METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ ELEKTROFILTRÓW

(1)

METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ ELEKTROFILTRÓW

I

WONA

A

DAMIEC

-W

ÓJCIK

, S

TANISŁAW

W

OJCIECH

Katedra Transportu i Informatyki, Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej e-mail: i.adamiec@ath.eu, swojciech@ath.eu

Streszczenie. Oczyszczanie elektrod osadczych w elektrofiltrach suchych jest realizowane przez wzbudzanie ich drgań. Są to drgania o dużych wartościach przyspieszeń. Przedmiotem modelowania w niniejszej pracy jest pojedynczy zestaw elektrod, składający się z belki nośnej, zawieszonych na niej elektrod, będących powłokami o złożonym kształcie oraz drąga strzepującego.

Do dyskretyzacji układu zastosowano metodę sztywnych elementów skończonych. Wyniki obliczeń porównano z wynikami otrzymanymi przy zastosowaniu metody hybrydowej oraz pomiarów na specjalnym stanowisku badawczym.

1. WSTĘP

Proces usuwania pyłów z elektrod osadczych w znaczącym stopniu wpływa na skuteczność elektrofiltrów. Ważnymi parametrami, służącymi do oceny elektrofiltrów, są maksymalne wartości przyspieszeń stycznych i normalnych, pojawiających się w trakcie drgań elektrod. Ważne dla projektantów są nie tylko wartości maksymalne przyspieszeń, ale również ich równomierny rozkład. Zależą one przy tym zarówno od geometrii układu (grubość, długość i kształt elektrod), jak i od siły uderzenia wzbudzającej drgania. Na rys. 1 przedstawiono pojedynczą sekcję elektrod osadczych, będącą przedmiotem modelowania.

Rys.1. Pojedyncza sekcja elektrod osadczych: a) widok ogólny, b) kształt elektrody SIGMA VI, c) typowy przebieg siły uderzenia

(2)

Zagadnienie modelowania tego układu było przedmiotem wcześniejszych prac autorów i ich współpracowników [1], [5]. Do modelowania układu z rys. 1 stosowano metody: hybrydową, funkcji sklejanych oraz odkształcalnych elementów skończonych. W każdym przypadku do dyskretyzacji belek stosowano metodę SES [6]. Natomiast w różny sposób modelowano elektrody. Belki i elektrody połączone są za pomocą elementów sprężysto-tłumiących [5].

W niniejszej pracy do dyskretyzacji układu zastosowano klasyczną metodę sztywnych elementów skończonych, zarówno do belek, jak i elektrod. Podobne podejście zastosowano we wspomnianej wyżej metodzie hybrydowej [3]. Każdy ze sztywnych elementów skończonych (ses) ma sześć stopni swobody (trzy przemieszczenia translacyjne oraz trzy rotacyjne). Jednak w metodzie hybrydowej energię odkształcenia sprężystego układu obliczano przy zastosowaniu klasycznej metody odkształcalnych elementów skończonych.

Zdefiniowano własny element o 24 wielkościach węzłowych. Następnie wyrażono współrzędne elastyczne (odkształcenia w węzłach) poprzez współrzędne ses.

Podejście zastosowane w tej pracy polega na bezpośrednim wykorzystaniu wzorów na współczynniki sztywności elementów płytowych, podane w [4], przy pewnych modyfikacjach, które opisano w następnym rozdziale. Implementacja komputerowa tego podejścia umożliwiła porównanie wyników obliczeń z otrzymanymi metodą hybrydową i odniesienie ich do wielkości z pomiarów na stanowisku badawczym.

2. METODA SES – PODZIAŁ PIERWOTNY

Cechą charakterystyczną metody SES jest prowadzenie podziałów pierwotnego i wtórnego obszaru podlegającego dyskretyzacji. W przypadku elektrod podział pierwotny może być dokonany zgodnie z ich podziałem na płaskie pasma, a następnie na obszary prostokątne (rys. 2).

Rys.2. Podział elektrody o m pasmach na elementy pierwotne

(3)

Jeśli przyjąć, że elektroda ma m pasm o stałych długości L oraz szerokości bj(j=1,…,m) i podzielić każde pasmo na n prostokątów o bokach b_j,x:

x L

 n

  , (1)

gdzie L – długość elektrody, to w podziale pierwotnym liczba elementów wynosi:

p .

N  n m (2)

Kolejnym etapem w metodzie SES jest zastąpienie własności podatnościowych elementów otrzymanych w podziale pierwotnym przez elementy sprężysto-tłumiące (est). W klasycznym podejściu [4] proponuje się, aby własności sprężyste elementów odwzorowywały esty ułożone jak na rys. 3a. Segmenty (1)÷(4), na które podzielono elementy, mają po pięć stopni swobody, którymi są:

, ,

u v z   – przemieszczenia translacyjne,

x, y

 _ _ – przemieszczenia rotacyjne, a współczynniki sztywności est określają zależności:

 

12 34 23 41

3 3

12 34 23 41 2

3

12 34

2 2

12 24 1

x x x x

y y

x x x x

y y y y

z z z z

Eh y Gh x

c c c c

x y

Gh y Eh x

c c c c

x y

Gh y Gh x

c c c c

x y

Gh y Eh x

c c c c

x y

c c Eh y

   

 



   

 

   

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

  

 

 

 

3

23 41

2 12

24 1

y y Gh x

c c

x y

 



 









 

   

 

  

, (3)

gdzie E – moduł sprężystości Younga, G – moduł odkształcenia postaciowego, υ- liczba Poissona, h – grubość elektrody. Cechą charakterystyczną tego (klasycznego) postępowania jest pominięcie możliwości obrotu segmentów (1)÷(4) wokół osi prostopadłych do płaszczyzny elementu pierwotnego. Jednak w zastosowaniu do elektrod (powłok) o złożonym kształcie, konieczne jest przyjęcie, że ruch segmentów opisuje sześć współrzędnych (trzy przemieszczenia translacyjne oraz trzy rotacyjne).

Rys.3. Element pierwotny (– est): a) klasyczne oraz b) proponowane umiejscowienie est

(4)

Aby ograniczyć obrót segmentów względem osi równoległych do z, wystarczy odsunąć od siebie elementy sprężysto-tłumiące, tak jak to przedstawiono na rys. 3b. Segmenty mogą wówczas mieć po sześć stopni swobody, ale ich obroty wokół osi prostopadłych do płaszczyzny x y  są ograniczone przez est.

3. METODA SES – PODZIAŁ WTÓRNY

W podziale wtórnym łączy się sąsiadujące segmenty (jeden, dwa lub cztery), należące do różnych elementów pierwotnych, w sztywne elementy skończone, jak przedstawiono na rys. 4 oraz rys. 5a.

Rys.4. Numeracja ses elektrody s W rezultacie otrzymuje się podział elektrody na:



¹



¹



Nw  m n (4)

elementów sztywnych (ses). Z ses k wiąże się układ osi



x_{C k}, ,y_{C k}, ,z_{C k},



, które są głównymi centralnymi osiami bezwładności elementu. Oś x_{C k}_, jest równoległa do osi x układu bazowego

 

. Natomiast oś y_{C k}_, jest nachylona do osi yukładu bazowego pod kątem oznaczonym na rys. 5b jako  . Współrzędnymi uogólnionymi ses k są współrzędne wektora: _k

T

, , ,

, , , , , ,

k x y zk k k   x k y k z k

         

q (5)

(5)

gdzie , ,x y z   - przemieszczenia translacyjne, _k _k _k   _{x k}_, , _{y k}_, , _{z k}_, - przemieszczenia rotacyjne.

Rys.5. Ses k: a) jako połączenie segmentów różnych elementów pierwotnych, b) główne centralne osie bezwładności, c) oznaczenia współrzędnych est w układzie lokalnym ses Przemieszczenia będące składowymi powyższego wektora określa się względem położenia w stanie nieodkształconym układu. Wektor współrzędnych uogólnionych elektrody s przyjmuje postać:

( ) ( )T ( )T ( )T T

1 w

s s s s

k N

 

      

q q q q , (6)

a jej energię kinetyczną można przedstawić w postaci:

( ) 1 ( )T ( ) ( )

2

s s s s

T  q M q , (7)

gdzie ^{( )}^=diag



¹^{( )} ^{( )} ^{( )}w



s s s s

k N

M M M M jest macierzą o stałych elementach,



^, ^, ^,



diag , , , , ,

k  m m m Ik k k x k Iy k Iz k

M ; m - masa elementu k; _k I_{x k}_, ,I_{y k}_, ,I_{z k}_, - momenty bezwładności ses k względem osi układu



x_{C k}, ,y_{C k}, ,z_{C k},



. Sposób obliczania wielkości

, , ,

, , , ,

k m Ik x k Iy k Iz k

 daje się łatwo zalgorytmizować [1÷3], [5].

4. ENERGIA ODKSZTAŁCENIA EST

Przyjmuje się, że



^{s i j}^{, , ,}^



jest numerem ses, do którego należy segment  elementu pierwotnego

 

,i j elektrody s. Energia potencjalna odkształcenia sprężystego elektrody może być przedstawiona w postaci:

( ) ( )

,

1 1

m n

s s

i j

i j

V V

 





^, ⁽⁸⁾

gdzie V jest energią odkształcenia est elementu pierwotnego elektrody s. Wielkości _{i j}^{( )}_,^s V _{i j}^{( )}_,^s trzeba uzależnić od współrzędnych uogólnionych ses



^{s i j}^{, , ,1}



^÷



^{s i j}^{, , ,4}



. Należy zgodnie z rys. 3b przyjąć, że:

( ) 1 T 1 T

, 2 , , ,12 , , ,12 , , ,12 2 , , ,23 , , ,23 , , ,23

T T

1 1

, , ,34 , , ,34 , , ,34 , , ,41 , , ,41 , , ,41

2 2

s

i j s i j s i j s i j s i j s i j s i j

s i j s i j s i j s i j s i j s i j

V   



Δ C Δ Δ C Δ

Δ C Δ Δ C Δ , (9)

(6)

gdzie C_{s i j}_{, , ,12},C_{s i j}_{, , ,23},C_{s i j}_{, , ,34},C_{s i j}_{, , ,41} są macierzami 5 5 , diagonalnymi, o elementach określonych wzorami (3), po przyjęciu parametrów odpowiadających elementowi

 

^{,i j}

elektrody s; Δ_{s i j}_{, , ,12},Δ_{s i j}_{, , ,23},Δ_{s i j}_{, , ,34},Δ_{s i j}_{, , ,41} są odkształceniami est. Odkształcenia est, występujące w powyższym wzorze, są wyrażone w układzie współrzędnych elementu pierwotnego

 

,i j , a więc nachylonego do osi y układu bazowego pod kątem  . Ponieważ _j osie y_{C k}_, ses są nachylone do osi y pod kątem  , to po przyjęciu oznaczeń jak na rys. 5c, _j można określić współrzędne est



^{s i j}^{, , ,}^



w układzie ses



^{s i j}^{, , ,}^



ⁱ



^{s i j}^{, , ,}^



^według

zależności:

( , ) ( ) ( )

( , , , )C ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) s i j s i j s i j s i j

   

    

r U q r , (10.1)

( , ) ( ) ( )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) C

s i j s i j s i j s i j

  

   

    

r U q r , (10.2)

gdzie

( , , , ) ( , , , )

( )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , )

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

s i j s i j

s i j s i j s i j

s i j s i j

z y

z x

y x

 

   

 

 

  

   

  

    

 

U ,

( ) ( , , , )

( ) ( )

( , , , ) ( , , , ) ( ) ( , , , )

s i j

s i j s i j

s i j

x y z

 

 

 

 



 

 

    

  

 

r - wektor

współrzędnych lokalnych est  w układzie współrzędnych



^x^^{C s i j}^{,( , , , )}^ ^,^y^^{C s i j}^{,( , , , )}^ ^,^z^{C s i j}^^{,( , , , )}^



^,

 1,2. Współrzędne (10) można wyrazić w układzie współrzędnych elementu

 

^{,i j za}

pomocą wzorów:

T ( , )

( , , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , , ) C

s i j s i j s i j s i j

  

  

r R R r , (11.1)

T ( , )

( , , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , , ) C

s i j s i j s i j s i j

  

  

r R R r , (11.2)

gdzie R_{( , , )}_{s i j} , R_{( , , , )}_{s i j}_ - macierze transformacji o stałych elementach [5].

Wyrażenia występujące w (9), postaci:

( , ) 1 T

, 2 , , , , , , , , ,

s

i j s i j s i j s i j

V ^  Δ _C _Δ _, (12)

powodują, że w równaniach ruchu pojawiają się elementy związane z różniczkowaniem energii (12) względem q_{( , , , )}_{s i j}_ i q_{( , , , )}_{s i j}_ otrzymując odpowiednie elementy (podmacierze

6 6 ) macierzy sztywności elektrody s.

5. SYNTEZA RÓWNAŃ, WALIDACJA MODELU

Sposób dyskretyzacji (podział na ses i est) belki górnej i drąga strzepującego opisano szczegółowo we wcześniejszych pracach autorów [2], podobnie, jak sposób łączenia belek z elektrodami i uwzględniania oddziaływania siły F(t) z rys. 1c. Po uwzględnieniu zależności przedstawionych w niniejszej pracy, równania ruchu układu można przedstawić w postaci:

  

Mq Cq G Q, (13)

gdzie M- diagonalna macierz mas, C- macierz sztywności; G- wektor sił ciężkości; Q

- wektor sił uogólnionych wywołanych uderzeniem;

( )Tg (1)T ( )Ts ( )Tp ( )Td T

    

 

  

q q q q q q , q^{( )}^s - określone w (7), q^{( )}^g , q^{( )}^d

(7)

- wektory współrzędnych uogólnionych belek. Jeżeli belki górną i dolną podzielono na n^(g) i n^(d)sztywnych elementów skończonych, to liczba składowych wektora q wynosi:

( ) ( ) ( )

1

6

g p s d

w s

N n N n



 

  



 ^, ⁽¹⁴⁾

gdzie ^N^w^{( )}^s ^



ⁿ^{( )}^s ^¹



^m^{( )}^s ^¹



. Do całkowania równań (13) zastosowano metodę Newmarka.

Ponieważ macierz M jest diagonalna, a macierz C rzadka zastosowano specjalne procedury do rozwiązywania rzadkich układów równań algebraicznych liniowych.

Model poddano walidacji poprzez porównanie wyników obliczeń z wynikami pomiarów na specjalnym stanowisku badawczym [5]. Zgodność wyników badano posługując się wskaźnikami: sprawdzalnościFAC2oraz zgodności q_ zdefiniowanymi następująco:

 

1

2 1

np

f

s i

p i

FAC a N

n _





^, ^(15.1)

 

1

1 ⁿ^p _q

s i

p i

q a N

 n





^, ^(15.2)

gdzie:

   

( ) ( )

1 dla 1 2

2

0 w przeciwnym przypadku

i s

f i

i s

o p

W a

N W a

  

 



,

   

 

( ) ( )

1 dla ( )

0 w przeciwnym przypadku

q i

i p i

o s s

p i

N s

W a W a

W a ^

 

 





,

i - numer punktu kontrolnego, np – liczba punktów kontrolnych,

0

max _s

t T

W^ a

 

 , T - czas obliczeń, ^^

 

^{o p}^, ^,^{W a}^o

 

^s^{( )}ⁱ - wartości uzyskane z obliczeń, ^W^p

 

^a^^{( )}ⁱ - wartości uzyskane z pomiarów, ^s^



^{ }^{, ,}^c



oznacza odpowiednio przyspieszenie normalne, styczne i całkowite.

Wyniki uznawano za akceptowalne, jeżeli dla badanej wielkości wskaźniki: FAC a ²

 

s ^0,5

oraz q a_

 

s ^0,66.W obliczeniach przyjęto wartość  0,4. Na rys. 6 przedstawiono oba wskaźniki.

Rys.6. Walidacja: wskaźniki FAC²_

 

as i q a_

 

s dla ^s^



^{ }^{, ,}^c



(8)

6. PODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono zastosowanie klasycznej metody sztywnych elementów skończonych do modelowania powłok o skomplikowanych kształtach na przykładzie elektrod osadczych elektrofiltrów. Ze względu na konieczność uwzględnienia sześciu stopni swobody sztywnych elementów skończonych w podziale wtórnym zaproponowano inne położenie elementów sprężysto-tłumiących w stosunku do klasycznej metody.

Przeprowadzona walidacja modelu, wykonana poprzez porównanie wyników obliczeń według zaproponowanego modelu oraz metody hybrydowej a także pomiarów na specjalnym stanowisku badawczym, wskazują na dużą efektywność numeryczną i poprawność zastosowanych metod.

LITERATURA

1. Adamiec-Wójcik I., Nowak A., Wojciech S.: Comparison of methods for vibration analysis of electrostatic precipitators. „Acta Mech. Sinica” 2011, 1, Vol. 27, p. 72–79.

2. Adamiec-Wójcik I.: Modelling of systems of collecting electrodes of electrostatic precipitators by means of the rigid finite element method. „Archive of Mechanical Engineering”, Versita, 2011, No. 1, Vol. LVIII, p. 27–47.

3. Adamiec-Wójcik I., Nowak A., Wojciech S.: Application of the finite strip method to modeling of vibrations of collecting electrodes. „Journal of Sound and Vibration” 2012 (zgłoszony do druku).

4. Kruszewski J., Gawroński W., Wittbrodt E., Najbar F., Grabowski S.: Metoda sztywnych elementów skończonych. Warszawa: Arkady, 1975.

5. Nowak A: Modelowanie i pomiary drgań elektrod osadczych elektrofiltrów suchych.

Bielsko-Biała: Wyd. Nauk. Akad. Tech. - Human., 2011. Rozprawy naukowe 35. . 6. Wittbrodt, E., Adamiec-Wójcik, I., Wojciech, S.: Dynamics of flexible multibody

systems rigid finite element method. Berlin Heidelberg New York: Springer, 2006.

RIGID FINITE ELEMENT METHOD IN MODELLING OF VIBRATIONS OF ELECTROSTATIC PRECIPITATORS

Summary. Collecting electrodes in electrostatic precipitators are cleaned by inducing vibrations with large accelerations. This paper presents modeling of one section of electrodes which consists of a supporting beam, system of collecting electrodes which are treated as shells with complicated shape and a brushing bar.

Discretizsation of the system is carried out by the rigid finite element method. The results of calculations are compared with those obtained using the hybrid finite element method and experimental measurements.