Tomasz Kaczmarek, Zwarte równanie wartości własnych swiatlowodu dwuskokowego o dowolnym praktycznie użytecznym profilu współczynnika załamaniaSesja: Światłowody w sieciach telekomunikacyjnych.Politechnika Świętokrzyska

Pełen tekst

(1)www.pwt.et.put.poznan.pl. 2005. Tomasz Kaczmarek Politechnika wi tokrzyska Al. 1000lecia P. P. 7 25-314 Kielce e-mail: tkaczmar@tu.kielce.pl. Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 8 - 9 grudnia 2005. Zwarte równanie warto ci własnych wiatłowodu dwuskokowego o dowolnym praktycznie u ytecznym profilu współczynniku załamania Streszczenie: W artykule przedstawiono wyniki wyprowadze równia modowego dla wiatłowodu dwuskokowego o profilu W, o podwójnym skoku PS, pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1, pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 oraz pier cieniowego typu O. Ze wzgl du na rodzaj funkcji Bessela wykorzystanej do opisu składowych osiowych pola w warstwie pierwszej, drugiej oraz w płaszczu wiatłowody te mo na podzieli na trzy grupy.. 1.. WPROWADZENIE. Dotychczas nie pojawiło si w literaturze dotycz cej wiatłowodów dwuskokowych równanie warto ci własnych w zwartej postaci tak jak to ma miejsce w przypadku wiatłowodu skokowego (równanie HondrosaDebye’a [1,2]). W zwi zku z tym modelowanie numeryczne wiatłowodów dwuskokowych, maj ce na celu wyznaczenie charakterystyki fazowej lub cz stotliwo ci odci cia, odbywa si przez znajdowanie miejsc zerowych wyznacznika o wymiarze 4x4. Niniejszy artykuł mo e stanowi pod tym wzgl dem pewien przełom, gdy zaprezentowano w nim równanie warto ci własnych wiatłowodu dwuskokowego o dowolnym profilu współczynniku praktycznie u ytecznym załamania w zwartej postaci (zbli onej do równania Hondorosa-Debye’a). Rozchodzenie si pól optycznych w wiatłowodzie opisuj równania Maxwella. W przypadku wiatłowodu kwarcowego równania te przyjmuj nast puj c posta [1,2,3,4,5] ∇ × E = −∂B / ∂t, (1). ∇ × H = ∂D / ∂t,. (2). ∇⋅D= 0,. (3). ∇⋅B= 0,. (4). przy czym E oraz H s odpowiednio wektorami nat enia pola elektrycznego i magnetycznego, natomiast D oraz B oznaczaj odpowiednie wektory indukcji. zwi zane z odpowiednimi Wektory indukcji s wektorami pola przez równania materiałowe: D = E ,. jest stał dielektryczn o rodka, B = 0 H . Parametr - przenikalno ci magnetyczn pró ni. za 0 Wykonuj c operacj rotacji obydwu stron równania (1) i wykorzystuj c równanie (2) otrzymuje si ∂2E ∇×∇× E = − 0 2 . (5) ∂t Wykorzystuj c to samo rachunku wektorowego. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. (. ). ∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ⋅ E − ∇ 2 E oraz równanie (3), równanie (5) przyjmuje nast puj c posta ∂2E (6) ∇2E = 0 2 . ∂t Podobnie, działaj c operatorem rotacji na obie strony równania (2) mo na otrzyma ∂2H (7) ∇2 H = 0 2 . ∂t Równanie (6) oraz (7) stanowi par równa falowych, których rozwi zanie jest uzale nione od rodzaju falowodu. Rysunek 1 przedstawia profil współczynnika załamania wiatłowodu typu W [1,6,7]. Dla takiego falowodu korzystnie jest prowadzi rozwa ania w cylindrycznym układzie współrz dnych, przy czym o z umiejscawia si w osi wiatłowodu. b a 0. φ. r. n1 n2 n3. r. płaszcz. y. x n. rdze II rdze I. z. -a. rdze II. -b. płaszcz. Rys. 1 wiatłowód dwuskokowy typu W wraz z profilem współczynnika załamania w układzie współrz dnych cylindrycznych. Fale elektromagnetyczne rozchodz ce si zgodnie z osi z maj nast puj c zale no funkcyjn (8) E = E0 (r, )e j ( t − z ) , H = H 0 (r, )e j (. t− z ). , (9) jest stał fazow i jest okre lona przez przy czym warunki brzegowe pól elektromagnetycznych na granicy pomi dzy pierwsz i drug warstw rdzenia oraz pomi dzy drug warstw rdzenia i płaszczem. Je eli równania (8) i (9) zostan podstawione do równa (1) oraz (2) wówczas równanie (1) mo na zapisa skalarnie 1 ∂E z + jr E = − j 0 H r , (10) r ∂ ∂E j Er + z = j 0 H , (11) ∂r ∂E 1 ∂ (12) rE − r = − j 0 H z , ∂ r ∂r natomiast równanie (2) ma nast puj c posta skalarn. ( ). 1/7.

(2) www.pwt.et.put.poznan.pl. 1 ∂H z + jr H = j Er , (13) r ∂ ∂H z (14) j Hr + =−j E , ∂r ∂H r 1 ∂ (15) rH − = j Ez . r ∂r ∂ Przez odpowiedni eliminacj zmiennych równania te mo na tak zapisa , e dla znanych składowych osiowych E z oraz H z , mo na okre li składowe poprzeczne E r , E , H r , oraz H . Przykładowo, E. (. ). lub H r mo na wyeliminowa z równania (10) i (14) tak, e składowa H lub E r b dzie okre lona jako funkcja składowych osiowych E z oraz H z . Wykonuj c tak eliminacj otrzymuje si nast puj ce zale no ci ∂E z ∂H z − j Er = 2 + 0 , (16) ∂r r ∂. E = Hr =. H =. −j 2. − j 2. − j 2. ∂E z − r ∂. 0. ∂H z , ∂r. ∂H z ∂E z − , r ∂ ∂r. ∂H z + r ∂. ∂E z . ∂r. (17) (18) (19). przy czym 2 = 2 0 − 2 = k 2 n 2 − 2 . Podstawiaj c równanie (18) oraz (19) do równania (15) otrzymuje si równanie falowe we współrz dnych cylindrycznych ∂ 2 E z 1 ∂E z 1 ∂ 2 E z + + 2 + 2 Ez = 0 (20) r ∂r ∂r 2 r ∂ 2 natomiast podstawienie równania (16) oraz (17) do równania (12) daje nast puj ce równanie ∂ 2 H z 1 ∂H z 1 ∂ 2 H z + + 2 + 2 H z = 0 . (21) r ∂r ∂r 2 r ∂ 2 2. METODA Standardowa procedura matematyczna prowadz ca do rozwi zania takiego jak (20) polega na zastosowaniu metody rozdzielenia zmiennych, przy zało eniu rozwi zania w nast puj cej formie (22) E z = AR(r ) ( )Z (z )T (t ). Jak ju wcze niej zało ono zale no od czasu i współrz dnej osiowej z jest nast puj ca Z (z )T (t ) = e j ( t − z ) , (23) poniewa fala charakteryzuje si harmoniczn zale no ci od czasu i rozchodzi si w dodatnim kierunku osi z. Dodatkowo z powodu kołowej symetrii przekroju poprzecznego wiatłowodu adna ze składowych pola nie ulega zmianie, gdy współrz dna zwi kszy si o 2 . W zwi zku z tym zakłada si periodyczn zmienno współrz dnej azymutalnej (24) ( ) = e jm . Stała m mo e by dodatnia, ale musi by całkowita, poniewa pole musi by okresow funkcj o okresie. 2 . Podstawiaj c równanie (24) do równania (22) równanie falowe dla E z (20) przyjmie posta. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. ∂ 2 R 1 ∂R m2 (25) + + 2 − 2 R = 0, 2 r ∂r ∂r r która jest znanym równaniem Bessela. Dokładnie identyczne równanie mo na wyprowadzi dla H z . Jego ogólne rozwi zanie w pierwszej i drugiej warstwie rdzenia mo na zapisa nast puj co (26a) R(r < a ) = AJ m ( r ) + A' Ym ( r ),. R (a < r < b ) = BI m ( r ) + CK m ( r ), (27a) w przypadku wiatłowodu dwuskokowego o profilu W, R (r < a ) = AJ m ( r ) + A' Ym ( r ), (26b) (27b) R(a < r < b ) = BJ m ( r ) + CYm ( r ), w przypadku wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1 (rys. 2) (26c) R(r < a ) = AI m ( r ) + A' K m ( r ), (27c) R (a < r < b ) = BJ m ( r ) + CYm ( r ), w przypadku wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 oraz wiatłowodu pier cieniowego typu O (rys. 3), w ka dym z trzech przypadków ogólne rozwi zanie równania (25) w warstwie płaszcza ma posta (28) R (r > b ) = D' I m ( r ) + DK m ( r ), przy czym A, A' , B, C, D'oraz D s stałymi, natomiast J m , Ym , I m , oraz K m s odpowiednio funkcjami Bessela pierwszego i drugiego rodzaju oraz zmodyfikowanymi funkcjami Bessela pierwszego i drugiego rodzaju rz du m. b. r. φ. r n1. a. n3 n 2. 0 -a. n. n3. r. płaszcz. y. x. n2 n1 n. rdze II rdze I. z rdze II. -b. płaszcz. Rys. 2. Profil współczynnika załamania wiatłowodu o podwójnym skoku PS (pierwszy z lewej) oraz pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1 (drugi z lewej) wraz ze szkicem wiatłowodu w układzie współrz dnych cylindrycznych b a. 0 -a -b. φ. r. r. n3. n1. n3 n2 n. r. płaszcz. y. x n2 n. rdze II rdze I. z. n1. rdze II płaszcz. Rys. 3. Profil współczynnika załamania wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 (pierwszy z lewej) oraz pier cieniowego typu O (drugi z lewej) wraz ze szkicem wiatłowodu w układzie współrz dnych cylindrycznych. wiatłowód o podwójnym skoku PS (pierwszy z lewej na rys. 2) jest najcz ciej wykorzystywany w przestrajalnych laserach wiatłowodowych du ej mocy, w których o rodek aktywny jest wykonany ze wiatłowodu krzemowego domieszkowanego pierwiastkami ziem rzadkich [8,9]. Parametry , , oraz s zdefiniowane nast puj co 2. = k 2 n12 −. 2. 2. =. 2. ,. (29a). −k n ,. (30a). 2. 2 2. 2/7.

(3) www.pwt.et.put.poznan.pl w przypadku wiatłowodu typu W, 2 = k 2 n12 − 2 ,. (29b). (30b) = k 2 n22 − β 2 , w przypadku wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1, 2 (29c) = 2 − k 2 n12 , 2. = k 2 n22 − β 2 , (30c) w przypadku wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 oraz wiatłowodu pier cieniowego typu O, we wszystkich trzech przypadkach 2 (31) = 2 − k 2 n32 . Znaczne uproszczenia zale no ci maj miejsce, gdy uwzgl dni si fakt, e pole optyczne dla modów prowadzonych powinno by ograniczone dla r = 0 i zanika do zera dla r = ∞. Poniewa Ym ( r ) oraz 2. do niesko czono ci, gdy r = 0, w zwi zku K m ( r) d z tym R (0 ) przyjmie warto ci sko czone tylko wtedy,. gdy A' = 0. Podobnie R(r ) zanika przy argumencie d cym do niesko czono ci tylko wtedy, gdy D' = 0. Wobec tego ogólne rozwi zanie równania (20) przyjmuje nast puj c form (32a) E z (r < a ) = AE J m ( r )e j (m + t − z ) ,. E z (a < r < b ) = [BE I m ( r ) + C E K m ( r )]e w przypadku wiatłowodu typu W, E z (r < a ) = AE J m ( r )e j (m +. j (m + t − z ). t− z ). ,. , (33a) (32b). E z (a < r < b ) = [BE J m ( r ) + C E Ym ( r )]e , (33b) w przypadku wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1, (32c) E z (r < a ) = AE I m ( r )e j (m + t − z ) , j (m + t − z ). E z (a < r < b ) = [BE J m ( r ) + C E Ym ( r )]e j (m + t − z ) , (33c) w przypadku wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 oraz wiatłowodu pier cieniowego typu O, we wszystkich trzech przypadkach E z (r > b ) = DE K m ( r )e j (m + t − z ) , (34) Ta sama metoda mo e posłu y do okre lenia H z , która spełnia równanie (21). Rozwi zania s podobne ró ni si tylko stałymi i tak H z (r < a ) = AH J m ( r )e j (m + − z ) , (35a) H z (a < r < b ) = [BH I m ( r ) + C H K m ( r )]e j (m + t − z ) , (36a) w przypadku wiatłowodu typu W, H z (r < a ) = AH J m ( r )e j (m + t − z ) , (35b). H z (a < r < b ) = [BH J m ( r ) + C H Ym ( r )]e j (m + t − z ) , (36b) w przypadku wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1, (35c) H z (r < a ) = AH I m ( r )e j (m + t − z ) ,. H z (a < r < b ) = [BH J m ( r ) + C H Ym ( r )]e j (m + t − z ) , (36c) w przypadku wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 oraz wiatłowodu pier cieniowego typu O, we wszystkich trzech przypadkach H z (r > b ) = DH K m ( r )e j (m + t − z ) . (37) Warunki brzegowe wymagaj aby składowe styczne E oraz E z wektora E wewn trz i na zewn trz granicy. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. dielektryków dla r = a oraz dla r = b musz by identyczne, podobnie dla składowych stycznych H oraz H r . W pierwszej kolejno ci rozwa one zostan składowe styczne E . Dla składowych osiowych, z równania (32) na wewn trznej stronie granicy pomi dzy pierwsz warstw , a drug warstw rdzenia (E z = E z1 ) oraz z równania (33) na zewn trznej stronie tej granicy (E z = E z2 ), mo na otrzyma nast puj ce zale no ci E z1 − E z2 = AE J m ( a ) − B E I m ( a ) − C E K m ( a ) = 0, (38a) E z1 − E z2 = AE J m ( a ) − B E J m ( a ) − C E Ym ( a ) = 0, (38b). E z1 − E z2 = AE I m ( a ) − BE J m ( a ) − C E Ym ( a ) = 0, (38c) odpowiednio dla dla wiatłowodu typu W (38a), dla wiatłowodu o podwójnym skoku PS i pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1 (38b) oraz dla wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 i pier cieniowego typu O (38c), natomiast z równania (33) na wewn trznej stronie granicy pomi dzy drug warstw rdzenia, a warstw płaszcza (E z = E z2 ) oraz z równania (34) na. (E z = E z3 ),. zewn trznej stronie tej granicy otrzyma nast puj ce zale no ci. mo na. E z2 − E z3 = BE I m ( b )+ C E K m ( b ) − DE K m ( b ) = 0, (39a). w przypadku wiatłowodu typu W,. E z2 − E z3 = BE J m ( b )+ C E Ym ( b ) − DE K m ( b ) = 0, (39b). w pozostałych przypadkach. Składowa azymutalna mo e by okre lona z równania (17). W pierwszej 2 przyjmuje warstwie rdzenia współczynnik nast puj c posta 2 (40a) = 2 = k 2 n12 − 2 , dla wiatłowodu typu W, a tak e dla wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1, 2 (40a) = − 2 = β 2 − k 2 n12 , w pozostałych przypadkach, przy czym. kn1 = 2 n1 / = warstwy rdzenia. , podczas gdy wewn trz drugiej. 1 0. κ2 = −. 2. =. 2. − k 2 n22 ,. dla wiatłowodu typu W, κ 2 = 2 = k 2 n22 − β 2 , dla pozostałych przypadków, przy. kn2 = 2 n2 / = płaszcza. 2. 0. 2. we. wszystkich. kn3 = 2 n3 / =. 3. 0. ,. (41a) (41b) czym. gdy tymczasem wewn trz. = 2 − k 2 n32 , przypadkach,. przy. (42) czym. . Wstawiaj c równanie (32) oraz. równanie (35) do równania (17) w celu okre lenia E 1 , i podobnie wykorzystuj c (33) oraz (36) aby znale. E 2,. i równie korzystaj c z (34) oraz (37) do okre lenia E 3 , otrzymuje si dla r = a E 1−E 2=. −. j 2. −j j m AE J m ( a ) − 2 a. j m BE I m ( a ) − a. 0. 0. AH J m ' ( a ). BH I m' ( a ). 3/7.

(4) www.pwt.et.put.poznan.pl. j m C E K m ( a ) − 0 C H K m ' ( a ) = 0 , (43a) a w przypadku wiatłowodu typu W,. −. j. E 1−E 2=. +. −j j m AE J m ( a ) − 2 a. j m BE J m ( a ) − a. j 2. 0. 0. AH J m ' ( a ). BH J m' ( a). j m C E Ym ( a ) − 0 C H Ym ' ( a ) = 0 , (43b) a w przypadku wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1,. +. +. 2. j m AE I m ( a ) − a. j m BE J m ( a ) − a. j 2. 0. 0. AH I m ' ( a ). H. j m C E K m ( b) − b. 2. 0. C H K m ' ( b). −j j m DE K m ( b ) − 0 DH K m ' ( b ) = 0 , (44a) 2 b w przypadku wiatłowodu typu W, −j j m E 2 −E 3 = 2 BE J m ( b) − 0 BH J m ' ( b) b −. j m C E Ym ( b ) − b. j 2. 0. C H Ym ' ( b ). −j j m DE K m ( b ) − 0 DH K m ' ( b ) = 0 , (44b) 2 b W pozostałych przypadkach, przy czym znak prim oznacza ró niczkowanie wzgl dem argumentu. Podobnie dla składowych stycznych wektora H mo na z łatwo ci dowie , e dla r = a H z1 − H z2 = AH J m ( a ) − BH I m ( a ) − C H K m ( a ) = 0, (45a). H z1 − H z2 = AH J m ( a ) − B H J m ( a ) − C H Ym ( a ) = 0, (45b) H z1 − H z2 = AH I m ( a ) − BH J m ( a ) − C H Ym ( a ) = 0, (45c) odpowiednio dla dla wiatłowodu typu W (45a), dla wiatłowodu o podwójnym skoku PS i pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1 (45b) oraz dla wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 i pier cieniowego typu O (45c), podczas gdy dla r = b H z2 − H z3 = BH I m ( b ) + C H K m ( b ) − DH K m ( b ) = 0, (46a) w przypadku wiatłowodu typu W, H z2 − H z3 = B H J m ( b ) + C H Ym ( b ) − D H K m ( b ) = 0, (46b). w pozostałych przypadkach, i ponownie dla r = a H. 1. −H. 2. =. − j 2. 2 0 1. n. AE J m ' (. j m a )+ AH J m ( a ) a. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. 2. ε 0 n12 AE J m ' ( a ) +. ε 0 n 22 B E J m ' ( a ) +. 2. j m AH J m ( a ) a. j m BH J m ( a ) a. j m C H Ym ( a ) = 0 , (47b) a w przypadku wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1,. ε 0 n 22 C E Ym ' ( a )+. 2. H. 1. −H. j. +. 2. j. − j. =. 2. j. j. +. j. +. j m BH I m ( a ) a. n 22 C E K m ' ( a )+. −H. 1. +. BH J m' ( a). j m C E Ym ( a ) − 0 C H Ym ' ( a ) = 0 , (43c) a w przypadku wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 oraz wiatłowodu pier cieniowego typu O, natomiast dla r = b j j m E 2 −E 3 = 2 BE I m ( b) − 0 BH I m ' ( b) b. +. n 22 B E I m ' ( a )+. j m C H K m ( a ) = 0 , (47a) a w przypadku wiatłowodu typu W, 0. 2. 2. j. 0. 2. j. −. j. E 1−E 2 =. j. −. 2. 2. =. j 2. ε 0 n12 AE I m ' ( a ) +. ε 0 n 22 B E J m ' ( a ) +. 2. j m AH I m ( a ) a. j m BH J m ( a ) a. j m C H Ym ( a ) = 0 , (47c) a w pozostałych przypadkach, natomiast ostatecznie dla r=b j m j 2 H 2 −H 3 = 2 BH I m ( b) 0 n 2 B E I m ' ( b )+ b j. +. ε 0 n 22 C E Ym ' ( a ) +. 2. j. +. 0. 2. n 22 C E K m ' ( b )+. j m DH K m ( b ) = 0, (48a) b w przypadku wiatłowodu typu W, j m −j 2 H 2 −H 3 = 2 BH J m ( b) 0 n 2 B E J m ' ( b )+ b −. j. j m C H K m ( b) b. n D E K m ' ( b )+. 2 0 3. 2. j. −. 0. 2. n 22 C E Ym ' ( b )+. j m DH K m ( b) = 0, (48b) b w pozostałych przypadkach. Równania (38), (39), (43), (44), (45), (46), (47) oraz (48) stanowi zestaw o miu równa , w których niewiadomymi jest osiem stałych AE , AH , BE , BH , C E , C H , DE , oraz DH . Rozwi zanie tych równa istnieje tylko wtedy, gdy wyznacznik współczynników jest równy zeru. Wyznacznik współczynników przyrównany do zera ma nast puj c posta M 11 0 M 13 0 M 15 0 0 0 −. j. j m C H Ym ( b ) b. n D E K m ' ( b )+. 2 0 3. 2. 0. M 22. 0. M 24. 0. M 26. 0. 0. 0. 0. M 33. 0. M 35. 0. M 37. 0. 0. 0. 0. M 44. 0. M 46. 0. M 48. M 51 M 61. M 52 M 62. M 53 M 63. M 54 M 64. M 55 M 65. M 56 M 66. 0 0. 0 0. 0. 0. M 73. M 74. M 75. M 76. M 77. M 78. 0. 0. M 83. M 84. M 85. M 86. M 87. M 88. =0. (49). 4/7.

(5) www.pwt.et.put.poznan.pl. przy. czym. M 15 = − K m (σ a ),. M 26 = − K m (σ a ), M 37 = − K m (γ b ),. M 11 = J m (χ a ), M 22 = J m (χ a ),. M 33 = I m (σ b ), M 44 = I m (σ b ),. M 48 = − K (γ b ), M 52 = M 54 = M 56 =. j. 0. J m ' (χ a ),. j. 0. I m ' (σ a ),. j. 0. K m ' (σ a ),. m J m (χ a ), a. M 62 =. M 74. m I m (σ a ), 2 a m = 2 K m (σ a ), a −j 0 = I m ' (σ b ),. M 76 =. −j. 0. M 35 = K m (σ b ), M 46 = K m (σ b ), m M 51 = 2 J m (χ a ), a. m I m (σ a ), 2 a. M 53 =. m K m (σ a ), a. M 55 = M 61 = M 63 =. 2. M 64 = M 66. M 13 = − I m (σ a ), M 24 = − I m (σ a ),. M 65 =. 2. −j. 1. J m ' (χ a ),. −j. 2. I m ' (σ a ),. −j. K m ' (σ a ),. 2. − m I m (σ b ), 2 b − m M 75 = 2 K m (σ b ), b m M 77 = 2 K m (γ b ), b. M 73 =. K m ' (σ b ),. m K m (γ b ), b −j 2 = J m ' (σ b ),. M 77 = M 83. M 85 =. j. M 83 =. 2. M 84 =. M 33 = J m (σ b ), M 44 = J m (σ b ),. m J m (χ a ), 2 a. M 51 = M 53 M 55 M 61. − m = 2 J m (σ a ), a − m = 2 Ym (σ a ), a −j 1 = J m ' (χ a ),. M 63 = M 65 =. j. 2. J m ' (σ a ),. j. 2. Ym ' (σ a ),. m J m (σ b ), 2 b m = 2 Ym (σ b ), b. M 73 = M 75. M 35 = Ym (σ b ), M 46 = Ym (σ b ),. M 37 = − K m (γ b ), M 48 = − K (γ b ),. M 52 = M 54 = M 56 =. j. 0. J m ' (χ a ),. −j. 0. J m ' (σ a ),. −j. 0. Ym ' (σ a ),. M 62 =. 0. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. Ym ' (σ b ),. K m ' (γ b ),. 2. M 61. m I m (χ a ), a. M 75 M 77 M 83. J m ' (σ a ),. j. 2. Ym ' (σ a ),. 3. I m ' (χ a ),. j. 0. J m ' (σ a ),. j. 0. Ym ' (σ a ),. − m I m (χ a ), 2 a. − m J m (σ a ), 2 a − m M 66 = 2 Ym (σ a ), a j 0 M 74 = J m ' (σ b ),. M 64 =. 2. −j. 0. M 62 =. 2. 2. j. M 56 =. j. −j. M 48 = − K (γ b ),. M 54 =. 2. m J m (σ b ), b m = 2 Ym (σ b ), b m = 2 K m (γ b ), b −j 2 = J m ' (σ b ),. M 85 =. M 26 = −Ym (σ a ), M 37 = − K m (γ b ),. M 52 =. m J m (σ a ), a m = 2 Ym (σ a ), a j 1 = I m ' (χ a ),. M 73 =. 2. M 46 = Ym (σ b ),. 2. M 53 =. M 55. M 88 =. M 24 = − J m (σ a ), M 35 = Ym (σ b ),. M 76 = M 78 =. j. 0. Ym ' (σ b ),. j. 0. K m ' (γ b ),. m J m (σ b ), b m = 2 Ym (σ b ), b. M 84 =. Ym ' (σ b ),. M 86. 2. m K m (γ b ), w b przypadku wiatłowodu pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 oraz wiatłowodu pier cieniowego typu O, przy czym 1 = 0 n12 , 2 = 0 n22 , oraz 3 = 0 n32 . M 87 =. K m ' (γ b ),. m J m (χ a ), a. − m J m (σ a ), 2 a − m M 66 = 2 Ym (σ a ), a j 0 M 74 = J m ' (σ b ),. M 76 =. K m ' (γ b ),. M 88 =. 2. 3. WYNIKI. 2. M 64 =. j. 3. M 51 =. M 65 =. K m ' (γ b ),. −j. M 86. 0. m J m (σ b ), b m = 2 Ym (σ b ), b. M 84 =. Ym ' (σ b ),. M 44 = J m (σ b ),. j 2 − m M 85 = K m ' (σ b ), I m (σ b ), 2 b −j 3 − m M 87 = K m ' (γ b ), M 86 = 2 K m (σ b ), b m M 88 = 2 K m (γ b ), w przypadku wiatłowodu typu W, b M 11 = J m (χ a ), M 13 = − J m (σ a ), M 15 = −Ym (σ a ), M 22 = J m (χ a ), M 24 = − J m (σ a ), M 26 = −Ym (σ a ),. 0. 2. M 22 = I m (χ a ), M 33 = J m (σ b ),. M 63 =. j. −j. j. m K m (γ b ), w b przypadku wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1, M 11 = I m (χ a ), M 13 = − J m (σ a ), M 15 = −Ym (σ a ), M 87 =. I m ' (σ b ),. M 78 =. M 78 =. 2. W rezultacie przekształcenia ka dego z wyznaczników (49) otrzymuje si nast puj ce równanie warto ci własnych dla. [E (Y + V )(W + X ) − F (Y + U )(Z + X )]. [F (Yn. 2 1. )(. ) (. )(. )]. + n 22U Zn 22 + n32 X − E Yn12 + n 22V Wn 22 + n 32 X =. = N 2m2. 2. 2. 2 2 2. N m (E − F )2 + 22EFn (U − V )(W − Z )+ u 4 B 2 w4C 2 u Bw C. 5/7.

(6) www.pwt.et.put.poznan.pl. +. [(. )]. ) (. 1 [F (Z + X ) − E (W + X )] E Wn 22 + n32 X − F Zn 22 + n32 X + u4B2. +. przy. [(. ) (. 1 [F (Y + U ) − E (Y + V )] E Yn12 + n22V − F Yn12 + n22U w 4C 2. czym. V = Vm = Z = Zm =. J ' (u ) Y = Ym = m , uJ m (u ). K m' ( p ) , pK m ( p ). K m ' (q ) , − qK m (q ). )] ,. (50) I m' ( p ) U = Um = , pI m ( p ). W = Wm =. I m ' (q ) , − qI m (q ). E = Em =. I m (q ) , I m ( p). K m (q ) 1 1 1 1 1 1 , = + , = + , K m ( p ) u 2 B u 2 p 2 w2C w2 − q 2 w przypadku wiatłowodu typu W, J ' (u ) J ' ( p) Y = Ym = m , U = Um = m , − pJ m ( p ) uJ m (u ) F = Fm =. V = Vm =. Ym ' ( p ) , − pYm ( p ). W = Wm =. J m ' (q ) , qJ m (q ). Ym ' (q ) J (q ) Y (q ) , E = Em = m , F = Fm = m , qYm (q ) J m ( p) Ym ( p ) 1 1 1 1 1 1 = + , = + , w przypadku u2B u2 − p2 w2C w2 q 2 wiatłowodu o podwójnym skoku PS oraz wiatłowodu pier cieniowego pierwszego rodzaju SP1, I ' (u ) J ' (p) Y = Ym = m , U = Um = m , uI m (u ) pJ m ( p ) Z = Zm =. V = Vm = Z = Zm =. Ym ' ( p ) , pYm ( p ). W = Wm =. J m ' (q ) , qJ m (q ). Ym ' (q ) J (q ) Y (q ) , E = Em = m , F = Fm = m , qYm (q ) J m ( p) Ym ( p ). 1 1 = + u2B u2 wiatłowodu wiatłowodu. 1 1 1 1 , = + , w przypadku p2 w2C w2 q 2 pier cieniowego drugiego rodzaju SP2 oraz pier cieniowego typu O, we wszystkich K ' (w) przypadkach X = X m = m , N = , u = a, wK m (w) k w = b, p = a, oraz q = b. 4. DYSKUSJA ORAZ KONKLUZJE. Dla danego zbioru parametrów k, a, b, n1 , n 2 oraz n3 równanie warto ci własnych (50) mo e zosta rozwi zane numerycznie w celu okre lenia stałej fazowej . W ogólnym przypadku równanie to mo e mie wiele rozwi za dla ka dej całkowitej warto ci m. Wygodnie jest ponumerowa te rozwi zania w porz dku malej cym i oznaczy je jako mn dla danej warto ci m przy czym n = 1, 2, 3, ... . Ka dej warto ci mn odpowiada jeden mo liwy mod pola optycznego, ktłórego przestrzenny rozkład jest okre lony przy pomocy odpowiednio zmodyfikowanych równa (16) – (19) oraz z równa (32) – (37). Poniewa rozkład pola nie ulega zmianie podczas propagacji z wyj tkiem czynnika fazowego oraz spełnia wszystkie warunki brzegowe jest to wi c mod. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. wiatłowodowy. W ogólnym przypadku zarówno E z jak i H z s niezerowe. W zwi zku z tym mody wiatłowodowe s nazywane modami hybrydowymi i s oznaczane jako HE mn lub EH mn w zale no ci od tego czy dominuje składowa H z czy E z . W sytuacji, gdy m = 0 prawa strona równania (50) zanika i w efekcie pojawiaj si dwa ró ne równania warto ci własnych. Pierwsze z nich E (Y + V )(W + X ) = F (Y + U )(Z + X ), (51) dotyczy modów osiowo-symetrycznych TE0 n tj. takich którym odpowiada warunek zerowania si składowej osiowej pola elektrycznego (E z = 0 ), drugie. (. )(. ) (. )(. ). F Yn12 + n22U Zn22 + n32 X = E Yn12 + n22V Wn22 + n32 X , (52) odpowiada modom osiowo-symetrycznym TM 0 n tj. takich którym odpowiada warunek zerowania si składowej osiowej pola magnetycznego (H z = 0 ). Uniwersalne równanie warto ci własnych (50) wiatłowodu dwuskokowego o dowolnym praktycznie u ytecznym profilu współczynniku załamania zostało zaprezentowane po raz pierwszy w tak zwartej formie.. SPIS LITERATURY 1. Hondros D., Debye P., „Elektromagnetische Wellen an dielektrischen Drähten”, Ann. Physik, 1910, Vol. 32, s. 465-76. 2. Majewski A., Teoria i projektowanie wiatłowodów, WNT, Warszawa 1991. 3. Keiser G., Optical Fiber Communications, Second Edition, McGraw-Hill International Edition, Singapore, 1991. 4. Agrawal G.P., Fiber-Optic Communication Systems, Third Edition, Wiley-Interscience, New York, 2002. 5. Marcuse D., Theory of Dielectric Optical Waveguide, Second Edition, Academic Press, San Diego, 1991 6. Kawakami S., Nisida S., “Characteristics of a doubly clad optical fiber with a low index inner cladding”, IEEE J. Quantum Electron. QE-10 (1974) 879-887. 7. Monerie M., “Propagation in doubly-clad single mode fibers “, IEEE J. Quantum Electron. QE-18 (1982) 535-542. 8. Nilsson J., Clarkson W.A., Selvas R., Sahu J.K., Turner P.W., Alam S.U., Grudinin A.B., “Highpower wavelength-tunable cladding-pumped rareearth-doped silica fiber lasers”, Optical Fiber Technology 10 (2004) 5-30. 9. Sahu J.K., Renaud C.C., Furusawa K., Sevas R., Alvares-Chaves J.A., Richardson D.J., Nilsson J., “Jacketed air clad cladding pumped ytterbium doped fiber laser with wide tuning range”, Electon. Lett. 38 (2001) 1116-1117. 10. Kaczmarek T., „Compact eigenvalue equation of W profile optical fiber”, International Congress on Optics and Optoelectronics, 28 August – 2 September 2005, Warsaw University of Technology, Proceedings of SPIE Vol. 5951, Optical Fibers: Technology (w druku).. 6/7.

(7) www.pwt.et.put.poznan.pl. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. 7/7.

(8)