Nośność graniczna rozciąganych prętów z karbami kątowymi o dowolnych wymiarach części nad karbami

M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A 

1, 7 (1969) 

N O Ś N O Ś Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  P RĘ TÓ W Z  K A R B A M I  K Ą T O W Y M I  O  D O W O L N Y C H  W Y M I A R A C H C Z Ę Ś C I  N A D  K A R B A M I 

JÓZEF  M l A S T K O W S K I  ( W A R S Z A W A ) 

1. Wprowadzenie 

Nagłe zmia ny wymiarów lu b kształtu wzdłuż  elementu wywołują  w  n i m znaczną  nie­ równomiernoś ć  rozkładu naprę ż eń . Moż e  on a być  wywołana przez wszelkie ka rb y,  p od ­ toczenia i szczeliny  n a powierzchni prę ta, przez nacię cia gwintu , ś lady  p o obróbce wió­ rowej lu b inne przyczyny.  N a dnie tych karbów wystę pują  zawsze znacznie wię ksze  n a ­ prę ż enia, niż  w całym pozostałym przekroju poprzecznym. 

Przy obcią ż eniach stałych lu b zmiennych, ale o niewielkiej liczb ie  zmia n obcią ż enia  w całym okresie" pracy elementu, o zniszczeniu bę dą  decydować  bą dź  to odkształcenia  plastyczne, bą dź  to kru che pę knię cia powstają ce przy pewnej granicznej wielkoś ci ob ­ cią ż enia.  To obcią ż enie na zywa my noś noś cią  graniczną . Stosowane metale konstru kcyjne  mają  zwykle dob re własnoś ci plastyczne i pę knię cie powstaje w nich dopiero po rozwinię ­ ciu się  duż ych odkształceń  plastycznych. Z tego wzglę du a na liza noś noś ci granicznej  opa rta  n a założ eniach teorii plastycznoś ci  m a duż e znaczenie praktyczne. 

D l a płaskich prę tów osłabionych ob u stronnie  ka r b a mi, teoretyczna noś noś ć  gra niczna  moż e być  wyzna czona w dwóch skrajnych przypa dka ch, mia nowicie  d la płaskiego stanu  odkształcenia oraz  d la płaskiego stanu naprę ż enia. 

D o warunków płaskiego stanu odkształcenia zbliż amy się , gdy gruboś ć  2b (rys. 1)  prę ta jest dostatecznie duż a w porównaniu z  w ymia r em 2h. Przeciwnie, gdy gruboś ć  2b  jest mała, w prę cie wystę pują   w a r u n ki płaskiego stanu naprę ż enia.  Komp letn e rozwią ­

zanie  d l a płaskiego stanu odkształcenia jest moż liwe, o ile stosunek  r a mion c/ h jest  ta k  duż y, ż e pole linii poś lizgów leż y całkowicie wewną trz  k on tu r u prę ta [1]. Jeż eli jedna k  stosunek  r a mion jest mały, rozwią zanie kompletne jest na da l nieznane. Moż liwe jest  jedynie okreś lenie górnej i dolnej oceny noś noś ci granicznej. 

W wielu rzeczywistych kons tru kcja ch  w ymia r 2b prę ta nie jest a ni  n a tyle mały,  a b y  powstał płaski stan naprę ż enia,  a n i  n a tyle duż y, a b y wytworzył się  płaski stan odkształ­ cenia. Niestety, obecnie teoria nie jest w stanie dać  odpowiedzi,  j a k a bę dzie noś noś ć  gra­ niczna przy poś rednich gruboś ciach prę ta. Powstaje wob ec tego waż ny prob lem, kiedy  teoretyczne schematy płaskiego stanu naprę ż enia i płaskiego stanu odkształcenia mogą   stanowić  dob re przybliż enie rzeczywistych warunków. 

Próbę  teoretycznej analizy tego zagadnienia podją ł D RU CKER [2] w opa rciu o granicz­ ne twierdzenia teorii plastycznoś ci.  A n a l iza ta ka , polegają ca  n a dob orze odpowiednich  pól kinematycznie lu b statycznie dopu szczalnych, moż e dać  jedynie przybliż oną  ocenę   wielkoś ci 2b, niezbę dnej  d la powstania stanu zbliż onego do płaskiego stanu odkształce­ nia. Całkowicie pewne informacje mogą  być  u zyskane jedynie w sposób doś wiadczalny. 

Ż U KO WSKI  [ 3, 4,  5 ] badał wpływ gruboś ci 2b  n a noś noś ć  prę ta z ostrym ka rb em ką to­ wym i wykazał, ż e  d la s tos u nku b/ h > 4, zarówno wielkoś ć  siły zrywają cej, odniesionej  do jednos tki powierzchni,  ja k i wartoś ć  naprę ż eń  u mownej granicy plastycznoś ci pra k­ tycznie nie ulega zmia nie. 

W pracy SZCZEPIŃ SKIEGO i MIASTKOWSKIEGO  [ 6 ] b a da no prę ty z ka rb em o zaokrą ­ glonych naroż ach i stwierdzono, ż e  d la stosu nku b/ h > 2 praktycznie realizuje się  płaski  stan odkształcenia. Wystarczają ca wartoś ć  s tos u nku b/ h = 3  w yn ika z badań  przepro­ wa dzonych w pracy FIN D LEY'A i D RU CKERA  [ 7 ] , w której zajmowano się  prę tami z ka r­ b em ostrym i o zaokrą glonych naroż ach.  Au tor zy zaznaczają  jednak, ż e jeszcze  d la b/ h =  =  6 , 6 7 istnieje wpływ gruboś ci 2b prę ta. 

W pracy SZCZEPIŃ SKIEGO i MIASTKO WSKIEGO  [ 8 ] przeprowa dzona została teoretyczna  i doś wiadczalna a na liza noś noś ci granicznej rozcią ganych prę tów z  ka r b a mi okrą głymi  i prostoką tnymi o dowolnej gruboś ci 2b i zmiennej szerokoś ci czę ś ci  n a d ka rb em 2c. 

Ob szerny przeglą d prac doś wiadczalnych i teoretycznych dotyczą cych noś noś ci gra­ nicznej rozcią ganych płaskich i osiowo­ symetrycznych prę tów z  ka r b a mi został poda ny  w pracy SZCZEPIŃ SKIEGO  [ 9 ] . 

N a podstawie wyników doś wiadczalnych moż na stwierdzić , ż e obcią ż enie graniczne  ob liczane przy założ eniu idealnie plastycznego materiału  m a praktyczne znaczenie  d la  plastycznych metali.  W yn i k a z nich również , ż e płaski stan odkształcenia realizuje się   w próbkach z  ka r b a mi wówczas, gdy gruboś ć  prę ta 2b jest  kilka razy wię ksza  od  w ymia r u  2h w najwę ż szym przekroju . Należ y jednak zaznaczyć , ż e wartoś ć  X = b/ h jest w duż ym  stopniu zależ na  od kształtu  ka r b u . 

W przedstawionej pracy poda no górne oceny noś noś ci granicznej  d la prę tów z ka r­ b a mi ką towymi o poś redniej gruboś ci i  zmien n ym s tos u nku szerokoś ci czę ś ci  n a d ka r­ b em 2c do  w ymia r u 2h.  D a n e z obliczeń  porównano nastę pnie z  w yn ika mi doś wiadczeń . 

2. Sposób przeprowadzenia doś wiadczeń  

B a d a n ia próbek przeprowa dzono  n a hydrau licznej maszynie wytrzymałoś ciowej. Prób ­ k i , w których wymia r 2c był wię kszy  o d З А , były specjalnie przygotowane w sposób  p o­ ka za ny  n a rys u nku 1. Czę ś ci przeznaczone do  mocow a n ia w u chwyta ch zrywa rki były  frezowane, a b y zapewnić  osiowe rozcią ganie i unikną ć  moż liwoś ci zgina nia w płaszczyź ­ nie x, y. 

Odkształcenia mierzono  za pomocą  dwóch tensometrów mecha nicznych u mieszczo­ nych  p o  ob u stronach próbki,  n a bazie pomiarowej 60  m m . O dczyty pomiarów odkształ­ ceń  prowa dzono z dokładnoś cią   d o 0,01  m m . Mierzenie odkształceń   n a dwóch przeciw­ ległych powierzchnia ch próbki z =  ± 6 pozwalało sprowadzić   d o  m i n i m u m efekty wy­ nikają ce z ewentualnego zgina nia w płaszczyź nie л ', z. Wydłuż enie u stalono nastę pnie  j a k o wartoś ć  ś rednią  ze wskazań   ob u tensometrów. 

N O Ś N O Ś Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  P RĘ TÓ W  83 

Stwierdzono, ż e powyż sza metoda przeprowa dzenia doś wiadczeń  zapewniała otrzy­ mywa nie dob rych wyników doś wiadczalnych. O trzyma ne w ten sposób krzywe obcią ż e­ nie—odkształcenie cechują  się  duż ą  regularnoś cią  przeb iegu . 

Baza pomiarowa m j 

Rys. 1 

W zależ noś ci  od kształtu i rodzaju materiału wykresy obcią ż enie—wydłuż enie róż nią   się   s w oim przebiegiem.  Typ ow e krzywe otrzymywane w tej pracy poka za no  n a rys. 2.  Prosty począ tkowy odcinek OA każ dej krzywej odpowia da pełnemu stanowi sprę ż ystemu  prę ta. N iezna czna  kr zyw izn a wykres u powyż ej  p u n ktu A łą czy się  ze wzrostem plastycz­

Al [mm]  Rys. 2 

nych obszarów, podczys gdy sprę ż ysta czę ś ć  ś rodkowa najwę ż szego przekroju poprzecz­ nego za pewnia małe całkowite wydłuż enie. S wob odne plastyczne płynię cie za czyna się   w chwili, kiedy ob szary plastyczne zbiegają  się  w osi symetrii prę ta.  M omen t ten jest wy­ raź nie widoczny w pu nkcie В   n a krzywej 1.  B a r d zo czę sto moment ten, w którym cały  przekrój osią ga pełny stan plastyczny jest mało widoczny (patrz  kr zyw a 2  n a rys. 2). 

W ta kich przypa dka ch przyję to w pracy umowną  granicę  plastycznoś ci, którą  utoż sa­ mia no z  p u n ktem B, w którym moduł stycznej osią gał wartoś ć  0,3 tg a. Przez a oznaczo­ no ką t, który tworzy począ tkowa pros toliniowa czę ś ć  wykres u z osią  wydłuż eń . 

Załóż my, ż e P* oznacza nieznaną  rzeczywistą  wartoś ć  granicy plastycznoś ci. Górna  ocena Pg tej wartoś ci P* moż e być  okreś lona przez porównanie pracy wykonanej przez 

siłę  zewnę trzną  P  d o wewnę trznej energii dysypowanej przez dowolny, kinematycznie  dopu szczalny, schemat odkształcenia plastycznego [10]. Współczynnik obcią ż enia gra­ nicznego  d la prę ta z  ka r b em moż e być  okreś lony  j a k o stosunek / = P*/ Po, gdzie P0 = 

— Skbh jest granicą  plastycznoś ci gładkiego prę ta ze stałym poprzecznym przekrojem 

4bh. Górna ocena / jes t równa: 

N a rys. 3 poka za no cztery róż ne, kinematycznie dopu szczalne, mecha nizmy plastycz­ nego zniszczenia prę tów z ką towymi wycię ciami. Jest oczywiste, ż e te sposob y odkształ­ cenia moż na również  stosować  do okreś lenia górnej oceny noś noś ci granicznej prę tów  z wycię ciami o innych kształtach. 

W s zys tkie wzory  n a górną  ocenę  fg okreś lone zostały przy założ eniu  w a r u n k u plastycz­

noś ci Tres ki. 

M ech a n izm I przedstawia rozwią zania metodą  linii poś lizgów [11]  d la płaskiego stanu  odkształcenia.  D l a  p r zyp a d ku tego (A = b/ h ­> co) jest to kompletne rozwią zanie o ile  szerokoś ć  prę ta wyraż ona przez x = c/ h jest tak duż a, ż e przedłuż enie siatki linii poś liz­ gów w ka rb ie mieś ci się  całkowicie wewną trz zarysu prę ta. Moż na łatwo wykazać , ż e wszyst­ kie kinematycznie dopu szczalne  w a r u n ki bę dą  również  spełnione, jeż eli szerokoś ć  prę ta  wyraż ona przez к  = c/ h jest mniejsza  od wymaganej przez teorię  i jeż eli stosunek A = 

= b/ h jest ograniczony. W ten sposób rozwią zania linii poś lizgów mogą  być  uważ ane 

ja ko kinematycznie dopu szczalne sposob y odkształcenia  d l a prę tów o poś rednich stosu n­ ka ch c/ h i b/ h, dają c  d la nich górną  ocenę  nieznanej wartoś ci rzeczywistej granicy plastycz­ noś ci. 

M ech a n izm II [12] stanowi proste ś cinanie wzdłuż  zakreskowanej płaszczyzny  p ok a ­ zanej  n a rys. 3. Górna czę ś ć  prę ta  n a d płaszczyzną  poru s za się ,  j a k ciało sztywne w  kier u n ku  równoległym do płaszczyzny przekroju , podczas gdy  d oln a czę ś ć  moż e być   tr a ktow a n a  j a k o nieru choma . Optymalną  wartoś ć  górnej oceny granicy plastycznoś ci otrzymu jemy,  jeż eli płaszczyzna przekroju tworzy z osią  prę ta ką t 45°. Górna ocena współczynnika 

obcią ż enia jest niezależ na  od s tos u nku 1 = b/ h i jest równa  3 . Teoretyczna górna ocena noś noś ci granicznej 

(3.1)  _{fg = PJPo­} (3.2)  _U ila oraz  (3.3)  f\ • ud  tgw  tg w — 1  gdzie к  — c/ h. 

NOŚ NOŚ Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  P RĘ TÓ W  85 

N a ką t graniczny co" łatwo moż na znaleź ć  nastę pują cą  zależ noś ć  

Rys . 3 

M ech a n izm III [2] poka za ny  n a rys. 3 polega  n a ru chu dwóch sztywnych kostek  u tworzonych przez dwie płaszczyzny poprowa dzone  p o d ką tem 45° do os i prę ta ora z  przez dwie płaszczyzny równoległe  d o osi prę ta przechodzą ce przez  d n a karbów.  D l a 

wię kszoś ci kształtów  ka r b u , a wś ród nich i  d l a karbów ką towych, górną  ocenę  wartoś ci /  okreś lamy ze  w zor u 

(3.5) ' + 

M ech a n izm  I V przedstawia prosty przekrój wzdłuż  płaszczyzny zakreskowanej, two­ rzą cej ką t 45° z osią  prę ta. Płaszczyzna przekroju jest  p oka za n a  n a rys. 3.  M ech a n izm  ten daje najlepszą  górną  ocenę  współczynnika obcią ż enia  / 'v  d l a małych X = b/ h.  W ob ec 

tego, ż e powierzchnia przekroju zależ y  od kształtu wycię cia, górna ocena współczynnika  obcią ż enia f™ mu s i być  ob licza na  d la każ dego szczególnego  p r zyp a d ku oddzielnie. 

D l a karbów ką towych wzory  n a współczynnik obcią ż enia przyjmują  postać  

(3.6) fl/ °  = * ­ ~ ( *2­ 2 * + l ) t g w  d l a  A M * ­ l ) t g c o 

oraz 

(3.7)  / » ' » = l + I;.ctgo>  d l a ?.ą (x­\)tga>. 

4 . Teoretyczna dolna ocena noś noś ci granicznej 

Rozważ my teraz waż ny przypadek prę tów z wycię ciami,  d l a których wartoś ć  s tos u nku  wymiarów / 1 pozwa la  n a analizę  w płaskim stanie odkształcenia, ale mają cych mały 

h 

i _L 

Rys . 4 

współczynnik к , = c/ h.  D l a ta kich prę tów moż emy okreś lić  nie tylko górną  ocenę  fe z me­

ch a n izmu II, ale takż e wyznaczyć  orientacyjną  dolną  ocenę  z odpowiedniego statycznie  dopu szczalnego  p ola naprę ż eń , zakładają c, ż e w prę cie  ma my płaski stan odkształcenia.  Ocenę  taką  moż na wyznaczyć   n a przykład  n a podstawie  p ola linii poś lizgu pokazanego  n a rys. 4. 

NOŚ NOŚ Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  P R Ę TÓ W  87 

Rozp a tr zmy przypa dek prę ta z  ka r b em ką towym o ką cie 2co i małej szerokoś ci 2c  (rys. 4). Jesteś my w stanie zawsze znaleź ć   ta ki ką t 2co*  ka r b u ką towego,  d la którego prze­ dłuż enie  p ola linii poś lizgu ob liczone w sposób poka za ny przez BISHOPA [1], leż y całko­ wicie w kontu rze rozpatrywanego prę ta o ką cie 2co i szerokoś ci 2c,  j a k  p oka za n o  n a rys. 4. 

\2u) 

\  

\

*

 . 

Г  

\  

Г  

\  

Przyjmują c  tu , ż e materiał  n a zewną trz  p ola linii poś lizgu jest  w oln y  o d naprę ż eń , moż e­ my okreś lić  dolną  wartoś ć  współczynnika obcią ż enia fd równą  rzeczywistej wartoś ci tego 

pa ra metru  d la prę ta z  ka r b em o ką cie 2a>*. W ten  s a m sposób moż na okreś lić  dolną  oce­ nę   d la  in n ych kształtów karbów. 

N a rys. 5 poka za no wykres, wynikają cej z przedłuż eń   B is h op a szerokoś ci 2c,  w yr a ­ ż onej przez pa ra metr y. w fu nkcji ką ta co dla " karbów ką towych, poda ny przez  M C C L I N ­ TO CKA w pracy [13]. 

5. Noś noś ć  graniczna prę tów z wycię ciami ką towymi 

Rozważ my teraz prę t z  ka r b em ką towym (rys. 1). Kształt  ka r b u jest okreś lony przez  ką t co.  G r a n ica plastycznoś ci w  tym  p r zyp a d ku jest zależ na  od trzech niezależ nych  p a ­ rametrów 

N a rys. 6 poka za no  n a płaszczyź nie А , к  obszary, w których poszczególne mechaniz­ my plastycznego znis zczenia z rys. 3 dają  najniż szą  ocenę  współczynnika obcią ż enia.  Każ dy ob szar jest oznaczony nu merem odpowiadają cym ozna czeniom odpowiednich me­ chanizmów  n a rys. 3. Rozmieszczenie odpowiednich obszarów poda no  n a rys. 6  d la pa ­ ra metru co = 30°.  D l a innych wartoś ci pa ra metru co zmienia się  położ enie  p u n ktu В  oraz  ulegają  zmia nie wielkoś ci poszczególnych obszarów przy niezmienionym układzie wy­

Rys . 6 

kresu . Tra jektoria  p u n ktu В  jest poka za na linią  (czę ś ciowo przerywaną ),  n a której za ­ zna czono wartoś ci co  od 0° do 90° co 10°. W miarę  wzros tu ką ta co  od 0° aż  do cog  p u n kt 

В  przes u wa się   p o  lin ii prostej, a nastę pnie  o d położ enia odpowiadają cego ką towi cog 

po linii krzywej dą ż ą c do położ enia granicznego A = 2 i x = 1  d la co ­* л / 2. 

O b s za r I  od p ow ia d a  mech a n izmow i  lin ii poś lizgów I i w  tym zakresie A, y, najmniej­ sza wartoś ć  górnej oceny współczynnika obcią ż enia moż e być  okreś lona ze  w zor u  H I LLA 

[ П ] , 

(5.1) f\= <p(co)=  [ l +  ( § ­ » ) ] • 

Jest to zależ noś ć   lin iow a , której wykres przedstawiono  n a rys. 7. 

Górna ocena / w  p ol u II wyzna czona  d la II sposob u zniszczenia okreś lona jest  przez wzór (3.2). 

W  p olu III, w którym najlepszą  górną  ocenę  daje mecha nizm III, współczynnik ob ­ cią ż enia okreś lamy ze  w zor u (3.5). Należ y zwrócić  uwagę , ż e w obszarze ogra niczonym 

N O Ś N O Ś Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  P R Ę TÓ W  8 9 

osią  x i  lin ia mi OBC mecha nizm III obowią zuje  d l a 0 < co < coe, natomiast  d l a coe < 

< co < ж \2 niż szą  wartoś ć  w  tym obszarze daje mecha nizm  I V według  w zor u (3.7). W  p r o­

j/2 

sty sposób moż na znaleź ć , ż e cog = arcctg­ ^r— x 54°44'. 

Rys . 7 

Lin ie oddzielają ce poszczególne obszary  n a rys. 6 mają  nastę pują ce równania we współ­ rzę dnych A, x.  L in ia AB  L in ia В С   L in ia OB  x = 2c)(a))—1.  a) A = 2j/2 [<p(co)— 1]  d l a 0 < co < coe,  b) A = 2[<p(co)— ljtgco  d l a * co„ < co < т г /2.  b ) к  = 1 + Actgco  d l a ojg < co < я /2.  a) x = 1 +  ­ L _ A  d l a 0 < co < coe, 

6.  W yn i k i doś wiadczalne 

Doś wiadczenia przeprowa dzono  n a sześ ciu seriach próbek.  Tr zy serie próbek z  ka r ­ b a mi o ką cie co = 60° oraz trzy serie o ką cie co = 30°. W każ dej z tych serii przy za cho­ wa niu stałej wartoś ci co zmienia no parametr A = b/ h utrzymują c stały stosunek x = c/ h 

lu b zmienia no x przy ustalonej wartoś ci Я .  N a rys. 8 i 9 poda no wykresy mechanizmów  plastycznego znis zczenia  n a płaszczyź nie X, x  d l a co = 60° i co = 30°.  N a  r ys u n ka ch tych  poka za no nastę pnie linia mi przerywa nymi z  k r op k a mi przecię cia, które zostały zweryfi­ kowa ne doś wiadczalnie. 

D w ie serie próbek  w ykon a n o ze stopu  a l u min iu m  P A 2  ( A l  M g3) w stanie mię kkim.  Stop ten cechuje się  b ardzo  d ob r ymi własnoś ciami plastycznymi i jest stosowany  n a ś red­ nio obcią ż one elementy kons tru kcji lotniczych, okrę towych i pojazdów mecha nicznych. 

Znajdu je również  szerokie zastosowanie w urzą dzeniach przemysłu chemicznego i spo­ ż ywczego oraz w elementach kons tru kcji b u dowla nych. Pozostałe cztery serie próbek  w ykon a n o ze stopu  a lu min iu m  P A 4  ( A l  M g l  S il ) w stanie przes yconym i stę ż onym.  Stop ten  m a dob re własnoś ci plastyczne, ale  p od wzglę dem własnoś ci wytrzymałoś cio­ wych róż ni się   od stopu  P A 2 w sposób zasadniczy. Jest stosowany do  w yr ob u elementów  konstru kcji lotniczych i pojazdów mechanicznych. 

Przeds ta wiona w pracy teoretyczna a na liza noś noś ci granicznej odnos i się  tylko  d o  granicy plastycznoś ci. Jednakż e w doś wiadczeniach oprócz wyznaczenia granicy plastycz­ noś ci, mierzono również  ma ks yma lne obcią ż enia zrywają ce Р тйх, podają c przy wykre­ sach wytrzymałoś ć  nominalną  Rn = P1MJF0, gdzie F0 — jest polem począ tkowego prze­

kroju poprzecznego próbki w najwę ż szym miejscu  ka r b u .  Pomia r y  ma ks yma ln ych ob ­ cią ż eń  zrywają cych elementów z  ka r b a mi i  ich a na liza dostarczyły informacji o duż ym  zna czeniu pra ktycznym. 

N a rys. 10 i 11 poka za no  w yn iki doś wiadczeń   d la pierwszej serii próbek o stałym  p a ­ rametrze charakteryzują cym kształt  ka r b u co = 60°. W serii tej stałą  wartoś ć  miał rów­ nież  parametr X = 1, przy róż nych szerokoś ciach czę ś ci na d ka rb em wyraż onych przez 

x = c/ h.  Pa r a metr om  tym odpowia da linia k­k  n a rys. 8. Próbki wykona ne zostały ze 

stopu  a l u min iu m  P A 2 .  N a rys. 10  p od a n o począ tkowe  od cin ki wykresów naprę ż enia  P/ F0 w fu nkcji wydłuż enia oraz wartoś ci naprę ż eń   n omin a ln ych R„ = P1MJF0  d la próbek 

z  ka r b a mi o róż nych x oraz  d la próbki bez  ka r b u ,  d l a której x = 1. 

Zależ noś ci mię dzy granicą  plastycznoś ci a parametrem x są  poka za ne  n a rys. 11 ra zem  z teoretycznymi  lin ia mi.  P u n k ty oznaczone kółkami odpowiadają  doś wiadczalnym wartoś ­ ciom współczynnika obcią ż enia granicznego  d la prę tów z  ka r b a mi. O trzyma no je dzielą c 

A 

N O Ś N O Ś Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  P RĘ TÓ W  91 

wartoś ci granicy plastycznoś ci  d la prę tów z  ka r b a mi przez odpowiednią  wartoś ć  granicy  plastycznoś ci  d la prę ta bez  ka r b u . Z rys. 8 widzimy, ż e najlepsza teoretyczna górna ocena  noś noś ci granicznej  d l a przekroju k­k  w yn ika z mechanizmów II i  IV . 

P/ F0  Rys . 10  Materiał: stop aluminium PA 2 (Al Mg3)  Górna ocena 

\  

Identyczne doś wiadczenia przeprowa dzono  d la drugiej serii próbek  w ykon a n ych ze  stopu  a lu min iu m  P A 4 o parametrach wynikają cych z przekroju m­m  n a rys. 8.  W y n i k i  tych badań  przedstawiono  n a rys. 12 i 13. Najlepszą  górną  ocenę   d la tego  p r zyp a d ku  otrzymu jemy z mechanizmów zniszczenia plastycznego II i I. 

W trzeciej serii próbek  d l a u stalonych wartoś ci co = 60° i x = 3,40 b adano wpływ  gruboś ci, okreś lony parametrem X = b/ h,  n a noś noś ć  graniczną . Należ y zwrócić  uwagę ,  ż e к  przyję to  tu znacznie wię ksze niż  to, które  w yn ika z teorii. Z rys. 5 widać , ż e  d la co — 

Rys . 12 

x = c/ h  Rys . 13 

= 60°, H  w in n o mieć  wartoś ć  2,35. W doś wiadczeniu  tym s pra wdzono przekrój n­n  n a  rys. 8.  W yn i k i badań  przedstawiono  n a rys. 14 i 15. Najlepszą  górną  ocenę  noś noś ci gra­ nicznej  d la tych parametrów dają   n a m mecha nizmy  I V i I. 

N O Ś N O Ś Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  P RĘ TÓ W  9 3 

Rys . 14 

Tr zy nastę pne serie próbek miały  ka r b y o  jed n a kow ym parametrze co = 30°.  D l a tego  typu karbów, rozkład mechanizmów plastycznego zniszczenia  n a płaszczyź nie X, x  p ok a ­ za no  n a rys. 9. Weryfikację  doś wiadczalną  przekroju p­p  n a rys. 9 przeprowa dzono  n a 

0  1 i  Materiał: stop aluminium PA 4 (AIM^ jtSft) 

1 

~

próbkach  w ykon a n ych ze stopu  a lu min iu m  P A 2 .  W y n i k i badań  poda no  n a rys. 16 i 17.  Najlepsze górne oceny noś noś ci granicznej wynikają   d l a tych parametrów z mechanizmów  II i III. 

W serii pią tej, próbki  w ykon a n o ze stopu  a lu min iu m  P A 4 . Cechował je znacznie wię k­ szy parametr Я  w porównaniu z próbkami serii czwartej.  O d p ow ia d a to linii r­r  n a rys. 9.  W y n i k i doś wiadczeń  przedstawiono  n a rys. 18 i 19. Najlepszą  górną  ocenę  noś noś ci gra ­

Pl FB  [kp/mm2 ]  Rys. 16  Materiał: stop aluminium PA 2 (AIMg3)  Górna ocena  Punkty doś wiadczalne  Л  = b/ h ­ 100  U) ­ 30" 

La

 Ы

nicznej dają   mech a n izmy  II i I. D olną  ocenę  noś noś ci] granicznej okreś lono,  ta k  j a k  d la drugiej serii, w sposób poka za ny  n a rys. 4.  D l a x = 4,75  d oln a i górna ocena noś ­ noś ci granicznej  d l a płaskiego stanu odkształcenia pokrywają  się . 

W serii szóstej próbki miały stały pa ra metr co = 30° i stałą  wartoś ć  x = 2,60 przy  zmieniają cej się  gruboś ci wyraż onej przez Я  = b/ h. Pa ra metry te odpowiadają  linii s­s 

NOŚ NOŚ Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  P RĘ TÓ W  95 

Rys . 18 

Materiał: stop aluminium PA A (Al Mg 1 Si 1)  Górna ocena 

Rys . 19 

n a rys. 9.  W yn i k i badań  tej serii próbek zamieszczono  n a rys. 20 i 21.  J a k  w yn ika z rys. 9,  najlepsze górne oceny wyznaczone zostały z mechanizmów III i II. 

Porównują c u zyskane  w yn iki  n a próbkach z materiału  P A 2 (rys. 11 i 17) z  w yn ika mi  otr zyma n ymi  n a próbkach  w ykon a n ych ze stopu  a lu min iu m  P A 4 (rys. 13, 15, 19 i 21), 

moż na stwierdzić , ż e zgodnoś ć  wyników doś wiadczalnych jest lepsza  d la materiału bardziej  plastycznego,  j a k i m jest stop  P A 2 . Z drugiej strony widać  duż y wpływ samej geometrii  ka r b u .  N a rys. 7 naniesiono  p u n kty doś wiadczalne odpowiadają ce najwię kszym wartoś ­ ciom rzeczywistego współczynnika noś noś ci granicznej u zyskane  d la karbów o ką cie  co = 30° i co = 60°.  W id zimy, ż e o ile  d la  ka r b u o ką cie co = 60° róż nica mię dzy  w yn ika mi  teoretycznymi i doś wiadczalnymi wynos i « 4,5%, to  d la  ka r b u o ką cie co = 30° róż nica  ta wynos i x 16,5%.  P/ Ę ,  jkp/ mm2]  40  X" c/ h =3,40 Ш  ­ Б 0° Л  = b/ h (zmienne)  Materiał: stop aluminium  PA4 (At Mg 1 Sit)  M 2h 

n 

•A 

N O Ś N O Ś Ć   G R A N I C Z N A  R O Z C I Ą G A N Y C H  PRĘ TÓ W  9 7 

N a rys. 11, 13, 15, 17, 19 i 21, oprócz punktów odpowiadają cych granicy plastycznoś ci,  naniesiono krzyż ykami pu nkty  d la naprę ż eń   n omin a ln ych R„ = Р тл х/ Р 0­  Pu n kty te otrzy­

ma n o przez odniesienie wartoś ci Rn  d la próbki z  ka r b em do wartoś ci Rn otrzymanej  d l a 

próbki bez ka rb u .  D l a wszystkich b a da nych próbek stosunek ten jest wię kszy  od jednoś ci,  ale mniejszy  od odpowiednich rzeczywistych współczynników obcią ż enia granicznego  ob li­ czonych  d la granicy plastycznoś ci.  N a wszystkich rys u nka ch  p u n kty oznaczone krzyż yka­ mi leż ą  poniż ej punktów odpowiadają cych granicy plastycznoś ci. Róż nica mię dzy  ob u  tymi współczynnikami zależ y  od rodzaju materiału oraz  od geometrii ka rb u i jest  tym  wię ksza,  im mniej plastyczny materiał i bardziej ostry ka rb . 

7. W nios ki 

W yn i k i doś wiadczeń  pokazują , ż e zgodnoś ć  mię dzy teoretyczną  górną  oceną  granicy  plastycznoś ci a jej rzeczywistą  wartoś cią  jest zupełnie  d ob r a  d la stopu  a lu min iu m o dob rych  własnoś ciach plastycznych. Jednocześ nie widać  wpływ geometrii ka rb u i własnoś ci plas­ tycznych materiału  n a zgodnoś ć  wyników teoretycznych i doś wiadczalnych. 

Jest b ardzo interesują ce, ż e wartoś ć  naprę ż enia nominalnego Rn = PmijFo wzrasta 

wraz ze wzrostem x do pewnej okreś lonej wartoś ci maksymalnej i dalej już   d la wzrastają ­ cych x nie u lega zmianie. Widać  wyraź nie, ż e stosunek naprę ż enia nomina lnego R„ wszyst­ kich próbek z ka rb em do naprę ż enia Rn próbki bez  ka r b u jest  d l a  ob u materiałów wię kszy 

od jednoś ci, ale jednocześ nie mniejszy  o d odpowiednich stosunków ob liczonych  d la granic  plastycznoś ci.  N a rys u nka ch wyraż a się  to  tym, ż e  p u n kty oznaczone krzyż ykami leż ą   zawsze niż ej  od odpowiednich punktów ozna czonych kółeczkami.  D l a mniej plastycznego  materiału i ostrzejszego  ka r b u , róż nica mię dzy  ob u powyż szymi zależ noś ciami jest wię ksza.  Jeż eli chodzi o wpływ gruboś ci próbki na noś noś ć  graniczną , to z przeprowa dzonych  doś wiadczeń   w yn ika , ż e  d la A = b/ h > 2 zarówno przyrost granicy plastycznoś ci,  ja k  i maksymalnej siły zrywają cej jest minima lny. Z na czy to, ż e w próbkach z  ka r b a mi o wys­ tarczają co duż ym s tos u nku x  d la A > 2 realizuje się  stan zbliż ony  d o płaskiego stanu  od ­ kształcenia. 

Literatu ra cytowana w tekś cie 

1.  J .  F .  W .  B IS H O P, On the complete solution to problems of deformation of a plastic­rigid material,  J .  M ech .  Phys. Solids, 2 (1953), 43­ 53.  2.  D .  C .  D R U C K E R , On obtaining plane strain or plane stress conditions in plasticity, Proc. 2nd  U . S.  N a t.  C ongr.  A p p l .  M ech . , 1954, 485­ 488.  3. В . С . Ж У К О В С К И Й , Р а с п р е д е л е н и е  д е ф о р м а ц и й  и  н а п р я ж е н и й  в  п л о с к и х  н а д р е з а н н ы х  с т е р ж н я х   в  с в я з и  с  о б ъ е м н о с т ь ю  н а п р я ж е н н о г о  с о с т о я н и я , П р о б л е м ы  п р о ч н о с т и  в  м а ш и н о с т р о е н и и ,  В ы п .  2, И з д .  А Н   С С С Р , М о с к в а   1959.  4. В . С . Ж У К О В С К И Й , О  к о э ф ф и ц и е н т е  у с и л е н и я  и  х а р а к т е р е  р а с п р о с т р а н е н и я  п л а с т и ч е с к и х  з о н   в  н а д р е з а н н ы х  с т е р ж н я х ,  И з в .  А Н   С С С Р ,  О Т Н ,  5,  1958,  116­ 119.  5. В . С . Ж У К О В С К И Й , Д е ф о р м и р о в а н н о е  с о с т о я н и е  и  п р о ч н о с т ь  п л о с к и х  н а д р е з а н н ы х  с т е р ж н е й  п р о и з ­ в о л ь н о й  т о л щ и н ы , Р а с ч е т ы  н а  п р о ч н о с т ь , В ы п .  9, М а ш г и з ., М о с к в а   1963,  2 3 1 ­ 2 5 2 . 

6.  W .  S Z C Z E P I Ń S KI ,  J .  M I A S T K O W S K I , Doś wiadczalna analiza noś noś ci granicznej rozcią ganych płaskich  prę tów z karbem,  Rozp r . Inż yn.  1 3 (1965), 637­ 652. 

7.  W .  N .  F I N D L E Y ,  D .  C .  D R U C K E R , An experimental study of plane plastic straining of notched bars,  J .  A p p l .  M ech .,  3 2 (1965), 493­ 503. 

8.  W .  S Z C Z E P IŃ S KI,  J .  M I A S TKO W S KI , Plastic straining of notched bars with intermediate thickness and  small shoulder ratio, Int.  J .  N on ­ Lin ea r Mecha nics , 3 (1967), 83­ 97. 

9.  W .  S Z C Z E P I Ń S K I , Przeglą d prac dotyczą cych noś noś ci granicznej rozcią ganych prę tów z karbem,  M ech .  Teoret. Stos., 3, 3 (1965), 51­ 78. 

10.  D .  C .  D R U C K E R ,  H .  J .  G R E E N B E R G ,  W .  P R A G E R , Extended limit design theorems for continous media,  Q .  A p p l .  M a th . , 9 (1952), 381­ 389. 

11.  R .  H I L L , The plastic yielding of notched bars under tension, Q u a rt.  J .  M ech .  A p p l .  M a th . , 2 (1949), 40.  12.  W .  P R A G E R ,  P .  G .  H O D G E , Theory of perfectly plastic solids,  J .  W iley Inc.,  N e w  Y o r k 1951, 215­ 216.  13.  F .  A .  M C C L I N T O C K , On notch sensitivity,  W eld in g Jou rna l Research Su plement,  M a y 1961. 

Р е з ю м е   Н Е С У Щ А Я   С П О С О Б Н О С Т Ь   Р А С Т Я Г И В А Е М Ы Х   С Т Е Р Ж Н Е Й  С   У Г Л О В Ы М И   Н А Д Р Е З А М И И   П Р О И З В О Л Ь Н О Й   Ш И Р И Н О Й   В Н Е   Н А Д Р Е З О В   В  с т а т ь е  и з л а г а е т с я  т е о р е т и ч е с к и й  и  э к с п е р и м е н т а л ь н ы й  а н а л и з  н е с у щ е й  с п о с о б н о с т и  п л о с к и х   о б р а з ц о в  с  у г л о в ы м и  н а д р е з а м и . И с с л е д о в а л и с ь  о б р а з ц ы  п р о м е ж у т о ч н ы х  т о л щ и н  и  р а з л и ч н ы х   ш и р и н  в н е  н а д р е з о в , и з г о т о в л е н н ы е  и з  а л ю м и н и е в ы х  с п л а в о в   Р А 2 и   Р А 4. О б н а р у ж е н о , ч т о   д е й с т в и т е л ь н ы е  с и л ы , с о о т в е т с т в у ю щ и е  н а ч а л у  п л а с т и ч е с к о г о  т е ч е н и я , х о р о ш о  с о в п а д а ю т  п о   в е л и ч и н е  с  в е р х н и м и  о ц е н к а м и  н е с у щ е й  с п о с о б н о с т и  с т е р ж н е й  и з  с п л а в а   Р А 2 , о б л а д а ю щ е г о  о ч е н ь   х о р о ш и м и  п л а с т и ч е с к и м и  с в о й с т в а м и . В  с л у ч а е  м е н е е  п л а с т и ч н о г о  с п л а в а   Р А 4 э т о  с о в п а д е н и е   х у ж е . О п ы т ы  п о к а з а л и  т а к ж е , ч т о  с у щ е с т в е н н о е  в л и я н и е  н а  р а с х о ж д е н и е  э к с п е р и м е н т а л ь н ы х   и  т е о р е т и ч е с к и х  д а н н ы х  о к а з ы в а е т  г е о м е т р и я  н а д р е з а .  В  р а б о т е  п р о в о д и л и с ь  т а к ж е  и с с л е д о в а н и е  в л и я н и я  т о л щ и н ы  о б р а з ц а  с  н а д р е з о м  н а  е г о  н е ­ с у щ у ю  с п о с о б н о с т ь . О б н а р у ж е н о , ч т о  в  о б р а з ц а х  с  д о с т а т о ч н о  б о л ь ш и м  о т н о ш е н и е м  х , п р и  в е ­ л и ч и н а х  п а р а м е т р а  X >  2, р е а л и з у е т с я  п л о с к о е  д е ф о р м и р о в а н н о е  с о с т о я н и е .  S u m m a r y  P L A S T I C  Y I E L D I N G  O F  T E N S I L E  V ­ N O T C H E D  E L E M E N T S  W I T H  A R B I T R A R Y  I N T E R M E D I A T E  S H O U L D E R  R A T I O 

Presented is theoretical a nd experimental analysis  of the yield loa d of V­ notched tensile elements  w ith intermediate thickness  of variou s shou lder ratios.  Th e experiments have been performed u sing two  a lu min iu m alloys  P A 2  a n d  P A 4 . E xperimenta l results show that the actu al loads corresponding to initia l  stage  of plastic flow are  in good agreement with theoretical u pper limits of yield loa d for the  P A 2 a lloy  displaying very good du ctility.  F o r less du ctile ma teria l  P A 4 this agreement is worse. It is fou nd, more­ over, that the difference between the experimental  a n d theoretical results depends  o n the angle  of the notch.  The influence of the thickness  on the yield loa d  of notched elements was tested.  Th e experimental  results show that  if the shou lder ratio is sufficiently large, for the thickness ratio A > 2 practically the  plane state  of strain occu rs. 

Z A K Ł A D  M E C H A N I K I  O Ś R O D K Ó W  C I Ą GŁ Y C H  I N S T Y T UT U  P O D S T A W O W Y C H  P R O B L E M Ó W  T E C H N I K I  P A N