci

W wielu przezroczystych kryształach wyst puje zjawisko tzw. podwójnego załamania wiatła - dwójłomno ci. Zostało ono po raz pierwszy zauwa one przez E. Bartholina w 1669 roku w krysztale szpatu islandzkiego (kalcytu, CaCO3) i polega na rozdzieleniu promienia wchodz cego do kryształu na dwa promienie.

Przezroczyste kryształy s na ogół o rodkami optycznie anizotropowymi. Oznacza to, e ich własno ci optyczne, m.in. pr dko rozchodzenia si wiatła, zale y od kierunku w krysztale.

Wyj tek stanowi kryształy nale ce do układu regularnego, b d ce o rodkami izotropowymi (o własno ciach niezale nych od kierunku).

Zjawisko dwójłomno ci mo e mie charakter naturalny, który zwi zany jest z anizotropow budow o rodka i taka dwójłomno nazywana jest dwójłomno ci spontaniczn , lub te mo e by wywołane przez czynniki zewn trzne i nazywana jest dwójłomno ci wymuszon . Dwójłomno mo e by wymuszona min. przez:

• napr enia mechaniczne- zjawisko elastooptyczne

• pole magnetyczne, prostopadłe do biegu wi zki wiatła – - magnetooptyczny efekt Cottona – Moutona

- zjawisko Faradaya – pole magnetyczne równoległe do kierunku wi zki wiatła

• pole elektryczne – efekt elektrooptyczny

• gradient temperatury

A. Efekt elektrooptyczny

Pod wpływem zewn trznego pola elektrycznego współczynnik załamania o rodka ulega zmianie. W ogólno ci (to znaczy w o rodku anizotropowym) mo na, pod nieobecno pola elektrycznego, wyró ni dwa współczynniki załamania i dla fali rozchodz cej si w n’

n” danym kierunku. O wyborze odpowiedniego współczynnika decyduje kierunek wektora indukcji pola elektrycznego D fali wietlnej wzgl dem osi symetrii kryształu. Je eli do o rodka przyło y zewn trzne, dodatkowe pole elektryczne E, to współczynniki załamania b d zale e od nat enia tego pola:

...

'' ''

'' ''

...

' '

' '

3 0 2

3 0 2

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

c b

a n n

c b

a n

n (2. 1)

gdzie n0 – współczynnik załamania dla E=0, a, b, c – stałe dla odpowiedniej długo ci fali [3].

W kryształach, które nie posiadaj rodka symetrii zmiany współczynnika załamania zale od nat enia pola elektrycznego w pot dze pierwszej i w wy szych. Dla tych kryształów w równaniach (2.1) mo na zaniedba wyrazy E w pot dze wy szej ni 1. W pozostałych kryształach oraz o rodkach izotropowych zmiany współczynnika załamania zale od nat enia pola elektrycznego w pot gach parzystych.

Zale no zmiany współczynnika załamania od nat enia pola elektrycznego E w pot dze pierwszej nazywa si efektem Pockelsa, natomiast od nat enia pola w pot dze drugiej i wy szej nosi nazw efektu Kerra. Nale y zauwa y , e pod wpływem pola elektrycznego mo e nast pi odkształcenie o rodka, czyli tzw. odwrotny efekt piezoelektryczny lub elektrostrykcja, które ma równie wpływ na zmian współczynnika załamania, poprzez efekt

elastooptyczny. Je eli odkształcenie o rodka nie wyst puje, wówczas efekt elektrooptyczny nazywany jest prawdziwym (pierwotnym). W przeciwnym wypadku, gdy wyst puj równocze nie oba efekty, tzn. efekt elektrooptyczny i efekt elastooptyczny, wówczas mówimy o efekcie elektrooptycznym pierwotnym i wtórnym (pozornym) [3].

B. Uproszczony model zjawiska elektrooptycznego

Rozwijaj c współczynnik załamania n(E) w szereg Taylora w otoczeniu zerowego pola E (E = 0), otrzymujemy

2 ...

) 1

(E =n+a₁E+ a₂E²+

n ; (2. 2) gdzie

) 0 ( n

n =

∂

= ∂ n

a E

∂

= ∂ n

a E

Wprowad my współczynniki elektrooptyczne takie, e:

3

2 1

n

r =− a i ₃² n

R=− a . (2.3)

Wówczas rozwiniecie w szereg dane zale no ci (2.2) przyjmuje posta :

2 ...

1 2

) 1

(E =n− rn³E− Rn³E² +

n . (2. 4) Współczynniki elektrooptyczne r i R zostały tak dobrane, aby:

1 2

) (

1 rE RE

n E

n = + + . (2.5) Korzystaj c z szeregu (2.4) mo emy rozpatrzy dwa graniczne przypadki, tzn.

• R<<r

• r =0.

I. Gdy R<<r wówczas szereg (2.4) mo emy zapisa :

E rn n E

n ³

2 ) 1

( = − . (2. 6)

E n(E)

E n(E)

W sytuacji opisanej wzorem (2.6) mówimy o zjawisku Pockelsa, a współczynnik r nazywany jest współczynnikiem Pockelsa lub liniowym współczynnikiem elektrooptycznym. Warto współczynnika r dal kryształów wynosi r ≈10⁻¹² −10⁻¹⁰ m/V .

Rys.2 1 Zale no współczynnika załamania od nat enia pola elektrycznego E dla efektu Pockelsa

II. Gdy r =0 wówczas szereg (2.7) ma posta

2 3

2 ) 1

(E n Rn E

n = − . (2. 7)

Rys.2 2 Zale no współczynnika załamania od nat enia pola elektrycznego E dla efektu Kerra

Z powy szego wzoru wynika, e zmiana współczynnika załamania nie zale y od znaku E. W takim przypadku mówimy o efekcie Kerra. Współczynnik R nazywany jest natomiast

współczynnikiem Kerra lub kwadratowym współczynnikiem elektrooptycznym.

Współczynnik R przyjmuje nast puj ce warto ci:

2 2 14

18 10 /

10 m V

R≈ ⁻ − ⁻ - w kryształach

2 2 19

22 10 /

10 m V

R≈ ⁻ − ⁻ - w cieczach.

Efekt Kerra wyst puje zarówno w kryształach ze rodkiem symetrii jak i bez rodka symetrii, jednak w kryształach, które nie posiadaj rodka symetrii wyst puje równie efekt Pockelsa, który jest znacznie silniejszy od efektu kwadratowego (Kerra). Dlatego te w tych kryształach ( nie posiadaj cych rodka symetrii) jest on pomijany.

Efekt Pockelsa

Efekt Pockelsa dotyczy zale no ci zmian współczynnika złamania od pola elektrycznego w pierwszej pot dze. Tensor optyczny Bij jest zwi zany z tensorem elektrooptycznym rijm nast puj c zale no ci :

m ijm

ij r E

B =

∆ ; (2. 8) gdzie i, j, m =x, y, z. Zale no powy sz w zapisie macierzowym mo na zapisa nast puj co:

Em r B_i = _im

∆ ; (2. 9) gdzie i = 1, …,6; m = 1, 2, 3.

Własno ci anizotropowe wykazuj kryształy nale ce do 20 klas krystalograficznych jak równie spolaryzowane ceramiki, folie oraz niektóre ciekłe kryształy. Ze wzgl du na symetri kryształów wiele współczynników rij zeruje si . Wszystkie współczynniki zeruj si w o rodkach izotropowych i kryształach posiadaj cych rodek symetrii [3].

Urz dzenie do wytwarzania lub zmiany dwójłomno ci za pomoc pola elektrycznego E w pierwszej pot dze nazywa si komórk Pockelsa. Materiały nadaj ce si na komórk Pockelsa to min. GaAs, NH4H2PO4 (ADP), KH2PO4 (KDP), CdTe, Li2NbO3 (niobian litu) i wiele innych.

Efekt Kerra

Efekt Kerra wyst puje we wszystkich kryształach i ciałach izotropowych, równie w cieczach [3]. W efekcie Kerra pot gi wy sze od drugiej graj tak mał rol , e s pomijane w równaniu (2.3). Zmiany współczynników załamania w ogólnym przypadku efektu Kerra przedstawia wzór:

l k ikl

i r E E

B =

∆

lub (2. 3) ∆B_i =r_ijE_kE_l;

gdzie i = 1…6; j = 1…6; k = z, y, z; l = x, y, z.

Dla efektu Kerra rozró nia si trzy przypadki.

I. Na stałe pole polaryzuj ce Ek nakładane jest zmienne pole El(t), które nie pokrywa si z polem E . Pod wpływem pola elektrycznego polaryzuj cego k E zmieniaj si k

współczynniki elektrooptyczne kryształu, co pozwala na nast puj cy zapis:

( )

( )

E E r

B_i = _{ikl k l} = _{il l}

∆ .

W rezultacie otrzymuje si liniowy efekt, jednak kryształ zmienia swoje współczynniki elektrooptyczne [3]. Inaczej mówi c: stałe pole elektryczne E zmienia własno ci optyczne ^k kryształu, jego elipsoid współczynników, które z kolei s w liniowy sposób modulowane polem E^l(t) .

II. Na stałe pole polaryzuj ce E nakładane jest słabe pole ^k Ek(t), które przeciwnie jak w przypadku I pokrywa si z polem E oraz z jedn z osi x, y, z, wówczas mo na k

zapisa :

[

( )

]

[

( )

]

r

B_i = _{ik k} + _k ² ≈ _{kl k}² +2 _{k k}

∆ ,

czyli

)

2 b E (t

E r

B_i ≈ _{ik k} + _{ik k}

∆ ,

gdzie b_ik =2r_ikE_k.

W rezultacie wyst puje liniowy efekt elektrooptyczny.

III. Obie składowe E i ^k E s to samo ciowo równe, wtedy mo na zapisa : ^l

2 k ik

i r E

B =

∆

C. Dwójłomno spontaniczna

W kryształach anizotropowych obserwowana jest zmiana dwójłomno ci δ( n) wywołana zmianami temperatury nazywana dwójłomno ci spontaniczn . Szczególnie interesuj ce s zmiany dwójłomno ci w otoczeniu ferroelektrycznych i ferroelastycznych przemian fazowych.

Spolaryzowana wi zka wiatła padaj c na kryształ ulega rozdzieleniu na wzajemnie prostopadle spolaryzowane wi zki poruszaj ce si z ró nymi pr dko ciami. Po przej ciu przez kryształ o długo ci L ró nica faz mi dzy tymi promieniami

0

) ( 2

λ πL∆n T

=

Γ (1)

gdzie 0 jest długo ci fali w pró ni.

Po wyj ciu z kryształu nast puje interferencja obu promieni a jej wynikiem w zale no ci od ró nicy faz jest wi zka spolaryzowana liniowo, kołowo lub eliptycznie.

Analizator przepuszcza rzut wektora elektrycznego na kierunek jego transmisji.

Dla równoległego ustawienia płaszczyzn przepuszczania polaryzatora i analizatora nat enie wi zki wychodz cej okre lone jest równaniem:

sin 2 ) 2 (

sin^{2 2}

0

= I ϕ Γ

I (2)

gdzie: I0- nat enie wi zki padaj cej

ϕ - kat mi dzy płaszczyzn polaryzacji wiatła i du półosi przekroju elipsoidy współczynników załamania prostopadłego do kierunku propagacji wi zki.

Z wyra enia (2) wynika, e najwi ksze zmiany nat enia wiatła s obserwowane dla ϕ=45°.

Dla kryształu TGS, który jest centrosymetryczny w fazie paraelektrycznej anomalna cz dwójłomno ci spontanicznej δ , obserwowanej w fazie ferroelektrycznej, ma charakter spontanicznego efektu Kerra

2

rPs

=

δΓ (3)

gdzie: r - współczynnik elektrooptyczny PS – polaryzacja spontaniczna.

Zale no polaryzacji spontanicznej kryształu TGS w otoczeniu przej cia fazowego mo na opisa równaniem

) (T T₀ P_S =± − −

β

α (4)

gdzie: i współczynniki rozwini cia energii swobodnej Tc- temperatura Curie-Weissa.

[1]. Krajewski T. „Zagadnienia fizyki dielektryków”, Wydawnictwa Komunikacji i Ł czno ci, Warszawa 1970

[2]. Antoniewicz J. „Własno ci dielektryków”, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1971

[3]. Ratajczyk F. „Optyka o rodków anizotropowych”, Pa stwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994