M E C H AN I K A TEORETYC Z N A 1 STOSOWAN A 1, 21 (1983)
METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH W STATECZNOŚ CI KONSTRUKCJI11
ZENON W A S Z C Z Y S Z Y N Politechnika Krakowska
1. Uwagi wstę pne
Rozwój teorii statecznoś ci, widoczny p o ostatniej wojnie ś wiatowej doznał istotnego przyspieszenia w ostatnich 15- tu latach. Ś wiadcz y o tym bogata bibliografia. Obok wzno-wień klasycznej monografii S. P . TIMOSH EN KI i J. H . G ERE [76] oraz A. PFUUGERA [60] pojawił y się ksią ż ki A. S. WOLM IRA [84], H . ZIEG LERA [89], J. M . THOMPSONA i G . W. H U N TA [75], K. H U SEYIN A [34], D . O. BRU SH AiB. O. ALMROTH A [15], ostatnio N . A. AŁ F U -TOWA [1]. Opublikowano też wiele prac przeglą dowych, dotyczą cych ukł adów sprę ż ystych
i sprę ż ysto- plastycznych [27, 36, 66, 67, 77]. Był o organizowanych wiele konferencji po-ś wię conych statecznoo organizowanych wiele konferencji po-ś ci konstrukcji — warto zwrócić uwagę n a te, po których został y opublikowane peł ne teksty referatów [16, 69, 72, 80]. Spoś ród rozwijanych zagadnień należy podkreś lić duże zainteresowanie statecznoś cią ukł adów dyskretnych. Zaję to się rozwinię ciem koncepcji W. T. Koitera analizy stanów pozakrytycznych i wpł ywu imper-fekcji, róż nymi kryteriami utraty statecznoś ci, oszacowaniem zakresu obowią zywania teorii liniowych. U wzglę dniają c nieliniowoś ci geometryczne i fizykalne zwrócono uwagę n a wpł yw zachowania się obcią ż eń podczas odkształ cania się konstrukcji. Ostatnio coraz wię cej uwagi poś wię ca się waż nym ze wzglę dów inż ynierskich problemom statecznoś ci przy dział aniu obcią ż eń wieloparametrowych.
Silny rozwój teorii, zwł aszcza dotyczą cej statecznoś ci ukł adów dyskretnych, był sty-mulowany koniecznoś cią prowadzen ia obliczeń niezbę dnych dla praktyki inż ynierskiej. Komputerowa techn ika obliczeniowa i m etoda elementów skoń czonych (MES) znalazł y tutaj szerokie moż liwoś ci zastosowań. W pierwszym rzę dzie zaję to się problemami linio-wymi, sprowadzają c je do algebraicznych zagadnień obliczania wartoś ci i wektorów wł a-snych. Stał o się to moż liwe m.in. dzię ki koncepcji macierzy geometrycznej wstę pnych naprę ż eń [5, 25, 50]. Takie podejś cie zastosowano do analizy wyboczenia ram [29, 47], pł yt [3, 40] i powł ok [26, 53, 57]. P o doł ą czeniu macierzy m as zaczę to badać problemy utraty statecznoś ci przy obcią ż eniach niekonserwatywnych [6]. Warto dodać, że proble-m atyka statecznoś ci w uję ciu M E S szybko weszł a do eniach niekonserwatywnych [6]. Warto dodać, że proble-monografii i podrę czników [52, 62,91].
- 1 }
Praca został a wykonana w ramach PW 05.12 i przedstawiona jako referat problemowy na V Kon-ferencji Metod Komputerowych w Mechanice Konstrukcji—Karpacz, 6- 9.V.1981, Jej obszerny skrót pt. „Stosowanie metody elementów skoń czonych w analizie statecznoś ci konstrukcji" został opublikowany w T. 3 materiał ów, wydanych w Pracach Naukowych Instytutu Inż ynierii Lą dowej Politechniki Wrocław-skiej, N o 28, 1981, s. 101 - 121.
4 Z . WASZ C Z YSZ YN
Opieranie się na równaniach teorii drugiego rzę du, wystarczają ce w liniowej analizie
wyboczenia, jest niewystarczają ce do badania bardziej zł oż onych, nieliniowych problemów
utraty statecznoś ci. Z tego wzglę du dużo uwagi poś wię cono sformuł owaniu odpowiednich
modeli matematycznych oraz metod obliczeniowych w ramach MES (bogatą bibliografię
moż na znaleźć w [42]). Algorytmizacja poszł a w dwóch kierunkach. Pierwszy obowią
zy-wał do koncepcji koiterowskich, ł ą czą c aproksymację MES z metodą
perturbacji i roz-winię ciami w szeregi potę gowe [21, 44, 48, 74, 78, 82]. Takie uję cie jest jednak efektywne
tylko w ustrojach o mał ej liczbie stopni swobody lub o .strukturze pasmowej, gdyż wymaga
posł ugiwania się macierzami o duż ych rozmiarach (trzeciego i czwartego rzę
du). Kompu-terowe realizacje okazał y się mał o ogólne, gdyż w niewielkim stopniu korzystają
ze stan-dardowych procedur.
Drugi kierunek nawią zuje do uję ć „ komputerowych", wykorzystują
c przede wszyst-kim metody i algorytmy algebry liniowej. Stał o się to moż liw
e przede wszystkim dzię ki
sformuł owaniom przyrostowym [8, 30, 79], ł ą
czonym z odpowiednimi procedurami ite-racyjnymi [70, 71]. Charakterystycznym objawem był
rozwój tych koncepcji prawie rów-nolegle z uję ciami liniowymi analizy statecznoś ci przy uż yciu MES [26, 47, 87]. Obecnie
problemy te wchodzą już do podrę czników [92].
W pracy zajmiemy się wybranymi problemami zwią zanymi ze stosowaniem MES
w analizie statecznoś ci konstrukcji lą dowych. Celem pracy jest pokazanie wzajemnych
sprzę ż eń mię dzy teorią statecznoś ci konstrukcji a MES, w szczególnoś ci n a moż liwoś c
i
tej metody w zakresie analizy nieliniowej. N ajpierw przypomnimy podstawowe koncepcje
nieliniowej analizy statecznoś ci ukł adów dyskretnych, poddanych dział
aniu wielopara-metrowych obcią ż eń konserwatywnych. Problemy obliczania statecznych i niestatecznych
ś cież e
k równowagi poł ą czymy z wyznaczaniem punktów krytycznych. Wskaż emy dalej n a
moż liwoś c
i obliczania statecznoś ci ukł adów sprę ż ysto- plastycznych i quasi-
konserwatyw-nych.
Oprzemy się czę ś ciowo na opracowaniach [81, 80] oraz n
a studium literatury, ukie-runkowanym pracami prowadzonymi w Instytucie M
echaniki Budowli Politechniki Kra-kowskiej w ramach PW 05.12.
2. Równowaga układów konserwatywnych
Ograniczamy się do ukł adów dyskretnych o TV stopniach swobody, którym odpowiada
wektor
2)uogólnionych przemieszczeń wę zł ów:
<7 = {t fJ= {q
u...,q
N}eR
N(2.1)
W MES przemieszczenia q
tł ą czone z wę zł
ami, lub też jako tzw. uogólnione stopnie swo-body [92] są wykorzystywane do aproksymacji pola przemieszczeń elementu skoń
czo-nego e:
«W = Nq^ i/ lub Au^ = NAqV\ (2.2)
2 )
W dalszym cią gu przez wektor rozum iem y m acierz jedn okolum n ową , piszą c jej skł adowe p o zio m o i ujmują c je w klam ry.
M E T O D A ELEM EN TÓW SKOŃ C Z ON YCH 5
gdzie N jest macierzą funkcji kształ tu, a q
wwektorem przemieszczeń wę
złowych elemen-tu e.
Obcią ż enia pozawę zł owe (np. powierzchniowe w powł okach)p(u, X) i wę zł owe G{u, X)
dzię ki aproksymacji (2.2) i standardowemu postę powaniu MES (por. n
p. [92]) reduku-jemy do równoważ nych, uogólnionych obcią ż eń wę zł owych:
P = P(q,X)eR
N. (2.3)
Po'dajemy ogólny przypadek, gdy obcią ż enia zewnę trzne P są funkcjami przemieszczeń ą
oraz M niezależ nych parametrów obcią ż enia A:
A= {A*}s {A\ ... K
M\ eR
M. (2.4)
Rozważ ania bę dziemy prowadzili też w przestrzeni konfiguracyjno- obcią ż eniowej
RH+M O
- wektorze wodzą cym
g - \ q,ti* {q
a}eR
K+
M. (2.5)
Energia potencjalna ukł adu skł ada się z energii sprę ż ystej U i pracy obcią ż eń zewnę
trz-nych W :
ms V t/ «%<
c>;
3^)- TPq, (2.6)
lgdzie Ł/
(e)jest energią sprę ż ystą pojedynczego elementu skoń czoneg
o (ES). D odatkowo
wartość energii uzależ niliś m
y od wstę pnych niedokł adnoś ci w ES, które ł ą cznie dla cał ego
ukł adu tworzą wektor imperfekcji
* = {
3l,...,3
s}sR* ' (2.7)
Jeś li ukł ad jest w równowadze, to speł niony jest warunek stacjonarnoś
ci energii po-tencjalnej :
ÓV= 0, ską d ÓU- - dW . (2.8)
Stan równowagi moż na też obliczyć z zasady prac wirtualnych:
<5L,
V- SL
t. (2,9)
W ukł adach konserwatywnych (U K) obydwa sformuł owania są równoważ
ne, w szcze-gólnoś ci zarówno uogólnione sił y wewnę trzne, jak też zewnę trzne są potencjalne, a wię c
dla (2.9) moż na zbudować odpowiedni funkcjonał nazywany energią potencjalną (2.6).
W dalszym cią gu zajmujemy się ukł adami U K.
D la niezależ nych przemieszczeń q
tz (2.8) otrzymujemy ukł ad'równań równowagi:
V
t(q; B), • U
t(qi 3)- Pt(q, X) = 0. (2.10)
Funkcje V
tmoż emy rozwiną ć w otoczeniu q w szereg Taylora
3)
:
3 )
Powtarzają cy się wskaź nik oznacza sumowanie, przy czym dolne wskaź niki przebiegają wartoś ci 1, ...,N , a górne 1, ..., M, gdyż numerują one skł adowe wektorów q i X. Wskaź niki greckie są uż ywane dla skł adowych wektora 7/, stą d odpowiadają one liczbom naturalnym 1, ...,N+M.
6 Z. WASZCZYSZYN
Przyrównanie lewej strony do zera i zachowanie czł onów liniowych wzglę dem przyrostów
A q prowadzi do ukł adu równań przyrostowych M ES [81]:
(Uu- PJAqj = Pf4X" + (P
t- Ud, (2.11)
gdzie przyję liś my oznaczenia pochodnych:
8
2U
U
u-
U, -(2.12)
8V
8q
tW dalszym cią gu obok zapisu wskaź nikoweg
o bę dziemy też posł ugiwali się notacją
macierzową oraz oznaczeniami ogólnie przyję tymi w M ES dla macierzy sztywnoś ci K,
obcią ż eń P i sił residualnych R. Przyrostowe równanie równowagi (2.11) moż na napisać
w postaci:
KAq m P'AX+R, (2.13)
gdzie styczna macierz sztywnoś ci
skł ada się z nastę pują cych macierzy
Ko — macierz mał ych przemieszczeń,
K„- —macierz począ tkowych naprę ż eń,
K„ — macierz począ tkowych przemieszczeń, (2.15)
K
G= K
ff+ K
u— macierz geometryczna,
K
p— macierz począ tkowych obcią ż eń,
K
c— macierz ukł adów grawitacyjnych.
W równaniu (2.13).wystę puje też macierz obcią ż eń odniesienia
P' = - Ę ~. (2- 16)
która w szczególnym przypadku jednoparametrowych, proporcjonalnych obcią ż
eń wy-nosi [81]:
p
=& _> p'
=p (2.17)
Obliczanie sił residualnych JR:
R = P- F, (2.18)
gdzie F — {Ui), ma istotne znaczenie w procedurach iteracyjnych, gdyż ich wyzerowanie
oznacza osią gnię cie powierzchni (ś cież ki
) równowagi.
Macierze (2.14) otrzymuje się dla opisu Lagrange'a (por. [30,42]). M oż na też stosować
opis uaktualniony ze współ rzę dnymi współ obrotowymi [7, 42]. Trudno wskazać n
a pre-ferencje któregoś z opisów, gdyż ich zalety są zależ ne od typu konstrukcji (prę towe/
po-wierzchniowe) i obcią ż eń (grawitacyjne, ś ledzą ce). W pracach autora i jego współ
pracow-ników posł ugiwano się współ rzę dnymi współ obrotowymi w analizie kratownic [19, 80]
i współ rzę dnymi Lagrange'a przy liczeniu powł ok [54, 55]. W dalszym cią gu ograniczamy
się do cał kowitego opisu Lagrange'a (Total Lagrangian F ormulation).
8 Z . WASZ C Z YSZ YN
(jeś li dla ś cież ki pobifurkacyjnej w X = Xc zachodzi dl\ dr\ ^ 0) i symetrycznych pun ktach
bifurkacji stanów równowagi. Z kolei symetryczne pun kty mogą być stateczne (jeś li dla
X — Xc zachodzi d\ \ dv\ = 0Ad 2
Xjd7]2
> 0) lub niestateczne. Taka klasyfikacja jest po-wszechnie uż ywana (por. n p. [34, 66, 75]); gdyż okreś la on a tzw. czuł ość konstrukcji n a imperfekcje. N ie wnikają c w szczegół y warto tylko przypomnieć, że jedynie w przypadku gdy w idealnej konstrukcji sprę ż ystej wystę puje symetryczny, stateczny pun kt bifurkacji, to jest ona nieczuł a n a mał e imperfekcje. W innych przypadkach imperfekcje powodują , że w konstrukcji nieidealnej może pojawić się pun kt graniczny (na rys. 1 pokazan o uprosz-czone wykresy, przyjmują c jako rzę dną amplitudę a postaci wyboczenia i zaznaczają c Jinią kreskowaną niestateczne ś cież ki równowagi).
X X
3<o\
a B niesym. Xi 3<o\ / s>o . Q B sym. stat. Rys . 1 X i B 3<0 \ / 3>01
r B sym. niestat. Klasyfikacja punktów krytycznych dla obcią ż eń wieloparametrowych jest znacznie bardziej zł oż ona [34]. Rozwią zanie (3.2) okreś la powierzchnię równowagi, n a której wa-runek (3.3) pozwala wyznaczyć strefę krytyczną . W przypadku obcią ż enia dwuparam etro-wego M — 2, pokazanego n a rys. 2, strefa ta staje się krzywą krytyczną (miejsca geome-tryczne punktów krytycznych). specjalny punkt krytyczny (bifurkacyjnyl strefa krytyczna ś cież ka równowagi \ podstawowa powierzchn io równowagi granica statecznoś ci punkt osobliwy powierzchnia równowagi Rys. 2METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 9
Analogicznie do (3.5) moż na wyróż nić dwa przypadki szczególne [80]:
a) specjalny punkt krytyczny, gdy znikają wszystkie skł adowe macierzy cl (odpowiada to bifurkacji stanów równowagi — rys. 2a):
A d\ = 0, (3.6a)
/ . k
b) ogólny punkt krytyczny wystę puje, jeś li istnieje tylko jeden, róż ny od zera minor macierzy d, taki aby jej rzą d wynosił
V ra(df) = M - 1 =* V AX
k± 0, (3.6b)
i,k k
b') osobliwy punkt krytyczny powstaje, gdy wystę puje tylko trywialne rozwią zanie
\ J Ą # 0 =* f\ AX
k= 0. (3.6b'>
i.k k'
W inż ynierskich zastosowaniach szczególnie waż na jest powierzchnia graniczna sta-tecznoś ci (granica stana jest powierzchnia graniczna sta-tecznoś ci gdy M = 2), która jest brzegiem rzutu strefy krytycznej na podprzestrzeń obcią ż eń RM. Powierzchnia ta ogranicza obszar bezpiecznych kombinacji obcią ż eń, nie wywoł ują cych utraty statecznoś ci. W zagadnieniach liniowych powierzchnia graniczna jest wypukł a, w nieliniowych może być wklę sł a [34].
4. Wyznaczanie ś cież ki równowagi
Spoś ród wielu metod rozwią zywania nieliniowego ukł adu równań MES jako najdo-kł adniejsza jest uważ ana metoda N ewtona—Raphsona [70]. W wersji klasycznej sto-suje się sterowanie obcią ż eniowe, tzn. jako niezależ ny przyjmuje się parametr obcią ż enio-wy r\ — A4)
. Ponieważ proces iteracyjny jest rozbież ny w otoczeniu punktu granicznego G, dlatego zaczę to stosować sterowanie przemieszczeniowe rj s qj, [61, 90]. Jednak i to sterowanie nie zapewnia zbież noś ci iteracji, gdy zbliż amy się do obszaru, w którym AljAqj -¥ oo (punkt E na rys. 3).
W pracy [81] omówiono dokł adniej metody obliczania równań przyrostowych M ES. Tutaj przytaczamy jedynie metodę obliczania w przestrzeni RN+i
—metodę , która za-pewnia zbież ność iteracji dla gł adkich ś cież ek równowagi.
Idea metody polega n a równorzę dnym traktowaniu przyrostów przemieszczeń Aq( i obcią ż enia AL W tym celu posł ugujemy się rozszerzonym ukł adem równań przyrosto-wych:
tjAqj + tM+1/ iX= Arj.
W przypadku proporcjonalnego obcią ż enia jednoparametrowego P = XP bę dzie za-chodził o:
p ;=^ L = Pi ; (4.2)
gdzie P jest wektorem obcią ż enia odniesienia.
4 )
Jako X przyjmuje się jeden z parametrów obcią ż enia, np. A s A1
, ustalają c wartoś ci pozo-stał ych H' - const, dla / = 2 , . . . . M.
10 Z. WASZCZYSZYN
Istotną rolę speł nia ostatnie równanie ukł adu (4.1). Jeś li wektor jednostkowy i jest
bliski wektorowi stycznemu Aq, to otrzymujemy sterowanie parametrem ś cież k
i rj ~ s.
Sterowania obcią ż eniow
e lub przemieszczeniowe odpowiadają
odpowiednio wyspecyfiko-wanym skł adowym wektora t:
a) sterowanie obcią ż eniow
e rj = X
t
r{0, ..., 0, 1}, (4.3a)
b) sterowanie przemieszczeniowe ij = qj
i= {P , . . . , 0, / , 0, . . . , 0}. (4.3b)
Układ równań (4.1) dalej bę dziemy nazywali rozszerzonym; zapisują c go w postaci
macierzowej otrzymujemy:
tAq = R. (4.4)
Rozszerzona macierz styczna K powstaje przez doł ą czenie wiersza t i kolumny P (rys. 4).
Moż na przy tym zapamię tywać tylko elementy niezerowe jakie wystę pują n
p. w sterowa-niach X lub qj i obcią ż eniach skupionych P'
koraz pół
pasmo symetrycznej macierzy stycz-nej K.
ś cież ka równowagi
Rys. 3 Rys. 4 Rys. 5
W [64] wykazano, że macierz rozszerzona K dla sterowania s jest nieosobliwa dla
gł adkich ś cież e
k równowagi. Osobliwość macierzy K wystę puje w punktach bifurkacji
(specjalnych punktach krytycznych).
Rozszerzone wektory Aą , R e R
N+1mają skł adowe:
R = {R,Ar]}. (4.5)
Spoś ród wielu moż liwych algorytmów obliczania kolejnych przybliż eń Aq
r+1dla r =
= 0, 1, ... wskaż emy tylko jeden, omówiony dokł adniej w [81], a naszkicowany na rys. 5.
Polega on na przyjmowaniu wektora residum R^ w postaci:
jR<
r> = {U<
r>, 0} dla r>\ (4.6)
Podczas obliczeń moż na obliczać macierz K
( r )dla każ deg
o kroku iteracyjnego. Sto-sowanie sterowania s nieco komplikuje programy na emc lecz pozwala w istotny sposób
obniż y
ć liczbę iteracji, nawet dla dł ugich kroków As. M oż na to sterowanie ł ą
czyć ze zmo-dyfikowaną metodą N ewtona- Raphsona, gdy obliczamy tylko jeden raz K
( r )=
METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 11
M ówiliś my cał y czas o obcią ż aniu jednoparam etrowym . Rozważ ania odnoszą się również do przypadków M > 1 jeś li wykonamy tylko odpowiednie przekroje w prze-strzeni JłN+M. Jeś li ustalimy wartoś ci X1 = const t o ich przyrosty A X1 = 0 i w równaniach (4.1) należy obliczać P;(A; X') oraz Ri(X; X1
). Przez 1 rozumiemy zmienny parametr ob-cią ż enia, wybrany ze skł adowych wektora A; n p. jeś li A s X2
to / = 1, 3, 4, ..., M. P rosty przykł ad takiego postę powania moż na znaleźć w [80].
5. Obliczanie punktów krytycznych i ś cież ek pobifń rkacyjnych
Opisane w poprzedn im punkcie przyrostowe postę powanie moż na zastosować do wyznaczenia podstawowej ś cież ki równowagi. W kolejnych punktach m tej ś cież ki moż na obliczać wartość funkcji skalarnej S(TJ), którą okreś la się tak, aby jej miejsca zerowe, obliczone z równania
S[q(ri)} = 0, (5.1)
wystę pował y w pun ktach krytycznych qc
= q(rjc).
Jako funkcję S m oż na przyją ć wyznacznik statecznoś ci D = det|K| lub podstawową wartość wł asną co macierzy stycznej K. Z innych, zestawionych w [81], funkcji S przyta-czamy obliczenie jej jako róż nicy wartoś ci parametrów obcią ż eń
»J — «e( m) ^m = '• J ^mi (5.2)
gdzie Aw odpowiada pun ktowi m ś cież ki równowagi, natomiast Ac(m)
jest liczone z odpo-wiednio sformuł owanego problem u wartoś ci wł asnych. Tym zagadnieniem zaję to się szczegół owo w pracach [14, 63]. Tutaj przytaczamy jedynie obliczenia fim jako wartoś ci
wł asnej równania
. q, (5.3)
gdzie Ko jest liniową , a KG geometryczną macierzą sztywnoś ci — por. (2.15).
N a rys. 6 pokazan o interpretację funkcji (5.2). Przy realizacji obliczania cią gu kolejnych punktów podstawowej ś cież ki równowagi m - > C bę dzie zachodził o pm- + 1. Jeś li wartoś ci
S (a wię c w szczególnym przypadku (5.2) róż nica \ im — 1) bę dą malał y monotonicznie,
to ł atwo jest zbudować odpowiednie algorytmy iteracyjne. W zależ noś ci od przebiegu
3 / \
—7
/
:imi ś cież ka podstawowa Rys. 612 Z. WASZCZYSZYN
funkcji S(rj) obliczenia mogą być niestabilne (gdy wystę pują niecią gł oś ci) lub mał o dokł ad-n e (gdy dla ij e (r]a, rjb) wartoś ci S(rj) ss 0). N a rys. 7 pokazan o róż ne krzywe S^rj), S2(rj),
które nie są równoważ ne z punktu widzenia efektywnoś ci obliczeń numerycznych.
Rys. 7
N ajczę ś ciej w obliczeniach M ES stosuje się £ == D, gł ównie ze wzglę du na ł atwość obli-czania wyznacznika statecznoś ci podczas rozwią zywania ukł adu równań przyrostkowych (4.1). E. RIKS w swoich pracach [64, 65] zaproponował jako efektywniejsze przyjmowanie
S m co. Jednak moż liwość „ wym iany" najniż szych wartoś ci wł asnych a>2 < co1 (por. [65])
powoduje, że nie moż na uznać tego sposobu za w peł ni przydatny do automatyzacji obli-czeń. Skuteczniejsze algorytmy moż na otrzymać przez ł ą czenie obydwu kryteriów [19].
Posł ugiwanie się techniką ekstrapolacyjno- interpolacyjną, poł ą czoną z efektywną m e-todą obliczania ś cież ki równowagi i dobrym wyborem funkcji S pozwala n a stosunkowo szybkie obliczenia punktów krytycznych. Odnosi się t o zwł aszcza do punktów granicz-nych (por. [10, 28]).
P odobnie ja k przy wyznaczaniu ś cież ki równowagi wszystkie rozważ ania pozostają waż ne dla obcią ż eń wieloparametrowych jeś li obliczenia punktów granicznych prowadzi-my w przestrzeni RN +1
. W pracy [80] podan o algorytm obliczania krzywych n a strefie
krytycznej (warstwie) dla M — 2, lub przyję ciu dwóch param etrów obcią ż eni a jako zmien-ne niezależ ne, n p. I1
, X1
oraz X1
= const dla / = 3, 4, ..., M.
Jeś li skorzystamy z warunku stanu krytycznego D = 0, t o po obliczeniu dowolnego punktu krytycznego, przy wykorzystaniu rozszerzonego ukł adu równań (4.1), dalsze obliczenia prowadzi się w przestrzeni RN+2, rozwią zując równ an ia:
KijAqj- PjAV- PfAX2
= Ru tjAqf+tN ^ AV + tn+zAP = Arj, (5.4) DjAą j = - D(q; s) , gdzie wyznacznik D (q; a) jest traktowany podczas iteracji jako residum, a Dj są p o -chodnymi dD K
D,mJ£ - m
8Krs(5.5)
Obliczenie pochodnych macierzy stycznej KrsJ jest moż liwe dla mał ej liczby stopni
M E T O D A ELEM EN TÓW SKOŃ C Z ON YCH 13
Rys. 8
graniczną / (A1
, A2
) = O dla kratownicy M isesa. N iecią gł ość krzywej / powstaje w punkcie osobliwym A' jako wynik rzutowan ia strefy krytycznej (zaznaczonej linią kreskowaną ) n a pł aszczyznę (A1
, A2
).
W przytoczonym przykł adzie strefa krytyczna jest miejscem geometrycznym punktów granicznych. G dyby w strefie wystę pował y pun kty bifurkacji (por. [83]), to podstawowa powierzchnia równowagi przestaje być gł adka i algorytmy oparte na rozwią zywaniu ukł a-du (4.4) mogą przestać być zbież ne.
Oprócz obliczenia pun któw bifurkacyjnych należy jeszcze okreś lić ich typy. M oż na tego dokon ać korzystają c z wyż szych pochodnych energii potencjalnej [34, 66, 75] lub przez obliczanie ś cież ki pobifurkacyjnej w otoczeniu punktów B. Ponieważ macierze K i K są osobliwe w tym pun kcie, t o wektor tF styczny do ś cież ki pobifurkacyjnej liczymy
w sposób przybliż ony (rys. 9)
tF =
0 -
(5.6)~(1)
Rys. 9
Wektor styczny do ś cież ki pobifurkacyjnej tB obliczamy korzystają c z podstawowego
wektora wł asnego a macierzy stycznej K i wektora ~tF = {tFa} = {tF,Xc}\
tB =
14 Z . WASZ C Z YSZ YN
W pracy [64] wyprowadzono wzór na współ czynnik
K
Ponieważ obliczanie pochodnych macierzy K jest ż
mudne, dlatego w [64] zapropono-wano obliczenie przybliż oneg
o wektora ttf\ niekolinearnego z t
Fi leż ą ceg
o w pł aszczyź nie
(t
F, a). Wektorem takim może być wektor ortogonalny do t
F, ską d wynika:
Y
W = - a
Tt
F. (5.9)
W przypadku symetrycznego punktu B współ czynnik y = 0 i wektor styczny do ś cież k
i
pobifurkacyjnej wynosi:
? B = {«, 0}. (5.10)
Wektor (5.10) moż na przyjmować jako pierwsze przybliż
enie również dla punktów nie-symetrycznych [17, 55, 81].
Przyjmowanie t^ niekolinearnego z t
Fma sł uż y
ć rozpoczę
ciu iteracji w metodzie obli-czania ś cież ki
, pobifurkacyjnej w R
N+1. Aby nie wracać n a ś cież k
ę podstawową należy
wprowadzić zakł ócenie do macierzy stycznej K(q
F+Aq^
ly
), gdzie
AW - ptPAri,, 0<l, (5.11)
a Arjp jest ostatnim przyrostem parametru sterują cego obliczaniem podstawowej ś cież k
i
równowagi.
W niektórych konstrukcjach (np. ł uki lub powł oki kuliste) moż na ł atwo przewidzieć
pobifurkacyjne postacie" równowagi. W takich przypadkach moż na wprowadzić zakł
óce-nie odpowiadają ce tej postaci, ł ą czą c je ze zmianą sterowania przemieszczeniowego [9, 55].
6. Stateczność układów sprę ż ysto- plastycznych
Konstrukcje sprę ż ysto- plastyczne (SP) są niekonserwatywne, gdyż stan przemieszczeń
zależy od historii obcią ż enia. Pomimo tego moż na do nich stosować kryterium statyczne,
zwł aszcza jeś li nie pojawiają się lokalne obcią ż enia [37, 77, 88].
Pojawienie się lokalnych obcią ż eń i wtórnych uplastycznień w poszczególnych punktach
konstrukcji (na rys. 10 pokazano wykres cr(e) dla jednoosiowego rozcią gania) odróż nia
ukł ady (SP) od ukł adów nieliniowo sprę ż ystych. Zjawiska te silnie rzutują na analizę utraty
statecznoś ci, zarówno konstrukcji idealnych jak też z imperfekcjarni.
METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH i 5
N a rys. 11 pokazan o wykres X(a) zależ noś ci obcią ż enia od amplitudy a postaci wybo-czenia sł upa ś ciskanego. P rzypominamy, że w przypadku materiał u sprę ż ystego powstaje symetryczny, stateczny pun kt bifurkacji (rys. lb) , który wyklucza moż liwość wystę powa- ' n ia punktów, granicznych dla konstrukcji nieidealnych. Jeś li sł up jest wykonany z mate-riał u SP, t o wyboczenie może nastą pić dla wartoś ci XSH. Tą wartość obcią ż eni
a bifurka-cyjnego ł ą czymy z nazwiskiem Shanley'a [59], który zastosował kryterium statyczne
D = 0 bez dopuszczenia lokalnych odcią ż eń w chwili bifurkacji. Odcią ż enia rozwijają się wzdł uż pobifurkacyjnej ś cież ki równowagi, co powoduje wzrost X. Z miana konfiguracji, a zwł aszcza wtórn e uplastycznienia powodują wystę powanie pun ktu granicznego G.
3=0
Rys. 11
Podstawowej postaci wyboczenia odpowiada cał y przedział (ź lSH, XK) statecznych
pun któw krytycznych, w których dopuszczamy lokalne odcią ż enia w chwili wyboczenia. Kryterium statyczne m oż na też stosować dla X > XK, gdzie XK jest obcią ż
eniem Karma-n a [59].
W przypadku idealnych ukł adów SP moż na też stosować koncepcje liniowej analizy statecznoś ci, uzupeł niają c algorytmy liczenia wartoś ci wł asnych odpowiednimi procedu-rami iteracyjnymi [18]. Jeś li ukł ad równań przyrostowych przyjmiemy w postaci (5.3) to macierz Ko przestaje być liniowa, gdyż stał e materiał owe należy zastą pić funkcjami E(<r)
stan u naprę ż enia w elementach a{X). D ochodzimy w ten sposób do ukł adu równań dla wyznaczenia ś cież ki przedbifurkacyjnej;
K0(o)Aą = P'AX (6.1)
i warun ku statecznoś ci:
det|Ko(ff)+ ^KG(ff)| = 0, - (6.2)
gdzie obok macierzy mał ych odkształ ceń K0(ff) wystę puje macierz wstę pnych naprę ż eń
Obliczenia polegają n a wyznaczeniu takiej wartoś ci X, aby speł nić równania (6.1) i (6- 2). Posł ugiwanie się przyrostowym ukł adem równań (6.1) umoż liwia obliczenie min Xc = XSii przy realizowaniu ś cież ki podstawowej O—B n a rys. 11 (punkt A odpowiada
pojawieniu się pierwszych odkształ ceń plastycznych). W przypadku konstrukcji ram o-wych m oż na posł ugiwać się liczbową macierzą Ka — por. [18]. Przykł ady zastosowania
M E S do analizy wyboczenia pł yt sprę ż 3'sto- plastycznych moż na znaleźć w [56, 68, 73]. W ukł adach SP m oż na wyróż nić symetryczne i niesymetryczne punkty bifurkacji [77]. N a rys. 12 pun kty B odpowiadają obcią ż eniu XSH- W odróż nieniu od idealnych ukł adów
36 Z . WASZ C Z YSZ YN
B sym- B niesym. R ys. 12
sprę ż ystych (rys. 1) konstrukcje SP są czule n a imperfekcje niezależ nie od typu pu n kt u bifurkacji. Z tego wzglę du analiza statecznoś ci idealnych ukł adów SP m a mniejsze zna-czenie praktyczne niż w ukł adach sprę ż ystych.
Obliczanie nieliniowych ś cież ek równowagi dla ukł adów SP dostarcza nowych prob-lemów numerycznych. Podstawowym problemem jest konieczność uwzglę dnienia historii procesu. Problem ten jest dobrze opisany w literaturze (por. [42, 55]). Wspomnimy tylko o koniecznoś ci przechowywania i uaktualnienia zbiorów informacji we wszystkich pun ktach numerycznego cał kowania w elementach. Wią że się z tym konieczność zmiany procedur
dli
o -Rys. 13
iteracyjnych. N a rys. 13 pokazano róż nicę mię dzy iteracjami ukł adów S i SP przy przecho-dzeniu od punktu m do m + ł n a ś cież ce równowagi [42]. W przypadku SP konfigurację
Qm traktuje się jako konfigurację odniesienia i dopiero po speł nieniu kryterium zbież noś ci
uaktualnia się zbiory informacji. Ze wzglę du n a moż liwość sprawdzania warun ku utraty statecznoś ci należy posł ugiwać się - raczej metodą zmiennej sztywnoś ci, niż metodą począ t-kowych obcią ż eń [42].
Powstawanie lokalnych odcią ż eń pogarsza zbież ność algorytmów [70]. M oże t o n a-stą pić przed osią gnię ciem punktów krytycznych (punkty E n a rys. 12). N ależy również rozszerzyć kryterium utraty statecznoś ci. W punktach krytycznych zamiast osobliwoś ci macierzy stycznej K może nastą pić zmiana znaku wyznacznika statecznoś ci D(rj):
METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 17
co wymaga odpowiedniej modyfikacji algorytmów. N iecią gł oś ci wartoś ci D(rj) powstają też jako wynik linearyzacji zależ noś ci a(s), jak zaznaczono linią O—A'—B' n a rys. 10. W zwią zku z powyż szym należy liczyć się z pojawianiem się nowych ś cież ek równowagi i niecią gł oś ci zarówn o w pun ktach bifurkacyjnych jak też granicznych (rys. 14) — (por.
[88]).
Rys. 14
Jak wspom niano, pojawianie się lokalnych odcią ż eń może pogarszać zbież noś ć algo-rytmów. Ogólniej chodzi o pojawianie się niecią gł oś ci przy przekraczaniu granicy plastycz-noś ci [88], a wię c też przy powstawaniu pierwszych lub wtórnych odkształ ceń plastycznych.
Przykł ady peł nej nieliniowej analizy statecznoś ci konstrukcji prę towych, pł yt i powł ok m oż na znaleź ć w pracach [8, 26, 42, 55, 68].
7. Stateczność ukł adów sprowadzanych do konserwatywnych
Jeś li obcią ż enie zależy od konfiguracji p(q, X), to w najogólniejszym przypadku nie m oż na posł ugiwać się statycznym kryterium utraty statecznoś ci. W przypadku obcią ż eń niekonserwatywnych należy stosować kryterium dynamiczne [89, 93], co w istotny sposób komplikuje obliczenia.
Wiadom o z wielu prac, że kryterium statyczne daje dobra oszacowanie obcią ż eń kry-tycznych w niektórych przypadkach obcią ż eń podś ledzą cych [93] i ś ledzą cych [33, 45]. Odnosi się t o w szczególnoś ci do ciś nienia zewnę trznego, które wystę puje jako podstawowe obcią ż enie wielu konstrukcji.
Obcią ż enia typu ś ledzą cego m oż na ł atwiej rozważ ać w ramach opisu uaktualnionego niż globalnego [39]. Z drugiej strony prostsza algorytmizacja zdaje się przemawiać za opisem globalnym [8], toteż dalej stosujemy ten opis.
W przypadku obcią ż enia powierzchniowego zależ nego od przemieszczeń p(u, X) jego przyrost wynosi:
Ap
=
AA = LAu+p'AA.
(7.1)
du ""
' 8A
P o przyję ciu aproksymacji M E S wedł ug (2.2)2 z pracy wirtualnej przyrostu obcią ż enia
dAL
z= ]? fj 6Au
T• (p+Ap)dS B dAq
T(P+K
pAq+P'AA), (7.2)
•' $ - . s. 2 Mech. Teoret. i Stos. 1/8318 Z. WASZCZYSZYN
wynikają macierze równoważ nych sił wę zł owych P, począ tkowych obcią ż e
ń K
pi obcią ż e
ń
odniesienia P'\
(7.3)
e Se e Se
Macierz K
pbę dzie w ogólnoś ci macierzą niesymetryczną, co może powodować istotne
trudnoś ci w posł ugiwaniu się kryterium statycznym utraty statecznoś ci i standardowymi
programami MES. N iesymetria macierzy K
pzależy nie tylko od .obcią ż enia
, ale też od
konstrukcji — w szczególnoś ci od jej warunków podparcia. Pokaż emy to n a przykł adzie
równomiernego ciś nienia dział ają ceg
o na dź wigar powierzchniowy.
D la uproszczenia rozważ ań przyjmujemy, że brzeg F pokrywa się z gł
ówną linią krzy-wizn £
2= const. Pracę obcią ż eni
a normalnego p moż na napisać w postaci:
5W
P= - ÓU
p+6W
r, (7.4)
gdzie czę ś
ć niepotencjalna wynosi [49]:
(7.5)
Przy aproksymacji przemieszczeń v = N
vq„, stycznych do brzegu F i przemieszczeń nor-malnych w = N
wq
wotrzymujemy niesymetryczną macierz począ tkowych obcią ż e
ń brze-gowych
n
** = 2 I W pN vdT, (7.6)
;=i r,
gdzie sumowanie należy wykonać wzdł uż swobodnych, obcią ż onyc
h brzegów J
1; elemen-tów skoń czonych, dla których zachodzi p ^ 0 A C ^ O A W ^ O . Jeś
li wektor przemiesz-czeń wę zł ów napiszemy w postaci:
9 = {iu,q
v,9
w}, (7.7)
to Kj- wystę puj
e w macierzy K r
ro o o
0 0 K,
(7.8)
0 0 0
która stanowi niesymetryczną czę ś
ć macierzy wstę pnych obcią ż e
ń K
p.
Przy rozważ aniu izolowanych elementów należy obliczyć macierze Sf. Jeś li ciś nienie
jest równomierne p = p
0= const to podczas agregacji elementów w ukł ad macierze te
ulegają wyzerowaniu dla wewnę trznych brzegów. Jeś li p — / ?(£
1;|
2)= J
ak należy przyjmo-wac przy parciu wiatru, to dla tych brzegów Kf -
> 0 przy zmniejszaniu wymiarów ele-mentów. Zagę szczanie podział u na elementy skoń czone nie m a jednak wpł ywu n a K r
dla brzegów zewnę trznych.
N aszkicowany powyż ej problem konserwatywnoś ci ciś nienia normalnego był najpierw
rozpatrywany przez W. W. BOŁ OTIN A [13], nastę pnie był uś ciś lon
y przez G . A. COH EN A [20],
rozważ any również w [31, 46].
M E T O D A ELEM EN TÓW SKOŃ C Z ON YCH 19
W pracy [49] stwierdzono, że wpł yw macierzy Kr n a wartoś ci obcią ż eń krytycznych
konstrukcji poddan ych dział aniu równomiernego ciś nienia"normalnego p0 jest mał y. N ie
m oż na natom iast pomijać symetrycznej czę ś ci Kp (wynikają cej z potencjał u Up w (7.4))
dla niektórych typów konstrukcji. D obrym przykł adem są pierś cienie sprę ż yste obcią ż one ciś nieniem zewnę trznym p0. U wzglę dnienie macierzy Kp s daje krytyczną wartość ciś nienia
norm alnego do odkształ conej osi pierś cienia równą 3EI/ J?2
, gdy pominię cie Kp s odpowiada
stał emu kierunkowi ciś nienia pierwotnie normalnego, ską d wynika pkr = 4EIJR 2
— por.
[12].
Jak wykazano w [29] nie m oż na pom iną ć Kp s w ł ukach wyniosł ych. Problem ten jest
szczegół owo dyskutowany w [43] w odniesieniu do powł ok o róż nej wyniosł oś ci.
Wróć my do ogólnego przypadku niesymetrycznej macierzy Kp. Jeś li obliczamy ś ciś le
wektor sił residualnych R, t o dla iteracyjnego obliczenia ś cież ki równowagi moż na posł u-giwać się przybliż onymi postaciam i macierzy stycznej K. W szczególnoś ci moż na dokonać symetryzacji tej macierzy wedł ug wzoru: Ks = i - ( K + K r ) = K0+ KG- 1 (KP+K T P). (7.9) D ochodzimy w ten sposób do tzw. sprowadzonego ukł adu konserwatywnego, którego wł asnoś ci został y zbadan e w [35] z pun ktu widzenia teorii statecznoś ci.
W pracy [23] wykon an o obliczenia statecznych i niestatecznych czę ś ci ś cież e k równo-wagi dla róż nych, przybliż onych macierzy stycznych. Obok Ks stosowano też macierz
K* = K o + KG, (7.10)
a wię c cał kowicie pomijano macierz począ tkowych obcią ż eń Kp. Obliczenia prowadzono
w przestrzeni konfiguracyjnej RN
, stosują c sterowanie obcią ż eniowe, a nastę
pnie prze-mieszczeniowe wedł ug algorytmu z [28] i zachowują c ś cisłe wyraż enie na sił y residualne JR. Okazał o się , że w zależ noś ci od konstrukcji proces iteracyjny przestaje być zbież ny przy stosowaniu K, lub Kf. D otychczas nie posł ugiwano się metodą obliczania ś cież e k równo-wagi w przestrzeni i ?w + 1 przy uwzglę dnieniu macierzy Kp.
8. P roblem y nieomówione
W pracy nie zaję liś my się problem am i, które dotyczą doboru metod numerycznych, zagadnień informatycznych i realizacji program ów n a emc [7, 92].
N ie zajmujemy się też dokł adniej problematyką aproksymacji M ES, tzn. doborem typów elementów i ich stopni swobody. N ależy tylko podkreś lić, że w przypadku ele-mentów niedostosowanych m oż na mieć oszacowania wartoś ci wł asnych od doł u [3, 92], a przy zbyt grubym podziale m oż na ż le ocenić typ pun ktu bifurkacji [55]. W pracach [22, 85] zwrócono uwagę n a moż liwość zmniejszenia globalnej liczby niewiadomych (wymiarów macierzy stycznej K) przez przyję cie pozawę zł owych stopni swobody.
W zagadnieniach statecznoś ci moż emy również dokonywać kondensacji stopni swo-body [3], ale należy czynić t o ostroż nie, aby nie wyeliminować istotnych postaci utraty statecznoś ci [5].
20 Z. WASZCZYSZYN
N a koniec o wpł ywie imperfekcji. Oprócz lokalnych imperfekcji uję tych w (2.5) wekto-rem a mogą wystą pić imperfekcje zwią zane z przykł adaniem obcią ż eń. W praktyce nigdy nie realizujemy liniowego stanu przedwyboczeniowego, co m oż ne zmienić typ u t rat y sta-tecznoś ci [11, 41]. Wią że się t o n p. z istotnym dla praktyki inż ynierskiej problem em ob-cią ż eń krytycznych w ramach z prę tam i zginanymi [2, 38, 51].
Oczywiś cie, w pracy nie wyczerpano cał ej bogatej problem atyki stosowania M E S do analizy statecznoś ci konstrukcji. Ograniczono się tylko do zakresu obowią zywania kry-terium statycznego utraty statecznoś ci. W zwią zku z tym pom in ię to cał kowicie problem y statecznoś ci dynamicznej, gdzie również M ES jest wykorzystywana [58].
Literatura cytowana w tekś cie
1. H . A. AŁFUTOW, Osnowy rasczotą na ustojcziwost' uprugieh sistiem, Maszynostrojenije, Moskwa 1978. 2. E. D . AKKOUSH, H . K. HUAN G , Bifurcation, Pre — and Post — Buckling Analysis of Frame Structures,
Comp & Struct., 8 (1978), 667 - 678.
3. R. G . ANDERSON, B. H . IRONS, O. C. ZIENKIEWICZ, Vibration and Stability of Plates Using Finite
Elements, Int. J. Solids Struct., 4 (1968), 1031 - 1055.
4. J. H . ARGYRIS, Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis, Pergamon Press 1964 (tł um. ros., Strojizdat, Moskwa 1968).
5. J. H . ARG YRIS, M . KON IG , D . A. N AG Y, M. HAASE, G . MALEJANALUS, Metoda elementów skoń czonych
w zagadnieniach geometrycznie nieliniowych, Metody Oblicz, w Mech. N ielin., Ossolineum 1977,163 - 234.
6. R. S. BARSOUM, Finite Element Method Applied to the Problem of Stability of a Non — conservative
system, Int. J. N um. Meth. Eng., 3 (1971), 63 - 87.
7. K. J. BATHE, E. L. WILSON, Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice — H all, Inc. 1976. 8. K- J. BATHE, H . OZDEMIR, Elastic — Plastic L arge Deformation: Static and Dynamic Analysis, Comp.cfc
Struct., 6 (1976) 81 - 92.
9. J. L. BATOZ, A. CHATTOPADHYNY, G . D U ATT, Finite Element L arge Deflection Analysis of Shallow
Shells, Int. J. N um. Meth. Eng., 10 (1976), 39- 58. 10. P. G . BERGAN, Solution Algorithm for Nonlinear Structural Problems, Intern. Conf. Eng. Appl. F EM , / H avik, N orway 1979, Vol. 1, 13.1 - 38. 11. J. F . BESSELING, Nonlinear Analysis of Structures by the Finite Element Method as a Supplement to a Linear Algebra, Int. J. Comp. M eth. Eng., 3 (1974). 12. S. R. BODNER, On the Conservativeness of Various Distributed Force Systems, J. Aero. Sci., (1958), 132- 133. 13. W. W. BOŁOTIN, Niekonserwatiwnyje zadaczi tieorii uprugoj ustrojcziwosti, Fizmatigiz, Moskwa 1961. 14. B. BRENDEL, Ceometrisch nichtlineare Elastostabilitat, Inst. Baustatik U niv. Stuttgart, Bericht N r. 79- 1, 1979.
15. D . O. BRUSH, B. O. ALMROTH, Buckling of Bars, Plates and Shells, Me G raw — H ill, 1975. 16. Buckling of Structures, Ed. B. Budiansky, Springer — Verlag 1976. - v
17. J. W. BUTTERWORDS, Numerical Post — Buckling Analysis, [72], 111 - 123.
18. Cz. CICHOŃ, Z. WASZCZYSZYN, Numeryczna analiza wyboczenia sprę ż ysto- plastycznych ram pł askich, Arch. Inż. Lą d., 1, 25 (1979), 35- 41.
19. Cz. CICHOŃ, Podstawy nieliniowej analizy statecznoś ci kratownic pł askich, Arch. Inż. Lą d. (w druku). 20. G . A. COHEN, Conservativeness of a Normal Pressure Field Acting on a Shell, AIAA J., 4, 10 (1966),
1886- 1887.
21. J. J. CONNOR, N . MORIN , Perturbation Techniques in the Analysis of Geometrically Nonlinear Shells, [32], 683 - 706.
22. S. B. D ON G , J. A.1
METOD A ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 21
23. F . FREY, S. CESCOTTO, Some New Aspects of the Incremental Total L agrangian Description in Nonlinear
Mechanics, Int. Conf., EE in N onl. Solid and Struct. Mech., G eilo, N orway, 1977, Prac. Vol. 1,
C.05.1 - 20.
24. F . FREY, L'analyse non liniaire des structures par la mdthode des elements finis of son application a la
construction metallique, These de doctorat, U niversite de Liege, 1977/ 78.
25. R. H . GALLAGHER, J. PADLOG , Discrete Element Approach to Structural Instability Analysis, AIAA J., 6, 1 (1963), 1437 - 39.
26. R. H . GALLAGHER, R. A. G ELLATLY, J. PADLOO, R. H . MALLETT, A Discrete Element Procedure for
Thin — Shell Instability Analysis, AIAA J., 1, 5 (1967), 138 - 145. 27. R. H . GALLAGHER, Finite Element Representation for Thin Shell Instability Analysis, [16], ss. 40- 51. 28. W. E. HAISLER, J. A. STRICKLIN, Displacement Incrementation in Non —linear Structural Analysis by the Self— Correcting Method, Int. J. N um. Meth. Eng., 11 (1977), 3- 10. 29. B. J. H ARTZ, Matrix Formulation of Structural Stability Problems, Proc. ASCE, J. Struct. D iv., ST5 (1965), 141 - 157. 30. H . D . H IBBIT, P. V. MARCAL, J. R. RICE, A Finite Element Formulation for Problems of L arge Strain and L arge Displacement, Int. J. Solids Struct,. 6 (1970), 1069 - 1089. 31. H . D . H IBBIT, Some Follower Forces and Load Stiffness, Int. J. N um. Meth. Eng., 14 (1979), 937 - 941. 32. High Speed Computing of Elastic Structures, Ed. B. Fraeijs de Veubeke, Univ. Liege, 1971. 33. K. HUSEYIN, R. H . PLAUT, Application of the Rayleigh Quotient to Eigenvalue Problems of Pseudo — Conservative Systems, J. Sound Vibr., 33 (1974), 201 - 220. 34. K. HUSEYIN, Nonlinear Theory of Elastic Stability, N oordhoff Intern. Publ., 1975. 35. K. HUSEYIN, Stability of Autonomuous Systems, [69], 121 - 180. 36. J. W. HUTCHINSON, W. T. KOITER, Postbuckling Tlieory, Appl. Mech. Rev., 23 (1970), 1353 - 1366. 37. J. W. HUTCHINSON, Plastic Buckling, Advances in Appl. Mech. Vol. 14, 1974, Academic Pres. 38. A. JERMINGS, Frame Analysis Including Change of Geometry, Proc. ASCE, J. Struct. D iv., ST3 (1968), 627 - 644.
39. R. F . JONES, H . G . COSTELLO, T. E . REYNOLDS, Buckling of Pressure Loaded Ri?igs and Shells by the
Finite Element Method, Comp. a. Struct., 7 (1977), 267 - 274.
40. K. K. KAPU R, B. J. H ARTZ, Stability of Plates Using the Finite Element Method, Proc. ASCE, J. Mech. Eng. D iv., EM 2 (1966), 177 - 195.
41. A. D . KERR, M. T. SAIFER, The Linearization of the Prebuckling State and Its Effect on the Determined
Instability Loads, J. Appl. Mech., 36 (1969), 775 - 783.
42. M . KLEIBER, Duż e deformacje dal sprę ż ysto- plastycznych — teoria i numeryczna analiza konstrukcji, Prace IPPT PAN , Warszawa 1978. 43. W. T. KOITER, General Equations of Elastic Stability for Thin Shells, Proc. Symp. Theory of Thin Shells., U niv. H ouston Press, 1967, 187 - 230. 44. T. E. LAN G , B. J. H ARTZ, Finite Element Matrix Formulation of Post — Buckling Stability and Imper-fection Sensitivity, [32], 727 - 758. 45. H . H . E. LEIPHOLZ, On Conservative Elastic Systems of the First and Second Kind, Ing. Arch., 43 (1974), ss. 255 - 271.
46. K. LOGANATHAN, S. C. CH AN G , R. H . GALLAGHER, J. F . ABEL, Finite Element Representation and
Pressure Stiffness in Shell Stability Analysis, Int. J. N um. Meth., Eng. 14 (1979), 1413 - 1429. 47. R. H . MALLETT, P. V. MARCAL, Finite Element Analysis of Nonlinear Structures, Proc. ASCE, J. Struct. D iv., ST9 (1968), 2081 - 2105. 48. R. H . MALLETT, R. T. HAFTHA, Progress in Nonlinear Finite Element Analysis Using Asymptotic So-lution Techniques, Advances Comp. Meth. Struct. Mech. Design, U niv. Alabama Press. Huntsville 1972, 357- 373. 49. H . A. MAN G , Symmetricability of Pressure Stiffness Matrices for Shells with Loaded Free Edges, Int. J. N um. Mech. Eng., I S (1980), 981- 990.
50. H . C. MARTIN , On the Derivation of Stiffness Matrices for the Analysis of L arge Deflection and Stability
Problems, Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright — Patterson AFB, D ayton Ohio (1966)
22 Z. WASZCZYSZYN
51. E. F . MASUR, I. C. CHANG, J. H . DONNELL, Stability of Frames in the Presence of Primary Bending
Moments, Proc. ASCE, J. Eng. Mech. Div., EM4 (1961), 19 - 34.
52. B. N ATH, Fundamentals of Finite Elements for Engineers, The Atklone Press, London 1974. 53. D . R. NAVARATNA, T. H . H . PIAN , L. A. WILIMIR, Stability Analysis of Shells of Revolution, by the
Finite Element Method, AIAA J., 6 (1968), 355 - 361.
54. NGUYEN — CAO — D U ON G , Z. WASZCZYSZYN, Statecznoś ć sprę ż ysto- plastycznych luków i paneli wal- .
cowych, Rozpr. Inż. (w druku).
55. NGUYEN — CAO — D U ON G , Analiza statecznoś ci sprę ż ysto- plastycznych luków i paneli wlacowych Rozpr. dokt., Politechnika Krakowska 1981.
56. A. NEEDLEMAN, Axisymetric Buckling of Elastic — Plastic Annular Plates, AIAA J., 11, 12 (1974), 1954 - 1956.
57. J. T. ODEN, J. E. KEY, Numerical Analysis of Finite?Axisymmetric Deformations of Incompressible
Elastic Solids of Revolution, Int. J. Solid Struct., 6 (1970), 497 - 518.
58. W. OSTACHOWICZ, Zastosowanie metody elementów skoń czonych do analizy statecznoś ci dynamicznej prę tów i pł yt cienkich, IV Konfer. Met. Komp. w Mech. Konstr., Koszalin 1979, Ref. probl., 193 - 224.
59. J. G . PANOWKO, 1.1. GUBANOWA, Ustrojcziwost' i kolebanija uprugich sistiem, Wyd. 3, N auka, Moskwa ' 1979.
60. A. PFLUGER, Stabilitć itsprobleme des Elastostatik, Wyd. 2, Springer — Verlag 1964.
61. T. H . H. PIAN, PIN - TON G , Variational Formulation of Finite Displacement Analysis, [32]. 62. J. S. PRZEMIENIECKI, Theory of Matrix Structural Analysis, Me G raw — Hill 1968. 63. E. RAUM, Geometrisch nichtlineare Elastostatik und Finite Element, Inst. Baustatik Univ. Stuttgart, Bericht N r. 76 - 2, 1976. 64. E. RIKS, An Incremental Approach to the Solution of Snapping and Buckling Problems, Int. J. Solids Struct., IS (1979), 529- 551. 65. E. RIKS, A Unified Method for the Computation of Critical Equilibrium States of Nonlinear Elastic Systems, Acta Techn. Acad. Sci. H ung, 87 (1978), 121 - 141.
66. J. ROORDA, Concepts in Elastic Structural Stability, Mechanics Today, Ed. S. N emat — N asser, Vol.
1, 1972, Pergamon Press.
67. M. J. SEWELL, A Survey of Plastic Buckling, Stability, Ed. H . H . E. Leipholtz, U niv. Waterloo, 1972, 85 - 198. 68. T. H . S0REIDE, Collapse Behavior of Stiffmed Plates Using Alternative Finite Element Formulation', Div. Struct. Mech. Univ. Trondheinm, Rep. N o 77- 3, 1977. 69. Stability of Elastic Structures, Ed. H . H . E. LEIPHOLZ, Springer — Verlag 1978. 70. J. A. STRICKXIN, W. E. HAISLER, W. A. RIESEMAN, Evaluation of Solution Procedures for Material and] or Geometrically Nonlinear Structural Analysis, AIAA J., 11 (1973), 292 - 299. 71. J. A. STRICKLIN, W. E. HAISLER, Formulations and Solution Procedures for Nonlinear Structural Ana-lysis, Comp. a. Struct., 7 (1977), 125 - 136. 72. Structural Instability, Ed. W. J. SUPPLE, IPC Business, London 1973. 73. K. TERAZAWA, J. YAG I, Y. UEDA, M. MATSUISHI, Elastic— Plastic Buckling of Plates using the Finite Element Method, J. Soc. N aval Arch, of Japan, 122 (1967). 74. J. M. T. THOMPSON, A. C. WALKER, The Nonlinear Perturbation Analysis of Discrete Structural Sy-stems, USS, 4 (1968), 757. 75. J. M. T. THOMPSON, G . W. H U N T, A General Theory of Elastic Stability, 3. Wiley & Sons, 1973. 76. S. P. TIMOSHENKO, J. M. G ERE, Theory of Elastic Stability, 2- nd Ed., Me G raw —H ill, 1961 (polskie
tł um., Arkady 1963).
77. V. TVERGAARD, Buckling Behaviour of Plate and Shell Structures, Theoret. and Appl. Mech., Ed. W. T.Koiter, N orth — H olland Publ. Co., 1976, 233- 246.
78. A. C. WALKER, A Nonlinear Finite Element Analysis of Shallow Circular Arches, Int. J. Solids Struct. 5 (1969), 97 - 107.
79. K. WASHIZU, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press 1975.
80. Z. WASZCZYSZYN, E. PYTEL, N G UEN - CAO- DUON G , Numeryczna analiza nieliniowych zagadnień utraty
METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 23
81. Z. WASZCZYSZYN, Problemy numeryczne nieliniowej analizy statecznoś ci konstrukcji sprę ż ystych, [86] 341 - 380." 82. L. C. WELLFORD, G h. M. D IBB, Post — Buckling Behaviour of Structures Using a Finite Element Non-linear Eigenvalue Technique, I n t. J. N um. Meth. Eng., I S (1980), 955 - 980. 83. R. H . B. WELTON, Snap— Through of Arch. Model under Multiple Loads, Proc. ASCE, J. Eng. Mech. D iv., AM4, 104 (1978), 964 - 967. 84. A. S. WOLMIR, Ustojcziwost' dieformirujemych sistiem, N auka, Moskwa 1967. 85. M . WÓJCIK, Z. WASZCZYSZYN, Zastosowanie pozawezlowych stopni swobody w analizie wybaczenia ram
pł askich metodą elementów skoń czonych (w przygotowaniu do druku).
86. W spół czesne metody analizy statecznoś ci konstrukcji, Ed. Z. WASZCZYSZYN, Ossolineum, 1981,. 87. V. YAMADA, K. IWATA, T. KAH IMI, T. HOSOMURA, L arge deformation and critical loads analysis of
framed structures, Comp. M eth. N od. Mech., Texas Inst., (1974), 819 - 828.
88. Y. YOKKO, T. NAKAMURA, H . UETAN I, The incremental Perturbation Method for L arge Displacement
Analysis of Elastic — Plastic Structures, Int. J. N um. M eth. Eng., 10 (1976), 503 - 525.
89. H . ZIEGLER, Principles of Structural Stability, Blaisdell Publ. Co., 1968 (tł um. ros., Mir, Moskwa 1971), 90. O. C. ZIENKIEWICZ, Incremental Displacement in Nonlinear Analysis, Int. J. N um. Meth. Eng., 3 (1971),
587 - 592.
91. O. C. ZIENKIEWICZ, Y. K. CH EU N G , The Finite Element Method of Structural and Continuum Mechanics, Me G raw — H ill 1967.
92. O. C. ZIENKIEWICZ, The Finite Element Method, 3- d Ed., Me G raw- Hill 1978.
93. M. Ż YCZKOWSKI, Influence of the Behaviour of Loading on Its Critical Value, [69], ss. 181 - 210.
P e 3 so M e
M E TOfl K O H E ^ H H X 3J I E M E H T 0B B YC TOfl^M BOC TH COOPWKEH H fi: HeKOToptie npoSjieivibi npwvieHeHHH M K 3 K HejiHHefiHOMy aH ann3y coopy>i<eHHH. KopoTKo HanoMHHaioTCH ocHoSHwe npeflnonomenH H H onpe^eneHHte aHaniraa
CHCTeiw n p n MHoronapaiweTpiroecKJiH H arpy3i<ax. 3aieM paccy>K#ae:rcfl Etmucjiei- aie COCTOHHHK paBHo-6eCHH H KpHTHMeCKHX TO^KK B KOH(pHrypaUHOHHO CHJ1OBOM npeCTpaHCTBe. yi<a3aHbI B03M0H<H0CTH CTaTHMecKoro aHaroi3a ycTOOTHBOCTH yn p yro - nJiacTH^ecKHX cHCTeiw H KBa3H — itoiicepBaTWBHbix CHC-Tem, B KOTopwx Harpy3i<a smnae.ica cpyHKHHeii KOHCpurypatiHH coopywem ra.
S u m m a r y
F IN ITE ELEM EN T M ETH OD IN STRU CTU RAL STABILITY
Some problems of application of F EM to nonlinear structural stability are discussed. Basic concepfs of the nonlinear analysis of discrete systems subject to nonconservative loads are shortly presented. Then computation of equilibrium paths and critical points in the load configuration space in considered. Certain possibilities of the analysis of elastic- plastic systems and the static analysis of quasi- conservative systems (if load depends on configuration of structure) are pointed out.
