Optyka – II: optyka geometryczna

- Kanon fizyki WAT, Wydział Nowych Technologii i Chemii, Instytut Fizyki Technicznej W-22

16. Optyka - II

16.2. Optyka geometryczna:

•

zasada najmniejszego działania (Feremata),

•

optyka geometryczna jako graniczny przypadek optyki

falowej,

•

elementy optyczne:

•

soczewki,

•

zwierciadła,

•

pryzmat,

•

mikroskop,

•

luneta.

Zasada Fermata

Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi,

sąsiednimi drogami, minimum albo maksimum czasu, np. najkrótszy

czas między dwoma punktami w próżni to linia prosta.

Z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania.

Prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leżą w jednej

płaszczyźnie utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie padania (normalna padania) tzn. w płaszczyźnie rysunku poniżej.

dla odbicia ₁ = ₁’

dla załamania (prawo Snella)

3

[„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl]

[„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl]

a) S

źródło światła

małe przedmiot duży

cień b)

źródło światła przedmiot

duże mały półcień

Prawa optyki geometrycznej

– prawo odbicia

4

Prawa optyki geometrycznej

– prawo załamania

W akwarium widać tę samą rybę w dwu różnych położeniach, gdyż kierunek wiązki światła zmiana się, gdy przechodzi ona z wody do powietrza. W tym przypadku światło może dotrzeć do obserwatora dwoma różnymi drogami, a zatem ryba zdaje się znajdować w dwu różnych miejscach.

A n1 n2 n3 n4 B

Jeżeli promień przebiega drogę z A do B jak to inny promień światła wysłany z B do A przebiegnie po tej samej drodze

5

Optyka falowa i geometryczna – warunki stosowania

Omawiając odbicie i załamanie fal (płaskich) posługujemy się pojęciem

promienia.

Nie jest to pomocne przy opisie dyfrakcji (ugięcia światła) gdyż niemożliwe jest wydzielenie pojedynczego promienia z padającej fali np. fali płaskiej. Jak pamiętamy ugięcie to jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fali staje się tym wyraźniejsze gdy a/l → 0.

Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej jest więc aby wymiary liniowe wszystkich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele większe od długości fali.

Jeśli światło rozchodzi się po liniach prostych co można przedstawić w postaci promieni podlegających prawom odbicia i załamania, to mówimy, że mamy do czynienia z optyką geometryczną.

Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie światła posługiwać się promieniami, lecz trzeba wziąć pod uwagę falowy charakter światła. Widać jak znaczące jest ugięcie fali gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z długością fali. Mamy wtedy do czynienia z optyką falową.

Optyka geometryczna jest więc szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falowej.

Odbicie: fale kuliste (wtórne) powstają wtedy, gdy dany punkt czoła fali dociera do zwierciadła. Styczna do powierzchni powstających fal kolistych wytycza nowe czoło fali odbitej pod kątem równym kątowi padania. Kierunek rozchodzenia się fali jest prostopadły do czoła fali i przedstawiony jako strzałka skierowana pionowo w dół.

7 Załamanie: zastosowanie zasady dla fali płaskiej przemieszczającej się z jed-nego ośrodka do drugiego, w którym prędkość fali jest mniejsza. Promień ugina się w kierunku normalnej, ponie-waż fale poruszające się w drugim oś-rodku mają mniejszą prędkość.

Całkowite wewnętrzne odbicie

Całkowite wewnętrzne odbicie występuje dla kątów padania większych od kąta granicznego gdy wszystkie promienie odbite wracają do ośrodka gęstszego

Model światłowodu

Z prawa Snella n₁sin₁= n₂sin₂ gdy kąt padania jest równy kątowi granicz-nemu (₁= _g) to kąt załamania wynosi 90o _(

2= 90o) wówczas

𝑛₁𝑠𝑖𝑛𝜃₁ = 𝑛₂ 𝜃₁ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑛2

𝑛₁ 𝑑𝑙𝑎 𝑛1 > 𝑛2

8

Elementy optyczne -

zwierciadła

Zwierciadła płaskie odbijają promienie selektywnie (dwa różne pro-mienie równoległe po odbiciu nadal są równoległe).

Przy odbiciach prawo odbicia jest zachowane (kąt odbicia = kąt padania), zaś w takim zwierciadle otrzymujemy obraz pozorny, prosty, tej samej wielkości co przedmiot.

Aby w całości przejrzeć się w zwierciadle płaskim, jego wysokość musi być równa co najmniej połowie przedmiotu

Obraz w zwierciadle powstaje za nim. Dwa promienie padające na zwierciadło pod odpowiednimi kątami są przez nie odbijane i docierają do oczu osoby. Powstały obraz znajduje się za zwierciadłem w takiej samej odległości od nas, z jakiej patrzylibyśmy bezpośrednio na swoją siostrę bliźniaczkę bez zwierciadła. 9

Równoległe promienie odbite od zwierciadła paraboliczne-go przecinają się w jednym punkcie F - ognisku.

Równoległe promienie blisko osi optycznej i te w znacznej odległości od niej po odbiciu od zwierciadła sferycznego nie przecinają się w jednym punkcie

Dla promieni równoległych blis-ko osi optycznej krzywizna zwier-ciadła jest dobrym przybliżeniem paraboli, zatem promienie te przecinają się w jednym punkcie

10

[„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl] [„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl]

„1” - promień padający równoległy do głównej osi optycznej a po odbiciu przechodzący przez ognisko zwierciadła

„2” - promień przechodzący przez ognisko zwierciadła, lub gdy jego przedłużenie przechodzi prze to ognisko po odbiciu jest równoległy do głównej osi optycznej

„3” - promień przechodzący przez środek krzywizny zwierciadła , lub gdy jego przedłużenie przechodzi przez ten środek, odbija się wzdłuż tej samej prostej

„4” - promień padający na środek zwierciadła odbija się symetryczne do głównej osi optycznej zwierciadła

Obraz zostaje utworzony tam, gdzie promienie (dla obrazów rzeczywistych) lub ich przedłużenie (dla obrazów pozornych) się przecinają

11

Powiększenie zwierciadła – stosunek

wysokości obrazu do wysokości przedmiotu

Równanie zwierciadła:

R - promień krzywizny zwierciadła (odleg-łość wierzchołek-środek zwierciadła), f -ogniskowa zwierciadła 𝑝 = ℎ𝑜 ℎ_𝑝 = − 𝑑_𝑜 𝑑_𝑝 2 𝑅

=

=

+

W aberracji sferyczne (a) promienie, które są dalej od osi optycznej, skupiają się w innych punktach niż promienie, które są bliżej osi optycznej. Aberracja jest tym większa, in dalej od osi optycznej znajduje się promień.

W aberracji komatycznej (łac. coma – kometa) (b) padające równolegle promienie, które nie są równoległe do osi optycznej, skupiają się na różnych wysokościach i w różnych ogniskowych

tworząc „ogon” jak kometa. 12

Elementy optyczne - soczewki

Równoległe do osi optycznej promienie padające na soczewkę skupiającą skupiane są w ognisku F, zaś padające na soczewkę rozpraszającą są rozbieżne – ich przedłużenia przecinają się w punkcie będącym ogniskiem pozornym soczewki. f – to

odległość ogniskowa soczewki. 13

Soczewka skupiająca –

trzy charakterystyczne promienie wycho-dzące z tego samego punktu po przejściu przez soczewkę przecinają się w miejscu w którym powstaje obraz

14

[„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl]

Podstawa wyprowadzenia równania soczewki. Przyjmujemy, że t jest grubością soczewki (dla soczewki cienkiej t -> 0), n₁ współczynnik załamania ośrodka zewnętrznego, n₂ współczynnik załamania soczewki. ℎ_𝑜 ℎ_𝑝 = − 𝑑_𝑜 𝑑_𝑝 → 𝑛₁ 𝑑_𝑝 + 𝑛₂ 𝑑′ 𝑜 = 𝑛2 − 𝑛1 𝑅₁

Lewa powierzchnia z równania zwierciadła

Q’ – obraz pozorny →d’_o<0, d_p>0, R₁>0 ℎ_𝑜 ℎ_𝑝 = − 𝑑_𝑜 𝑑_𝑝 → 𝑛₂ 𝑑′_𝑝 + 𝑛₁ 𝑑_𝑜 = 𝑛₁ − 𝑛₂ 𝑅₂

Prawa powierzchnia z równania zwierciadła

Q – obraz rzeczywisty →d_o>0, d’_p>0, R₂<0 (d’_p=-d’_o+t) Dodając L+P 𝑛₁ 𝑑_𝑝 + 𝑛₁ 𝑑_𝑜 + 𝑛₂ 𝑑′_𝑜 + 𝑛₂ −𝑑′_𝑜 + 𝑡 = (𝑛2 − 𝑛1)( 1 𝑅₁ − 1 𝑅₂) 15

Dla soczewki cienkiej (t<<d’_o) – trzeci i czwarty wyraz z lewej się znoszą 𝑛₁ 𝑑_𝑝

+

= (𝑛

− 𝑛

)(

−

) →

+

= (

− 1)(

−

)

Jest to postać równania soczewki cienkiej zwana równaniem producentów soczewek

(lens marker’s equation). Dla soczewki w powietrzu n₁=1, a n₂=n zatem równanie soczewki: 1 𝑓 = (𝑛 − 1)( 1 𝑅₁ − 1 𝑅₂) Konwencja znaków:

1. Odległość obrazu d_o jest dodatnia, jeżeli obraz jest po przeciwnej stronie

soczewki niż przedmiot (obraz rzeczywisty); w innym przypadku d_o jest ujemna (obraz pozorny).

2. Ogniskowa f jest dodatnia dla soczewki skupiającej i ujemna dla soczewki rozpraszającej.

3. Promień R jest dodatni dla powierzchni wypukłej w kierunku przedmiotu i ujemny dla powierzchni wklęsłej w kierunku przedmiotu. ₁₆

Soczewki - wady

Aberracja sferyczna to wada polegająca na tym, że wiązka promieni

wychodząca z jednego

Aberracja chromatyczna wynika z rozszczepienia światła białego przez soczewkę co również psuje ostrość obrazów.

Astygmatyzm polega na tym, że jeśli wiązka promieni pada ukośnie na soczewkę to promienie te po przejściu przez soczewkę nigdzie nie spotykają się w jednym punkcie lecz spotykają się na dwóch oddalonych od siebie, wzajemnie prostopadłych odcinkach proste

Elementy optyczne - pryzmat

Pryzmat jest to ciało przezroczyste ograniczone z dwóch stron dwiema powierzchniami równoległymi i dwiema powierzchniami przycinającymi się pod pewnym kątem, zwanym kątem łamiącym pryzmatu. Światło załamuje się w pryzmacie 2 razy zaś kąt odchylenia

gdzie: n - bezwzględny współczynnik załamania pryzmatu, f - kąt łamiący pryzmatu

18

𝛼 = 𝜙(𝑛 − 1)

19 Światło białe jest rozszczepiane przez pryzmat ponieważ współczynnik załamania zmienia się wraz z długością fali, wraz z nią zmieniają się również kąty załamania. Kolejność barw od czerwonej do fioletowej wynika z faktu, ze współczynnik załamania rośnie, gdy długość fali maleje.

20

Elementy optyczne - lupa

Lupa jest soczewką wypukła używaną do tworzenia powiększonego obrazu przedmiotu na siatkówce oka. Przy jej zastosowaniu obraz kątowy przedmiotu _o jest większy od rzeczywistego obrazu kątowego przedmiotu

_p (_o> _p)

Lupa - powiększenie

Rodzaje lup

• prosta - soczewka wypukła lub płaskowypukła - maksymalne powiększenie 5 razy

• aplanatyczna - dwie jednakowe soczewki zwrócone wypukłościami do siebie

• achromatyczna - soczewka klejona, skorygowane aberracje sferyczna i chromatyczna (światło po przejściu daje różne obrazy dla różnych barw) • ortoplanatyczna - układ trzech soczewek - skorygowane aberracje

sferyczna, chromatyczna i dystorsja (powstaje w wyniku różnych powiększeń różnych części obrazu z zachowaniem ostrości)

𝑝_𝑘 = 𝜃𝑜 𝜃_𝑝 = ℎ_𝑜25 𝑐𝑚 𝐿ℎ_𝑝 = − 𝑑_𝑜 𝑑_𝑝 ∙ 25 𝑐𝑚 𝐿 = −𝑑𝑜 1 𝑓 − 1 𝑑_𝑜 ∙ 25 𝑐𝑚 𝐿 = 25 𝑐𝑚 𝐿 ∙ 1 + 𝐿 − 1 𝑓

Elementy optyczne - mikroskop

22 Mikroskop zawiera dwie soczewki- obiektyw i okular. Obiektyw tworzy pierwszy obraz większy od przedmiotu. Ten obraz znajduje się w zasięgu ogniskowej okularu i jest przedmiotem dla jego soczewki. Okular tworzy ostateczny obraz który jest dodatkowo powiększony.

23 𝑝𝑜𝑏 = −𝑑𝑜 𝑜𝑏 𝑑_𝑝𝑜𝑏 ≈ − 𝑑𝑜𝑜𝑏 𝑓𝑜𝑏

(powiększenie liniowe − obiektyw)

𝑝_𝑘𝑜𝑘 = 1 + 25 𝑐𝑚 𝑓𝑜𝑘

(powiększenie kątowe − okular)

𝑝_𝑐𝑎ł = 𝑝𝑜𝑏𝑝_𝑘𝑜𝑘 = 𝑑𝑜

𝑜𝑏 _𝑓𝑜𝑘 _{+ 25 𝑠𝑚}

𝑓𝑜𝑏_𝑓𝑜𝑘

Zakładamy, że ostateczny obraz powstaje w punkcie bliży oka zapewniającym maksymalne powiększenie. Powiększenie kątowe okularu jest jak dla lupy (to same działanie fizyczne). Powiększenie całkowite

(ang. net magnification) wynosi:

Elementy optyczne - teleskop

24 Teleskop Galileusza składa się ze

skupiającego obiektywu i rozpra-szającego okularu. Tworzą one ob.-raz nieodwrócony (wykorzystanie w lunetach).

Teleskop klasyczny ma dwie soczewki skupiają-ce. Obiektyw tworzy odwrócony obraz rzeczywis-ty w płaszczyźnie ogniskowej okularu, który two-rzy z niego obraz pozorny, odwrócony i powię-kszony.

Układ 3-soczewkowy tworzy prosty obraz wyjściowy: pierwsze dwie soczewki są wystarczająco odległe, aby druga odwracała obraz pierwszej. Trzecia służy jako szkło powiększające i tworzy obraz prosty w położeniu łatwym do obserwacji.

25

26

PODSUMOWANIE

1. Określono pojęcie promienia świetlnego

2. Sformułowano zasadę Fermata i pokazano jej praktyczne zastosowanie 3. Sformułowano prawo odbicia i załamania promieni świetlnych

4. Wykazano zasadnicze różnice pomiędzy optyką falową a optyką geometryczną 5. Określono zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia wraz zjego praktycznym

wykorzystaniem

6. Omówiono rodzaje zwierciadeł oraz typy obrazów w nich powstających 7. Omówiono różne rodzaje soczewek

8. Określono wady (aberacje) zwierciadeł i soczewek

9. Wyjaśniono fizycznie dlaczego pryzmat rozszczepia światło białe