S C H I F F S T E C H H R
F O R S C H l l X G S I I E F T E F Ü R S C H I F F B A Ü I B i D S f H 1 F F S M A S C H I S E N B I D
H e f t .Irt. I V b r i i a r lt».'.9 (6. B a n dStatistische Methoden zur Uiitersuchiing der Beweg^iingen
eines Schiffes ini Seegang
ilO"). MittfiliiriK (ler Hamhurgisclnen .ScJnITIiaiiA c r s u d i s a n s t a l l
Helniut B a r l l s i - l i , Haniliur;;
In I'iner 1953 verrtfTenlliilileii A r i i f i l haben Pierson umi S l . D e n i s [11 eine Mclhodp angefrclienv durcli die t s niögliclt ist, Aiissagen iiher (lie Bewefjungen eines Scliiffes im iiatiir-lid'ien S e e g a n g zu niatlien, « c n n das V e r l i a l t e n des ScliilTes in regelmal-iigrn W e l l e n (Sinuswelien) h c k a n n i ist,. K i n e wi.li-tige G r u n d l a g e f ü r diese T h e o r i e der S.hilTsbewegungen. zu deren P r i i f u n g L e w i s und N u m a l a | 2 | iimfangroitlie Versuche ausgefiihrl haben, ist die Seegangslheorio. die Pierson f;?,41 unter V e r w e n d u n g der von R i c e | 5 | beschriehenen mathema-lischen Melhoden entwickelt lial. Wesentliche slalisiisclie E i g e n s c h a f t e n des S e e g a n g s u n d der SchifTshewegungen hii Seegang haben L o n g u e l - H i g g i n s j ó ] , C a r l w r i g h l / I . o n g u e V H i g g i n s L7J und C a r l w r i g h l [ 8 | angegebem
Der vorliegende Bericlil rsl eine v e r k ü r / . l e W i e d e r g a b e des Bericlnes N r . J1.">1 der H a m b u r g i s c l i e n .Scld(Tbal^VeröUcbs• an.slall. E r wurde im w c s e n l l i i b e n n a i h den oben genannten Arbeiten f l j bis 17] zusammenge.stellt, weitere L i t e r a t u r -hinwei.se werden stets d a n n gegeben. wenn die betrelTenden Arbeiten ange/.ogen werden, dagegen werden die oben ge-nannten A r b e i t e n im folgenden nicht ininier au.sdniicklidi genannt.
1. S e e j j a n g s r e p i s l r i e n i i i g un<l 8 e « ' g a n g s f u i i k t i o r r
Durch die E i n w i r k u n g des W i n d e s werden an der Meeres-oberflii(4ie W e l l e n erzeugl. F i i r diesen „ . S e e g a n g " werden m\ folgenden die Bezeichnungen „ W i n d s c e " und , . D i i n u n g " in der ü b l i c h e n W e i s e verwendet. 1st Seegang vorhanden, s(, •iindert sich die H ö h e der M e e r e s o b e r l l ü c h e a n einem festeii P u n k l der E r d e s l a n d i g , d. h. diese H ö h e Z (t) ist eine Kunk-l i o a der Z e i Kunk-l . I s Kunk-l eine M e B - und S c Kunk-l i r e i b v o r r i c b t u n g vorhandeiv, von der die S c l i w a n k u n g e n der Meeresoberflacbe aufgezeldv-net werden, so ent.slehl f ü r Z (t) eine graphisclie D a r s l e l l u n g , die z . B . wie B i l d 1 aus.sehen k a n n . E i n e auf diese W e i V experimenten gewonnene Funkti-on Z (t) w i r d ,.Seegangs-registrierung" g e n a n n l . D e r B e z u g s p u n k t , von dem aus die H ö h e der Meere.soberllacbe Z ( I ) gemessen w i r d . wird so ge-wahit, dal.i der zeitlicbe M i t l e l w e r l a l l e r O r d i n a t e n Z U) ëleioliN . d l i-,t:
Z (flU - lim Z <i)eli - I! ( l . « )
W ird n u n eine S e e g a n g s r e g i s l r i c r u i i g diircli ehic matlieniu-risdie Fornnd wiedergegehen, so wird diese S c c g a n s - f i i n k l i o j i /, ( l ) g€Jftannt.
Z tt)
B i l d 1 S r t s a n B s r e g i s t r i e r u n g ( a u s
111 dcr Seegang.-tlieorie von I'ierson 11. .5, 4J wird du- S-u-g a n S-u-g s f u n k t i o i i Z (1) d a r S-u-g e s l e l l l als C b e r l a S-u-g e r u n S-u-g von liurini)^ n i s d i e n Scbwinginigen m i l Z . i f a l l s p h a M - . E s wird niifnl'icfe g e ^ e U l :
N
V
Z K ) ^ c„ COS (i.0.,, I ^ o,^
F i i r die K r e i s f r e ( i u e n z e n (i»„ gilt: tll, < i i ) j < . . . . < t'>s •
(jj„ i~l der I M i l l c l p i i n k l eines l n l c r \ a l l e s \i>j, Bild 2)..
s -, -i.S.U.H,",
B i l d 2 S e e K a n g s s p e k t r u m (aus |91f
H.H.4IITSCU
r. Hon V und H..4. IVALl XSKi.
II.C. SCHl hWZ
». A LEV .
[ i i h a l r d i e s e s H e f t e n T
Startstisel.e M e l h o d e n y . u r I n t e r s u c h u n g der B e w e g u n p e n eines Sd.ilTes im S e e g a n g L n l e r s u e h u n g e n u b e r D r e h n i a n i i v e r u n d K u r s s t a b f m a i v o n SehifTen
Die g u e r f e s t i g k e i U r e e h n u n g n a d . C r o s . b e i beliebig g e k r l . m m l e n S p a n t e n >er-a n d e r l i c h e n T r i i g h e i l s m o m e n l e s r b e r .die „ u m e r ï s r h e B e r e c h n u n g . l e r i n . h m e r t e n O s r h w indigkeiten an P r o -pellerflOgelii " J S c h i t r s l e c h n i k B d . 6 — 1959 — H e i I 3U 1 9 42
Die I n t e r v a l l e AuJi„ bedecken das I n l e r v a l l
Aw,
(itN 2
j f l ü (kenlos ohne t l b e r s c h n e i d u n g e n . Die
Amphr
tuden c,| der harmonischen Schwingungen sind wie folgi er-klarl-. r (o)> ist eine fiir o) > 0 e r k l ü r t e stetige und n i d i l nega-(ive F u n k t i o n (s. B i l d 2 ) , und es ist:D i e F u n k t J o n r (o)) wird „ S e e g a n g s s p e k t r u m * genannl. r((i)) hat die Dimension ( m ' s e c ] , c„ folglieh die Dimension fm). SchlietJlidi ist die sog. „ Z u f a l l s p h a s e " o„ eine Zufall^^-gröBc im S i n n e der malhematisdien S t a l i s t i k . o„ k a n n aflu Werte zwisthen 0 und 2 . T mit gleidier W a h r R ( h e i n l i d i k e i l an nehmen:
W ( 0 < o „ < 2 . - T a ) - u , e < u < l . < i , 4 | Durch die E i n f ü h r u n g der Z u f a l l s p h a s e n ergibt sidi folgen-des: A u c h wenn das S p e k t r u m r (o)) und die F r e q u e n z e n (i)„ festliegen, w i r d d u r d i (1, 2) nuhl eine F u n k t i o n , .sondern eine ..Gesamlheit"' v o n unendliidi v i d e n F u n k t i o n e n Z (I) besliinint. denn zu j e d e r .^uswa hi i("Ziehung") von .N W e r t e n 0 „ g e h ü r l eine F u n k t i o n Z (t) .
I n ( 1 . 2 ) wird nun der G r e n z ü b e r g a n g N u n t e r deu folgenden B e d i n g u n g e n d u r d i g e f ü b r t : ^ f ) , t w ^ ^ • Max A o ) j , 0 . M a n e r h a l t :
oo
Z (t) = J COS [uut + <T ((o) ]
Yl
(ii>) d i i ) . (1,5)O
F ü r die Z u f a l l s p h a s e n o (w) gill sinngemaB ( 1 , 4 ) , d. h. f ü r jeden Wert w k a n n o (to) a l l e Werte z w i s d i e n 0 und 2 .T mit glei<lier W a h r s d i e i n l i c h k e i t a n n e h m e n .
(1, 5) ï s l k e i n R i e m a n n s d i e s I n t e g r a l , e i n m a l wegen der Z u -fall.sphase o (o)), z u m anderen wegen des D i f f e r e n t i a l s unter der W u r z e l . M a n k a n n ( 1 , 5 ) nidit .n bekannter W e i s e durcli eine F o l g e von P a r t i a l s u m m e n erhalten. B e i m Ü b e r g a n g von einer P a r t i a l s u m m e ( 1 . 2 ) z u r nadisten mit feinerer I n t e r v a l ^ einteilung .Aw„ m ü s s e n nanilich die Z u f a l l s p h a s e n a„ erneut „ g e z o g e n " werden. D a s bedeutel aber. daB die neue P a r t i a l summe eine von der vorangehenden v ö l l i g v e r s d i i e d e n e F u n k tion ist. T r o t z d e m sind die Definitionen (1. 2) und i(l, 3) s i n n -voll. D a s ergibt sidi a u s den stati'slischen Eigen.s(^laften der S e e g a n g s f u n k t i o n , die in A b s d i n i t t 2 beschrieben werden.
E s besteht n u n die folgende A u f f a s s u n g : Jede Seegangs-r e g i s l Seegangs-r i e Seegangs-r u n g k a n n duSeegangs-rch eine S e e g a n g s f u n k t i o n (1, 5) wiedeSeegangs-r- wieder-gegeben w e r d e n , bei der das S p e k t r u m eine noch naher zu bezeichnende F u n k t i o n ïst und b e i d e r die Zufallspha.sen o fe.sie Z a h l e n s i n d . W i r d der S e e g a n g an mehreren nidit zu weit auseinanderliegenden P u n k t e n registriert, so .soU das S p e k t r u m f ü r die z u g e h ö r i g e n S e e g a n g s f u n k t i o n e n gleidi sein. Dagegen w e r d e n die Z u f a l l s p h a s e n a n verschiedenen F u n k t e n verschieden sein.
D i e R i c h l i g k e i t dieser A u s s a g e k a n n n u r dadurch bestiitigt werden, d a B die Seegangsfunktion die E i g e n s c h a f t der See-g a n See-g s r e ^ c ï s t r i e r u n See-g und damit des S e e See-g a n See-g s r i d i t i See-g wieder-gibt. E i n B e i s p i e l d a f ü r ist die i m folgenden Absc-bnitt be-schriebene N o r m a l v e r l e i l u n g der O r d i n a t e n von Seegangs^-funktion u n d R e g i s t r i e r u n g .
2. D i c s t a t i s t i s c h e n E i g e n s c h a f t e n d e r
S e e g a n g s f u n k t i o n
l m ersten T e i l dieses A b s d i n i l t s ist t eine beliebige, aber feste Z a h l . E s w i r d die G e s a m t h e i t der F u n k t i o n s w e r l e Z (t) b e t r a A l e t , die s i d i d a d u r d i ergfbt. daC die Z u f a l l s p h a s e n <i_, [ b z w . O (w)l a l l e W e r t e z w i s c h e n O u n d 2,-t a n n e h m e n .
W e i l o„ eine Z u f a l l s g r ö B e (im S i n n e der mathemaitischen Stalistik) ist. ist auch
x„ = r„ cos (tü„ t + a„) (2, l )
enie Z u f a l l s g r ü B e , deren HaufigkeilsTunktioii nuiiv erliSll^ wenr» man den .Ansatz f (x^) • ^Ix,, con^i • ,|n ^ nuu•b^. do„ nut H i l f e von (2. IJ besliminl und die Fliiiln uutcr dor Kunklion zu E i n s normiert:
O für x „ < — c„ iiud f ü r x,, > e,,
. T y / c , , ' N „
-Vi ird n„ unter B c a c b l u n g \on ( U 4) . . . z u f ü l l i g " gcwiihli. so isr d i e W a b r s c l i e i n l i d i k e i l . daB der d a z M g e h ö r i g . ' WerI v,.n x , ini I n t e r v a l l (u, u - du) liegt, gleidi f „ ( u ) - d u . F ü r M i i l c l w e n und S l r e u i m g voii \ „ gilt;
F (x„l i u f„ (u) .1.1 - 0 .
E < x „ - ) 1 u-}„)[ir) ,lu
(2. .-5)
( 2 . 4 )
( E - F r w a r l u n g s w e r t \nn . . .) .
Die G r ö t i e n X i , X o , . . . sind unabbiinglu. wfoil die l'lut-s e n n , . O o , . . . unabhangig l'lut-sind. Auf Z kann nuni d<-iw.cn-tralen (Jrenzwcrisatz (s. Anhang); anwendcu, wenn die Inlc-tirale
R = I t M <inJ imd .Ij' | r (LO)]'-'dju
O O
exrslieren. E s foJgt: Z ist asyniplotiscl'i ii«n'm;u! (d. Ii
für N ^ ) mit dem Mültel
E fZ) O und dcr S t r e u u n g E (Z-,i N n • r * r Uón< Al n 1 (2. 6) noiiuail (2.81 {2. <)) <2,3Q,i E ( Z - J — t I r ((ü) d(t) - R / 2 fnr N — . O (s. A n h a n g ï . M a n erhiilt daher: 1 " W [ a < Z < t ) < b l X e - > ^ R d K ' ) .
]/
RR al m zwellen T e i l dieses A b s d u i i n e s 'faf mui Z (l) eine spezielle F u n k t i o n aus der O s a m l b e i t der F u n k t i o n e n ( l , . 5 ) , d. h. die P h a s e n w i n k e l n sind feste Z a b l e n und Z (t) ist eine F u n k t i o n der Zeit. Z e i t l i d i e Mitlelwerte werden durch einen Querstrich gekennzeichnet. E s gilt:
, T
n, = Z (tl = i i m l / T j ' Z (t) <lt - 0 . (2, I I I )
T — O
Der Mittelwert alter O r d i n a t e n Zi;i) j s l also X u l l , U m (2, 11) und die folgenden F o r m e l n f ü r die Monionie von Z (l) z u l u -weisen, setzt man f ü r Z (t) die Suniinc ( 1 . 2 ) c i n , integriert uliedweise und madit dann die G r e n z n b e r g ü n g c T r o und .N — "V. . Momente von Z ( t ) : | Z ( t l l - - l i m l / T ï [ Z <i)l- dt H / 2 , (2,12.) T — V O i ' - . - i l Z ( t ) |
2s- l
= lim l / T ,T [Z.(t)]2=*-'di 0 ; s 0 , 1 , 2 . u . , _ = i Z { t ) r - ^ - Hm l / T .f [Z<t)l2=dt = (2, 1>) = 1 • .3 - ( 2 s — 1 ) ( R / 2 ) ^ s = l , 2, . . .(2,]4)i
D u r c h (2, 1.3) und t2, 141 s i n d die Momente einer .Vormal-verleilung mit deni M i t t e l .Null und der S t r e u u n g u^ ^ R / 2 "egeben. -Nadi einem Satz der mathematusiben S l a t i s t j k
')
Die linke S e i t e d e r G l e i c h u u g istzu lesen: Die.
W a h r s c h e i p -l i c h k e i t .dafi
Z (t) z i c i s c h e n a unci b l i e g r , ist gleicli . . . SchifTstechni'lc B d . 6 — 1959 — H e f t 30Hvg). z- B . ( 2 7 j ) muC daher Z (t)i dieser N o r m a l v e r t e i l u n g ge-niigen, d . h. ( 2 , 1 0 ) hat eine neue Bedeutung. F i i r eine spezielle F u n k t i o n Z (t) (das ist efne F u n k t i o n mit festen Phasen o) hat die W a h r s c h e l n l i d i k e i l , daC die O r d i n a t e Z (t) fiir argendeinen Z e i l p u n k t t zwischen den G r e n z e n a und I) liegt, den i n (2, 10) a n g e g e t e n e n W e r t .
D u r d i die zuletzt beschriebene E i g e n s c h a f t der Seegangs-funktion Z (t) erhalt der . \ n s a t z { 1 . 5) seine B e r e i i i t i g u n g , denn diese E i g e n s c h a f t besitzt auch d e r Seegang, (.\bweic)iun-gen von dieser Ei(.\bweic)iun-genschaft sind bei g r ö C e r e n W e l l e n h ö h e n zu erwarten, vgl. P i e r s o n (3)).
Z u r N a c h p r i i f u n g dieser E i g e n s c h a f t des Seegangs muC eine Seegangsregistrierung vorliegen (s. A b s c h n . 1). I n dieser R e g i s t r i e r u n g werden an z a b l r e i d i e n , etwa aquidistanten Zeit-punkten I j , to, . . . , t j | die O r d i n a t e ^ Z j , Z o , . . . , Z j | gemessen. D e r N u l l p u n k l der Z-Achse w i r d so festgelegt, dal! der Mittelwert
M
u , - Z<tJ = 1/M v = 0 (2, U )
ist [ v g l ( I . l ) ] . D a n n erhall man die S t r e u u n g a i i s : M
ivo - [ Z ( c ) ] ^ ' - 1 / M 2 Z k ^ <2. 161
D u r c h Pl = 0 und Uo ist die G a u B s c h e H a u f i g k e i t s k u r v e festgelegt ( „ t h e o r e t i s c h e ' " K u r v e i n B i l d 3 ) . U m n u n die „ w i r k -liche" H a u f i g k e i t s f u n k t i o n f i i r die O r d f n a t e n der Seegangs-registrierung zu e r h a l t e n , w i r d die Z-Achse i n I n t e r v a l l e ein-geteilt und die A n z a h l der in jedes Intervalli fallenden Werte
Z^^ ausgezahlt. Diese A n z a h l muB m a n j e w e i l s durch die
Ge-samtzahl M der Z|^-Werte und die B r e i t e des betreffenden Intervalls dividieren, um einen Durchschnittswert fiir die rela-tive Haufigkeit in diesem IntervaLl nu e r h a l t e n ( „ w i r k l i c h e " Haufigkeitskurve in B i l d 3 ) .
funktion darstellt. Je g r ö B e r P ist, desto besser ist die Ü b e r -einstinimung. 1st P > • 0.05, so besteht kein ..signifikanter" Unterschied zwischen den beiden Haufigkeitsfunktionen. I m obigen B e i s p i e l ist P = 0,5. d. h. die Ü b e r e r n s t i n i m u n g ist gut. E s ist noch zu e r w a h n e n . daB die Z a h l R aus ^2. 6 ) , das ist die Fla^^le unter der K u r v e des S e e g a n g s s p e k l r i m i s , eine physikalisclie Bedeutung hat. .Naih Pierson | 3 , 4| gilt fiir die E n e r g i e pro F l a c h e n e i n h e h der M e e r e s o b e r f l ü c h e :
Afr
T E „ „ , = E , i „ = lim |- ( Z { t ) | - d t '•'^ R T — oo 2 T o 4 (2, I T ) [v^;l. ( 2 , 1 2 ) .Q = Dichte des Seewassers, ^ = E r d b e s i h l e u n i g t i n g j
. \ u s diesem G r u n d e wird das Seegung.sspektrinn ^nuli E n e r g i e s p e k t r u m genannt.
3. D a s S « ' e g a n p s s p o k t n i n i
E i n e wichtige A u f g a b e besteht d a r i n . aus einer gegebeiien S e e g a n g s r e g i s t r i e r u n g das d a z u g e h ö r i g e S p e k t n n n zu be-stimmen. D a s k a n n z. B . durch das sogenannte .Anlokorrc-l a .Anlokorrc-l i o n s v e r t a h r e n geschehen [10, .Anlokorrc-l .Anlokorrc-l ] .
D i e A u t o k o r r e l a t i o n s f u n k t i o n Q (l) wird definiert dtircli die G l e i c h u n g :
T
Q (T) = l i m 2 / T .!' Z (t) Z (I + T) dï . (:5.1} T-i-oo o
Setzt man fiir Z die S u m m e (1, 2) ein, integrierl gliedweisi-und macht dann die Grenziibergange T-^oo u n d N - ^ , so erhalt m a n :
C
O
Q < T ) = I r(w) c o s d i T d c o . ( 3 , 2 ) o
D a r a u s fofgt mil H i l f e des F o u r i e r s c h e n Integrallbeorcnivs:
r ( ( I ) ) = 2A-t j ' Q ( T ) COS U>T d r . (3, 3)1
*h*or«tiscbe
(X2 yy funKfion
B i l d 3 T h e o r e t i s c h e u n d w i r k l i c h e H S u f l g k e i t s f u n k t i o n d e r O r d i -n a t e -n Z K t ) e i -n e r S e e g a -n g s r e g i s t r i e r u -n g
In B i l d 3 ist e i n B e i s p i e l wiedergegeben, d a s P i e r s o n und M a r k s [10] angegeben h a b e n . M a n d a r f keine ,rideale Ü b e r -e i n s t i m m u n g " d-er th-eor-etisdi-en und d-er wirklich-en Haufig-keitsfunktion e r w a r t e n , denn bei der A b l e i t u n g von (2, 10) wurde die L a n g e der R e g i s t r i e r u n g T = rc vorausgeselzi und auBerdem w u r d e n alle und nic^ll nur endlicli viele O r d i -naten von Z (t) b e r ü c k s i c h t i g t . A u s diesem G r u n d e ist auch der aus der S e e g a n g s r e g i s t r i e r u n g nacii (2, 15) gewonnene Wert f ü r die S t r e u u n g p.j n u r eine „ S c h a t z u n g " des tatsadilichen Wertes von po, der um so besser is1, j e langer die R e g i -strierung ist. N u n gibt es. aber a u d i einen wichtigen G r u n d , T nicJit zu groB zu w a h l e n . D a s S e e g a n g s s p e k t r u m r (ui) muB unabhangig sein von der Zeit t. D a s ist n u r d e r F a l l , wenn der Zustand des S e e g a n g s . . s l a l ï o n a r " ist, dagegen nicht, wenn z. B . die H ö h e des S e e g a n g s w a h r e n d der R e g i s t r i e r u n g wachsl oder abnimmt. D i e s e r A b s a t z gilt sinngeoiaB f ü r alle -in diesem Bericht e r w a h n t e n V e r g l e i c h e z w i s d i e n
itheore-tischen und w i r k l i c h e n H a u f i g k e i t s f u n k t i o n e n , ohne daB wie-der d a r a u f hingewiesen w i r d .
Der sog. X""Test der mathematischen S t a t i s t i k liefert eine Z a h l P ( 0 < P < 1 ) , die ein M a f i f u r die G u t e der Ü b e r e ï n -stimmung von e x p e r i m e n t e l i e r und theoretisdier
Haufigkeits--Aus diesen F o r m e l n geht f e r v o r , daB das S e e g a n g s s p e k t r u m durch eine „ u n e n d l i d i lange" S e e g a n g s r e g i s t r i e r u n g eindeutig bestinimt ist. T a t s a c h l i c h ist jede S e e g a n g s r e g i s t r i e r u n g e n d l i d i , trotzdem k a n n m a n das S p e k t r u m mit H i l f e der A u t o k o r r e l a -tionsfunktion b e s t i m m e n . A u f die praktische D u r c h f ü h r u n g des V e r f a h r e n s wird hier nicht eingegangen.
E i n von der soeben besdiriebenen , \ u f g a b e abweichendes P r o b l e m ist es. d a s S e e g a n g s s p e k t r u m auf G r u n d der V o r a u s -setzungen anzugeben, die zu einem bestimmten Z u s t a n d des .Seegangs g e f ü h r t h a b e n .
W e n n der eine W i n d s e e erzeugende W i n d in konstanter R i c h t u n g und mit konstanter Geschwindigkeit eine hinreichend lange Zeit in einem g e n ü g e n d groBen (rebiet geweht bat. so e r r e ï c h t der S e e g a n g einen stationaren E n d z u s t a n d . F ü r diese v ü l l e n t w i e k e l t e W i n d s e e haben N e u m a n n [ 1 2 ] , D a r b > s h i r e [13, 14] und R o l l / F i s c h e r [15] ( B i l d 4 und 5) das .Seegangs-s p e k t r u m r (cu) angegeben. r (oi) h ü n g t n u r von der XX ind-ge.schwindigkeit ab'^^j: N e u m a n n :
Q
r ( u ) ) d u i = e-2t;-">'""dc.> w« ( 3 . 4 J C = 4 , 8 0 - ]0* c m - sec-'-R o l l / F i s d i e r :r (w) du» e'^ "' dci
(u^ (3,
r.)
B = 6 , 4 8 5 • 10* c m - see"'
') AUe Formeln sind [16] entnommen.
D a r h v s h i r e : r { ( r i j iliu = 0 ( ü r ( i ) < 1 9 , 4 ] / U 3 , 6 0 dl" 1 9 , 4 (IdK f ü r Ü) > 19.4 ( 3 , 6 ) (u = G e s d i w r n d i g k e i t des B o d e n w i n d e s . U = GescJiwindigkeiti des G r a d i e n t w i n d e s . E s ist etwa u =^ 5 U , g E K I
-b e s d i l e u t i i g u n g . alle G r ö C e n in c g s - E i n h e i t e n ) .
4. D c r S e e g a n g a l s F i i n k l i o n d e s O r t e s iiixl d e r Z e i t
E r n e regulare W e l l e ( S i n u s w e l l e ) , deren L a u l r i d r n i i i g mLt der positiven R i r f i t u n g der .\-Ai+i,se den W inkel |^ ciii^ddieBt. k a n n gesdirieben w e r d e n ;Z K\. y . l l (• cos Mt—^ (X EOS fl \ sin p) n j ( 1 . 1 ) (g — Erdbe.sdileiinigung).
X a d i Pierson | 3 . 4 j kann nun der .Seegang darge-slelül wer-den als Ü b e r l a g e r u n g von regul'aren \\'ell©ii (4, l i :
N M B i l d 4 N e u m a n n s c h e s S e e g a n g s s p e k t r u m f ü r W i n d -g e s c h w i n d i -g k e i t e n v o n u = •20 k n , 30 k n u n d 40 k n ( a u s B i l d 5 S e e g a n g s s p e k t r u m f ü r u = 18,7 k n ( a u s |161). D e r O r d i n a t e n -m a O s t a b d e r b e i d e n A b b i l d u n g e n ist s e h r v e r s c h i e d e n
N e u m a n n ( a u s f ü h r l i d i in [ 1 7 ] ) und D a r b y s h i r e haben das. S p e k t r u m aueh angegeben f ü r den F a l l , dall die Windsee niclu voU entwickelt ist. r (to) hangt d a n n neben der W i n d g e s d i w i n -digkeit von der L a n g e der W i n d b a h n ( W i n d w i r k u n g s l ï n g e , e n g l . : fetch) und d e r D a u e r der W i n d e i n w i r k u n g (engl. dura-tion) ab.
A u s den oben angegebenen Forme-ln und B i l d 5 geht her-vor. wie a u B e r o r d e n t l i d i versdiieden die A u f f a s s u n g e n ü b e r ' d a s S p e k t r u m einer W i n d s e e s i n d . D i e experinientellen
Unter-lagen reichen bisher nicht aus. u m e n l s c h e i d e n zu k ö n n e n . wel-ches der S p e k t r e n der W i r k l i c h k e i t am besten entspricht. E s kst nicht A u f g a b e dieses B e r i c h l e s auf die A b l e i t u n g e n der obigen F o r m e l n und die d a r ü b e r in der L i t e r a t u r stattfindende D i s k u s s i o n einzugehen. .Auf einen wesentlichen U n t e r -.sdiied sei hier hingewiesen. N a c h ( 2 . LS) ist d i e in ( 2 , 6 ) definierte G r ö ü e R proportional z u r E n e r g i e der Meeresober-flatJie. F ü r die oben angegebenen S p e k t r e n ergibt sich
(vgl. 1 1 6 1 ) : Neumann:. R o l l / F k s c h e r : D a r b y s h i r e : R = 6 , 2 3 - 1 0 - ' - u'' Icni-] , R = 8 , 9 1 • 1 0 - » u-" [cm=] , •R, = 4 , 7 6 • I O - ' " U^ [cm-T . 1 3 , 7 )
Auch wenn s i d i eine der oben angegebenen F o r m e l n a l s Viditig e r w e i s e n sollte, so k a n n das S e e g a n g s s p e k t r u m
trotz-dem we.sentlidi a n d e r s ausseherr. D a s S p e k t r u m einer D ü n u n g z. B . ist . . s d i m a l e r " als d a s Spekltrum der W i n d s e e , aus der die D ü n u n g hervorgegangen ist. ( „ S d i m a l " bedeutet: D a s I n t e r v a l l der co-Achse, f ü r das r ( ( D ) w e s e n t l i d i von N u l l ver-sdiieden i s l , ist k l e f n ) . D e r G r u n d f ü r diese T a l s a d i e ergibt sidi aus einer B e m e r k u n g des A b s d i n . 4 . D i e S p e k t r e n ( 3 , 4) bis ( 3 , 6 ) haben j e w e i l s e i n M a x i m u m . Ü b e r l a g e r n s i d i jedoch Windsee und D ü n u n g oder zwei D ü n u n g e n , so ist es z. B . m ö g l i r h , daC das z u diesem S e e g a n g gehorige S p e k t r u m z w r i M a x i m a hat.
Z ï x , y , l ï = X i ^ c , (!)„ l " { \ o o s |3„
sin
t3„ (4,ï\
WH und AcDvi sind ebenso clefiniert w l e Tn . \ l ) s d i n . 1, wciter i s t :
— i T < p , < | V . . . . < | \ v < ^
-l^m ist der Mlttelpunkt eines I n t e r v a l l s der Brcite Vf^m. Die Inlervalle App, ü b e r d e e k e n das I n t e r v a l l { ;T. .T1 l ü c k e n l o s und ohne U b e r s c h n e i d ü n g . F ü r die Z u f a l l s p h a s e n o,,,,, gill (1. 4 ) . D i e . \ m p l i t u d e n c,,,,, werden wieder ilurdi eim Seegaugs-spektruni bestimmt:
r (ü), f5) ist f ü r co > O und - :t < fl < - i erklart und niciit negaliv. D u r c h den G r e n z ü b e r g a n g N:, M o o , CD, Xi).^- —» oo, M a x AcO|| und M a x \^\^^ — O ergibt s i i h :
fx cos (5 -!- y sin fi) - f n ((o, fl) O,
Z tx, y, t) = J I " cos (Ot
( 4 , 3 J |
- l / r (d), (3)1 do) (i|3
l m A n s a t z ( 4 , 2 ) . ( 4 , 3 ) haben die regularen W e l l e n ver.sdiiedene L a u f r i c h t u n g e n . D a d u r c h wird erreicht. daB die W e l l e n -kiininie d e r Seegangsfunktion ( 4 , 2 ) , ( 1 , 3 ) v e r h a l t n i s m a B i g k u r z s i n d . Diese „ K u r z k a m m i g k e i t " ist eine wesentliche E i g e n s c h a f t des wirklichen S e e g a n g s .
Pierson [ 3 . 4 . 1 8 ] und vor allem L o n g u e l - H i g g i n s [ 1 9 ] haben tlie E i g e n s c h a f t e n der Seegangsfunktion ( 4 . 3 ) untersucht.
Pierson [ 4 ] hal das S p e k t r u m r (d), (3) f ü r eine voU-ent-wiekelte Wind.see angegeben. 1st die W i n d r i c l i t u n g gleich der R i c h t u n g P = 0 . so ist f ü r — .-T/2 < ("l < . T / 2 ;
.1
2
r (u>. P)l = r tdi) - f (P) mit j ' f ((3) (lp ^ 1 • (4, 4i
-.T 2
A u B e r h a l b des angegebenen p-lntervalls ist r (cuvP) O, d. Ii. die L a u f r i c h l u n g der r e g u l ü r e n X^ellen weicbt hoihstens u m 9 0 ° von der \^ i n d r i ( h l u n g B I K F ü r r ((o) i s l das N e u m a n n s e h e S p e k t r u m ( 3 , 4 ) einzu.setzen. Pierson hatte
f ((3) - 2 / J cos-' p ( 4 . 5) gesetzL N a ( h einer stereophotogrammetrischen S e e g a n g s a u f -nahme scbeint j e d o d i
r ( p ) - 8 / ; J . T C o s ' | 3 ( 4 , 6 )
besser zu sein (Mark.s [2ÜJ)i.
N a d i P i e r s o n breiten s r r h die den Seegang erzeugenden r e g u l ü r e n W e l l e n u n a b h S n g i g voneinander aus. W e n n eine wTndsee aus dem Entstehung.sgebiet h e r a u s l S u f t und z u r D ü n u n g w i r d , so ver'andern sich r (d). p) und r (Oi) aus den folgenden G r ü n d e n :
1. N u r r e g u l ü r e W e l l e n , deren L a u f r i c h t u n g e n n i d i t wesent-lich voneinander a b w e i d i e n . erreichen einen P u n k t , der hin-r e i ( h e n d weit \ o m Entstehungsgebiet des Seegangs e n l f e hin-r n t ist. D a h e r h a l die d u r d i U b e r l a g e r u n g dieser r e g u l a r e n W e l l e n ent.stehende D ü n u n g langere W e l l e n k ü m m e a l s die W i n d s e e . D i e W e l l e n h ö h e ist k l e i n e r als die der W i n d s e e .
2. I s l e,. clre Phasen- und c,, die G r u p p e n ? e s c h w i n d i g k e i l einer regularen W e l l e , so^gilt:
s T
, , . . 2e,, = J^'T = g/w 1 ? L ^
K r d b e s e h l e u n i g u n g . T = Wellenperiode,
( 4 , 7 )
IL • W ellenlange),
.\us ( 4 . 7 ) folgt, dall .lie den S e r g u n g erzeugenden W e l l e n u n t e r s . h i e d l h h e A u s h r e i t u n g s g e s i h w i n d i g k e i l e n hahen. Die Folge ist eine D i s p e r s i o n , d u r . h die das S p e k t r u m r (c.) sdimalcr wird (s. . \ h s ( h n . .•}).
I n die.sem Berieht wird rni folgenden mit einer wesenl^ielT einfa.heren .Seegangsfunktion gearheitet (vgl. L e w i s / N u m a t i
| 2 j . K o r v i n - K r o u k o v s k y / L e w i s | 6 ] ) . E s w i r d g e s e t z l :
n I
(4, 8)
unil f iir N ^
Z (\, t) .f eos uir o i(i,i) lU- X
« J
] r ( 1 0 ) d ( r ) .
(4, 9>
<•,., und (l„ sind wie in A b s c h n . 1 d d i n i c r L
" B C I di...sem S e e g a n g haben die r e g u l ü r e n W e l l e n alle die gleidie L a u f r i c h l u n g (Riclitung .Ier positiven x-Adise) d.c W e l l e n k a m m e des S e e g a n g s sind daher unendlich lang (..lang-künuniger'^ S e e g a n g ï Der w i r k l i . l i e Seegang w i r d also d u r . h ( 1 . 9 ) n i . l i l r i d i t i g wiedergegeben. L a n g k ü m m i g e r Seegang k a n n dagegeiv 5ni V c r s u c h s l a n k erz^-ugl werden.
Wie in Ab.s.hn. 1 zeigt m a n , <lall die O r . l i n a t e n Z (x. t) einer N o r m a l v e r t e i h i n g mfl den, Mittel N u l l und .Ier S t r e u . i n g R / 2
g e n ü g e n und zw a r :
1. Die (iesamtheit der F u n k t i o n e n \i.9) (Ür beRcbige a b e r feMe W e r i e von x und l.
2. E i n e bestimmte F u n k t i o n Z (x, l> als F u n k t i o n der Z e i l f ü r einen f e s l e n W ert von x.
,1. E i n e bestimmte F u n k t i o n Z (x, t). als F u n k t i o n von x fiir einen festen W e r t von l .
E s soil ein P u n k t b e t r a c h l e l werden, der s'ich mit der GeschwindigkeiL v bewegt. und zwar entgegenge.setzt zur A u s -b r e i l u n g s r i d i t u n g d e r W e l l e n . V o n diesem P u n k t au.s w . r d der .Seegang Z * (t) als F u n k t i o n der Zeit beobachlel. M a n er-halt Z * (t), w enn man i n (4, 8) bzw. (4, 9) x - — vt setzt;
• ),. + 1 ^ S
Z * f l ) = 2 e „ < : o s (4. 10)
Die B e g e g n u n g s f r e q u e n z *o* w i r d gegeben d u r c h :
(O 4- (ti (1 — a) «nit « -= — D i e U m k e h r u n g von < 4 , 1 1 } ist: 2v 4 vto* 2 a ' 4 « ' - r (D* mit » 1 r (.ll) d.u ~ r Deliaierti niun: 1 ^ — 4 « ^ 2((* 1 - -Un* t L 1 4 ) j / ï - 4 a ' r ' -O i s t : 2n* 4 « * u n d n O * (»'i*!* r ( l . 15-J
7* (^) - - S c,,* cos (ü), * t + n„*) mit c, * 1 r* (....,*;. Aw,-*
und f ü r N — : f 4 , l i ) <.)*v A u s 1(4. 12) ergibt s i c h : d(ü* 1 - f 4(ii* v (1 — 4 a *
Soil in (4. 10) o > * ^ ü r o . e i n g e f ü h r t w e r d e n , so isl z.i beacblen:
y/i (O)) dw f ü r f ü r N ^ -dei
Mit H i l f e von (4, 1 2 ) . \\. 1 3 ) und doj = ^^^^^
Z ' < l ) - J cos | < o * t i O* (...')) 1 r ' ( O ) * ) d.u* . l l - H )
Ü
, * (o,*l e r h ü h man f ü r einen bestimmten W , - r l von in.leu. ,nan r (..)) f ü r den d a z u g c h ö r i g e n Wert von . 0 bere.hncl lui.l ,las E r g e b n i s mit Jl 4 ( t * r ' mullipliziert. E s g i l c
} r * (.0*) d.u* } r (..>) do. B . l ^ "5^
( 4 , 1 2 )
<4,13)
döJ* e r h ü l l m a n :
Ol, ce 1,2 " "
B i l d 6 r (i^V und r" Cui')
F ü r v - O i.st ( 4 . 1 7 ) identi.s.h m i l (1, .'«)>.
S o l l .lie glei.he \ u f g a b e f ü r den k u r z k ü m m i g e n Seegang a 3) . l u r . h g e f ü h r t w. rden, so ist x - -vt und o B. ,1. ' = i ) in .Hese F o r m e l einzu.setzen. Die Begegnung.sfre.ju.M,/
h ü n g t nicht nur ^on .0 und v, sondern au.h von der L a u l -r i . h l u n g \\ <le-r -r e g u l a -r e n W'ellen a b . L m .las vom bcwegten P u n k t ..erlebu-" S p e k t r u m r* (to*) zu erhalten mul., nian i m S e e g a n g s s p e k t r u m r (o,, p) " dw • dp die V a r i a b l c n l r a n s f o r m a -tion ( o . , P > ^ («"M^) a u s f ü h r e n und dann nach p int,.gr,vr,M,:
r * ( . . / I -h..* = d.u* I r' { . . * , P) V^f^^ •
D a s hier nur angc.leuletc V e r f a h r e n hab.'n l ' i c r s o u un.l S t . D e n i s {11 a u s j ü h r l i . h b e s . h r i e b e n .
L e w i s un.l K o , • ^ i n - K r o u k o v s k y [211 haben B e i s p i e l c u>n 1 4 . 1 9 J durdigereehnet und m i l (4,1.5) "••"^•'f'!'"- " ,v i ! wur.le .las N e u i n a n n s . h e S p e k t r u m (3. 4) un.l m (4. I h das N e u m a n n . P i e r » o n s c h e S p e k t r u m (4. 1). ( 4 , . , ) - " J ^ - ; " •. aus (1.1.5) und ( 4 , 1 9 ) gewonnenen S p e k t r e n r* (c. ) s » " m-ten bei g l e i . h e r Windgeschwindigkeit fast ü b e r e i n . D i e bei.len • V e r f a s s e r ziehen . l a r a u s den S . h l u ü , dal.i es eine nilassrg.. V . T
-e i n f a d i u n g s-ei, d i -e S t a m p f - u n d T a u . h b -e w . - g u n g c n .•m-es g-eg-en eine k u r z k i i m m i g e See f a h r e n d e n S.hifTes in l a n g k a m m i g e m S e e g a n g zu untersuchen. S i e betonen aber aul.ier.lem, d a t diese V e r e i n f a . h u n g in gewi.ssen FSHen ni.ht z u l a s s i g is. |z B wenn die W i n d s e e von einem s i . h s . h n e l l drehenclen W'ind aufgebaut w i r d , oder wenn W in.l.see un.l D ü n u n g quer zu e i n a n d e r l a u f e n u. a. m.).
5. S t a n i p f - u n d T a u c h b e w e g u i i g o n
i m l a i i g k u i i i m i g e n S e e g a n g
L i t e r a l u r ; P i e r s o n - S t . Denis [ 1 ] , Lewis-N'iiniala | 2 | E i n e regulare Vt elle sei gegeben d u n h :a) S e e g a n g s s p e k t r u m r ' l u i * ) [(Funi"s«:]
Z„ Cx, 1> = r „ c o s / ( i ) „ l + o
<'>,.- X
(Ausbreitungsrichtung der W elle - R i c h t u n g der pos. \ - A i lise). E i n SchilT miige mit der Gesebwindigkeit \ an Richtung der neg. x-.\(hse f a b r e n : x = v t .
Die vom Schiff in der W e l l e (.5, i j a u s g e f ü h r t e n T a u c h - und S l a m p f b e w e g u n g e n sind F u n k t i o n e n der Zeit. die mit z„ i(t) und 1J'„ (I) bezeichnet werden. E s w i r d vorausgesetzt, dalJ man 'j'u schreiben kann in der F o r m :
V'n (t) ^ '>•.•-„ ("'.** + ^ ^r.J ' 2y Man erhalt hier und im folgenden stets die entsprechenden
F o r m e l n fiir die T a u c h b e w e g u n g e n , wenn der B u i h s t a b e x^' liberal! durch d e n B u i h s t a b e n z ersetzt w ï r d .
E s w i r d also vorausgeselzi, dali die S l a m p f und T a u c h -bewegungen harmonisch sind und dic F r e q u e n z der Beivegun-gen gleich der B e g e g n u n g s f r e q u e n z ( 4 , 1 1 ) i s l . Durch fi,, „ wird ausgedrtickl, dati W e l l e n - und Schilfsbewegungen phasenverschoben sein k ö n n e n . .Setzt man zur . \ b k i i r z u n g :
"„ + fii,,,, " v . M " v . n * - '(•''.3) ,sD geniigen die G r ö C e n o,,.,„* der B e d i n g u n g (1,4)1, weil
die-ses fiir die G r ö t i e n o,, z u t r i f f l .
F i i r die . \ m p l i t u d e b,,,, „ wird vorausgeselzi. dati sfe pro-portional zur W e l l e n a m p l i t u d e e^, i s l und ini ü b r i g e n von der Frequenz der W e l l e und der SchilTsges.hw-indigkeil ^ a b h a n g l :
l j v , „ ^ ''n A,;, (CO,,, v) . ( 0 , 4 ) Die P r o p o r t i o n a l i l ü t s f a k t o r e n .A.^icu. v) werden A - F u n k t i o n e n
(engl.: response amplitude operators) genannl. Setzt m a n :
r ( 0 ) ) l A , . ( . o , v ) ] ^ - S., (1,1, v ) , iJS.S) so ist (vgl. D e f . von e „ i n F o r m e l (1. •?) ) :
K . >, - [ A r (w„ - V) P A u i , = V5., (u)„, v) Aco„ . (.5, (4
S,,. (co.v) wfrd S t a m p f s p e k t r u i n , S ^ ( c , ) , v ) wrrd T a u c l i s p e k -tirum genannt.
D e r ..Seegang" ( 4 , 8 ) entsteht durch Ü b e ï l a g e r u n g vnn N regularen W e l l e n ( 5 , 1 ) , E s w i r d nun welter vorausgeselzi, daC sich die SchifTsbewegungen in gleicher Weise ü b e r l a g e r n , d . h. dfe S t a m p f b e w e g u n g e n im S e e g a n g ( 4 . 8 ) sollen dar-gestellt werden k ö n n e n in der F o r m :
N N
t|, ( I ) - - S i p „ ( t i ( = X b,,,.„ COS ( c o , * t + o„, „ * ) . ( 5 , 1 )
n 1 n J
W i r d n u n
A , , * (CO*, v) = A,,. (CO, v) unci b*,^, „ - A,/ (o)„*,.v) C r * (5.8)i
gesetzl ^vgl. Ab-schn. 4 ) , so i s l :
N
1(1 (tt) - 2 b , , . „ * c o s ( c , . „ * t o,, .,,*) ( 5 , 9 )
und für N—»-=ö k a n n m a n .schreiben:
( l | = I cos [M t a,,.' (CO*) j VA,,* <u)*, V) dco*
m i l : E s sei,: S,,* (ut*.v) = [ A , / {ox'. v ) l - r ' ( < . ) • ] R . = .1' (w*, V) dco* (5,910) < 5 , l l ) ( 5 , 1 2 )
In (5, 12) werde f ü r cü* gemaC ( 4 , 1 2 ) co substi'tuiert. Mit H i l f e des A b s c h n . 4 und der F o r m e l n ( 5 , 8 ) und ( 5 . 11) ergibt s i c h :
j ' S,;. (co, v) dco'. ( 5 , 1 4 )
Fn B i l d 7 ist ein B e i s p i e l wiedergegeben, das L e w i s - N u n i a t a in [2] angegeben haben. A u f der .\bszrsse'ist die
Begegnungs-c) Stampfspeklrom 5^'(w'vl[lGrtidl'5«c] b) A-funktion 0 C 6 12 1 6 B i l d 7 ( A u s |2|> 8 ,2 16
frequenz o>* aufgetragen. B i l d a) zeigl das Neimiunnschc S p e k t r u m ( 3 , 4 ) f ü r die Windgeschwindigkeit u - 40 kn ge-mati ( 4 , 1 5 ) (ür v - 12 k n . I n Bild b) folgt die (quadrierle) A - F u n k i i o n fur die Stampfbewegungen eiocs Schilfes beii V = 12 k n . D u r c h Multiplikatlon dcr F i i n k l i o n c n in den B i l -d e m a) un-d b) entsteht -d a s S t a m p f s p c k l r i i n i in B i l -d c ) . D i e Klac lic unler dem Seegangsspekl ruin isl gleicb R . i H c V Hichc: unter dem S l a i u p f s p e k l r u m i gleidi R,, .
M a n kan.T. aiislelle dcr Funktionen r* (uj*), | \,, * (,0*. v ) p -S , , * { c ü * , > ) a i u h die F u n k t i o n e n r ( i o | , |A,, (,„. v)f-, -S, (co. v( ü b e r CO a u f t r a g e n fvgl. (5, 14')|, M a n h a l ihiiiii den \ o r l e i l , dati das Seegangsspektrum n i i h l von iler Sjliilf'^gescl'iwindig-kei'l abhangl.
Die F u n k t i o n e n ij'(l) unci z (t) glcic-hcn in ihrem, A i i f h a u der S e e g a n g s f u n k t i o n Z ( I ) . D a h e r sind auch ilii- O r d i n u l e i i i p ( l | und z ( t ) nornialverleilt mil den* .Vlittel N u l l und di'r S t r e u -ung R,,./2 bzw. R , / 2 (vgll. A b s d i n . 2». Das S l u m p f - und dus Tauchspektru.m k ö n n e n aus einer ..Stamiif bzw. T a u c h r e g i -s l r i e r u n g " i n gleidier Wei-se lie-stiiiinil werden wie ila-s See-g a n See-g s s p e k t r u m aus einer SeeSee-ganSee-gsreSee-gistrierunSee-g. Setzt m a n z. B . :
so
i s l : n , , , < l ) = lim 2 / T . f t]'{t) »J.<1 T) d l S v ' ((,!*• 1') = 2'n .!(• Qy (T) COS CU* T d t ( 5 , r , ) ( 5 , 1 6 )D i e bisher beschriebene T h e o r i , ' kann in der folgenden Werse auf ihre G i i l l i g k e i l gepriifl) « e r d e i i : ( K s w e r d e n nur S t a m p f b e w e g u n g e n genannt, fiir T a u d i b e w e g t i n g e n erfolgt die P r ü f u n g ebenso).
a) D i e A - F u n k l i o n eines Modells für die Staiiipfliewc-giiii-gen w i r d in regulSren T a n k w e l l e n beslininil p e x p e r i m e n l e l l e . A - F u n k t l o n " ) .
b) D e r in einem T a n k erzeugle l u n g k ü m m i g e Sec>g.ang u n d die S l a n i p l h e w e g u n g e n des Modells j m gleiilicn S e e g a n g wer-den registrierl und a U s diesen Begisirierungeii werrlen nach ( 3 . 3 ) bzw. ( 5 , 1 6 ) das Seegangsspektrum umi (his ..experinien-l e ..experinien-l ..experinien-l e " .S..experinien-lampfspe'k..experinien-lrum bcstinim..experinien-l.
<•) D u r d i M u l t i p l i k a t i o n des Seegungsspekurunis min der (ciuadrierten) „ e x p e r i m e n i e l l e n - A - F u n k l i o n w>ir(l .gemüt! ( 5 , 1 1 ) das „ i h e o r e t i . s e h e " S l a m p f s p c k i r u i i i hesirmnit und m i l dem iu .Absatz b) geiiannteji „ e x p e r i m e n t e l l e n " S l a m p f s p ^ k -triim \ergViclien.
d) D u r c h Divi.sion d e s experimeniellen S l a m p f s p e k l r i n n s (lurch das .Seegangsspektrum ergibt s i , h eine ( ( | U a d r i e r l e ( ,,theoretis(he-^ A - F u n k l i o n , d i c mil der unter a l genannten „ e x p e r i m e n i e l l e n " A - F u n k t i o n vergli(hen w i r d .
E n l s p r e d i e n d e Versuche und die obengenannleii V e r g l e i c h e haben L e w i s - N u m a t a | 2 | m h zwei Modellen i n „ m a t i i g e m * u n d in ,.hohem" Tank-,Seegang a u s g e f ü h r t . Wegen der um-f a n g r e i d i e n E r g e b n i s s e niuti auum-f die O r i g i n a l a r b e i t verwii-sen w e r d e n . L e w i s [ 2 2 | h a t die E r g e b n i s s e a u s f ü h r l i d i d i o k i i i i e r l . H i e r s i n d in B i l d 8 und 8 a zwei B e i s p i e l e a u s (2j
fiegeben. D a s ..t'hcorelisrhe"'und das ,,experTmentelle'' Slampfl-s p e k l r u m Slampfl-sind ini pleichen K o o r d i n a l e n Slampfl-s x Slampfl-s l e m . aufgetragen. Die Aliliildungen geiten fieide fiir die Modeilgeseliw indigkeit V — 0. jedü<4i fiir versdiiedene Modelle. B i l d 8 gilt fiir ,.niüf.U gen" .Seegang. B i l d 8a fiir ^.hohen" Seegang.
rf R^,- 110 ( G r o d j '
1 1
B i l d 8 u n d Sa. S t a m p f s p e k t r e n S* (.•^^ v)t in l(Gradx= sec^l
Die .Ahweichung des itheoretisclien vom e x p e r i m e n i e l l e n S p e k t r u m in B i l d •8a ist leiilit zu e r k l ü r e n : D a s ini hohen -Seegang iiherkonimende W a s s e r und das .Xus- und K i o l a u (hen des V o r s i l i i l f e s werden in der T h e o r i e nicht heriick-. sichtigl.
Wenn dic Scliiflsgesehwfndigkeif v — 0 i s l . so i s l (u* l u . M a n kann in den Forni(dn ( ' , , ! ) his (.5, 16) alle ..Sterne'' lori-lassen. E s ist einfach. fiir diesen Full die enlspreiJienden For-meln fiir die R o l l h e w e g u n g e n (f (I) eines q u c r zu den Wellen liegenden S(liiffes a n z u g e h e n . B e i der B e s l i m m u n g der A.-Kunklion A.j ((u, 0) muB d a s Scliiff (.Modell) auch i|uer zu den crforderlicheii regularen W e l l e n liegen. F'iir das R o l l e n üm langkaniniigen Seegajig ergiht sieli;
(j (t) .t' COS [tol + A i ( w ) l V ^ , , ((11,0)
Am i^'i.ll)
omnï:
.S., <(..,0) - JA,, (o>,0)j-- r ( . 1 ) ) . ( 5 , 1 8 )
In d e r ohcn fiir S t a m p f h e w e g u n g e n hesihriehenen Weise haben K a l o / M o l o r a und I s h i k a w a |2.'J| Modellversuche fiir R o l l h e w e g u n g e n a u s g e f ü h r t . , \ l s Seegang wurde dabet der n a t ü r l i d i e .Seegang verwendet, de.ssen K u r z k a m m i g k e i t a n -sclieinend vernaddassigt wurde. V o n den E r g e b n i s s e n werden h i e r wiederum nur zwei .Vbbildungen ( B i l d 9 und 10) wiedergegeben, in denen j e w e i l s das ..experinientelle" und das d a -z u g e h ö r i g e „ J h e o r e l i s c b e " R i d l s p e k l n i m S,, ( ( 0 , 0 ) aufgetragen s i n d .
^00
100 . trtepB i l d 9 u n d 10 R o l l s p e k t r e n S (vi, 01. i a u s |23|0
In den beiden B e i s p i e l e n sind zwei . M ö g l i i h k e i t e n gul aiis-gepragt, die zu ganz ver.sdiiedeneii R o l l s ^ k t r e n f ü h r e n . D a die R o l l s c h w i n g u n g e n wenig g e d ü m p f t .sind, ist die .V-Funk-tion Aq- ((0, 0) n u r in einem schnialen I n t e r v a l l d e r ui-.Aihse (um dSe E i g e n f r e q u e n z ) wesentlith von N u l l verschieden. H a b e n nun S e e g a n g s s p e k t r u m und .^-Ftinktion i h r M a x i m u m ungefahr bei der glei(hen F'requenz, so entsteht als R o l l s p e k -t r u m ein „ s ( h m a l e s " S p e k -t r u m ( B i l d 9 ) . D a s R o l l s p e k -t r u m in B i l d 10 ist w e s e n l i i d i b r e i l e r und hat zwei .Maxima, von denen das eine d u r ( h das M a x i m u m der . \ - F u n k t i o n , das andere durch das M a x i m u m des S e e g a n g s s p e k t r u m s be.siimmt ist. Uber d i e A u s w i r k u n g e n der u n t e r s ( h i e d l i d i e n F o r m des S p e k t r u m s a u f die S d i i f f s b e w e g u n g e n wird in d e n folg<>nden Ahsthnitten einiges gesagt.
Das lizw. die M a x i m a eines S t a m p f s p c k t n i m s I k i i i i i i e n ur gleiiber Weise (lurch da- M a x i m u m des Seegaiigsspeklruias unci bziw. oder d a s M a x r n i u i i i der A-F"iii\ki|ii)n b e - l i n u n l werdi^u.
n o * des
t n o . d e r
A - Funkf.on
0 0,? QC 0,6 0,8 CO B H d 11 S t a m . p f s p p k l r e n ( a u s |22|)|
Jn B i l d 11 i s t ein B c i - p i d l wiedergegeben. dus L e w i - | ' J 2 | he-rechnel hat, E s siml die {ihcorclischeit) S i u m p f - p e k l i c u fiir ein S d i i l l (Lcinge 500 Ful,>). ilus mil den t'.esdiwiiidigkeiten \ O k n , 6 kn und 12 kn gegen eine luiigkiiiiimige Windsee falirl. . \ l s .Seegangsspeklrom wiirde dus \eiiuiuiiii=dic ."spek-Iruni fiir die W i n d g e s c h w i n d i g k e i t u - 10 kn gewahit. D i f Luge der M a x i m a von .•\-Funklion und Sec-gcuigsspeklruiu i s l diirch P f e i l e m u r k i e r l .
lin ersleii T e i l dieses . \ b s d i n i l t e s wiirdi- (he T h e m i e dec Slanipf- und T a u c h s d i w ingungen eiiiep gegen eine lungkiiiiiiiiige See fahrenden SdillTes besihricben. Wenn nrun .1 re w i r k -lichen Schiflsbewegtingen voll erfassen wiHI, muB mun die den seclis Freihcil.sgraden des S d i i l l e s entspre(hen(ien Bcwegiiii gen untersuchen, fiir den F a l l , duLi du.s SdiilT mit bclicbigem k u r s in einer k i i r z k ü m m i g e n See f a h r l . Die ciitsprechende T h e o r i e haben Pierson und St, Denis f l ] enlwickcHl. ( \ g l . uurh .Murks | 2 0 | und L e w i s 121-|)- Werden die Stampfhewcguiigeif behandelt, ,so e r h ü l l man als E n d e r g e b n i s wiederum F o r m e l (5, 10). Die B e s t i m m u n g des S t a m i i f s p e k t n i m s (das jctzl audi vom K u r s des .Schides ubhiipgt) isl we.senllich nnihsamer. du s i d i als E r g e b n i s wieder eine S t a i i i p f f i i n k l i o n ( 5 , 1 0 ) ergibt geiten die • V u s f ü l i r u n g e n in den folgenden . \ b s ( h n i t l e n a u d i fiir SdulTsbewegiingen in ei-ncr kurzkamnrigeii S e c .
(Fortsetzung folgt) V e r z e i c h n ï s d e r B e z e ï c h n u n g e n d e s V e r z e i c h n i s s c s s i n d d i e foli?enden 1, B e i dei- V e i w e n d u n i ; P i i n k t e z u b e a c h t e n : B e z e i c h n u n K e n , die n u r e i n m a l v e i w e n d c t w e r d e n u n d .-jii d e r b e t i e f T e n d e i i S t e l l e e r k l a i - t s i n d . s i n d n i c h t a u f y e f u h t t. W e i d e n l m T e x t d i e u l e i c h e n S y m b o l e m i t u n d o h n e S l e i n' (') v e i - w e n d e t , so b e z i e h e n sic-h G r ö l 3 e n o h n e S l c r n ;iuf e i n e n v u h e n d e n P u n k t . d i e G r ö B e n m i t S t e r n d a K C K e n iiuf e i n e n m i t d e r G e s c h w i n d i g k e i t v b e w e s t e n P u n k t ( S c h i l l ) . I n d e r f o l g e n d e n A u f s t e l l u n g s i n d d i e s e Gi-tjDen in d e r R e g e l m . r e i n m a l ( o h n e S t e r n ) u u f g e f ü h i t . F ü r B e z e i c h n u n g e n m i l d e m I n d e x z b z w . <i f i n d e t m a n die E r k l a i u n g bei d e r e n t s p r e c h e n d e n B e z e i c h n u n g m i t d e m I n -d e x v , w e n n m a n -d i e S i l b e „ S t a m p t - -d u r c h -d i e S i l b e 3. „ T a u c h - . . A (<ii, v) B (t) E F ( a ) G dl) H H , H H t P ) , H (P) M , N P P ( r > Q , (T)l b z w . . . R o l l - e i s e t z t . Q ( T ) A - F u n k t i o n f ü r S t a m p f b e w e g u n g e n K i n h ü U e n d e e i n e r S e e g a n g s t u n k t i o n E r w a r t u n g s w e r t v o n . . . f ( Z J j c i t e s r i e r t v o n Z,„ b i s ^ t (a) i n t e g r i e r t v o n a b i s x g (.,) i n t e g r i e r l v o n i , b i s -«. W e l l e n h ü l i e S t a m p t w i n k e l , . T a u c h h ö h e M i t t e l w e r t d c r M p g i b l U e n vois M W c D e n t i u h c n b z w . S l a m p f w i n k e l (O < p < ni n a t ü i lic-he Z a h l e n log r p (log n a t ü r l . L o g a i . ) W a h r s c h e i n l i c h k e i t b e i m / ' - T e . s t A u t o k o r r e l a t i o n s f u n k t i o n e n S t h i f T s l c c h n i k B d . B — .1959 — Hel.C 3ii
B R_ S (1.1. V ) T . T TJ W Z (tl, Z ( X , I ) , Z ( X , y , t) Z . a, a a(p), a a . a tnax 'r,ittit.\ f ( Z ), f ( V ) in rn iUl- f (a ) f KB) h (a ) ni:i\ p q r
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I I , ) fl h l'k <f ( t ) x=-Test (" •Jul ( P ) 111 F l a i l i e i i w e i - d e m S e e g a n g s s p e t j t i i i m (R '-m,,) F l a c t i e untei- d e m S t a m p f s p e K t r u m ( R - m , , * S t a m p f s p e k t r u m d u i d i s c h n i t t l k h e t'en'ode d e r NLiMstoIlen e i n e i S e e g a n g s - b z w , S t a m p f f u i i k l i o n r l u i c h s c h n i t t l i c h e P e r i o d e d e r M a x i m a e i n e r S e e -g a n -g s - b z w . S t a m p f f u n k t i o n G e s c h w i n d i g k e i t d e s G i a d i e n t w i n d e s w a h r s c h e i n l i c h k e i t S e e g a n g s f u n k t i o n e n O r d i n a t e n d e r M a x i m a e i n e r S e e g a n g s f u n k t l n n s i e h e Z^^ u n d H<P' A m p l i t u d e n e i n e i - S e e g a n g s - bzw;. S t a m p f iiinkilion s l e h e a u n d H<P> g r d l l t e A m p l i t u d e a u s M A m p l i t u d e n A m p l i t u d e e i n e r ha i m o n r s c l i e n S t a m p f s c h w i i v g u n g m i t d e r F r e q u e n z A m p l i t u d e e i n e r v e g u l S r e n W e l l e ( S i n u s w e l l e ) m i t d e r F i ' e q u e n z ( u n d d e r L a i i r i i c h t u n g fl,^ y H a u M g k e i l s f u n k t i o n f ü r d i e O i d a n a i e n e i n e v r e g u l a r e n W e l l e H a u l l g k e i t s f u n k t i o n f i i r die O r d i n a t e n del M a x i m a einei- S e e g a n g s - b z w . S t a m p f f u n k t i o n H ü u l i g k e i l s f i i n k t i o n fui- die A m p l i t u d e n e i n e r S e e g a n g s - b z w . S l a m p C l u n k t l o n . I S o n d e i f a l l v o n f ( Z J b z w . ï ( „ . J | H a u f i g k e i l s f u n k t i o n f ü r d i e O r d i n a t e n d e r E i n -h ü l l e n d e n B (t) l i d e n l i s u -h m i t f ( a ) l d u r c h s c h n i t t l i c h e F r e q u e n z d e v N u l l s t e l l e n eineu S e e g a n g s - b z w . s t a m p f f u n k t i o n d u r c h s c h n i t l l i c h e F i ' e q u e n z d e r M a x i m a e i n e r S e e g a n g s - b z w . S t a m p f f u n k t i o n E r r i b e s c h l e u n i g u n g H a u H g k e i t s f u n k t i o n f ü r d i e . . n o r m i e i t e n - Oudt-n a t e Oudt-n dei- M a x i m a Oudt-n Z , | | | m^, H i a u f l g k e i t s f u n k t l o n d e r G i b f i e n a,,,.,^ M o m e n t e e i n e s S e e g a n g s - b z w . S t a m p f s p e k l i u m s H a u t i g k e i t s f u n k t i o n r U r d i e j e w e i l s a n g e g e b e n e m Z u f a l l s g r o O e n Z a h l z w i s c h e n N u l l u n d E i n s 100 q P r o z e n t a l l e r M a x i m a e i n e r S e e g a n g s f n n k -l i o n h a b e n e i n e n e g a t i v e O i d i n a t e (0 &-lt; q &-lt; U S e e g a n g s s p e k t r e n s t r e u u n g ( V a r i a n z ) del- j e w e i l s a n g e g e b e n e n Z u f a l l s g r ó B e Z e i t W i n d g e s c h s v i n d i g k e i t <Bodenw-ind) G e s c h w i n d g i k e i t e i n e s S c h i l f e s o d e r P u t i k t e s k a r t e s i s c h e K o o r d i n a l e n d e r E b e n e i-egulai-e W e l l e ( S i n u s w e l l e ) S t a m p f f u n k t i o n O r d i n a t e n del- M a x i m a einei- S t a m p f f u n k t i o n s i e h e z„, u n d H ' P ) m,. m.) —m..-I n t e r v a l l d e r „ i - A c h s e m i t d e m M i t t e l p u n k t cj,, I n t e r v a l l d e r p - A c h s e m i t d e m M i t t e l p u n k t li,,, in A b . s c h n i t t 1 a n d B: Z a h l b z w . V a r i a b l e in A b s e h n i t t 4; — i . , v g b z w , — i . i ' v g A b k ü r z u n g e n f ü r Z (t). Z'<t) u n d Z " ( t ) i n A b s e h n i t t 4: W i n k e l z w i s c h e n d e r L a u f r i c h i t u n g e i n e r r e g u l a r e n W e l l e u n d d e r x - A c h s e in A b s e h n i t t 6: | 11 — r = / F P h a s e n v e i s c h i e b u n g S p e k t r u m s b rei te . . n o r m i e r t e " O i ' d i n a t e n d e r M a x i m a e i n e r S e e -g a n -g s - b z w , S t a m p f f u n k t i o n : a Z , „ / 1 m,.,. "... - f n , ' " ' n s l e h e n u n d H<P' M o m e n t e v o n Z (t) d r i t t e s a b s o l u t e s M o m e n t Z u f a l l s p h a s e ( a u c h m i t I n d i c e s u n d A r g u m e n t » R o l l f u n k t i o n C h i - Q u a d r a t - T e s t h a r m o n i s c h e S t a m p f s c h w i n g t i n g m i t d e r F r e -q u e n z s t a m p f f u n k t i o n O r d i n a t e n d e r M a x i m a e i n e r S t a m p f f u n k l i o n s i e h e v,,, u n d H^P* K r e i s t i e q u e n z B e g e g n u n g s - K r e i s f r e q u e n z S t . D e n i s P C o n f u s e d Seas. L e w i s N u m a t a 1 e r s o n S N . A M E S c h r i f t t u m : On t h r 1953. S h i p M o d e l Tc.-l M o t i o n s o i S l i i p s an (11 C o n f u s e d Seas. S N A M E 1953. 11 Ucgnlar and I r r e g u l a r Seas. Ste\-ens E . T . T . R e p o r t No. ntiT. 19515 |3] P i c r .p o n : h\\ U n i f i e d M a t h e m a t i c a l T h e o r y -foi' i h e
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01'the
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-statistische Methoden zur Untersuchung der Bewegungen
eines Schiffes im Seegang
305. Mitteilung der Hamburgisdien Schiffbau-Versudisanstalt
Helmut B a r t s c h , H a m b u r g ( F o r t s e t z u n g aus H e f t 30, S e i t e 1 bis 8)
6. \ u l l 9 t e l l e n , M a x i m a u n d M i n i m a d e r F u n k t i o n e n
Z (1), z (t) u n d op (t)
' Literatur: Cartwright/Longuet-Higgins [7], R i c e [5] V o r b e m e r k u n gl m folgenden wird vornehmlich von der Seegangsfunktion Z (l) gesprochen, die Ausfiihrungen geilen in gleicher Weise für die Stampffunktion t|) (t) und die T a u d i f u n k t i o n z (t). I n den Formeln ist dann zu erselzen: Z durch lj> bzw. z, w durch ü)*, O durdi a*, r (co) durch S^* (u>*, v) bzw. S * (o)', v).
D e f i n i t i o n e n
Die Ordinaten der M a x i m a (im folgenden O r d . d. M a x . ab-gekiirzt) einer Seegangsfunktion (oder Registrierung) werden mit Z,„ bezeichnet. (Entsprechend: Hi,„ und z,„). Die O r d . d. Max. k ö n n e n aucii negativ sein ( B i l d 12). Die Bezeichnung
^10
" \ 1 \ -H \1
L
1 B i l d 12 Z u r D e f i n i t i o n v o n Z , , , u. H .Amplituden wird fiir die O r d . d. M a x . verwendet. wenn diese keine negaliven Werte annehmen. (Vgl. .\bschnilt 8 ) . Dann wird geselzi:
Z„, = a , ii),„ - a,,,, z,„ . ( 6 . 1 ) Der senkrechle Abstand eines Maximums ( P e l l e n b e r g ) vom
vorangehenden oder folgenden Minimum (Wellenlal) isl die W e l l e n h ö h e H . Entsprechend .sind der S l a m p f w i n k e l H., und die T a u c h h ö h e H» definiert.
Liegt eine Wellenregistrierung vor und sind M Maxima vorhanden, so ist Z„/P> der Mittelwert der pM pröCten der O r d . d. M a x . ( 0 < p : ^ l ) . Z , , / » ist demnach der Mittelwert aller M-Orxlinaten. Ent.sprerhend sind z„<P>, •vt'„i<P>, H<P>, . . . deiïnierl. H*"'') wfrd kennzeichnende W e l l e n h ö h e genannt.
N u l l s t e l l e n
Nullstellen von Z (t), f ü r die Z ' ( l ) > 0 ist, werden ,.Auf. wartsnullstellen" (zero up-crosses) genannt. Entsprechend sind „ A b w a r t s n u l l s t e l l e n " definiert. E s wird gesetzl: Z (t) = a , , Z ' ( l ) = a,,, Z " ( t ) = tt:,, ( 6 , 2 ) T a i O i ; = llm l / T ƒ ajcx,; dt . ( 6 . 3 ) T^oo o
Die Berechnung von ( 6 , 3 ) erfolgt ebenso. wie dieses für ahiilithe A u s d r ü r k e in den \ b s i h n i l l e n 2 und 3 angedeutet wurde. Man e r h a l l : " i
ü;(Ci.^ 014.
ttjClg ^ O . D a r i n bedeutet: nr^ = J ƒ o ) k r ( ( o ) d c o , mo = R / 2 . (6,5) O E n l s p r e i l i e n d i s t : m u „ = i T (O)*)'' S.,,* (ü)*, V ) dü)*, m»,,, = Rv./2 . ( 6 , 6 ) Op(a,,a2)
sei die Haufigkeilsfunktion d e r Z u f a l l s g r ö B e n a , =Z (l) und Oj = Z ' (t). D a Q] und ctg asymptotisch normal sind, erhalt man p ( a , , Oo) auf die im A n h a n g beschriebene Weise. Mit der Momentenmatrix
ergibt sich: P («1, ao) ' 1 O 2 n l / n exp. mo O l * + O . / 2 nif, m o (6, 7) (6, 8)
H a t Z (t) pro Sekunde im DurcJiscJinitt f„ A u f w a r t s n u l l -stellen, so ist die Wahrscheinlicjikeit, daC in einem I n t e r v a l l dt eine dieser Nullstellen liegt, gleidi f „ d t . W e n n nun Z (t) i m Intervall (t, t 4- dt) eine Aufwartsnullstelle hat, so liegen die Funktionswerle von Z (t) in diesem I n t e r v a l l in einem Inter-val) der Breite Z ' (t) • dt. D i e Wahrsdieinlichkeit d a f ü r , daB Z (t) i m I n t e r v a l l (t, t + dt) eine Aufwartsnullstelle h a l , ist d a h e r :
mo
m„
(6,10)
fn dt = .f [P (O.«2)
d a , ] dao = d l J a o p (O, a,) d a , . (6, 9)O O W i r d ( 6 , 8) eingesetzt, so ist das Integral gesciilossen l o s b a r :
L I ' .
T „ = l / f „ ist dann die durchschniltliciie Periode f ü r A u f -warlsnullstellen. fn,, . T,„, f ü r das S l a m p f e n und f o j , Tgz f"r das Tauchen ergeben sich entsprechend, es sind nur nio und mo durch m,,., und m^,, bzw. ni,„ und mo.^ z u ersetzen (vgl. (6„ 5) und (6, 6| ).
Bezeirhnel man das g r ö ü l e M a x i m u m von Z (t) z w i s d i e n zwei Aufwiirlsnullstellen als „ d o m i n a n t e s " M a x i m u m , so ist Tf, aueh die'durchschnittliche Periode der dominanten M a x i m a .
M a x i m a
p (ci|, (Co, (<;,) sei die Haufigkeitsfunktfon der Z u f a l l s g r ö C e n a, " Z (1), ao = Z ' (t) und a., = Z " ( J ) .
Die Momentenmatrix i.st:
"1 f'.l '
\ /
0 —mo
(u
a,,
r
0mg
0(C;;tX, /
/ \
\ —m.i
0m^
( 6 , 1 1 )Die Delerminanle dieser Matrix h a l den W e r l moA m i l ( 6 , 1 2 )
| 6 , 4 1
- 8 5
p
