Index of /rozprawy2/10050

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Metali Nieżelaznych Katedra Przeróbki Plastycznej i Metaloznawstwa Metali Nieżelaznych. PRACA DOKTORSKA Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. mgr inż. Paweł Kwaśniewski. Promotor: dr hab. inż. Tadeusz Knych, prof. nadzw. AGH Kraków, październik 2008.

(2) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych Od Autora...................................................................................................................................4 1. Wprowadzenie ......................................................................................................................6 2. Analiza stanu zagadnienia ...................................................................................................9 2.1. Relaksacja naprężeń i pełzanie.....................................................................................9 2.2. Krótka charakterystyka opisu cech reologicznych materiału.................................13 2.3. Negatywne efekty procesów reologicznych w technicznych wieloelementowych układach połączeń .....................................................................17 3. Teza ......................................................................................................................................20 4. Cel i zakres pracy ...............................................................................................................21 4.1. Cel pracy.......................................................................................................................21 4.2. Zakres pracy ................................................................................................................21 5. Koncepcja rozwiązania tematu pracy ..............................................................................22 6. Model reologiczny...............................................................................................................24 6.1. Analiza układów szeregowo połączonych elementów o różnych modułach Young’a.....................................................................................24 6.1.1. Odkształcenia układów zbudowanych z elementów o różnych modułach Young’a ................................................................................24 6.1.2. Moduł sprężystości wzdłużnej układów zbudowanych z ciał o zróżnicowanych modułach Young’a.........................................................27 6.1.3. Analiza statyczna naprężeń w procesie relaksacji naprężeń model reologiczny ..................................................................................................28 6.2. Analiza układów równolegle połączonych elementów o różnych modułach Young’a.....................................................................................30 6.3. Wpływ temperatury na zmianę naprężeń w układach wieloelementowych ..........36 6.4. Moduł lepkości układów zbudowanych z ciał o zróżnicowanych cechach reologicznych .................................................................................................37 7. Materiał do badań ..............................................................................................................39 8. Program badań ...................................................................................................................40 8.1. Badania relaksacji naprężeń w materiałach o jednorodnych cechach reologicznych .................................................................................................40 8.2. Badania relaksacji w układach o zróżnicowanych cechach reologicznych ............41 8.3. Badania modułu sprężystości wzdłużnej układów zbudowanych z materiałów o różnych modułach Young’a..............................................................42 9. Metodyka badań. Stanowiska badawcze ..........................................................................44 9.1. Badania relaksacji naprężeń ......................................................................................44 9.1.1. Metodyka badań .....................................................................................................44 9.1.2. Problemy natury technicznej ..................................................................................49 9.2. Badania własności wytrzymałościowych ...................................................................51 9.3. Badania modułu sprężystości wzdłużnej układów o zróżnicowanych cechach sprężystych .....................................................................51 10. Wyniki badań....................................................................................................................52 10.1. Charakterystyki relaksacji naprężeń w drutach ....................................................52 10.1.1. Druty aluminiowe w stanie półtwardym (Al1).....................................................52 10.1.2. Druty aluminiowe w stanie twardym (Al2).......................................................... 54 10.1.3. Druty miedziane w stanie półtwardym (Cu1) ......................................................56 10.1.4. Druty miedziane w stanie twardym (Cu2)............................................................ 58 10.1.5. Druty ze stopu miedzi w stanie twardym (CuNi2Si)............................................60 10.2. Charakterystyki relaksacji naprężeń w układach o zróżnicowanych cechach reologicznych................................................................61 10.2.1. Układy dwuelementowe .......................................................................................62. 2.

(3) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych 10.2.2. Układy trójelementowe ........................................................................................68 10.3. Moduły sprężystości układów wieloelementowych o zróżnicowanych cechach reologicznych ...............................................................................................70 11. Metoda analizy wyników badań......................................................................................74 11.1. Wyznaczanie parametrów uogólnionej funkcji relaksacji naprężeń....................74 11.2. Eksperymentalno-analityczna metoda wyznaczania lepkości dynamicznej materiałów ...........................................................................................78 12. Analiza wyników badań ...................................................................................................81 12.1. Uogólniona funkcja relaksacji naprężeń materiałów metalicznych o jednorodnych cechach reologicznych ...................................................................81 12.1.1. Druty aluminiowe w stanie półtwardym (Al1).....................................................85 12.1.2. Druty aluminiowe w stanie twardym (Al2).......................................................... 86 12.1.3. Druty miedziane w stanie półtwardym (Cu1) ......................................................88 12.1.4. Druty miedziane w stanie twardym (Cu2)............................................................ 90 12.1.5. Druty ze stopu miedzi w stanie twardym (CuNi2Si)............................................92 12.2. Moduł sprężystości wzdłużnej układów o zróżnicowanych cechach sprężystych...................................................................................................95 12.3. Model relaksacji naprężeń układów o zróżnicowanych cechach reologicznych ...............................................................................................99 12.4. Uogólniony model relaksacji naprężeń układów o zróżnicowanych cechach reologicznych .............................................................................................113 12.5. Lepkość układów o zróżnicowanych cechach reologicznych...............................129 13. Symulacja ........................................................................................................................132 13.1. Algorytm...................................................................................................................132 13.2. Dane wejściowe do obliczeń ....................................................................................134 13.3. Wyniki obliczeń i ich analiza ..................................................................................135 13.3.1. Układy szeregowe ..............................................................................................135 13.3.2. Układy równoległe .............................................................................................137 13.3.3. Porównanie układów szeregowych i równoległych ...........................................142 14. Podsumowanie ................................................................................................................143 16. Wnioski i stwierdzenia końcowe ...................................................................................145 Aneks - Relaksacja naprężeń w układach połączeń kolejowej górnej sieci trakcyjnej ........................................................................................................147 A.1. Postawienie problemu ..............................................................................................147 A.2. Badania eksperymenatalne relaksacji sił docisku w wybranych połączeniach kolejowej górnej sieci trakcyjnej.....................................................150 A.3. Analiza relaksacji naprężeń w osprzęcie trakcyjnym przy użyciu metody elementów skończonych..............................................................................153 A.4. Podsumowanie części aplikacyjnej..........................................................................162 Literatura ..............................................................................................................................163. 3.

(4) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. OD AUTORA Tematyka niniejszej pracy dotyczy aktualnego tematu tzw. niskotemperaturowej relaksacji naprężeń pojedynczych materiałów i układów z nich zbudowanych. Wybór tego zagadnienia nie jest przypadkowy a podyktowany jest nie tylko stroną poznawczą zjawiska ale również względami praktycznymi, bowiem wyniki badań przedstawione w pracy mogą zostać wykorzystywane do rozwiązywania problemów relaksacji naprężeń rzeczywistych obiektów. Oryginalność tematyki pracy polega na wyprowadzeniu formuł matematycznych umożliwiających szacowanie relaksacji naprężeń w układach wieloelementowych zbudowanych z ciał o zróżnicowanych cechach lepko-sprężystych. Przeprowadzone w pracy badania doświadczalne relaksacji naprężeń materiałów opartych na aluminium, miedzi i jej stopie oraz układach z nich zbudowanych, ich opisy matematyczne, z jednej strony tworzą bazę danych eksperymentalnych własności reologicznych, z drugiej zaś strony posłużyły do udowodnienia stawianej w pracy tezy, że możliwe jest określanie charakterystyk relaksacji naprężeń w układach zbudowanych z materiałów metalicznych na podstawie znajomości charakterystyk relaksacji naprężeń pojedynczych materiałów i ich modułów sprężystości wzdłużnej. Dodatkowo przeprowadzone badania aplikacyjne eksperymentalno-modelowe relaksacji sił docisku w układach połączeń kolejowej górnej sieci trakcyjnej, dają informację reologiczną o skali zachodzenia tego niewątpliwie negatywnego zjawiska. Niniejsza praca nie byłaby możliwa bez udziału wielu osób i instytucji, zatem w tym miejscu pragnę serdecznie podziękować wszystkim, którzy przyczynili się do jej powstania, a w szczególności: Dziękuję Władzom Dziekańskim i Wydziałowym Wydziału Metali Nieżelaznych Akademii Górniczo-Hutniczej za umożliwienie mi uczestnictwa w studium doktoranckim. Kierownictwu Katedry Przeróbki Plastycznej i Metaloznawstwa Metali Nieżelaznych na Wydziale Metali Nieżelaznych za przychylną atmosferę i stworzenie nieskrępowanych możliwości rozwoju naukowego. Ministerstwu Nauki i Szkolnictwa Wyższego RP za dofinansowanie badań objętych niniejszą pracą. Wszystkim pracownikom Wydziału Metali Nieżelaznych, którzy przyczynili się do powstania tej pracy. Dziękuję moim najbliższym współpracownikom z zespołu Laboratorium Badań Procesów Reologicznym za wszelkiego rodzaju dyskusje i pomoc w realizacji programu badawczego. W szczególności słowa podziękowania kieruję do mojej koleżanki dr inż. Beaty Smyrak oraz kolegów dr inż. Andrzeja Mamali i mgr inż. Tomasza Plamowskiego. Kończąc chciałbym również podziękować mojej rodzinie: Rodzicom, Żonie i Synkowi Kubusiowi za cierpliwość i okazane zrozumienie oraz braciom za wsparcie przy pisaniu pracy. Kraków, październik 2008 Paweł Kwaśniewski. 4.

(5) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. W tym miejscu pragnę wyrazić moją wielką wdzięczność Promotorowi niniejszej pracy Panu Profesorowi Tadeuszowi Knychowi za nieocenioną pomoc przy jej realizacji, a w szczególności liczne dyskusje i cenne uwagi, które przyczyniły się do jej powstania.. 5.

(6) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 1. WPROWADZENIE Powszechnie stosowane w technice materiały metaliczne (metale czyste technicznie, stopy) posiadają jednorodne własności reologiczne, które testuje się w procesie pełzania lub relaksacji naprężeń. Skłonność do tych procesów jest w mechanice określana poprzez, tak zwane cechy lepkie materiału. W praktyce przyjmuje się, że ten materiał, który wydłuża się trwale w większym stopniu pod obciążeniem poniżej granicy plastyczności, charakteryzuje się większą skłonnością reologiczną (posiada wg Newtona niższą lepkość). W procesie relaksacji naprężeń odpowiednikiem wymienionej cechy materiałowej będzie większy spadek naprężenia przy warunku stałej długości próbki. Relaksacja naprężeń i pełzanie są procesami niepożądanymi i z tego powodu posiadają bardzo ważne znaczenie praktyczne. Niezwykle ważna jest umiejętność szacowania wielkości odkształcenia pełzania, jak również relaksacji naprężeń jako funkcji naprężenia, temperatury i czasu jej działania. W literaturze przedmiotu istnieje szereg modeli fizykalnych opisujących zjawiska towarzyszące tym procesom, ale także wiele modeli mechanistycznych o znaczeniu fenomenologicznym, które wykorzystuje się do szacowania skutków długoczasowego obciążenia ciał w warunkach stosowalności prawa Hooke’a. Modele te, oparte o dwa elementarne ciała Hooke’a i Newton’a, dały podstawę do budowy tzw. strukturalnych modeli reologicznych, które służą do modelowania reologicznego zachowania ciał rzeczywistych. Modele te bazują na Boltzman-owskiej zasadzie superpozycji odkształceń od członu sprężystego i lepkiego. W pracy postanowiono przeprowadzić rozważania na temat reologicznego zachowania się układów zbudowanych z różnych materiałów, przy czym istotne jest w tych rozważaniach zróżnicowanie własności sprężystych (modułu Young’a) oraz własności lepkich reprezentowanych przez charakterystyki relaksacji naprężeń. Tak postawionego zagadnienia nie znajdujemy w literaturze przedmiotu, a – jakby się mogło wydawać – jego teoretyczny wymiar jest pozorny, bowiem nietrudno sobie wyobrazić potrzebę praktycznego wykorzystywania układów o cechach sprężystych i lepkich, odmiennych od cech znanych materiałów jednorodnych. Układy takie nazwano w tytule pracy materiałami metalicznymi o zróżnicowanych cechach reologicznych. Innym praktycznym wymiarem układów z gradientem reologicznym są wszelakiego rodzaju proste połączenia zbudowane na ogół z różnych materiałów, często pracujących w warunkach wysokiego naprężenia i temperatury. Mamy z nimi do czynienia, m.in. w kotłach, zaworach, połączeniach elektrycznych, z których warto wymienić połączenia elementów górnej sieci trakcyjnej. Przykłady elementarnych układów reologicznych przedstawiono na rysunku 1.1.. a. b Rys.1.1. Przykład rodzajów ciał reologicznych: a-ciało o jednorodnych cechach reologicznych, b- układy o zróżnicowanych cechach reologicznych.. 6.

(7) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych Wobec powyższego w pracy podjęto próbę opracowania modelu relaksacji naprężeń układów o zróżnicowanych cechach lepko-sprężystych oraz jego doświadczalnej weryfikacji. Model ten wykorzystuje elementarną wiedzę z teorii sprężystości. Weryfikację modelu przeprowadzono w oparciu o doświadczalne charakterystyki relaksacji naprężeń materiałów o jednorodnych cechach reologicznych i układów o zróżnicowanych cechach reologicznych oraz ich własności mechaniczne i fizyczne. Z punktu widzenia przeprowadzanych w pracy rozważań, badań i analiz, została podzielona ona na trzy części. Część pierwsza, teoretyczna, obejmuje rozdziały 1-6, w których przedstawiono teoretyczne rozważania nad zagadnieniem relaksacji naprężeń zachodzącej w jednorodnych reologicznie materiałach metalicznych oraz układach z nich zbudowanych, które posłużyły do dowodzenia tezy postawionej w rozdziale 3. Rozdział 2, zatytułowany „Analiza stanu zagadnienia”, obejmuje literaturowy przegląd aktualnych światowych trendów rozwoju badań reologicznych, wiedzy dotyczącej mechaniki analizowanych procesów oraz modeli mechanistycznych, ze szczególnym naciskiem na aplikacyjne wykorzystanie procesów relaksacji naprężeń, przede wszystkim w rzeczywistych elementach konstrukcyjnych powszechnie stosowanych. W rozdziałach 4-5 przedstawiono cel i zakres pracy oraz koncepcję rozwiązania jej tematu. Rozdział 6 pt.: „Model reologiczny”zasadniczy dla teoretycznego dowodzenia postawionej tezy - obejmuje rozważania nad zagadnieniem reologicznego zachowania się układów zbudowanych z materiałów o zróżnicowanych cechach lepko-sprężystych. W szczególności przedstawiono w nim efektywne wzory na wyznaczanie odkształceń i modułów sprężystości wzdłużnej układów wieloelementowych z gradientem cech sprężystych oraz model umożliwiający określanie relaksacji naprężeń w układach szeregowych zbudowanych z ciał o zróżnicowanych cechach reologicznych. Podobne rozważania przeprowadzono dla układów równoległych. Dodatkowo zamieszczono równania umożliwiające określanie zastępczej lepkości dynamicznej układów, na podstawie znajomości lepkości ciał wchodzących w ich skład, wykorzystując do tego celu literaturowy model Maxwell’a. Część druga, eksperymentalna, zawiera rozdziały 7-13, w ramach których opisano materiały do badań oraz przeprowadzono ich charakteryzację (rozdz. 7), przedstawiono szczegółowy program badań (rozdz. 8), który wynika wprost z części pierwszej pracy, a w szczególności z analizy teoretycznej zachowania się układów o zróżnicowanych cechach lepko-sprężystych. Obejmuje ona wyniki badań relaksacji naprężeń w jednorodnych ciałach reologicznych, badania modułów sprężystości wzdłużnej układów o zróżnicowanych cechach sprężystych oraz badania relaksacji naprężeń układów z gradientem reologicznym. W rozdziale 9 przedstawiono opis stanowisk badawczych, na których przeprowadzono badania doświadczalne ze szczególnym uwzględnieniem problemów natury technicznej związanych z realizacją trudnego procesu badawczego jakim jest nakładanie obciążenia, rejestracja siły i stabilizacja temperatury w dłuższym okresie czasu. W rozdziale 10 zamieszczono wyniki badań. W rozdziale 11 opisano metodykę analizy wyników badań, w której przedstawiono sposób opisu rzeczywistych krzywych relaksacji naprężeń pojedynczych materiałów uogólnionymi funkcjami relaksacji naprężeń (potęgowowykładniczymi) oraz funkcjami wykładniczymi Maxwell’a. W rozdziale 12 zatytułowanym „Analiza wyników badań” przedstawiono szczegółowe porównanie wyników badań doświadczalnych z wynikami uzyskanymi w oparciu o wcześniej wyznaczone równania matematyczne, natomiast rozdział 13 poświęcono symulacji reologicznego zachowania się układów wieloelementowych zarówno szeregowych jak i równoległych, wykorzystującej wyznaczone wcześniej uogólnione funkcje relaksacji naprężeń pojedynczych materiałów.. 7.

(8) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych W charakterze aneksu przedstawiono doświadczalne wyniki badań i teoretyczne rozważania nad stanem naprężenia w elementach połączeń części składowych górnej kolejowej sieci trakcyjnej. Analizę teoretyczną przeprowadzono metodą elementów skończonych z wykorzystaniem programu ANSYS. Badania doświadczalne relaksacji sił docisku w osprzęcie trakcyjnym i elementach przewodzących (linach nośnych i przewodach jezdnych), w warunkach bezprądowych oraz przepływu prądu trakcyjnego, umożliwiły analizę zmian składowych stanu naprężenia w układzie połączeń uchwyt wieszakowy – przewód jezdny. Powyższe zagadnienie chociaż nie stanowi części zasadniczej niniejszej pracy, tworzy jej część trzecią ukazującą praktyczne aspekty reologicznych właściwości materiałów stanowiących połączenia. Praca kończy się podsumowaniem oraz wnioskami i stwierdzeniami o charakterze podstawowym i aplikacyjnym.. 8.

(9) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 2. ANALIZA STANU ZAGADNIENIA 2.1. RELAKSACJA NAPRĘŻEŃ I PEŁZANIE W klasycznej teorii sprężystości przyjmuje się, że związki pomiędzy naprężeniem a odkształceniem są liniowe i niezależne od czasu. Wiadomo jednak, że ciała w większym lub mniejszym stopniu odbiegają od założeń tej teorii, a w równaniach stanu występuje dodatkowy czynnik tj. czas. Tym właśnie zajmuje się dziedzina nauki, którą jest reologia, czyli nauka o plastycznej deformacji oraz płynięciu materiałów. Za prekursora współcześnie rozumianej reologii uznaje się słynnego filozofa greckiego Heraklita z Efezu, żyjącego w latach 540-480 przed Chrystusem, który w swoim dziele „O przyrodzie” sformułował słynne stwierdzenie „panta rhei”, czyli wszystko płynie. W czasach nowożytnych owe stwierdzenie przerodziło się w dziedzinę nauki o nazwie reologia, a za moment jej powstania przyjęto uważać rok 1928, kiedy to w Anglii, z inicjatywy prof. E.C. Bingham’a, powstało Towarzystwo Reologiczne (Society of Rheology). Jednakże za głównego twórcę i propagatora szerokiego zastosowania tej gałęzi mechaniki uważa się Marcus’a Reiner’a (ur. 5 stycznia 1886 w Czerniowcach na Ukrainie), który w roku 1949, w słynnej już monografii pt.: ”Twelve Lectures on Theoretical Rheology”, przedstawił szerokie podejście do reologii fenomenologicznej. Autorem pierwszych badań nad zjawiskami reologicznymi był francuski fizyk M. Vicat, który w latach 1830-1833 zajmował się pełzaniem prętów żelaznych i zauważył, że z czasem występują nieprzewidziane odchylenia od własności sprężystych materiałów. Niedługo po Vicat’cie, Wilhelm Weber (1835) odkrył odwracalne pełzanie we włóknach jedwabiu. Amerykański mechanik Thurson w 1877r. jako pierwszy skonstruował wykres pełzania i przedstawił go w układzie zmiana długości – czas. Dopiero w latach 1910-1914 Andrade opisał trzy stadia procesu pełzania metali oraz zdefiniował pełzanie jako proces deformacji przebiegającej w funkcji czasu, przy stałym poziomie naprężenia i temperatury [1-3, 5-6]. Cechy reologiczne materiałów można ukazać na sposób pełzania lub relaksacji naprężeń. Pełzanie jest zjawiskiem polegającym na trwałym stopniowym odkształcaniu się ciał poddanych długotrwałemu stałemu obciążeniu, w warunkach niespełnionego naprężeniowego kryterium plastyczności. Natomiast relaksacja naprężeń to zjawisko spadku w czasie naprężenia w materiale, zachodzące przy warunku niezmienności jego długości. Jednym z pierwszych naukowców zajmujących się zjawiskiem relaksacji naprężeń był Maxwell, który korzystał z niego w swojej kinetycznej teorii gazów. Marcus Reiner w [1] powiedział, „…gdy energia sprężysta nie jest zachowana, ale rozprasza się w miarę upływu czasu, mamy przypadek rozproszenia wskutek zjawiska rozluźniania”. Podobnie traktuje o tym Nowacki w [7], zaś Derski i Ziemba w [8] ujmują relaksację naprężeń jako „…zjawisko odprężania ciała w czasie, którego odkształcenie utrzymywane (zamrożone) jest na stałym poziomie”. Zawadzki i Zakrzewski w [2] piszą o relaksacji jako „procesie reologicznym, występującym przy wstępnym odkształceniu i utrzymaniu go nadal na stałym poziomie”. Garofalo w [93] ujmuje zjawisko relaksacji naprężeń w następujący sposób „…the total strain is held constant – the load it supports decreases with time”, a Gittus w [12] jako „…experiments in which the total elastic plus plastic strain is kept constant. Under these circumstances the stress causes creep, replacing part of the elastic strain with plastic strain and simultaneously reducing the stress available to cause further creep”. Naumenko i Altenbach w [91] piszą, że „…relaxation is the time – dependent decrease of stress under the condition of constant deformation and temperature”, a Findley, Lai i Onaran. 9.

(10) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych w [16] „…viscoelastic materials subjected to a constant strain will relax under constant strain so that the stress gradually decreases”. Junisbekov, Kestelman i Malinin w [17] definiują relaksację naprężeń jako „…phenomenon of mechanical stress attenuation in a body under constant strain”. Bodnar, Chrzanowski, Latus w [15] mówią, że relaksacja naprężeń jest „…przypadkiem redystrybucji naprężeń w warunkach stanu niestacjonarnego…”, natomiast Jakowluk w [95] „…relaksacja naprężeń jest innym przejawem procesu pełzania w materiale. W próbie relaksacji naprężeń powinien być spełniony warunek stałości długości próbki”. Wg Osipiuka „…proces relaksacji naprężeń można rozpatrywać jako proces pełzania przy malejącym w czasie obciążeniu” [11]. Wobec powyższego oraz analizy definicji relaksacji naprężeń wg innych naukowców, ujętych chociażby w pracach [3, 71, 76, 77, 111], można zauważyć, że wszyscy ujmują to zjawisko w zasadzie identycznie; jako spadek naprężenia w czasie w materiałach odkształconych o stałą wartość. Dodatkowo często opisują je jako pełzanie pod zmiennym w czasie naprężeniem. Jednym z pierwszych naukowców, który przedstawił rzeczywistą krzywą relaksacji, był Trouton (1904r.), a dotyczyła ona relaksacji naprężeń w ołowiu w temperaturze 25°C (por. rysunek 2.1 ) [93]. Analizując charakterystykę przedstawioną na poniższym rysunku zauważa się, że stopień relaksacji po 140 minutach sięga prawie 50%, co wynika z faktu, że proces zachodzi w warunkach powyżej temperatury rekrystalizacji.. Rys.2.1 Relaksacja naprężeń dla ołowiu w temperaturze 25°C [93]. Warto również przytoczyć jedną z pierwszych opublikowanych przez Trouton’a charakterystyk pełzania pokazaną na rysunku 2.2. [93].. 10.

(11) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. Rys.2.2. Odkształcenie pełzania oraz nawrót dla ołowiu w temperaturze 25°C [93] W opisie zjawisk zachodzących w procesach pełzania i relaksacji naprężeń stosuje się podejście fenomenologiczne i fizyczne. Pierwsze z nich wykorzystuje stosunkowo proste matematyczne modele opisujące makroskopowe reologiczne reakcje ciał. Teorie fizyczne wykorzystują natomiast do opisu wewnętrznej natury procesów reologicznych modele utworzone w oparciu o prawa fizyki ciała stałego [11, 26]. Jednakże dotychczas nie zdołano stworzyć jednoznacznej teorii, która łączyłaby w sobie zarówno mechanistyczne, jak i fizyczne i strukturalne aspekty zjawisk reologicznych. Potrzeba opisu tych zjawisk jest podyktowana nie tylko względami natury poznawczej, ale także potrzebami praktycznymi, wynikającymi z coraz dynamiczniej wdrażanych w technice nowych i niekonwencjonalnych rozwiązań materiałowych i konstrukcyjnych. Jak ogólnie wiadomo, podstawowymi parametrami odpowiedzialnymi za procesy pełzania i relaksacji są naprężenie i temperatura, a ich wzrost prowadzi do intensyfikacji tych procesów [4, 45, 96, 111]. Ponadto zależą one od rodzaju i stanu materiału. Wpływ naprężenia i temperatury na proces relaksacji naprężeń dla stopu aluminium przedstawiono na rysunkach 2.3-2.4. 120 80 °C 40 °C 20 °C -5 °C. NAPRĘŻENIE [MPa]. 115 110 105 100 95 90 85 80 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. CZAS [h]. Rys.2.3. Wpływ temperatury na relaksację naprężeń drutu AlMgSi z poziomu wartości naprężenia 118 MPa ( 40% Rm). [4]. 11.

(12) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. NAPRĘŻENIE [MPa]. 120 118 MPa 89 MPa 59 MPa 30 MPa. 100 80 60 40 20 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. CZAS [h]. Rys.2.4. Wpływ naprężenia na relaksację naprężeń drutów AlMgSi dla różnych wartości naprężeń początkowych. Temperatura procesu – 20 °C [4]. W zależności od temperatury, procesy reologiczne dzielą się na nisko i wysokotemperaturowe, w których inne mechanizmy decydują o zachodzących zjawiskach materiałowych, przy czym przyjmuje się, że są one wspólne dla pełzania i relaksacji naprężeń [11-12, 118]. Jako obowiązujące uważa się w tym względzie, że za deformację na poziomie procesów reologicznych odpowiedzialne są mechanizmy dyslokacyjne, dyfuzyjne oraz poślizg po granicach ziarn. W procesach niskotemperaturowych, w warunkach utrudnionej dyfuzji, mamy do czynienia jedynie z mechanizmami propagowanymi przez poślizg dyslokacji, natomiast w temperaturach podwyższonych (>0,3 Th) procesy reologiczne kontrolowane są poprzez poślizg i wspinaczkę dyslokacji [14]. W literaturze przedmiotu najczęściej badaniom eksperymentalnym poddawane jest zjawisko pełzania ciał lepkich (ciecze wiertnicze), drewna, tworzyw sztucznych, różnego rodzaju ceramik, betonu [3, 16, 17, 99-103]. W odniesieniu do najbardziej nas interesujących materiałów metalicznych (metale czyste, stopy), badania dotyczą głównie procesu wysokotemperaturowego pełzania aluminium [3, 14, 23, 30, 38-42, 75, 77-79, 85, 91, 119], miedzi [3, 14, 40-43, 45, 49, 67, 75, 77-79, 85, 87, 109, 112, 113], cynku [31, 90], cyny [110], niklu [97], kobaltu [98], różnych gatunków stali [3, 14, 34, 44, 75, 77-79, 85, 107-108], tytanu [3, 35, 46, 86, 96]. Wynika to z wysokotemperaturowych aplikacji wymienionych metali. Natomiast w zakresie pełzania niskotemperaturowego warto odnotować dynamiczny rozwój badań nad niskotemperaturowym pełzaniem stopów aluminium przeznaczonych na nowe generacje bezrdzeniowych przewodów stosowanych do napowietrznych linii elektroenergetycznych [9-10, 38-39, 56-58, 92, 120]. W odniesieniu do procesu relaksacji naprężeń, główny nurt badawczy koncentruje się na pracach mechaników, którzy, na bazie elementarnych modeli ciał, tworzą strukturalne modele reologiczne wykorzystywane do symulacji procesu relaksacji, a także i pełzania. Zagadnienie to jest przedmiotem kolejnego podrozdziału niniejszej pracy. Brak jest natomiast znacznej ilości takiej literatury z zakresu badań eksperymentalnych relaksacji naprężeń materiałów metalicznych, która pozwoliłyby na syntetyczne uogólnienia weryfikujące bogato cytowane w wielu pracach mechanistyczne modele tego procesu [63, 66].. 12.

(13) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 2.2. KRÓTKA CHARAKTERYSTYKA OPISU CECH REOLOGICZNYCH MATERIAŁU Zjawiska reologiczne dają się opisywać przy pomocy modeli mechanistycznych, które nie mają swoich odpowiedników w realnym materiale, ale dają możliwość aproksymacji jego reologicznego zachowania się. Podstawowymi modelami ośrodków lepkosprężystych w ujęciu fenomenologicznym są: ciało idealnie sprężyste Hooke’a oraz ciało idealnie lepkie Newtona’a (por. rysunek 2.5 ). Model liniowo-sprężysty Hooke’a przedstawia się w postaci sprężyny, której odkształcenie jest wprost proporcjonalne do wartości przyłożonego naprężenia, co opisuje równanie 2.1 (por. rysunek 2.5). Natomiast model liniowo-lepki tradycyjnie przedstawia się w postaci tłumika olejowego o liniowej relacji pomiędzy naprężeniem a prędkością odkształcenia (równanie 2.2 – por. rysunek 2.5). Ciało Hooke’a. εs =. σ E. Ciało Newton’a. •. (2.1). εt =. σ η. (2.2). Rys.2.5. Podstawowe modele ośrodków liniowo-lepkosprężystych [8] Zanim przejdziemy do analizy wieloelementowych modeli reologicznych, pokrótce scharakteryzujmy, szczególnie ważne dla nas, wielkości w nich występujące, a mianowicie moduł Young’a E materiału oraz współczynnik lepkości dynamicznej η. Moduł Young’a, jak ogólnie wiadomo, jest siłą oddziaływań międzyatomowych i przyjmuje się, że jest wielkością niezmienną dla danego materiału. Stałość ta jest ograniczona do zakresu niskich temperatur, a wraz z jej wzrostem moduł stopniowo maleje [5, 14, 81]. Ashby, Shercliff i Cebon w [82] przyjmują, że spadek ten w temperaturze topnienia może wynosić nawet połowę jego wartości właściwej dla temperatury zera bezwzględnego (por. rysunek 2.6a). Moduł Young’a wyraża się w MPa, i w ujęciu makroskopowym oznacza naprężenie, jakie byłoby niezbędne, aby nadać dwukrotny sprężysty (odwracalny) wzrost długości próbki. Jest to oczywiście czysto teoretyczna interpretacja modułu E. Przykłady rzeczywistych krzywych spadku modułu Young’a dla aluminium, stali, wolframu, MgO i Al2O3 w funkcji temperatury przedstawiono na rysunku 2.6b.[83]. Litoński i Klepaczko w [84] piszą o możliwości niewielkich zmian modułu pod wpływem odkształcenia plastycznego.. 13.

(14) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. a b Rys.2.6. Zależność modułu Young’a w funkcji temperatury: a-schemat spadku modułu wg [82], b-krzywe dla różnych materiałów [83] Natomiast choć lepkość dotyczy głównie cieczy, odnosi się również do plastycznych ciał stałych i jest rozumiana jako stosunek naprężenia ścinającego do prędkości zmian kąta Pa odkształcenia postaciowego [8] i wyrażana jest w −1 . Zaś w odniesieniu do ciał stałych s jednostkę tę lepiej jest interpretować jako ilość energii właściwej związanej ze ścinaniem J materiału z określoną prędkością ( 3 −1 ). Jako pierwszy zależność tę opisał Newton w 1687 m s roku. Cecha ta zależy od temperatury, przy czym jej wzrost prowadzi do spadku lepkości [37, 104, 106]. Ze względu na fakt, że materiały rzeczywiste posiadają cechy zarówno sprężyste jak i lepkie, modele jednoparametrowe są mało użyteczne i rzadko stosowane oddzielnie do opisu zachowań reologicznych. Z tego powodu stosuje się modele strukturalne stanowiące różnorakie mniej lub bardziej skomplikowane, szeregowo-równoległe złożenia elementarnych ciał Hooke’a i Newton’a podlegające superpozycji Boltzman’a. Ponieważ w niniejszej pracy interesuje nas proces relaksacji naprężeń, zatem dokładniejszej analizie poddany zostanie model Maxwell’a powstały z szeregowego połączenia ciała Hooke’a i Newton’a. Schemat takiego ciała przedstawiono na rysunku 2.7. Jeżeli układ ten obciążymy naprężeniem σ, to wywołamy odkształcenie układu, które będzie, za Boltzman’em, sumą odkształcenia sprężyny i odkształcenia tłumika:. ε = εs + εt. (2.3). 14.

(15) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. Rys.2.7. Model Maxwell’a Różniczkując po czasie (2.3) i (2.1) oraz wykorzystując (2.2) uzyskuje się wzór na prędkość odkształcenia ciała Maxwell’a: •. ε=. 1 • 1 σ+ σ E η. (2.4). Ponieważ w procesie relaksacji naprężeń odkształcenie jest stałe, a więc nie jest funkcją czasu, znika lewa strona równania (2.4), co pozwala na jego przekształcenie do postaci •. 1. σ+ σ = 0 ϕ. (2.5). w której φ oznacza czas relaksacji i dane jest wzorem. ϕ=. η. (2.6). E. Rozwiązaniem równania (2.5), po uwzględnieniu warunku początkowego, jest wzór na zależność naprężenia w funkcji czasu (naprężenia relaksacji) postaci. σ (τ ) = σ 0e. −. τ ϕ. (2.7). Ilustracją graficzną formuły (2.7) jest wykres przedstawiony na rysunku 2.8, z którego wynika bezpośrednie podobieństwo charakterystyki σ=f(τ) z rzeczywistymi charakterystykami relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych (por. rysunki 2.3-2.4). Na tej podstawie przyjmuje się, że model Maxwell’a jest modelem relaksacji naprężeń i będzie on wykorzystany jako jeden z literaturowych modeli aproksymujących wyniki badań doświadczalnych relaksacji naprężeń układów połączeń z gradientem reologicznym oraz ciał ich tworzących. Istotnie formuła (2.7) zależy od naprężenia początkowego σ0 procesu 15.

(16) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych relaksacji oraz od ukrytych w parametrze φ cech sprężystych (E) i lepkich (η) materiału (por. (2.6)). W zależności od ich zróżnicowania układ posiadał będzie większą lub mniejszą skłonność do relaksacji naprężeń.. Rys.2.8. Graficzna interpretacja równania (2.7) funkcji Maxwella [8]. Jeżeli ciało Hooke’a i Newton’a połączymy równolegle, wówczas uzyskamy drugi dwuparametrowy model strukturalny Kelvin’a-Voigt’a, który opisuje jakościowo proces pełzania i nie nadaje się do opisu relaksacji naprężeń ponieważ, nie uwzględnia dyssypacji energii przy założonym, stałym w czasie, odkształceniu układu [8]. Zaletą modeli dwuparametrowych jest ich prostota, a wadą fakt, że nie uwzględniają wielu efektów towarzyszących, które wpływają na zachowanie reologiczne materiałów, dlatego często nie odwzorowują dobrze krzywych relaksacji naprężeń czy pełzania. Oprócz wymienionych powyżej modeli dwuparametrowych Maxwell’a i Kelvin’aVoigt’a, istnieją bardziej skomplikowane ciała trójparametrowe, nazywane powszechnie modelami standardowymi, które powstają przez połączenie modeli dwuparametrowych z ciałami Hooke’a i Newtona w różnych konfiguracjach. Model standardowy łączy w sobie możliwość opisu mechanistycznego zarówno pełzania, jak i relaksacji naprężeń jednocześnie. Istnieją również modele mechanistyczne czteroparametrowe zwane modelami Burgers’a, które powstają przez połączenie ciał Hooke’a, Newton’a, Maxwell’a oraz Kelvin’a-Voigt’a i opisują przede wszystkim reologiczne zachowanie mas plastycznych i betonu. Kolejną grupę mechanistycznych modeli stanowią uogólnione postaci modeli Maxwell’a i Kelvin’a, które są budowane kolejno z N ciał Maxwell’a i Kelvin’a-Voigt’a połączonych zarówno szeregowo jak i równolegle. Mechanistyczne rozważania nad powyższymi modelami można znaleźć w pracach [1, 3, 5-8, 11-17, 23, 71]. Szereg literaturowych modeli uwzględnia również strukturalne parametry materiałów takie jak gęstość dyslokacji, wektor Burgers’a, wielkość ziarna, ale dotyczą one głównie procesów wysokotemperaturowych [18, 26]. Jednak wiele modeli wykorzystuje w dalszym ciągu dobrze znane modele podstawowe [19]. Oprócz wymienionych w literaturze przedmiotu, istnieją modele Bingham’a, Casson’a, Herschel’aBulkley’a, Ostwald’a de Waele’a, Von Berg’a, Eyring’a, Robertson’a-Stiff’a, CarreauYasud’a, Crossa’a, Ellis’a, Meter’a (i innych), które opisują reologiczne zachowanie się ciał lepkich, np. cieczy wiertniczych [20], oraz modele Kisiela do opisu reologii gruntów [21]. Wiele modeli mechanistycznych podlega również ewolucji do modeli lepiej odwzorowujących reologiczne zachowanie się badanych ciał, co zostało np. uczynione z modelem Jakowluka, który może służyć do opisu procesu pełzania metali i stopów w zakresie zarówno małych jak i dużych odkształceń pojedynczych ciał [22]. Przedstawione powyżej modele mechanistyczne często nie odwzorowują w wystarczającym stopniu zachowania się reologicznego ciał. Wynika to z faktu, 16.

(17) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych że zazwyczaj modele te są już zbudowane, a następnie dopasowywane do zachowania jakiegoś z rzeczywistych ciał. Często jednak chcemy opisać reologiczne zachowanie się konkretnego ciała lub zbioru ciał w różnych zmiennych warunkach naprężeniowotemperaturowych oraz mieć możliwość przewidywania ich zachowań. Dlatego też matematyczny opis procesów reologicznych jest aktualnie bardzo rozpowszechniony. Różne matematyczne postaci wzorów umożliwiających opis cech reologicznych materiałów, w szczególności procesu pełzania, można znaleźć w pracach [5-6, 13-15, 46, 70, 72, 74-75, 85, 91]. Opis procesów reologicznych zachodzących przy stałym jednoosiowym naprężeniu można ująć ogólnym związkiem, który zawiera w sobie człony zależne od naprężenia σ, temperatury T i czasu τ postaci:. ε = f (σ , T ,τ ) Wygodną formą tej zależności jest zapisanie jej w postaci funkcji separowalnej na trzy człony a mianowicie:. ε = f1 (σ ) f 2 (T ) f3 (τ ) Postaci powyższych równań, a także przedstawionych w pracach [13, 24, 26-28], dotyczą procesu pełzania. Jeśli chodzi o funkcje dotyczące procesów relaksacji naprężeń, to zazwyczaj spotyka się równania, które ujmują relację pomiędzy pełzaniem a relaksacją i wykorzystują wyniki badań procesu pełzania do określania naprężenia podczas relaksacji [3, 11, 29, 33]. Nowoczesne techniki symulacyjne pozwalają na budowanie skomplikowanych modeli reologicznych i ich rozwiązywania przy użyciu metody elementów skończonych [36, 47, 79, 91]. Brak ogólnej teorii opisu zjawisk reologicznych doprowadził do opracowania szeregu hipotez, umożliwiających ich opis w warunkach zmiennego naprężenia. Szczegółowe rozważania na ten temat można znaleźć w pracach [13-15, 24, 25, 85, 88].. 2.3. NEGATYWNE EFEKTY PROCESÓW REOLOGICZNYCH W TECHNICZNYCH WIELOELEMENTOWYCH UKŁADACH POŁĄCZEŃ Wiele ośrodków naukowych i projektowych zmaga się z rozwiązywaniem problemów konstrukcyjnych, części, urządzeń czy budowli, w których procesy reologiczne odgrywają znaczącą rolę i są niebezpieczne, gdyż mogą wpływać na obniżenie walorów użytkowych konstrukcji. Dlatego też prace naukowców ukierunkowane są na coraz doskonalsze poznanie reologicznej natury materii, a poprzez to ograniczanie w jak największym stopniu procesów pełzania czy relaksacji naprężeń. Użytkownicy prostych układów połączeń, w których procesy reologiczne mają szczególne znaczenie, często nie zdają sobie sprawy z tego, że, po ich montażu, połączenie stopniowo osłabia się, nie utrzymując początkowej siły złącz. W pracach [50, 52] przedstawiono badania relaksacji naprężeń w układach połączeń przewodów aluminiowych i ich złącz w warunkach przepływu prądu oraz jej skutki objawiające się spadkiem pewności połączenia, a także wzrostem rezystancji zestyku. Badania relaksacji sił docisku w układach połączeń linii elektroenergetycznych były już prowadzone w latach 60-tych i dotyczyły relaksacji w zaciskach, gdzie mocowane były przewody aluminiowe (por. rysunek 2.9) [94].. 17.

(18) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. Rys.2.9. Relaksacja sił docisku w układach połączeń uchwyt-przewód aluminiowy, siła docisku 15kN, temperatura -30, +30, +80°C [94]. W [53] przedstawiono problemy relaksacji naprężeń połączeń z miedzi oraz numeryczną analizę rozkładu naprężeń połączenia. W pracy [51] przedstawiono problem relaksacji naprężeń zachodzącej w zaciskach magistral komputerowych łączonych przez wcisk, które służą np. do łączenia dysków twardych z płytami głównymi, natomiast [54] obejmuje problemy relaksacji naprężeń w połączeniach chipów z płytami głównymi komputerów. Praca [55] jest poświęcona badaniom relaksacji w połączeniach przewodów telefonicznych, ukazaniu różnic pomiędzy stosowaniem przewodów aluminiowych i miedzianych w różnych temperaturach oraz wpływu relaksacji naprężeń na siłę docisku. Praca [56] obejmuje problemy reologiczne zachodzące w liniach energetycznych średnich napięć. Również prace [57, 58] przedstawiają praktyczne rozwiązania dotyczące reologicznych zagadnień pełzania przewodów energetycznych. Praca [89] ujmuje zawiasko pełzania w konstrukcjach (budowlach) stalowych ogarniętych pożarem. W [42, 59-61] przedstawiono badania relaksacji sił docisku w układał połączeń kolejowej górnej sieci trakcyjnej w warunkach bezprądowych, jak i przepływu prądów trakcyjnych. Zachodzące procesy reologiczne mają szczególne znaczenie również: -w połączeniach złącz kołnierzowych, połączeniach kadłubów turbin wysokociśnieniowych, w których pod wpływem relaksacji naprężeń dochodzi do spadku siły docisku, a więc obniżenia pewności połączenia [3, 11, 34, 48, 72], -w zestykach zwojowych w elektrotechnice [3], -w drutach stalowych (np. w strunach fortepianów) oraz w konstrukcjach betonowych wstępnie sprężonych [3], -w połączeniach części łączonych na wcisk [48], -w betonie, płytach fundamentowych kominów wysokich [62], -w materiałach biologicznych [63-66], - oraz wszelkiego rodzaju układach połączeń (elektronice, automatyce, telekomunikacji) [49]. Wymienione powyżej układy połączeń pracują w różnych warunkach naprężeniowotemperaturowych, a w większości przypadków zbudowane są dodatkowo z materiałów o zróżnicowanych cechach lepko-sprężystych. Czynnik temperaturowy stanowi poważny problem nie tylko podczas ustalonej pracy układów połączeń, ale również w chwili ich montażu, bowiem zmiany temperatury elementów, wynikające chociażby ze zmian pór roku (np. -20 do +60°C), poprzez zróżnicowaną rozszerzalność cieplną materiałów wprowadzać mogą, w zależności od układu, ekstra zmiany w stanie naprężeń (nie mówiąc o układach pracujących w wysokich temperaturach, których montaż odbywa się zazwyczaj w temperaturze otoczenia). Panuje ogólny pogląd, że wzrost 18.

(19) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych siły montażu łączonych układów poprawia pewność połączenia. Oczywiście tak jest w przypadków materiałów o wysokiej odporności reologicznej, jednakże w przypadku materiałów podatnych na procesy relaksacji naprężeń czy pełzania, ciągły wzrost siły powodować będzie, intensyfikację procesów reologicznych, szczególnie jeśli nałoży się na to działanie podwyższonej temperatury. Wówczas skutek może być odwrotny niż oczekiwany i pewność połączenia zmaleje w stosunku do układu, który został skręcony mniejszą siłą (mniejszy stopień wytężenia materiału) [3]. Zatem wzrost sił docisku układu nie zawsze skutkować musi polepszeniem pewności kontaktu łączonych elementów w czasie ich eksploatacji. W rzeczywistych układach połączeń zachodzą zazwyczaj równocześnie procesy relaksacji naprężeń i pełzania, które wzajemnie na siebie oddziałują i się nakładają obniżając pewność pracy takich układów. Dlatego też wiele instytucji naukowych prowadzi prace projektowe nad konstrukcjami, które poprzez odpowiedni dobór ich kształtu są bezpieczne z punktu widzenia reologii. W ostatnich latach poprzez szybki rozwój elektroniki mocno rozwinęły się możliwości stosowania metod numerycznych do symulacji zachowania się obciążonych elementów konstrukcyjnych. Tego typu analizy umożliwiają symulacje rozkładu naprężeń i odkształceń w projektowanych konstrukcjach, a przez to określenia miejsc o podwyższonej koncentracji naprężeń układów połączeń, a więc miejsc o zagrożeniu reologicznym [68, 69]. Bardzo dużym i ważnym obszarem badań reologicznych są również sektory wojskowe, kosmiczne oraz nuklearne, w których wykorzystuje się najnowsze materiały, pracujące w bardzo trudnych warunkach, narażone nie tylko na wysokie obciążenie i temperaturę, ale również, np. na promieniowanie, skrajnie niskie temperatury i wysoką próżnię. Wyniki tych badań zazwyczaj jednak nie są publikowane [3, 14]. Podsumowując przeprowadzoną w niniejszym rozdziale analizę problematyki dotyczącej w głównej mierze relaksacji naprężeń układów połączeń, które z samej istoty tworzą zestaw ciał metalicznych o zróżnicowanych cechach lepko-sprężystych, nasuwa się myśl na temat potrzeby przeprowadzenia rozważań nad budową mechanistycznego modelu opisującego reologię takich układów. Mając świadomość, że, z ilościowego punktu widzenia, jest to zagadnienie niezwykle trudne, ponieważ na ogół dotyczy złożonych stanów naprężenia, rozważania nad powyższym zagadnieniem powinno się przeprowadzić na samym początku dla jednoosiowego stanu naprężenia. Z całą pewnością ułatwi to poznanie cech takich układów i może pozwolić na ich wykorzystanie w analizie zagadnień złożonych. Analiza elementarnych układów połączeń zbudowanych z różnych materiałów metalicznych dała podstawę do sformułowania tezy niniejszej pracy. Została ona przedstawiona w następnym rozdziale.. 19.

(20) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 3. TEZA Literaturowa analiza stanu zagadnienia nad reologiczną naturą materii objawiającą się na sposób albo trwałych przyrostów długości pod stałym obciążeniem (pełzanie), albo spadku naprężenia przy stałym odkształceniu (relaksacja naprężeń) oraz wstępna informacja eksperymentalna nad zjawiskiem relaksacji naprężeń, dały podstawę do sformułowania następującej tezy: Na podstawie znajomości charakterystyk reologicznych materiałów metalicznych o jednorodnych cechach lepko-sprężystych oraz ich modułów sprężystości wzdłużnej możliwe jest określenie charakterystyk relaksacji naprężeń w układach o zróżnicowanych cechach reologicznych zbudowanych z tych materiałów. Powyższa teza sprowadza się do opracowania modelu reologicznego zachowania się układów składających się z ciał metalicznych o różnych cechach lepko-sprężystych. Model ten powinien umożliwić szacowanie relaksacji naprężeń w tych układach na podstawie znajomości charakterystyk relaksacji naprężeń ciał tworzących układ oraz ich modułów Young’a. Podstawę do przeprowadzenia rozważań nad powyższym zagadnieniem stanowi nie tylko sama potrzeba naukowego poznania tego problemu, ale również refleksja nad możliwością konfiguracji takich zestawów połączeń materiałów o znanych cechach sprężystych i lepkich, które charakteryzowałyby się z góry założonymi, odmiennymi od znanych materiałów, własnościami lepko-sprężystymi. W tym tkwi praktyczny sens tezy pracy.. 20.

(21) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 4. CEL I ZAKRES PRACY 4.1. CEL PRACY Celem naukowym pracy jest dowodzenie tezy, iż możliwe jest określanie naprężenia podczas procesu relaksacji naprężeń w układach z gradientem reologicznym na podstawie znajomości charakterystyk relaksacji naprężeń oraz modułów sprężystości wzdłużnej ich elementów składowych. Do osiągnięcia powyższego celu niezbędna jest analiza zagadnienia relaksacji naprężeń układów z gradientem reologicznym oraz przeprowadzenie obszernego programu badań doświadczalnych charakterystyk relaksacji naprężeń w ciałach jednoelementowych i układach wieloelementowych w różnych warunkach naprężeniowotemperaturowych. W dalszych częściach pracy układy takie nazywać będziemy również zamiennie układami z gradientem reologicznym oraz, jak wcześniej, układami o zróżnicowanych cechach reologicznych (lepko-sprężystych). Ponieważ znane modele reologiczne nie opisują w sposób dostateczny zjawiska relaksacji układów o zróżnicowanych cechach lepko-sprężystych na potrzeby niniejszej pracy zostanie stworzony taki model reologicznego zachowania układów, który umożliwi szacowanie naprężenia w nich panującego podczas relaksacji naprężeń ich elementów składowych. Przeprowadzony program badań ma na celu doświadczalną weryfikację teoretycznego modelu. Jednym z celów pracy jest próba wykorzystania przeprowadzonych rozważań do analizy rzeczywistego problemu relaksacji sił docisku w połączeniach elementów sieci trakcyjnej.. 4.2. ZAKRES PRACY Zakres pracy obejmuje doświadczalne badania charakterystyk relaksacji naprężeń zachodzącej w pojedynczych drutach z różnych materiałów oraz w układach z nich zbudowanych, w warunkach różnych wartości naprężeń początkowych i temperatur. Badania poprzedzone zostaną opracowaniem modelu relaksacji naprężeń układów o zróżnicowanych cechach reologicznych. W modelu zostaną wykorzystane doświadczalne charakterystyki relaksacji naprężeń, jak również literaturowy model Maxwell’a zbudowany z ciała Hooke’a i Newton’a. Aplikacyjny zakres pracy obejmuje teoretyczną analizę stanu naprężenia w wybranych połączeniach elementów sieci trakcyjnej przy użyciu metody elementów skończonych oraz symulację relaksacji jego składowych. Zakres doświadczalny części aplikacyjnej obejmuje badania relaksacji sił docisku tworzące bazę danych doświadczalnych do modelu.. 21.

(22) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 5. KONCEPCJA ROZWIĄZANIA TEMATU PRACY Koncepcja rozwiązania tematu pracy polega na opracowaniu teoretycznego modelu relaksacji naprężeń układów wieloelementowych zbudowanych z ciał metalicznych o różnych cechach lepko-sprężystych i jego doświadczalnej weryfikacji na wybranych przykładach układów zbudowanych z różnych materiałów połączonych na sposób szeregowy. Opracowany model wykorzystywał będzie szereg cech materiałowych, zatem wymaga to zbudowania bazy danych eksperymentalnych (linia A), a więc określenia własności mechanicznych analizowanych pojedynczych drutów i układów z nich zbudowanych, ich cech sprężystych i reologicznych. Przygotowane wyniki zostaną opracowane w postaci funkcji matematycznych (doświadczalnych i literaturowych Maxwell’a) (linia B), a następnie trafią do opracowanego modelu fenomenologicznego (linie C). Wyliczone w ten sposób teoretyczne charakterystyki relaksacji naprężeń układów z gradientem reologicznym zostaną porównane i zweryfikowane w oparciu o doświadczalne charakterystyki relaksacji takich układów (linie D). Następnie, jeżeli weryfikacja przyniesie wynik pozytywny, zostanie przeprowadzona symulacja reologicznego zachowania się układów o zróżnicowanych cechach lepko-sprężystych (linia E). Dodatkowo praca obejmować będzie rozważania aplikacyjne rzeczywistych układów połączeń kolejowej górnej sieci trakcyjnej, w ramach których przeprowadzone zostaną badania relaksacji sił docisku oraz MES-owska analiza relaksacji składowych stanu naprężenia. Graficzną postać koncepcji rozwiązania tematu pracy przedstawiono na rysunku 5.1.. 22.

(23) Rys.5.1. Graficzna postać koncepcji rozwiązania tematu pracy. Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 23.

(24) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 6. MODEL REOLOGICZNY W rozdziale przeprowadzono analizę teoretyczną nad zagadnieniem relaksacji naprężeń w materiałach o jednorodnych cechach i układach o zróżnicowanych cechach reologicznych. Ponieważ, jak już to wykazano w rozdziale 2 pt.: „Analiza stanu zagadnienia”, brak jest w literaturze przedmiotu modeli, które umożliwiałyby szacowanie zjawiska relaksacji naprężeń w układach zbudowanych z kilku różnych połączonych ciał na podstawie znajomości charakterystyk reologicznych tych ciał, dlatego też w ramach niniejszego rozdziału zostaną przeprowadzone rozważania teoretyczne, których efektem będzie model reologiczny układu z gradientem cech lepko-sprężystych. Do tego celu zostaną wykorzystane podstawowe równania teorii sprężystości. Analiza zostanie przeprowadzona dla dwóch elementarnych układów zbudowanych z szeregowo i równolegle połączonych elementów. Rozważania uwzględniają również wykorzystanie strukturalnego modelu Maxwell’a do szacowania lepkości dynamicznej materiałów i układów z nich zbudowanych.. 6.1. ANALIZA UKŁADÓW SZEREGOWO POŁĄCZONYCH ELEMENTÓW O RÓŻNYCH MODUŁACH YOUNG’A 6.1.1. ODKSZTAŁCENIA UKŁADÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW O RÓŻNYCH MODUŁACH YOUNG’A Rozważania wynikające z analizy odkształceń wzdłużnych układów zbudowanych z szeregowo połączonych elementów są niezbędne nie tylko w celu określenia formuły umożliwiającej ich efektywne obliczanie, ale także – jak się później okaże - do wyprowadzenia wzoru opisującego moduł sprężystości wzdłużnej takich układów. Przeanalizujmy w tym celu odkształcenia sprężyste ciał wchodzących w skład układu. Rozważania przeprowadzimy dla układu dwuelementowego zbudowanego z ciał C1 i C2 o jednakowych przekrojach poprzecznych, długościach L1 i L2 oraz modułach Young’a E1 i E2. Schemat takiego układu przedstawiono na rysunku 6.1.. Rys. 6.1. Szeregowy układ dwuelementowy zbudowany z ciał C1 i C2. Zgodnie z prawem Hooke’a odkształcenia poszczególnych ciał wynoszą: 24.

(25) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. σ. ε1 =. (6.1). E1. ε2 =. σ. (6.2). E2. Aby wyznaczyć odkształcenie układu zapytajmy na początek, ile wynosi suma odkształceń jego elementów składowych? Z (6.1) i (6.2) wynika, że 1 ⎞. ⎛ 1. ε 1 + ε 2 = σ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ E1 E 2 ⎠. (6.3). a gdyby ciała C1 i C2 charakteryzowały się tym samym modułem E (w praktyce oznaczałoby to, że są to te same ciała), wówczas z (6.3) otrzymuje się:. ε1 + ε 2 =. 2σ E. (6.4). Jednakże, układ dwuelementowy zbudowany z tych samych ciał staje się przecież układem jednoelementowym, o odkształceniu równym:. ε=. σ. (6.5). E. Zatem uzgodnienie (6.4) i (6.5) wymaga wprowadzenia do prawej strony równania (6.4) 1 współczynnika , który przekształca to równanie do postaci średniej arytmetycznej sumy 2 odkształceń ε1 i ε2. Powyższe rozumowanie przeprowadzone, np. dla układu 1 1 trójelementowego, każe wprowadzić współczynnik , czteroelementowego i wreszcie dla 3 4 układu 1 . N-elementowego współczynnik N Tak więc odkształcenie wzdłużne układu zbudowanego z N szeregowo połączonych ciał metalicznych tworzących jego elementy, jest średnią arytmetyczną sumy ich odkształceń i dane jest wzorem:. ε ukł = ε 1− N =. 1 N. N. ∑εi = i =1. 1 N 1 σ∑ N i =1 Ei. (6.6). Występujące w (6.6) symbole posiadają następujące oznaczenia: εi – wzdłużne odkształcenia sprężyste ciał tworzących układ, Ei – moduły sprężystości wzdłużnej ciał, N – ilość ciał , σ – naprężenie rozciągające układ (a także każdy jego element), ε1-N – odkształcenie układu zbudowanego z N elementów.. 25.

(26) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych Dla lepszego zilustrowania znaczenia wzorów (6.3) i (6.6) przedstawmy następujące obliczenia. Przykład 6.1. Dane: N=2, E1=100 000 MPa, E2=70 000 MPa, σ=100 MPa. Zgodnie z (6.3) suma odkształceń wynosi 0,0024, a odkształcenie układu obliczone wg (6.6) powinno wynosić 0,0012. Gdyby przyjąć, że E1=100 000 MPa, E2=100 000 MPa, σ=100 MPa, wówczas odkształcenie układu powinno wynosić 0,001, a wg (6.3) wynosi 0,002. Uogólnieniem formuły (6.6), gdy ciała metaliczne tworzące układ posiadają różne przekroje poprzeczne, jest wzór postaci:. ε ukl =. 1 N 1 F∑ N i =1 Ei Ai. (6.7). w którym Ai oznaczają przekroje poprzeczne poszczególnych elementów, a F jest siłą rozciągającą układ. Przeanalizujmy funkcjonowanie powyższego wzoru na następujących przykładach. Przykład 6.2. Dane: N=2, E1=E2=100 000 MPa, A1=A2=1mm2 , F=100 N. Podstawiając powyższe dane do (6.7) uzyskuje się odkształcenie układu równe 0,001, a więc takie samo jak uzyskane w przykładzie 6.1. Odnotujmy również dla porządku, że dane w przykładach 6.1 i 6.2 są identyczne, co po przekształceniach sprowadza równanie (6.7) do postaci (6.6). Przykład 6.3. Dane: N=2, E1=E2=100 000 MPa, A1=1mm2 , A2=2mm2 , F=100 N. Wykorzystując (6.7) na odkształcenie układu uzyskuje się: 1 1 1 ⎛ ⎞ ε ukl = ε 1− 2 = 100⎜ + ⎟ = 0,00075 2 ⎝ 100000 × 1 100000 × 2 ⎠ Jak nietrudno zauważyć, obliczona wartość odkształcenia układu jest średnią arytmetyczną sumy odkształcenia ciała pierwszego, w którym panuje naprężenie 100MPa (ε=0,001) i ciała drugiego, w którym panuje naprężenie 50MPa (ε=0,0005). Przykład 6.4. Dane: N=2, E1= 100 000 MPa, E2=70 000 MPa, A1=A2=1mm2 , F=100 N. Wykorzystując jak poprzednio formułę (6.7) uzyskuje się odkształcenie układu 0,0012, a więc identyczne jak w przykładzie 6.1. Gdyby przekrój A2=2mm2, wówczas, wykorzystując (6.7), odkształcenie układu będzie wynosić 0,000857.. 26.

(27) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. 6.1.2. MODUŁ SPRĘŻYSTOŚCI WZDŁUŻNEJ UKŁADÓW ZBUDOWANYCH Z CIAŁ O ZRÓŻNICOWANYCH MODUŁACH YOUNG’A Do wyznaczenia modułu sprężystości wzdłużnej układów zbudowanych z materiałów metalicznych o różnych modułach Young’a wykorzystamy formułę (6.6) opisującą odkształcenia wzdłużne takiego układu. Zauważmy w tym celu, że występujące w (6.6) naprężenie σ jest również naprężeniem panującym w układzie. Można zatem przyjąć σ=σukł . Zapiszmy więc (6.6) w postaci. ε ukł =. N 1 1 σ ukł ∑ N i =1 E i. (6.8). Uwalniając prawą stronę równania (6.8) od σukł, uzyskuje się efektywną postać wzoru na moduł sprężystości wzdłużnej układu zbudowanego z N szeregowo połączonych ciał metalicznych o modułach Young’a Ei postaci: Eukl =. N N. 1 ∑ i =1 E i. (6.9). z której wynika, że moduł sprężystości wzdłużnej układu szeregowo połączonych elementów jest odwrotnością średniej arytmetycznej sumy odwrotności modułów Young’a jego elementów składowych. Dla lepszego zilustrowania powyższych zależności przeprowadźmy następujące obliczenia. Przykład 6.5. Dane: N=2, E1=100 000 MPa, E2=70 000 MPa, A1=A2, σ=100 MPa. Wzór (6.9) na obliczanie modułu sprężystości układu dla N=2 przyjmuje postać E1− 2 =. 2 E1 E 2 E1 + E 2. (6.10). z której, po podstawieniu danych, wynika, że E1-2 równa się 82 353 MPa. Wartość ta zawiera się pomiędzy modułem E1, a E2, co przekłada się bezpośrednio na wielkość odkształcenia układu. Odkształcenie sprężyste analizowanego w przykładzie układu można wyliczyć na 100 MPa σ = = 0,0012 , albo wg (6.6) dwojaki sposób. Albo wg prostej formuły ε 1−2 = E1−2 82353MPa które – dla tych samych danych - zostało wcześniej wyznaczone w przykładzie 6.1 (podrozdział 6.1) i wynosi również 0,0012. Gdyby E1=E2=100 000 MPa, wówczas - na podstawie (6.9) - moduł sprężystości wzdłużnej takiego układu wyniósłby 100 000 MPa, co jest zgodne z rzeczywistością, a jego odkształcenie 0,001 (por. przykład 6.1). Ilustrację graficzną analizowanego układu dwuelementowego, zbudowanego z ciał o różnych modułach Young’a oraz układu zastępczego, przedstawiono na rysunku 6.2.. 27.

(28) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. Rys.6.2. Schemat układu dwuelementowego i odpowiadający mu układ zastępczy dla E1 ≠ E 2 .. 6.1.3. ANALIZA STATYCZNA NAPRĘŻEŃ W PROCESIE RELAKSACJI NAPRĘŻEŃ MODEL REOLOGICZNY. Łatwo wykazać, że energia właściwa odkształcenia sprężystego układu połączonych szeregowo elementów jest średnią arytmetyczną sumy energii jego elementów składowych. Posłużmy się w tym celu układem dwuelementowym pokazanym na rysunku 6.3. Rys.6.3. Układy zbudowane z jednego typu ciał. oraz wzorem postaci 1 wukł = ( w1 + w2 ) (6.11) 2 w którym w1, w2 i wukł to odpowiednio energie właściwe odkształcenia sprężystego w ciele C1, C2 i układzie zbudowanym z tych ciał. Podstawiając do powyższego wzoru następujące zależności: 28.

(29) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych 1 w1 = σ 1ε 1 2 1 w2 = σ 2 ε 2 2. (6.12) (6.13). oraz 1 wukł = σ ukł ε ukł 2. (6.14). uzyskuje się wzór na odkształcenie układu postaci:. ε ukł =. 1 (ε 1 + ε 2 ) 2. (6.15). Jednocześnie wykorzystując w (6.12)-(6.14) zależność typu ε =. σ. uzyska się, postępując E podobnie jak poprzednio, wzór na moduł sprężystości układu dwuelementowego postaci Eukł =. 2 E1 E 2 E1 + E 2. (6.16). Jak łatwo zauważyć, formuła (6.16) jest identyczna z (6.10), a (6.15) z (6.6) jeśli uprościmy ją do układu dwuelementowego. Powyższe dowodzi prawdziwości wzoru (6.11), który dla układu wieloelementowego można wyrazić wzorem postaci: wukł =. 1 N. N. ∑w i =1. (6.17). i. Gdyby elementy składowe układu nie posiadały cech reologicznych i w związku z tym nie podlegały procesowi relaksacji, wówczas równanie (6.17) pozwoliłoby na określenie naprężenia w układzie, przy czym naprężenie to byłoby równe naprężeniom występującym w jego elementach. Jeśli natomiast ciała tworzące układ będą wykazywać cechy reologiczne, to formuła (6.17) pozwoli na określenie naprężenia w układzie na skutek naruszenia jego status quo poprzez relaksację naprężeń w jego elementach składowych. Przedstawmy (6.17) w formie ujawniającej naprężenia i moduły sprężystości dla układu dwuelementowego. Mamy więc 2 (t ) 1 ⎛ 1 σ 12 (t ) 1 σ 22 (t ) ⎞ 1 σ ukł ⎟ = ⎜⎜ + 2 Eukł 2 ⎝ 2 E1 2 E 2 ⎟⎠. (6.18). Występujące w (6.18) σ1(t) oraz σ2(t) to chwilowe wartości naprężeń w ciałach C1 i C2, które uległy obniżeniu na skutek zachodzących w tych ciałach procesów reologicznych. Przekształcenie (6.18) do postaci: ⎡E σ ukł (t ) = ⎢ ukł ⎢⎣ 2. ⎛ σ 12 (t ) σ 22 (t ) ⎞⎤ ⎜⎜ ⎟⎟⎥ + E E 1 2 ⎝ ⎠⎥⎦. 0,5. (6.19). 29.

(30) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. pozwoliło na uzyskanie efektywnego wzoru umożliwiającego określenie wartości naprężenia zastępczego układu zbudowanego z dwóch ciał o różnych modułach Young’a i różnych charakterystykach relaksacji naprężeń. Jak bowiem nietrudno zauważyć, σ1(t) i σ2(t) to charakterystyki relaksacji naprężeń ciał C1 i C2. W tym sensie również lewa strona formuły (6.19) przedstawia charakterystykę relaksacji naprężeń układu C1-C2, zaś strona prawa sposób jej określania. Uogólnienie (6.19) na układ N-elementowy prowadzi do wzoru postaci: N ⎡1 σ ukł (t ) = ⎢ Eukł ∑ i =1 ⎣⎢ N. ⎛ σ i2 (t ) ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎜ E ⎟⎥ ⎝ i ⎠⎦⎥. 0,5. (6.20). Powyższa formuła stanowi najważniejszy fragment niniejszej pracy i jest ostatecznym elementem teoretycznego dowodzenia jej tezy.. 6.2. ANALIZA UKŁADÓW RÓWNOLEGLE POŁĄCZONYCH ELEMENTÓW O RÓŻNYCH MODUŁACH YOUNG’A Przeprowadzone w podrozdziałach 6.1.1 do 6.1.3 rozważania dotyczyły układów zbudowanych z szeregowo połączonych elementów o różnych modułach Young’a. Wyprowadzono efektywne postaci wzorów umożliwiających określenie wielkości odkształcenia wzdłużnego układu (wzory (6.6) i (6.7)), zastępczego modułu sprężystości (wzór (6.9)) oraz najważniejszej wielkości - będącej przedmiotem dowodzenia tezy niniejszej rozprawy - mianowicie równania (6.20) umożliwiającego szacowanie naprężenia chwilowego w układzie zbudowanym z ciał metalicznych o zróżnicowanych własnościach sprężystych i reologicznych. Na ich podstawie przeprowadzono szereg przykładowych obliczeń, mających na celu przybliżenie czytelnikowi różnych własności układów w zależności od modułu Young’a poszczególnych elementów i ich własności reologicznych charakteryzowanych funkcjami relaksacji naprężeń. Rodzi się naturalne pytanie o podobne własności układów zbudowanych z takich samych elementów, ale połączonych równolegle. Byłoby to jednocześnie oczekiwanym uzupełnieniem dowodu tezy na inny elementarny sposób połączenia elementów. Niezbędne staje się zatem wyprowadzenie matematycznych formuł – odpowiedników zależności (6.6), (6.9) oraz (6.20). Rozważmy układ N-elementowy zbudowany z równolegle sztywno połączonych ciał C1 do CN o przekrojach poprzecznych A1 do AN charakteryzujących się modułami Young’a E1 i EN. Schemat układu dla N=2 ilustruje rysunek 6.4.. 30.

(31) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych. Rys.6.4. Schemat ogólny układu dwuelementowego zbudowanego z równolegle połączonych ciał C1 i C2.. Warunkami wyjściowymi do analizy takiego układu są następujące informacje wstępne: 1. Równość przemieszczeń, a więc i odkształceń układu i jego elementów Δlukł = Δl i = Δl ; ε ukł = ε i = ε. i = 1,..., N. (6.21). 2. Znikanie sumy sił na kierunku ich działania. N. Fukł = ∑ Fi. (6.22). i =1. 3. Przekrój poprzeczny układu wyrażony wzorem N. Aukł = ∑ Ai. (6.23). i =1. 31.

(32) Badania relaksacji naprężeń w materiałach metalicznych o zróżnicowanych cechach reologicznych 4. Moduł sprężystości układu jest średnią ważoną modułów Young’a ciał układu 1 E ukł =. 1 Aukł. N. ∑E A i. i =1. (6.24). i. 5. Energia odkształcenia sprężystego układu wyrażona w dżulach zgodnie z (6.22) i (6.21) jest sumą energii ciał tworzących układ 1 1 N Fukł Δl = ∑ Fi Δl 2 2 i =1. (6.25). a więc ogólnie N. Wukł = ∑ Wi. (6.26). i =1. 6. Energia właściwa układu, tj. odniesiona do jednostki objętości wyrażona w wzorem 2. J dana, jest m3. N. wukł =. ∑w A i =1 N. i. i. (6.27). ∑A i =1. i. z którego wynika, że jest ona średnią ważoną energii właściwej ciał tworzących układ. Przekształcając teraz wzór (6.27) do postaci wyrażonej poprzez naprężenia uzyskuje się efektywne równanie umożliwiające określenie interesującej nas w niniejszej pracy wartości naprężenia w układzie zbudowanym z równolegle połączonych elementów o różnych modułach Young’a i różnych przekrojach. 1. Wzór (6.24) można uzyskać wykorzystując formułę (6.22) wyrażając w niej siłę w postaci iloczynu naprężenia i przekroju, a naprężenie w postaci iloczynu odkształcenia i modułu sprężystości. Będzie więc F = εEA , co po N. εEukł Aukł = ε ∑ Ei Ai. wprowadzeniu do (6.22) oraz uwzględnieniu (6.21) prowadzi do wzoru postaci. ,. i =1. z której natychmiast wynika formuła (6.24) opisująca moduł sprężystości układu zbudowanego z N równolegle połączonych ciał. 2 Wzór (6.27) można łatwo uzyskać wykorzystując równanie (6.22) przekształcając je w następujący sposób: 1. 2.. 3.. Wyrażając siły przez iloczyn naprężenia i przekroju uzyskuje się σ ukł Aukł =. N. ∑σ i =1. i. Ai. (*). Wprowadzając do odpowiednich członów równania (*) energię właściwą układu i jego ciał oraz uzupełniając go odpowiednimi współczynnikami utrzymującymi jego tożsamość, uzyskuje się 2 N σ ukł σ i2 Ei Eukł Aukł = ∑ Ai Eukł σ ukł i =1 E i σ i 2 σ ukł. Podstawiając w równaniu (**). Eukł. (**). = 2 wukł ,. σ i2 Ei. = 2 wi ,. E ukł. σ ukł. =. Ei. σi. =. 1. ε. (por. (6.21)) oraz po. odpowiednich przekształceniach uzyskuje się postać równania (**) identyczną z (6.27).. 32.