Rozkłady zmiennej losowej

(1)

Rozkłady zmiennej losowej

JJ, IMiF UTP

28

(IMiF UTP) Rozkłady zmiennej losowej 28 1 / 1

(2)

Wybrane typy rozkładów

DEFINICJA. Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeśli przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem p (gdzie 0 < p < 1) oraz przyjmuje wartość 0 z prawdopodobieństwem q = 1 − p.

PRZYKŁAD.

80 procent ziaren pewnej rośliny kiełkuje.

Zmienną losowa¸ określamy jako:

X = 1, gdy ziarno wykiełkuje, X = 0, gdy ziarno nie wykiełkuje.

Ta zmienna ma rozkład zero-jedynkowy oraz P(X = 1) = 0, 8, P(X = 0) = 0, 2.

(3)

Rozkład 0-1

WŁASNOŚCI.

Dystrybuanta zmiennej losowej zero-jedynkowej F (x ) = 0, dla x < 0, F (x ) = 1 − p dla 0 ¬ x < 1,

F (x ) = 1 dla x 1.

0 1 x 1 − p

Wartość oczekiwana E (X ) = 0 · (1 − p) + 1 · p = p.

Wariancja D²(X ) = (0 − p)²(1 − p) + (1 − p)²p = p(1 − p).

(4)

Schemat Bernoulliego

DEFINICJA.

Schemat Bernoulliego to seria n powtórzeń tego samego doświadczenia, które może zakończyć się albo sukcesem, albo porażką.

W każdym powtórzeniu prawdopodobieństwo p sukcesu jest takie samo, prawdopodobieństwo porażki wynosi q = 1 − p.

Wtedy, dla k = 0, 1, . . . , n mamy:

P(X = k) = ⁿ_kp^kq^n−k.

(5)

Schemat Bernoulliego

PRZYKŁAD.

Prawdopodobieństwo, że statystyczny student nie jest przygotowany do ćwiczeń wynosi p = ¹₃.

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że spośród 4 osób (losowo wybranych) 3 nie sa¸ przygotowane.

P(X = 3) = ⁴₃¹₃³²₃¹ = ₈₁⁸.

(6)

Rozkład dwumianowy

DEFINICJA.

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy, jeżeli przyjmuje wartości k = 0, 1, . . . , n z prawdopodobieństwem

P(X = k) = ⁿ_kp^k(1 − p)^n−k. WŁASNOŚCI.

Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym F (X ) = P(X ¬ x ) = ^X

k¬x nk

p^k(1 − p)^n−k.

Ponadto,

E (X ) = np, D²(X ) = np(1 − p).

(7)

Rozkład Poissona

DEFINICJA. Zmienna losowa X przyjmuja¸ca wartości k = 0, 1, 2, . . . ma rozkład Poissona o parametrze λ, jeżeli

P(X = k) = λ^k k!e^−λ,

dla k = 0, 1, 2, . . . i dla pewnej stałej λ.

WŁASNOŚCI. Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie Poissona

F (X ) = ^X

k¬x

λ^k

k!e^−λ, Ponadto E(X) = λ, D²(X) = λ.

Rozkład ten ma zastosowanie przy ustalaniu liczby usterek czy liczby zgłoszeń ubezpieczeniowych w określonym czasie.

Można go stosować do aproksymacji rozkładu dwumianowego, który nie jest stablicowany.

(8)

Rozkład Poissona

P(X = k) = λ^k k!e^−λ, dla k = 0, 1, 2, . . . i dla pewnej stałej λ.

F (X ) = ^X

k¬x

λ^k

(9)

Rozkład Poissona

F (X ) = ^X

k¬x

λ^k

(10)

Rozkład Poissona

F (X ) = ^X

k¬x

λ^k

(11)

Rozkład Poissona

PRZYKŁAD.

W pierwszym składzie ksia¸żki popełniono przeciętnie 1,5 błędu na stronę.

Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana strona ma k błędów (przyjmuja¸c rozkład Poissona), dla k = 0, 1, 2.

Oznaczmy przez X liczbę błędów na stronie. Ponieważ E (X ) = 1,5, więc przyjmujemy λ = 1,5. Zatem

P(X = 0) = (1,5)⁰

0! e^−1,5≈ 0, 223, P(X = 1) = (1,5)¹

1! e^−1,5≈ 0, 335, P(X = 2) = (1,5)²

2! e^−1,5≈ 0, 251.

(12)

Rozkład normalny

DEFINICJA. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m i σ (dla σ > 0), co zapisujemy N(m, σ),gdy jej funkcja¸ gęstości jest

f (x ) = 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2 2σ2 .

1 σ√ 2π

x y

WŁASNOŚCI. Wykres funkcji gęstości rozkładu N(m, σ) jest symetryczny względem prostej x = m, osia¸ga maksimum lokalne dla x = m (wartość maksymalna to ¹

σ√

2π), ma punkty przegięcia dla x = m − σ oraz x = m + σ.

(13)

Rozkład normalny

DEFINICJA. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m i σ (dla σ > 0), co zapisujemy N(m, σ),gdy jej funkcja¸ gęstości jest

f (x ) = 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2 2σ2 .

1 σ√ 2π

x y

WŁASNOŚCI. Wykres funkcji gęstości rozkładu N(m, σ) jest symetryczny względem prostej x = m, osia¸ga maksimum lokalne dla x = m (wartość maksymalna to ¹

σ√

(14)

Rozkład normalny

DEFINICJA. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m i σ (dla σ > 0), co zapisujemy N(m, σ), gdy jej funkcja¸ gęstości jest

f (x ) = 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2 2σ2 .

1 σ√ 2π

m x

y

WŁASNOŚCI. Wykres funkcji gęstości rozkładu N(m, σ) jest symetryczny względem prostej x = m, osia¸ga maksimum lokalne dla x = m (wartość maksymalna to ¹

σ√

(15)

Rozkład normalny

f (x ) = 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2 2σ2 .

1 σ√ 2π

m

1 σ√ 2π

x y

σ√

2π),ma punkty przegięcia dla x = m − σ oraz x = m + σ.

(16)

Rozkład normalny

f (x ) = 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2 2σ2 .

1 σ√ 2π

m

1 σ√ 2π

m − σ m + σ x y

σ√

2π),ma punkty przegięcia dla x = m − σ oraz x = m + σ.

(17)

Rozkład normalny

WŁASNOŚCI.

Dystrybuanta, wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu N(m, σ) wynosza¸:

F (x ) = 1 σ√

2π Z x

−∞

e⁻

(t−m)2 2σ2 dt,

E (X ) = Z ∞

−∞

x 1

σ√ 2πe⁻

(x −m)2

2σ2 dx =m,

D²(X ) = Z ∞

−∞

(x − m)² 1 σ√

2πe⁻

(x −m)2

2σ2 dx =σ².

WNIOSEK:

W rozkładzie N(m,σ) parametr m to wartość oczekiwana, a σ to odchylenie standardowe.

(18)

Rozkład normalny N(0, 1)

DEFINICJA.

Standardowy rozkład normalny to N(0, 1).

Funkcja¸ gęstości jest

f (x ) = 1

√

2πe^−x²^/2.

1

1 x

y

UWAGA. Zwykle rysujemy wykres w układzie, w którym jednostka na osi 0y jest większa od jednostki na osi 0x (tak zrobiliśmy na poprzednim rysunku, tak zrobimy na następnym rysunku).

(19)

Rozkład normalny N(0, 1)

DEFINICJA.

Standardowy rozkład normalny to N(0, 1).

Funkcja¸ gęstości jest

f (x ) = 1

√

2πe^−x²^/2.

√1

2π ≈ 0.3989

1 x

y

WŁASNOŚĆ. Wykres funkcji gęstości rozkładu N(0, 1) jest symetryczny względem prostej x = 0 (funkcja f (x ) jest parzysta).

(20)

Standardowy rozkład normalny N(0, 1)

WŁASNOŚĆ.

Jeśli X ma rozkład N(m, σ), to zmienna losowa U = X − m

σ ma rozkład N(0, 1).

Dystrybuanta rozkładu N(0, 1), oznaczana często przez Φ(x ), jest stablicowana. Przypomnienie: Φ(x )= P(U ¬ x).

x

(21)

Standardowy rozkład normalny N(0, 1)

WŁASNOŚĆ.

x Φ(x )

(22)

Standardowy rozkład normalny N(0, 1)

WŁASNOŚĆ.

x

limx →∞Φ(x ) = 1

(23)

Standardowy rozkład normalny N(0, 1)

Przypomnienie: Φ(x ) = P(U ¬ x).

Oczywiście, Φ(x )=1−Φ(−x ).

x −x

lim_{x →∞}Φ(x ) = 1

(24)

Standardowy rozkład normalny N(0, 1)

x −x

lim_{x →∞}Φ(x ) = 1 lim_{x →∞}Φ(x ) = 1

(25)

Standardowy rozkład normalny N(0, 1)

x −x

lim_{x →∞}Φ(x ) = 1 Φ(x )

(26)

Standardowy rozkład normalny N(0, 1)

x −x

lim_{x →∞}Φ(x ) = 1 Φ(−x )

(27)

Standardowy rozkład normalny N(0, 1)

x −x

lim_{x →∞}Φ(x ) = 1

Φ(x ) 1−Φ(−x )

(28)

Rozkład normalny

PRZYKŁAD. Waga mężczyzn w pewnej populacji ma rozkład N(75,6).

Jaki procent mężczyzn waży poniżej 85 kg, jaki powyżej 60 kg, jaki poniżej 65kg, a jaki powyżej 90kg?

1,67 Φ(1,67)

P(X < 85) = PX −75

6 < 85 −75 6

≈P(U < 1,67)

= Φ(1,67)≈ 0,95254 Zatem około 95,25 % mężczyzn waży poniżej 85 kg.

Wartość Φ(1,67) odczytaliśmy z tablic.

(29)

Rozkład normalny

PRZYKŁAD. Waga mężczyzn w pewnej populacji ma rozkład N(75,6).

1,67 Φ(1,67)

P(X < 85) = PX −75

6 < 85 −75 6

≈P(U < 1,67)

= Φ(1,67)≈ 0,95254 Zatem około 95,25 % mężczyzn waży poniżej 85 kg.

Wartość Φ(1,67) odczytaliśmy z tablic.

(30)

Rozkład normalny

PRZYKŁAD. Waga mężczyzn w pewnej populacji ma rozkład N(75, 6).

−2,5

P(X > 60) = PX − 75

6 > 60 − 75 6

=P(U > −2,5)

= P(U < 2,5) = Φ(2,5)≈ 0,99379 Około 99,4 % mężczyzn waży powyżej 60 kg.

(31)

Rozkład normalny

−2,5 2,5

Φ(2,5)

P(X > 60) = PX − 75

6 > 60 − 75 6

=P(U > −2,5)

= P(U < 2,5) = Φ(2,5)≈ 0,99379 Około 99,4 % mężczyzn waży powyżej 60 kg.

(32)

Rozkład normalny

−1,67 1,67

P(X < 65) = PX − 75

6 < 65 − 75 6

≈P(U < −1,67)

= P(U > 1,67)= 1 −Φ(1,67)≈ 1 − 0,95254 = 0,04746, Około 4,7 % mężczyzn waży poniżej 65 kg.

(33)

Rozkład normalny

−1,67 1,67

P(X < 65) = PX − 75

6 < 65 − 75 6

≈P(U < −1,67)

(34)

Rozkład normalny

−1,67 1,671,67 Φ(1,67)

P(X < 65) = PX − 75

6 < 65 − 75 6

≈P(U < −1,67)

(35)

Rozkład normalny

2,5

P(X > 90) = PX − 75

6 > 90 − 75 6

=P(U > 2,5)

= 1 −P(U ¬ 2,5)= 1 −Φ(2,5)≈ 1 − 0,99379 = 0,00621.

Około 0,6 % mężczyzn waży ponad 90 kg.

(36)

Rozkład normalny

2,5 Φ(2,5)

P(X > 90) = PX − 75

6 > 90 − 75 6

=P(U > 2,5)

= 1 −P(U ¬ 2,5)= 1 −Φ(2,5)≈ 1 − 0,99379 = 0,00621.

Około 0,6 % mężczyzn waży ponad 90 kg.

(37)

PRZYKŁAD.

Waga mężczyzn w pewnej populacji ma rozkład N(75, 6). Jaki procent mężczyzn ważypomiędzy 85 kg a 90 kg?

1,67 2,5

P(85 < X < 90) = P85 − 75

6 ¬ X − 75

6 ¬ 90 − 75 6

= P(1,67 ¬ U ¬ 2,5)

= P(U ¬ 2,5)−P(U ¬ 1,67)=Φ(2,5)−Φ(1,67)

≈ 0,99379 − 0,95254 = 0,04125.

Około 4,1 % mężczyzn waży pomiędzy 85 a 90 kg.

(38)

PRZYKŁAD.

1,67 2,5 Φ(2,5)

P(85 < X < 90) = P85 − 75

6 ¬ X − 75

6 ¬ 90 − 75 6

= P(1,67 ¬ U ¬ 2,5)

= P(U ¬ 2,5)−P(U ¬ 1,67)=Φ(2,5)−Φ(1,67)

≈ 0,99379 − 0,95254 = 0,04125.

(39)

PRZYKŁAD.

1,67 2,5 Φ(1,67)

P(85 < X < 90) = P85 − 75

6 ¬ X − 75

6 ¬ 90 − 75 6

= P(1,67 ¬ U ¬ 2,5)

= P(U ¬ 2,5)−P(U ¬ 1,67)=Φ(2,5)−Φ(1,67)

≈ 0,99379 − 0,95254 = 0,04125.

(40)

Rozkład normalny, średnia arytmetyczna

WŁASNOŚĆ.

Niech X ma rozkład normalny N(m, σ). Wybieramy n-elementowa¸ próbę losowa¸ (X1, . . . , Xn). Wtedy średnia arytmetyczna X = ^X¹^+···+X_n ⁿ ma rozkład N m,^√^σ_n.

Uzasadnienie:

E (X ) = E 1 n

n

X

i =1

X_i= 1 nE

n

X

i =1

X_i= 1 n

n

X

i =1

E (X_i) = 1

n · n · m = m;

D²(X ) = D^{2 1}_n^Pⁿ_{i =1}X_i= E¹_n^Pⁿ_{i =1}X_i− ¹_nE ^Pⁿ_{i =1}X_i²

= _n¹2E^Pⁿ_{i =1}X_i− E ^Pⁿ_{i =1}X_i²

= _n¹2D² ^Pⁿ_{i =1}X_i= _n¹2

Pn

i =1D²(X_i) = _n¹2 · n · σ²= ^σ_n².

(41)

Rozkład normalny, średnia arytmetyczna

PRZYKŁAD.

Średnica muszli dojrzałego ślimaka winniczka w pewnej hodowli ma rozkład N(5; 0,4) (w centymetrach). Ślimaki sa¸ pakowane po 16 sztuk.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia średnica muszli w opakowaniu będzie większa od 5,2 cm?

X ma rozkład N 5;^√^0,4

16

= N(5; 0, 1), więc P X > 5,2= P^{X −5}_0,1 > ^5,2−5_0,1

= P(U > 2) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,0288.

(42)

Rozkład normalny, przedział ufności

DEFINICJA. Przedział ufności to przedział, który z prawdopodobieństwem równym 1 − α (zadanym z góry) pokrywa nieznana¸ wartość pewnego parametru. Liczba 1 − α to współczynnik ufności.

Załóżmy, że X ma rozkład N(m, σ), gdzie m jest nieznane, a σ znane. Na podstawie losowej próby (X₁, . . . , X_n) wyznaczymy dla wartości

oczekiwanej m przedział ufności (m1, m2) ze współczynnikiem ufności 1 − α, czyli znajdziemy m1 oraz m2 takie, że P(m1 < m < m2) = 1 − α.

Średnia arytmetyczna X = ^X¹^+···+X_n ⁿ ma, jak wiemy, rozkład N m,^√^σ_n. Standaryzuja¸c: U = ^{X −m}_σ ·√

n ma rozkład N(0, 1). Oznaczmy przez uα

taka¸ liczbę, że P(|U| u_α) = α, równoważnie:

P(−u_α< U < u_α) = 1 − α. Zatem,

P−u_α< X − m

σ ·√

n < uα

= 1 − α, PX −u_α· σ

√n < m < X +u_α· σ

√n

= 1 − α.

(43)

Rozkład normalny, minimalna liczebność próby

PRZYKŁAD. Wiemy, że X ma rozkład N(m, 20). Wyznaczyć minimalna¸ liczebność próby losowej, aby z prawdopodobieństwem 95% (0,95 to współczynnik ufności) wyznaczyć m z dokładnościa¸ do 5.

Ze wzoru na przedział ufności (połowa długości tego przedziałuma być nie większa niż 5) uzyskujemy nierówność:

uα· σ

√n ¬ 5, czyli n  u_α²σ²

25 = u_α² · 20²

25 = 16u²_α. Wiemy, że P(−u_α< U < u_α) = 2 Φ(u_α) − 0,5= 0,95, czyli Φ(uα) = 0,975.

Z tablic odczytujemy: u_α = 1,96.

Po podstawieniu: n 16 · 1,96² = 61, 4656.

Minimalna liczebność próby to 62.