WERYFIKACJA KRYTERIÓW PÊKANIA ELEMENTÓW Z KARBAMI TRÓJK¥TNYMI

6 E

KSPLOATACJAI

N

IEZAWODNOήNR

5/2001 Andrzej £UKASZEWICZ

Andrzej SEWERYN

WERYFIKACJA KRYTERIÓW PÊKANIA ELEMENTÓW Z KARBAMI TRÓJK¥TNYMI

VERIFICATION OF FRACTURE CRITERIA OF ELEMENTS WITH V-SHAPED NOTCHES

W pracy przedstawiono weryfikacjê doœwiadczaln¹ czterech kryteriów pêkania przystosowanych do analizy kruchego pêkania elementów z karbami trójk¹tnymi w dwuosiowym stanie obci¹¿enia (mode I + II).

In this paper an experimental verification of four fracture criteria adapted for brittle fracture analysis of elements with V-shaped notches under biaxial loading (mode I and II) was presented.

1. Wstêp

W celu okreœlenia stanu wytê¿enia konstrukcji zawieraj¹cej kon- centratory wykorzystuje siê kryteria pêkania. Powinny one umo¿li- wiaæ analizê zarówno inicjacji, jak i propagacji szczeliny w z³o¿o- nym stanie obci¹¿enia, a tak¿e okreœlaæ miejsce i kierunek inicjacji pêkniêcia oraz krytyczn¹ wartoœæ obci¹¿enia.

2. Kryterium energii uwalnianej

W kryterium tym definiuje siê energiê potrzebn¹ do utworzenia nowej swobodnej powierzchni (pêkniêcia) w ciele o liniowo sprê¿y- stej charakterystyce. Dla z³o¿onego stanu obci¹¿eñ kryterium to zo- sta³o zmodyfikowane [1, 2, 3]. Rozwa¿my karb trójk¹tny z propagu- j¹c¹ z jego wierzcho³ka szczelin¹ o d³ugoœci l w za³o¿onym kierunku ϑ. W podejœciu zaproponowanym w pracy [2] zak³ada siê wirtualny przyrost szczeliny ∆l –> 0 (zgodnie z jej kierunkiem) w kierunku ϑ₀ maksymalnej wartoœci uwalnianej energii odkszta³cenia.

Intensywnoœæ energii uwalnianej G(ϑ) jest prac¹ naprê¿eñ przed wierzcho³kiem odga³êzienia na przemieszczeniach brzegów tego od- ga³êzienia:

∆

∫

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

→

∆ = = + = =

− ∆

= ^l r r

l u u r

G l

01 0[( ( 0) ( ) ( 0) ( )]d

lim )

(ϑ σϑϑϑ ϑϑ π τϑϑ ϑ π (1)

gdzie ^∗r i ϑ^∗ s¹ wspó³rzêdnymi biegunowymi w uk³adzie o pocz¹tku w wierzcho³ku szczeliny, a ^r u u^r

∗

∗

∗

∗

, , , ϑ ϑ ϑϑ τ

σ naprê¿eniami i przemiesz- czeniami w tym uk³adzie. Przyjmuj¹c osobliwy rozk³ad naprê¿eñ i przemieszczeñ w pobli¿u wierzcho³ka za³o¿onej szczeliny otrzymu- jemy:

)]

( ) ( 8 [ ) 1

( 2 II²

I ϑ ϑ

µ

ϑ = +κ K^∗ +K^∗

G (2)

gdzie K^∗I i K^∗II s¹ wspó³czynnikami intensywnoœci naprê¿eñ dla szczeliny propaguj¹cej z wierzcho³ka karbu trójk¹tnego w I i II przy- padku obci¹¿enia.

Proces propagacji nast¹pi wówczas, gdy maksymalna intensyw- noœæ energii uwalnianej G w kierunku ϑ = ϑ₀ osi¹gnie wartoœæ kry- tyczn¹:

2 Ic c

0 8

) 1

( G K

G µ

ϑ κ

ϑ= = = + (3)

Za³o¿on¹ d³ugoœæ szczeliny l oblicza siê wykorzystuj¹c równo- wa¿noœæ hipotezy wytê¿eniowej maksymalnych naprê¿eñ normalnych (σ_max=σ_c) oraz kryterium energii uwalnianej dla przypadku ma³ej szczeliny inicjuj¹cej w dnie karbu pó³okr¹g³ego (K_I^* = K_Ic):

2

c Ic

122 . ð 1

1 



= σ

l K (4)

3. Kryterium gêstoœci energii odkszta³cenia

W kryterium tym zak³ada siê, ¿e kierunek propagacji szczeliny ϑ₀ okreœla minimalna wartoœæ wspó³czynnika gêstoœci energii od- kszta³cenia sprê¿ystego S zgromadzonej w okolicach wierzcho³ka kar- bu trójk¹tnego [4]. Wspó³czynnik ten jest iloczynem energii sprê¿y- stej odkszta³cenia dU_s zgromadzonej w jednostkowej objêtoœci dV oraz odleg³oœci r_c od wierzcho³ka karbu, a mianowicie:

c S

d

d r

V

S= U (5)

Propagacja pêkniêcia nastêpuje wówczas, gdy wspó³czynnik S osi¹gnie wartoœæ krytyczn¹ :

( )

0 c Ic²

8 1K S

S µ

ϑ = =κ− (6)

W przypadku wykorzystania powy¿szego kryterium do analizy pêkania elementów z karbami trójk¹tnymi niezbêdna jest znajomoœæ parametru r_c. Okreœlamy go za pomoc¹ hipotezy maksymalnych na- prê¿eñ normalnych zastosowanej np. dla elementu z karbem pó³okr¹- g³ym. W przypadku p³askiego stanu naprê¿enia otrzymujemy:

( )

²

c Ic

c 1





−

= ν Kσ

r (7)

4. Zmodyfikowane kryterium McClintocka

W warunku odkszta³ceniowym McClintocka [5] zak³ada siê, ¿e propagacja szczeliny nast¹pi wówczas, gdy odkszta³cenie normalne ε_ϑϑ w pewnej ma³ej odleg³oœci ρ_c od wierzcho³ka szczeliny osi¹gnie wartoœæ krytyczn¹ ε_c, czyli:

(

ρc

)

εc

ε_ϑϑr= = (8)

NAUKA I TECHNIKA

7 E

KSPLOATACJAI

N

IEZAWODNOήNR

5/2001

Do analizy kruchego pêkania stosowana jest naprê¿eniowa po- staæ tego kryterium. Propagacja szczeliny ma miejsce wówczas, gdy naprê¿enia obwodowe σ_ϑϑ w odleg³oœci r = ρ_c osi¹gn¹ wartoœæ kry- tyczn¹ σ_c, a mianowicie:

( )

^.

maxσ_ϑϑ ρ_c σ_c

ϑ r= = (9)

Z warunku maksimum (9) mo¿na okreœliæ kierunek propagacji pêkniêcia. W przypadku analizy pêkania elementów z karbami trój- k¹tnymi wielkoœæ ρ_c jest odleg³oœci¹ od wierzcho³ka karbu do punktu w którym mierzy siê wartoœæ σ_ϑϑ. Parametr ten mo¿na wyznaczyæ wykorzystuj¹c rozwi¹zanie asymptotyczne na σ_ϑϑ oraz kryterium Grif- fitha - Irwina dla przypadku rozrywanej szczeliny:

2

c Ic

c 2

1 



= π σ

ρ K

(10)

5. Nielokalne naprê¿eniowe kryterium kruchego pêkania

W prezentowanym kryterium [6, 7] zak³ada siê, ¿e inicjacja pêk- niêcia nastêpuje wówczas, gdy uœredniona na odcinku do funkcja na- prê¿eñ normalnych Rσ(σ_n,τ_n) i tn¹cych wywo³uj¹cych dekohezjê osi¹- gnie wartoœæ krytyczn¹, czyli:

1 d ) , 1 (

max ) , ( max

0

0 ) 0 , ( )

,

( =











= 

= ^R _d

∫

^{R r}

R

d

n n n

n

f σ τ _σ σ τ

σ ϑ

ϑx0 x0 (11)

gdzie: R_f - wspó³czynnik uszkodzenia, R_σ

(

σn,τn

)

- nielokalna funk- cja uszkodzenia, Rσ(σ_n, τ_n)- lokalna funkcja uszkodzenia materia³u, σ_n, τ_n - normalne i tn¹ce naprê¿enia w p³aszczyŸnie fizycznej, x₀- po- cz¹tek lokalnego uk³adu wspó³rzêdnych (r, ϑ) okreœlaj¹cy miejsce inicjacji szczeliny.

D³ugoœæ strefy uszkodzenia okreœla na jakim odcinku uœrednio- na jest funkcja pêkania. Parametr ten mo¿na wyznaczyæ wykorzystu- j¹c kryterium Griffitha - Irwina oraz nielokalny warunek (11) dla roz- rywanej szczeliny [8]:

2

c Ic 0

2 ð 2

1 



= σ

d K (12)

W przypadku analizy pêkania elementów z polimetakrylanu me- tylu jako funkcjê pêkania materia³u zastosowano warunek naprê¿eñ normalnych:

c n

R_σ⁽σn⁾=σ ^/σ (13)

6. Doœwiadczalna weryfikacja kryteriów pêkania

Do weryfikacji przedstawionych kryteriów pêkania wykorzysta- no badania doœwiadczalne pêkania opisane w pracy [9]. Wykonano je na p³askich próbkach z polimetakrylanu metylu obci¹¿onych dwu- osiowo (si³¹ rozci¹gaj¹c¹ P i styczn¹ T). W ka¿dej z próbek wyciêto 2 symetryczne karby trójk¹tne o k¹cie rozwarcia 2β.

W analizie osobliwego rozk³adu naprê¿eñ w okolicy wierzcho³- ka karbu trójk¹tnego wykorzystano uogólnione wspó³czynniki inten- sywnoœci naprê¿eñ K_I^λ - dla rozci¹gania oraz K_II^λ- dla œcinania wzd³u¿- nego. Wartoœci tych wspó³czynników obliczono za pomoc¹ metody ca³ki niezmienniczej H [10]. W tabeli 1 podano wartoœci wspó³czyn- ników K_I^λ oraz K_II^λ odniesionych do obci¹¿enia próbki odpowiednio:

si³¹ rozci¹gaj¹c¹ P i si³¹ styczn¹ T.

Tylko w przypadku kryterium energii uwalnianej wykonano ob- liczenia klasycznych wspó³czynników intensywnoœci naprê¿eñ dla szczeliny w wierzcho³ku karbu. Uwzglêdniono ró¿ne k¹ty rozwarcia karbów oraz nachylenia szczeliny [11].

W celu wyznaczenia wartoœci naprê¿enia niszcz¹cego σ_c obliczo- no rozk³ady naprê¿eñ w próbce z karbem pó³kolistym w momencie pêkania. Otrzymano: σ_c = 102.8 MPa.

Wartoœæ K_Ic wyznaczamy jako œredni¹ na podstawie krytycznych war- toœci K_Ic^λ dla k¹tów rozwarcia karbu 2β = 20° ÷ 60° (dla tych k¹tów wyk³adnik pola przemieszczeñ λ_I zmienia siê nieznacznie) [10]. Otrzy- mano K_Ic = 1.202 MPa m^0.5.

Wyznaczone parametry materia³owe σ_c i K_Ic pos³u¿y³y do obli- czenia parametrów nielokalnoœci dla poszczególnych kryteriów. Otrzy- mano: l = 0.0000347 m; d₀=0.000087 ρ_c = 0.0000218 r_c = 0.0000888 m. Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono wyniki obliczeñ prognozowa- nych kierunków pêkania ϑ₀ oraz stosunków krytycznych wartoœci ob- ci¹¿eñ: ca³kowitego do rozci¹gaj¹cego F_c/P_c, dla elementów z karba- mi trójk¹tnymi o k¹cie rozwarcia 2β = 40° oraz 60°, w zale¿noœci od k¹ta obci¹¿enia ψ [10]. Obci¹¿enie F_c jest krytyczn¹ si³¹ zadan¹ na maszynie wytrzyma³oœciowej, natomiast P_c jest krytyczn¹ si³¹ pod- czas prostego rozci¹gania, tzn. gdy ψ = 0 (wtedy otrzymujemy F_c = P_c). Czyste œcinanie (w œrodkowym przekroju próbki) wystêpu- je gdy ψ = 90°. Dla k¹tów ψ zawartych miêdzy 0° a 90° uzyskujemy z³o¿ony stan obci¹¿enia.

7. Wnioski

Prezentowane kryteria umo¿liwiaj¹ okreœlenie obci¹¿enia krytycz- nego oraz kierunku propagacji szczeliny. Wymagaj¹ one wprowa- dzenia parametrów nielokalnoœci, np. za³o¿enia istnienia szczeliny lub strefy uszkodzeñ o skoñczonych wymiarach. Najbardziej zbli¿o- ne do danych eksperymentalnych s¹ wartoœci k¹tów inicjacji i kry- tycznych obci¹¿eñ prognozowane przy wykorzystaniu nielokalnego naprê¿eniowego kryterium kruchego pêkania oraz zmodyfikowane- go kryterium McClintocka. Obliczenia z wykorzystaniem tych kryte- riów nie s¹ skomplikowane, gdy¿ korzysta siê z rozk³adów naprê¿eñ dla rzeczywistego kszta³tu elementu konstrukcyjnego. Dobre wyniki uzyskuje siê równie¿ za pomoc¹ kryterium uwalnianej energii od- kszta³cenia, jednak obliczenia z wykorzystaniem tego kryterium s¹ pracoch³onne. Przedstawione kryteria pêkania, choæ nie zawsze maj¹ jasn¹ interpretacjê fizyczn¹, pozwalaj¹ na prognozowanie, z dobr¹ dok³adnoœci¹, procesu pêkania elementów z karbami trójk¹tnymi w dwuosiowym stanie obci¹¿enia - co jest decyduj¹ce w przypadku ich zastosowania w obliczeniach in¿ynierskich.

2 β [deg]

λI ξ =_I K /_I^λ P kN / m MPa ^1−λI

λII ξ =_II K /_II^λ T kN / m MPa ^1−λII 20

40 60 80

0.5004 0.5035 0.5122 0.5304

0.6166 0.6323 0.6673 0.7350

0.5620 0.6382 0.7309 0.8434

0.6737 0.9981 1.4772 2.3112 Tab. 1. Wartoœci K_I^λ i K_II^λ dla próbek z karbami trójk¹tnymi o k¹cie

rozwarcia 2β

NAUKA I TECHNIKA

8 E

KSPLOATACJAI

N

IEZAWODNOήNR

5/2001

2β=40°

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

0 10 20 30 40 50 60 7 0 80 90

k¹ t o b c i¹ ¿ e nia ψ = a rctg(T/P ) [ de g ] k¹t inicjacji szczelinyϑ0 [ deg ]

k ryterium n aprê¿e niow e k ryt erium M c Clin to ck 'a k ryterium e nergii uwalniane j k ryterium S ih a dane d oœ wiadcz alne

2β=40°

0 ,7 5 1 1 ,2 5 1,5 1 ,7 5 2 2 ,2 5

0 10 20 3 0 40 5 0 60 7 0 80 9 0

k¹ t ob ci ¹ ¿ e n ia ψ = a rctg (T /P ) [ d e g ]

krytyczne obci¹¿enie Fc / Pc

k ryterium n aprê¿ e niowe k ryterium M c Clin to c k'a k ryterium e nergii uw alniane j k ryterium S ih a d ane d oœ wiadc z alne

Rys. 1. Kierunki pêkania ϑ₀ oraz stosunek si³ krytycznych F_c/P_c dla elementu z karbami trójk¹tnymi o k¹cie rozwarcia 2β=40°

2^β=60°

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

k¹ t o bc i¹ ¿e nia ψ = a rctg(T/P ) [ de g] k¹t inicjacji szczeliny0 [ deg ]

kryterium naprê¿ eniow e kryterium M cC lintock 'a kryterium energii uwalnian ej kryterium Siha dane doœ wiadc zalne

2^β=60°

0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3

0 10 2 0 30 4 0 50 6 0 70 80 90

k¹ t ob ci¹ ¿ e n ia ψ = a rctg (T /P ) [ d e g ]

krytyczne obci¹¿enie Fc / Pc

kryterium nap rê ¿en io we kryterium M cC lintoc k'a kryterium ene rg ii uw aln ia nej kryterium S iha da ne do œ wiad cz a lne

Rys. 2. Kierunki pêkania ϑ₀ oraz stosunek si³ krytycznych F_c/P_c dla elementu z karbami trójk¹tnymi o k¹cie rozwarcia 2β=60°

8. Literatura

[1] Hussain M.A., Pu S.L., Underwood J.: Strain energy release rate for a crack under combined Mode-I and -II, ASTM STP, 560(1974), 2-28.

[2] Palaniswamy K., Knauss E.G.: Propagation of a crack under general in-plane tension, Int. J. Fract. Mech., 8(1972), 114-117.

[3] Seweryn A.: A non-local stress and strain energy release rate mixed mode fracture initiation and propagation criteria, Eng. Fract. Mech., 59(1998), 737-760.

[4] Sih G.C.: Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems, Int. J. Fract., 10(1974), 305-321.

[5] McClintock F.A.: Ductile fracture instability in shear, Trans. ASME, J. Appl. Mech., 25(1958), 582-588.

[6] Seweryn A., Mróz Z.: A non-local stress failure condition for structural elements under multiaxial loading, Eng. Fract. Mech., 51(1995), 955-973.

[7] Mróz Z., Seweryn A.: Non-local failure and damage evolution rule: Application to a dilatant crack model, J. Phys., 8(1998), 257-268.

[8] Seweryn A.: Brittle fracture criterion for structures with sharp notches, Eng. Fract. Mech., 47(1994), 673-681.

[9] Seweryn A., Poskrobko S., Mróz Z.: Brittle fracture in plane elements with sharp notches under mixed-mode loading, J. Eng. Mech.

ASCE, 123(1997), 535-543.

[10] £ukaszewicz A., Seweryn A.: Modelowanie kruchego pêkania elementów z karbami trójk¹tnymi (czêœæ I i II), Zesz. Nauk. P. Bia³ost., Mech., 23(2001), 87-102, 103-128.

[11] Seweryn A., £ukaszewicz A.: Energia odkszta³cenia uwalniana w procesie propagacji szczeliny z wierzcho³ka karbu trójk¹tnego, XVII Sympozjum Zmêczenia Materia³ów i Konstrukcji, ATR Bydgoszcz (1998), 287-292.

**********

Niniejsz¹ pracê wykonano w ramach realizacji Projektu Badawczego nr 8 T07A009 20 finansowanego przez Komitet Badañ Naukowych

**********