Fizyka 1

Fizyka 1

Wykład 4.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu jest szczególnym rodzajem ruchu, w którym ciało porusza się po torze o kształcie okręgu z prędkością o stałej wartości.

Uwaga! Każdy punkt w takim ruchu doznaje przyspieszenia, mimo że nazywamy go jednostajnym i prędkość ma stałą wartość.

W dwóch lub trzech wymiarach, nawet jeśli szybkość jest stała, ciało może mieć przyspieszenie, o ile porusza się po torze zakrzywionym, np. po okręgu.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch po okręgu

Ruch cząstki nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu, jeśli porusza się ona po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o stałej wartości bezwzględnej

(zmienia się jej kierunek i zwrot, ale wartość pozostaje stała).

Punkt materialny poruszający się jednostajnie po okręgu o promieniu R znajduje się w punkcie P w chwili t , a w punkcie P ′ w chwili t + Δt . Wektory prędkości v, v ′ mają jednakowe długości, ale różnią się kierunkiem (wektor prędkości jest zawsze styczny do toru!).

Chcąc znaleźć przyspieszenie musimy wyznaczyć różnicę prędkości v i v ′. Jeśli odległość między punktami P i P’ oznaczymy przez l

v’

q

Δ v

v = l

R l=v Δt → Δ v= v²Δt

R → a=Δ v

Δt = v² R

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch po okręgu

Cząstka poruszająca się po okręgu ze stałą szybkością ma przyspieszenie o wartości:

Wektor Δv jest prostopadły do toru (pokrywa się z kierunkiem promienia) i jest zwrócony do środka okręgu. Oznacza to, że i

wektor przyspieszenia ma taki sam kierunek i zwrot.

To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym.

Określenie dośrodkowe jednoznacznie sugeruje kierunek wektora przyspieszenia do środka okręgu.

a_d= v² R

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch po okręgu

Cząstka poruszająca się po okręgu ze stałą szybkością ma przyspieszenie o wartości:

a_d= v² R

Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest zwrócony do środka okręgu, czyli

wzdłuż promienia okręgu. Wektor prędkości jest zawsze styczny do okręgu.

Czas pełnego obiegu okręgu przez cząstkę wynosi

T nazywamy okresem obiegu ruchu lub po prostu okresem ruchu.

T =2 π R v

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch po okręgu

Przyspieszenie dośrodkowe może mieć bardzo szeroki zakres wartości zależnie od szybkości i promienia krzywizny toru. Typowe wartości przyspieszenia

dośrodkowego dla różnych obiektów są przedstawione w tabeli.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch zmienny po okręgu

Ruch po okręgu nie musi zachodzić tylko ze stałą szybkością. Cząstka, poruszając się po okręgu, może przyspieszać lub zwalniać, a więc mieć

przyspieszenie w kierunku ruchu.

Współrzędne x, y punktu poruszającego się po okręgu można wyrazić za pomocą promienia R (o

stałej wartości) oraz kąta x(t) = R cos φ(t)

y(t) = R sin φ(t)

Przy czym związek między drogą liniową s, a drogą kątową φ , jest dany z miary łukowej kąta

φ = s/R

Różniczkując równania x(t) i y(t) otrzymujemy

gdzie wprowadzono prędkość kątową ω = dφ/dt.

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch zmienny po okręgu

Różniczkując równania

Otrzymujemy

gdzie wprowadzono przyspieszenie kątowe α = dω/dt .

Na podstawie powyższych zależności możemy obliczyć wektor całkowitego przyspieszenia:

a

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch zmienny po okręgu

Wektor całkowitego przyspieszenia:

Wektor przyspieszenia całkowitego jest sumą dwóch wektorów: przyspieszenia stycznego a_s (równoległego do wektora prędkości v) i przyspieszenia normalnego a_n

(przeciwnego do wektora R czyli skierowanego do środka okręgu).

a

a_s a_n

Przyspieszenie styczne Przyspieszenie normalne (dośrodkowe)

ω = dφ/dt φ = s/R ω = (ds/dt)/R

ω = v/R

a_n=Rv²/R²=v²/R α = dω/dt

a_s=dv/dt

Ruch w dwóch i trzech wymiarach

Ruch zmienny po okręgu

Podsumowanie

Ruch zmienny po okręgu występuje, gdy dodatkowo cząstka ma przyspieszenie w kierunku stycznym do okręgu

powodujące zmianę wartości prędkości. To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem stycznym a_s. Wartość tego przyspieszenia jest równa zmianie wartości prędkości w

czasie. Przyspieszenie styczne jest prostopadłe do przyspieszenia dośrodkowego a_d (lub a_n).

Całkowite przyspieszenie, jakiego doznaje cząstka, obliczamy jako sumę dwóch wektorów przyspieszeń:

dośrodkowego i stycznego. Możemy też powiedzieć, że te dwa przyspieszenia są składowymi wektora przyspieszenia

całkowitego.

Dynamika

Kinematyka opisuje ruch ciała z uwzględnieniem funkcji położenia, prędkości i przyspieszenia.

Dynamika jest działem fizyki pozwalającym na pełny opis ruchu ciała, rozważa przyczyny tego ruchu i analizuje siły działające na ciało w danym

układzie.

Ograniczymy się do przypadku ciał poruszających się z małymi

(w porównaniu z prędkością światła c ) prędkościami tzn. zajmiemy się mechaniką klasyczną.

Dynamika

● Masa ciała to wielkość charakteryzująca ciało, wiążąca przyspieszenie, jakie uzyskuje to ciało, z powodującą je siłą.

Masa jest wielkością skalarną.

● Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i prędkości p = mv

● Jeżeli na ciało o masie m działa siła F , to definiujemy ją jako zmianę w czasie pędu tego ciała F = dp/dt

dla ciała o stałej masie m=const.

Jednostką masy w układzie SI jest kilogram (kg), jednostką siły jest niuton (N);

Dynamika

Zasady dynamiki Newtona

Do najważniejszych praw z zakresu dynamiki należą trzy zasady dynamiki, sformułowane przez Isaaca Newtona (1642–1727). W roku 1687 opublikował on swoją nadzwyczajną pracę

„Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”. Zaproponował w niej pewne prawa, które po dziś dzień pozwalają na pełen opis ruchu ciał.

Ponadto Newton przyczynił się do rozwoju teorii grawitacji oraz teorii opisujących zachowanie się światła i jego barw.

Dynamika

Pierwsza zasada dynamiki

Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona jest uniwersalnym prawem fizyki, znajdującym zastosowanie wszędzie, począwszy od obiektu poruszającego się po stole, poprzez satelitę krążącego na orbicie, a skończywszy na krwi wypompowywanej z serca. Na podstawie wielu różnych eksperymentów wykazano, że każda zmiana prędkości (jej wartości bądź kierunku) musi być spowodowana przez działanie siły zewnętrznej.

Dynamika

Pierwsza zasada dynamiki

Dzięki znajomości pierwszej zasady dynamiki można precyzyjnie zdefiniować tzw. inercjalny układ odniesienia. Jeśli prędkość danego ciała względem przyjętego układu odniesienia jest stała, to układ taki przyjęło się nazywać inercjalnym. Z definicji, inercjalny układ odniesienia to układ, w którym spełnione jest pierwsze prawo Newtona.

Układ odniesienia poruszający się ze stałą prędkością względem pewnego układu inercjalnego jest również układem inercjalnym. Układ odniesienia poruszający się z przyspieszeniem względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia nie jest inercjalny.

Dynamika

Pierwsza zasada dynamiki

Pierwsze prawo Newtona nazywane jest często prawem bezwładności.

Pojęcie masy jest mocno związane z bezwładnością, czyli zdolnością ciał do przeciwstawiania się zmianom w ich ruchu. Ciało dąży do zachowania stanu spoczynku – próbuje „oprzeć się” przyspieszeniom. Niektóre obiekty cechują się większą bezwładnością niż inne. Znacznie trudniej jest zmienić bądź zatrzymać ruch dużych, ciężkich głazów niż piłki do gry w koszykówkę. Dzieje się tak, ponieważ głaz ma znacznie większą masę niż piłka do koszykówki. Innymi słowy, bezwładność danego obiektu fizycznego może być mierzona poprzez jego masę.

Dynamika

Pierwsza zasada dynamiki

W zapisie wektorowym pierwsze prawo Newtona ma postać:

Powyższe równanie oznacza, że gdy siła wypadkowa

działająca na ciało równa jest zeru, prędkość v ciała jest stała (słowo „stała” może oznaczać w tym przypadku również

zerową prędkość).

Dynamika

Druga zasada dynamiki

Druga zasada dynamiki Newtona jest bardzo ściśle powiązana z pierwszą i podaje matematyczny opis związków przyczynowo- skutkowych między siłą a zmianami ruchu. Daje zatem możliwość ilościowego opisu sytuacji fizycznych i używana jest do obliczeń w

sytuacjach, w których w układzie przyłożone są różne siły.

Pojęcie zmiany ruchu oznacza zmianę prędkości ciała. Zmiana prędkości świadczy o tym, że w układzie istnieje pewne przyspieszenie. Pierwsza

zasada dynamiki Newtona mówi, że zewnętrzna siła wypadkowa powoduje zmiany ruchu ciał. Zatem niezerowa siła wypadkowa jest

przyczyną występowania w układzie przyspieszenia.

Dynamika

Druga zasada dynamiki

Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej, ma również ten sam kierunek co siła, natomiast jest odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.

Możemy to zapisać w formie równania:

gdzie a to przyspieszenie ciała, F_wyp oznacza siłę wypadkową, m to masa ciała.

Dynamika

Druga zasada dynamiki Zadanie

Przed lotami załogowymi w przestrzeni kosmicznej do testowania samolotów, sprzętu rakietowego i różnych efektów fizjologicznych występujących u ludzi przy poruszaniu się z bardzo dużymi prędkościami, używano sań rakietowych. Składały się one z platformy zamontowanej na jednej lub dwóch szynach i napędzanej kilkoma silnikami rakietowymi.

Oblicz siłę ciągu każdej z czterech dysz silnika rakietowego (tzw. odrzutu) F’, pokazanego na rysunku. Początkowe przyspieszenie komory rakietowej wynosi 49 m/s², jej masa to 2100 kg, a siła tarcia w układzie wynosi 650 N.

Dynamika

Druga zasada dynamiki Zadanie

Rozkład sił działających na rakietę

Dynamika

Druga zasada dynamiki Zadanie

Dynamika

Druga zasada dynamiki

Druga zasada dynamiki w postaci trzech równań składowych

Drugie prawo Newtona opisuje, w jaki sposób ciało odpowiada mechanicznie na środowisko je otaczające. Wpływ środowiska zewnętrznego to nic innego jak siła wypadkowa F_wyp , odpowiedzią ciała jest przyspieszenie a, przy czym odpowiedź ta jest odwrotnie proporcjonalna do masy m. W ogólności im większa jest masa ciała, tym jego odpowiedź na siłę zewnętrzną jest mniejsza.

Dynamika

Druga zasada dynamiki

Newton sformułował swoje prawo również w odniesieniu do pędu ciała:

„Szybkość zmian pędu ciała równa jest sile na nie działającej”.

Drugie prawo Newtona zapisane w funkcji pędu ciała, po odpowiednich przekształceniach matematycznych redukuje się do formy pokazanej wcześniej

Dynamika

Trzecia zasada dynamiki

Jeżeli jedno ciało działa na drugie pewną siłą, to drugie ciało działa na pierwsze siłą o takim samym kierunku i wartości, lecz przeciwnym zwrocie.

Matematycznie, jeżeli ciało A działa siłą F na ciało B , wówczas jednocześnie ciało B , działa na ciało A siłą −F.

Trzecia zasada dynamiki Newtona opisuje symetrię w układach mechanicznych. Siły zawsze występują parami – jedno ciało nie może działać z jakąkolwiek siłą na drugie, nie doświadczając tej samej siły ze strony drugiego ciała. Czasami trzecie prawo Newtona potocznie nazywamy

„prawem akcji i reakcji”, gdzie wywierana siła jest nazywana akcją, a siła doświadczana przez ciało jako konsekwencja jest reakcją.

Dynamika

Trzecia zasada dynamiki

Przykłady zastosowania trzeciej zasady dynamiki Newtona:

● Gdy profesor przechodzi w czasie wykładu przed tablicą, wywiera siłę na podłogę. Podłoga z kolei działa na niego siłą reakcji, nadając mu przyspieszenie naprzód.

● Samochód przyspiesza do przodu, ponieważ ziemia popycha naprzód koła samochodu w wyniku działania siły reakcji na koła „odpychające w tył”

ziemię. Dowodem na to jest fakt, że gdy samochód gwałtownie przyspiesza na żwirze, widoczny jest odrzut ziarenek żwiru w tył, przeciwnie do kierunku ruchu samochodu.

● Helikoptery utrzymują się w powietrzu „popychając” powietrze w dół, i doświadczając siły reakcji skierowanej w górę.

Dynamika

Trzecia zasada dynamiki

Przykłady zastosowania trzeciej zasady dynamiki Newtona:

● Gdy człowiek działa na linę siłą zwróconą w dół, lina odpowiada siłą reakcji skierowaną z kolei w górę, powodując ruch człowieka właśnie w górę