5
Streszczenie
Niniejsza praca prezentuje nowy formalizm matematyczny, który za pomoc ˛a gramatyk hipergrafowych steruje wykonaniem adaptacyjnej Metody Elementów Sko´nczonych dla siatek z osobliwo´sciami punktowymi, o dowol-nym poziomie zag˛eszczenia siatki w stron˛e osobliwo´sci. Wydajne techniki rozwi ˛azywania tej klasy problemów stanowi ˛a niezmiennie obszar zainteresowania ´srodowiska naukowego. Rozprawa ta pokazuje jak wykorzysta´c szczególn ˛a dla problemów z osobliwo´sciami punktowymi struktur˛e siatki, celem uzyskania liniowej zło˙zono´sci obliczeniowej w wersji sekwencyjnej oraz logarytmicznej zło˙zono´sci obliczeniowej w wersji równoległej. Po-nadto, zamodelowanie gramatykami grafowymi solwera wielofrontalnego wspomaga wydajne zrównoleglenie, co skutkuje dodatkowym wzrostem wydajno´sci. Modele hipergrafowe zostały w niniejszej pracy stworzone zarówno dla sekwencyjnej jak i równoległej wersji solwera, w dwu i trzech wymiarach. Dla obu wariantów rozwi ˛azania zostały oszacowane teoretyczne koszty wykonania i zu˙zycie pami˛eci. Obydwa modele teoretyczne zostały zaim-plementowane na CPU i GPU. Implementacja na GPU okazała si˛e wyra´znie lepsza od osi ˛agów wiod ˛acych solwe-rów, takich jak MUMPS. Pomiary wydajno´sci zostały zebrane dla problemów dwu- i trójwymiarowych, z jedn ˛a lub wieloma osobliwo´sciami punktowymi oraz dla kilku ró˙znych stopni aproksymacji wielomianowej. Rezultaty te zostały zestawione z oszacowaniami teoretycznymi.
Abstract
In this thesis I present a new hypergraph grammar based formalism prescribing execution of the adaptive Finite Element Method solver for grids with point singularities, not restricted by the number of refinement levels. Efficient approaches to handling such problems are of a great interest and importance to the scientific community. This thesis presents how to utilize a special, adapted structure of the computational domain for problems with point singularities in order to achieve linear computational cost in serial and logarithmic computational cost in parallel. Moreover, graph grammar modeling of the multi-frontal direct solver also helps with efficient parallelisation. The hypergraph models have been created for both sequential and parallel versions of the algorithm, in two and three dimensions. The thesis contains theoretical estimates of the computational cost and memory usage for both versions of the newly developed solver. The theoretical models presented in this thesis have been transformed into a working CPU and GPU implementations. The GPU implementation has been proven to outperform current state-of-the-art solvers, like the Multifrontal Massively Parallel sparse direct Solver. The efficiency results have been collected for two and three dimensional problems with various numbers of point singularities and various polynomial approximation levels. The resuls have been compared with the theoretical estimates.
