Paweł Siarka – Korelacja aktywów kredytobiorców. Zagadnienie szacowania strat na przykładzie portfela kredytów hipotecznych

(1)

Bank i Kredyt 43 (5), 2012, 21–44

www.bankandcredit.nbp.pl www.bankikredyt.nbp.pl

Korelacja aktywów kredytobiorców. Zagadnienie

szacowania strat na przykładzie portfela

kredytów hipotecznych

Paweł Siarka*

Nadesłany: 3 stycznia 2012 r. Zaakceptowany: 28 czerwca 2012 r.

Streszczenie

W artykule odniesiono się do zagadnienia szacowania korelacji aktywów kredytobiorców na przykładzie portfela kredytów zabezpieczonych hipoteką mieszkalną. Zweryfikowano hipotezę, że ryzyko kredytowe portfela zobowiązań zaciągniętych w złotych oraz we frankach szwajcarskich można szacować za pomocą modelu nie jedno-, lecz dwuczynnikowego. W ramach tego podejścia pierwszy czynnik rynkowy wpływa na ryzyko kredytowe wszystkich zobowiązań z tą samą siłą, drugi natomiast odzwierciedla specyfikę danego portfela kredytowego. Na oba czynniki oddziałuje jednak ryzyko systematyczne.

W artykule przedstawiono wyniki badań obejmujących szacunki korelacji aktywów kredyto-biorców. Wykazano, że w analizowanym portfelu korelacja powiązana ze wspólnym czynnikiem rynkowym jest bliska zera. Tym samym wykorzystanie modelu dwuczynnikowego w odniesieniu do wyodrębnionych portfeli nie znalazło praktycznego uzasadnienia.

Słowa kluczowe: ryzyko kredytowe, korelacja aktywów, prawdopodobieństwo niewypłacalności,

kredyty hipoteczne

JEL: C13, C16, D81, G21, G32, G33

(2)

P. Siarka

22 1. Wstęp

Stały rozwój produktów bankowych oraz globalna ekspansja instytucji finansowych stanowią przedmiot wnikliwych badań nadzorców rynków finansowych. Ich wymiernym rezultatem są wprowadzane przez Bazylejski Komitet ds. Nadzoru Bankowego zmiany przepisów w obszarze za-rządzania ryzykiem. W jednej z najważniejszych regulacji z ostatnich lat uwzględniono formułę matematyczną, łączącą wartość ryzyka kredytowego wynikającego z modelu statystycznego z mi-nimalnymi wymogami kapitałowymi ograniczającymi potencjalne straty banku. Zasady te ujęto w Nowej Umowie Kapitałowej (BCBS 2006), która następnie została wprowadzona w ramach we-wnętrznych regulacji w ponad 150 krajach na świecie. Zachęca ona banki do rozwoju wewnętrz-nych modeli oceny ryzyka kredytowego całego portfela za pomocą podejścia Mertona (1974). Me-tody te umożliwiają analizę ryzyka kredytowego na podstawie statystycznego rozkładu prawdo-podobieństwa niewypłacalności. Kształt owego rozkładu w znacznej mierze zależy od tego, czy zdarzenia niewypłacalności zachodzą niezależnie od siebie, czy też łączy je pewna dodatnia rela-cja. Komitet Bazylejski za miarę owych zależności przyjął korelację aktywów kredytobiorców. Re-komendowany w ramach Nowej Umowy Kapitałowej model Mertona zakłada, że zdolność do spłaty zobowiązania zależy od wartości aktywów kredytobiorcy. Uzależnienie wartości aktywów poszcze-gólnych kredytobiorców od wspólnego dla wszystkich czynnika rynkowego sprawia natomiast, że w przyjętym modelu wartości aktywów kredytobiorców pozostają wzajemnie skorelowane.

Znajomość oczekiwanej wartości prawdopodobieństwa niewypłacalności występującego w portfelu składającym się z kredytów o zbliżonym ryzyku nie jest warunkiem wystarczającym umożliwiającym poznanie rozkładu strat. Jego smukłość zależy bowiem od wartości korelacji ak-tywów kredytobiorców. Dlatego nawet wówczas, gdy przeciętna strata portfela kredytowego ban-ku nie rośnie, niekorzystne zmiany korelacji aktywów kredytobiorców wywołują częstsze wystę-powanie znacznych strat. To natomiast wpływa na bezpieczeństwo banku, którego kapitały mogą okazać się niewystarczające w sytuacji wystąpienia ekstremalnych poziomów ryzyka kredytowego.

Przygotowania instytucji finansowych do wdrożenia Nowej Umowy Kapitałowej zbiegły się z kryzysem finansowym. Podkreślić przy tym należy, że stosowanie statystycznych metod za-awansowanych nie zostało uznane przez Komitet Bazylejski za obowiązkowe. To sprawiło, że wiele instytucji finansowych postanowiło nie wdrażać tych metod albo odłożyło to na później. W rezultacie wiele banków nie szacowało również miar ryzyka mających za zadanie ocenę skutków potencjalnego kryzysu w ramach tzw. procesu testowania warunków skrajnych. Nawet wówczas, gdy banki wykorzystywały modele zaawansowane do szacowania kapitału ekonomicznego, ich wyniki nie zawsze były uwzględniane w ramach zintegrowanego systemu zarządzania ryzykiem.

Procesy zachodzące na rynkach finansowych, zwłaszcza od 2008 r., wydają się potwierdzać tezę, że złożone zależności występujące pomiędzy instytucjami finansowymi mogą przyczyniać się do nasilenia się kryzysu w momencie ogłoszenia upadłości banku o istotnej pozycji rynko-wej. Obnażyły one ponadto braki w systemach oceny i kontroli ryzyka kredytowego. Błędne oceny poziomu ryzyka przyczyniły się do grożących upadkiem strat takich instytucji, jak Fannie Mae, Freddie Mac czy AIG. Bezzwłocznego dokapitalizowania wymagało wiele banków, np. Merrill Lynch, Goldman Sachs, Morgan Stanley, Lehman Brothers, Citigroup.

Trwający kryzys finansowy stał się powodem do przeprowadzenia badań portfela kredytów hipotecznych udzielanych w Polsce. W niniejszym artykule postanowiono oszacować ryzyko

(3)

kre-Korelacja aktywów kredytobiorców...

₂₃

dytowe portfela należności bankowych zabezpieczonych hipotekami ustanowionymi na nierucho-mościach mieszkalnych oraz ocenić skalę możliwych strat. Podjęto przy tym próbę wyodrębnie-nia większej liczby czynników rynkowych wpływających na ryzyko kredytowe, aniżeli wynika to z modelu rekomendowanego przez Komitet Bazylejski. W ramach niniejszego badania oszacowa-no prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych strat, co pozwoliło na ocenę bezpieczeństwa banku. Przeprowadzenie analizy możliwe było dzięki danym pozyskanym z banku działającego w Polsce, stanowiącego część grupy finansowej o globalnym zasięgu.

Głównym celem niniejszego artykułu jest zbadanie wartości korelacji aktywów kredytobior-ców, którzy zaciągnęli kredyty zabezpieczone hipotekami ustanowionymi na nieruchomościach mieszkalnych. Umożliwiło to weryfikację hipotezy mówiącej o tym, że ryzyko kredytowe portfe-li hipotecznych wyodrębnionych ze względu na walutę zobowiązań zależy od dwóch czynników rynkowych. Zgodnie z tą hipotezą jeden z czynników wpływa na ryzyko kredytowe w obu portfe-lach z tą samą siłą, podczas gdy wpływ drugiego jest odmienny. Niezależnie od wyodrębnionych czynników rynkowych będących źródłem ryzyka systematycznego przyjęto, że niewypłacalność każdego kredytobiorcy jest również uwarunkowana czynnikiem specyficznym (idiosynkratycznym), właściwym dla danego kredytobiorcy.

W celu weryfikacji hipotezy założono, że do oszacowania prawdopodobieństwa wystąpienia niewypłacalności w odniesieniu do należności wchodzących w skład portfeli kredytowych deno-minowanych w złotych oraz we frankach szwajcarskich można wykorzystać model dwuczynniko-wy. Jeśli uda się wyodrębnić oba czynniki rynkowe (systematyczne), można będzie przypuszczać, że model jednoczynnikowy nie w pełni odzwierciedla wpływ zmiennych rynkowych na ryzyko. Tym samym potwierdzona zostanie teza o istnieniu kolejnego czynnika rynkowego.

Przeprowadzone badanie ma zatem na celu ustalenie, czy w odniesieniu do analizowanych należności kredytowych zabezpieczonych hipoteką mieszkalną warto stosować model dwuczyn-nikowy, czy też należy pozostać przy tradycyjnym modelu jednoczynnikowym rekomendowanym przez Komitet Bazylejski. W niniejszym artykule zaprezentowano również podejście wykorzystu-jące informacje z systemu bankowego o wartościach sald zadłużenia oraz liczbie dni zaległości w odniesieniu do poszczególnych umów kredytowych. Rozwiązanie takie stanowi alternatywę wobec metod wykorzystujących uprzednio oszacowane prawdopodobieństwa niewypłacalności.

W dalszej części artykułu zaprezentowano przegląd wyników badań poświęconych analizie i szacowaniu korelacji aktywów kredytobiorców. Następnie przedstawiona została koncepcja modelu ryzyka kredytowego rekomendowanego przez Komitet Bazylejski w ramach Nowej Umowy Kapita-łowej. W dalszej części zaprezentowano model dwuczynnikowy wraz z koncepcją szacowania para-metrów korelacji. Kolejny rozdział artykułu zawiera wyniki badań przeprowadzonych na podstawie danych pozyskanych z jednego z największych banków detalicznych działających w Polsce. Artykuł kończy się podsumowaniem obejmującym wnioski wynikające z przeprowadzonego badania.

2. Przegląd badań poświęconych szacowaniu korelacji aktywów

kredytobiorców

W literaturze przedmiotu można odnaleźć wiele publikacji poświęconych szacowaniu korela-cji aktywów kredytobiorców. Zwykle ich wyniki dotyczą tzw. portfeli kredytów korporacyjnych.

(4)

P. Siarka

24

Rzadziej spotyka się opracowania omawiające kredyty detaliczne, zwłaszcza zabezpieczone hipo-teką mieszkalną. Wykorzystywane przez badaczy metody szacowania korelacji aktywów oraz mo-dele oceny ryzyka kredytowego umożliwiają jednak ich szerokie zastosowanie w odniesieniu do różnych produktów kredytowych.

Obszerny przegląd badań w tej dziedzinie przedstawiony został przez Siarkę (2011). Autor za-prezentował wyniki przeprowadzonej analizy portfela kredytów samochodowych na tle rezulta-tów innych badań. W procesie szacowania korelacji aktywów kredytobiorców posłużył się meto-dami alternatywnymi w stosunku do metody największej wiarygodności. Zaprezentowane metody szacowania korelacji aktywów kredytobiorców bazowały na modelu jednoczynnikowym. Spro-wadzały się do badania relacji między wartością oczekiwaną a wartością modalną rozkładu strat portfela bądź wartością straty nieoczekiwanej. Również zaproponowane podejście wykorzystujące rozkład beta do szacowania straty nieoczekiwanej zakładało wpływ na ryzyko kredytowe tylko jednego czynnika rynkowego.

Niniejszy artykuł można zatem traktować jako uzupełnienie metod zaprezentowanych we wspomnianej powyżej pracy. Wzbogacono w nim opis możliwych podejść do estymacji korela-cji aktywów, a także zwrócono uwagę na korzyści płynące z wykorzystania danych szczegóło-wych (dotyczących indywidualnych kredytów). Przede wszystkim skupiono się na zagadnieniu uogólnienia modelu jednoczynnikowego i jego dalszym wykorzystaniu do oceny ryzyka portfela kredytów hipotecznych.

Zagadnienie szacowania korelacji aktywów kredytobiorców w modelu wieloczynnikowym, stanowiące przedmiot niniejszego artykułu, poruszone zostało w pracy Gordy’ego oraz Heitfielda (2002). Wykorzystano w niej symulację Monte Carlo w celu określenia wpływu liczby lat, w których obserwowana była niewypłacalność, na standardowy błąd estymatora. Autorzy posłużyli się danymi dotyczącymi ocen ratingowych pozyskanych z agencji Moody’s oraz S&P. Ich badania wykazały użyteczność estymatora największej wiarygodności w procesie szacowania parametrów modelu jednoczynnikowego. Zwrócili również uwagę na częsty problem zbyt małej liczby danych z lat, w których obserwowano zdarzenia niewypłacalności, co może obniżać jakość uzyskanych szacunków. Hamerle, Liebig oraz Rosch (2003) również wykorzystali estymator największej wiarygodności. Na podstawie danych pozyskanych z pracy Boegeleina, Hamerlego i Rosha (2003) oszacowali korelację aktywów kredytobiorców w różnych krajach z uwzględnieniem takich sektorów, jak rolnictwo, budownictwo, handel, usługi, produkcja. Uzyskane przez nich wyniki wykazały dość niski poziom korelacji aktywów kredytobiorców. Pomijając Wielką Brytanię, Niemcy oraz Japonię, gdzie w niektórych sektorach korelacje przekraczały 1%, zwykle ich wartości były bliskie zera.

Weryfikacją przyjętego przez Komitet Bazylejski poziomu korelacji aktywów kredytobiorców w odniesieniu do portfela kredytów hipotecznych zajmowali się również Calem oraz Follain (2003). Szacunki uzyskane przez nich za pomocą wielu modeli statystycznych nie odbiegały od wysokie-go, 15-procentowego poziomu korelacji aktywów przyjętego w Nowej Umowie Kapitałowej. Rok później Calem i LaCour-Little (2004) stwierdzili jednak, że wartość ryzyka wynikająca z kwan-tyla rzędu 0,999 w portfelu kredytów hipotecznych może być znacznie niższa niż według mode-lu rekomendowanego przez Komitet Bazylejski. Źródłem tej dysproporcji, co zostanie wykazane w niniejszym artykule, może być przeszacowanie wartości korelacji aktywów kredytobiorców.

W pracy Hamerlego, Liebiga oraz Scheulego (2004) analizie został poddany często pomijany aspekt zależności pomiędzy korelacją aktywów kredytobiorców a korelacją zdarzeń

(5)

niewypłacal-Korelacja aktywów kredytobiorców...

₂₅

ności. Przedstawiona przez autorów metoda estymacji parametrów modelu, w przeciwieństwie do pozostałych publikacji, wykorzystuje funkcję wiarygodności utworzoną na podstawie danych do-tyczących wystąpienia lub niewystąpienia niewypłacalności na poziomie poszczególnych kredytów. Zwykle bowiem stosuje się do tego celu uzyskane wcześniej agregaty w postaci częstości występowa-nia niewypłacalności (ang. bad rate). Autorzy przedstawili wyniki badań przeprowadzonych łącznie na ponad 220 tysiącach kredytobiorców korporacyjnych, pogrupowanych według przynależności do gałęzi gospodarki. W modelu uwzględniono wiele zmiennych o charakterze makroekonomicznym, które w ocenie badaczy istotnie wpływają na kształtowanie się prawdopodobieństwa niewypłacalno-ści. Według tych autorów korelacje aktywów nie przekroczyły poziomu 1%.

W pracy poświęconej testowaniu warunków skrajnych autorstwa Roscha oraz Scheulego (2007) przedstawiono metody szacowania korelacji aktywów kredytobiorców oraz pozostałych parame-trów wynikających z wprowadzenia dodatkowych zmiennych makroekonomicznych. Zaprezen-towane rozwiązanie bazowało na modelu ryzyka Vasicka (1991). W artykule tym wykorzystano nowatorskie podejście do tworzenia prognoz niewypłacalności. W pierwszym kroku oszacowano rozkłady parametrów modelu, a w kolejnym wyznaczono ich skrajne wartości. Umożliwiło to zbu-dowanie prognoz w warunkach hipotetycznego kryzysu gospodarczego. Autorzy przeprowadzi-li badania, korzystając z danych pozyskanych z American Bankers Association, zgromadzonych w latach 1985−2005. Dane dotyczyły różnych produktów kredytowych, m.in. kredytów samocho-dowych, gotówkowych, rewolwingowych i z tytułu wykorzystania kart kredytowych. Przeciętna wartość korelacji aktywów wyniosła jedynie 1,42% i w żadnej z grup nie przekroczyła 3%. Koncep-cję tworzenia prognoz zaprezentowaną przez Roscha oraz Scheulego zastosował następnie Siarka (2012). Autor podjął próbę wykorzystania do modelowania rentowności portfela kredytowego kore-lacji między wyodrębnionymi czynnikami, obejmującymi m.in. koszty refinansowe, koszty wyna-grodzeń, a także poziom ryzyka kredytowego. Wykazał przy tym, że zmiany składowych macierzy korelacji czynników ryzyka mogą istotnie wpłynąć na kondycję finansową banku.

Lee, Lin oraz Yang (2011) sformułowali hipotezę, że w specyficznych warunkach ekonomicz-nych poziom korelacji aktywów kredytobiorców może być znacznie wyższy niż zalecany przez Ko-mitet Bazylejski. Z ich badań wynika, że sytuacja taka może mieć miejsce w czasie gospodarczego spowolnienia. Jednocześnie zauważyli, że w okresach dynamicznego rozwoju gospodarczego war-tość korelacji aktywów zwykle się obniża. Istotne jest przy tym to, że zaobserwowane wzrosty by-ły przeciętnie znacznie wyższe od spadków. Oznacza to, że wartość kapitału regulacyjnego może zostać niedoszacowana w okresie kryzysu. Badając kredyty udzielone firmom, autorzy stwierdzili, że zmiana PKB o 1 punkt procentowy może powodować zmianę korelacji nawet o 0,1.

Również Owusu-Ansahl (2011) analizował zagadnienie korelacji aktywów kredytobiorców. Udało mu się wyodrębnić czynnik rynkowy, który w 22 stanach w USA wyjaśniał blisko 28% zmienności prawdopodobieństw niewypłacalności w latach 1979−2003. Zwrócił uwagę, że pomi-mo wzrostu wartości tego czynnika po kryzysie finansowym z 2008 r., pomi-modelowanie korelacji ak-tywów kredytobiorców wymaga obecnie większej uwagi.

Analizą rynku kredytów hipotecznych w USA zajmował się Rossi (2010). Jednym z głównych zagadnień w jego opracowaniu były przyczyny upadku tak wielu firm mających w swoich akty-wach portfele hipoteczne. Zwrócił uwagę na fakt, że ograniczenia, których źródłem były wykorzy-stywane metody statystyczne oraz dostępne dane, a także bezgraniczne zaufanie do menedżerów zarządzających ryzykiem, doprowadziły do lekceważenia symptomów nadchodzącego kryzysu.

(6)

P. Siarka

26

Autor zwrócił również uwagę na problem dywersyfikacji portfela kredytowego. Podkreślił zna-czenie szacowania korelacji aktywów kredytobiorców z uwzględnieniem większej liczby czynni-ków rynkowych. Jako przykład istotnego czynnika przedstawił podział geograficzny wynikający z miejsca udzielenia kredytu.

Przedmiotem omówionych powyżej opracowań jest z reguły szacowanie korelacji aktywów w modelach jedno- i wieloczynnikowych z wykorzystaniem metody największej wiarygodności. Szerzej na temat oceny ryzyka kredytowego portfeli kredytowych w kontekście regulacji Komitetu Bazylejskiego traktują prace Lucasa (1995), De Servigny’ego i Renault (2002), Zenga i Zhanga (2001), Düllmanna (2007), Cherniha, Vanduffela i Henrarda (2006) oraz Crooka i Bellottiego (2009).

3. Model jednoczynnikowy. Metody szacowania korelacji aktywów

kredytobiorców

W dalszych rozważaniach przyjmijmy, że niewypłacalność może nastąpić w ciągu 12 miesięcy dla i-tego kredytobiorcy, który w momencie t nie był zakwalifikowany przez bank jako niewy-płacalny. Można to przedstawić w postaci zmiennej losowej D_i,t, równej 1, gdy następuje niewy-płacalność i-tego kredytobiorcy, oraz 0 w przypadku terminowej obsługi zobowiązania (braku niewypłacalności).

W przykładowym portfelu kredytowym w momencie t obserwujemy łącznie N_twypłacalnych kredytobiorców. Możemy przyjąć, że bank dysponuje danymi obejmującymi przypadki niewypła-calności odnoszące się do kolejnych okresów: t = 1…T. W dalszej części artykułu przypadki niewy-płacalności rozpatrywane będą w następujących po sobie miesiącach.

W dalszych rozważaniach zostanie wykorzystany model Mertona (1974), rekomendowany przez Komitet Bazylejski w ramach Nowej Umowy Kapitałowej (BCBS 2006). Podejście to uwzględ-nia wpływ czynnika rynkowego na wartość aktywów kredytobiorców, co określane jest mianem ryzyka systematycznego. Zgodnie z tym modelem wartość aktywów X_ii-tego kredytobiorcy można opisać następującym równaniem:

Xi Y Zi 1 i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

1 1 –1 –1 ,t t t t i Y PD Y D P n i it t _n D D 1 , 1

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

– ∞ ∞ t D t t D N i t t Y PD Y _d _Y PD l t i t i t = t t t N d d d d t t t t _d P P N Y d L( ) (1 ) = T t d N d d d t t _P _P _d _Y d N l t t t 1 ) ( ) 1 ( ) ( T t d N d t t PD Y PD Y _d _Y d N g t t t 1 1 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( K K K K R , 1 , , 1 1 ... : ... : ... F f fk f k i i A Y Z X 1 =

Σ

F f 1 =

Σ

F f 1

Σ

= F f 1 , 1 A A R T k f A, [ ] k f k f k F i Y A PD Y Y D P 1 ) ( ..., 1 , 1 1 R K k d N k f k f k d k f k f k k k _d Y A PD Y A PD d N R g t t t 1 , 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ... log ) ( Y K R ... : ... : ... 1 i k k k i Y Y Z X 1

[

]

k k k k k i Y Y PD Y Y D P 1 ) ( , 1 1 CHF PLN ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ –1 –1 – –1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ _Φ Φ Φ Φ Φ

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ (1) gdzie Y jest czynnikiem rynkowym wspólnym dla wszystkich kredytobiorców, a Z_i czynnikiem specyficznym, właściwym dla danego kredytobiorcy.

Oprócz zdefiniowanego powyżej ryzyka systematycznego wyróżniamy zatem ryzyko idiosyn-kratyczne (specyficzne), którego źródłem jest Z_i. Oba czynniki mają standardowy rozkład normal-ny. Parametr ρ jest natomiast wartością korelacji aktywów kredytobiorców. Warto zwrócić uwa-gę na to, że za pomocą korelacji aktywów możemy również mierzyć, z jaką siłą czynnik rynkowy wpływa na wartość aktywów poszczególnych kredytobiorców.

Korelacje występujące pomiędzy wartościami aktywów kredytobiorców powodują skorelowa-nie zdarzeń skorelowa-niewypłacalności. W istocie zależność ta dotyczy kredytobiorców instytucjonalnych. Spadek wartości aktywów firmy poniżej pewnej progowej wartości może być bowiem impulsem do zaprzestania dalszej działalności gospodarczej. W odniesieniu do kredytów detalicznych, czyli

(7)

Korelacja aktywów kredytobiorców...

₂₇

osób fizycznych, taka interpretacja pozostaje nieczytelna. Trudno bowiem łączyć zmienność war-tości kredytowanej nieruchomości lub całego majątku kredytobiorcy z ryzykiem wystąpienia nie-wypłacalności. Znaczna utrata wartości majątku kredytobiorcy nie powoduje zwykle zaprzestania spłaty kredytu, ponieważ to nie jego aktywa są zazwyczaj źródłem spłaty zobowiązań. Bardziej zasadne wydaje się więc interpretowanie wartości aktywów kredytobiorcy jako pewnego rodzaju indeksu odzwierciedlającego indywidualny poziom ryzyka (Siarka 2011).

Korelacja aktywów kredytobiorców rozpatrywana w kontekście kredytów hipotecznych nie może być zatem postrzegana jako zależność między wartością nieruchomości stanowiących za-bezpieczenie poszczególnych kredytów. Nie może być też wiązana wprost ze zmianą wartości majątków posiadanych przez kredytobiorców. Należy ją interpretować jako siłę zależności wystę-pujących pomiędzy wspomnianymi indywidualnymi indeksami ryzyka poszczególnych kredyto-biorców. Ponadto zgodnie z modelem (1) korelacja odzwierciedla również siłę z jaką czynnik ryn-kowy wpływa na ryzyko kredytowe. Ponieważ nieruchomości mieszkalne będące zabezpieczeniem kredytu zaspokajają jedną z podstawowych potrzeb każdego człowieka, należy się spodziewać, że wystąpienie niewypłacalności w niewielkim stopniu zależy od czynnika rynkowego. Z powodu silnej motywacji do spłaty tego typu zobowiązań większy wpływ na ryzyko ma czynnik specyficz-ny, odrębny dla każdego kredytobiorcy.

W modelu (1) zdarzenie niewypłacalności kredytobiorcy następuje wówczas, gdy wartość jego aktywów spada poniżej pewnego progowego poziomu B_i, tj. gdy:

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤ B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

_{f 1}F =

Σ

F f 1

Σ

[

]

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ

W dalszych rozważaniach przyjmijmy, że kredyty wchodzące w skład badanego portfela są na tyle homogeniczne, że próg B, wyznaczający granicę niewypłacalności, jest taki sam dla wszyst-kich kredytobiorców.

Na podstawie modelu jednoczynnikowego (Siarka 2011) można wyznaczyć warunkowe praw-dopodobieństwo niewypłacalności poszczególnych kredytobiorców przy różnych poziomach czyn-nika rynkowego Y_t: 1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

F f 1 =

Σ

F f 1

Σ

[

]

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ (2)

gdzie Φ() oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego, a

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ [ ]

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

1 1 –1 –1 ,t t t t i Y PD Y D P n i it t _n D D 1 , 1 [ ] [ ] 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e e e PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

F f 1 =

Σ

F f 1

Σ

= F f 1 , 1 A A R T k f A, [ ] k f k f k F i Y A PD Y Y D P 1 ) ( ..., 1 , 1 1 R K k d N k f k f k d k f k f k k k PD A Y PD A Y _d d N R g t t t 1 , 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ... log ) ( Y K R ... : ... : ... 1 i k k k i Y Y Z X 1 [ ] k k k k k i Y Y PD Y Y D P 1 ) ( , 1 1 CHF PLN ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ –1 –1 – –1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ jest jej funkcją odwrotną. Przez PD oznaczono bezwarunkowe prawdopodobieństwo niewypłacalności kredyto-biorcy, ρ oznacza natomiast korelację aktywów kredytobiorcy zgodnie z modelem zaproponowa-nym przez Mertona (1974).

W utworzonym portfelu kredytowym, składającym z n należności o tym samym prawdopodo-bieństwie niewypłacalności PD, bada się procentową stratę rozumianą jako:

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

F f 1 =

Σ

_{f 1}F

Σ

_{f 1}₌F , 1 A A R T k f A, [ ] k f k f k F i Y A PD Y Y D P 1 ) ( ..., 1 , 1 1 R K k d N k f k f k d k f k f k k k _d Y A PD Y A PD d N R g t t t 1 , 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ... log ) ( Y K R ... : ... : ... 1 i k k k i Y Y Z X 1

[

]

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ

Następnie wyznaczane jest prawdopodobieństwo poniesienia niniejszej straty do wysokości x. Funkcja gęstości strat określona dla zmiennej x dana jest wzorem (Vasicek 1991):

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

F f 1 =

Σ

F f 1

Σ

[

]

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ (3)

(8)

P. Siarka

28

Zaprezentowana powyżej funkcja gęstości stanowi fundament modelu strat kredytowych wy-korzystywanego do kalkulacji minimalnych wymogów kapitałowych z tytułu ryzyka kredytowego w ramach podejścia IRB (internal ratings based approach) rekomendowanego przez Komitet Bazy-lejski (BCBS 2006). Można zauważyć, że jednym z czynników wpływających na funkcję gęstości jest korelacja aktywów kredytobiorców. Siłę tego wpływu zilustrowano na wykresie 1. Zaprezento-wano na nim przykłady trzech funkcji gęstości prawdopodobieństwa strat portfela wyznaczonych dla różnych poziomów korelacji aktywów kredytobiorców (ρ), wynoszących 1%, 3% oraz 8%. We wszystkich trzech portfelach prawdopodobieństwo niewypłacalności kredytobiorców wynosiło 0,9%. Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że wzrostowi wartości korelacji ak-tywów kredytobiorców towarzyszy większa dyspersja, której skutkiem jest wyższa wartość kwan-tyla rzędu 0,999. Ten ostatni parametr, określany mianem straty nieoczekiwanej, uwzględnia się w rachunku minimalnych wymogów kapitałowych z tytułu ryzyka kredytowego w metodzie za-awansowanej (IRB).

Warto zwrócić uwagę na fakt, że wpływ korelacji aktywów kredytobiorców na kształt funkcji gęstości zależy od przyjętego poziomu PD. Z inną siłą korelacja będzie wpływać na zmiany straty nieoczekiwanej w portfelu kredytów hipotecznych, gdzie ryzyko zwykle pozostaje relatywnie ni-skie, z inną natomiast w przypadku pozostałych produktów bankowych, np. kredytów samocho-dowych czy kredytów gotówkowych.

W tabeli 1 przedstawione zostały wyniki analizy symulacyjnej prezentującej wpływ korelacji aktywów kredytobiorców na poziom straty nieoczekiwanej, rozumianej jako wartość straty w port-felu kredytowym, której prawdopodobieństwo przekroczenia jest nie większe aniżeli 0,001. Obli-czenia przeprowadzono dla analizowanego portfela kredytów hipotecznych oraz portfela kredytów samochodowych szerzej omówionego w pracy Siarki (2011). Prawdopodobieństwo niewypłacalno-ści kredytobiorców w portfelu hipotecznym wyniosło 0,91%, a w przypadku portfela samochodo-wego przyjęto wartość 6,2%, zaczerpniętą ze wspomnianej publikacji. Wartości korelacji aktywów w obu portfelach są takie same jak wykorzystane wcześniej do sporządzenia wykresu 1.

Na szczególną uwagę zasługują dwa ostatnie wiersze tabeli 1. Przedstawiają one iloraz straty nieoczekiwanej wyznaczonej dla badanych portfeli oraz oczekiwanej wartości strat. Miarę tę moż-na interpretować jako różnicę między stratą oczekiwaną a zaobserwowaną. Pomoż-nadto wartość ta po-mniejszona o 1 ilustruje relację minimalnego wymogu kapitałowego z tytułu ryzyka kredytowego do poziomu rezerw celowych, które powinien utrzymywać bank. Interpretacja ta wynika wprost z koncepcji przyjętej w ramach Nowej Umowy Kapitałowej dotyczącej roli rezerw celowych oraz wymogów kapitałowych.

Z danych zawartych w tabeli 1 wynikają dwa zasadnicze wnioski. Wraz ze wzrostem korelacji aktywów kredytobiorców następuje „oddalanie” się kwantyla rzędu 0,999 od wartości oczekiwanej, co zostało już zasygnalizowane w analizie wykresu 1. Drugi, ważniejszy, wniosek dotyczy wpływu wartości PD na ową odległość. Okazuje się, że w portfelach o różnych poziomach PD ta sama war-tość korelacji aktywów kredytobiorców pociąga za sobą inną warwar-tość ilorazu VaR999 oraz straty oczekiwanej. Relacja minimalnego wymogu kapitałowego do rezerw celowych musi więc również się zmienić. W analizowanym przykładzie korelacja na poziomie 1% w portfelu kredytów samo-chodowych sprawia, że wskaźnik wartości strat nieoczekiwanych jest prawie dwukrotnie większy od straty oczekiwanej, a ich iloraz wynosi 1,75. W portfelu kredytów hipotecznych straty nieocze-kiwane w większym stopniu przekraczają natomiast wartość oczekiwaną straty (2,13). Tendencja

(9)

Korelacja aktywów kredytobiorców...

₂₉

ta nasila się wraz ze wzrostem korelacji aktywów kredytobiorców. Przy wartości równej 8% rela-cja ta wynosi już 3,94% w portfelu kredytów samochodowych i aż 6,59% w portfelu kredytów hi-potecznych. Oznacza to, że procentowy wzrost ryzyka kredytowego ponad wartość oczekiwaną będzie zwykle wyższy w przypadku kredytów hipotecznych niż kredytów samochodowych (przy założeniu, że PD kredytów hipotecznych jest niższe od PD kredytów samochodowych). Efekt ten pogłębia się także wraz ze wzrostem różnicy pomiędzy prawdopodobieństwami wystąpienia zda-rzeń niewypłacalności w obu portfelach. Na tej podstawie można sformułować wniosek, że ryzyko w portfelach hipotecznych, których PD zwykle nie przekracza poziomu 2%, jest niezmiernie wraż-liwe na zmiany korelacji aktywów kredytobiorców. Wrażliwość ta jest tym większa, im mniejsze jest prawdopodobieństwo wystąpienia niewypłacalności kredytobiorców.

Komitet Bazylejski, mając świadomość trudności z szacowaniem korelacji aktywów kredyto-biorców, określił zasady jej wyznaczania na użytek wymogów kapitałowych. W odniesieniu do bankowych należności detalicznych zarekomendowano poniższą formułę:

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤ B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

_{f 1}F =

Σ

F f 1

Σ

= F f 1 , 1 A A R T k f A, [ ] k f k f k F i Y A PD Y Y D P 1 ) ( ..., 1 , 1 1 R K k d N k f k f k d k f k f k k k PD A Y PD A Y _d d N R g t t t 1 , 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ... log ) ( Y K R ... : ... : ... 1 i k k k i Y Y Z X 1

[

]

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ (4)

Należy podkreślić, że w przypadku ekspozycji detalicznych zabezpieczonych na nieruchomo-ściach korelacja aktywów powinna zostać przyjęta na poziomie 0,151_.

Rosh oraz Scheule (2007) przedstawili metodę umożliwiającą oszacowanie wartości korela-cji aktywów kredytobiorców na podstawie warunkowych prawdopodobieństw niewypłacalności wyznaczonych dla wszystkich kredytów w badanym portfelu. Wiedząc na podstawie obserwa-cji historycznych, który kredytobiorca okazał się niewypłacalny (D_i = 1), wyznaczyli warunkowe prawdopodobieństwa zdarzenia niewypłacalności dla kredytobiorców niespłacających swoich zo-bowiązań oraz prawdopodobieństwa, że rzetelni kredytobiorcy pozostaną wypłacalni. Metoda ta, wykorzystywana do szacowania korelacji aktywów, sprowadza się zatem do znalezienia maksi-mum funkcji wiarygodności o postaci:

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

F f 1 =

Σ

F f 1

Σ

[

]

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ (5)

Warto zwrócić uwagę, że we wzorze (5) sumowanie zachodzi po wszystkich T okresach, w których szacowane były prawdopodobieństwa niewypłacalności. Następnie w ramach każdego okresu obliczany jest iloczyn prawdopodobieństw niespłacania kredytów faktycznie niespłaca-nych oraz prawdopodobieństw spłacania kredytów obsługiwaniespłaca-nych terminowo.

Wyznaczenie korelacji aktywów na podstawie równania (5) jest kłopotliwe ze względu na ko-nieczność wykorzystania złożonych metod numerycznych. Trudność wynika również z koniecz-ności sumowania całek uwzględniających wyżej omówione warunkowe prawdopodobieństwa nie-wypłacalności poszczególnych kredytobiorców (Papadimitriou 2002).

1_{Zasada ta wynika z załącznika 5 do uchwały nr 380/2008 Komisji Nadzoru Finansowego z dnia 17 grudnia 2008 r.,}

odnoszącego się do metody wewnętrznych ratingów wykorzystywanej w procesie obliczania wymogu kapitałowego z tytułu ryzyka kredytowego.

(10)

P. Siarka

30

Nieco odmienne podejście do zagadnienia szacowania korelacji aktywów kredytobiorców przedstawili Gordy oraz Heitfield (2002). Zwrócili uwagę na to, że prawdopodobieństwa niewy-płacalności poszczególnych kredytobiorców przy ustalonej wartości Y_t pozostają równe oraz nie-zależne. Ponadto liczba kredytobiorców w portfelu jest z góry określona, a na podstawie danych historycznych wiadomo, ilu z nich to kredytobiorcy niewypłacalni. Liczba przypadków niewy-płacalności występujących w portfelu kredytowym przy zadanej wartości czynnika rynkowego Y_t podlega zatem rozkładowi dwumianowemu:

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

F f 1 =

Σ

F f 1

Σ

[

]

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ ₍₆₎

gdzie d_t jest liczbą przypadków kredytów niewypłacalnych, a P_dwarunkowym prawdopodobień-stwem niewypłacalności wyrażonym wzorem (2).

Przyjmując założenia schematu Bernoulliego, autorzy wykazali, że największe prawdopodo-bieństwo będzie przypisane takiej liczbie sukcesów, która wynika z faktycznie zaobserwowanych zdarzeń niewypłacalności. Stąd powstała koncepcja, aby odszukać wartość prawdopodobieństwa sukcesu (a ściślej korelacji warunkującej jej wartość), gdzie przy znanej liczbie przypadków wypłacalności wyrażenie (6) osiągnie maksimum. Zakładając zatem, że czynniki rynkowe są nie-zależne w czasie, postanowili oszacować korelację aktywów kredytobiorców za pomocą maksyma-lizacji funkcji zadanej wzorem (7).

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

F f 1 =

Σ

_{f 1}F

Σ

f 1₌F , 1 A A R T k f A, [ ] k f k f k F i Y A PD Y Y D P 1 ) ( ..., 1 , 1 1 R K k d N k f k f k d k f k f k k k PD A Y PD A Y _d d N R g t t t 1 , 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ... log ) ( Y K R ... : ... : ... 1 i k k k i Y Y Z X 1

[

]

k k k k k i Y Y PD Y Y D P 1 ) ( , 1 1 CHF PLN ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ –1 –1 – –1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ (7) Ostatecznie po podstawieniu w powyższym równaniu w miejsce warunkowych prawdopodo-bieństw ich rozwinięć o postaci (2) oraz zlogarytmowaniu uzyskano następującą postać funkcji, której maksymalizacja prowadzi do estymacji parametru korelacji (Hamerle, Liebig, Rosh 2003):

1 i Y Zi X i X + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – + – – – – – – – – – – – – – – – + ∈ – – – – – – – – _– – = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ≤B_i Φ Φ

Σ

Π

∫

Φ

[

]

[

1 ) (

(

( (

{

}

(

)

))

)

[

]

[

]

2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( exp 1 ) ( 2 2 x N PD N x N x f 35 35 35 35 1 1 1 16 , 0 1 1 03 , 0 e e

e

PD PD ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( ln ) ( 1 1 1 , , t T ∞ ∞ – – – – ∞ ∞

∫

∫ ∫

Σ

F f 1 =

Σ

F f 1

Σ

[

]

k k k k k i Y Y PD Y Y D P 1 ) ( , 1 1 CHF PLN ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ –1 –1 – –1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

}

– –

Π

(

)

+ + Φ Φ (8)

Podejście to stanowi alternatywę względem metody zaproponowanej przez Roscha oraz Scheu-lego. Warto zwrócić uwagę, że wyznaczenie korelacji na podstawie równania (8) jest obliczeniowo znacznie prostsze aniżeli w przypadku równania (5). Nie występuje tu bowiem konieczność two-rzenia funkcji składającej się ze wszystkich należności kredytowych, dla których wyznaczane jest prawdopodobieństwo niewypłacalności. W przypadku wzoru (8) maksymalizowana funkcja wy-korzystuje bowiem uprzednio wyznaczone historyczne częstości występowania niewypłacalności w poszczególnych okresach.

Paweł Siarka – Korelacja aktywów kredytobiorców. Zagadnienie szacowania strat na przykładzie portfela kredytów hipotecznych

Korelacja aktywów kredytobiorców. Zagadnienie

szacowania strat na przykładzie portfela

kredytów hipotecznych

Paweł Siarka*

Streszczenie

22

1. Wstęp

23

2. Przegląd badań poświęconych szacowaniu korelacji aktywów

kredytobiorców

24

25

26

3. Model jednoczynnikowy. Metody szacowania korelacji aktywów

kredytobiorców

Σ

Σ

Σ

Σ

Π

Π

∫

∫

[

]

]

]

]

[

[

[

(

(

(

(

(

(

(

( (

{

{

}

(

(

(

)

)

)

)

)

)

)

)

)

))

)

[

]

[

]

e

e

∫

∫ ∫

Σ

Σ

Σ

[

]

}

Π

(

)

27

Σ

Σ

Σ

Σ

Π

₂₃

₂₅

₂₇